IOAN CAUAURELIAN CERNEA DAN COMNESCU SORIN COMA GLORIA COSOVICI EMIL POPESCU ILEANA TOMA ECUAII DIFERENIALE ORDINARE CU APLICAII N MECANIC, FIZIC I INGINERIE Coordonarea volumului: ILEANA TOMA Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 2 3 Prefa CarteadefaafostelaboratncadrulproiectuluiPOSDRU/56/1.2/S/32768, Formareacadrelordidacticeuniversitareiastudenilorndomeniulutilizriiunor instrumentemodernedepredare-nvare-evaluarepentrudisciplinelematematice,n vederea crerii de competene performante i practice pentru piaa muncii.FinanatdinFondulSocialEuropeaniimplementatdectreMinisterul Educaiei,Cercetrii,TineretuluiiSportului,ncolaborarecuTheRedPoint,Oameni iCompanii,UniversitateadinBucureti,UniversitateaTehnicdeConstruciidin Bucureti,UniversitateaPolitehnicadinBucureti,UniversitateadinPiteti, Universitatea Tehnic Gheorghe Asachi din Iai, Universitatea de Vest din Timioara, UniversitateaDunreadeJosdinGalai,UniversitateaTehnicdinCluj-Napoca, Universitatea1Decembrie1918dinAlba-Iulia,proiectulcontribuienmoddirectla realizareaobiectivuluigeneralalProgramuluiOperaionalSectorialdeDezvoltarea Resurselor Umane POSDRU i se nscrie n domeniul major de intervenie 1.2 Calitate n nvmntul superior. Proiectularecaobiectivadaptareaprogramelordestudiialedisciplinelor matematicelacerinelepieeimunciiicreareademecanismeiinstrumentede extindere a oportunitilor de nvare. Evaluareanevoiloreducaionaleobiectivealecadrelordidacticeistudenilor legate de utilizarea matematicii n nvmntul superior, masterate i doctorate precum ianalizareaeficacitiiirelevaneicurriculeloractualelaniveldeperformani eficien, n vederea dezvoltrii de cunotine i competene pentru studenii care nva disciplinematematicenuniversiti,reprezintobiectivespecificedeinteresncadrul proiectului.Dezvoltareaiarmonizareacurriculeloruniversitarealedisciplinelor matematice,conformexigenelordepepiaamuncii,elaborareaiimplementareaunui programdeformareacadrelordidacticeiastudenilorinteresaidinuniversitile Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 4 partenere,bazatpedezvoltareaiarmonizareadecurriculum,creareauneibazede resurseinovative,moderneifuncionalepentrupredarea-nvarea-evaluarean disciplinelematematicepentrunvmntuluniversitarsuntobiectivelespecificecare au ca raspuns materialul de fa.Formarea de competene cheie de matematic i informatic presupune crearea de abilitidecarefiecareindividarenevoiepentrudezvoltareapersonal,incluziune social i inserie pe piaa muncii. Se poate constata ns c programele disciplinelor de matematic nu au ntotdeauna n vedere identificarea i sprijinirea elevilor i studenilor potenial talentai la matematic. Totui, studiul matematicii a evoluat n exigene pn a ajungesaccepteprovocareadeafolosinoiletehnologiinprocesuldepredare-nvare-evaluare pentru a face matematica mai atractiv.nacestcontext,analizaflexibilitiicurriculei,nsoitdeanalizametodelori instrumentelorfolositepentruidentificareaimotivareastudenilortalentaila matematic ar putea rspunde deopotriv cerinelor de mas, ct i celor de elit. Viziuneapetermenlungaacestuiproiectpreconizeazdeterminareaunor schimbrinabordareafenomenuluimatematicpemaimulteplanuri:informareaunui numrctmaimaredemembriaisocietiinlegturcuroluliloculmatematiciin educaiadebazninstrucieindescopeririletiinificemenitesmbunteasc calitatea vieii, inclusiv popularizarea unor mari descoperiri tehnice, i nu numai, n care matematicaceamaiavansatajucatunrolhotrtor.Deasemenea,seurmrete evidenierea a noi motivaii solide pentru nvarea i studiul matematicii la nivelele de baz i la nivel de performan; stimularea creativitii i formarea la viitorii cercettori matematicieniauneiatitudinideschisefadensuireaaspectelorspecificedinalte tiine, n scopul participrii cu succes n echipe mixte de cercetare sau a abordrii unei cercetriinterimultidisciplinare;identificareaunorformedepregtireadecvatde matematicpentruviitoriistudeniaidisciplinelormatematice,nscopulutilizriila nivel de performan a aparatului matematic n construirea unei cariere profesionale. 5 Amncercatsfacemctmaiatractiviaccesibilprezentarea,simplificnd expunerea fr a pierde din rigoarea matematic a rezultatelor. Lucrareaestestructuratnpatrucapitole,ultimulreferindu-selaproblemede stabilitateclasiciurmretenprincipalsubiecteleprevzutenprogramaactualde studiu,cuprecderecelecarepotservilarezolvareaproblemelortipicinginereti. Astfel,fiecarecapitolsencheiecuunparagrafdeaplicaiindiversedomenii: mecanic,astronomie,hidrotehnic,staticaconstruciilor,etc.Suntmodelateprobleme concretesimple,folosindecuaiidiferenialeordinare.Prezentareaaplicaiiloreste realizatnpatruetape:problemfizic,modelmatematic,determinareasoluieii interpretareaeifizic.Considermcnumeroaselelegturicudisciplineleinginereti, legturipecarele-ampusnevidenprinacesteaplicaii,faccuattmaiconvingtor studiul ecuaiilor difereniale ordinare pentru studenii din universitile tehnice.Paragrafelensoitecuasteriscpotfiomise, caioseriededemonstraii.Le-am introdus,totui,pentruunitateailogicaexpunerii.Menionmcelesunt,defapt, destinatestudenilorcelormaiinteresaidedomeniulecuaiilordiferenialeicarevd nviitoarealorprofesiunenunumaiunmijlocdetrai,dariocheieaesenei fenomenelornaturii;eicautcuperseverensmburelematematiccareguverneaz dinabstractacestefenomene,ccidoarelasiguroviziunecompletiunitarasupra fenomenelor studiate i, deci, prevederea i stpnirea acestora. Coninutul teoretic al primelor trei capitole a fost realizat de prof. Ileana Toma i conf. Emil Popescu, de la Universitatea Tehnic de Construcii din Bucureti, iar cel al capitolului4deconf.AurelianCerneadelaUniversitateaBucureti.Aplicaiilen mecanicifizicaufostrealizatedeconf.DanComnescuiconf.IoanCaudela UniversitateadeVestdinTimioara,precumideechipaUniversitiiPolitehnicedin Cluj,formatdinconf.GloriaCosoviciiconf.SorinComa.Aplicaiilenmecanica construciiloraparinregretatuluiprofesorM.V.Soareiaufostpublicatencadrul Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 6 volumul Ecuaii difereniale cu aplicaii n mecanica construciilor, tradus n Springer (coautori: P.P.Teodorescu, Ileana Toma).Bibliografia cuprinde i link-uri cu site-uri pe care studenii pot consulta i online manuale cuprinznd tematici de ecuaii difereniale ordinare. Autorii 7 CUPRINS PREFA................................................................................................................................................ 3 CAPITOLUL 1........................................................................................................................................ 9 ECUAII DIFERENIALE ORDINARE DE ORDINUL NTI .................................................... 9 1.1. Noiuni preliminare. Exemple........................................................................................................ 9 1.2. Formele sub care se prezint ecuaiile de ordinul I i soluiile lor............................................... 15 1.2.1. Forme ale ecuaiilor de ordinul I........................................................................................... 15 1.2.2. Forme ale soluiilor ............................................................................................................... 17 1.3. Tipuri de ecuaii difereniale de ordinul I rezolvabile prin cuadraturi......................................... 19 1.3.1. Ecuaii cu variabile separate ................................................................................................. 19 1.3.2. Ecuaii cu variabile separabile .............................................................................................. 20 1.3.3. Ecuaii difereniale omogene, de gradul m............................................................................ 21 1.3.4. Ecuaii cu difereniale totale exacte ...................................................................................... 24 1.3.5. Factor integrant ..................................................................................................................... 29 1.3.6. Ecuaii difereniale lineare de ordinul I................................................................................. 34 1.3.7. Ecuaia Bernoulli................................................................................................................... 41 1.3.8. Ecuaia Riccati ...................................................................................................................... 44 1.3.9. Ecuaia Clairaut..................................................................................................................... 47 1.3.10. Ecuaia Lagrange................................................................................................................. 50 1.4. Metoda aproximaiilor succesive ................................................................................................. 54 1.4.1. Teorema clasic de existen i unicitate Cauchy-Picard ..................................................... 54 1.4.2. Principiul contraciei ............................................................................................................. 57 1.5. Aplicaii n mecanic, fizic i inginerie.................................................................................. 63 CAPITOLUL 2.................................................................................................................................... 129 ECUAII DIFERENIALE ORDINARE LINEARE, DE ORDINULn .................................... 129 2.1. Noiuni preliminare. Exemple.................................................................................................... 129 2.2. Ecuaii difereniale lineare i omogene de ordinuln ................................................................ 132 2.3. Ecuaii difereniale de ordinuln , lineare i neomogene ........................................................... 142 2.4. Ecuaii difereniale lineare de ordinuln , cu coeficieni constani ............................................ 149 2.4.1. Ecuaii difereniale lineare i omogene............................................................................... 149 2.4.2. Polinom diferenial.............................................................................................................. 158 Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 8 2.4.3. Ecuaii difereniale lineare i neomogene ........................................................................... 161 2.5. Ecuaii difereniale de ordin superior, integrabile prin cuadraturi............................................. 171 2.6. Ecuaii reductibile la EDO cu coeficieni constani................................................................... 181 2.7. Aplicaii n mecanic, fizic i inginerie ................................................................................... 186 CAPITOLUL 3.................................................................................................................................... 243 SISTEME DE ECUAII DIFERENIALE ORDINARE.............................................................. 243 3.1. Sisteme de EDO de ordinul I, lineare ........................................................................................ 244 3.2. Sisteme de EDO de ordinul I lineare, cu coeficieni constani .................................................. 247 3.2.1. Exprimarea soluiei unui sistem de EDO lineare folosind exponeniala de matrice........... 258 3.3. Sisteme de ordinul I nelineare. Sisteme simetrice. Integrale prime........................................... 262 3.4. Aplicaii n mecanic, fizic i inginerie................................................................................ 267 CAPITOLUL 4.................................................................................................................................... 300 STABILITATE ................................................................................................................................... 300 4.1. Stabilitatea soluiilor ecuaiilor difereniale............................................................................... 300 4.2. Stabilitatea Liapunov. Funcia Liapunov............................................................................... 303 4.3. Sisteme dinamice autonome................................................................................................... 305 4.4. Comportament pe termen lung al soluiilor ........................................................................... 307 4.5. Aplicaii n mecanic, fizic i inginerie ................................................................................... 308 REFERINE BIBLIOGRAFICE...................................................................................................... 319 CAPITOLUL 1 ECUAII DIFERENIALE ORDINARE DE ORDINUL NTI1.1. NOIUNI PRELIMINARE. EXEMPLESetieceesteaceeaoecuaiealgebric.Oecuaiediferenialesteieao egalitate, ce admite ns ca necunoscut o funcie i mai cuprinde i derivatele acesteia. Deosebim dou posibiliti: aplicaii funcianecunoscutdepindedeosingurvariabiliatuncivomaveao ecuaie diferenial ordinar (prescurtat EDO); Aplicaii funcia necunoscut depinde de mai multe variabile, caz n carevom avea o ecuaie cu derivate pariale (prescurtat EDP). Subiectele tratate n cadrul acestui curs aparin cazului a). Formageneralauneiecuaiidiferenialeordinareeste,conformcelorspuse anterior, ( )( ) 0 ,..., , , , = ny y y y x F . (1.1.1) Definiia 1.1. Numim ordin al unei ecuaii difereniale ordinare ordinul maxim de derivare al funciei necunoscute y. Unadintreproblemeleesenialealecalcululuidiferenialesteaceeadea determinaderivatauneifunciidate.Ceamaisimplprobleminversaparine calculului integral: Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 10 PROBLEM.Dndu-seofuncie( ) x f f = real,devariabilreal,sse determine primitiva sa. Dac notm primitiva lui f cu y, atunci formularea matematic a acestei probleme este: ( ) x fxy=dd, (1.1.2) sau, echivalent ( ) x x f y d d = . (1.1.3) Relaiile de mai sus sunt, de fapt, cele mai simple ecuaii difereniale i tim cum slerezolvm.ntr-adevr,timcceamaigeneralfuncieysatisfcnd(1.1.2)sau (1.1.3) este ( ) ( ) C x x f x y + =d . (1.1.4) Oprimitivarbitraraluifpoatefidecinumitsoluieaecuaiei(1.1.2). Introdus n (1.1.2), ea conduce la o identitate. Deciincazulecuaiilordifereniale,osoluietransformecuaiantr-o identitate, exact ca n cazul ecuaiilor algebrice. n expresia (1.1.4), semnul desemneaz una dintre primitivele lui f, iar C este o constantarbitrar.Decifunciaynuestedeterminatnmodunicdeecuaia(1.1.2) sau(1.1.3),astfelnctputemspuneceleadmitoinfinitatedesoluii.Fiecaredin aceste soluii se pot determina dnd lui C diferite valori numerice. Terminologie Soluia (1.1.4) a ecuaiei (1.1.2) se numete soluie general. Orice soluie obinut din soluia general prin particularizarea constantei C se numete soluie particular. Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 11 Osoluiecarenuseobinedinceageneralprinparticularizareaconstantei arbitrare se numete soluie singular.Dup toate aceste consideraii, s-ar prea, la prima vedere, c ecuaiile difereniale auaprutntr-uncadrustrictmatematic,caocompletarelogicformalacalculului diferenial. Acestdomeniualmatematiciiiarensorigineaistoricnmecanica newtonian. Newton, iniiatorul calculului diferenial alturi de Leibniz, a modelat cu o surprinztoareintuiieoseriedefenomenefiziceprinecuaiidifereniale.Astfel, faimoasa lege a II-a (a mecanicii), enunat pe scurt: Rezultanta forelor ce acioneaz asupra unui sistem este egal cu produsul dintre masa sistemului i acceleraia acestuia, lege care, de altfel i poart i numele, se exprim matematic sub forma: F a = m , (1.1.5) inureprezintaltcevadectunsistemdeecuaiidifereniale.ntr-adevr,acceleraia este derivata a doua a deplasrii n raport cu timpul; aceast observaie aparine unui alt titan al tiinei, Leonhard Euler. Pentruedificare,surmmdrumulpropusdeNewtonnstudiulunuicazfoarte simplu. PROBLEM.Ssestudiezemicareapeoaxverticalauneiparticule(punct material) M, sub aciunea propriei greuti. Rezolvare. Construim mai nti modelul matematic. Trebuie deci s determinm a)funcianecunoscut(funciilenecunoscute)acreicunoaterenseamn cunoaterea fenomenului; b) legea fizic (legile fizice) care guverneaz fenomenul. Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 12 PresupunemcOyesteaxaverticalde-alungulcreiacadeparticula,originea fiind situat la suprafaa pmntului (vezi figura de mai jos). Micareaparticuleiestecunoscutdacsecunoateunicasa coordonatanume,poziiasaypeaxaOynfiecaremomentt. Funcianecunoscutaproblemeiestedeci( ) t y y = ,cusemnificaia fizicdedeplasareaparticulei.nproblemeledemicare,legeaa douaaluiNewtonjoacunrolesenial.Aplicnd-opentruunica component a acceleraiei, gsimmg ma = , (1.1.6) mfiindmasaparticuleiiargmodululacceleraieigravitaiei.Semnulminusprovine din faptul c axa Oy este dirijat n sus, iar fora de gravitaie n jos. innd seama c acceleraiaestederivataadouaadeplasriinraportcutimpultisimplificndcum, rezult gty =22dd. (1.1.7) Ecuaia(1.1.7)reprezint modelul matematicasociatmicriistudiate.Sensulei matematic este urmtorul: Cunoscndu-se derivata a doua a funciei y, s se determine y. Aceastcerinnunecesitnacestcazcunotinespeciale.Lundsuccesivde dou ori primitiva ambilor membri ai ecuaiei (1.1.7), obinem, rnd pe rnd ( ) .2,dd2 121C t Cgtt yC gtty+ + =+ = (1.1.8) Ultima expresie constituie soluia general a ecuaiei (1.1.7). Observaie.Soluiageneraldepindenacestcazdedouconstantearbitrare,n timp ce n cazul ecuaiei (1.1.2) ea depindea doar de una. O M y mg Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 13 IMPORTANT! ntotdeauna soluia general a unei ecuaii difereniale depinde de un numr de constante egal cu ordinul maxim de derivare al funciei necunoscute. Vom reveni mai trziu cu justificri asupra acestui fapt semnificativ. Sprecizmacumsensulfizicalconstantelor 1C i 2C .Lund0 = t nprima expresie (1.1.8), gsim 001ddvtyCt= ==, (1.1.9) unde 0veste viteza iniial a particulei. Analog, din a doua expresie (1.1.8) deducem ( )002y t y Ct= ==, (1.1.10) care reprezint poziia iniial a particulei. Cuacestenoinotaiipentruconstantenotaiisugestiveprinsemnificaialor fizic soluia general a ecuaiei (1.1.7) se pune sub forma ( )0 022y t vgtt y + + = , (1.1.11) form familiar cititorului nc din studiile liceale de fizic elementar. Esteclaracumcaresuntdatelesuplimentarecetrebuiecunoscutepentrua determina acea soluie care corespunde unei anumite micri, bine precizat: poziia iniial 0y a particulei i viteza sa iniial 0v . Se poate deci spune c y satisface condiiile ( )( ) . 0dd, 000vtyy y==(1.1.12) Acestea se mai numesc i condiii iniiale sau condiii Cauchy. Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 14 Problemacareconstnrezolvareaecuaiei(1.1.7)astfelnctyssatisfac condiiile iniiale (1.1.12) se numete problem Cauchy sau problem iniial. IMPORTANT! n cazul problemei Cauchy, condiiile sunt puse n acelai punct! (n exemplul de mai sus, n punctul0 = t ). Exist ns situaii n care acest tip de condiii nu corespund fenomenului fizic. S lum cazul unei bare simplu rezemate (vezi figura de mai jos).Problema const n determinarea deflexiei (ncovoierii) y ca funcie de x. Nu vom intrandetaliidestabilireamodeluluimatematicasociat.Precizmdoarcacestase prezint sub forma ecuaiei difereniale ordinare ( )23222dd1dd(((

