Gabriela Cone 6

4. Sarcina electric surs a cmpului electromagnetic b. n aplicaiile n care sarcina electric este distribuit n volumul unui corp, pe suprafaa acestuia sau pe lungimea sa, se utilizeaz pentru descrierea efectelor prezenei sarcinii electrice densitatea acesteia, adic sarcina electric din unitatea de volum, de suprafa sau de lungime. Astfel, se definete densitatea volumetric de sarcin electric sub forma

lim ddV

qV V

= =q , unde V

Electricitate i magnetism, Lecia 2 7

tq

tqI

t dd

0lim == . (4)

Intensitatea curentului electric se poate msura mult mai uor dect sarcina electric. Din acest motiv intensitatea curentului electric a fost aleas ca mrime fundamental n Sistemul Internaional de Uniti (SI) pentru mrimile electrice i magnetice. Ca urmare unitatea sa de msur A (amper) este unitate fundamental n acelai sistem de uniti. Observm c 1A = 1C/1s. Amperul se definete cu ajutorul forei de interaciune dintre doi cureni electrici i , de lungime i aflai la distana , 1I 2I l d

dlIIF = 2

210 .

Observm c dac fora exercitat pe unitatea de lungime de curent este 7102 =

lF N/m, curenii se afl la distana 1=d

2

m i au aceeai intensitate,

atunci cei doi cureni au intensitatea 11 == II A (unde, permeabilitatea magnetic H/m). 70 4 10 = n aplicaiile n care pentru interpretarea fenomenelor electrice trebuie s cunoatem i direcia de deplasare a sarcinilor electrice se utilizeaz densitatea de curent electric, J , care este o mrime vectorial cu modulul egal cu intensitatea

curentului care traverseaz unitatea de suprafa, SIJ = i direcia i sensul dat de

viteza de deplasare a sarcinilor electrice. Densitatea de curent electric se msoar n A/m2. Putem scrie c

dd

IJS

= , (5) unde am introdus vectorul nSS = (suprafa orientat), fiind aria suprafeei traversate de sarcinile electrice i

Sn versorul direciei normale pe aceast

suprafa. Atunci putem scrie c intensitatea curentului este egal cu fluxul densitii de curent prin suprafaa traversat de sarcinile electrice, adic ==

SS

SnJSJI dd .

Pentru a exprima conservarea sarcinii electrice considerm un corp de volum i suprafa (fig. 2). n volumul corpului se afl distribuit o sarcin electric cu densitatea , iar prin suprafaa acestuia trec cureni de densitate

V J .

Gabriela Cone 8

Fig. 2

Intensitatea curentului care traverseaz spre exterior suprafaa corpului este egal cu fluxul lui J prin aceast suprafa, dar i cu scderea n timp a sarcinii electrice din volumul V , conform definiiilor date mai sus. Astfel,

ddd V

I J St

= = dV . (6) Din teorema divergenei tim c d dJ S J

=

V

V . (7)

Din relaiile (6) i (7) obinem c

d d 0dV

J Vt + = ,

de unde, dac suprafaa ca nchide volumul V este fix n spaiu rezult c 0

dd =+

tJ . (8)

Relaia (8), numit ecuaia de continuitate, este un mod de exprimare a legii conservrii sarcinii electrice. De exemplu, n cazul staionar, cnd densitatea de sarcin electric rmne constant n timp se obine c 0=J . Din proprietile cmpurilor se tie c liniile de for ale unui cmp a crui divergen este nul sunt curbe nchise ca i n cazul nostru. Cmpul respectiv se numete solenoidal. Exemplul nostru se refer la curenii electrici staionari despre care tim c avem curent prin circuit doar dac acesta este nchis. Am obinut c necesitatea unui circuit nchis pentru a avea un curent staionar este o consecin a conservrii sarcinii electrice. Trebuie menionat c ntr-un circuit de curent staionar nu aceleai sarcini electrice pleac dintr-un punct al circuitului i ajung napoi n acel punct. Sarcinile se schimb, doar numrul acestora, care traverseaz suprafaa transversal a conductorului n unitatea de timp, este acelai. c. Studiind legile electrolizei, Michael Faraday a ajuns la concluzia c orice sarcin electric este egal cu un multiplu ntreg de sarcini elementare, adic

Electricitate i magnetism, Lecia 2 9

. (9) Neq = este un numr ntreg, iar N 191,60217733(49) 10e = C este sarcina electric elementar. Aceasta este proprietatea de cuantificare a sarcinii electrice. Prin convenie, sarcina electric elementar poart numele de electron i este negativ. Sarcina electric macroscopic este considerat continu, fiind format dintr-un numr foarte mare de sarcini elementare. d. Invariana sarcinii electrice nseamn c valoarea ei msurat nu depinde de starea de micare a observatorului, sau altfel spus de sistemul de referin din care se face msurtoarea. Acest lucru a fost demonstrat experimental cu ajutorul atomilor de hidrogen. Un atom de hidrogen conine un electron care are sarcina electric negativ i un proton care are sarcina electric egal cu a electronului, dar pozitiv. Masele celor dou particule difer mult: ep mm 1836= . Dac atomul de hidrogen este accelerat ntr-un cmp electric fora care acioneaz asupra celor dou particule este aceeai, dar acceleraiile trebuie s difere invers proporional cu masele. Dac sarcina electric ar depinde de starea de micare ar trebui s se msoare valori diferite pentru protonul i electronul atomului de hidrogen n micare. Experimental nu s-a observat acest lucru astfel c din legea de variaie a

impulsului, ( )[ 0=+=+ Eeedtdpp eppe ] , de unde ep ee = , indiferent de vitez.

