~~~~~~~~~~~~~~~~~

Electroenergetica ~i electrots·hnica

OIMPUL ELEOTROlVIAGNETIO AL UNOR SPIRE PAROURSE DE OURENT ALTERNATIV TN PREZENTA

' UNOR OOJI SFERIOE OONDUOTOARE

DE

ANuREI TUGCLEA ~i ION R. CIRIC

!n Jucrare se obtine solutia exactii a regimului cvasista\ionar al cimpului electro­magnetic al unor spire circulare conductoare parcurse de curent alternativ, coaxiale

cu o coajii sfericii conductoare de grosim·: oarecarc, spirele fiind situate fie in

interiorul, fie in exteriorul acesteia. Se calculeazii coeficientul de ecranare ~i pier­derile in coaja sfericii conductoare. Se obtin solutii aproximative ~i se determina domeniile !or de valabilitate, pentru cazul cojilor subtiri in raport cu raza !or

medie.

1. IlHnODUCEHE

fn lucrare autorii studiaza cimpul electromagnetic cvasistationar al unor spire circulare parcurse de curent alternativ, situate in interiorul sau in exteriorul unei coji sferice conductoare, axele spirelor trecind prin centrul cojii. Rezultatele unui astfel de studiu pot prezenta interes pentru cercetarea ecranelor electromagnetice sferice sau de forme aproxi­mabile prin coji sferice, utilizate in telecomunicatH [1], pentru tratamen­tele termice prin curenti indu~i [2 ], pentru suspensiile prin levitatie electro­magnetica ale unor corpuri sferice in forma de coaja sferica [3], utili­zate de exemplu ca giroscoape in navigatia inertiala sau ca balante fara reazem corporal.

1n literatura problema a fost rezolvata presupunind fie cimpul magnetic inductor uniform [1], fie ecranul suficient de subtire in raport cu raza sa [4].

Autorii au reu~it sa stabileasca o solutie absolut generala, care, pe de o parte, poate degenera prin particularizari in solutiile cunoscute pina in prezent, iar pe de alta parte, poate ft aplicata ~i in cazurile in care solutiile cunoscute pina in prezent nu se potrivesc.

St cerc. energ. electr., Tom. 18, Nr. 2, p. 355-379, 1968

356 A. TUGULEA ei I,R. CIRIC 2

Fie, prin urmare, o ccaja sferica conductoare, de raza interioara a §i raza extericara b, situata in cirnpul magnetic al unor spire circulare conductoare filiforme, parcuue de curEnti alternativi de aceea§i frecventa, axele spirelor trecind prin centml cojii. Pozitia uneia din spirele conduc­toare este data prin coordonatele sferice r = rs §i e = e. ale punctelor acesteia.

lVIaterialul ecranului se presupune liniar §i omogen, cu conductivi­tatea a §i permeabilitatea µ constante §i independente de marimile cimpu­lui. Mediile din cavitatea interioara a cojii §i din exteriorul cojii sint neconductoare (a = 0) §i nemagnetice de permeabilitate practic egala cu permeabilitatea vidului, µ0 • In aceasta situatie se poate utiliza super­pozitia efectelor, considerind cimpul electromagnetic rezultant drept su­prapunerea cimpurilor electromagnetice pe care le-ar produce in prezenta cojii fiecare dintre spirele conductoare, daca ar exista singura in aceea§i pozitie relativa fata de coaja §i fiind parcursa de acela$i curent.

In felul acesta, problema se reduce la studiul cimpului electromag­netic conditionat de o singura spira parcursa de curent alternativ in doua situatii distincte : a§ezata in interiorul cojii §i a§ezata in exteriorul ei. Pent1u rezolvarea problemei se tine seama ca, la frecventele care inte­reseaza, regimul cimpului electromagnetic este cvasistationar atit in_ conductoare, cit §i in afara lor. De asemenea, se tine seama de simetria axiala a sistemului spira-coajii.

2. CIMPUL El,ECTRO:\L\G:XETIC AL UNEI SPIRE SITUATE iN INTERIORUL COJII

Sistemul axelor de coordonate se poate alege ca in figura 1, unde r, 8 §i qi sint coordonatele sferice ale unui punct curent, r., = r"' < a §i es = e"' sint coordonatele sferice corespunzatoare punctelor spirei circu­lare parcursa de curentul sinusoidal ii'-') = V2 Jl'-'1 sin wt. (Indicele rx se refera la rnrentii §i cimpurile conductoarelor situate in interiorul cojii). '.J'inind seama ca intereseaza regimul armonic permanent, se vor utiliza reprezentiirile in complex ale miirimilor electromagnetice.

In conditiile problemei formulate, potentialul magnetic vector ~l'-'l· va avea o singura componenta l!i;1 dirijata tangential in sensul de curgere. a curentului (se considera cazul uzual, cind se alege div A= 0) ~i nu va depinde de coordonata qi,

A 1"'l (r, 8) = u"' · A 1"'1 (r, 8)~ (1}

unde u 9 e versorul tangential, orientat in sensul de cre1;tere al coor­donatei qi.

Deoarece coaja sferica delimiteaza tni domenii distincte, cavitatea interioara (r <a), interiorul cojii (a-<. r-<. b) $i exteriorul acesteia (r :> b), este necesar sa, se rezolve ecuatiile cimpului pentru fiecare din aceste domenii. Fie A\"'' (r, 8) potentialul vector in cavitatea interioara a COJn, A1" 1 (r, 8) potentialul vector in masa cojii 8ferice $i A~'' (r, 8) potentialul vector in exteriorul cojii.

3 ctMPl'L ELECTRO~IAONETIC TN C'OA.L\ RFERICA 357

Aceste marimi vor satisface ecuatiile

(r <a), (2)

cu exceptia punctelor in care se gase~te spira parcursa de curent, unde va aparea o singularitate specifica conductoarclor filiforme in forma de spira circulara parcurse de curent ;

(3)

in masa ecranului, unde (J) c ;:te pulsatia curentului alternativ, iar j = V-l ; il4;"1 = 0 (r > b), (4)

in exteriorul ecranului. Solutiile ecuatiilor (2),

(3) ~i (4), obtinute pentru fiecare domeniu in parte, vor contine constante de integrare, care se vor determina din conditiile de trece1e, cum ~i din conditiile de C') rnportare a so­lutiei in centnu rojii Rferice ~i la infinit.

Ecuatiile satisf:':rute de componentele sralare corespun· zatoare ale potentialului vector sc obtin din (2), (3) ~i (4), tinin­du-se seama de expresiile com­ponentelor laplacianului unei functiuni vectorialc in coordo­nate sferice :

M(r,B,<f)

Fig. 1. --- All'gerca coordonal«lor pentru cazul spi-­rei situalc in inlcriorul cojii sfprice.

[ilA (r, 8)1,, l !!_(r2 ~4'P) + __!_ _!!___ [-

1 !!_(sin fl A l ·

1'2 iJ r or , r2 () 8 Rin 0 () 8 9 (5}

2. t. Se1lutia 111·oblemei in domeniul "avitatii interioare a cojii (r ~a)

Tinind seama de singularitatea potentialului vector A\"1 in punctele 1n care e situata spira conductoare filiforma parcursa de curent (r = r" < a, 0 =' 6cJ, este natural sa se caute solutia sub forma

(6)

nnde 4?'' satisface ecuatia (2) fara restrictii, iar A\"'111 are expresia [5]:

µ I (<XI

Al"1"= o_ •> ....