||

\|+ =xyx fxy, (1.1.13) numit i ecuaia Bernoulli-Euler. Ol y x Dinfigursevedeclacapetele0ilalebareideplasareatrebuiesfienul, adic ( ) ( ) . 0 , 0 0 = = l y y (1.1.14) Condiiile suplimentare (1.1.14) se mai numesc i condiii bilocale. Problemacareconstnrezolvareaecuaiei(1.1.13)cucondiiile(1.1.14)esteo problem bilocal sau problem Picard (engl.: two-point problem). Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 15 Aceste dou tipuri de probleme asociate EDO sunt tipice i acoper o mare parte din problemele mecanice i fizice importante. Dinceleexpusemaisussedesprindeconcluziacnusepoatefaceunstudiu sistematic de fenomen fizic fr a se recurge la modelul su diferenial. DuprezolvareaEDO(sauEDP)corespunztoare,interpretareasoluieiva permitecunoatereaefectiv,previziuneaidecicontrolulfenomenuluistudiat,iar acestea sunt deziderate majore ale tiinei. 1.2. FORMELE SUB CARE SE PREZINT ECUAIILE DE ORDINUL I I SOLUIILE LOREsteevidentfaptulcoecuaiediferenialordinarpoatefuncionadoarn punctele n care este definit. De exemplu, ecuaia 21 y y = (1.2.1) are sens doar pentru1 y . Fiind dat o ecuaie diferenial ordinar, trebuie determinat maintidomeniulpecareaceastaaresens;domeniuldedefiniiealuneiecuaii diferenialeordinare este cel al funciilor care o definesc. 1.2.1. FORME ALE ECUAIILOR DE ORDINUL I A.FormageneralaecuaiilordiferenialeordinaredeordinulIeste,conform definiiei 1.1 i relaiei (1.1.1), ( ) 0 , , = y y x F ,xyydd= ,(1.2.2) undeFestedefiniti,deobicei,continuunraportcuvariabilaindependentx, precum i n raport cu funcia necunoscut y i cu derivata acesteia,y . Forma general se mai numete i implicit, deoarece l conine implicit pey . Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 16 B.Dac0 yF,atunci,conformteoremeifunciilorimplicite(vezicursulde AnalizMatematic,parteaI),y poatefiexplicitatdin(1.2.2)iobinemforma canonic a ecuaiilor difereniale ordinare de ordinul I: ( ) y x f y , = , (1.2.3) form care se mai numete i explicit. C. Dac( ) 0 , y x f , atunci (1.2.3) se mai poate scrie ( ) y x f yx,1dd= , (1.2.4) numitiformainvers,formcarepoatefifolositnvecintateaacelorpuncte ( )2, y x ncare( ) y x f , tindelainfinit.Evident,dacfnutindelainfinit,formele (1.2.3) i (1.2.4) sunt echivalente. D. Ecuaia (1.2.3) mai poate fi scris i sub forma diferenial: ( ) x y x f y d , d = , (1.2.5) de asemenea echivalent cu (1.2.3), (1.2.4). Forma diferenial mai general ( ) ( ) 0 d , d , = + y y x Q x y x P , (1.2.6) este i ea echivalent cu fiecare dintre ecuaiile ( )( ) y x Qy x Pxy,,dd = ,( )( ) y x Py x Qyx,,dd = . (1.2.7) ATENIE! n punctele( )0 0, y xn care P i Q se anuleaz, nici una dintre ecuaiile (1.2.6), (1.2.7) nu este definit. Ca i n cazul ecuaiei (1.2.2), funciile P i Q sunt de cele mai multe ori continue pe domeniul de definiie al ecuaiei. Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 17 E. Forma simetric a EDO de ordinul I este ( ) ( ) y x Yyy x Xx,d,d= . (1.2.8) Fiecaredinformeledemaisuspunenevidenanumitecaracteristicii posibilitiderezolvarealeecuaiilordeordinulI.Celmaidesntlnitesuntformele (1.2.2), (1.2.3) i (1.2.6).1.2.2. FORME ALE SOLUIILOR Definiia 1.2. O soluie a ecuaiei difereniale (1.2.3) n intervalul real[ ] b a,este o funcie( ) x y y =de clas[ ] ( ) b a, C1 care satisface identic (1.2.3), adic ( ) ( ) ( ) [ ] b a x x y x f x y , , , = . (1.2.9) Dacexistoconstantcastfelnct( ) 0 , = c x f pentruorice[ ] b a x , ,rezult, evident,cc y = estesoluiealui(1.2.3).Easenumetesoluiestaionarieste deosebit de important pentru studiul calitativ al ecuaiei. Pentru a rezolva o ecuaie diferenial de ordinul I se folosesc, dup caz, formele menionatenparagrafulprecedenti,nfunciedeacestea,vomobineisoluiilelor sub diferite forme. Soluiile unei EDO de ordinul I pot fi determinate a. sub form explicit:( ) [ ] b a x x y y , , = ; b. sub form implicit:( ) 0 , = y x ; c. sub form parametric: ( )( )[ ] ==b a tt y yt x x,,,. Exemplu. Funcia ( ) 1 , 1 , 12 = x x y , (1.2.10) este soluie explicit a ecuaiei Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 18 yxy = . (1.2.11) VERIFICARE. ntr-adevr, pe de o parte 2 221 1 221ddddxxxxxx xy ==||

