lon Bucur Popescu

MATEMATICAM1

Subiecte rezoluateBAC 2013

. Filiera teoretici, profilul real, specializarea matematici-informatici

. Filiera vocalional5, profilul militar, specializarea matematici-informaticd

DDI'TIIRA @crrn'unrsrrnriqrr

SUBIECTUL IVarianta 1

l Sa se determine numArul natural x din egalitatea I + 5 + g + ... + x = 2J l2. Sdse rezolve in mullimea numerelor reals inecuatia 2x2 5x+3

p(

5. Avem AB = 2-m)'+lm (-2)]' = J(2-m), +(m+z), _ Jzm,.8,deci AB=4

.(x+t)(2x t)= (:x -

r)(zx -

r)+ (x + r), = 3(x+r)(2x_r)=

Jz-f*i=qc> 2m2 +8-42 =t6+> 2mz=16-8=8e m, =9-a o m,., =12,decime {-2,2} c R.

2

u ':"T= 'o'('o;')n = *'[#-;)= .*(," #]= -'[-#)= *.(;),*0"

am folosit periodicitatea ti pa tatea func{iei cosinus.41unq1 qq5 jjlrlr

_1 -.o, n.rin n = lr1nl= l.l =!t2 12 t2 12 2-"'6 2 2 4

Varianta 2l. Sa se arate ci numarul (l i)2a este real.2. 56 se rezolve in mullimea numerlor reale ecuatia 3x-1+ x+l ,3.

x+1 2x-l3. Sd se determine inversa functiei bijectiv f :R,+(l,co), f(x)=e^ +1.4' Si se determine probabilitatea ca, alegdnd un num6r ab din multimea numerelor

natuale de doua cifre, sd avem a + b.5. Sise calculeze lungimea medianei din A a triunghiului ABC, unde A(_2,_l), B(2,0)

,

c(0,6) .

6. Fie vectorii n-mi+3j 9i V=(m-Z)i_j. Sd se determine m>0 asrfel incdtvectorii [ 5i v str fie perpendiculari.Rezolvdfi

f.Avem (r i):=r-zi r,2 ---2i -+ 1t-i1'o [lr i)r]'' =(-2i1t: =2t2.{i"), -z,r.R.

2. Se impun conditiile x+l*0 x:. I $i 2x-lr0o * * l, deci xelR {_,. _1,}.2 l'21

=6x2.-5x+1+x2 +zx+t= 3(2x2 +x-t)= 1xz 3x+2- 6x2+3x_3= x2 _6x+5=0.Am obfinut astfel o ecuafie de gradul al IIJea cu a =1, b=_6, g=5,6=62_43s== (-O)'

- + f S = 16 > 0 , deci ecuatia admire rddacinile reale distincte *,. , = :! I n[ =

za

2'/3!21-7= 312, deci xt =3 -2 =l $i x, =3+2=5.

6!4

4

Rezolvdri

r. Avem Jz =r?F ='trA , :14 =' func(ia f admite valoare miniml, respectivrrrrrrf (x)-t, \ = - 48 =-:.,:, " 4a 4.4

3. Se impun condiliile r-1>0 x>1 xe(t,"o) $i 6x-5>0 5 f 5 )*r;o ^ .l;,_J,

l< \,t..'

'.(1..)(-)lf,'.,J (1..) Avem lg(x-1)+lg(ox-s)=2.:rg(x-r)(ox-s) =rgroo>+(x 1)(6x 5) =100- tixr I tx-.95 =0. Am obtinut astfel o ecua{ie de gradul al Il_lea cua-6. b=-11qi c= 95, cte unde rezulrd ca A=b:,4ac = (_ff), _+.0.(_15) = 2aOt ==-19: >0. deci ecualia admite rddicinile reale distin.t. ,,. = -bJ{ - 11149 ;-^^t.2 - 2a = D-, oecl

ll.lq tq .. lt-49^, ,, -{(1.' ). respecriv r, =ii _5c(1,{i. in concluzie. ecualia admiresolulia x = 5..t. lje A={10,11,...,99} rnullimea numerelor nahrrale de doud cifre. ObservEm c6l.tl = oo -l = eo. Fie e={ne Altke ft, n=k,}. observim cd e = {+r.sr,...,er} iilBl -'|) - 1 = (,. deer probabilrrarea cerura esle o. Fi g =

-t' lAl e0 ls5.Obsewanca 2x 3y.+.1=0

Varianta 4

(1 r \ll. Sa se arate ca numirul I -

-

I cste rerl.\l-i l+i,2. Sd se arate ci vArful parabolei y-x2+5x+1 este situat in cadranul III.3. SI se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia 9* l0.l'-r + I = 0 .4. SA se determine probabilitatea ca, alegdnd un numAr din mulljmea numerclor natrrralc

\ dc rrci cifie. acesla sa aiba exrct doua cifie egale-1, 5. Si se determrne r.'.F pentru care leclolri u ai r(.r'l) i ;r i - {:a l)i zit'

' q,nr nPmcnrl '.,rlen

100= 6. Sd se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ascufituDghic AB(. iliird c.rAB = 6 , AC = 10 qi cd aria triunghiului ABC este egali cu 1516 .

Rezolvirilea cu

I I {lr'i)-{l-it 21 2t I Il.Avcm -

--:_' '' . ---1 i.decrl -:-- i l.:l i l.i (r-ixl-i) I i 2 {l-i I i

2.Avem a=1, b=5, c=1, A-b: 4ac= 5'z-4I I = 21'. Coordonatele virfului V surtnite

^..'=-:= -l si v., = !=-4 Evident x\'

6.A\em slABCl- AB AC sinA= r5J5-610 sinA-:r sinA-= ,,,{e)-00".22deoarece, prin ipotez6, triunghiul ABC este ascutitunghic. Conform Teoremei lui Pitagorageneralizatd, avem BC2 = AB: +AC2 -2AB AC.cosA = 62 +102 -2 6.10.cos60'=>=

BC7 -76= BC-J16-2J9

Varianta 5

l. Si se calculeze I t. lIt 2r | -21

2. Sh se rezolve in Z i\ecualia x2-10x+12 log, *=I

C., 4. Observdm cl valoarea comund f(1)=f(4){L2,3,4} poate fi aleasi in4 moduri posibile, iarvalorile f(2),f(3)e{t,2,3,+} pot n alese trecare in 4 moduri posibile, dcci exista 4.4.4=64firnclii care indeplinesc condiliile cerute.

5.FieMmglocul diagonalei AC.Avem *" - Iallr - ''t-J 1 u., - Yt Y. -''22"'2

9 +(-3l= ' '=3.aABCD paralelogram daci gi numai dactr diagonalele AC 9i BD au acelagi punct ca mijloc, deciM(3,3) este mijloc Ai pentru BD.Avem xM -*"1*o ' 7+x^ I+-I.L.-:- 4lyo > yn-r0,

", 2

3. Avem sin3x = sin x

deci sinx=0- x{

^ Jx-x 3x+x

:=o. 3.s,nx=-l-r^.{{-r)*",.,in[-l)-*lu.r]nlo.2^)=1{-r}'i*r;r,rez}n[o.zn]--l7r 7r ^ r fur ttnl

={-+n.--:l7I|={-.-}.[6 6 J |.6 bJa.pi" 1,4={1,2,. .,n} . Avem lMl =n qi multimea M admite exact c1 = Lln-Ll submullimi

de cu dour elemente. Din nln-l)Ci = l2O

=' -l-tZ0- n'-n-240=0. Amobtinutastfel oecualie de gradul al Il-lea cu a=1, b=-1, c = -240, A=b2,4ac= (-f)r -+.f.(-Z+O) ==961=312 > 0, deci ecuatia admite doua radacini reale dl -b+ JA lt3lLstlncte nl , = 2^ -- 2 -

adica n, = lJ

= - 15 e N . respecrv n . = L-l - to . N ii I b > 2 . in concluzie. n . | 6 .'2)s. IAB + ACI = IAB - Acl = IAE. Atl' = l* - *l' - (AB. ACf = (Ar;, Aa)' -

/_\2 , .\2 .,2 _..2-

(ABl ' (ACJ -2AB AC= IABJ '(AcJ -2AB.AC- AB AC 0-+ AB I AC

rezulttr triunghiul ABC ste dreptunghic, "u

rn(a) = SO" .6. ObservSm cd 52 = 32 + 42 , deci triunghiul ABC este dreptunghic cu ipotenuza de lungime 5pi catetele de lungimi 3, respectiv 4. Avem S[enC]= l1 = 6 . Pe de altd parte, avem

AB+AC+BC 3+4+5) IA-|'L I = r ' p , un(le r este laza cerculul mscns, lar p= 2 = --t-=U at,asemiperimetrul triunghiului. Oblinem 6 = r.6 = r = 1.

multimi Varianta 8

.1. Str se 1. Sf, se rezolve in mullimea numerelor complexe ecua{ia zr = -4.2. Se considerA funcfia f :R-+R, f(x) =ax'?+x+c. gtiind cA punctele A(1,2) Si

neimile B(0,3) apa4in grahcului func{iei f, str se determine numerele reale a 9i c.3, Sd se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia ifx + I

- x = f .

4. Cate mrmere naturale de patru cifre distincte se pot forma cu cifre din mullimea[1,3.5.7. e] ?

5. Se consideri paralelogramul ABCD gi puncrele E gi F asrfel incit AE.EEi.nn = Zfe . SA se demonstreze ctr punctele A, F 9i C sunt coliniare.

6, Fie triunghiul ABC. Str se calculeze lungimea inalimii corespunzatoare laturii BCgtiind cd AB=13, AC=14 Si BC = 15.

1l

tl

Rezolvdri1. Avem z2 =-4 - (2i)'?

= zr., = !2i

2.Avem A(1,2)cr f (t)=2

Rezolvdri1. Termenii sumei apa4in unei progresii aritmetice

r =a2 . at =3-l= 2. Avem a,, = a, +(n -l).r =(a,, ),,.*., cu a1 - I qil+2(n-t)=zn-1,pentru Vn e N', deci

de

sn =ar +a2 +...+ai = (a' +az) n

-

(l+21-l) n - nr. pentru s" =225=> n2 =225=+

-

n = 15, deci x=a$=2.15 l=29.2. Graficul funcliei fintersecteaztr axa Ox in doud puncte dislincte daca 9i numai daca functiaadmite doud rddicini reale distincte, adicd A = m2 + 8m > 0 m2 +8m-9 = 0, cu solu(iilemr =*9, respectiv mz =l,deci me{-e,t} c(-o,-8)u(0,"o).3. Observdm cd 2-**r +l>0 este indeplinitl pentru VxlR.Atunci togr(Z ^-r +l)= x clf .

torului

- -\2AC + BD]

l-)

-

"ltu =tz.

6. Aveni sin(90' *)=.ort, vxe[on,eo ], deci sinr xnsin,(so. x)=sin2 1ace521=1,n.nt.,, v*.[o',eo'].

Fie S -

sinr 1' + sin2 2' +...+ sinl 90' = sin2 0" +sin2 l" +... + sin2 g9' + sin2 90. . Observdmci putem scrie ii s = sinz 90' +sin: 89" +.. +sin2 1' + sinl 0' . Adundnd membru cu membrucele iloui relatii, obtinem23 = (sinr 0' .r sinz lo' ) + (sin'] t' + rin, ae" ) +... + (sin2 90, +sinr o' ) =

'ro t.)(.in't .rin {oo I l}= ir=qt > 2s-qrr S. a.\=o k=o

Varianta 10

l.Stiindca ze C 9i cd z2 +z+l=0,sisecalculeze za+].z'

2. Si se determine funclia fde gradul int6i, pentru care f(f(x)) = 2f(x)+1, oricare ar fixe?

3. Sd se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia lg(i+l) 1g9=1 lgx.4. Sii se determine numirul termenilor ralionalr din dezrolrarea (, * i6)''5. Sd se detemrine coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC. gtiintl ciA( 1.0), B(0.2). c(2.- r) .6. Si se arare ci unghiul vcctorilor u=5i-1j 9i v 2i iJj este obtuz.

Rezolviri1. Se obscrvi cA ecuatia z)

-z t t, =,0 nu adnite rdddciDile z=0 sau z-1.Dnr t. -t-1.0 :z tr,1rl- || 7 0::. z+ =-1 5i z'+zr1=O | (z t)==zr 1=0= z3 =1= za =7).7=1.7=7-.pss1 711-!-=2.r-1= 1.z-z2.Fie f :Ll +lR, f(x)=a1+6, a e R', b e R. o finclie de graclul intar.

Avem f(f(x)) - ar(x) rb= a(ax+b) ,, n:1 ,3616 ;i 2f(x)+t-2(ax+b) +t=-2ax r 2b r.l. deci f(f(x)) =2f(x) r t= arx+,ab+g=2ax+2b+1. Vxe d=>

{at =2o la =2:rl -. -l^. ^. _:.r a=2 Si b-l,dcci f(x)-axrb=2x+j, Vx c,p-.;rhtb lh+l []h lb+l

1]t

lamrru

CAIfi

il1(l ca

3. Se impun condi{iile x+1>00

Rezolvdri) +a

l. Avem +2,17.a l'7 =:::c.> a = 32 Si ;2,a,b a2 =2b

, deci

RezolvdriI I l-irlri ) )

1''1Yg6 -_."- = ir;It_,) nt,, =; '2. Se impun condifiile x+2*0a=2t'4.

924

5. observdm cd 2x-3y+1=0

l:.r -+.0+ tl lo:'+(-+)' )

Varianta 13

-t21. Sf, se arate ci numarul (t+iJ3) +(t-iJ3) ste numar intreg'2. Si se rezolve in R r l{ sistemul de e"""*tt {:, ];

o

3. Sd se rezolve in multimea numerelor reale ecua.tia . = O(Jx Z -t) '4. Sa se determine termenul care nu con{ine pe x din dezvort-* [-t t

])t5. Si se calculeze distanta de la punctul e(:,O) ta dreapta d:3x-4y+1=06. Triunghiul ABC are AB = 4, BC - 5 qi CA = 6 Sd se arate ca m(gB)- 2m(

-

ABr FBc2 -AC2 42 +52 62 I ^ AC2 +BC2 -AEtz6'lvem cosB.-- 24g-[[ = 24.5 = g SrcosL= ,Ac Bc =6'+52 42

- ]-o""r.-.n.u. 'B l+cosB 9 B ,l="orc-2.6.5 4 aos--=-= to= "ott= 4

=f =c = B = 2C, unde am folosit fapnrl cd tunctia cos:[O,r]-+[-t,l] este injectivl, iar2B ^ B l^rlcos \u.oeoarece

-ciu,- I. -2 2 \ 2)

Varianta 14

l'Sdsecalculeze In I -l*2-leJ' *lsjl-2 -J -4 -100

2. Si se determine aeR* pentru care (a - 3)x2 - ax - a < 0 , oricare ar fi xeR.3. Sr se rezolve in multimea numerelor reale ecuafia tft; = {6:4x4. Si se determine numdrul elementelor unei mullimi, gtiind cd aceasta are exact 45 de

{c).

el

-^ , unde

.ermenul

.ubmultimi cu doud elemente.5. Si se determine ecuatia dreptei AB, ttiind cd A(2,3) Si B(-5,4).6. Triunghiul ABC ascutiirnghrc are AC = 2rE 9i lungimea razei cercului circumscris

:gali cu 2. SI se determine misura unghiului B.

Rezoh'liri

1..\vem 1gl1rg?+rg1+. .119:1 ='-[+ I ; #)= -(-)=,2. Se impun conditiile a-3 ae (--,3) 9i A-(-a)? 4(a-3X-a)= a(Sa-tz)

S.Avem xo +xn gi yo *y",deci (nn;, -I:Je = x-xr .= I-l = i 1 *ye -y^ \e Xr 4 3

-5-2

rOxin

.;, y = L a L - 2yn. unde k e z D*i ". {;t; - zr"lr. z}n1o.z,l =

[n n;r r ^l lln trl= {-+-.