Deci sarcina electric este invariant, avnd aceeai valoare msurat din repaus i din micare. n continuare vom prezenta datele experimentale care au dus la scrierea ecuaiilor lui Maxwell pentru cmpul electromagnetic. Aceste date se pot sintetiza n nou experimente fundamentale. I. Cmpul electric n vid I.1. Cmpul electric n vid departe de conductori I.1.1. Legea lui Coulomb (experiena a I-a) Charles de Coulomb (17361806) a msurat n 1785 fora de interaciune dintre corpurile ncrcate electric. Pentru aceasta a utilizat o balan de torsiune construit chiar de el, ca cea din fotografie. Fora de interaciune dintre sarcinile electrice a fost msurat cu ajutorul momentului de torsiune al firului. n urma mai multor msurtori efectuate, el a ajuns la concluzia c fora de interaciune dintre dou sarcini punctiforme este o for de tip central, care depinde invers proporional de distana dintre sarcinile electrice. Constanta de proporionalitate depinde de mediul n care interacioneaz sarcinile electrice. Expresia forei de interaciune electrostatic (fig. 1) este:

1221

1 urqqkF = i 22 212 ur

qqkF = , (10)

Gabriela Cone 10

unde 21 uu = i astfel i 21 FF = . Cele dou fore sunt aciune i reaciune. Acestea acioneaz asupra a dou corpuri diferite astfel c nu i pot anula reciproc efectul. Fora (1) poart numele de fora lui Coulomb sau fora electrostatic. Expresia (1) a forei de interaciune electrostatic este adevrat doar dac dimensiunea corpurilor ncrcate electric este mult mai mic dect distana dintre acestea, adic dac corpurile ncrcate electric sunt punctuale. Astfel de sarcini se mai numesc i purttori de sarcin electric. Tot din experien se tie c fora de interaciune dintre dou sarcini electrice este de respingere dac acestea au acelai semn i de atracie dac acestea sunt de semn contrar.

Fig. 2

Constanta k depinde de mediu i de sistemul de uniti de msur utilizat. n SI, n vid

90

1094

1 ==k Nm2/C2. (11)

Mrimea C2/Nm2 poart numele de permitivitatea dielectric a vidului i caracterizeaz din punct de vedere electric mediul n care se afl sarcinile electrice.

120 108541878178

= ,

Electricitate i magnetism, Lecia 2 11

Dac avem trei sarcini punctiforme fora cu care dou din acestea acioneaz asupra celei de a treia este (fig. 3)

1 3 2 33 13 23 31 32 32 20 13 0 234 4

q q q q3F F F u u F ur r = + = + = . (12)

Fig. 3

Putem generaliza pentru un sistem format din N sarcini electrice astfel c fora cu care 1N sarcini acioneaz asupra celei de a -a este egal cu k 2

104

Nk i

ki iki k

q qikF ur=

= . (13) Cu ajutorul relaiei (10) se definete unitatea de msur din SI pentru sarcina electric, coulombul. Astfel, un coulomb este egal cu sarcina electric a fiecreia din dou sarcini electrice egale care, aflate n vid la distana de 1 m, se atrag sau se resping cu o for egal cu 99 10 N. I.1.2. Energia nmagazinat ntr-un sistem de purttori de sarcin electric Fora electrostatic este o for de tip central. Aceasta este o for conservativ astfel c se poate defini o energie potenial pentru cmpul electric. Pornim de la definiia energiei poteniale. Prin urmare, variaia energiei poteniale a unui sistem de purttori de sarcin electric este egal cu lucrul mecanic efectuat pentru a forma sistemul de purttori de sarcin. Pentru nceput considerm c avem un sistem format din trei sarcini electrice de acelai semn pe care le-am adus pe rnd de la infinit (fig. 4). Cnd aducem de la infinit prima sarcin asupra acesteia nu acioneaz nici o for, adic nu se efectueaz nici un lucru mecanic, sau . Aducem a doua sarcin n cmpul creat de prima i o aezm la distana de sarcina

. Pentru aceasta se efectueaz lucrul mecanic

1q1 0L =

12r2q1q

Gabriela Cone

12

Fig. 4

120

2112

0

212

0

212 4

144

12

rqqr

rqqdr

rqqL

r

=

== . Semnul minus apare deoarece am ales sarcinile de acelai semn, astfel c fora este de respingere. Aducem i a treia sarcin electric i o aezm la distana de sarcina i la distana de sarcina . n acest caz, lucrul mecanic efectuat este

3q

13r 1q 23r 2q

=

=+= 23

0

3213

0

312

0

322

0

313

14

1444

2313 rr

qqrr

qqdrr

qqdrr

qqLrr

230

32

130

31

44 rqq

rqq

+= . Prin urmare, lucrul mecanic efectuat este

++=++= 23

32

13

31

12

21

0321 4

1rqq

rqq

rqqLLLL ,

care este egal cu variaia energiei poteniale , 0pot pot potL E E E= = =unde am considerat c la infinit energia potenial este nul. Generalizm relaia pentru energia potenial a unui numr de purttori de sarcin,

N

= =

=N

j

N

jkk jk

kjpot r

qqE

1 1 0421 . (14)

Factorul 21 apare deoarece n sumele din relaie produsul de tipul

apar de dou ori i sub forma . kjqq

jk qq