\| = ,(1.2.12) iar pe de alt parte, 21 xxyx = .(1.2.13) Expresiile (1.2.12) i (1.2.13) coincid. Soluia (1.2.10) poate fi exprimat i implicit: ( ) 0 1 ,2 2= + y x y x . (1.2.14) VERIFICARE. ntr-adevr, calculnd difereniala lui , gsim ( ) ( ) 0 d 2 d 2 1 d , d2 2= + = + = y y x x y x y x . (1.2.15) Din ultima egalitate deducem 0 = + yxy , (1.2.16) adic tocmai (1.2.11). Soluia (1.2.10) mai poate fi exprimat i parametric: 0, sin, cos>==tt yt x. (1.2.17) VERIFICARE. Putem scrie ecuaia (1.2.11) i sub forma diferenial 0 d d = + y y x x . (1.2.18) Avem Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 19 ( ) ( )( ) ( )( ) , d cos sin cos sin d d d cos sin d cos sin sin d sin dd cos sin d sin cos cos d cos dt t t t t y y x xt t t t t t t t y yt t t t t t t t x x+ = ++= = = = = = (1.2.19) de unde rezult0 d d = + y y x x , adic tocmai (1.2.16). 1.3. TIPURI DE ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL I REZOLVABILE PRIN CUADRATURI Existanumiteecuaiideformparticular,desntlnitenaplicaii,pentrucare s-augsitmetodederezolvarecuajutorulcrorasoluiaseexprimfolosindprimitive ale unor funcii. Spunem, n acest caz, c ecuaia se rezolv prin cuadraturi (integrri). Vom aminti i rezolva aici cteva asemenea tipuri de ecuaii difereniale ordinare. 1.3.1. ECUAII CU VARIABILE SEPARATE Sunt de forma ( ) ( ) 0 d d = + y y Y x x X , (1.3.1) unde X i Y sunt funcii continue, depinznd de variabilele x, respectiv y. MOD DE REZOLVARE Observm c funcia ( ) ( ) ( ) + = y y Y x x X y x F d d , , (1.3.2) admite ca diferenial membrul stng al ecuaiei (1.3.1). ntr-adevr, ( ) ( ) ( ) y y Y x x X yyFxxFy x F d d d d , d + =+= . (1.3.3) Rezult deci( ) 0 , d = y x F , astfel nct( ) C y x F = , . Prin urmare, soluia general a EDO (1.3.1) este Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 20 ( ) ( ) C y y Y x x X = + d d . (1.3.4) Exemplu. S se rezolve ecuaia ( ){( ){0 d1d e = +yyxy Yx Xx. (1.3.5) Rezolvare.Este,evidentoecuaiecuvariabileseparate.Calculndprimitivele, gsim ( )( ) , ln d1d, e d e dy yyy y Yx x x Xx x= = = = (1.3.6) deci soluia general a EDO (1.3.5) este C yx= + ln e .(1.3.7) 1.3.2. ECUAII CU VARIABILE SEPARABILE Acestea au forma ( ) ( ) ( ) ( ) 0 d d = + y x p y Q x y q x P , (1.3.8) undeq Q p P , , ,sunt funcii continue n raport cu argumentele corespunztoare. MOD DE REZOLVARE Dac( ) ( ) ( ) 0 , y q x p y xpe domeniul de definiie al ecuaiei, mprim cu i obinem ( )( )( )( )0 d d = + yy qy Qxx px P, (1.3.9) care este o ecuaie cu variabile separate. Conform cazului precedent, soluia general a ecuaiei (1.3.8) este Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 21 ( )( )( )( )C yy qy Qxx px P= + d d . (1.3.10) Exemplu. S se rezolve ecuaia ( ) 0 d 1 d 22= + y x x y x .(1.3.11) Rezolvare.EsteoEDOcuvariabileseparabile.mprimcu( ) y x21 = i, dup simplificri, obinem 0 d1d122= +yyxxx. (1.3.12) Aceasta este o ecuaie cu variabile separate, deci soluia general este dat de C yyxxx= + d1d122, (1.3.13) sau, calculnd primitivele, C y x = + 2 1 ln2, (1.3.14) valabil pentru0 , 0 12> y x . I.3.3. ECUAII DIFERENIALE OMOGENE, DE GRADULm Definiia 1.3. O funcie( ) y x f f , = , 2: f , se numete omogen de gradul m dac: ( ) ( ) y x f t ty tx fm, , = , t .(1.3.15) Dac egalitatea are loc doar pentru0 t > ,fse numete pozitiv omogen. O ecuaie omogen de ordinul I are forma ( ) ( ) 0 d , d , = + y y x Q x y x P , (1.3.16) undeP iQ sunt omogene de acelai gradm. MOD DE REZOLVARE Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 22 Facem schimbareax z z x y xz y d d d + = = .(1.3.17) Introducnd n ecuaie, rezult ( ) ( )( ) 0 d d , d , = + + x z z x xz x Q x xz x P . (1.3.18) Dar, P Qsunt omogene de gradulm, deci ( ) ( ) , 1, ,mP x xz x P z = ( ) ( ) , 1,mQ x xz x Q z = .(1.3.19) Rezult( ) ( )( ) [ ] 0 d d , 1 d , 1 = + + x z z x z Q x z P xm.(1.3.20) Mai departe,( ) ( ) [ ] ( ) 0 d , 1 d , 1 , 1 = + + z z xQ x z zQ z P . (1.3.21) Aceasta este o ecuaie cu variabile separabile. mprim cu ( ) ( ) ( )1, 1, x P z zQ z +i deducem ( )( ) ( )0 d, 1 , 1, 1 d=++ zz zQ z Pz Qxx, (1.3.22) deci soluia general a ecuaiei (1.3.21) este, conform celor spuse mai sus, ( )( ) ( )C zz zQ z Pz Qxx=++ d, 1 , 1, 1 d. (1.3.23) Fcnd notaia( )( )( ) ( )+= zz zQ z Pz Qz d, 1 , 1, 1, (1.3.24) soluia general a ecuaiei se scrie astfel ( ) ln x z C + = ,(1.3.25) sau, trecnd la exponenial, Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 23 ( ) zC x = e . (1.3.26) Revenindla variabilainiial,obinemsoluia generalaEDO omogene(1.3.16) sub forma ||

\| =xyC x e . (1.3.27) Exemplu. S se determine soluia general pentru urmtoarea EDO omogen: ( ) ( )2 22 0 xy y dx x xy dy + + = . (1.3.28) Rezolvare.Avem( )2, P x y xy y = + , iar( ) ( )2, 2 Q x y x xy = + .Evident,aceastecuaienuestenicicuvariabileseparate,niciseparabile.S ncercm s verificm dac este omogen, conform definiiei 1.3: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2, , P xt yt t xy t y t xy y t P x y = + = + = , ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2, 2 2 , Q tx ty t x t xy t x xy t Q x y = + = + = . (1.3.29) Deci ecuaia este omogen de gradul 2.Pentru rezolvare, efectum schimbareax z z x y xz y d d d + = = . (1.3.30) Rezult succesiv ( ) ( )( )( ) ( )( ) [ ]( ) [ ] ( ) ; 0 d 2 d 2, 0 d d 2 d, 0 d d 2 d2 22 22 2 2 2 2= + += + + += + + +z x z x z z z zx z z x z x z z xx z z x z x x x z x z x n final, obinem ( ) 0 d 2 d = + + z x z x z ,(1.3.31) care este o ecuaie cu variabile separabile. mprind cu xz, gsim Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 24 0 d2 d=++ zzzxx,(1.3.32) care este o ecuaie cu variabile separate. Soluia sa general este C zz xx=||

\|+ + d21d, sau ln 2ln x z z C + + = . Revenind la vechile variabile, avem ln 2lny yx Cx x+ + = . Trecnd la exponenial, rezult soluia general a ecuaiei omogene (1.3.28) Cxyxxy= e22, (1.3.33) sau, altfel scris xyCx y= e2. (1.3.34) 1.3.4. ECUAII CU DIFERENIALE TOTALE EXACTE Sunt de forma ( ) ( ) 0 d , d , = + y y x Q x y x P . (1.3.35) Definiia 1.4. O ecuaie diferenial ordinarde ordinul I se numete ecuaie cu diferenialetotaleexactedacexistofunciedifereniabil( ) y x F F , = astfelnct ( ) ( ) y y x Q x y x P F d , d , d + . Din Cursul de Analiz Matematic, partea I-a, se tie c: Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 25 ( ) ( ) y y x Q x y x P F d , d , d + dac i numai dac xQyP=. (1.3.36) CONSECIN: Soluia general a unei ecuaii cu difereniale totale exacte este ( ) C y x F = , , (1.3.37) unde C este o constant arbitrar. Deci rezolvarea unei ecuaii cu difereniale totale exacte se reduce la determinarea unei funcii de dou variabile, atunci cnd i se cunoate difereniala. MOD DE REZOLVARE Etapa1.Secalculeazderivatelepariale xQyP, ;dacelecoincid, rezult c ecuaiaeste cu difereniale totale exacte, adic exist F astfel nct( ) ( ) y y x Q x y x P F d , d , d + . Etapa 2. Deoarece difereniala unei funcii este (vezi Cursul de Analiz, partea I) yyFxxFF d d d+= , (1.3.38) rezult==.,QyFPxF (1.3.39) Integrnd prima relaie n raport cu x, se obine forma lui F: ( ) ( ) ( ) y t y t P y x Fxx + =0d , , , (1.3.40) Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 26 unde este o funcie arbitrar depinznd doar de y. Derivnd ambii membri ai acestei relaii n raport cu y, vom avea ( ) ( ) y t y tyPyFxx +=d ,0, (1.3.41) unde 0x estefixat,dararbitrarales,astfelnct( ) y x ,0saparindomeniuluipecare sunt definii P i Q. innd acum seama de condiia (1.3.36), deducem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y x Q y x Q y t y ttQyFxx + = +=, , d ,00. (1.3.42) Comparnd aceast relaie cu expresia lui yF din (1.3.39), rezult ( ) ( ) ( ) ( ) y x Q y y x Q y x Q , , ,0= + ,(1.3.43) de unde ( ) ( ) y x Q y ,0= , (1.3.44) i deci expresia lui este ( ) ( )= yyt t x Q y0d ,0, (1.3.45) 0yfiind ales n aceleai condiii ca 0x . n final, gsim pentru F ( ) ( ) ( ) t t x Q t y t P y x Fyyxxd , d , ,00 0 + = , (1.3.46) astfel nct soluia general a ecuaiei cu difereniale totale exacte se obine sub forma Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 27 ( ) ( ) C t t x Q t y t Pyyxx= + d , d ,00 0, (1.3.47) unde C este o constant arbitrar. Dacintegrmmaintiadouarelaie(1.3.39)nraportcuy,obinemsoluia general sub forma echivalent cu (1.3.47) ( ) ( ) C t t x Q t y t Pyyxx= + d , d ,0 00. (1.3.48) Exemplu. S se determine soluia general pentru ecuaia ( ) 0 d e d e = + + y y x yx x.(1.3.49) Rezolvare. I. Verificm dac este satisfcut condiia (1.3.36). Avem ( )( ) + ==, e ,, e ,xxy y x Qy y x P deci( )( )==, e,, e,xxxy x Qyy x P i rezult c ecuaia este cu difereniale totale exacte. II. Aceasta nseamn c exist F de clas C1 astfel nct + ==. e, exxyyFyxF (1.3.50) Din prima relaie (1.3.50) deducem Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 28 ( ) ( ) y y y x Fx + = e , ,(1.3.51) de unde ( ) ( ) y y xyFx + =e , . (1.3.52) Egalnd aceast expresie cu cea din (1.3.50), rezult ( ) y yx x+ = + e e ,(1.3.53) de unde ( ) y y = ( )22yy = . (1.3.54) nlocuindaceastexpresien(1.3.51),obinemsoluiageneralaecuaiei (1.3.49): Cyyx= +2e2. (1.3.55) Observaii. Acelai rezultat se obine prin aplicarea direct a formulelor generale de mai sus. a) Aplicm formula (1.3.47), n care se poate lua0 , 00 0= = y x .Obinem ( ) ( ) ( ) ( ),2e2ed e d e d , d , ,202000000 0yyy y ttyt t t y t t x Q t y t P y x Fxy ttx tttyxtyx+ + =|||