-. -+Zn>14 2 4 2 J |.4 4)1.p1" 14=11,3,5,7,9f . Observlmcd lMl =5, deci fiecare dintre cele 4 cifie poate fi aleasdin5moduri, deci avem 5a = 625 de numere de patru cifie, nu neaparat distincte, care se pot formacu cifre din mullimea M.

5.Avem panta(cD)= frf = #=i Fieddreaptacarecontinepunctul e(-2,2) $este paralela cu CD. Atunci dllCD

-=p*tu(CO)=1,u16e 6=panta(d).Din A(-2,2)

d

3. Avem arcsinl + ur.rin * = I o arcsin x = I

- arcsin : = : i = 1 ;' 1 = 3i1( q5in 1) =

. tt I . . .r=srn;=t[-r'rl

-8 ^1,' n' , ,,n' ,.,,- j"-,t]], =*-(n-q)(n-8) =e.lo4. Avem (; = t;' o g,. 1n s)l l0I'1" " l0)l " (" - rolr - -ar - n,

-l7n I 8 = 0 , cu solutiile nr = 1eN $i n, - 13. Nn[10,g), deci n-18 este solutiacAutata.

5.

^3(4\ 24- 5 [ 5/ 2s

o,

B(

A]

A1

5.Avem xo =xB=2=) enlloy 9i y" =y. =3= BCllox ' de unde deducem ciAB .L BC 3

-(g) = SO' 9i, evident, B este cel mai mare unghi al triunghiului ABC'

o. eue- o. (],n)- .oro. o = .oro = -J;rin'o = -sin 2ct = 2sin cr cos a =

Varianta tz-.jl. Sa se arale ca numarul (l t i,/3 ) este inneg

2. Sa se determine imaginea frurcliei f :R--+lR, f(x)=x'?-^*2 '3. Si se rezolve in mullimea'numerelor reale ecualia J^i - t '4. Sf, se detemine probabilitatea ca, alegind un numdr ab din mullimea numerelor natu-

ale de doud cifre, sd avem a +b = 45. Sl se determine ecualia dreptei care trece prin puncrul A(-1,1) $i este perpendiculard

pe dreapta d : 5x-4y+1 = 0.

6. Sdse calculeze perimetnrl triunghiului ABC, $tiind cd AB=6' B=; $i C=;

Rezolvdri

r., = (r *i"6)' = [t[*,i',,,ti)]' = z' (.o,n * i,i nr) = t (-r) = -a e z .2. Inf ={veRllxeR,f(x)=l} .Avem f (x)=v

x)=

0o

)lufia

rr natu-

licuhla

stfel o

dacA gi

-r. Se impune condilia 2x+1>0

Rezolvitil.Avem a=1, b=-2, c=4. A=b2 qu"= (-2)' -4 1 4- -12

Rezolvdri

t. evem .6 = {F ='{lzs , lt =,{s. ='{o5 , {8 =, x: = 2. in concluzie, ecualia admite solutiiles = 10,21 .

4.Fie M={100,101,...,999} mullimea numerelor naturale de trei cifte.

erele Evidenr lMl =999-99=900.Not[mcu A={0,2,4,6,8} mullimea ci&elor pare giM'={abceMla.b.cciftenare}

. Evidenr lel =5 ti abc e M,o (a.b.c)e (A-i0})rAlA.,5

deci IM1 = l(A-{0}) * e,. al = +.s.s = r00. Atunci p = ffi 900 9_100 l

5. Fie M mijlocul segrnentului BC. Avem -, &jL - + - , si y" - )bIJt -

3 +(-5)=

, = -, . Ecuatia medianei duse din vdrful A al triunghiului ABC este ecuatia dreptei

determinate de puncrel A(1, 2) 9i M(2, -l), adica (or), ffi = *t *y-2 x-l v-2 x I

Rezolvdri1, Avem logr4

Rezolvdri

l.Avem a=1, b=-8, c=25, A=br_4ac= (-8),8r6i

5. Sd se determine ecuatia perpendicularei duse din punctul A(1,2) pe dreaptad:x+y-l=0.6. $tiind cd ,in

" = l, sA se calculcze cos 2x .3'

- 4.t.25 = -36 0, uade A = [3(a - l)]' -+(a + r)(a _ t) = (a _r)(sa _ r:), deci a + _r ei

. (r-t \

ae(-"o,r)Uf 1l.-|.incon.tu,ie. ae(_o._l)u( r r,)U[].". I\) ) ,i5 )3. Se impune conditia x-l)0 x e [r,.). au.* fi*s_=0..,ffi=1/il]_t=;=

I' t- r2 r-={tv',-t .3,1 = lJx -i*ll .decj J"_s_6nf-_t. r.r lvf_r_:l _ro Jil _: = rroq> J;J=3+1, adica !&l=3-l = 2=> x-t=22 = 4:+ x = 5, respectiv .,,/xl = 311= 4 3=x-l=42=16>x=17.Deci ecua{ia admite soluliile S={5,17} q[1,.o).{. Conform formulei de recurentd pentru combiniri, avem Cf = gf + C] e Cf _ q

- C; = 0.5.Avem x+y-1=0 y=-a..1_- m=-1,unde 6=panta(d). Fre d, perpendiculara

dusr prin A(1,2) la dreaptad. Din d,t d deducemcdrn,= *=,,ur16s rn,=panta(d,) .

-\vem A(1,2)d'e y-yA =m,(x-xA)e y_2=1.(x_l)e x_y_+l=0.6. Avem cos2x=1-2sin,

^ = t-2(!)' -7.\3/ e

Varianta 221. Si se calculeze l+i+i2 +...+it0.2. Se consideri llurcfiile I g:R-+iR. f(x)=x, 3x+2, g(x) =Zx_.1. Sd se rezolve

.cuatia (f .gXx)= 03. Si se rezolve in mulfmea numerelor reale ecua(ia lg(x +9)+lg(7x + 3) =

= r+lg(x'?+e) .4. Sd se rezolve ingcuatia C; < 10, n>2,nnatural.

27

5. Se considerd dreptele paralele de ecualii dt: x-2y=g 9i d, : 2x - 4y - 1 = 0 ' Si secalculeze distanfa dinte cele doul drepte

6. Str se calculeze sin 75" + sin15'

Rezolvdril_i,, l+i (r-i), 2i

l.Avem l+iri.+ .-i'"= li ; ,.Ur; 7=.2. Observdm cl f(x) = x'? -3x+2= (x-t)(x-z), Vx e R, deci (r"gxx)=o n2 -n 20

Sd se

,cu

itiind cA

4. Sd se determine probabilitatea ca, alegAnd un element n din multimea {1,2,3,. .,40} ,numArul 2"*2 .6', si fie patrat perfect.5. Si se calculeze coordonatele centrului de greulate al triunghiulur ABC, dacd A(5, 3)

,B(2, -r) , c(o,e)6. Stiind cI tgct = 2 , sA se calculeze sin4a .

Rezolvdril. Folosind formula termenului general an =ar +(n l)r, Vn.X.,oU]in"n1 a4_a2=4=.)2r =4- r=2 gi a, +a3 +a5 +a6 = 30

= a, +ar +2r+al +4r+ar +5r=30>

=4ar+lh=30= 4ar =30-t1r= j0-11.2=g=ar =!=z,ae.i an =ar +(n_l).r==2+(n-l) z=zn, vneN-.Atunci s.0 =ar +a.,+...+a,^= (u, *urn)20 ,^ .-,2. Se impun condi{i'e x + 2 + 0 c) ; ; :; ; ; f ;:, J',. ;;;; l'illr'i:#2x+3 x-l;; =;J= (2x +3)(x - 2)= (x +2)(x-l)= 2x2,x-6=x2 +x_2 _> x2 _zx_4=0,cu soluliile x,,, =ttJS e n

- {-2,2} ./-.l.au.m tel;-,*rejJ-_,. 4

. +=,'*['"tt.,J t

{.Fie M=11,2,...,39,a0} 9i m=2n+2.6n = 22,)+2.3n = (2".r)r.1,, Observdm ci numirul!x este pahat perfect daca gi numai dac5 exponentul n al lui 3 este numar par, adica:eM'=12.4.....401

,a..i o-I,M,l =?9 .n,lMl 405. Fie G (x6, y6 ) centrul de greutate al triunghiului ABC. Avem xc-5'2'0-7.,u^ _ye-yg.y. -l*(-l),9 53 3 i,ro ----- - ___r- =;. deci coordonarele lui csunr,-.,r" )=il.+l\ J J/5..{vem rg2c = "g: = }1 - tI

- Ig-0 l- 2- -- ' de unde oblinem

,.( -t\ 8

*4o=-?E?g-= -\ ,{-= l, =_!.s __24r+rg-lq ,,r 4). t,..lo 3 25 25'''(.-l] ' s

.

Varianta 24

l. Sd se calculeze z+1,pentru "=t":Jt .z2

2. Sl se determine func$a de gradul al doilea f :R-+R pentru care f(-1)=f(1)=0'f(2)=6.

3. SA se rezolve in mullimea numerelor reale ecuaia log'? x +log,t x + log3 x = I '

4. Str se demonstreze ca, daci xR $i lxl >1, atunci (1+ x)'? + (1- x)'z > 4 '5. S[ se determine ecualia inahmii duse din B in triunghiul ABC, $tiind cd A(0'9)'

B(2,-l) ri c(5,-3) .6. sd se calculeze (zi. si) (:i -+j) .

Rezolvdri

l.observamca 14' =f-+l'.f+i =r.deci f-7 -t+ deci'-l'\ -./ \-J . z ,* z-rri.6 -r-i.6

=-+- = -1.222.Fie f(x) = ax' + bx + c , unde aelR'qi b'celR Avem f( 1) =0 c =-a

inlocuind

[4a+2b+c=6in ecuatia 4a+2b+c = 6, obirn em 4a+2'O-a -3a = 6= a -2 Decr a=2, b=0 'c=-2=>=

f (x) = 212 - 2 . Sau, pomind rle la ipoteza ca f (-l) = f (l) = 0, putem deduae direct cA frnctiaf este de forma f(x)=a(x+r)(x-r)= a(x'?-t)' iar a=2 il oblinem din condilia ca f (2) =6'3. Se inpune conditia x>0,dci xe(0,-) Observam ca logr'= lga = #=;"*r)('

lsx ls.x I -respectiv ctr togr x = ialg

8: = fri = ;b*r x . deci

lo8? x t logl x + logR x =

I I | 1 1\ ll= tog, * *ilog, *, ltog, *= [t-; r lJ att-= -]logr * ' deci ecua(ia dati devinerl tl111sg, 1 = 11 g, log, x = I x = 2c(o.o).

30

(1) = 0,

A(o,e),

nlocuind

A tuncfia

f(2)=6'los, x.

4.Avem (l rx)r+(t-x):- 2(t"x?)> 2 2,lF - alxl zqs.Avem panta{Ac) ffi #=-li.No,rnr.uBBr

-LAC=> -'=-*=*,*de m=panta(AC) 9i m,=panta(eB,).Din

-14 .

B(2,-l)BBr + y-ye -m,(x-x")= y-(-r) =1(x -2)= 5x_t2y_22-0,deci12 -

{BB, ) :6. Avem

BB, inf,llimea din B. Avem

5x-l2y -22 - 0 ./ - -\ / -{2i r 5j).(3i-4j) L2 i,5 (_4)]

Varianta 251. Si se calculeze (t-i)(l+2i)-3(2_i)

.

2. Sdse ante cA, pentru orice aeR',dreapta y=x+4 intersecteazi parabolal=axr+(a-2)x+1.

3. Sdse rezolve in mullmea numerelor reale ecuagia Zr'-:.2'-r iii=0.4. SA se determine probabilitatea ca, alegdnd un numar din mullimea {10.11.12,...,40} ,

:tuu cifielor lui sd fie divizibiltr cu 3.5' in triunghi ABC, punctele M, N, p sunt mijloacele laturilor. i'ie H ortocentmr triun-

3fuului MNP. SI se demonstreze ca AH = BH = CH .6. si se calculeze rinf1*3) /r n)\6 4J*"'[;-tJ

laolvdril..rvem (1

-i)(l+ 2i)-3(2'_ i) = (:+i)_(o_:i) = _:+at .:- Dreapta intersecteazi parabola dacd gi numai dactr sistemul format din ecua{itle lor, respectiv

! =x+41 t ^, _ , adnxte cel putin o solulie realA. Din sistem oblinem ecuatia

-.=ax'+(a-2)x+la--(a-2)x+l=x+4 ax2+(a-:)x-:=O,gu 1=(a 3), 4.a.( 3) = (a+:), >0,jEl ecuatia, precum gi sistemul, admit cel putin o solufie reald.

3- Ficdnd notatia 2* =y, y > 0, ecuafia devine y2 -

6y + g = 0, cu solulile yr 2 =3tl,decir

= i - 1 = 2 , respectiv y. = 3 + I = 4 . Revenind la notafi a 2" = ! , oblinem 2x, = lt = 2 =

= r' = l, respectiv 2^, = yz - 4:> xz = 2, deci x e {l,Z} .

31

OrangeFTWNoteIdioate !:|

4. Fie M = {10,1 1, 1 2,"',40\ .Evident lrral = +o *9 = 3l Fie M' = {12,1 5'18"36' 391submullimea luiM formatl din multiplii cle 3. Observdm cl 12=3 4,15=] 5" 39=3 13'

livll lodeci lM'l = t3-3 = lo. Atunci o =ffi =;5. Avem MPIIBC , MNIIAC $i NPIIAB . Atunci, din NH I MP deducem cd NH I Bc $i' [inandcont ca N este mijlocul laturii BC, rezult6 cd NH este mediatoarea lui BC. Similar deducem ciMi este mediatoarea lui AB ii PH este mediatoarea lui AC' deci H este centrul cerculuicir.nmscris t lur,ghiului ABC, de unde oblinem cd AH = BH =CH = R ' unde R este raza ^ces'tui cerc.6. TinAncl cont de faptul ca sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb,pentru Va'b R ' obtinemca

/- -\ /r, ,r\ r 7r . I Jt J,

sinl i+-: l+sinl a- , l= l5in-6e5-= ' 1 , t\6 4) \6 4,/ o

Varianta 26

l,Fie zr 9i z2 soluliile complexe ale ecualioi 222 +z+50=0 Sdse calculeze lz'l+lz'l2' se considerd funclia f :R+R'T(x)-l zx sa so'arate ca funcfia f'f"f este

strict descrescatoare.3. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia 3* + 9' = 24. Fie mullimea A={-2,-1,0,L2} 9iotunc{ie bijectivtr f :A-+A Sa se calculeze

f (-2) | f(- l)+ f(o) ' f(l) ff(2)5. in sistemul cartezian de coordonate xOy se considerl punctele A(-1'3) 9i B(l'-l) '

Sf, se determine ecuatia mediatoarei segmentului AB'

6. Fie .' e fI. rl .u ,in* = I. Sd se calculeze tga .t2 / 3

bl=lal=lal oi' P =",",=:=:=25 ' deducemc6

lz,zrl =lz,l.lzrl =lz,l' = zs - l",l =l"l = JE = s = lz' | + lz, | = s + s = t o'2. obsewimcd f(f(x))=1-2f(x)= l-2(l-2x)= 4x -1, VxR'deci (f "f ' fXx)==(f"fxf(x)) = 4f(x)-1=4(1-2x) t=-sx+:' vxlR Evident ca' pentru vxr'x2 R'xl < xz

- -8xl + 3 > -8x, + 3, deci func1ia f ' f ' f este strict dcscresc'toare

3. Cu notalia 3* =y, Y>0, ecuaga devine y2+y-2=0,cusolufiile y'., = -1-13

' atti

-l-1 u. = 1+l = l.(0,"o). Revenind la nota.tia 3^ =y',r=i= -2e(o.co).respectrv rz 2 - ,' ,ob{inem 3*!1+x =0.