(7)-r"

- ~--

r~t-1

358 A. TUGULEA el I. R. CIRIC 4

care satisface ecuatia (2), cu exceptia punctelor in care r = ra ~i e = ea, i,i in carer <i r> sint cea mai mica, respectiv cea mai mare dintre mari­mile r §i r a, iar P~ este functiunea lui Legendre asociata de speta intiia §i de indici n §i 1 ( n intreg).

Relatia (7) reprezinta a§adar condensarea a doua expresii, dupa cum r a > r §i invers.

'l'inind seama de expresia (5), Ar;"l' va satisface deci ecuatia

1 o ( 2 0Art1' ) 1 d [ 1 o ( . 6 (<x)')l _ 0 -;:;-- or r ar- +-;:;-- oe sinEl 06 sm Ai J - ' (8)

care se poate integra prin metoda sEpararii variabilelor, obtinindu-se solutia generala

00

A l<x)I ~ c(<x) rn pl (cosCI) i = " n v' - -

(9) n=l

in care s-a tinut seama de faptul ca solutia este finita in centrul COJII,

i;;i de faptul ca solutia este marginita pe axa spirei circulare purtatoare de curent, conditie din care rezulta §i ca n este numar intreg.

Solutia generala rezultanta va fi deci

n Jra1 . oo 1 r~ Al">= <:iL-

2-- r smEl. b --- -- P~(cosEla) P~(cosEl) +

a ~ n=l n(n + 1) ri;,+ 1

00

+ ~ Q~a> rn P~ (cosEl), (10) n=l

in care constantele Q~~> urmeaza a fi determinate din conditiile de trecere.

2.2. Solutia problemei in domenlul exterior cojii (r:?-b)

4~"') va satisface ecuatia de forma (8), a carei integrare prin me­toda separarii variabilelor conduce la solutia generala

00

A(CX) - "("' n(cx) r- (n+l) P 1 (cos El) _e - LJ _n n '

n=l

(11)

in care s-a tinut seama de conditiile de marginire ale solutiei la infinit §i pe axa spirei circulare. n este un numar intreg, iar !2~"> sint constante de integrare ce urmeaza a fi determinate.

2.3. Solutia problemei in insa~i coaja sierka (a <:r ~b)

1n interiorul cojii este satisfacuta ecuatia (3), care se mai tran-scrie, tinind seama de expresia ( 5), in felul urmator :

1 _!_ (r2 a4ra> ) 1 o [ 1 o . Ar"'>)]- y2 A(cx> = o, (12) +- - ---(smEl r2 or or r2 06 sin El 0 El

5 C!MPUL ELECTROMAGNETIC !N CQAJA SFERICA 359

unde s-a notat

y = Viwµ.cr = V w~cr (1 + j) = ex (1 + j) = ~ ( 1 + j), (13)

In care a este adincimea echivalenta de patrundere a cimpului electro­magnetic in mediul conductor.

Utilizind metoda separarii variabileler ~i reducind, printr-o schim­bare de functiune simpla, ecuatia radiala la o ecuatie Bessel modificata, se obtine in definitiv solutia generala

"" A<ct> =r- i L [L~"> In+ i (yr)+ M~ct> Kn+! (yr)] P! (cosS), (14) n=l

In care s-a tinu~ seama de condifiile de marginire ale solutiei pentru e = O ~i e = 7t. In aceasta solutie n este un numar intreg, iar In+ i (yr)

i:;i Kn+ i (yr) sint functii Bessel modificate de prima ~i a doua speta,

de ordinul n + ~ ~i de argumentul complex (yr). ""

2.4. Determinarea constantelor de integrare

Oonstantele de integrare Q_~rx>, n;~>, fl_~"-> ~i 111-~"-> se determina numai din conditiile de trecere la suprafetele de discontinuitate, care mar­ginesc coaja sferica conductoare, deoarece de conditiile din origine ~i de la infinit s-a tinut deja seama . .Aceste conditii exprima conservarea componentei tangentiale a intensitatii cimpului electric ~i conservarea componentei tangentiale a intensitatii cimpului magnetic.

fn cele ce urmeaza vom presupune ca materialul ecranului este ne­magnetic, µ. = µ. 0 • fn aceasta situatie, conditiile de trecere se exprima astfel :

A1"-> (a S) = A1ct> (a S) l -· ' - ' ' (o4\"> ) = (041ct> -) ,

or r=a or r a

pentru suprafaya interioara a cojii (r = a) ~i

A1"-> (b, S) = :4.~ct> (b, S)

(!0A1ct> ) '"""' (oA~ct>) ,

or r=b or 'r=b

pentru suprafata exterioara a cojii (r = b).

(15}

(16)

rinind seama de expresiile (10), (11) ~i (14) ~i introducindu-le in relatiile (15) ~i (16), se obtin urmatoarele ecuafii care determina constan­tele de integrare :

ll - c. 5189

360 A. TUGULEA ei I. R. CIRIC 6

sine" 1 (~)n+l P 1 (cose ) + c(a) an = n(n+l) a n " -"

1 =- - a-•1, [L("l I (va) + M<"l K (va)] +

2 _n n+l I _n n+l 1

+ya- l [L~") I~+ l (ya)+ M~") K~+ 1 (ya],

respectiv

b- l [L ~C<) I (vb) + M(C<) K (vb)] = D~") b-<n+l) _ n+ l I _n n + l I ---· 1

- _!_ b -•i, [L'") I ( b) M<"l K ( b)] + 2 ___ n n+ l .Y + -" . n+ l Y

+ yb-1'· [L~") I~+l (yb) + M<:l K~+l (yb)] =

(15')

J

(16')

Rezolvind aceste ecuatii in raport cu constantele necunoscute, se ob~ine:

1 sine"

n(n +1)

2n +l } + yati,. ClnH (ya) Kn- l (yb) + Kn+i (ya) I,._ 1 (yb)] ,

I<") D~") = - b• µo_ - 2

L("-)_ -µol_<"-l

-" - 2

M<"l- -µoI<a.)

sine" 2n + 1 (r" )n+l p~ (cos 8")' y2 (ab)l !1 11 n(n + 1) a

sine"- 2n + 1 C"-r+l p~ (cosea) Kn-+(yb), yal ti. n(n + 1) a

sin8a. 2n + 1 I _n -

2 ya! tin n(n + 1) (r r+l ; P:,(cos8") n- l (yb),

in care

(17)

!1.- = In+_!_ (ya) K,._ (yb) - Kn+ ~(ya) I11

_ l (yb). (18).. 2

7 CfMPrL ELECTROMAGNETIC' TN COAJA SFERIC'A 36t

La stabilirrn expresiilor (17) pentru constantele de integrare, s-a. tinut seama de fcrmulele de recurenta ale functiilor Bessel ~i de conse­cintele lor [6] :

z I~ (z) ± p Iv (z) = z lp+i (z),

z K~ (z) ±P KP(z) = -z Kv=t1(z), 1

IP (z) KP_i(z) + J[ P (z) I P--dz) = - , z

vala bile pentru orice ordin p ~i argument z.