\|+ + == + + = + ===== prin urmare soluia general a ecuaiei este tot Cyyx= +2e2, Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 29 cu C constant arbitrar. b) Aplicm acum formula (1.3.48); i aici se poate lua0 , 00 0= = y x . Obinem ( ) ( ) ( ) ( )y ttxyxxtyxtt t t t t t x Q t y t P y x F==|||

\|+ = + + = + = 020 0 0 002e d e d e 0 d , d , , , prin urmare soluia general a ecuaiei este aceeai Cyyx= +2e2, cu C constant arbitrar. 1.3.5. FACTOR INTEGRANT Deoarecemodulderezolvarealuneiecuaiicudiferenialetotaleexacteeste extrem de simplu, s-au cutat ci pentru a exploata i n alte situaii aceast idee extrem de atrgtoare. Fie ecuaia( ) ( ) 0 d , d , = + y y x Q x y x P . (1.3.56) Ne putem pune urmtoarea PROBLEM. Dac ecuaia (1.3.56) nu este cu difereniale totale exacte, am putea oare gsi o funcie ( ) , x y = , cu care, nmulind-o, s-o transformm ntr-o ecuaie cu difereniale totale exacte? Funcia( ) , x y se numetefactor integrant. Putem demonstra cu uurin c: 1.Exist ntotdeauna un factor integrant. 2.OecuaiediferenialordinardeordinulIadmiteoinfinitatedefactori integrani. Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 30 3.Orice factor integrant al unei ecuaii difereniale ordinare de ordinul I este de forma( ) ( ) , U x y ,unde( ) , U x y C = esteointegral(sau,altfelspus,o soluie) a ecuaiei, iar( ) , x y este un factor integrant.4.Dacsecunoscdoifactoriintegraniaiuneiecuaiidiferenialeordinarede ordinul I, atunci soluia acesteia se scrie fr cuadraturi.CUM DETERMINM FACTORUL INTEGRANT? Presupunemproblemarezolvat;amnmulitdeciecuaia(1.3.56)cuofuncie ( ) , x y = , obinnd ( ) ( ) 0 P dx Q dy + = ,(1.3.57) care este o ecuaie cu difereniale totale exacte. Conform proprietilor diferenialei (vezi Cursul de Analiz, partea I), exist( ) y x F F , = , de clas C1 astfel nct ( ) ( ) ( )dy Q dx P y x dF + , , (1.3.58) ceea ce implic QyFPxF = =, . (1.3.59) Dac F este de clas C2, atunci, evident, ( ) ( ) P Qy x = , (1.3.60) deoarecederivatelesalemixtecoincid,conformteoremeiSchwartz(veziCursulde Analiz, partea I) Derivnd cele dou produse, obinem P QP Qy y x x + = + , (1.3.61) Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 31 careeste,defapt,oecuaiecuderivatepariale,pecaretrebuies-osatisfacfactorul integrant; am ajuns deci la o problem aparent mai complicat dect cea de la care am plecat. Presupunemacumc( ) = ,unde( ) , x y = esteofunciecunoscutce depinde dex iy . Deoarece depinde dexiydoar prin intermediul lui, aplicm regula derivrii n lan: x x = dd,y y = dd. (1.3.62) Introducem aceste expresii n (1.3.61) i obinem |||

\| =|||

\| yPxQxQyPdd, (1.3.63) sau ( ) = 4 43 4 42 1xQyPyPxQdd. (1.3.64) Dacnouaexpresie,notat( ) ,esteofunciecedepindedoarde,ecuaia (1.3.64) se scrie ( ) 0 d d = .(1.3.65) Aceasta este o ecuaie cu variabile separabile, n i. mprind cu, deducem ( )dd= , (1.3.66) cu soluia general ( ) ln ln d C = +, (1.3.67) deci Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 32 ( ) = dC e . (1.3.68) Defapt,neintereseazdoarosoluieparticularaecuaiei(1.3.65),deciputem lua1 C = , de exemplu. Dup ce am deteminat factorul integrant, nmulim cu el ecuaia dat i obinem o ecuaiecudiferenialetotaleexacte,pecareorezolvmconformmodeluluidela paragraful precedent. Observaie.Acestmodderezolvaredepindedealegereafunciei;alegerea depinde, la rndul ei, de abilitatea rezolvitorului. ns, de multe ori, are forme simple, sau este indicat. Exemplu. S se rezolve ecuaia 0 d1d12 =|||||

\|++ + +|||||

\|++ yy xy x xy xxQ P4 43 4 42 1 4 43 4 42 1.(1.3.69) tiind c admite un factor integrant de forma( ) y x + = . Rezolvare.Calculm ( )21y xyP+ =, ( )211Qxx y= +. (1.3.70) Rezult c P Qy x , (1.3.71) astfel nct ecuaia nu este cu difereniale totale exacte. Cutmunfactorintegrantdeforma( ) = ,unde,conformindicaiei, x y = + . Trebuie ca( ) ( ) P Qy x = . (1.3.72) Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 33 Avem 1dy d = ,1dx d = . Pe de alt parte, din calculele de mai sus, rezult 1Q Px y = . Din (1.3.72) rezultd P d QP Qd y d x + = + , deci ( )( )1x yd Q PP Qd x y +| | = | \ 1231424314243. (1.3.73) Aceasta nseamn c = dd, careesteoecuaiecuvariabileseparabile.mprindcu ,obinemecuaiacu variabile separate = d d, pentru care, cutnd o soluie particular, gsim = ln ln . Rezult c factorul integrant cutat este = , adic x y = + . nmulim deci ecuaia cu( ) x y + . Obinem Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 34 ( ) ( )2 22 1 1 0q px x y dx y x dy + + + + =( 6447448 6447448. (1.3.74) Aceasta este o ecuaie cu difereniale totale exacte, cci 2pxy= ,2qxx= . Cutm o funcieF astfel nct ( ) x y y xyFx y qyFxy x pxF + + = + = =+ = =232 22311 2 2. Derivm peFn raport cux : ( )'2Fxy xx= + . Trebuie deci ca ( ) 1 2 2 22+ = + xy x x xyi rezult c ( )323x x x = + . n final, funciaFare forma( )32 32,3 3yF x y x y y x x = + + ; soluia general a ecuaiei (1.3.69) este deci3 2 33 3 2 3 y x y y x x C + + = .(1.3.75) 1.3.6. ECUAII DIFERENIALE LINEARE DE ORDINUL I Ecuaia( ) ( ) ( ) = + I , I , ,1C q p x q y x p y ,(1.3.76) Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 35 unde xyydd= , definete ecuaia diferenialde ordinul I, linear i neomogen. Deci ecuaia omogen asociat este ( ) 0 = + y x p y . (1.3.77) A.Membrulstngalecuaiei(1.3.76)defineteoperatorulL,careasociaz fiecrei funcii y funcia( )y x p y+ , adic ( )y x p y Ly + . (1.3.78) De exemplu, dac L este definit ca y y Ly 2 + , (1.3.79) atunci el realizeaz urmtoarea coresponden de la funcie la funcie: . 0 e 2 e 2 e, cos 2 sin cos, 3 2 12 23232 21 1= + = =+ = == + = = x x L xLLLy yx x Ly x yx x Ly x y (1.3.80) Putem spune c operatorul L dat de (1.3.78) este definit astfel:( ) ( ) I C I C :0 1 L . (1.3.81) B. Operatorul L dat de (1.3.78) este linear. Definiia 1.5. Spunem c un operatorY X : L , unde X, Y sunt spaii vectoriale reale/complexe, este linear dac ( ) ( ) ( )2 1 2 1x L x L x x L + = + , (1.3.82) pentru oriceX ,2 1 x xi orice ,reali/compleci. Dac( ) I C ,02 1 y y , iar ,sunt constante reale/complexe, atunci Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 36 ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ), 2 1 2 2 1 12 1 2 12 1 2 1def2 12 1y L y L y x p y y x p yy x p y x p y yy y x p y y y y LLy Ly + = + + + = + + + = + + + = + 4 43 4 42 1 4 43 4 42 1 (1.3.83) deci L este linear, conform definiiei de mai sus. Observaie.Recunoatemunoperatordifereniallineardupfaptulc, ntotdeauna n structura lui, att funcia necunoscut ct i derivata ei sunt la puterea nti. Definiia 1.6. Numim nucleu al unui operatorY X : Li notm cu ker (de la kernel, engl.) mulimea elementelor din X care l anuleaz, adic ( ) { }. 0 X kerY= x L x L (1.3.84) Se tie (cursul de Algebr, anul I) c ker L este subspaiu vectorial al lui X. Pentru operatorul diferenial linear dat de (1.3.78), evident ( ) { } 0 I C ker1= Ly y L , (1.3.85) deci ker L coincide cu mulimea soluiilor ecuaiei lineare i omogene (1.3.77). Ecuaialineariomogen(1.3.78)poatefiscrissubformauneiecuaiicu variabile separabile: ( ) ( ) 0 d d 0dd= + = + x y x p y y x pxy,(1.3.86) de unde, prin mprire cu y, deducem succesiv ( )( ) ( )( ) . d ln, d ln d, ddc x x p yx x p yx x pyy+ = = = (1.3.87) Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 37 nultimaexpresie,cesteoconstantarbitrar,pecareoputemconsiderade formaC ln . Trecnd la exponenial n ultima egalitate, rezult ( )=x x pC yde ,(1.3.88) care este soluia general a ecuaiei omogene asociate. Observaie.Formula(1.3.88)aratcdimensiuneasubspaiuluivectorialL kereste 1. n continuare, vom scrie ecuaia (1.3.76) sub forma ( ) ( ) x q y x p y Ly = + .(1.3.89) Putem demonstra imediat Teorema 1.1. Soluia general a ecuaiei neomogene (1.3.89) este suma dintre o soluieparticularaecuaieineomogeneisoluiageneralaecuaieiomogene asigurate. Demonstraie.ntr-adevr,fieYosoluieparticularaecuaieineomogene (1.3.108). Aceasta nseamn c ( ) ( ) x q Y x p Y LY = + .(1.3.90) S efectum n (1.3.89) schimbarea de funcie z Y y + = . (1.3.91) Introducnd n (1.3.89), obinem ( ) ( ) Lz x q Lz LY z Y L LyL+ = + = + =linear. (1.3.92) Dar( ) x q Ly = , deci (1.3.92) implic0 = Lz , adicL z ker . CUM L DETERMINM PEY? Rspunsul la aceast ntrebare l d Metoda variaiei constantelor (sau metoda lui Lagrange) Cutm pe Y de forma (1.3.88), numai c C va fi considerat funcie de x: Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 38 ( )( )=x x px C Yde . (1.3.93) Atunci ( )( )( ) ( )( ) = x x p x x px C x p x C Yd de e , (1.3.94) i, nlocuind n ecuaia neomogen (1.3.89), obinem ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ). e e e ed dd d = + = + x x p x x px x p x x px C x C x px C x p x C Y x p Y LY (1.3.95) ns( ) x q LY = , deci ( )( )( ) x q x Cx x p= de , (1.3.96) ceea ce conduce la ( ) ( )( )= x x px q x Cde , (1.3.97) deci C se obine prin integrare: ( ) ( )( )x x q x Cx x pd ed= . (1.3.98) n final, soluia particular Y este obinut direct prin cuadraturi ( )( )( )( )x x q x Yx x p x x pd e ed d = . (1.3.99) innd seama de teorema 1.1, rezult c Soluia general a ecuaiei lineare i neomogene se obine prin cuadraturi i este dat de ( )( ) ( )( )( )x x q C x yx x p x x p x x pd e e ed d d + = , (1.3.100) sau, echivalent, de Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 39 ( )( )( )( )|||

