curs 7: vectori si valori proprii - utclujusers.utcluj.ro/~todeacos/curs7.pdf · curs 7: vectori...

CURS 7: Vectori si valori proprii

Cluj-Napoca

”Un vector propriu al unei matrici este un vector (coloana) caredupa ce este ınmultit cu matricea nu-si schimba directia!”

Pe langa relevanta matematica vectorii si valorile proprii ale unormatrici au aplicatii ın:

mecanica cuantica;

procesarea imaginilor;

algoritmul Page Rank pe care se bazeaza cautarile Google!

Ingineria STRUCTURILOR:-pentru determinarea frecventele proprii ale vibratiilor unorcladiri sau poduri (valorile pr.);-pentru determinarea formelor acestor vibratii (vectorii pr.).

”Un vector propriu al unei matrici este un vector (coloana) caredupa ce este ınmultit cu matricea nu-si schimba directia!”Pe langa relevanta matematica vectorii si valorile proprii ale unormatrici au aplicatii ın:

mecanica cuantica;





mecanica cuantica;



Ingineria STRUCTURILOR:

-pentru determinarea frecventele proprii ale vibratiilor unorcladiri sau poduri (valorile pr.);-pentru determinarea formelor acestor vibratii (vectorii pr.).


mecanica cuantica;



Ingineria STRUCTURILOR:-pentru determinarea frecventele proprii ale vibratiilor unorcladiri sau poduri (valorile pr.);

-pentru determinarea formelor acestor vibratii (vectorii pr.).


mecanica cuantica;




Recapitulare liceu: MATRICI, CORPURI

S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,

-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).

Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;

Mn(K ) este inel necomutativ, care NU e corp- inelulmatricilor patratice cu n linii si coloane, cu elemente din K ;


S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,

-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).




S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”.

(K ∗ = K \ {0}).




S.n. corp comutativ tripletul (K ,+, ·) a.ı.-(K ,+) este grup comutativ,-(K ∗, ·) este grup comutativ,-”·” distributiva fata de ”+”. (K ∗ = K \ {0}).





Ex . de corpuri : (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+·)

(Z,+, ·) este inel comutativ care NU e corp;


Pentru A ∈Mn(K )

notam cu A∗ reciproca lui A data de

A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n

unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);

In general A · A∗ = det(A) · In;

O matrice A este inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este

A−1 =1

detA· A∗.

Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).

Pentru A ∈Mn(K ) notam cu A∗ reciproca lui A data de

A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n




A−1 =1

detA· A∗.



A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n

unde Aij = (−1)i+j∆ij ,

iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);



A−1 =1

detA· A∗.



A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n

unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1)

obtinut din A taind linia i si coloana j ;( Aij s.n. complementul algebric al aij);



A−1 =1

detA· A∗.



A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n

unde Aij = (−1)i+j∆ij , iar ∆ij este determinantul de ordin(n − 1) obtinut din A taind linia i si coloana j ;

( Aij s.n. complementul algebric al aij);



A−1 =1

detA· A∗.



A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n




A−1 =1

detA· A∗.



A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n


In general

A · A∗ = det(A) · In;


A−1 =1

detA· A∗.



A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n




A−1 =1

detA· A∗.



A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n



O matrice A este

inversabila ddaca detA 6= 0. In acest cazinversa este

A−1 =1

detA· A∗.



A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n




A−1 =1

detA· A∗.



A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n




A−1 =1

detA· A∗.

Obs: In cartile de Algebra Liniara,

autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).


A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n




A−1 =1

detA· A∗.

Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteaza

cu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:transpusa conjugatei!).


A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n




A−1 =1

detA· A∗.

Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta

( adica:transpusa conjugatei!).


A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n




A−1 =1

detA· A∗.

Obs: In cartile de Algebra Liniara, autor V. Pop; se noteazacu A∗ matricea reciproca si cu A∗ matricea adjuncta ( adica:

transpusa conjugatei!).


A∗ = [Aij ]ti=1,n,j=1,n




A−1 =1

detA· A∗.


Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;

Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.

Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.

A · X = λ · X .

In acest caz X s.n. vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.

Multimea valorilor proprii ale lui A s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .

Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK

n).

Fie (K ,+, ·) un corp comutativ si A ∈Mn(K ), n ∈ N∗;Vom lucra ın problemele de la seminar cu K = R sau K = C.


A · X = λ · X .




n).


Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K

s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.

A · X = λ · X .




n).


Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A

daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana) a.ı.

A · X = λ · X .




n).


Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0

(vector coloana) a.ı.

A · X = λ · X .




n).


Defn 6.1: Un scalar λ ∈ K s.n. valoare proprie pt. A daca∃X ∈Mn,1(K ),X 6= 0 (vector coloana)

a.ı.

A · X = λ · X .




n).



A · X = λ · X .




n).



A · X = λ · X .

In acest caz X s.n.

vector propriu pentru A, corespunzator luiλ.



n).



A · X = λ · X .

In acest caz X s.n. vector propriu pentru A,

corespunzator luiλ.



n).



A · X = λ · X .




n).



A · X = λ · X .


Multimea valorilor proprii ale lui A

s. n. spectrul matricei A,notat cu Sp(A) ⊂ K .


n).



A · X = λ · X .




n).



A · X = λ · X .



Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A,

notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK

n).



A · X = λ · X .



Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0

multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK

n).



A · X = λ · X .



Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0

(Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0; vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK

n).



A · X = λ · X .