(19)

Cu expresiile (17) ~i (18) solutia generala pentru potentialul vector-1n masa cojii sferice conductoare rezulta :

Al"> (r S) = _ µ0I_1"> sine" ~ 2n + 1 (r")n~ 1

- ' 2 ya1l2 r'l 2 n 1 n (n+l) a

In+•1,("(r) ·Kn-•12 (yb)fKn+•; 2(yr) I_n- 11,(y_lj P'( 0 ) P'( ll) \l( n COS v"' 11 COS v • (20}

ln+'lz (ya) Kn _1;,(yb)-Kn+'f,(ya) I n-•1z(yb)

'.J'inind seama de dezvoltarile asimptotice ale functiunilor Bessel modificate, pentru valori mari ale argumentelor [6], se obtine pentru aceasta situatie solutia

sin e,, c::_hy (<l_-x) ~ _211+1 (~"-J 11 + 1 ')( y (a+x) sh yd n-~1 n (n+l) ..,

)< p~ (COS flex) p~ ( COR 8), (21}

unde s-a notat r = a + x ~i d = b-a. Aceasta expresie este mai comoda !n aplicatii, deoarece nu mai

contine functii cilindrice, iar functiile hiperbolice de argument complex se ex­prima cu ajutorul functiilor hiperbolice ~i trigonometrice de argument real, care sint tabelate pentru o gama extrem de arga de valori.

3. Cll\lPUL Ef,ECTROl\IAG:VETJC AL UNEJ SPlHE SITUATE iN EXTERIOHUL COJII

Consideram o spira circulara con -ductoare a~ezata in afara cojii, ea in figura 2, unde r, = rf3 > b ~i e, = ef3 sint coordonatele sferice corespunzatoare punctelor spirei parcurse de curentul si­nusoidal i 1f3> = V2 Jlf3> sin wt. (Indicele ~ se refera la curentii ~i cimpurile conduc­toarelor situate in exteriorul cojii). Utili­zind, ca~~i in cazul problemei precedente,

Mfr, 0, <p)

Fig. 2. - A <'gl'rt'a coordonatdor pentnr cazul spirei1 situate in exlc1imul 10jiii

sferice.

362 A. TUGULEA el I. R. CIRIC 8

reprezentarile in complex ale marimilor armonice, trebuie rezolvate ur­matoarele ecuatii pentru potentialul vector 4H3

> (r, 6) = Uqi • A'll' (r, 0) : L\.,4~f3l = 0 (r <.a), (22)

fara nici un fel de restrictii ; L\.A(f3l - jwµcr:d 1f3'=0 (a<.r<.b), (23)

in masa cojii ; L\.4~1ll = 0 (r ::.> b ), (24)

cu exceptia punctelor in care se gase~te spira parcursa de curent, unde potenfialul vector va avea iara§i o singularitate.

3.1. Sulutia problemel in domeniul cavltii!li interloare a coajei (r <:a)

1.Ttilizind expresia ( 5 ), tinind seama ca solutia e finita in origine §i in 0 = o, 0 = 7t, se obtine prin metoda separarii variabilelor

00

A\fll = ~ C1f3' rn P 1 (cos 6) _, ~-n n ' (25) n-1

unde constantele C:f' urmeaza a fi determinate din conditiile de trecere.

3.2. Solu\ia problemei in domeniul exterior eojli (r>bJ

'finind seama de singularitatea amintita mai sus, precum §i de con­ditiile de marginire ale solutiei la infinit §i pe axa spirei, ~i procedind la fel ca in cazul spirei conductoare situate in interiorul cojii, se obtine :

µ J(f3l oo 1 r~ i ' A<lll = __().::::._ rf3sin Or> ~ ~- P (cos 6f3 P~(cos 6) + _e 2 n-1 n (n+l) rr;,+ 1 n '

00 + ~ D(fll r-(n+ll P 1 (cos 0) LJ ~n n ' (26) n-1

in care r < §i r> sint cea mai mica §i, respectiv, cea mai mare dintre ma­rimile r §i rfl •

3.3. Eolutia problemei iii inUi~i coaja sferica (a<:r,:;;:b)

Solutia ecuatiei in masa cojii este aceea~i ca §i in problema pre­ccdenta, adica

A<f3l = r-! ~J~;f' In :-1 (yr)+ MU°' Kn+t(yr)] P~(cos 0). (27)

3.4. Determinarea eonstantelor de lntt>grare

Constantele de integrare se determina din conditiile de trecere (15) i;;i (16) i;ii rezulta drept solutii ale urmatoarelor ecuatu :

Q</!1 an= a-![l~(~I ln+t('ra) + i't((~l Kn+J(ya)];

n C,?1 an-I= - ~ a-- 3/' I L~f' l,,+t (ya)+ M(,~) Kn+'(ya)] +

- 2 I - - .- (26)

-l-va-ttD~ 1 1' •('ra)-LJl[(fll K'+• (va)]· • 1 _ n n+ 2 1 ___ n n 1'" 1 '

ClMPUL ELECTROMAGNETIC !N COAJA SFERICA

b-'1 2 L_V(> L+! (yb) + _M\[3> Kn+ i. (yb) = __cl_::_ sin 60---r ] µ ]If>> 1 (rb,, )n X - - ~ 2 "n(n+l)

- ~ b- 11·[~',p> In+z (yb) + M;f> Kn+! (yb)]+ yb-' 12 r~1,~ I ,_ ! (yb) +

+ M:f> K~+t (yb) P~(cos er>) -] = µ0[if>I Sin 6[3 __ 1_ (-b )n-1

2 rr> n +1 rr>

_ (n + 1) !!_:fl b- 1n+21.

Solutionind acest sistem de patru ecuatii cu patru necunoscute ~i tinind seama de formulele (19), rezulta urmatoarele expresii ale constan­telor de integrare :

CV(> = - a- i11c1i fL0£101 sin 6~ 2n+l - 2 y 2 (ab)' 12 6.11 n (n+l)

.Q'.fl = - b"+l fLo£1[3) sin er> (!)n p~ (cos er>) J1 + 2 n(n+l) r13 l

(29)

I

+ 2~b ~nl[ Inq ( yb) Kn+'! (ya)+ Kn+} ( yb) In+'!, (ya )l}'

D 13 > = - [Lopr>i si!1~13- 2n + 1 (}!_ )" P~( cos 613

) Kn+•1,(ya),

_n 2 yb'l2 6., n(n+l) r 13 \

µ Jlfl> sin e 2n + 1 ( b ·" ( ) ( ) j }l!fif1 = - ~ , [3 · -J P~ COS 613 ln+•/ 2 ya ' 2 yb 126,n n(n+l) r13

in care 6.n are aceea~i expresie (18). Solutia generala pentru potentialul vector in masa cojii sferice

este:

~ 2n + 1 (r~,)" >( n~1 n(n+l) .,

l,,_._, 12 (yr) Kn+•i, (ya)+ Kn+'!, (yr) ln+•1, (ya) pi( e) pi( e) ')( n COS 13 n COS

In+•/, (ya) Kn-'/, (yb) - Kn+•/, (ya) In-} (yb) (30)

Pentru valori mari ale argumentelor se obtine urmatoarea solutie asimptotica

sin er> chy x ~ 2n + 1 ( b ), n ( ) ( ) .LJ ro p~ cos e~ p~ cos e '(31)

y(a+x) shyd n~1n(n+l) .,

cu nota'(iiile r = a+x i;;i d = b-a.