\|+ = x x q C x yx x p x x pd e ed d, (1.3.101) unde C este o constant arbitrar. PentrurezolvareauneiecuaiilinearedeordinulIputemfolosideciunadintre ultimeledouformule,nsnpracticestemaisimplusprocedmdirect.Dincele spuse mai sus se desprinde urmtorul MOD DE REZOLVARE Etapa I. Se asociaz lui (1.3.78) ecuaia omogen corespunztoare: ( ) 0 = + z x p z Lz .(1.3.102) Amartatcsoluiageneralaacesteiecuaiiomogeneestedatdeformula (1.3.88), deci ( )=x x pC zde . (1.3.103) Etapa II.Conformteoremei1.1,rmnesdeterminmpeYosoluieparticulara ecuaiei (1.3.78). Aceasta se realizeaz cu metoda variaiei constantelor, dup cum am artat. Exemple. S se determine soluia general pentru urmtoarele ecuaii: a)0 = + xy y . Rezolvare. Este o ecuaie diferenial de ordinul I, linear i omogen. Ea se mai poate scrie succesiv ; 0 dd, 0 d d, 0dd= += += +x xyyx xy yxyxy Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 40 ultima este o ecuaie cu variabile separate. Soluia ei general este C x xyyln dd+ = , sau Cxy ln2ln2+ = , unde C este o constant arbitrar. Trecnd la exponenial, gsim 22exC y= . b) 22exx xy y= + . Rezolvare. Este o ecuaie diferenial de ordinul I, linear i neomogen. Etapa 1. Ecuaia omogen asociat este 0 = + xz z . Soluia ei general a fost deja gsit la exemplul b). Ea este 22exC z= . Etapa 2. Pentru a determina o soluie particular Y a ecuaiei neomogene, folosim metodavariaieiconstantelor.CutmpeYdeforma( )22exx C Y= .Introducemn ecuaia neomogen: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) , e e e ee ee12 2 2 22 222 2 2 22 22x x x xx xxx C x xC x xC x C xY Yx xC x C Yx C Yx = + = + + = = i cum Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 41 22exx xY Y= + , rezult c ( )2 22 2e ex xx x C = , adic( ) x x C = i deci ( )22xx C = . Obinem 222e2xxY= . Soluia general a ecuaiei neomogene esteY z y + = , aadar 2222 2e2ex xxC y + = , sau, altfel scris 222e2xxC y|||

\|+ = , unde C este o constant arbitrar. 1.3.7. ECUAIA BERNOULLI Este de forma( ) ( ) { } ( ) = + I I C q p y x q y x p y , , , 1 , 0 ,0.(1.3.104) Dac0 = ,rezultecuaiadeordinulIlinearineomogen ( ) 0 = + y q p y . Dac1 = , rezult ecuaia de ordinul I linear i omogenq py y = + . Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 42 MOD DE REZOLVARE mprim(1.3.104) cuy ( ) ( ) x qyx pyy= + 11. (1.3.105) Derivm 111yy= : ( ) ( ) ( ) = =yyy y yx1 1dd1. (1.3.106) Deci (1.3.104) se transform n( ) ( ) x qyx pyx= +|||

\| 1 11 1dd11. (1.3.107) Notm11uy= , (1.3.108) i obinem ( ) ( ) x q u x p u = + 11,(1.3.109) careesteoecuaielinearineomogen,avndpeu dreptfuncienecunoscut.O rezolvm i revenim lay prin (1.3.108). Exemplu.S se rezolve ecuaia23132y yxy = + .(1.3.110) Recunoatem n ea o ecuaie de tip Bernoulli, cu2 = . Rezolvare. mprim ecuaia cu 2y : Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 43 31 1322= +y xyy. Notm 21yyuyu = = . Avem3132= + uxu ,(1.3.111) care este o ecuaie linear i neomogen. Rezolvm ecuaia linear (1.3.111). oEcuaia omogen asociat este032= + uxu .(1.3.112) Rezultx uu32=,de unde deducemC x u ln ln32ln + = . Soluia general a ecuaiei (1.3.112) este 32x C u = . (1.3.113) oSoluia general a ecuaiei neomogene (1.3.111) este deci 23u C x U = + , (1.3.114) undeU esteosoluieparticularalui(1.3.111),pecareodeterminmcumetoda variaiei constantelor. Rezult, succesiv, 231x( ) ( )( ) ( ) ( ) x C x x x C x Ux x C x U + = =31323232 ( )313232= = + x x C UxU , Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 44 astfel nct ( )3231 = x x C , adic ( )31321132131x x x C = ||

\| =; soluia particular U este deci x U = . Soluia general a ecuaiei (1.3.111) este 23u x C x = + . Soluia general a ecuaiei Bernoulli (1.3.110) este dat de 123y x C x| |= + |\ . 1.3.8. ECUAIA RICCATI Are forma ( ) ( ) ( ) ( ) = + + I I C r q p x r y x q y x p y , , , ,0 2.(1.3.115) Dac0 = q , rezult ecuaia linear i neomogen ( ) ( ) x r y x p y = + . Dac0 = r , rezult ecuaia Bernoulli( ) ( )2y x q y x p y = + . Dac se cunoate o soluie particular( ) Y x , ecuaia Riccati se rezolv prin cuadraturi. MOD DE REZOLVAREntr-adevr, cu schimbarea Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 45 y Y z = + , (1.3.116) avemz Y y + = i, nlocuind n (1.3.115), aceasta devine ( )( ) ( )( ) ( ) x r z Yz Y x q z Y x p z Y = + + + + + + 2 22 .(1.3.117) ns( ) x r qY pY Y = + + 2, decizsatisface ( ) ( ) [ ] ( ) 0 22= + + + z x q z Y x q x p z ,(1.3.118) care este o ecuaie Bernoulli, cu2 = . Dup rezolvarea ei, revenim lay , cu schimbarea de funcie (1.3.116). Exemplu. S se rezolve ecuaia223231xy y + = , (1.3.119) tiind c admite o soluie particular ( )1Y xx= . Rezolvare. Folosind schimbarea de funcie1y zx= + ,(1.3.120) obinem222 2322131 1xzxzxzx+ ||

\|+ = + . Rezult ecuaia Bernoulli 23132z zxz = + ,(1.3.121) pe care am rezolvat-o la exemplul corespunztor cazului Bernoulli, gsindEcuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 46 132||||

\| + = x C x z . Revenind lay , cu schimbarea (1.3.120), rezult soluia general a ecuaiei Riccati (1.3.119) 1231y x C xx| |= + + |\ , unde C este o constant arbitrar. SmenionmctevacazuriparticularesimplencareecuaiaRiccatiserezolv prin cuadraturi. 1)Dac ( ) ( ) ( ) 0 = x q x p x r , I x , (1.3.122) atunci se arat c soluia general a ecuaiei Riccati este ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( )( )( ) ( ) [ ]= + + + + +=x x R x Qxx x x x R x Q Cx x x x R x Q Cx yde,dd.(1.3.123) 2)Presupunem, mai general, c( ) ( ) ( ) 02 2= x abq x p a x r b ,I x ,(1.3.124) undeconstanteleaibnusuntsimultannule.Dac0 b ,atunci,cuschimbareade funcie ( ) ( ) x u b a x y + = / ,(1.3.125) obinem pentru noua funcie necunoscutu o ecuaie Bernoulli ( ) ( ) ( ) u x P x Qbau x Q u((

+ + = 22.(1.3.126) Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 47 3)Dacpiqsuntpolinoamesatisfcndconst 4 22= = R p p ,atunci ( ) ( ) [ ] + = x P x Y211and( ) ( ) [ ] = x P x Y212suntambelesoluiialeecuaiei Riccati ( ) ( ) x r y y x p y + + = 2.(1.3.127) Comentariu.EcuaiaRiccatiestedeosebitdeimportantnaplicaiiledin mecanic,inginerie,fizic,chimie,etc.;deaceea,afostmultstudiat.Areoseriede proprietiremarcabile(deexemplu,oricare4soluiidistinctealeuneiecuaiiRiccati datesunttotdeaunanraportanarmonic).SistemeledeecuaiiRiccatisuntprintrecele mai des folosite n cercetri moderne din domeniul tiinelor naturii. 1.3.9. ECUAIA CLAIRAUT Este de forma ( ) y y x y + = . (1.3.128) MOD DE REZOLVARE Folosim schimbareapxyy = = dd,(1.3.129) de unde rezult imediat x p y d d = .(1.3.130) Pe de alt parte, din (1.3.128) rezult ( ) p xp y + = , (1.3.131) relaie care, difereniat, devine Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 48 {( ) p p p x x p yx pd d d dd + + = . (1.3.132) Egalnd cele dou expresii ale lui dy, obinem ( ) p p p x x p x p d d d d + + = , (1.3.133) deci ( ) ( ) 0 d = + p p x .(1.3.134) Rezult c cel puin una din urmtoarele egaliti este valabil ( )= +=. 0, 0 dp xp (1.3.135) oCazul a). Dac 0 d = p , atunciC p =i deci ( ) C xC y + = ,(1.3.136) undeCesteoconstantarbitrar.Relaia(1.3.136)reprezintsoluiagenerala ecuaiei Clairaut. Geometric, soluia ecuaiei Clairaut reprezint un fascicol de drepte. oCazul b). Dac( ) 0 = + p x , atunci( ) p x =i deci ( ) ( ) p p p y + =Rezult( )( ) ( ) + = =,,p p p yp x(1.3.137) carereprezintecuaiaparametricauneicurbeintegralepentruecuaiaClairaut,care nu se obine din soluia general, particulariznd peC. De aceea, aceast soluie este o soluie singular. Geometric, ea este nfurtoarea fascicolului de drepte reprezentat de soluia general.ntr-adevr, dac( ) , , 0 F x y C =este un fascicol de curbe, atunci eliminnd peC ntre relaiile Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 49 ( )( )==, 0 , ,, 0 , ,C y xCFC y x F (1.3.138) obinem nfurtoarea fascicolului. n cazul ecuaiei Clairaut, F i CF au urmtoarea form ( ) ( )( ) ( )= + = + . 0 , ,, 0 , ,C x C y xCFy C xC C y x F (1.3.139) Eliminnd pe C ntre cele dou ecuaii de mai sus, obinem( )( ) ( ) + = =,,C C C yC x (1.3.140) care sunt tocmai ecuaiile parametrice ale soluiei singulare.Deci soluia singular a ecuaiei Clairaut este nfurtoarea fascicolului de drepte ce reprezint soluia sa general. Exemplu.S se rezolve ecuaia 2y y x y = .(1.3.141) Rezolvare. + == == . d 2 d d d, d d2p p p x x p yx p yp p x yp y Egalnd expresiile lui dy, deducem ( ) 0 d 2 d d 2 d d = = + p p x x p p p p x x p , adic ==. 2, 0 dp xp (1.3.142) Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 50 oCazul a).C p p = = 0 d , deci 2C C x y = , (1.3.143) care reprezint soluia general a ecuaiei Clairaut. oCazul b). Avem= ==, 2, 22 2p p p p yp x de unde deducem imediat 42xy = , (1.3.144) care reprezint soluia singular a ecuaiei Clairaut. O y x nfigurademaisusestenfiatsoluiasingular,tangentnfiecarepunctla unadindreptelefascicoluluicarereprezintsoluiageneralaecuaieiClairaut considerate. 1.3.10. ECUAIA LAGRANGE Este de forma ( ) ( ) ( ) 0 = + + y C x y B y y A , (1.3.145) deci depinde linear de x i y. Dac( ) 0 y A , mprind cu el, obinem Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 51 ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( ) y Ay Cy gy Ay By f y g x y f y = = + = , , . (1.3.146) Dac( ) y y f ,atunci(1.3.146)esteoecuaieClairaut;afosttratatn paragraful precedent. Presupunem deci c( ) y y f . MOD DE REZOLVARE Procedm ca n cazul ecuaiei Clairaut. Fie deci pxyy = = dd,(1.3.147) de unde rezult imediat x p y d d = .(1.3.148) Pe de alt parte, din (1.3.146) rezult ( ) ( ) p g p xf y + = , (1.3.149) relaie care, difereniat, devine {( ) ( ) ( ) p p g p p f x x p f yx pd d d dd + + = . (1.3.150) Egalnd cele dou expresii ale lui dy, obinem ( ) ( ) ( ) p p g p p f x x p f x p d d d d + + = , (1.3.151) deci ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 0 d d = + + p p g p f x x p p f . (1.3.152) Dac( ) const = p f ,atunciecuaia(1.3.152)estecuvariabileseparabileise rezolv ca n paragraful 1.3.2. n caz contrar, avem dou situaii posibile: a)( ) p p f . Atunci mprim (1.3.152) cu( ) p p f i rezult Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 52 ( )( )( )( )0dd=++p p fp gxp p fp fpx. (1.3.153) Aceastaesteoecuaiediferenialordinarlinearineomogen,acreifuncie necunoscutestex,variabilaindependentfiindp.Rezolvnd-ocumetodadescrisla paragraful1.3.6,obinemsoluiasubforma( ) ( ) ( ) p b C p a p x1 1+ = ,undeCesteo constant arbitrar. Din (1.3.149) rezult ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) p g p f p b C p a p y + + =1 1, (1.3.154) sau, altfel scris, ( ) ( ) ( ) p b C p a p y2 2+ = , (1.3.155) unde am folosit notaiile ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p g p f p b p b p f p a p a + = =1 2 1 2, . (1.3.156) n final obinem soluia general a ecuaiei Lagrange sub forma parametric ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )+ =+ =.,2 21 1p b C p a p yp b C p a p x (1.3.157) b) Dac( ) 0 = p p f admitesoluiilereale ip ,nlocuindnecuaia(1.3.146)i innd seama c( )i ip p f = , rezult soluiile ( )i ip g xp y + = ,(1.3.158) relaii care reprezint ecuaii ale unor drepte, pentru fiecareip . Aceste soluii pot fi singulare. Exemplu. S se determine soluia general a ecuaiei 3 227894y y x y + = .(1.3.159) Rezolvare. Este o ecuaie de tip Lagrange. Deci aplicm schimbarea Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 53 p y= x p y d d = , (1.3.160) i deducem 3 227894p p x y + = ,(1.3.161) din care obinem, prin difereniere, p p p p x y d98d98d d2+ = .(1.3.162) Egalnd cele dou expresii ale lui dy, gsim p p p p x x p d98d98d d2+ = ,(1.3.163) sau, dup efectuarea calculelor, ( ) 0 d98d 1 =((