Daca λ = λ0 este o valoare proprie pentru A, notam cu Vλ0multimea vectorilor proprii corespunzatori lui λ0 (Vλ0 s.nsubspatiul propriu corespunzator lui λ0;

vom vedea ca este unsubspatiu vectorial a lui KK

n).



A · X = λ · X .




n).

Prop: Fie λ ∈ Sp(A) si X un vector propriu corespunzator.

a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm

este valoare proprie a lui Am

si X ramane vector propriu pt. Am;

b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);

c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;

d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;

e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);

f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci

a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.

Demonstratie: ”la tabla”.


a) Pentru orice m ∈ N∗ scalarul λm este valoare proprie a lui Am







a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.




si X ramane

vector propriu pt. Am;






a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.










a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.





b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom

atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);





a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.





b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.

pt. P(A) iar X ramane vector propriu pt. P(A);





a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.





b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X

ramane vector propriu pt. P(A);





a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.





b) Daca P ∈ K [x ] este un polinom atunci P(λ) este valoare pr.pt. P(A) iar X ramane vector propriu

pt. P(A);





a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.










a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.






c) Daca A este matrice inversabila

atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;




a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.






c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0,

λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane vector propriu pt. A−1;




a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.






c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1

iar X ramane vector propriu pt. A−1;




a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.






c) Daca A este matrice inversabila atunci λ 6= 0, λ−1 estevaloare pr. pt. A−1 iar X ramane

vector propriu pt. A−1;




a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.










a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.







d) Daca B este

o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;



a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.







d) Daca B este o matrice asemenea

cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;



a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.







d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila

cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie pt. B;



a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.







d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λ

ramane valoare proprie pt. B;



a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.







d) Daca B este o matrice asemenea cu A (echivalent,∃P ∈Mn(K ) inversabila cu B = P−1 · A · P) atunci λramane valoare proprie

pt. B;



a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.










a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.








e) Daca X1,X2

sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);


a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.








e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt.

A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);


a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.








e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A)

atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);


a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.








e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K ,

vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ (daca X 6= 0);


a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.








e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr.

corespunzator lui λ (daca X 6= 0);


a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.








e) Daca X1,X2 sunt vectori pr. pt. A corespunzatori luiλ ∈ Sp(A) atunci ∀a1, a2 ∈ K , vectorul X = a1X1 + a2X2 estevector pr. corespunzator lui λ

(daca X 6= 0);


a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.










a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.









f) Daca λ1, . . . , λm

sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci

a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.









f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte

ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci

a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.









f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A

iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori, atunci

a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.









f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm

sunt vectori pr. corespunzatori, atunci

a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.









f) Daca λ1, . . . , λm sunt valori pr. distincte ale lui A iarX1, . . . ,Xm sunt vectori pr. corespunzatori,

atunci

a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.










a1X1 + . . .+ amXm = 0

⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.










a1X1 + . . .+ amXm = 0 ⇒ a1 = a2 = . . . am = 0.


Thm. de caracterizare a valorilor proprii

faravectori proprii. (!!!)

Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.


Polinomul caracteristic:

Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:

fA(x) = (−1)n det(A− xIn)

s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.

Thm. de caracterizare a valorilor proprii faravectori proprii. (!!!)

Un scalar λ ∈ K

este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca det(A− λIn) = 0.







Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )

daca si numai daca det(A− λIn) = 0.







Un scalar λ ∈ K este valoare proprie pentru matricea A ∈Mn(K )daca si numai daca

det(A− λIn) = 0.








Demonstratie:

”la tabla”.









Daca A ∈Mn(K ),

polinomul de grad n, fA ∈ K [x ] definit de:







Daca A ∈Mn(K ), polinomul de grad n,

fA ∈ K [x ] definit de:








fA(x) =

(−1)n det(A− xIn)








s.n.

polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.







s.n. polinomul caracteristic al matricei A.

Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.







s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatia

det(A− λIn) = 0 s.n. ecuatia caracteristica a matricei A.







s.n. polinomul caracteristic al matricei A. Ecuatiadet(A− λIn) = 0 s.n.

ecuatia caracteristica a matricei A.

Observatii:

In Mn(C) orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple, adica se repeta).

Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.

In Mn(R) exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”

Observatii:

In Mn(C)

orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple, adica se repeta).



Observatii:

In Mn(C) orice matrice are

n valori proprii (eventual unelemultiple, adica se repeta).



Observatii:

In Mn(C) orice matrice are n valori proprii

(eventual unelemultiple, adica se repeta).



Observatii:

In Mn(C) orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple,

adica se repeta).



Observatii:

In Mn(C) orice matrice are n valori proprii (eventual unelemultiple, adica

se repeta).



Observatii:




Observatii:


Valorile proprii ale unei matrice

sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.


Observatii:


Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K

aleecuatiei caracteristice ⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.


Observatii:


Valorile proprii ale unei matrice sunt radacinile din K aleecuatiei caracteristice

⇒ Sp(A) = {λ1, . . . , λp}, p ≤ n.


Observatii:




Observatii:



In Mn(R)

exista matrici care nu au valori proprii, de ex. ”latabla”

Observatii:




”Daca mai este timp!”Rezolvati sistemul:

x1 − x2 + 2x3 = −34x1 − 4x2 − 2x3 = 1−2x1 + 2x2 − 4x3 = 6

curs 7: vectori si valori proprii - utclujusers.utcluj.ro/~todeacos/curs7.pdf · curs 7: vectori...

Documents