Rezolvdri

l. Avem 22 = zt =

3.13,

, $nindcem carercului,a aces-

em ca

rl+lz,l.rste

)ze

t, -1)

X.)=,xreR'

decr

v,

JJ

4. Functia f este injectiva, adicf, i(x) * f(y) pentru Vx * y,9i suiectivd, adicd Imf = A , deci:f(-2),f(-t),f(o),f(1),f(2)) = {-2,-1,0,1,2} ri, folosind eomutativitatea aduna i, obtinemf (-2)+f (-1)+ f (0)+i(t)+r(z) = (-z) +( t)+o+ t +z = 0.S..lvem m =f-$-------------- = ;-1-li = J,unds rn=panta(AB) .Fie M(xM,yv) mijlocul

^B ^A r-t-,/

ssmentuluiAB,deci x" =ldIE= +=0.respectiv yM ="+='*l-t' =r,irci (x",yr)=(0,1) . Fie d mediatoarea segmentului AB

3. Cu notalia lg x - y , ecualia devine y2 +5y-6 = 0, cu soluliile yr,: =f .adica-5-'7 ,5+?yt=

, = -6,respectiv y, = 2 -l. Revenind la notaia lgx=y,obfinem

lg*, =y, = 6= x, =19-o =l.respectiv lgx" -y, =1= x: =l0,deci r.t#,t0j4. Obserr'am ca f(2) 9i f(3){0,1,2,3} pot fi alese fiecare in4 moduri posibile, deci avem4 4 = 16 tunc.tii posibile.5.Avem oA=i+2J, oe =:i*j, oA oe= 1.3+2 1=5,loAl =Jf -l =..6,l:=l l-) . E- ^ oA oB 5 J, ^ (Jt\ "lUUl VJ-!l \llu. CosU - i-----:----i----

---) U:arccos -- = . unoe amI I lo;lloul JsJto 2 \2)4notat cu 0 rnisura in radiani a unghiului AOB qi am (inut cont cA e. ff - \

,

),:J , deoarece A 9i Bsunt situate in acelagi cqdran (respectiv in cadranul I).

L. , ^^_^.r2 f l)t_ -,-r^.,^^-2^:+2sincrcoro=l=6.Avem sino.+cosc=:- (sinc+cosc)- ={.lJ

-

sin'c+cos'o 9

l^18-)tt slnlo =-_? slnzc : --l ---999

Varianta23

1. Si se calculeze (t+l)"'+(t-i)'u.2. Fie func1ia f :R -+ R, f (x)=61-3*:. Si se ordoneze crescator numerele f (r,6),

r(.6) rr r(z)3. Sf, se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia JX - f = I .4. Sa se determine numirul funcliilor f: {0,1,2,3} + {0,L2,3} care au propdetatea ca

f(0) este impar.5. Fre tnunghtul AB( $r M e(BC) asrfel i".a, B^! ]. Sa se demonstreze caBC3

_ )_ 1_AM =:AB+:AC .33

;i c, sind = ]. sd se calculeze tgq .(1r lcxt-.7t I\2)6. $tiind cd

-t4

OrangeFTWApproved

I.101.

)

avem

I9

rnde am

AgiB

l-,{riri:- ,--.=m (l +i)2 =1+2i+ir = 2i, deci qt * i1'o = [1r *iy,]j = (2i)5 = 32i, respectiv,-,r' =(r*if = -32i, de unde deducem ca (l + i)ro + (t

- i)'o = 321-321 =g.

l-Arem a=-3

1.Avem 7+4..,6 = r*0"6*(f)' = (z*.6)'' a""i'fiTffi =-

2 rfi.respectiv t-qJl -(.,61'-z z "6-z'= (z .6 )''ot'' Jr-2"6

-lz-.61= z-fin concluzie,

"F;12.6lff= z+^6+2-16= aeN -

2. Avem r(2x)= 2 (zx)z -s zx+z= 8x2 - 10x + 2 = z(+*t -s* +r)= z(+x - t)(x -l) =

-r{^ llt^ r}.deci r(2x}0 xe[0,+t) $i 2-x>0

EI

--,2]='espectiv

Fie

Itimi,

-1^

valorilorlistincte.

.00

3. Sf,se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia 1og, (x + 1)+ log, (x + 3) =t.4. Sd se calculeze probabilitatea ca, alegAnd o mullime din mullimea submullimilor

nevide ale mullimii A = tI,2,3,4,51 , aceasta sd aibd produsul elementelor 120.5. Se consideri punctele A(0,2) , B(L-1) ii C(3,4). Sase calculeze coordonatele

centrului de greutate al triunghiului ABC.

. n 12 .^12o. Ja se oemonsreze ca srn-:

-

82Rezolvdri

l.observtrmctr,E#,

-,2 ' -,2

-(vt) +(vt + IJ-Jt *Jt*r -Jt *Jt*r F F-----

.- = vk lvk rl.Pentru-K+K+l

= -i * Ji - Ji * Ji - - Jqs * Ji00 - -^,/r * Jroo = -1 +10 = e N .2. Graficul funcliei fintersecteazd axa Ox in douA puncte distincte dacd qi numai dacSt=m2

-8>o -. (--, -zJ7)U(zJz,.)3. Se impun condiliile x+1>00 *' +4x - 0, cu soluliile xr - -4 e [-1,co),respctiv x2 = 0 e [-1, *), deci ecualia admite solu(ia x=0.4. Avem lel = s , deci A admite 25 = 32 submultirni, dintre care 32 -l = 3l sunt nevide. Seobservi cd 120 = 1.2.3.4.5 =2.3.4.5, deci existd doar doui submullimi ale lui A, respectiv

{L2,3,4,5} ;i {2,3,4,5} , care au produsul elementelor egal cu 120- in concluzie, p:1

5. Fie G(xc, yc ) centrul de greutate al triunghiului ABC. Avem xc - xA + x-B + xc -

-

3

0+l+3=1siy6 ",rt,'o=; deci(x6.y6,=[i;,)

1111rlz a N

'l-.i./l r V2 V2 * ./l .,,/3 + ./4 J99 +./100

6. Aplicdnd formula cos2x=l-2sin2x pentm x=l,obtinemt:^t:

^ )7t - 1t - {z z-{z:]zsln--=l -cos-= I8422

ss51= 1- 2 51n2 1a48

=$,unu" um folosit cI n t^ rrtR I ))

t;L_\L848

srn -

> ti .8

)t

varianta 31

l. Stiind ca log.r 2 = a . sa se demonstreze ca log,.2a = !1!12,'Sd se determine doud numere reale care au surn I 9i produsul I .3. Sl se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia 22**r + 2**2 = 1604. intr-o clasd sunt 22 de elevi, dintre care 12 sunt fete. Si se determine in cdte modurl se

poate alge un comitet reprezentativ al clasei format din 3 fete 9i2 bdieli.5. in sistemul cartezian xOy se considera punctele A(2, 1) , B(-1,1) ti C(1,3) Sase

determine ecuatia dreptei care trece prin punctul C $i este paraleli cu dreapta AB6. Sd se demonstreze cd sin6 < 0 .

Rezolvdri

r.Avem log,o24= E4=Y -ltoe,z+ - f 1: ro*,rl= ]fr--il-1916 4lg2 4 '- 4 4\ logt2)lf. ll l+3a

=-l Jf- =

-.

4\ a) 4a2.Fiex,yelR numerele cautate. Avem s=-x+y=l $i P = xy - -1, deci x si y sunt solutiile

.t;ecualrer t2-St tP=t2 - t-1=0.respecliv t, , llli.d..i

, lf r-.6 r,"[11r .,6 I-t6ti{x.Y)e1 --

--;- , '

t lat' ' ))3. Cunotatia 2r =y, y > 0 . ecuatia devine 2y1 +4y=1001 :2e y: +2y 80 = 0 , cu soluliileyr.z =-l19,deci yr =-10e(0,.o),respectiv y? = 8 e (O,o). Revenind la notalia 2'=y.oblinem 2- =8- x=3.4. Sunt 22-12=10 baie!, dci comitetul poate fi format in 4 Ci. - 10 11 12 9 101.2 3 1.2= 9900 moduri posibile.

5.Avem m= yB yA

=xg

-Yat_t-n t-1- 2 3

panta (AB) . Fie d &eapta cu propdetdtile

allee 5i cea.Din dlleB> m'=m -i.unde rn'= panra(d) Din c(1.3)ed-:

-y-yc =m'(x-x.)+ y-:= ]{--t)= 2x+3y-11=0,deci (d):6.Avem ne(3,4):: u.[],r^,)- sin6

moduri se

i).SAse

)detdtile

I

iolutiile

:u solutiile :

Varianta 32

1. Se considerd numlrul real s=l+f+1*l* *-l.^ . Sd se demonstreze ca22's e (l;2) .

2. Se considerd tunctiile f, g: R + lR , f(x)= 2x - I 9i g(x)=-4111.Sdsedetermine:oordonatele punctului de intersectie a graficelor celor doud func1ii.

3. Si se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia sin x = I + cos' x .4.Fie mullimea A={-2.-1,0,1,2} . Sise deterrnine numtrrul func{iilor pare f :A -+ A.5. in sistemul cartezian de coordonate xOy se considertr punctele A(2,-l) , B(-L1) ti

C(1.3) . Sd se determine coordonatele punctului D, gtiind cl patmlaterul ABCD esteaaJalelogram.

6. $tiind cA ti cA , si se calculeze .xsln-2

,3slnx=-5

t1l lx I

-;7r\2 ),ciolvdri

,l,. {\em s =:+: r(,-#) -,-#

2

^ ^l-. 1^. Ueoarece U' -"-=t:. l--) | < Z-'a-:. < Z :)2'* 2"--

9=2

= !

6. Avem,rHcosx\2 )

rJib=

-.

unoe am loloslt

45

/r ) x f n r)' \2 ) '2 \4 2)

Din formula

.x> sln- > 0.2

irll. ^ )x .. ^ 'x l-cosx | 5/ 9cosx = l-lsln-;. vx K. obtlnem -""---i----"---- =

- ='2 2 2 2 l0

.x2

Varianta 33

l. Sa se arate ca numirul log., 16 ' logr g r f- este natural.2. Si se determine valoarea minimi a funcliei f :R--rR. f(x)= fx2 + 4x+2.3. Str se rezolve il multimea numerelor reale ecuatia 16'+3.4'-4.4. Sd se calculeze probabilitatea ca, alegand un element din mullimea

(-8) z4

I sin: x

(-tl{Vn j n e N. n ' 100} . acesta si fie numir ralional.

5. in sistemul cartezian de coordonate iOy se considera puff'Ctile A(2, l), B( 1,1) ,

C(1.3) 9i D(a,+) , unde a e R. Sa se determine a e lR astfel incdt dreptele AB ti CD sa fieoaralele.

I6.Sliindca re.d srca tsx-l.sase calcut.r. tnl *'11.- 2 -\ 3)

Rezolvdril. Avem loga16+1og9+1ln - 2+2+3-7eN.2, Avem a=3>0, b-4,c-2, A-b2-4ac= 42

-4.3.2=-8,deci mrnf (x)=yu =

3

3. Folosind notalia 4* =y, y >0, ecua{ia devine yl +3y=4a1 y2 +3y 4=0,cusoluliiley' r =-ij,adici yr =-4e(0,or),respectiv y2 = I e (0,o) . Revenind la notalia 4^ =y,2''oblinem4'=1> x=0.a.niea={.,6lneN.n

oula

>0.

1,1),sa fie

rlutiile

.Q

')dacd

, deci

5. Observam cA xA + xB =

AI| nu este paralel cu Oy. Din CDIIAB > nici CD nu este paralel.-u O;-. deci xc'exD> a+l.Avem m=le-IA - :+= + uniq m=panta(AB),

^B-^A -t z )

=e..tiurn'=ffi= ==*

unde m'=panta(co) . oin aollcor m=m,r

Varianta 34

1. Sd se calculeze modulul numdrului complex z = (l + +i)a .2. SA se arate cd varful parabolei asociate functiei f :lR -+ lR, f(x)= 212 +2x +l se

gtuegte pe dreapta de ecualie x+y=0.3. Sd se determine numarul solutiilor ecuatiei sinx=sin2x din intervalul [0,2fi) .4. Fie mullimea A = {L 2,3,4,5} . Str se determine numirul fi.ncliilor bijecrive

f: A -+ A , cu proprietatea cd f(1) = 2 .5. in sistemul cartezian de coordonate xOy se considerd punctele A(2,-l) , B(-1,1) ,

C(t,:) 9r O(a,+) , a R . Sf, se determine alR pentru care dreptele AB gi CD suntperpendiculare.

6. Se considera triunghnrl asculitunghic ABC in care are loc relafia sin B + cos B == sin C + cos C . Sd se demonstreze cd triunehiul ABC e ste isoscel.

Rezolvdri

l. Avem l: + +il = 3 +4i)41= ll,I:= 22

- 4.2

Iv+yv=-,

=lt,

4ac

IX\

=s+ lzl

2. Avem a=2,6=2, q=1,4=62 -

+ 4ila -5a =625.

b2l.l=-+, X\/

' 2a 2.2 2I

+t = 0 , deci V este situat p dreapta de,r /-l) r

,, =-i= -d=l observtrm ciecuatie x+y=0.3.Avem sinx =sin2x

'.. {r1*zr..lr. r}n1o,r^; = {+,-;.r} = {+ +}in concruzie,

^. to,"t r{l,T} - {r+,,,,+}4. Funclia f este bijectiva ei f(l)= 2 =r {f(2),f(3),f(4),f(5)} = {1,3,4,5} , deci avem arareafunc1ii f exact in cAte moduri poate fi pemutatA multimea {1,3,4,5} , adica 4l=24 de funclii.

t / ,\

5.Avem m= Ye-Yq - I (-ll. )Xe-Xe -t-t '-i

PresupunAnd prin absurd ci a=l'obtinemxc =xD + CDllOy gidin ABICD> ABllOx> Ye = ye

- -1=l,ceeaceesteevident

fals. Deci a+t.Avem m,=Le_19= ==

+ 6de p,=panra(CD).XD-XC a-t a IAtunci ABICDc) mm'=-1

-? -!--t* u=]+r. in concluzie. a =iJ a-l 3 3

n | -\

-

| -\

=2sin;cosl x-- = .,/2 cos x-; I.Deci sinB+cosB=sinC+cosC4 t 4) ! a.,o..6"os B-l :JJ"os c-I e-1=c l.adici B-C.ruu e I=-[c-t')=4 4 4 4 4 | 4,1-

B + C =: -

A = 1, ceea ce cotravine rpotezei cd triunghiul ABC este asculinrnghic. in22concluzie, B - C, deci tdunghiul ABC este isoscel.

Varianta 35

1. Sd se calculeze modulul numirului (Z + l)3 + (Z -

i)3 .2. Graficul unei funclii de gradul al doilea este o parabold care trece prin punctele

A(L-3), B(-1,3), C(O,t) . Srse calculeze valoarea func{iei in punctul x=2.3. Sd se rezolve in multimea numerelor reale ecualia 3 4*

-6. = 2.9. .4. Se considerd mulfimea A = 10,1,2,...,2009| . Sd se determine probabilitatea ca, ale-

gdnd un element din multimea A, acesta sI fie divizibil cu 5.5. in sistemul cartezian de coordonate xOy se considertr punctele A(0,-3) $i B(4,0).