p p x p .(1.3.164) Rezult c cel puin una din urmtoarele egaliti este valabil: == . 1, 0 d98dpp p x (1.3.165) a) Prima egalitate este de fapt ecuaia cu variabile separate 0 d98d = p p x , cu soluia general C p x + =294.(1.3.166) Din (1.3.161) rezult i C p y + =3278.(1.3.167) Soluia general a ecuaiei Lagrange se obine deci n forma parametric Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 54 + =+ =.278,9432C p yC p x(1.3.168) Eliminndpntreceledouexpresiidin(1.3.168),gsimsoluiageneralsub forma implicit ( ) ( )2 3C y C x = . (1.3.169) b) Cea de a doua egalitate (1.3.165) implic 1 = p , care, nlocuit n (1.3.161), duce la soluia singular a ecuaiei Lagrange: 274 = x y .(1.3.170) 1.4. METODA APROXIMAIILOR SUCCESIVE nparagrafulprecedentampusnevidenuneletipurideecuaiidiferenialede ordinulIcarepotfirezolvateprincuadraturi,conducndlaformuleanaliticeconcrete alesoluiilor.Darnusuntmultecazurilencareaparecuaiideacestetipuri.Acest neajuns ar putea fi compensat prin gsirea unor metode aproximative ale soluiilor. Unadintrecelemaiuzitateasemeneametodeestemetodaaproximaiilor succesive,sau metodalui Picard. ntructmetodaeste constructiv, o vomprezentan cadrul complet al teoremei de existen i unicitate a soluiei problemei Cauchy. 1.4.1. TEOREMA CLASIC DE EXISTEN I UNICITATE CAUCHY-PICARD Teorema 1.2. Fie problema Cauchy Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 55 ( )( )==., ,dd0 0y x yy x fxy (1.4.1) Presupunem c f satisface urmtoarele condiii: 1)( ) ( ) { } b y y a x x y x f = 0 02 0, , , , C2)f este Lipschitz n raport cu y, deci exist o constant pozitiv K astfel nct ( ) ( ) ( ) ( ) Z x Y x Z Y K Z x f Y x f , , , , , , .(1.4.2) AtunciproblemaCauchy(1.4.1)admiteosoluieunic( ) I C1 y ,undeIeste intervalul( ) h x h x + =0 0, I , lungimea sa 2h fiind determinat astfel: ( )( ) y x f MMba hy x, sup , , min, =)`= . (1.4.3) *Demonstraie.Mexistiestefinit,ccifestecontinuupecompact. Demonstrm nti EXISTENA SOLUIEI Integrndecuaiadin(1.4.1)iinndcontdecondiiaCauchy,observmc problema (1.4.1) este echivalent cu ecuaia integral ( ) ( ) ( )+ =xxt t y t f y x y0d ,0. (1.4.4) Existena este constructiv, prinMETODA APROXIMAIILOR SUCCESSIVE, care se mai numete i metoda lui Picard, autorul ei. Metoda este eficient i are un grad mare de aplicabilitate. Ea poate fi utilizat i n alte probleme. Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 56 ncazulnostru,considermurmtoruliraproximantpentrusoluiaproblemei (1.4.4): ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) N. + =+ =+ =n t t y t f y x yt t y t f y x yt y t f y x yxxn nxxxx, d ,. .......... .......... .......... .........., d ,, d ,0001 01 0 20 0 1 (1.4.5) Urmm cteva etape: I. Demonstrm c irul{ }N nnyeste bine definit i toate funciileN n yn, , au valorile numai n intervalul[ ] b y b y + 0 0, , pentru orice xI. II. Artm c irul { }N nnyeste uniform i absolut convergent pe I. n acest scop, considerm seria ( ) ( ) K K + + + + 1 0 1 0 n ny y y y y S, (1.4.6) ale crei sume pariale sunt chiar( ) ( )n n ny y y y y y + + +1 0 1 0K . Demonstrm c seria (1.4.6) are termenii majorai de constante pozitive pe I, iar seria numeric a acestor constante este convergent. ConformcriteriuluiluiWeierstrass(vezicursuldeAnalizMatematic,partea I), rezult cSeria (1.4.6) este absolut i uniform convergent pe I. Snotmsumaacesteiseriicuy.Termenulgeneralallui(1.4.6)estecontinuu, deci,conformproprietilorsumeiseriilordefuncii(CursuldeAnalizMatematic, partea I), cEcuaii difereniale ordinare de ordinul nti 57 Suma y a seriei (1.4.6) este continu. Se poate trece deci la limit n relaia de definiie (1.4.5) i avem ( ) ( ) ( )+ =xxt t y t f y x y0d ,0; (1.4.7) cumyifsuntcontinue,rezultcmembruldreptallui(1.4.7)estederivabil,deci membrul stng y este de clas( ) I C1. n concluzie, y satisface problema Cauchy (1.4.1).UNICITATEA SOLUIEI Se demonstreaz prin reducere la absurd. 1.4.2. PRINCIPIUL CONTRACIEI Metodaaproximaiilorsuccesiveaplicatecuaiilordiferenialeordinareimplic unconceptmultmaigeneral,cunumeroaseaplicaii,anume,principiulcontraciei.l vom prezenta pe scurt. FieX o mulime pe care s-a definit o distan (metric): : d X X+ ,(1.4.8) cu proprietile: 1.( ) , 0 d x y >i( ) , 0 d x y x y = = , 2.( ) ( ) , , , , d x y d y x x y X = , proprietatea de simetrie, 3.( ) ( ) ( ) , , , , , , d x y d x z d z y x y z X + , inegalitatea triunghiului. Astfel,X mpreuncud cendeplineteproprietiledemaisusformeaz spaiul metric( ) , X d . Definiii:1. irul{ } X xnnN este convergent n metric ctreX xdac irul numeric ( ) { }N nnx x d ,este convergent. Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 58 2.irul{ } X xnnNsenumeteCauchynmetricdacpentruorice0 > gsim un rang( ) Nastfel nct ( ) N ni oriceN p . 3.( ) , X d senumetespaiumetriccompletdacoriceirCauchynmetric admite o limit nX . S considerm acum un operator: T X X .Definiii:1.T senumetecontraciedacexistunnumrpozitivsubunitar1 < astfel nct( ) ( ) X y x y x d Ty Tx d , , , , . (1.4.10) 2.xse numete punct fix pentru Tdac x Tx = .(1.4.11) Cu aceste precizri i definiii, putem enuna acum, fr a o demonstra,Teorema1.3.(Principiulcontraciei):Fie( ) , X d unspaiumetriccompleti : T X X o contracie. Atunci Tadmite un punct fix unic. APLICAIE: DEMONSTRAREA TEOREMEI CAUCHY-PICARD CU PRINCIPIUL CONTRACIEI Teorema 1.4. Fie problema Cauchy ( )( )== ., ,0 0y x yy x f y (1.4.12) Presupunem adevrate ipotezele teoremei 1.3, deci 1)( ) ( ) { } b y y a x x y x D D C f < < = 0 00, , , ; 2)fLipschitz n raport cuypeD, adic exist o constant0 > Kastfel nct Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 59 ( ) ( ) Z Y K Z x f Y x f < , , ,( ) ( ) D Z x Y x , , , .(1.4.13) Atunci problema Cauchy (1.4.12) admite local o soluie unic.Demonstraie: Ca i n demonstrarea teoremei 1.2, integrm ecuaia din (1.4.12) i rezult, innd seama i de condiia Cauchy ( ) ( ) ( ) t t y t f y x yxxd ,00 + = . (1.4.14) ProblemaCauchy(1.4.12)estedeciechivalentcuecuaiaintegral(1.4.14). Aceasta pune n eviden operatorul( ) ( ) t t y t f y Tyxxd ,00 + , (1.4.15) careestedefinitpemulimea(spaiul)( )00I C ,cuvaloritotn( )00I C , 0I fiind intervalul[ ] a x a x + = , I0. Fie )`= aKh ,1min ,(1.4.16) undeK este constanta Lipschitz i s considerm intervalul[ ] h x h x + =0 0, I . Atunci, dac pe( )00I Cconsiderm distana definit de( ) ( ) ( ) ( ) I C , , sup ,0 =z y x z x y y x dI x, (1.4.17) avem Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 60 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ). , d supd , d , sup ,0II00 0z y d x x K t t z t y Kt t z t f t t y t f Tz Ty dxxxxxxxx = (1.4.18) Rezult ( ) ( ) z y Khd Tz Ty d , , , (1.4.19) unde1 < Kh , conform inegalitii (1.4.16). Deci Teste contracie. Sobservmc( ) I C0estecompletnraportcumetrica,definit,defapt,cu ajutorulnormeisup.Aplicmprincipiulcontraciilorirezultcexist( ) I C0 Y , unic, astfel nctY TY = ,(1.4.20) adic ( ) ( ) ( ) t t Y t f y x Yxxd ,00 + = . (1.4.21) nsf estecontinuu,deciprimitivadinmembruldreptestedeclas( ) I C1.Rezult( ) I C Y1 , aadar Ysatisface (1.4.12). Exemplu: Fie problema Cauchy( )( ) { } 1 , 1 , ,0 0dd2 2< < ==+ =y x y x Dyy xxy. (1.4.22) SseaproximezesoluiaproblemeiCauchyfolosindmetodaaproximaiilor successive. Rezolvare: Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 61 ETAPA 1. Identificm datele din teoremele 1.3 i 1.4: ( ) 0 , 0 , ,0 02 2= = + = y x y x y x f , 1 , 1 = = b a .(1.4.23) ETAPA 2. Determinm intervalul pe care este valabil metoda. a) Conform teoremei 1.3, avem )`=Mba h , min ,( )( ) { } y x f MD y x, sup, = , (1.4.24) unde ( )( ) { } { } 2 sup , sup2 21 , 1 ,= + = =< < y x y x f My x D y x, (1.4.25) deci 2121, 1 min =)`= h .(1.4.26) b) Conform teoremei 1.4, avem ( ) ( )2 2 2 2, , f x y f x z x y x z y z y z = + +(1.4.27) deci ( ) ( ) z y z x f y x f < 2 , , .(1.4.28) Rezult2 = Ki, conform inegalitii (1.4.16), 211 ,21min ,1min =)`=)`= aKh ,(1.4.29) adic aceeai valoare ca n cazul teoremei 1.3. Intervalul cutat este deci ((