364 A. TUGULEA $i K CIRIC 10

3.5. Cazuri particulare

a) in cazul unei sfere pline (a = 0) aflata in prezenta spirei circulare <lonductoare parcurse de curent, se obtin solutiile cunoscute [7]:

A = µ01.( 131 sin 913 2 yb'lz r'l2

I 2n + 1 (_!!_)" In+'/2 (yr) p~(cos fl13) p~(cos e)' n~l n(n +1) r13 l,,_! (yb)

In+11,(yb) _ l]:x 1,, _11, (yb)

(32)

(33)

b) in cazul particular cind punctele conductorului in forma de spira circulara sint foarte departate de coaja sferica (r13 ~ b ), retinind numai primii termeni ai dezvoltarilor, se obtine solutia pentru o coaja .sferica situata in cimp magnetic alternativ omogen.

Potentialul vector in masa ecranului este :

A = - - B - - sin 9, (34) 3 1 (b)1

/2 I. a12 (yr) K,i, (ya) Ka1, (yr) Is1, (ya)

_, 2 - y r l s1, (ya) K112 (yb) - Ks1, (ya) !112 (yb)

Jlf31 unde B = fLo_

- " sin2 913 este cimpul exterior in care se afla coaja sfe-

... r13

Tica, presupus omogen in toate punctele acestuia. Potentialul vector in cavitatea interioara a cojii este in acest caz :

A = _ ~B _l_ (!!_). •1, rsin 9, -• 2 - y2ab a ~1

(35)

1 n care

(18')

Oimpul in cavitatea interioara a cojii sferice se obtine :

B·=-3B - , ( b )'

12 1

'-' - a y2 ab ~1 (36)

t'}i are aceea~i orientare ca ~i cimpul exterior B. Ooeficientul de ecranare va fi :

(37)

11 ctMPUL ELECTROMAGNETIC lN COAJA SFERICA 365

4. clMPUL ELECTROlIAGNETIC REZULTANT IN CAZUL A N 1 SPIRE SITUATE IN INTERIOHUL COJII ~I N, SPIIlE SITUATE IN EXTERIORUL COJll

Presupunem ca avem N, spire circulare conductoare parcurse de curenti alternativi, situate in cavitatea interioara a cojii, §i Ne spire circulare conductoare parcurse de curenti alternativi, situate in exteriorul cojii, toate spirele considerate avind aceea§i axa care trece prin centrul cojii sferice. Facem ipoteza ca toti curentii au aceea§i frecventa, valorile lor efective putind fi oarecare. Sistemul de axe de coordonate se alege astfel 1ncit axa Oz sa coincida cu axa comuna a spirelor, iar originea 0 sa coin­cida cu centrul cojii conductoare. Fie r" §i e" coordonatele sferice ale tuturor punctelor unei spire din interiorul cavitatii cojii §i rB ~i Elr> coor­donatele sferice ale tuturor punctelor unei spire situate in exteriorul cojii conductoare.

Pentru a obtine solutia generala in ipoteza ca intensitatile curentilor sint impuse din exterior, putem aplica superpozitia solutiilor particulare obtinute in paragrafele precedente. Efectuind adunarea solutiilor partiale, rezulta:

Adr,8) = !:_() b ]'"' r"sin 8 b __ r'!:_ P,\ cos8" P,1 cos El + N; oo 1 ( ) ( ) - 2 Cl=l - CX 'n=l n(n+l) r~Ti

+ "~11~1 Q~°' 1 rn P~(cose) + r>~1 ,~ 1 Q,p 1 rn Pf,(cose), (38)

in care r < §i r> sint cea mai mica §i, respectiv, cea mai mare dintre ma­rimile r §i r" ;

A(r, 0) =r--'12 "t1 ,~JL;~> In+112 (yr) +1tI;~> Kn+''2(rr)J P~(cose) +

+ r-'12 r>~1 ,~JJ!_1,~ 1 In+'12 (yr) +M~1 Kn+'r.(rr)J P~(cose) (39)

Ni oo

,4, (r, 6) = b b D~"> <X=l n"---1

r-ln+l) p;, (cos e) + ~() ~ r.al>rr> sin 0r>J< 2 [>=l

p~ (cos e) + %1 ~l !_!!/(> r-ln+l)

in care r < §i r> sint cea mai mica §i, respectiv, cea mai mare dintre mari­mile ,~ §i rr>.

In aceste relatii constantele Q;~>, _Q;f», [).~">, 1!_ 1~>, !!_~"->, !!_;f1, 11!~"-> §i MW> au valorile care r~zulta din expresiile (17), (18) §i (29).

Observafie : In situatia in care avem in sistemul considerat de spire circulare conductoare, parcurse de curenti alternativi, anumite spire cu axele necoincidente cu axele celorlalte spire, dar care tree prin centrul cojii sferice condnctoare, se poate aplica iara§i superpozitia solutiilor

366 A. TUGULEA ei I. R. CIRIC 12

particulare ob~inute pentru fiecare spin\ parcursa de cureFtt alternativ in prezen~a cojii iR parte §i efectuind de fiecare data rota~ia corespun­zatoare a sistemului de axe de coordonate, ~inind seama de unghiul facut de axa fiecarei spire cu axa Oz.

Cunoscind poten~ialul vector rezultant, se pot determina cimpurile i;;i anume : cimpul magnetic in ca vita tea interioarii a cojii conductoare, in insa§i coaja conductoare §i in exteriorul cojii conductoare, precum i;;i cimpul electric in insi'i§i coaja conductoare. Rezulta :

i;;i analog,

respectiv

H. =~rot A.=~ rot(u'° A·)~-= -'t _i T _?,

[Lo [Lo

= - --.- u'I' x grad r sinEl 4; , 1 1 [ 'j µ0 r sm El

H = - 2- -~- u'I' x grad [r sin El A l · µ0 r sm El

He= - ~ -~- u'I' X grad [r sin El Ae]• µ0 r sm El

(41)

(42)

(43)

Intensitatea cimpului electric in insi'i§i coaja sferica conductoare va fi:

!!2 = - j W 4 = - U'I' j W 4. (44)

Cimpul electric in cavitatea interioarii a cojii §i in cxteriorul ei nu e complet determinat de potentialul electrodinamic vector. Pentru deter· minarea sa completa este necesar sa se adauge ~i o componenta provenind dintr-un poten~ial electrodinamic scalar. Cum aceasta componenta nu prezinta interes pentru calculul for~elor §i pierderilor, in cele ce urmeaza nu o vom mai lua in consideratie.

5. CALCULUL PI,ERDERILOR ACTIVE JN COAJA CONDUCTOARE

Pierderile active se calculeaza in mod obi§nuit cu ajutorul fluxului vectorului Poynting prin suprafata laterala a coajei conductoare [8].