Sd se calculeze distanla de la punctul O la dreapta AB.6. Strse calculeze aria unui paralelogram ABCD cu AB-6, AD=8 li m({ADC) = 115

42

Rezolvd,

l. Aven

: Fie f I

=a+b

::irnem

i:Lrncl f

-i. ir em

-4,:-a:1\

l- :.'.3i-u

-:!i:1ir

a: -._

: , .1..B

t':-.:=

L

II

:vident

xr atatea

functir.

in punctele

rtea ca, al-

ri B(4,0) .

DC) = 135" .

-''l-.^'

-t-4)hic. in

lalydrit.,.r,vem (z+i)r = 23 +3.22.t+3.2.i2 +ir = 8+12i 6-i- 2+1li, (z-i)r =(z+i)3 == I -l lt = 2 I li, cleci

" = (Z + i)3 *(Z -;)3 = 2 +lli + 2 -lli = t : lzl = l.

f.Fie f(x)-ax2 +bx+c, unde aelR'qi b,ceR.Avern A(1,-3)e Gr f(l) =-3 (,. ecualra' \r,Jevine 3y2 -!=2e 3y2 y - 2 = 0 ,cu soluliile v,., =f ,decl y' =1:l=-? *19,-;'

=spectiv y2 =f =,.1t,-1 Revenindlanotalia (i)- =t "btt'"- (1) =l> x=0'{.evem le,l =zoto. Fie A'={0,5.10, ,2005} submullimea elementelor divizibile cu 5

observimcr t^1 = T' I 402.deci t='#:,*-+5.evem (eB):

* -*-t* i.*=t- 3x-4y-12=0,rleci

, [;r,[il

j(o,AB)= 13.0-4 0 121 -12

5

( Avem m({ADC)= t:S' =

m({BAD)= 180' 135' = 45" ' deci

s[ABcD] = AB.AD sin ({BAD) - 6 8 sin 45' = 24JJ

varianta 36

1. Se considerd numirul ralional

I: = 0,arazar " . Sa se determine a6o.

2. Fie firncliile f, g: R -+ R., f(x)= z-1, g(x)=3x+2. Sd se calculeze (f'g)(x)-(s"r)(x)3' sa se demonstreze cd func'tia f: lR -+ lR

' f(x) = 3xr +1 este injectiv6

4. Sd se calculeze probabilitatea ca, alegind un numlr din mullimea numerelor naturalede trei ci&e, acesta sA fie divizibil cu 50.

+)

1 scris sub7

formn de frac.tie zecimala infiniti

t2 +( t)')

!i.cl::=:c-::: 0. Deci f(x,)-f(xr):? xr = x2, adicd fiincfia feste injectivd.r..lvem f(t)e{0,1,2,3} si f(l) numar par =r(t)e{o,Z} ,deci f(1) poate fi ales in doui:duri posibile. Pe de altd parte, f(2),f(3){0,L2,3} Pot h alese fiecare in patru moduri, deci*em 2.4.4 = 32 de func{ii posibile.

s. -r,vem AE.AC = AB AC.cos A = AB2 + Ac2

-Bc22'AB AC 22t; t; Jt I J6 _J;

a sin15"-sin(45'-30')= 5in45'.orl0 -cos45 51n36'= Il !i-t Z=7

z'+* -(zJl)'z

Varianta 40

1. Se corsiderd ai{. $i numarul co.pl.^. =314. Sd se determine a pentru care zlR 'z+a\2. Sise demonstreze ca dreapta de ecuatie y=2x+3 intersecteaza parabola de ecualie

,r =x2 4x+12 intr-un singur punct.3. Sd se rezolve in mulllmea numerelor reale ..uut," Jjili - *4. Se considerh multimea A = {1,2,3,4,5,6} . Sa se determine probabilitatea ca, alegAnd o

;ereche (a,b) din produsul cartezian AxA, sa avem egalitatea a+b=6.

i1

: i s>fr, :-E=Er -

::s:b!- Olr tr Gider, puncteleiB{- l- r--- .--- Ed*i Ue+fraS.

M(2,-t), A(12) sir sl-r:t r(e-b)-sin(a-b)=sin2a-sin2b, pentruoricare a.be R.

ldfi

r--{sr!t z = a+2i _ (a+ 2i)(2 - ai) 4a +(4-a'? )i-- --' z+i- --V .^t - = --;--J_- ' deci

,z e lR o In(z)= 0:>

4-a2(>-=0

'1,2) ri

ite solutia

oora (p,

Varianta 41

1. Sa se arate cA numArul l00ls2 +V , este natural.2. Sa se determine imaginea funcliei f:R

-r lR. f(x ) = -lxx'+l3. Sf,serezolve in mullimea numerelor reale ecuatia 3x+l

-3x4. Si se determine numtrrul func{iilor f : {1,2,3,4} -+ {1,2,3,4}

:-rl l- f (3) =7.5. in sistemul cartezian de coordonate xOy se consideri punctele A(2,-l) $i B(-L1) .

Sl s determine ecuatia dreptei care trece prin originea axelor $i este pamleld cu dreapta AB.

6. Fie a gi b numere reale astf-el incat sina+sinb=l $i cos a + cosb =f. Sd se calculeze2

:os (a -b).

lalvdrit..\rem l00rs2 i V , = (l0rBr)'? ,fll 2? r (-3) 4-3 le Nl Imf -{veRllxe n,r(x)=y} .Au.rn j!=yo Ix: 2x+y=g. Pentru y=0,x'+l -;btinem x = 0. Pentru y + 0, ecuatia admite solulii reale daca qi numai dactrs=4-4y2 >ocr ye[-t,t].o""1 L1= [ t,t] .3..{vem 3**r=-3'+8 4.3" =8e 3* =2 x = logr 2.{. observdmcd x,ye{t,2,:,+} 9i x+y=7;' x-3 $i y =4, respectiv cazul x=4 $i y=3,ieci f(l)+f(3)=7= f(1)=3 9i f(3)= 4, respectiv cazul f(l)-4 ei f(3) =3.v316t1.Fnfiu f(2),f(4) {1,2,3,4} pot fi alese fiecare in cdte 4 moduri posibile, deci avem2 4-4=32 deastfel de tunc1ii.

5.Avem m_ Ya-Yr ='-\-',=._:9= + unde m=panra(AB) . Fie d dreapta cu proprietdlile

+8.care au proprietatea ca

Xg -

X,{

d[AB ii oed.Din Allae -

m'- rn -2.

-d. ry1'= panta(d). Din O(0.0)e d.>2

-Y Yo= m'(x-xo)= Y -1x= 2\+3Y 06. Avem sina + sinb = 1 + (sina + sinb)t = t2 = sinr a + sin2 b+ 2sinasinb = 1. Similar,avem cos' a + cos2 b + 2 cos a cos b = 1 . AdunAnd cele doud relalii membru cu membru, gi finind

4

cont ca sin' x + cost x = I pentru vx e R, obtinem 2 + 2 (cos a cos b + sin a sin b) - 1 al 3

= 2+2cos(a-b):l

-

*r(u-b) =-f .49

Varianta 42

l. Sa se calcule./e partca intreaga a numdrului '-] + +()^

2,Slse rezolve in -?,F. sisremul ly=x--Jx+l .

lY=2x +x-4

3. Sd se rezolve in multimea numerelor reale ecualia ar.tg"+ur.ctg1=1.

4, Sb se determine numdrul termenilor rationah ai dezvoltini ({6*r)'0"5. Sa se amte ci punctele A(-1,5), B(1,1) $i C(3,-3) sunt coliniare.6. Si se calculeze lungimea razei cercului inscris in triunghiul care are lungimile latunlor

4,59i7.

Rezolvd

tlr r | ' .+ ? / | \ )n ltnll.Avem l--f

-

-

-= ---!- =-.1 l-- -. tar l-1=u.3 3',1' rll 4\ 3'/ 2'7 L27 )_t.

\ J/2. Avem x2

-3x+l=2xr +x+4

rturilor

losrt

.tine

in par-

a=4, b=5, c:7 $iq p(p ,Xp-tXp-.) = vtr;:i = 4,uG . Pe de alta parte, avem s = p. r , unde restelungimea razei cerculrri inscris in trrunghr. Oeci .t..,4, = Ar =- r =

6

Varianta 431. Str se determine valoarea de adevdr a propoziliei: ,,Suma oricdror doud numere[ationale este numir irational".2. Se considerd functia f :R > ili, f (x)=x+2. SA se rezolve ecuatra f(f(x))= f, (x)3. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia q* -2^ =124. Fie mul[imea A = 1 1.2,3,4,5.6] . Si se calculeze probabilitatea ca, alegind o pereche

(a, b) din mullimea AxA. produsul numerelor a 9i b sd fie impar.5. in sistemul cartezian

6. Avem sin105' = sinloo'+ +s'l= sin60' cos45' +cos60" sin45' - Jl Ji ,1 Jl -\ / 2 2 22t;. t; t; t;Vo +VZ

-- /.^^" _-q \ _-" ^ VO +{zst sln /) :stnl l6u

- /) | _ stn tu) . oecr srn IU) +srn t: - ,.- -4 ' \ -t "" -' - 4

_

Jt *Ji2

Varianta 44

1. Sa se determine partea realA a numirului complex z - | .l+l2. Sd se determine valorile reale ale lui m penku care x2 +mx +l ) 0, oricare ar fi

xeR.3. 56 se rezolve in multimea numerelor reale ecualia arcsin 2x = -f .24. Se considertr muljimea A = {0,1,2,3,.. ,9f . Sl se determine numdrul submultimilor

mullimii A care au 5 elemente dintre care exact doui sunt numere pare.5. in sistemul cartezian,de coordondte xOy se consideri-punctele B(-1,2) si C(2,-2).

Si se determine distanfa de la punctul O la dreapta BC.

6.sriindca ".1+.r I ii ca sincr=f .sasecalculeze crgc.' \2 ) 5 -

Rezolvdri1 , ll

-,.)2l.Avem z .:----: :\::' := -2i =-i = Re(z)=0.l+i (l-'Xl+') 22. Avem x2+mx+l>0 pentru VxlR daci qi numai dacd A=m2

-4

,,r,1

I

.l,el Io**ral-"*'l

5,.rrem (BC): Y-Ys -

x-xe

3. Avem 2 3i+3'^=71.3- -.> 2.32^ +3=7.3^. Folosind notaJia 3* =y,I2y'

-1y,3=0. cu soluliile y, - -.

respectiv y..2

,-' =r, =i- ",

='"*.,[;]=-t"g32,respectiv 3', =y: =3>+ x2 = 1, deci x e {-logr 2,l} .a. Avem lAl = a 9i lel = o. Construirea unei tunclii f: A ) B sEict crescttoare presupunealegerea unei submullimi {br, br, b3, b4 } c B , ale cdrei elemente le putem considera ca hindscrise in ordine crescdtoare br < b2 < bj < b4 9i definim f(k)= bk , Vk = 1,4.

5.6 .-Deci avem C; = -

= l5 asemenea funclii.

5.Avem(BC): l-Ye - x-xs .- y-l - x ( 2) .. Y-l-x+2.-' ' Yc-yg Xc-xB -1-1 -3-(-2) -2 -l

lnem

ind Ia

--l+

lune

r fiind

a6+4t6.

-m-0

narul

r(-1,1) iiram.AB=2,

lr-olvdril-,\r'em formula termenului general an =a,+(n l).r', Vne l\', unde reste ralia progresieiE:tnetice. Atunci ar + ale = ai +2r+al +18r = 2al +20r, respectiv a6 +ar6 ==3 -5r+at +l5r= 2ar +20r, deci a6+al6=al +a,o = 10.l Ecualia xr-nrx+l m=0 adnite douA riddcini realc distincte dacdqi numai dacd:=(

-)' 4(r-m) - m2 +4m 4>0 -.(-',, z-2"6)U(-z+zJi,*).-r- Se impune condilia x>0 xe(0,.") . Folosind notafia Igx = y, etualia devine:;-y=6 y' + y

- 6 = 0 , cu soluliile yr =-3 $i y: = 2. Revenind la notafia lgx=y,

irrnem lgx, =yr =-3= x, =1g-r =-l,lespectiv lgx2 =yz=2-.> x2 =102 =l0O,deci

.. i t .rool[1000 ){- O frrnctie f : .11,2,3 } -+ {1,2,3,4,51 este stdct descrescdtoare dacA Si numai dactr:{r)< r(2) < r(l). in ipoteza ca r(l) = 1. o6t1""-.a {f(2),r(r)} c {2,:,+,s} , deci avem. 1.4

ai -; = U functii posibile, eiact cete submullimi de formi {arb} admite multimea,:.3,4,5) , definind f(2) =min{a,b} si f(t)=rnax{a,b} .5.Avem Mlri =('"-xr).t+(yn-y").j= -:i+2j ei er=(*r-l

5, In sistemul cartezian de coordonate xoy se considertr punctele A(,1,1) , B(1,3) giC(:, Z) . fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Sd se determine ecuatra dreptei OG.

6. Sl se arare cd 2.(cos75'rcosts')=./6.

Rezolvdri

r.Avem (2 I i)- -3+4i . (3 iai)' = _7+24i , deci= -7 + 24i , respecti" (z-i;'= 1z*if = -'1 + 24r =

(z*i1'{12*i)']' - 1t*+iy' =

-7 - 24i , deci (z + i)o + (z - i)o ==:7 +24i_7 _24i= _14 eZ .2. Coordonatele punctelor de intersectie dintre dreapta (a), y = 2* * 1 9i parabola(l)' y=r,'***t sunt solufiile sistemutut jv=21*l > x2+x+l=2x+l=

Ly=x'+x+l.> x2

- x = 0, cu solufiile x, =6 $i x2 =1. inlocuind in y= 2x +1, obpnem corespunzator

Yr =2xr+1= 2.0+l = I gi yr=2xr+l= 2 . I + 1 = 3 , deci coordonatele punctelor deintersectie sunt (x,, y, ) = (0, t), respectiv (xr, y, ) - (1, 3) .3.Au"- 2**JGl7=ll16+x2 =121- 44x+4x2 =+ 3x2 -44x+105=0, cu soluliile *r=3 ( llle [-co,-] , respecttv

\a ( tr-l-, =i*l--,i]. deci x =3.4. Fie A = {1000,1001,...,9999} mullimea numerelor naturale de patru ciftb. AvemlAl - 9999 - 999 = 9000 . Fie A, = {1008,1017,....9990,9999J submullimea multiplilor de 9.Observam ca 1008 =9.112, 1017=9.113,..., 9999 = 9.1l l1 , deci lA1=llll_l1l=1000,de unde deducem ca o

-

I,A,l =

tooo =

1' IAI e000 e

5.Avem x.. - xA rxB+xc

-

- l+l+3 - r 11 u- -Ya*YsrYc - l+l+2 - ) rreaiG ate"1 33

coordonatefe (xu.yo)=(1.2). Atunci (OC):1=l

zLdi{ia2t-

ft=l2lcostr+i"intrll=| \ 6 6)lrunzetorde

3. Si se rezolve in mul{imea numerelor reale ecuafia cos 2 x + sin x = 0 ..1. Se consideri mullimea M={0,1,2,3,4,5}

. Sa se determirr" nur*, orp,"r"lor (a,b,c):rogrietatea ctr a, b, ce M gi a < b < c.

5. Sd se calculeze distantra dintre dreptele pualele de ecua{ii x + 2y = f ,r 2x + 4y = I I .6. Paralelogramul ABCD are AB = l, BC = 2 ti n({BAD) = 60.. Sd se calculezescalar Ae. AD .

+"u z=(-.F+i)'lk{z)

= -6a .