21,21I .(1.4.30) Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 62 Scalculmprimeletreiaproximaiisuccesivealesoluieiproblemei(1.4.22). Avem ( ).59535 2079263 3d63 3,63 3d30,3d 0 0, 015 11 7 3027 3237 302322302 210x x x xtt tt yx xttt yxt t yyxxx+ + + =(((

|||

\|+ + =+ =(((

|||

\|+ + == + + == (1.4.31) Observmcfunciile 3 2 1, , y y y suntimpareicresctoare.Decifiecaredintre eleiatingemaximum-ulnpunctul 12x = .Calculndvaloareaaproximantelor 3 2 1, , y y yn acest punct, gsim: .59535 212079 2104179 , 021, 04179 , 0128 631041666 , 021, 041666 , 02412161015 103214 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1viteza este negativ. Soluie. Aceste observaii ne conduc la separarea studiului n dou cazuri. B1. Micarea ascendent n acest caz] , 0 [uT t iar problema Cauchy devine = =. ) 0 (,02v vv g v& Ecuaia diferenial poate fi tratat fie ca o ecuaie cu variabile separabile, fie ca o ecuaie Riccati. Soluia problemei Cauchy este: 0( ) ( ( ) ).gv t tg arctg v g tg= Aceastformpentruvitezestevalabilpncndvitezaseanuleaz.Din aceast condiie se determin timpul de urcare ). ( arctg10vg gTu =Micarea ascendent este soluie a problemei Cauchy = =0 ) 0 () arctg ( tg0xt g vggx&. Fieprincalculdirect,fieutilizndunprogramdecalculalprimitivelor(noiam utilizat programul MAPLE 11) deducem Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 67 .) ( tg 1)) tg( 1 (ln21) (220t gt g vgt x + + =nlimea maxim la care ajunge corpul este ). 1 ln(21) (20maxgvT x Hu + = =B 2. Micarea descendent Pentru un timp t superior lui uTviteza corpului este soluia problemei Cauchy = + =. 0 ) (,2uT vv g v& Ecuaia diferenial poate fi tratat fie ca o ecuaie cu variabile separabile, fie ca o ecuaie Riccati. Soluia problemei Cauchy este: .)) ( 2 exp( 1)) ( 2 exp( 1) (uuT t gT t g gt v + =Micarea descendent a corpului este modelat de problema Cauchy ( )max,)) ( 2 exp( 1)) ( 2 exp( 1H T xT t gT t g gxuuu= + = & a crei soluie este .)) ( 2 exp( 11 2ln1) ( ) (20uuT t ggvT tgt x + ++ =Expresiile micrii i ale vitezei au relevan fizic att timp ct corpul se afl n aer, adic att timp ct x este pozitiv. Egalnd pe x cu 0 determinm timpul de coborre al corpului Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 68 ) 1 ln(12020gvgvgTc + + =Introducndaceastexpresienformulavitezeigsimvitezadecderepe suprafaa Pmntului .) ) 1 ( 1 () 1 (202020202020gvgvgvggvgvgvvP + + + + + = Interpretare fizic.Analizndmatematicexpresiilemicriiivitezeiattnmicareascendentct i n micare descendent deducem urmtoarele: aerul are un rol nivelator ceea ce poate fi evideniat de urmtorul rezultat: ( ) gt vt; timpul de coborre cTeste mai mare dect timpul de urcare uT ; viteza de cdere pe Pmnt Pv este mai mic dect viteza de aruncare 0v . n figurile 1.5.2 i 1.5.3 sunt prezentate simulrile numerice ale evoluiei vitezei i a micrii corpului pentru o vitez iniial 0150 / v m s =i pentru un coeficient de frecare cu aerul 10, 01m = . Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 69 Figura 1.5.2. Evoluia vitezei n micarea pe vertical sub aciunea greutii i a forei de frecare cu aerul Figura 1.5.3. Micarea pe vertical sub aciunea greutii i a forei de frecare cu aerul Valorile numerice pentru nlimea maxim i pentru timpii de urcare i coborre sunt date n urmtorul tabel: Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 70 max(metri) H 157,4 (secunde)uT 4,3 (secunde)cT 7,1 EFECTUL FRECRII CU AERUL Analiznd matematic funciile ce descriu viteza i micarea corpului n cele dou modele studiate, cu aceeai vitez iniial, observm urmtoarele proprieti: corpulseridiclaonlimemaimicatuncicndasupraluiacioneazatt greutatea ct i fora de frecare cu aerul; timpuldeurcarenaerestemaiscurtdecttimpuldeurcarenvid(atunci cnd se ine cont doar de greutate); timpul de coborre n aer este mai scurt dect cel n vid; viteza de cdere pe suprafaa terestr este mai mic n aer dect n vid; nfigura1.5.4suntprezentatesimulrilenumericealevitezeicorpuluicu valorileconstantelordinseciunileprecedente;cuculoareagrinvidicu culoarea neagr n aer. Figura 1.5.4. Efectul frecrii cu aerul asupra vitezeiEcuaii difereniale ordinare de ordinul nti 71 nfigura1.5.5suntprezentatesimulrilenumericealemicriicorpuluicu valorileconstantelordinseciunileprecedente;cuculoareagrinvidicu culoarea neagr n aer. Figura 1.5.5. Efectul frecrii cu aerul asupra micriiAplicaia 1.5.2. Golirea rezervoarelor (D. Comnescu, I. Cau) Problema fizic.Unrezervor cilindric deraz Rceconine o cantitate delichid este golit printr-un orificiu de arie S aflat la baza acestuia. Rezervorul poate fi alimentat printr-un robinet. Ne intereseaz evoluia n timp a volumului de lichid V(t) din rezervor. Pentrudeducereamodeluluimatematicutilizmurmtoarealegedebilan:variaia maseidinrezervoresteegalcudiferenadintremasadelichidceintrprinrobinetn unitateadetimpimasadelichidceieseprinorificiununitateadetimp.ncelece urmeaz vom presupune c masa de lichid ce intr prin robinet pe unitatea de timp este constant i o vom nota 0k . Masa de lichid ce iese prin orificiu n unitatea de timp este egal cu 2k S w unde am notat cu densitatea lichidului, cu( ) w tmrimea vitezei uneiparticuledelichidsituatpesuprafaaSaorificiuluiicu 2k coeficientul, determinatexperimental,careexprimprocentuldinariaSaorificiuluiprincareiese Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 72 efectiv lichidul. Pe baza celor demai susi notnd cu m(t)masa de lichid din rezervor putem scrie 0 2m k k S w = . nlocuind masa cu volumul i notnd 01kk= obinem 1 2V k k S w= VitezawdeevacuarealichiduluiprinorificiuestedatdeLegealuiTorricelli, careesteoconsecintauneilegimaigeneraledatedeBernoulli.Aceastaafirmc vitezadescurgerealichiduluidinrezervoreste 2 ( ) g h t ,undegesteacceleraia gravitaional, iar h(t) este nlimea coloanei de lichid deasupra orificiului. Sintetiznd, putem scrie 1 2( ) 2 ( ) V t k k S g h t= . Din formula volumului cilindrului deducem c 2( )( )V th tR =. nlocuindnecuaiadiferenialprecedentgsimecuaiadiferenialaevoluiei volumului de lichid 121 3SV k k VR= , unde amnotat 3 22 gk k= .Ecuaia demaisuseste o ecuaiediferenialcuvariabile separabile.Dacrobinetuldealimentareestenchis, 10 k = ,atunciecuaiadiferenial poate fi privit i ca o ecuaie Bernoulli (vezi 1.3.7). Notnd volumul iniial de lichid cu 0V , evoluia volumului de lichid este soluia problemei Cauchy Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 73 121 30(0)SV k k VRV V= =. CAZUL N CARE ROBINETUL DE ALIMENTARE ESTENCHIS 10 k = Problema Cauchy devine 1230(0)SV k VRV V= = i are soluia: 23 02( 2 )( )4k S t R VV tR =. Figura 1.5.6. Evoluia volumului de lichid pentru diverse arii ale orificiului. nfigura1.5.6esteprezentatsimulareaevoluieivolumuluidelichidpentru urmtoarelevalorialeparametriloricondiieiiniiale: 13 120 3100 , 1 , 0,1 V m R m k m s= = = .Culiniepunctatavemevoluiavolumului Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 74 lichiduluiatuncicnd 20, 05 S m = ,culiniecontinuatuncicnd 20,1 S m = iculinie ntrerupt atunci cnd 20, 5 S m = . DeisoluiaproblemeiCauchyesteglobal(definitpe),relevanafizica acesteia este pe intervalul de timp [0, ]GT unde GT este timpul de golire al rezervorului iareexpresia 032GR VTk S =.Aceastexpresieneajutlarezolvareaunorprobleme practice de urmtorul tip: determinarea ariei orificiului pentru ca timpul de golire s se ncadreze ntre anumite limite date n prealabil. CAZUL GENERAL Pentruasimplificastudiulfacemschimbareadevariabil 1VWk=undeWeste volumuldelichidnormalizatiintroducemnotaiile 001VWk=i 31k Sak R=.Cuaceste notaii problema Cauchy a evoluiei volumui de lichid din rezervor devine 1201(0)W a WW W= =. Expresia explicit a soluiei este imposibil de obinut prin funcii elementare. Fie prin calcul direct fie cu ajutorul unui program de calcul simbolic cum arfi MAPLE 11 sepoatedasoluianformimplicit.Expresiaacesteiestecomplicatinuovom prezenta n aceast lucrare. Pentru a sesiza comportarea volumui de lichid din rezervor preferm s prezentm soluiaproblemeiCauchypentruvaloriparticularealeparametruluiaiacondiiei iniiale 0W .Maiprecisvomconsidera 02, 1 a W = =.Soluiaimplicitaproblemei Cauchy este Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 75 2 ln | 2 1| 2 2 W W t + = .Fcndoanalizmatematicdetaliatasoluiei sauurmrindsimulareadinfigura1.5.7observmcvolumuldelichidscadetinznd spre o valoare strict pozitiv atunci cndt . Figura 1.5.7. Evoluia volumului de lichid normalizat. ngeneralseobservcdacestesatisfcutrelaia 021Wa=,atuncifunciaW esteconstantceeacearatcvolumuldelichidrmnetottimpulconstant.Dac 021Wa>, atunci W este o funcie descresctoare i 21lim ( )tW ta=; deducem c volumul delichidscadeitindespreo valoarestrictpozitiv(aceastsituaieesteprezentatn simulareademaisus).Dac 0 21Wa >Observaiiexperimentaleauconduslamodelematematicealefrecriideforma prezentat n aceast seciune. Evoluia vitezei rachetei capt forma 1 00(0)v vmv v+= = AvemoproblemCauchypentruoecuaiediferenialcuvariabileseparabilea crei soluie este 100( ) ( ) v t v tm= + . ncondiiileacestuicazobservmc( ) 0tv t .Pentrudeterminareamicrii rachetei trebuie s analizm dou situaii.b1)1 = . Printr-o integrare direct deducem c micarea rachetei este 0 00( ) ln( 1)v mx t tm= +. b2) 1 . Micarea rachetei este dat de 11 00 00 0( ) ( )( 1) (1 )m mx t t v vm = + + . Interpretarefizic.Analizndexpresiilemicriiracheteiobservmcmicarea este mrginit dac1 i respectiv1 = . Figura 1.5.10. Viteza rachetei n cazul frecrii neliniare cu1 < Figura 1.5.11. Micarea rachetei n cazul frecrii neliniare cu1 < Figura1.5.12. Viteza rachetei n cazul frecrii neliniare cu1 > Figura 1.5.13. Micarea rachetei n cazul frecrii neliniare cu1 > Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 84 Figura 1.5.14. Viteza rachetei n cazul frecrii neliniare cu1 = Figura 1.5.15. Micarea rachetei n cazul frecrii neliniare cu1 =ntoatesimulrilefcuteamutilizaturmtoarelevalorialeparametrilori condiiei iniiale: 101000 , 0, 001 m kg kg m s = = i 01000 / v m s = . Aplicaia 1.5.5 (M.V.Soare, [17,18]) Problemafizic(problemaluiCayley,1857).Ssestudiezemicareaunuiunui corpsoliddegreutate 0P ,caresedeplaseazpeunplannclinatcuunghiul,fiind legat de un lan nfurat fr frecare n A (figura 1.5.16). Modelmatematic.Aplicndteoremamomentului,seobineecuaiadiferenial de ordinul I ( ) X v vgptvgP= +0dd, (1.5.17) ncareg P/ estemasatotalasistemuluimecaniclamomentult,gfiindacceleraia gravitaiei,g p / esteacumulareademas,Xesteforaexterioar,vvitezala Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 85 momentult,iar 0v estevitezainiialamaseiadiionale.Ecuaia(1.5.17)reprezint modelul unui sistem mecanic de mas variabil. Fieq greutatealanuluipeunitateadelungime;nacestcaz,pentruorice deplasare x a greutii 0P , masa total n micare va fi .0qx P P + = (1.5.18) Observm c .ddqvtPp = = (1.5.19) Figura 1.5.16. Sistem mecanic de mas variabil Poriunea nfurat a lanului fiind n repaus, putem considera c viteza iniial a masei adiionale este nul ( 00 = v ). ForaexterioarXestecomponenta dup direcia planului nclinataforeiP, aa nct( ) + = sin0qx P X . n felul acesta, ecuaia (1.5.17) capt forma ( ) . sindddd 10 + =||