1n acest scop este util sa se calculeze componenta radiala a vecto­rului Poynting, singura care intervine in calculul fluxului de energie.

'f'inind seama de exprimarea cimpurilor !')_ i;;i !!. din coaja conduc­toare functie de potentialul vector (42), (44), vom exprima jji vectorul Poynting in functie de 4. Rezulta :

fir= U,·§. = u, [ !!2XH*1 =U1 {jw,4 Ucp x[u'I' X grad (rsin 0

1 - . (,) 4 a ( A*) - . (,) [4 A* +A a A* J X-- --J- - - r --J- -- -- · r sin El [Lo r or - [Lo r -- ar

(45)

<'TMPUL ELEfTHOMAGNETIC IN COA.JA SFERICA 36T

Pierderile active in coa.ja sferica corniuctoare vor fi

P = lk>e I ~:7t ~: §.(a, e) a2 sine i cpd e - ~:7t ~: 8, ( b, e) b2 sine d cpd e j , ( 46 )·

sau, tinind seama de rela tia ( 45 ),

P=21tlk>ef\j~lb2\n(4 a~*) sin8d8-a2 \n(A &A.*) sin 8deJ~·(47} [.l.o .o 01 r~b •. o ar r~a _}

Integralele se efectueaza asupra unor produse de serii in P:,( cos 8)r conducind la serii de convergenta sporita.

6. CALCUJ,UL FOR'fEl,OR El.ECTRODINAl\UCE

Pentru calculul fortelor electrodinamice se utilizeaza formula lui Laplace

AF = i 1.l x Berl ' ( 48)

unde Ai este un vector care are modulul egal cu lungimea elementului de conductor ~i care este orientat in sensul curent.ului, iar B_,,1 este inductia magnetica produsa de toate sursele cimpului in afara de curentul din conductorul asupra caruia se exercita forta.

Daca intereseaza valoarea instantanee a fortei, trebuie calculata valoarea instantanee a cimpului, operatie in principiu simpla, deoarece se cunoa~te expresia reprezentarii in complex a acestui cimp.

A vind reprezentarile in complex ale cimpurilor, se poate calcula direct valoarea medie (pe o perioada) a fortei :

1 CT [ AFmed = ..:___' AF dt = fk>e I* T.o

Al X Ile.ct]· ( 49}

Forta medie pe unitatea de lungime a spirei va fi :

I AFmeu /7) [r* R ] med= - til ___ ='Ki _ Ucp X _ext. =

== -~ fk>e{I* grad f rsin 0 (A- - A-.)1 l \ • rsm 0 ( r~r. - a~o8

(50)

unde 4 este potentialul vector rezultant, din care se scade 4. poten­tialul vector propriu al cimpului produs de curentul din spira conductoare considerata (de forma (7)), expresia trebuind sa fie luata in punctele spirei considerate.

Se observa [9], ca prezentarea solutiei sub forma in care contri­butia la potentialul vector a fiecarui curent din spirele conductoare fili­forme a fost separata inca de la inceput, e deosebit de utila pentru calculul fortelor. Calculul fortelor asupra cojii conductoare se face aplicind prin-

A. TUGULEA ~i I. R. CIRIC 14

cipiul acfiunii ~i reacfiunii ~i tinind seama ca coaja conductoare impreuna cu conductoarele filiforme formeaza in regim cvasistafionar un sistem mecanic izolat.

Utilizarea solutiilor generale obfinute este destul de dificila daca nu se face programarea unor calculatoare in acest scop, deoarece in coefi­cienfii seriilor intervin funcfiuni Bessel modificate de diferite ordine §i argumente.

Avind in vedere ca in instalatiile in care intervin, de obicei con­ductoarele masive sferice fie sint relativ subtiri in raport cu raza lor, fie sint patrunse pe o adincime relativ mica in raport cu raza lor de catre cimpul electromagnetic exterior, se impun aproximafii care sa tina seama de aceasta. Aproximatiile se pot face fie direct in solutia generala obtinuta, utilizind dezvoltarile asimptotice pentru argumente mari ale functiunilor Bessel modificate, fie in ernatiile care trebuie integrate.

7. APROXIMAREA SOLUpILOH iN CAZ(;L COJILOR CO:\'Dl'CTO\HE DE GHOSL\IE COl\IPARADII.A Cl; ADiNCUIEA DE PATRUXDEHE

Presupunem ca grosimea cojii d = b-a este comparabila cu adin­

cimea de patrundere a = _!__ a cimpului electromagnetic in coaja, dar Ct

este mica in raport cu razele a sau b ale cojii (_:'- ~ 1, ~ ~ 1). , a b

In aceasta situatie, in ecuatia diferentiala a potentialului vector 4 in insil.~i coaja conductoare,

024 + 2 °4 + 2- a [-1- _!!_(sin e 4)]-y24 = o (51)

iJr2 r ar r 2 ae sine ae

.se poate dezvolta 2_ in jurul razei medii r0 = ~j-~-, obtinindu-se r 2

_!_ = 2_ - -2__ 2_ ( ~r) + ~ ( ~r)2 - ... """' 2_' r r0 1 ! r~ 2 ! r~ r0

daca se neglijeaza infinifii mici superiori observind ca

~r < d §i ca d ~ 1.

Astfel se obtine ecuatia

024"- + ~ 0 4 + 2- _!!_ [---!:.__ _!!_(sin e A)]--y2A=O (52)

ar2 r 0 ar r5 a e sine a 8 - - '

.a carei solutie obtinuta prin metoda separarii varia bilelor este ao r

4- (r, 8) = ~ e- r~ [J!,, ch A" r + lY!.n sh A,,r] P~ (cos 8), (53) f) -- !

15 CIMPUL ELECTRm!AUNETW !N COAJ.\ SFERICA 369

in care

SolutHle in cavitatea interioara a cojii conductoare ~i in exteriorul ei ramin acelea~i ca ~i in solutia exacta a problemei, iar determinarea constantelor de integrare se face pe baza acelora~i conditii de trecere.

In h;icrare nu vom utiliza aceasta aproximatie, deoarece, a~a cum s-a aratat mai sus, pentru argumente mari, solutiile de aproximatie se obtin direct din solutia generala utilizind dezvoltarile asimptotice ale functiunilor Bessel modificate.

8. APilOXBIAHR\ SOl,UTflLOH IN l:AZUL CO.Jil,OH CONDUCTOAHE l'OAHTE

SC.:BTJIU BAH DE CO~DUCTl\'ITATE PI~ITA 15]

0 aproximatie care simplifica mult solutia, fara a se indeparta mult de realitate, se obtine considerind coaja conductoare infinit subtire, avind o conquctivitate superficiala finita as = a d, unde d este grosimea cojii. In acest caz coaja sferica va constitui o pinza de curenti indu~i.