.r.'BE f(512)=+=:=it5t2 4lz,:,:(5r2))= r[;,J=,-lTlm cos2x+sinx=0

Varianta 49

l. Si sd arate ca numirul logo .6 + logo i/7 este rational.2, Se considerd funclia f :R-+R, f (x)=p1:

-2rnx+m-1, m R" . SA se determinem e R' astfel incit f(x)

determine

aze ca

2'

sD=BM+ffi*ND, deci ac+gD= (errl . ela )* zMN - (NC - ND) = o+2ffi+o=

=2ffi= lle 'r nol = lzt'aNl = 2MN=2 4=8'

o. o*- "

. [0,])= cos cr > 0 ' 6""1 "o'o = "[ -iifi =

srn c[- cos c!

2tsqsi ts.2o = --=;- =

I -

tg'cr

^12z'= - t?o:::

/ rl \2 119\si

Varianta 51

1.SAse determine iurn,rul elementelor multimii (A-B)n2,9,11n6"5 4=(-3'4] SiB = (r,51.

2. Sa se determine coordonalcle punctelor de intersectie a dreapta y = 2x+1 cu parabola

y=x2-x+3 t-- ,3. Sf, se rezolve in mullimea numerelor reale

ecualta J^ LIU'^:L-t4.Siserezolveinmulllmeanrrmerelolnaturaleinecuatia2*|5.deci lx Nl2^r < 20481 = {0 1'2 31'

60

+0 =

cl

3,+l si

L parabola

'=

rulur

',.4 < nl ,

6l

l -{r!m tga

r.,{rEn dist(A,d)= ls t*tzit-il- rg-,.r/5'z + 132 13

pi tgu=-L=1crgb )

l. SA se arate cd funclia2. Sd se determine a e R

7

ro -19 9'

l0

ll ll.deci tg(arb) - '5ar(tsu

-

2 5 =' l-tsa tsb I I

25Varianta 52

f :1R+JR, f (x)= l4x -81_2.14_2xl este constanti.doui puncte distincte comune.

pentru care parabola y = x2 - 2x+ a- l $i dreapta y =2x+33. SA se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia SJ + t = x .4. SA se determine numArul termenilor iralionali ai dezvolttrril (.6 * f)ts. str se determine mlR astfel incat d = (m+l)i +8J 9i n=(m_l)i_aj safie

. .6. Triunghiul ABC are lungimile laturilor AB= 5, BC = 7 ii AC*g. Sa se carculeze!t{At.

.{vem l-xl =lxl penrru vxlR,deci r(x)=l+x_al_zj+_zxl = l+x_al_lr_+xl=o[tru Vx

lR , adica functia feste constanta.Parabola y

= 12 - 2x+a-l 9i dreapta y =2x+3 au doutr puncte distincre comune dacd sioai dacd ecuatia x2

-2x+a_l=2x+3

6. Conform teoremei cosinusului, avem cos A - *;ii;;-it'

=

-

A = ",",",(;) = 1- -( 44 f ([2,3])c[ 1,0] . Reciproc, vv e [-l,o], :x e [2,:]' ^ = 2 + r& + 1 ' ustftl incat f (x) =v'oeci [-r,o]c r([2,3]). in concluzie. f([2,3]) =[-t'0]3. se impun condiliile x+8>0c) *eI e.-) 9i x>0e xe[0.'o) ,deci x e [-4,-)f'][o'-)-[o,o) . evern J**s -J; = z = .,(+s = nf +z = (J* " 8)' = (J;.4' -I1-;3=ya{Ji +4= Jx =1=

"=1.[0.')4. Avem A={1,2,4,7,8,14,28,56} mulJimea divizorilor naturali ai lui 56 observdm ci lAl =gi ci submullimea elementelor lui A divizibile prin 4 este A' = {4,8,28' 56} ' t" le'l = + ' 4"t;

AID=-=-=0,5.'82

62

5. Ob

deoarr

I.b=6. Fie

3

::1laa

! AB;6

:: cosA

lz=olvdt

l-.{.\'em

=9

iobsewamca ;+6--zi--> t=;(t-b) 5' a-6=zj- i=](a ;) .o'""ir,

.\ ^/. .\ ,'i .6i +2j=o-(a+u)+2-(d-b) = r(ri +b)+i b= 4d+2b= pd -rb= p=4 tr r=2.iroarece vectorii d 5i b sunt liniar independenli (mai mult, sunt perpendiculad, deoarece

n = u *l* t

= to. conform formulei lui He?on'

luixgi { :=$10-a10 6110-4 = ..l'io s 3, =lo^6 Avem 4RS=abc=n.=*= #=-t;VJ

= -i. und. R este lungimea razei cercului circumscris triunghiultri

)

x2 -4x +

)r naturah

rict crcsaa-

.x)< 0 =aat f (x.)=

8,.o)0[0, o

vdm ci lAl

i b=0).6.Fie a=5, b=7, c=8,

astfl

9r

Varianta 54

1. Sd se calculeze partea intreaga a nurnarufui (.6 + J7)t2. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale in..u"tlu ?4 > ff3. Si se rezolve in multlmea numerelor reale ecuuliu Vf -

" -

* = 2 .

4. Se considerd dezuottar.u (VF +.,[)on . sa ,. d.t".-ine termenul care ii conline pe xf !- la aceeagi putere.

s.Fle ro =zi+j, r" = i+l] 9' r. =li*zj vectorii de pozilie ai vArturilor triunghiu-.{BC. Si se determine vectorul de pozifie al centrului de greutate a triunghiului ABC

6. Si se calculeze lungimea nzei cercului circumscris triunghiului ABC, qtiind ca BC = 3I

eu.. (.,,6 *.,F)' - rc + 2Jz.. observdm ci (Z)' = +. ^. rs = 5' = 2. JJi. 5 =

-g

= (x

-r)(zx -r) < 0 = ". (;,1). - -{;,t}, deoarece x2 -3x + 3 > 0 pentru Vx e R,avand A = -3 < o. o*i -.lj,r.)3.Au.,', VJli-* =zc> {2-x=z x0=A=-r i 2

2R= BC o:n=]-=2..uiJ.- R=.4.sinA ./3t

Varianta 55

l. Sdse calculeze [-.6]-{-2,t1 ,.tde [x] reprezinti partea intreagd a lui x 9i {x}reprezinta partea frac{ionari a lui x.

2. sa se rezolve ir mul{rmea R x 1R .irt.-d ]*t * v' = 13 .lx+y=5

3. Si se rezolve il mullimea numerelor reale ecua.tia 4* - 5 2'*r + 16 = 04. Sd se determine x e N, x ) 2, astfel incat C':" +Ai = 30.5, Fie punctele O(0,0), A(2,1) $i B( 2,1). Sd se determine cosinusul unghiului format

de vectorii Oe qi OS .6. Sf, se calculeze tg2x , ;tiind ca ctgx = 3

Rezolvdril.Avem 22 =4

aFie S=x+y=5 ii P=xy Avem x2+y2= (^*y)t -2xy= gz ,2p= 5z-2p=13>

> P = 6 . Atunci x gi y sunt solufiile ecuafiei t2_St+p=t2-5t+6=0,respectiv tr =2 ,i::

= 3. Deci (x,y){(2,3),(3,2)}

rt la

3. Folosind nota{ia 2* = y, y > 0, ecuatia devine!; = 8. Revenind la notatia 2x = y, obtinem 2xr:t: =y2 =8=23

-

x2 =3.Deci xe{t,:} .rAvem cl ="#+= G* ,,

^i =G_;

y'] -10y+ 16 = 0, cu soluliile yr =2,i

=yt=2= xr =l, respectiv

= tx-lrx.decr Li +Ai =30=_

(x-l)x , ., 3.:)

-_:- + ( x

- 1) x = 39 > :( x _ t) x = 30 + (x * 1)x = 20 + x2 _ x _ 20 = 0, cu soluliile

tr =-4eN li x, = s . 511J2,.). Deci x=s este solutia ecuatiei.5. Avem oA- = 2i + j, os = -zi + j, l0Al =,'r' - 1' = .6, ldl =,Irt'*l, =

"f ,

Avem ctgx=3:) - ,.-l ?_ltpx33.qecr tgz\, :-, =--+,.

-=_I tg,x ( t\' 8 4'-l ; I s\r./

Varianta 561. Si se rezolve il mulfmea numerelor complexe ecualia 22 + z :3 + 4r .2. $tiindcd x, gi x, sunt riddcinile ecuatiei x2 + 3x + I = 0 , s6 se calculeze xf +xl ,3, SI se rezolve in mullimea numerelor real ecuatia l+5x _2.25x

=0.' t)"4. Se considerd dezvolta.ea I a2 +l\ {;j ' a+0 sd se determine rangul termenului careJ

De a-.5. Sd se calculeze i2

- t2, ltiind ca n,n = 3i + 2j 9i [ + n = 2i +3J.

6,-Si se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi &ephrnghic care are: de lungimi 5 9i 12.

Fie z =a+bi, nade a, be rR. Atunci 22+z= 2(a-bi)+a + bi = 3a-br =3+4i

2, Avem xr + x. -3

= (-:)' :.r=-ra.3. Folosind notalia 5" = Y ,

lv, = : e {0..:o ), respectiv'' 2=x-0.

si xlxz - 9 = 1, deci xf + x] = (*, 'r *, )' -3x'x2 (x, + x, )=a

y>0,ecua{iadevinel+y-2y2 =o a 2y2 -y l-0'cusoluliilcy, = I (0,cc). Revnind la notatia 5. = y, obtinem 5^ = 1-

aa pentm'o jto =o k = 6 ' deci termenul cautat

!-+l7a) ^l

-18 2kr,., = ci (.')" ' I.1. Termenul general din dezvoltare este54 lk

' -:- ^'Ci a ' . unde k=0.9 Ubtrnem

este T? = C3 a4 , avind rangul 7.

5.Avem d2-nr (ri i ) ( 'i r r ) = ( .r

i ' z j ) ( z i r r j ) = r ' z . z : = t :f:- -_---;

6. Conform teoremei lui Pitagora, ipotenuza are lungimea 15' +12' =l3 Tinand cont deca ipotenuza este diametru in cercul circumscris triunghiului dreptunghic, obtinem ci 2R = 13 =

tl

Varianta 57

l. Sa se arate ca nuntl-1 ..fi*a.6 .6 "rt"

nutu,ul'

2. Sa se arate ca (x2 ++"+S)("'?+ 2x+2)>1' oricare ar fi x e R3. Si se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia logl x+logr(4x)=+'

/ . \2oo4. Sd se determine termenul care nuJ contine pe x din dezvoltt* lW

+ Ji] ' x > 05.'Se consideri dreapta d: 4x 8y +1= 0 ii punctul A(2,1)' Si se determine ecuatia

dreptei care trece prin punctul A $i este paraleld cu dreapta d6' Triunghiul ABc are AB=2' AC=4 si m({A)=60' str se calculeze lungimea

medianei duse din A.

1 + +.Ji = 22 *z.z JI *(J1)' = (z *..6)' -Rezolvdri

l. Avem = 2+.,6 =

J7+4J3 =2+J3-./3 = 2eN.2.Avem x2+4x+5= (x+2)2 +l>1 pentru VxR" $i x2 +2x+2= (x+l)'z+l>l pentruVx e R, decir(x2 + +x + s)(x'? + Zx + 2) > t pentru Vx iR'

(z rvrJ

66

x:)=

-1-

-r- Se irsrune condi{ia x>0 x e (0, o.) . avem log,(4x) =log:q+log, x = 2 + Iog, x.: rlosind notafia log2 x = y , ecuatia devine y2 + 2 + y = { e y, + y _ z = u , cu soluliile:: =-2 9i y2 = l. Revenind la nota{ia log,x=y,obtinem togrr, =y, = _Zo

=t0

uaIia

nea

t:

= {1,3,5,...,200e}4' Sa se determine probabilitatea ca, alegand un element al multimri A

acesta sd fie multiplu de 3.5. Se consideri dreapta d:2x+y_l=0 9i puncnrl A (:,2) . SA se determine ecualia drcpteicare hece pnn puncnrl A 5i este perpendrculari pe dreapra d.o. rre tnunghiul ABC care T: .A! = AC = 5 9i nC = O. Si se calculeze distanta de lacentrul de greurate al triunghiului ABC la dreapta BC.

Rezolvdri

r.4y66 2=]{ -

0+41)(4-7i) _

32+sl4+ii (++z4pJ= V;V=67

329rr;.+-t:.1= Re (z)=:o) o) ..65

2. Ara de simetrie a graficului funcliei fare ecualia x=xv = -

b __(-3)

-,

3.Avem 3**,+:r-- =roJ.:"

= s.:r-+:=r0.3".a","rrar"i"1,",t=,r,=1lr.0,""r",,"devine 3y2

-lOy+3 = 0, cu solufiile y, = j. r.rp..tiu y2

= 3. Revemnd la notafia 3x = y,oblinem 3\r =r,.=l.--

-

,,_._..." _.'r _r_xr =_l . respectiv 3x, =yz =3= x, =-1 ,deci xe{_f,f}

.

4. observim ca lal = 2oo9 * t

- ,.._ r.-l 2_ -,J05, iar elementele divizibile prin 3 sunt 3=3.1,9=3.3,

15 = 3.5, ..., 2007 = 3. 669,in numir de Sll = rrr, d..i o = 331 = I

5. Avem d : 2x + y- l = 0

rpta

rta (d') .

rul de

rlcdG

t

blvdrir-r,em,e[,-i)-*(,-i) *l' j). .*1,-#J=

t) /.)\ /r\ f 9e) . f t 2 3 99\ / I \== rJ.''f;J-r*l;,J-','l-,J-'*t; ;; #)=,,1h)=-,.u! Pennu xe(-co,3)

, ecualia devine _x+3_x+4=l> x=3e(,--"o,3) .

pentru x e [3,4],=uatra decine x - 3 - x + 4 = I I = 1 , relalie indeplinitA pentru Vx

[],4]. lent u ^. (+,_),=vaga devine x-3+x-4=1> x = 4 e (4,"o). in concluzie, x e [3,4] reprezintd soluliile=uagie i.3- Se impun condifiite x>0 qi x+l,deci xe(O,f)U(f,o)

. Folosind notatia logrx=y,-uatia devine t.i=j= 2y2 5y+2=0,,;itsoluliile y, =1, respectiv y, =2. Revenindh notatia logrx=y,oblinem log, x, =y, = j=

", =.,,f ,,"specriv log3 x2=y2=2_)

=x: =32 =9,deci x.{.6,1} .10,r;U1r,-;.{. observam cd la1 =

20j0 = toos. p1s s=lneal+rn} = 1+.s,r2,.. .2004,2008} . Evident

4 = ff = rot. p;s 6 = {n e als / n } = 1ala,z+,.,2000, 200s}. Evident lcl = 3{q = 25 1I CcB,deci {neAl4/n, 8+n} -B-C are cardinalul le-cl =lal_1c1 = 502_2sr_2st,ceci p = ill

- 1005

5.Avem AB- t/tz -)'+fm-( z)]'= U/:(m,*+).deci AB 4c+ flrlr+1-a-.rz(m'? +a)=ro o m2 = 4 m=12.6.Avem sin2r,= I = I = II

' crg7x I.6? 37

Varianta 50

l. Sa se arate ca Z(t+l+t, +... + 3r)< 3r.2.Fie x', x2 solutiile ecuatiei x2 +5x-7 =0.Sdse arate ca xf +x] este intreg.3. Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecualia log, x r log, S = !4. SA se determine x e N, x ) 3, astfel incat C3*, =3.

