1

ERATA – Matematica – Bacalaureat 2008 D_MT1_subiectele I, II, III

Nr. subiect

Nr. variantă

Nr. ex. din forma iniţială

postată pe internet la

data de 11.04.08

Se înlocuieşte cu

I 12 1 Să se calculeze suma primilor 20 de termeni ai progresiei aritmetice ( ) 1n na ≥ , ştiind că 4 2 4a a− = şi 1 3 5 6 30a a a a+ + + = .

I 20 5 Pe laturile AB şi AC ale triunghiului ABC se consideră punctele M, respectiv N astfel încât

4AM MB= şi MN BC . Să se determine m ∈ R astfel încât CN mAC= .

I 23 4 Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din primele 40 de numere naturale, acesta să aibă cifrele diferite de 7.

I 25 4 Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea { }1,2,3,...,30 , acesta să aibă cel puţin o cifră egală cu 1.

I 30 1 Să se demonstreze că numărul 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 99 100+ + + +

+ + + +… este natural.

I 36 1 Se consideră numărul raţional 1

7 scris sub formă de fracţie zecimală infinită 1 2 3

10, ...

7a a a= . Să se calculeze 60a .

I 54 4 Se consideră dezvoltarea 3 2 49( )x y+ . Să se determine termenul care îi conţine pe x şi y la aceeaşi putere.

I 62 6 Să se determine valorile parametrului a ∗∈ pentru care numerele , 1a a + şi 2a + sunt lungimile laturilor unui triunghi obtuzunghic.

I 67 5 Se consideră punctul G, centrul de greutate al triunghiului ABC . Prin punctul G se duce paralela la AB care intersectează dreapta

BC în punctul P . Să se determine m ∈ R astfel încât GP mAB= .

I 75 5 Fie, în sistemul de coordonate xOy, punctele ( )4, 2A − , ( )2, 4B şi ( ),C m n . Să se determine ,m n ∈ R astfel încât punctul C să fie centrul cercului circumscris triunghiului AOB.

I 83 4 Într-o urnă sunt 49 de bile, inscripţionate cu numerele de la 1 la 49. Să se calculeze probabilitatea ca, extrăgând o bilă din urnă, aceasta să aibă scris pe ea un pătrat perfect.

I 88 4 Fie mulţimea { }1,2,3,4,5A = şi M mulţimea funcţiilor f definite pe A şi cu valori în A. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând

o funcţie din mulţimea M, aceasta să fie bijectivă. II 1 2b b) Să se arate că 6 3 3

7ˆ ˆ5̂ ( 4)( 4),x x x x+ = − + ∀ ∈ .

II 13 2 b) Să se arate că ( ),G ⋅ este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile de ordin doi, cu elemente numere

complexe.

2

II 18 2 b) Să se demonstreze că 2 2 2 21 2 1 3 2 3( ) ( ) ( ) 8(4 15)x x x x x x a− + − + − = − .

II 28 2 a) Să se calculeze 1, 2 1, 2f f− − , unde „ ” este compunerea funcţiilor.

II 28 2 b) Să se demonstreze că ( ),G este un grup.

II 30 2 b) Să se arate că mulţimea ( ) 1

10H X a a

= ∈

\ este parte stabilă a lui ( )2M în raport cu înmulţirea matricelor.

II 56 2 c) Să se determine elementele de ordin doi din grupul G , definit la punctul b).

II 65 1 c) Să se arate că pentru orice a ∈ există b ∈ astfel încât sistemul să admită soluţii cu toate componentele numere întregi.

II 65 2 enunţ Se consideră mulţimea de matrice 2

0 0

0 0 | , ,

a

A a a b cb c a

= ∈

.

II 66 1 c) Să se calculeze valorile lui m pentru care triunghiul determinat de cele trei drepte are aria 1. II 67 1 c) Să se determine valorile întregi ale lui 1m ≠ , pentru care sistemul are soluţie cu componente întregi.

II 73 2 b) Să se arate că A este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor din 2 2( )M .

II 76 1 enunţ Se consideră matricele

2

2

2

1

1

1

a ab ac

A ba b bc

ca cb c

+

= + +

, cu , ,a b c ∈ şi *A adjuncta sa.

II 78 2 enunţ Fie mulţimea 0 , , şi sunt impare|

mQ m n m n

n = ∈

Z şi 0G Q= ×Z . Pe G se defineşte legea de compoziţie

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2, , , , , , , .q k q k q q k k q q Q k k∗ = + ∀ ∈ ∀ ∈ Z

II 82 2 a) Să se demonstreze că G este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor din ( )2M .

II 84 2 a) Să se determine numărul de elemente ale mulţimii G.

II 85 1 c) Să se arate că, dacă 0m = , atunci expresia

2 2 20 0 02 2 20 0 0

z y x

z y x

+ +− −

are aceeaşi valoare, pentru orice soluţie nenulă ( )0 0 0, ,x y z a

sistemului. II 86 1 c) Să se arate că, pentru orice valori rele ale parametrilor a şi b sistemul are soluţie.

II 88 1 enunţ Fie matricea ( )2 .A ∈ M Se notează cu tX transpusa unei matrice pătratice X şi cu ( )Tr X suma elementelor de pe diagonala

principală a matricei X.

3

II 92 1 b) Să se arate că, dacă ,X G∈ atunci suma elementelor lui X este egală cu 0. II 96 2 a) Să se calculeze suma pătratelor celor 4 rădăcini complexe ale polinomului f.

II 99 1 c) Să se arate că există ,m n ∈ astfel încât ( )f x mx n= + , pentru oricare x ∈ .

II 100 2 enunţ Fie , 3,n n∈ ≥ 0 1, ,..., na a a ∈ şi polinomul 11 1 0... .n n

n nf a X a X a X a−−= + + + +

II 100 2 c) Să se arate că polinomul g = 3 3 1X X a− + + , a ∈ , nu poate fi descompus în produs de două polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi.

III 18 1 b) Să se arate că şirul ( )n nx ∈ , are limita 1.

III 20 1 c) Să se calculeze ( )( )'

limx

f x

f x→∞.

III 63 1 c) Să se arate că funcţia f nu este derivabilă în origine.

III 66 2 a) Să se calculeze 3/ 4

0

2 1

( )

tdt

f t

+∫ .

III 71 2 c) Să se arate că există o funcţie continuă : ( 1, )f − ∞ → , astfel încât ( )0

1 ( ) , ( 1, )x

F x f y dy x= + ∀ ∈ − ∞∫ .

III 80 1 a) Să se studieze monotonia funcţiei f.

III 90 2 enunţ Fie [0,1]a ∈ şi *0

,1

nan

xI dx n

x= ∈

+∫ .

III 94 1 b) Să se arate că, pentru oricare n ∗∈ , ecuaţia ( ) 0nf x′ = are o unică soluţie în intervalul [0, )∞ .