Densitatea pinzei de curent, datorita simetriei axiale a problemei, nu depinde decit de unghiul El ~i poate fi dezvoltata in serie de functiuni Legendre asociate de prima speta :

00

:ls (El) = ~ (J,n P}, (COS El). (54) n=l

Potentialul vector produs intr-un punct oarecare de aceasta distri­butie de curenti este

4 I = J:Q_ r6 ('"' is ( El J) sin El J de J [ t · ---~--2 J0 n~1 n (n + 1)

x.P;, (cos 6J) P]-,(cos El)], (55)

d a+b b . , . . v un e r 0 =--;:::::::;a;:::::::; , iar r<, r" s1nt cea ma1 mica, 2

respectiv cea

mai mare dintre marimile r ~i r 0 •

Rezulta urmatoarele expresii ale potentialului vector conditionat de curentH indu~i :

4~ = [10 r 0 "~1 2n~l ( ;0 r g_,. P;, (cos 6),

pentru r < r 0 , ~i

g,,. P~(cos El),

pentru r > r 0 •

( 56)

( 57)

A. TUGULEA ~i I. R. CIRIC 16

Daca, pentru simplicitate, presupunem ca in interiorul cavitafii cojii conductoare se afla o singura spira parcursa de curentul !}"') §i camc­terizata prin coordonatele r"' §i 0"' §i, respectiv, in exteriorul cojii se afla de asemenea o singura spira parcursa de curentul J/>ll, coaxiala cu prima §i caracterizata prin coordonatele r 13 §i 013, potentialul vector rezul­tant in interiorul cavitatii cojii conductoare §i in exteriorul acesteia se obtine prin superpozitie.

·· Astfel, pentru cimpul interior rezulta :

i;;i

unde

µ. j(<X) 00 1 A("-) = _1!....::..__ r sin 0"' I; ------ 2 <X n~l n (n + 1)

~ P~ (cos 0,J P~ (cos 0), rn-i-1

>

(58)

(59)

(60)

in care r <r>, sint cea mai mica, respectiv cea mai mare dintre marimile r §i r"-, §i

µ. ](13) A(l3l = ~r13 sin 0'3

2

00 1 ~----n~1n(n+l)

r" < P;, (cos 013 ) P~ (cos O), (61)

in care >«c, r> sint cea mai mica, respectiv cea mai mare dintre marimile r §i rf3.

Observam ca pe conturul r = r0 , 4; = 4., deoarece 4; = 4;, =A'. Pentru determinarea constantelor necunoscute an din dezvoltarea

(54), se aplica legea inductiei electromagnetice combinafa cu legea conduc­tiei electrice in punctele cojii sferice conductoare :

as~ = -!_s unde 12 = - j cu 4 sau, explicitind, rezulta

-- j CU (JS [4' + 4(<X) + 41131 ]r~r0 = JS. (62}

Introducind dezvoltarile in serie ale potentialelor §i densitatii de curent, rezulta ecuatia :

µ. Ji"-1 °' 1 P~(cose)+ 0 -··-sin0,, 'E --->I

2 n~1 n (n + l)

x( rr"'0

)n+i P~(cos 0,J P~(cos 0) + ~012-''3l sin0'3 'E---1-- l. rr: )n l( n~1n(n+l) .,

xP~ (cos 013 ) P~ (cos 0)1 = ~1 ~" P~ (cos 0). (63)

17 C'!MPUL ELECTROMAGNETIC !N C'OA.TA SFER!CA 371

Identificind coeficientii funcWlor Legendre asociate de acela§i ordin, se obtine

-2jn7:o;·l) [ I1"> sine" ( ~: r+i P~ (cos e") + [1r> sin eri ( ~: r K

x P1 (cos e )] = a. [1 + j Ci) µo cr, ro]' " ri -" 2n + 1

(64)

de unde rezulta

in care

y2 = j w µo cr.

Convergenta seriilor in care intervin ace~ti coeficienti este asigurata

de factorii subunitari ( ~: r+l ~i ( ~: r de la numarator, care descresc re­

pede. Pentru .cazul mai general a N, spire in interiorul cavitatii COJU

conductoare §i N, spire in exteriorul ei, toate spirele fiind coaxiale, prin superpozitie se obtine :

__ Y_2

_d __ [ ~ Ji"1sine (r~0")n+1

P; (cose")+ n~_'1r1 ri 1 sin8ri ( ~r:)n P~(cos 8ri)J 2n(n+l) _ri~1- " " .,

~n=-------------

ll + Y2 d!.!!_] ( 66)

2n + 1

Cunoa§terea acestor constante determina complet potentialul vector, atit in interiorul, cit §i in exteriorul cojii conductoare. Cu ajutorul po­ten~ialului vector se poate determina peste tot cimpul magnetic ~i inten­sitatea cimpului electric in coaja conductoare.

Fortele se calculeaza a§a cum s-a aratat la paragraful 6. !n ceea ce prive§te calculul pierderilor din coaja sferica conductoare,

.acestea se pot evalua direct, calculind efectul Joule :

P = ~:"' r p, J; r5sin 0 dq:i d0 = 2n-r5 '~ Ps .f_, .;£: sin0 d0 =

[

00 2n (n + 1) = 2 7tr5 p, .. ~1 2n + 1 (67)

372 A. TUGULEA gi I. R. CIRIC 18

1 p unde g,n ~Lu expresia (66), iar Ps = -;;:- = d reprezinta rezistivitatea su-

perficiala a cojii sferice conductoare.

9. APROXli\lAREA SOLUTIILOR IN CAZUL UNOR CO.JI SUBl'IRI PERFECT C0"1DUCTOAHE

Simplificarea extrema se obtine presupunind coaja sferica foarte subtire §i perfect conductoare. Simplificarea aceasta este utila, fiindca cu ajutorul ei se pot evalua relativ u§or ordinele de marime ale efectelor studiate.

Gasirea solutiilor se poate face fie direct utilizind, de exemplu, analogia electrostatica a cimpului magnetic [8], fie prin particularizare din cazul precedent, facind in expresia coeficien'!Jilor g,n conductivitatea cr ~i deci i:;i cr, sa tinda la infinit, adica punind

r:J8 = lim ( crd) = oo. d-+0 o-+ao

1 n ace st caz, expresiile ( 65) §i ( 66) din paragraful precedent i§i con· serva valabilitatea, numai ca coeficientii ~n iau valorile :

2n + 1 1 l. Ni ( r )n+I (!:.,, = - . - ~ J;_<rxl sin6"' ~ P~(cos6"') +

2n(n + 1) r0 rx-1 r 0

+ ri~i I_1ri

1 sin 6'3 ( :: r P}, (cos 6'3)]. (68)

In acest caz extrem, cimpurile ~i fortele se pot calcula ca §i in cazul precedent.

Pentru calculul pierderilor, se poate lua in considerare o anumita conductivitate superficiala finita a cojii, efectuindu-se calculele ca §i in cazul precedent, folosind insa distributia curentului din acest caz ideal. A vantajul consista in aceea ca, in acest caz, expresiile coeficientilor q,. sint mai Rimple §i calculele se efectueaza mai u§or.

10. APLICATJI

Este util ca solu'!Jiile generale exacte ~i in diferite aproxima'!Jii, obti· nute in lucrare, sa se aplice la nnele cazuri concrete care prezinta interes in tehnica, verificindu-se totodata limitele de aplicabilitate ale diferitelor aproximatii.

l<J.1. Cimpul electromagnetic rezultant in caznl nnei coji slerice situate intr-un eimp

magnetic initial uniform.

Rezolvarea acestei probleme in diferitele aproxima'!Jii permite obti· nerea unor informa'!Jii utile privind domeniile lor de aplicabilitate.