69

S. S< ;onsrderi punctele A(2,3) ii B(-3,_2) . Si se scrie ecualia mediatoarei segmen_:.::

-tB6. Fie vectorii i 9i i.gtiindcd u.v-5,lul =2 9i ltl = 3 , sa se calculeze cos(0 9i x+t> xe(0,1)U(1,.o) . Folosind noratia log5x=y,ecuatia

15 ldevrne y+-=rr 2y- -5y.2_ 0.cusoluliile yr =rri y: _2. Revenind la notalialogrx=y,oblinem logr*, =r, =i= x, =16, respectiv log, x, -y. =23r x: = 52 - 25 . Deci l

("(r,i)Varianta 61

1. Sa se determine x real stiind ca numerele x + I , I - x ii 4 sunt in progresie adtmetlgtr2, sdse determine punctele de interseclie a parbolei y = xl +5x -6 cu axele de coordonate3. Si se rezolve in multimea [0,27t] ecuafia 2 sin x + I = 0 .4. Fie multimea M = {1,2,3,4,5,6}. Sa se determine probabilitatea ca, alegdnd una dintre

r$multimile mullimii M, aceasta sd aiba 2 elemente.

, ecuatia

4ia

3 este

I2

lui AB.

:l

i ecualia

III-lea.

5. Punctele A, B qi G au vectorii de pozi{ie r-\ = 4i +'7 j, h =2i j, rc =4i+4j.SlE determine vectorul d! pozilie a punctului C astfel incat punctul G sd fie punctul de greutate alriunghiului ABC.

6. Fie vectorii [ 9i v. Dacd lll = t, lvl = Z 9i mtrsura unghiului vectorilor d 9i i estel. sd se calculeze (2u+')(2i-il)lzzolvdril.Avem:x+1,1-x,4 crn'Oy=1(0,-6)j . -3.Avem 2sinx+l=0 sinx = -l

4. Sa se arate ca (n t)'z AlviOe (2n )! , pentru oricare n narural.5. Se considerd punctele a (3, Z) ti B (6,5) . Sd se determine coordonatele punctelor M

ii N ltiind ctr acestea impart segmentul [aU] in trei segmente congruente, iar ordinea puncteloreste A, M, N, B.

6. Sd se detennine numerele naturale a pentru care numerele a, a+l gi a+2 sunt lungi_mile laturilor unui triunghi obtuzunghic.

Rezolvdri1. Avem ::x,6,x

-5 e 6'? : x(x - 5)

.:r-1.3)nNn[2,-) ={2} , adicf, a =2. Observam cA, pentru a=2,obtinem +#=r: .-

-

-- - 2 2- J I

indepliniu $i condit iu . t.^!^ ,2u-3 .=-lr-D =-->-l'deci este za1arl)

l,-),

ect

lre laturi,

1. Sa se arate cA tirul (u" )".^ . de termen general an = I, este cresctrtor.2. Str se determine coordonatele punctelor de interseclie a parabolelor y = x2 + x + 1

t=-x2 - 2x+6 .

3, Str se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia ,in l,* 1)=r,nIr**n1\ 4) \ 4,r4. Suma coeficien(ilor binomiali ai dezvolrtrrii (:"' Sy)" este egah cu 32. Sa se

Varianta 63

termenul de rang patru.5. SA se determine me lR astfel incAt dreptele'd, : mx+3y+2=O.$i du:

Ee concuente.6. Fie ABCD un patrulater. Sa se arate cA, daca Ae .BD=O, ahnci

2knl."

IK -)l 2x+y-8=0

AB2 +CD2 ==AD2 +BCz.

:i+ri)=-tJr +Jl

4ln+ll 4n +[(n+t)(n-3)-n(n ra)l-A-vern a-

-a = --i--------1- " - L'| r\ ' \ '.1" n *4 n +3 (n +n)(n -:)

1)= --:-;__-------: >Uln+4lln+ll\_' ,/\" ",/

Vn e N, deci girul (an )nri este crescator.Coordonatele punctelor de intersectie dintre cele dou6 parabole sunt solutiile sistemului

T

v=x2+x+l.i= _.r'_ r"'. u =

x2 +x+l=-x2 -2x+6- 2x2+3x-5-0,cusolutiile *, =-i ti

/ t l' *[-1 1*, = ]2,,.rp.ciu y,, -- 12 + l + l = 3, decir. = I . la care coresnund Vr =[-:, \ 2) 4de intersec{ie au coordonatele (t,, ) = [-;, ?], respectiv (xr, y, ) = (1, 3).

. | ,\ / .\erem sini.x-1J=sin[3x+IJ= 3.x1'Lo= y-L a 21to, cu mullimea sotuliilor

itqo-r)nl It*;*l". rl, respectiv 3x +1= n -[" -f).to^,.' mullimea soluliilor

;elei mai

:0.Din

t)

t*#l-. r] observ.m cd. pentru k = 2n - 1, obrin.- 13\11)1 = (1o J", 6".1I{+n r)nl I lrzt.rrnl IJ ' t- tl.=v\l+ l--J'l 4l'--J

tn conchvie. mullimea sotuliitor ecuatiei esre {lzt-')^lt.z}'l4tll.rl

4. Suma coehcienlilor binomiali este t=Ial =2".deci 2" =32cr n=5.k=0

Avem T. -cl (2x':)- f-rf - l0 4.xr.( r25).y'= -5000xay'.

5. Dreptele d, qi d, sunt concurente dacd 9i numai dacA sistemul fonnat din ecualiile lor, respectivlmr+1v+)=o

.l l^ *

" ]' ^ ", udmite solugie umcd, adicr A =lT ]l = m-o * o 0 penrru vn )1. deci 5irul (a"}".,este strict monoton (mai precis: strict crescator).2. Avem f (x)= x2 +2x+1= (x+1)2 >0 pentru vxe,R,.deci 1i.g1(',)=i(e(')) == (e(r )+ t)- > o pentru vx e R

74

Scimpune conditia,*1*1o "-; +=+ o"..,r["*tJ =o(] -)=->

rr 1T (6k-tlrT.-J'r-^+kr:a x=

"

unde keZ.

"'{*#l-.2}nro^t I ;} {;#}.\vem cl I =._fu=" I cl-i =*#= (.-')r("-t),o"ci c] ,+c| f

Rezolvdril,Avem r=17-13=4.Din 13=ar+2r=a,+g= ar =5.2. Avem f(-x) = (-x)r + 2sin( x) = -;3 -5i1y = -f(x) , Vx e R, deci tunclia feste impar6.3. PresupunAnd prin absurd cd avem cosx = 0, obtinem din ecualie cA $i sinx = 0, ceea ceevident este imposibil, deoarece sin2x+cos2x=I pentru VxelR.Deci cosx+0.Atunci

6 ^l *= l.r x=arcrsi llrr.^- I+kn. unde kcZ.rsrnxrvrcosx =ul:Jcosx= rt u, -l Jll 6 ......*.-- ..--.t. I I

deci xel--+P71JL.2p.Lo | )4.Fie A={100,101,..999} mullimea numerelor naturale de trei cifre. Avem lAl = 999 - 99 = 900.Evident A'={110,101,200} este submul{imea numerelor cu suma cifrelor 2, Oeci p=$J='

lAl3l900 300

5. Avem d,:rnx+3y-2=0

I impartr.

ace

unci

Al

blvdriL.rvem (z + i)(3

- 2i)

- (t

- zi)(z

- i) = 8 - i -(-5i) = 8 + 4i .

/ r \ ( r r rll.rvem fl x,=l- {:l x+=l! ljx,l}= l3x} =f(x) pentru vxeR.\ 3/ l\ 3))Fnxdi a funcliei I

t;!- ^L'em .,6sinx -cosx = 1

Rezolvdril. Avem b,, > 0 qi :6,b,,24 b, =^f 6Q =9.11in=36 = 12br = br =3 (0.oo).

:br,6,b3 =

62 = br .br =

2. Functia f este stict crescdtoare dacl9i numai dacd 3 -

m2 , O

irile* -"..,s,f I.= ur.tgl- tr -lc- arcrr, I

t;i=+t=f -

*=u5:OJ

,{-.110,12, .,981 mullimea numerelor pare de doud cifie. ObservAm cA 10 =2.5 ,=l 6...., 98-2.49,deci lAl 49 4=45. Fie A'={12,16,...,96} submulfmea

lor divizibile prin 4. Observim cd 12 = 4 3, 16 - 4. 4, ..., 96 - 4. 24, deci' = 21-2 = 22 ,de unde deducem c:

22P=45

a-v- - .ttr4e -? AM .](AB eMJr +aM - :ed > ev lad.

4.ll11l\4N. AN ,\M. :nC '_AB _IAc-ABI_ j BC:I MN= lBCJ4 1 4' ' 1 4

\NllBC, de unde deducem cd vectorii MN 9i n- sunr coliniari.

J1 Jl r "ri

t7 t:422

Varianta 69

1, Sa se detcrmine zeC gtiind cd Z+7i =6.z

2. !'ie funclia f :lR +ir{, f(x)- 2' 11. Sasecalculeze f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50) .

3. Se considerd functia f:N +t\, f(x)- 3x + l. Sd se demonstreze cA functia f este4. SA se calculeze probabilitatea ca, alegAnd o cifri din multimea .J0,1,2,....9f. aceasta

verifice inegalitatea (x + 1)l -x!0.Avem i*1i =6-z

>Z+7i=62-) a-bi+7i=6(a+bi)+ a+(7 b)i=6a+6bi- a=6a ti 7-b=6b+>a=0 ti b=1> z=i.

79

/! ,r 1ll6

50 50 50f(l) rf(2)+...+f (501= tf(k) .F(zl ,r) = zir*soZ_ ,..,k=l k=l k=l

2. Avem

^ (l + so).50-r- 2 .50= 50.52=2600.

3. Observdm cd ecuatia 3x+l=0 admite solutia *= ]e N. deci func1ia fnueste su{ectivA,adicA fnu este bijectiva, de unde rezultd ci fnu este inversatrili.4. Fie A - {0, 1, 2,..., 9} multimea cifrelor. Evident lal = tO. avem (x + t)l- x ! == x! (x +l)-x! = x!.x. Observ6mcd 0!.0 = 0 < t!.1 = l < 21.2 = 4 < Ji.3 =18 5, deci A, = {x e Al(x +r)t_xl < tOO} =

10.1.2.3.41 . de unde deducem c, p=lj]=a=o.s.lAl 105, Observtmci (x,y)ed, e 2x

- y + I = 0 o ,2x + y _ I = 0 2.(,x)+y_l=0c>

: ob,servam ca r(rt"l)=;l= f =* p.n* vxeR..deciI (X/x

s=1-to)+(-e)+. .+(-l)+1+2+.. +10 = 0.

1-{r'em f (x,)=r(x,)+ rog, (:*, + r) = rog, (:\ +r)+:*,+1=3x,+1+ x, =x,,decifuctia f este injectivA.

. al{.{rem Ci =*o Al -Pr CI =0 pentru n=5 9i k = 3 , relalia deviner|

-ri-3! c3 =A: -6c; =0.

!..{vem disr(A.d)= l'- 1(-l')l- | '-51 -r.=.,/:'*1-a;' s lm+51 =5e' m+5 =15c>

t;,/;22

netrice

em=-515, deci m e {_t0,0} .L cos75"

-cos15' = -z.in 75",15"

ri n'15" !15" 2sin30.sin45.

.71sln- =4 Varianta 71

l. Sd se calculeze log, 2009 -

log, 287 -

I .

2.Se considerd func{ia f :R" -+ R, f (x)= x: l. Sa se arare ca funcia f estepa .3. SA se arate ca valoarea maximi a funcliei f:R +R, f(x)= 3

- x4 este f(0).

4. SA se determine n e N, n ) 2, astfel incat 3C| +2C3 =g.5. Se considera fiunghiul ABC qi punctete A,, B', C' astfel incat eC=ZgA,,)_ _

B'C = : AC. C' A = 3BC' . Sa se arate cA dreptele AA', BB, $i CC' sunt concuente.6. SA se determine ecualia medianei corespunztrtoare laturii BC a triunghiului ABC,

:tiind ca A(2,2) 9i cA ecualiile medianelor duse din B Si C sunt 2x+y_2=0, respectivr-y+2-0.

lezolvdri

l.Avem 1og.2009-log- 287 I log, ?q2 .t- log.7 l- l-t-0.2' Avem f(-x)=(-^)'-, 5= *' - { = 11" 1, p.ntru Vx e R*. deci tunclia feste pard.( x)-3. Avem xa 20 pentni VxelR,deci f (x)= j-x4

4. Avem Cl = t----------i-- - n(n -

l)!.1!n!

$i ci _ n! _(n 1)n\n- 2)1.21 ,deci

3CL +2cl =8=

-3n*, (n-;)n =8= n2 + 2n - 8 = 0, cu solulile nr =,4eN li n, =2.Iy1-11r,-; .tnconcluzie, solulia ecuatiei este n = 2 .

s.oin er=zeA'= e'e(nc) $' +:=+ o,n sr=3Ac= B'e(AC) siA'(. t 5#=i=# iDinC'A.3BCi=('c(AB) ,' #=r observimcdA'B B'C C'A I2.AC B,A C ts = t 1., - I 9r atunci, conform reciprocei teoremei lui Ceva, dreptele AA,,BB' si CC' sunt concwente.6. coordonatele centrului de greutate G al triunghiului ABC sunr solutiile sistemului format dinecualiile celor doud mediane, ,"rp..,t,, 11:-"t_;110 aounana cele dous ecuatii, ob{inem3x=0> x=0 9i, inlocuind in ecua.tia x-y+2=0,oblinem y=2, deci coordonatele lui Gsunt (xc,yc)=(0,2) . Ecuatia medianei din A este ecualia dreptei doterminate de puncteleA(2,2) $i G(0,2) , respectiv y=2.

Varianta 72

1 n o),oo1. SA se arate cA nunlirul I cos:+isin- I este real.i 4 4)2. Se considerd functia f :R'--,R, f(x) = xr ]. Sa r. uru,.

"tr ii.rrclia feste impard.

'x3. SI se determine imaginea funcliei f :[t,,t]-+ R , f(x) = x, , ; .4. S4 se calculeze Cloon .5,oo,

- Cloon . 5,oot .4 + cjoon . 52007 .4, _... _ C;BBB .4r0. .

5. Se considerd punctul A(1,2) 9i dreapta de ecualie d,:4x-2y+5-0.SAsedetermineecuatia perpendicularei duse din punctul A pe dreapta d.

6. SI se calculeze sin75".cos15".

Rezolvdri

1. conform formulei lui Moivre, avem [.or1* l.ln 1']'oo = .or l!9I * i rirrJ!9 =t 4 4) 4 4 ll= cos25n +isin25n = cosr+isinn = -l e lR .

2.Avem f(-x)=(--)'r-+ = *t*-L- f "'-1.J- -f(x).penrru vxeR.,deci(-xl x \ x/

funcfia f este impard.l.

82

!. t-'.3m xv = *=: decifestestrictcrescitoarepe-"rti-* fj,_)n[r,,,]= [1.e]

scn im cd f (, = r, -

I = 0 ri f ( 4) = 4, _ 4 = 12. Atunci imf = f ([ r, +]) = lt O, r 1a)l ==-l'.121 , unde am folosit faptul cA funcFa feste strict crescitoare si continud.JLrrL. !rLrLdruilrs )t conulua{ }:sen im ci suma datd S este dezvoltarea dupd binomul lui Nelvton pentru

" - :aoa

.---rf =l''" =l,deci S=1.

r-:ern d:4x-2y+S-O

3. Facand notalia 2' = y , y>0, ecualia devine y2+y_20=0,cusoluiile yr =_5e(0,.o) ,iy: =4e(0,-) . Revenind la notafia 2* = y, obtinem 2* =4-.> x=2.

4. Observf,m cl 0 = 5. 0, 5 = 5. 1, 10 = 5. 2,..., 2O1O = 5. 4O2, deci lal = a93 . pi.A ' - 10,25,50,.. ,2000| submullimea elementelor divizibile cu 25. Obseram c6 0 = 25 .0 .25 = 25.1 ,50=25.2,...,2o0o=2 la'-.]- sr5.80.deci lA'l =8l.Atunci r Fi .,5. observimc6 AD AB = (uee+.ec) na= baB2 +cac.ABcosA = bc2 +bc2cosA ==bc'?(t+cosA) 9i ao ac= (Uae+caC).ec- bAB.ACcosA+cAC2

=

=b2ccosA+b2c = brc(1+cosa). Arunci cos(DIE)=ee= bc2(l+cose) -

.\/AD.ABc.ADbc (l r cosA)--AI)-- . respecliv cos tDAC/ = AD.AC

AD.AC bzc(1. cos A) bc(l+ cos A )b 4D = ---lp -. oecr

""r(tAB)= ""r(tAa)- tAD=DAa= [AD este bisecroarea unghiului 6Ii.6, Avem coscr

c) $i ! Sc qune condilia 2-x >0o xe(-"o,2] . Avem Jz,* *ViJ =o-..== -i!r =Vz-i- (Jr_,I =(V;y.

= (z_,.), =(z_*),

=

=,: - ^)'(t -,,)- 0, cu solutiile {1,2} c(-"o,2]''-':m cl*u = ##5 $$ , ,",0"",'u .1., =;##\t, = $$ . ,u,o"n,

*, = Ci-o pentru Va, b N- ..-.:- (aB), ;*=;*- H=H* y_3=_(x_r)

2. Se consideri ecualia x2-3x+l=0, cu rtrddcinile x, gi xr. SA se arate cAxi+x;N.

3. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia arctg.6 + arctgx = I .4. 56 se arate cd oricare ar fi n natural, n ) I , are loc egalitatea Cln = 2. Cl,_r .5. Se considerd vectorii i =i-i It v=2i+aj. Si se calculeze modulul vectorulur

i+i.6. Fie cr lI.r l . astfel incir ,ino = ]. Str se calculeze ts9 .\2 ) s '2

1. Si se verifrce dacl numdrul .!l-Z^lZ apa4ine mullimii \^*dil^,a.2\

3. Se impune condi{ia x'+x-2>0

trelAvemial.cu

lta dr,

U(r,."

ABDCn (,,se

lc,

'..11-:-2JJ= (Ji)'-zJzt-(",[ r)',a".i nE z{z U@J=p-'1=.l-:=

-l+l l[ = =

a=-]LSib=IeZ astfel incat ,ll -2.f,2 =u*AJi--

r ':= S = xr *

", = ! = 3 $i p = xrx, = ! = y . 4..i xi + xi = S, - 2B = 32 - 2 . I = 7 N .

.-,: .rctg.,6+arctgx =1e ur.tg* =1-ur.,*n5 -: :=+- - - O; =+

.--: c:" =#= ,-(tl:4 2C1,, r,pentru vneN..

T]. oblinem 1=j)-3t'? -10r+3=0, cusolutile tj =]=;e(1,"c3 ,),, respectiv) l+t'

=-:;11.1),6qci 1s9=3.-2

Varianta 77

l. Se considerii progresia aritmetic?i (a")",, de ratie 2 cu ar +a4 =g. SA se determine

2.Fie f :-d >R, f(x) = I + x . Sd se calcuteze t( t)+t(-Z)+r(-l)+...+f(-10)3, Sd sc rezolve in multimca numerelor reale ecuatia 4'

- 2' = 56 .

{. Si se calculeze A1 -Al -Ci.

5. Fie ABC un triunghi 9i G centrul sAu d greutate. Se considera punctul M definit prin= -2Vd . Sa se arate cd dreptele GM 9i AC sunt paralele.

o. f" "

.

lO,lJ , astfel incat ,ino = ] . Sd se calculeze rgc.

;i:Ial-al+2r= 9i a,, =a, +11= a, +6,deci al +at =8

3. Folosind notafia 2x =y, y > 0 , ecualia devine y2 -y-56=0, cusoluliile yr =-7e(0,"o),respectiv y2 =8e(0,0c).Deci 2* =8+ x--3.4. Avem A] = , ,41^.., = 24 , A4- ]t - 4lj -;j-=0. c; =:-=o.deci el ej2 12-3 -v4 -(4

-3)! (3 - 2)! 21.21 -'=24-6-6=12.5. Fie A' mijlocul taturii BC. oin ME = -zMe = M e (Bc)

.MC I MC I.MB 2 BC 3

MCIMC2GA2GAMC--)_=_= _. Avem si _=_. deci _=_> cMllAc.2A'C ] A'C J A'A 3 A'A A'Co. a*-

" . (0,1) > cos., >o+.oro =J:in'o = , deci

sinc 3 4 3Jjtgfl=-=cosc a Jl 7

Varianta 78

l. Si se calculeze lors? S;J .2. Si se rezolve in mul{imea numerelor reale inecua{ia 2x2

-3x+l

:(0,co),

3rl4

!.rrem BF = 2FD =

er = z(ao _ei) =

:eF = znD * * = i- = l1"a _ m;1= tgn = 1t1u*O;=#ffi= tga+tgb=l-tgatgb:) tga tsb + tsa + tsb = Il -\vem

Varianta 79/ 1\l. Sa se arale ca | -o.: ]t-l(togr:.o)= A.\ ./

2. Se consideri firnctia f :lR-+lR, f(x)=;? _4^ *3. SA se detnnne abscisele punctelor-

neneclie a graficului func{iei fcu axa Ox.3. Sf, se rezolve h mullimea numerelor reale ecuatia Ji + Jf _ * = f .4. Str se determine n e N, n ) 3, astfel inc6t C] sd dividA Cl*,.

, _ 5. Fie punctele A(1,2), B(-1,3) 9i C(0,4) . 56 se calculeze lungimea indllimii duse dintnrl A al n-iunghiului ABC.6. Fie x e lR , astfel incat tg2x

- 6. Si se calculeze cosz x .

Frualia x2-4x+3=0 admite solufile x, =1 9i x, = 3, care reprezinti abscisele punctelordeneclie a g:aficului funcliei f cu axa Ox.

Se urpun condiliile x>0e xe[0,"o) 9i 1_x>0e xe (*o,l],decir:[0,-)t-t(-"o,1]= [o,r] . avem Ji*Jr_* =r= (Ji*/_;1'=,,

=

= r + I

- x + 2./x (l

-

^) =t> 2Jx(l-x) =0> x(1- x)= 0, cu soluliile x {0,1}c [0,1].'{vem cl., =#}= 5 r1*t= # .; = *=#='.*

c;/c;r,e*.^* j.^on-ze{r,:} e ue{:,s} .

.llem (BC): J--Ii x-xB c v-3 x-(-t)'' Yc-Ys *.-*" t;-=C.;- x-v+4=0'Lungimeaindllimii

din vArful A al triunghiului ABC este egall cu dist(A.BC) lt-t f +l _ 3Jt2

l1t+6 7

II + tg2x

*(-1)'faptul cl

-{vem cos2 x

89

Varianta 80

l. Si se calculeze I1 ili l-r')/l ;r). /t ir* I'/\"/ \' t'2. Se considerd firnctiile f;R

-+ R. f(x)= t x 5i g:R -+ R , g(x)= Zx tca funcfia f. g este descrescatoare.

3. Sd se rezolve in mullimea numerelor r.ule ine"uugiu,.{61? > l4. Sd se calculeze numarul func(iilor injective f:11,2,3| -+ {t,2.:.+,S} cu

ca f (l) *15. Sd se determine ecualia dreptei care trece prin purctul p(4.-1) gr este paralela

.lrcahrr w-?',rl-n

6. l'ie x e R astfel incat sin x =

Si se

f *.o, "

. Si se calculeze sin 2x

Rezolvdri1.Avem ia =l e I ia =0. Deoarece factorul 1- ia apare in produs, deducem ci intreg pro-dusul este nul.2.Avem (f.g)(x)= i(e('))= l-g(x):r-12.-y) = -2x +:, vx R . observdm ca,Vx,,x, e1R!avem xi

-2xt+2> 2x.+2--> (f.g)(xr)>(f.g)(x,), deci f.geste descrescatoars.

3. au.- i6-7>t* (Vr-t') >lr 2-xr >r x2

.Sdse

paralela

nneg pro-

n ca,

rirului de

Varianta g11. Str se calculeze partea htreagd a numarului log2joo.2' Se considerd ecualia x2-2x+m=0, me rR, care are r'dicinile realc-

xrl = I , sd se determine m.3. Sf, se rezolve in mulflmea numerelor reale ecualia4. 56 se calculeze Cfu+Cfu+Cfu+. .+Cll.5. SA se determine a e R , gtirnd ci dreptele de ecuafii6, Fie a. be R . astfel incar a +A __|. Sa se arate ca

lkolvd.riL

-{vem 2E =254

Rezolvdrir. evem (t+i)2 = 2i? (1+i)4 =(zi)'?--+= (t+i)a++=o,deciza +4=0.2.Avem a=1. b=-4. c-9. A=b2 - 4ac - -20. *u =-]=2.

za

l+i este radacina ecua(iei

r" =-f,=s obsewamca xv+yv =2+5='7,deci v(2,5) apa4ine drcptei de ecuatie x+y=7.3.Daca r:{t,2,3} -+{+,s,0} este injecdva. atunci lr(1r.2,:1)f=11r,z.l}l =:.cu-r({r, z,:}) c {+,s,0} ri l{+,s, o}l = :, oeducem ca r({L 2,3}) = {4,5,6}, decir(t)+ r(z)+ r(l) = 4+s+6 = 15.4.p1" y={to, ,. ,99} ,IMI =99-9=90,5i A={1,3,5,7,9} multimea cifrelor impare.Observlm cd ab este format doar din ciffe impare dacd 9i numai dgctr (a, b) e A x A , iar

- )s 5

l.+,al -lel'=52 =25.deci r='- "5. en=(xu-xo)i*(vu-ro)J= i+ri ei .tc-(x6 *n)i+(vc r,r) j- -2i+4i,oec'

ea ac = (i -:J) ( -zl + +j)= 1.(-2)+3.4 = r0.6. Avem sin3a -3sina 4sinra- I -L-+ [llt =4 \4)

Varianta 83

l. Sd se amte cd numard {i5 apa4ine intervalului (J7,loer5).2. S[ se afle valorile reale ale lui m, gtiind cd x2+3x+m)0,oricarearlt xeR3. Si se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia .t [- .; )-.*[; -.) =t

3 1 i1416 16

4. intr-o umd sunt 49 de bile, inscriplionate cu numerele de la I la 49. Sd seprobabilitatea ca, extragand o bild din urna, aceasta sd aiba scris pe ea un patrat perfect.

. 5. Sa se determine meR Strind ca veclorii U=2i-fj 5i v-mi r4j sunt

diculari.6. Sl se arate cd tgl' . tg2" tg3' ... tg89' = 1 .

Rezolvdri

t.evem J7=6= .i6.99=ii5 rl ll5

Zi +4j ,

'*-' *"(; -.) =''l; -(; -.)i =,'(,. *r), o*,,,"(".*). *,[]

-.) =, --..-["*l) = t

-'-[-.;) =; .. **f =( r)* I*kn .- * = - a..1-1;k n *1n,keZ.

tu A = {1,2,...,49} pi e, = {tr,2r,...,;2 } submultimea pafiatelor perfecre.ta ,l

lel =+r ei je'l =u.oeci o=11 =1=1lAl 4e 7-{rem i $i i perpendiculari daca si numai daca i.i=0e (zi _:J). (_i. +J) =b-12=0e m=6.

-*)=l p.nrru vx. (o',m').(tg++" tg+a' ). tg+s' -- r .

i r = (tgr . tgar" ). (tgz. . tgss')....

Varianta'841. Fie z e C . Sa se arate cA, dactr 22+32 e lR, atunci z e R .2. Str se determine func1ia de gradul al doilea al c6rei grafic conline punctele (0,4)

,

-2) si (- t,l).3, Sd se arate cA firnctia f :(0,"o)-+(1.:), f(x)= x+i esle bjjectjvA.

xi-l4. Sd se determine numerele naturale n, n > 5, astfel incat C; = C: .5, Se considerd punctele A, B, C, D astfel incAt 6 = CD . SA se arate ca rrc+OB=fi6. Fie a, be lR, astfel incat a-b = r. Sd se arate cd are loc relafia cosa.cosb S 0.

Fie z = a +bi, unde a, b e R . Atunci zz + 32 = 2(a +bi) +i(a -

bi) = 5a -

bi e R c) b = 0 z=alR.

Fie f :lR -+lR, f (x) = 212 + bx +c , unde a eR- gib, ce tR. Arunci (0,+)e C, 'f(o) =a

x+lJ,UDservamca I{xl=;;))

=, l+-=l+-= xl

xl +l x? +t

)I r-4. Vx . (0.:. ). Arunci f(x,)- f(i. )== x2 , deci funclia feste injectivA. ObservAm cd pentru

vyc(1.3) avemy 1.(0.2)Q-2 u11.,1-,4' lj.(0.c).iart[ ='

y I t-t \J ))

=l'-+-= ," 2(va-t)=y.deci penrm vye (l.l).3 re(o.".;. x !-l 2511q1J-y , 2 y ry-1

f(x): f, adica functia feste surjectivf. in concluzie. funclia feste bijectivi.4.Avem cl (i jr

---r !

=-"1 -'- - 1"-ll, *- (n. l)(n r) a s>l:.(n-3)r sr'(n . s): (n s): 3l+nt

-7n-8-0, cu soluliile nr = leN 9i n. =8e N[][5,:-) ,deci n =8.s.avem,qC+ofi = AB rBC DEi=CDf Dd'BC cD+oc=0.6. Avem a-b-n= a =r+b- cosa = cos(7l t b)- -cosb = cosa cosb=-cos2b

:rm]

-l

r -rrem (1+ 2)7 = Iclr'uzu = i.|r- . neoarece ci =cl =r, c| =cf = z,l=0 k=0

:= =cf -9--zr, cl cj =16 72 l.;l = 15 ' obrinem cl:,1-2)

= 21 17.2a +21.25 +35.2a +35.2) +21.22 +7.2+1.ftervam ci, exceptand primul gi ultimul termen, toti ceilalfi sunt divrzibili prin 2..1 = 14 , deciin oltarea conline 8 2 = 6 termeni divizibili prin 14.a-\rem S= o vr =JJ- a2 =4,4 - a = 2, unde am notat cu,,a,, lungimea laturii triunghiuluia:alateral. Atunci AB.AC= AB.AC.cosA= a:cos60. = q.!=2.

2a.

-{rem sin 2a -

sin 2b = 2 sin (a -

b)cos (a + b) = 2 sin (a -

b)cos]I _ o .2

Varianta g6

l. Sa se arate ca nurna-l l'J'*l-3i .-.--. 'l_li l J.rt.r.ul

2. Numerele reale a 9i b au suma 5 9i produsut 2. Sd se calculeze yalour"" ,o-"i I * I .DA

3. Str se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia .i, | * * i ) = *, f ,< _ . ) .\ rl l. 6/4. CAte elemente ale multimii e= {*j*=C},f..N,k

4.Avem c! =cl =1, c| =ci=i, c?, =c', =!J =215i cl =cl = fff=:s,a..iA = {1,7,21,35} , avAnd doar cele trei elemente 7,21 qi 35 divizibile prin 7.5. Conform teorcmei lui Pitagom, avem AC'z=AD'?+DC2

- 62 +32 =45- AC=..6t-3.6.Deoarece AE+Ad+AD= (AB+AD)+aC= aC+a-= 2Ad, obtinem cdIAB. AC . ADI = lzacl = zec = 0.6 .6. Avem cos(l 80'

- *)

- -.or,, "o. "

*

"or(180' - ") = 0 p""nu vx e (o', tao' ), aectS = cos l' + cos 2" +... + cos 189" = (cos l' + cos 189' ) + (cos 2" + cos 188' ) +... ++ (cos 89" + cos91' J+ cos 90" = 0 .