Consideram, deci, coaja sferica de raze a §i b > a, situata intr·un cimp magnetic alternativ, initial uniform, a carui reprezentare in com­plex este B 0 (fig. 3).

19 ClMFGJ, ELECTROMAGNETIC 1N COAJA SFERICA 373.

10.1.1. Utilizarea solutiei exacte de la o coaja conductoare oarecare. Pentru aprecierea eficacitaW de ecranare, se va utiliza coeficientul de ecranare. Acesta a fost calculat la (37) ~i este :

1 --------~

( b )3/2

k. = -3 -a y2ab [1512 (ya) K112(yb) - K512(ya) 1112 (yb)]

I ----- - ---· - -· i

Fig. 3. - Ecranul sferic in cimp uniform.

I 113

Ob v v , 1 1 bt. . b - a d d servam ca m cazu ecrane or su ~ir1 --- = - ~ 1, ~i eci s~ a a

pot dezvolta in serie functiile de (yb) in jurul valorii (ya) :

K1 12(yb) = K112 [1a(1 + ~)] =K112(ya) + ~~ K~12(1a) + ... ]·

1112(1b) = 1112 [ra(1 + ~ )J = 1112 (ya)+~~ I~ 12(1a) + ... J (70)

ret;inindu-se numai primii doi termeni din dezvoltare. Efectuind aceste operatii ~i tinind seama apoi ~i ca b ~a, rezulta.

k, =

sau in modul:

lk.I =

V1 +

1

1 + yzad 3

1

cu2 µ5 cr2 d2 az 9

1

1 + . cuµ 0 crda J---

3

1

(71)·

10.1.2. Utilizarea solutiei aproximative de la coaja conductoare subtire. 1n acest caz, retinind din solutia generala obtinuta la (58) numai primul termen al dezvoltarii, se obtine :

µ µ0

liBl A.= - 0 a1 r sine+--'----"--=---' 3 - 2

1 . 0 -rs1n ,. 2

(73)

'374

unde

A. TUGULEA ~I I. R. CIRIC 20

Q,1 =

~o ](fll ~n20~ -­Observind ca pentru T[> ~ ro:::::::: a se poate pune 2 T[>

= !lo = const. §i ca in aceste comlitii

Bi= rot 4i =!lo 1 2 d '

1 + _Y.._!!_ (7 4)

3 rezulta

k - !l.i -- 1 e - !lo - 1 + y2 ad

3

1

1 + j _wµ 0 crd_a_ ' 3

(75)

.sau in modul :

(76)

adi<>a aceea§i valoare ca in primul caz. In aceste relatii I> este adincimea de pa trundere.

Daca se utilizeaza aproximatia in care intervin functiuni hiper­bolice, se obtine acela§i rezultat, deoarece ea se incadreaza intre solutia exacta §i aproximatia cojii subtiri.

In sfir§it, aproximatia cojii perfect conductoare conduce la ecra­nare perfecta, adica k, = 0. Ea este admisibila pentru valori

(:i2 (~r~l. In figura 4 sint trasate familiile de cur be ke = f (: • ~) ·

Din studiul efectuat rezulta ca intotdeauna cind .!!_ ~ 1 d

. d 1 §I-;::::; '

6

. aproximatia ecranului foarte subtire de conductivitate finita se poate aplica in general in studiul problemelor care intereseaza, conducind la rezultate ce aproximeaza foarte bine cimpurile.

Cum pierderile sint determinate de cimpuri prin intermediul vecto­rului Poynting, sint temeiuri suficiente de a considera ca aproximatia e

;satisfacatoare ~i din acest punct de vedere.

21 C!MPUL ELECTROMAGNETIC !N GOA.TA SFERICA 375

Ca 1 c u 1 u 1 p i e r d e r i 1 o r i n a p r o x i m a t i a e c r a n u -1 u i sub tire. Utilizind relatia generala (67) dedusa in paragraful 8 i;;i tinind seama ca in cazul problemei studiate seria se reduce la un singur termen, se obtine :

P = ~7ta2 ±_ I~ 12 = ~ 4 7ta2 B5 (.!!_)2 (!!_)2 I k 12. (77) ad 3

1 3 ad µ5 ~ ~ e

Evaluarea acelora§i pierderi, utilizind distributia curentilor din cazul ecranului pnf€ct conductor, conduce la relatia:

Raportul

3 4 2 Bo2 P -- _7ta (78) 0

- 2 ad µ8 acestor pierderi este

p -=k = p p

0

±_ (.!!__ ')2 ( !!_)4 9 d -~---<:I.

4 (a )2 ( d )4

1+- - -9 d ~

(79)

Se observa ca acest raport e foarte aptopiat de unitate atunci cind

(:t(~r~l. 1n figura 5 sint reprezentate familiile de cur be kp = f ( ~ , : ) . Concluzia esentiala care se desprinde din acest studiu este ca, pentru

calculul pierderilor in ecrane in anumite cazuri, e suficient sa se ia in

I/el ~ P-.-----.--,--=...,..---=;;-----=;:;=--,_

~

il,fi -

0,¢ 1 0.2

oL..'.'.'.L:-~=:±::::::=~~~ 1,5 d 2

6

Fig. 4. - Curbelc / k, I = f ( : , : ) pentru

ecranul sub\irc situat in cimp uniform.

0,8

0.6

I 0,4 -~

I

l

1,5 d 2

8 0

" 0,5

Fig. 5. - Curbele I kpl = f ( : , : ) pen­

tru coaja conductnare subtire situatii in clmp uniform.

considerare distributia curentHor din cazul ideal al ecranului perfect c'onductor. Curbele din figura de mai sus indica limitele de la care o astfel de aproximatie este valabila. Se observa ca, in cazurile practice care intereseaza, se poate opera intotdeauna cu solutia de la ecranul perfec<­conductor.

1-0 - c. 5189

276 A. TUGULEA $i I. R. CIRIC 22

10.2. Cimpul eleetromagnetic rezultant ~i pierderile in tazul unei t'oji ronduetoare U'.b!iri situate in prezenfa unei spire circulare pareurse de eurent alternativ

Consideram coaja conductoare sferica de raza a §i grosime d, in exteriorul careia se afla o ~pira circulara conductoare, coaxiala cu coaja, parcursa de curent alternativ §i avind coordonatele punctelor ei r = ri>, e = e" (fig. 6).

Intereseaza calculul efectul ui de ecran §i al pierderilor de putere activa in coaja conductoare.

A vind in vedere concluziile aplicatiei anterioare, vc m st udia problema numai in aproxima~ia rnjii subtiri de conductivitate finita ~i in aproxi­matia cojii perfect conductoare, pentru a vedea daca concluziile din paragraful precedent se mentin §i in acest caz. Aceasta se poate face §i direct, dezvoltind in serie functiile Bessel modificate de argument (yb) in jurul argumentului (ya) §i tinind seama ca coaja conductm re este sub~ire.