Varianta 87

1.Fie ze C o rddtrcind de ordinul 3 a unitdtii. diferita de 1. Sd se calculeze l+z+222. Si se determine solutiile innegi ale.inecuatiei x2 . x

-6 s 0.3. Fie tunc1ia f :(1,"o) +(2,"o), f(x)= 1'z 11. Sd se araG cd tunc1ia feste bijectivi.4. Cate numere nahuale de la I la 100 sunt divizibile cu 6 9i cu 8?5. Si se determine alR pentru care vectorii 1=ai+(a+t)j 9i [=:i*Sj

coliniari.6. Triunghiul ABC are laturile AB=3, BC=5 ii AC=2. Sd se calculeze

razei cercului lnscris in triunghiul ABC.

Rezolvdri'

,,1 1LAvem z- =l xf =xl = {*i = Jtl

lt,l=l*rl= x, = xr, adictr tuncfia feste injectivA. Pentru Vye(2,o) avemy-le(t,"o)o/F.11-; $t f (JF)=(Jyr)'*t- r, deci am verifrcar cd, pentruVy(2,.o),: xe(t,o),x=n[J,astfelincAtf(x)=y,adicdtuncliafestesurjectiva.i-uconcluzie. fu ncqia f este bijectivi.

L

96

35 , deci

'6;=

) , aecl

| -{ = {1,2,...,100} . observdm cd 6/'

Al24 / n] = {24,48,72,s6),, 1i1ti i1' * 24 / n' .uade 24 = c nrnm c (0,8), iar

v, 9i v, sunt coliniari dac6 9i numai du"a 1=3j-l_.

{ .tra ni = r:* = (n - z)(n - l)n . Eviclent 3 /(n - 2)(n - l)n, deoarece produsulcon$ne ti termeni consecutivi, dintre care obligatoriu unul este divizibil cu 3.5. Avem EF=Ed+cF ei uc=nF+F6=+ Br+nc=rc+HF+(GF*FE)

=

t_ l_ -

_

= -CA +-:CA +0 = CA . unde am folosit faptul c6 EG 9i HF sunt linii mijlocii in

ABC, respectiv CDA.

6.Nor6m t = tsx. Dr -.(+,?r> 3t2 + 10t + 3 = 0, cu soluliile t,

2t3Srn lx =

----

= -- -1+ t' 5

2,= -ae (-t.O), aeci tgx =_1

)- r . 1-r,oy= -3 e (- 1,0)

.vem

Varianta 891. 56 se determine numerele cornplexe z care verihci relalia z+3i = 6.2 .2. Si se rezolve tr mullimea numerelor reale ecuafia lt _ Zxl = lx + al .

3. Sase determine imaginea ftrncliei f: R --r R. f(x !; __ r-l+4x'4. Sd se determine numiml funcfiilor strict monotone f :{t,Z,:} _+ {S, O, Z, S} .5. Str se demonstreze cA, pentru orice punct M din planul paralelogramului ABCD,

loc egalitatea tr,te + VC = Vg * I\aD .6, Fie a gi b numere reale. astfel incat a+b=*.Sase arale ca

sin 2a -sin 2b -sin(a - b) = 0 .

Rezolvdril.Fie z = a + bi , unde a, b e lR . Atr_rnci z+3i=6.2o a+bi+3i=6(a_bi)o a =6ab+3=-6bo a=0 si b=-3.de.i r=-]i.'173,Avemll-2xl =lx+41= 1- 2x = x + 4 , cu solufa xr =-l ,sau I - Zx = -(x +4). cuxz = 5, deci x e {-1,5} .3. Inf = {y eRl lx eR,f(x)=v} .Avem;i*=r* 4yx2 -x+y=s.pentru y=0obfinem x = 0 . Pentru y + O , ecualia admite rdd.icini reale dacA ,i numai dace

r I t rl . ^ | r tl^=l-l6y')0

presupnnem cA lt < yz < yt .Observdm ci fiecare asemenea submultime permitea dout functii strict monotone. respectiv o functie sbict crescrtoare f(k)= y, 9i o

strict descrescdtoare y(k)= y,r-i,unde k e {12,:}. in concluzie, avem un total deCi = 8 functri strict monotone.

ACn BD = {O} . Avem ABCD paralelogram dac6 9i numai dacd punctul O este mijloculAC 5i BD. Deoarece t"te +tllC = ZttlO si MB+MD=2MO,deducemci

- MC = MB + MD pentru orice punct M.

sin2a -sin2b = 2sin(a - b)cos(a +b) = zsin(a -b)cosll = sin(a -b) +

_13 o 2a - sin2b - sin(a -b) = 0 .

Varianta 90

1. Se considerl progresia aritneticf, (a. ).>r cu raiia 3. Stiind cA suma primilor l0 termenieste 150, sl se afle a,.

2. SA se determine toate perechile (a,b) de qumere reale pentru care a1 +b2 = a+b =2 .3. S{ se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia lgx+lg(9-2x) = l.4. Si se determine probabilitatea ca, aleg6nd un numrr din mu\imea 11,2,3,...,1001 ,str nu {ie divizibil cu 7.5. Se considerd punctele A(0,2), B(L-l) ii C(5,1) . Se se determine ecuatia dreptei

din virful A, perpendiculartr pe dreapta BC.6. sa se arate cd 1*"or?1*"or11*"or!1*"or!1=g.5555

X'

ui ABCD,

4),cu

h Y=o

.vr).

(a, +a,") l0-{rem 5,6 5(a, +a,o)=1591ar +ar' =30= a,+a,+9r=

-l;2, +Z/ = tU.:> a, =-.

2

-tvem (a +b)2 =a2+b2 +2ab* 22 =2+2ab-> ab=1. Din relatiile S=a+b=2 9i= ab = I , de ducem ctr a gi b sunt solu[iile ecualiei x2 -Sx+P= x2 2x+1=0,adicd

r=b=t= (a.b)= (Ll) .

lgx + lg(9- 2x) = 1= lgr(e 2x)=lgl0=

99

. ( o\ / o\

re{0.o)11l -o.: l= | 0.1 l. Avem

' \ 2) \ 2)duce gene-

., = r . [ni] ri ", = 1. (o,t) , a*i=x(e-zx)=1sat slxe{2.:l-| 2)2x2

-9x + 10 = 0, cu solufiile

4. Fie M = {1,2,3,...,100} ti M'= {7,14,...,98} submulfimea multiptilor de 7. Avem 7 =7.t.14 =1.2,.... e8=7.14.deci lul= ra3 Irur -vr1 = lvl-llrl = roo- r+ = 86, deci

R6p=-:=0.86.- 100

5. Avem (BC) : l-!e X-Xn Y-(-l) x-l v+l r-l | 1Yc -Ye Xc -xe I-(-l) 5-l 2 4 - ' z^ i

* = I , und" m = panta (BC) . Fie d, perpendiculara dustr din vdrful A pe deapta BC. Dind' 1 Bc +

-' = -* = r, *6" p, = panta(d). Drn A(0,2) d,

= y_2 = _2(x _0) >

:) 2x + y -2 = 0, deci (d,) : 2x+y_2 = 0.

21 4T 6n gn 21 4n6. Fie S - I * cos? l q65:1-qs5:a1sp531 5t q = stn11 *"inf * r-!1*sinE. Au.rn( 't- 1-\ |

s ,io = r +lcos4*i,in4,J* (*,11*,,i"3J-(*,9 -,,,,!1).,( n" r-\,l*r!1*irin!1.J. Dacanoum.or?1*;r1n?I=, 9i aplictrm formula Iui Moivre. oblinem

s+i

).), oecl

3.-, o9cl

Din

o)=

&olvdrir.rvem lzl=(Jz-r)'*(O*r)' - t- zJi +s+ zJi = a .aDia x+2y=f

=1 x=.1-2y.Avem x, -6y, =13 (t-Zy)2 -Ay, =l-4y_2y2 =1.>

=2y(y+2)=0,cusolu{iile y, =-2 ri yz =0. Corespunztrror, xr =l-2yr =5 lit_=r-2yz

= l. Deci (x,y)e{(5,-2),(1,0)}Observtrm ca f(-l)=f(0)=l,de$i

-l +0, deci tunclia fnu este injectivA.Conform formulei de recurentl pentru combintrri, avem Cfo = Cl + Cf > Ci. _C; = C;I.O

2

I3

ratia progresiei geometrice. Din a, b, c,

c=aq2, d=aq3.Atunci d-a = aq3

t0l

de (0,co) deducem cd Si q(0,"o).u= u (c' - t) = z . observam cd are loc

r_ _r2-rvem les+eol- = (*-*)" = AB2+AD2+2AE.eo ti lar_aol'=

=tS-eo)' = A82 +ADr -2Art.AD.ebservdmcd laE - er;l _lee-edl -=

AB AD = 0:+ AB l- AD :+ ABCD &eptunghi.-\plicdnd formulele sin xsin y = afcos( x - y) - cos( x + y)]. | + cos 2x = 2cos2 x gi

c(-x) = qs5 x . obtinem ca sir40'.sint40 = 1l*i(-roo. )-.*(rsoJl -

. 56 se calculeze sin2o

Fie q e 1R'

Varianta 921. Numerele reale pozitive a. b, c, d sunt in progresie geometricd. $tiind ci d _ a = 7 si

e- b = 2 , si se afle ratia progresiei.2, SA se determine valorile reale nenule ale lui m gtiind c6 mx2 + x _ 2 < 0 , oricare ar fir=R.3. Sa se rezolve in inrervalul (0.5) ecuaria ,i"fZ-

-])= -]' \ 6) 24. Sd se determine numrrul n = Clro _ Cio + c,ao _ cfo + Cfo .5. Si se deterrnine aR pentru care vsclsdi [=(a-l)i_(Za+Z)j 9i v=(a+f)i_J

perpendiculari./-\6. Fie a e J r,{ I astret incit cosq

\ .J

L_-^

qr-l>0,deci q>l.Din c-b= 2 > aq'?-aq=aq(q-1) = 2. Am obfinut astfel sistemulf" fq' -rl= zj'- / .Inpl4indcele doua ecuatli membru cu membru, oblin.- 3t-1,=l=laq(q-t)=z q(q-l) 2-

q2 +q+l _

7 =

2q2 _5o+2=- .. I^

.t 0.cusolufiile 9r =;e (l.co) ti q: -2e(l.o).Deci q=Y-

2. Avem mx2+x-2 = ( _.-.->.f2 6 2) 12 6 2)

4. Conform formulei combinirilor complementare, avem Clo = C,to e -C,'?' + Cfo = I 91cio =clo i.i=0

sistemul

7

2

Deci q =

0

2. Avem f(-x)= t t-l--l=,nl..x-,-11-x1' ,-f l-^)l r-(-x) r_"= '"{.1.^J = -tlt--.1= -r(x) pentruV x e(-t,t) , deci tuncfia f este impala.3.Avem 5* +:-- = zl.s* sinA=l>drepnrnghic, cu unghiul drept in vArful A.6. Avem sinc + coss = I :5 (sind + cosc)2 = 12

= sin2 c + cos2 c + 2sin q coso. = I +

=l+sin2o. =l> sin2d =0- tgZo= jI+=q.

Varianta gs

t. SI se calculeze panea inneagtr a nu-aUui ;fr2, Sd se rezolve in mul{imea numerelor reale ecualia

"

*-J= = t.tx+ll3. Str se studieze monotonia functiei f :(0, o)_+ R , f(x)= 2009" +logroon x.4. Care este probabilitatea ca, alegAnd un numdr din mullimea numerelor nahrrale de

cifre, produsul cifielor sale sl fie impar?5. Sd se demonstreze cd vectorii O=gi+ai 9i n=(a+l)i+aj nupotfi

pentru nicio valoare real6 a numirului a.6, sa se arate ctr sin x + sin 3x + sin 5x = (l + 2cos 2x).sin 3x, oricare ar fi x e IR.

Rezolvdri

l.nvema=ff= g+- ro(Jz+r)- Jzoo.ro.!z_t (Jz)__r,

A = 1 , deci triunghiul ABC este

104

142 = 196 . 2gg . 225 = t52

= 14 < rDbd'< l5

= [J-o]=r+=

mir

le

r: = :Jzoo * ro] = fJzoo] - ro = u + to = 24.

I--i =,- * = x. _l=l:r x, =2,cusolufiile xr =_JTe(__,_l) , respectiv

=J2 e (-.o,-r). rentru x (-l,l), ecualia devine fr=f _*= l=l_x2 =+

r=0e(-t,l) .oect xe{_rD,o}

.

.tEu a>l,funcfile x-+ax gi x_+log"x sunt strict crescdtoare; decr Fi functia sumi'+f(x)=a* +log, x este strict cresctrtoare. in particular, pentm a = 2009 > l, fuacpa

M={100,101,...,999} mul;imea numerelor de trdi cifie 9i e={t,:,57,9} mullirnear [rpare. Evident lMl =900 $i lAl =5. observam ci, penru v i6ie M, a.b.c estedaci pi numai dacd a, b 9i c sunt impare o (a, b, c)e A x A xA, deci avcm

..r "al = jal' = 5r astfel de numere, de unde deducem

", o =

* =

*

sin 5x + sin x = 2 sin !I,JI *r5 = 2 sin 3x cos 2x, deci sin x + sin 3x + sin 5x =

Varianta 96l. Fie a, b, c numere naturale nenule in progresie geometricl. $tiind ctr a +b+cpar, str se arate c6 numerele a, b, c sunr Dare.

, .lfl" tuncfia f :]R -+ R, f(x)

= 1, a3" 12. Se se arate cr f(a)+f(a+l)>0,3. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale inecuatia log, x + logo x > 3 .4. Str se dtermine numerele nafiuale 11 n > 2, pentru care Cl +Ci

= fZO .

quae condilia ll+xl *00:t xe(--,t)-{-r} penftu x

a>2.5, SA se arate ca unghiul vectorilor n=Zi-aj li n=i+J este obtuz daci ti numai dacl

6. Fie ABC un triunghi "u

rina=1, sinB=l gi BC=4. SI se calculeze aria triun-ghiului ABC.

Rezolvdril. Presupunem prin absurd cd numerele a, b, c nu sunt toate pdre. $tiind cA a + b + c este par,deducem ctr doud dintre numere sunt in4rare, iar cel de-al treilea este par. Din : a, b, c obfnemci b2 = ac . Dacf, presuprmem ci unul dinte numerele a sau c este par, din b2 = ac rezultd cl tib este num& par, ceea ce contrazice observatia cl doar unul dinte numere este impar. Dac6 beste numirul par, atunci a li c sunt cele inpare, dar nu putem avea b2 = ac , termenii egalti1iifiind de paritit{i diferite. in concluzie, presupunerea cA numerele a, b gi c nu sunt toate pare esleabsurd6, deci numerele a, b gi c sunt toate trei pare.2. Observlm cd f(x)=1'?+3x+2= (x+t)(x+Z), VxetR.Avem f(a)+f(a+l)==(a+r)(a+2)+(a+z)(a+3)= (a+2)(a+I+a+3) = z(a +z)2 >0, vaerR.3. Se irrpune condilia x>03 3logox>3e logox>l

rumai dad

ana tnurF

4. Sd se calculeze Ai-4C;.5. in sistemul de coordonate xoy se considerA punctele A, B, C astfel incat A(