In aproximatia cojii sub~iri de conductivi­t ate f i nit a , potentialul vector rezultant in interior va fi :

µ I 00 1 :1L= ~sine"~ 2 n~1 n (n + 1) (rr,,)n ... P~(cos e;;) P;,(cos e) +

in care

-y2d

2n(n +1)

( ar )n q,n P;, (cos e),

I sin e" ( ~ r P~ (cos e")

[ 1 + y2 da l

2n +1/ Induc~ia magnetica in centrul cojii va fi :

Bi= B; (O, 6) = rot!!i [r~o,

~i, efectuind derivarea §i limita, se obtine :

l !!; = !!_o -----1 + y2ad

3

Coeficientul de ecranare va fi :

B. 1 k e = -=--':. = 2 d -- '

!l.o 1 +~ 3

adica acela§i ca §i in cazul cimpul ui uniform.

(80)

(81)

(82)

(83)

23 ClMPUL ELECTROMAGNETIC lN COAJA SFERICA 377

Pierderile din coaja conductoare vor fi :

p = 2Tia2 f 2n(n + 1) lanl2 =

ad n~l 2n + 1

[P~ (cos Or>)J2 (a )2n (a )2 ( d )4 2TI ;. n(n+1)(n+1/2) rr> d a

= - J 2 sin2 OB L.i (84}

c;d ·n~l l+(n+11;2) 2 (:r(~r In a pro xi mat i a e c ran u 1 ui perfect conductor~

se ob tine un coeficient de ecranare nul. Considerind distributia curentiJor de la coaja perfect conductoare

se obtin pierderile

P _ 2TI 12 . 20 ~ n + 1/2 0 - -- sm r> L.i

ad n ~ 1 n ( n + 1)

Calculam diferenta relativa procentuala :

~ !i_±~E n~1 n(n+1)

EP = P - Po 100% =

Po

[P~ (cos Or>)] 2 • (85)

(86)

Vom calcula aceasta diferenta relativa procentuala pentru cazul

a~ d, pentru .!!__ = 10 ~i .!!__ = 20, la diferite valori~' presupunind Spira d d rr>

circulara purtatoare de curent a~ezata intr-un plan de simetrie al cojii

conductoare ( Oii = ; ) ·

Se observa ca pentru !!_--+ 0 eroarea procentuala este nula daca rii (: r ( ~ r~ 1, in acord cu concluzia din aplicatia precedenta.

Pentru .!!__ ---+ 1 eroarea cre~te din ce in ce mai mult, seriile de la nu -rr>

maratoru} ~j IlUIDitoru} marimii E1, ne mai fiind aCUill COnvergente.

Rezulta, prin urmare, ca pentru valori ~ apropiate de unitate nu rii

se mai poate utiliza aproximatia cojii perfect conductoare. Din curba

378 A. TUGULEA el I. R. CIRIC 24

trasata pentru !!.._ = 10, se observa ca pentru _!!.._= 0,5 ... 0,6 eroarea este d rri

de ordinul a trei procente, pentru ca la !!.._ = 0,8 sa fie de ordinul a zece r(3

procente. Pentru rapoarte .!!:_ mai mari, erorile sint mai mici (fig. 7) d

Este intbresant de relevat ca, ~i in acest eaz [9], acelea~i pierderi rezulta ~i in situatia cind spira circulara conductoare este a~ezata in inte-

z

Fig. 6. - Coaja sfericii sub1ire In c!m­pul unci spire a~ezate fie in interil•r al,

fie In exteriorul ei.

0o,lf 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 .p saulf p (a «

Fig. 7. - Curbclc e:v ~, { -d , r(3

ra.J sau-;_;- , pentru coaja subtirc din

rr figura 6, cind Oa. = eri = - .

2

a ra. riorul cojii conductoare, daca sint satisfacute condit;iile - = sau

ra. r[!. = a2, ea. = e[l ~i J<a.1 = .!!:_J<f>I (fig. 6). ra.

rri a

Se poate enunta deci urmatoarea teorema referitoare la cojile con· ductoare subtiri:

Pierderile prin efect Joule produse intr-o coaja conductoare subt;ire de curentii turbionari indu~i de o spira circulara conductoare coaxiala eu coaja, parcursa de curent alternativ, sint acelea~i daca se inlocuie~te spira cu imaginea sa magnetica in raport cu coaja, in ipoteza ca aceasta ar fi perfect conductoare.

De aceea, concluziile de mai sus referitoare la spira a~ezata in exte­riorul cojii conductoare se extind ~i pentru spire a~ezate in interiorul

25 C'fMPrL ELECTROlfAGNETIC' lN C'OAJA SFERICA 379

acesteia. Din acrnsta cauza, in abscisa diagramelor din figura 7 se ma­

soara fie _!!:._, fie ~. rr> a

11. C.:ONCLUZII

1n lucrare s-a obtinut solutia exacta a regimului cvasistationar al cimpului electromagnetic al unui sistem de spire circulare conductoare parcurse de curenti alternativi in prezenta unei coji conductoare sferice oarecare. Problema se poate rezolva ~i in cazul mai general al unor medii magnetice liniare diferite in interiorul ca vitatii cojii, in masa cojii ~i in exteriorul acesteia, urmind acelea~i etape ale calculului.

Solutia o btinuta per mite calculul, in cele mai generale cazuri, a coeficientului de ecranare, a pierderilor in coaja conductoare ~i a fortelor electrodinamice asupra spirelor ~i cojii.

Pentru coji conductoare subtiri s-au obtinut mai multe solutii de aproximatie, a caror valabilitate a fost studiata in doua cazuri particulare care prezinta interes.

Aplicarea rezultatelor obtinute la studiul levitatiei €lectromagnetice a unui conductor masiv in form a de coaja sferica va face o biectul unei lucrari viitoare.

BIBLIOGRAFIE

1. H. KADEN, Ecrane electromagnetice, (traducere in Jimba rusa) Gosenergoizdat, 1957. 2. R. RXDULET, C. llocANU, Beitrag zur Theorie der eisen/osen lnduklionso{en, Rev. roum. sci.

tech. - Electrotechn. Energ., 7, 2, (1962), p. 295-319. 3. P. J. GEARY, Magnetic and electric suspensions, British scientific instrument research asso-

ciation, 1964. 4. H. BUCHHOLTZ, Elektrische und magnctische Potenlialfclder Sp:·inger \'~r:ag, Berlin, 1957. 5. W. R. SMYTHE, Static and dynamic electricity, Kew York-Toronto-London, 1950. 6. I. 11. RiJIK, I. S. GRADSTEIN, Tabele de integrate, H:me, serii ~i produse, Edit. Telrn., Bucu­

re~ti, 1955. 7. W. BRISLEY, B. S. THORNTON, Electromagnetic levitation calculations for axially symmetric

systems, Brit. J. Appl. Phys, 14, 10, (1£63), p. 682-686. 8. R. RA.uuLET, Bazele teorelice ale e/cclro/elznicii, Curs litografiat, vol. I, II, IV (1955-1\!56).

9. A. TuGULEA, Cimpul electromagnetic cuasista/ionar al conducloarelor rectilinii parcurse de curen/i a/lernativi, In prezen/a ecranelor electromagnetice cilindrice, St. cerc. encrg. ~i electrotehn., 14, 4, (1964), p. 807-837.