\|+ qx PtPvtvPg Soluie. Ecuaia care guverneaz fenomenul este deci Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 86 ( ) ( ) . sin sindd0 + = = g qx P Pg Pvt(1.5.20) nmulindlastngacuPv iladreaptacu( ) t x qx P d d0 + iapoiintegrnd, gsim ( ) ( ) . sin3 21302C qx PqgPv + + =(1.5.21) Interpretare fizic. Dac admitem c pentru0 = tsistemul mecanic este n repaus laparteasuperioaraplanuluinclinat,atunci,dincondiia( ) 0 0= x ,rezultc( ) = sin 3 /30P q g C , iar ptratul vitezei este dat de ( )( )( )( ). sin332sin32202 20 0203030 2++ += + +=qx Px q qx P P gxqx PP qx Pqgv (1.5.22) n cazul particular00 = P(lanul cade liber), se obine , sin32dd22 =||

\|=gxtxv (1.5.23) de unde ; d sin32 dtgxx = apoi , sin 61C t g x + = aa nct ( ( ) 0 0= x ) ( ) ( ) ( ) , sin3, sin3, sin62 = = =gt a tgt v tgt x (1.5.24) micarea elementelor lanului fiind uniform accelerat. Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 87 Aplicaia 1.5.6 (M.V.Soare, [17,18]) Problemafizic.Ssedetermineformadeechilibruaunuifirelasticsuspendat ntre dou puncte, avnd aria seciunii A i modulul de elasticitate al materialului E. Va fi studiat cazul greutii proprii a firului mg [68]. Model matematic.FieSefortul nfiricomponentelesale dupaxeleOxiOy: s x S d d ,s y S d drespectiv (figura 1.5.17). n starea deformat a firului, ecuaiile de proiecie pe cele dou axe dau 0dddd=||

\|sxSs,(1.5.25) , 1ddddgEASsySs=||

\|+||

\|(1.5.26) undegestegreutateaproprieafiruluipeunitateadelungime(seiamasaegalcu unitatea). Din (1.5.25) rezult xsS S SsxSdd, constdd0 0= = = ,(1.5.27) i, introducnd n (1.5.26), obinem .dd1dddd00gxsEASsysS = ||

\|+||

\| (1.5.28) inndseamacx y s d 1 d2 + = ,y x y = d d ,rezultecuaiadiferenial nelinear de ordinul I.11dd200gyEASxyS =|||

\| ++ (1.5.29) Soluie. Notmp y = i considermp ca variabil independent; obinem .11dd20 0|||

\|++ =pEASgSpx (1.5.30) Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 88 Figura 1.5.17. Deformarea unui fir elastic suspendat ntre dou puncte Prin integrare rezult ( ) . 1 ln12 0 0((

+ + + + = C p p pEASgSx(1.5.31) Deoarece pentru0 = xavem0 = = p y , deducem01 = Ci ( ) . 1 ln2 0 0((

+ + + = p p pEASgSx(1.5.32) Dac nmulim (1.5.30) cux y p d d = , rezult .1dd20 0|||

\|++ =pppEASgSpy (1.5.33) Prin integrare, deducem . 1 1222 2 0 0C p pEASgSy + ||

\| + + =Deoarece pentru0 yavem0 = = p y , rezult02 = Ci deci . 1 122 2 0 0||

\| + + = p pEASgSy(1.5.34) Relaiile(1.5.32)i(1.5.34)constituierepresentareaparametricafibrei deformate.Sevedecatuncicnd EA (cazulfiruluiinextensibil)seregsete ecuaia lniorului. Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 89 Efortul 0S poatefideterminatdintr-ocondiiegeometriclegatdelungimea total a firului. Aplicaia 1.5.7 (M.V.Soare, [17,18]) Problem.Considermstareadeeforturidemembransimetricintr-oplac subirederotaie,supuslaoncrcareexterioardecomponenteYduptangentala meridian, respectiv Z , dup normala la suprafaa median. e cer expresiile generale ale eforturilor meridiane i inelare N N ,(figura 1.5.18). Model matematic. Ecuaiile de echilibru unui element de plac sunt ( ) , 0 cosdd1 0 1 0= + r Yr r N r N(1.5.35) 02 1= + +ZrNrN.(1.5.36) Variabilaindependentaproblemeiesteunghiulmeridian,msuratnsens direct orar de la cretet, fiind unghiul de-a lungul cercului paralel. Alte mrimi fizice implicatenmodelsunt:raza 0r acerculuiparalel,razadecurbur ( )( ) = d / d cos / 10 1r ra curbei meridiane (prima raz de curbur principal a suprafeei mediane i = sin /0 2r r a doua raz de curbur principal a suprafeei mediane. Soluie.Deoareceecuaia(1.5.36)estealgebric,avemdefaptosingurecuaie diferenialn N ,pecareoobinemeliminndpe N ,determinatdin(1.5.36)cu expresia 212Zr NrrN = . (1.5.37) Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 90 Figura 1. 5. 18. Eforturile de membran ntr-o plac subire de rotaie Introducnd n (1.5.35), deducem ( ) . 0 cosdd2 1 1 0 2 0= + + + r Zr r Yr r N r N innd seama de relaiile dintre razele 2ri 0r , rezult ( ) ( ) . cos sin sindd1 0 0r r Z Y r N + = Notnd acum( ) = sin0r N y , obinem pentru y o ecuaie diferenial ordinar de ordinul I, linear i neomogen, studiat la 1.3.6 ( )1 0cos sinddr r Z Yy + =. (1.5.38) Integrnd-o, rezult ( ) C r r Z YrN + + =d cos sinsin11 00,C fiind o constant arbitrar. Efortul inelar se obine direct din (1.5.37) ( )121 0212d cos sinsin1rrC r r Z YrZr N + + =. Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 91 ConstantaCpoatefideterminatdintr-ocondiieimpuslamargineasuperioar (s = ), sau la cretet ( 0 = ). Aplicaia 1.5.8 (M.V.Soare, [17,18]) Problem. Se cere s se determine starea de tensiune normal, ca funcie de timp, pentru un corp Maxwell. Modelmatematic.PentruexplicarearelaxriisealctuietemodelulMaxwell, princombinareaunuimodelHooke(elastic)iaunuimodelNewton(vscos)(figura 1.5.19,a)).Stareadetensiunerezultcaosumastrilordedeformaieacelordou corpuri; astfel, tensiunea totalconst0 = este compus din deformaia elastic a arcului, dat de E /elastic = , (1.5.39) unde E este modulul longitudinal de elasticitate, i din deformaia vscoas, vascos . Prin urmare (figura 1.5.19, a)) vascos 0 += E. Derivnd n raport cu timpult ( 00 = & ), obinem 0vascos = +&&E.(1.5.40) tiind c pentru corpul Newton subzist relaia,vascos= & n care prin s-a notat coeficientul de vscozitate dinamic, care este constant.Astfel, (1.5.40) devine 0 = + E& . (1.5.41) Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 92 Soluiaiinterpretareaeifizic.Ecuaiadiferenial(1.5.41)estelineari omogen, adic de tipul celor studiate n 1.3.6. Separnd variabilele, obinem tEdd =, ceea ce implic , ln ln tEC = unde C este o constant arbitrar.Soluia general a ecuaiei (1.5.41) este deci . etEC= Presupunem ndeplinit condiia iniial ( ) . 00 = Rezult 0 = C . Soluia problemei Cauchy considerate este tR = e0. (1.5.42) Figura 1. 5.19. a) Modelul Maxwell. b) Variaia lui n funcie de t Variaialuicafunciedetestedatnfigura1.5.19,b).Graficulreprezinto exponenial descresctoare care admite ca asimptot axa timpului. Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 93 Aplicaia 1.5.9 (M.V.Soare, [17,18]) Problemafizic.Unfirtrecepesteunscripetecircularfix,derazR(figura 1.5.20), ntre fir i scripete lund natere o for de coeficient de frecare de alunecare f. Dac la una din extremitile firului 1Pacioneaz o tensiune 1T, ce tensiune 2Ttrebuie s se exercite la cealalt extremitate 2Ppentru ca firul s nceap s alunece pe scripete? Model matematic.deoarecescripeteleesterugos,reaciunea( ) s s d R asupraunui elementdefirvaaveapelngocomponentnormal( ) s s d N iunatangenial ( ) s s d , numit for de frecare de alunecare. Din echilibrul unui element de fir (figura 1.5.21) se obine ecuaia vectorial ( ) 0 R T = + s s d d ;(1.5.43) mai putem scrie ( ) 0 = fN N Ts dd.(1.5.44) Figura 1.5.20. Echilibrul unui fir pe un scripete n (1.5.44), N este reaciunea normal de-a lungul vectorului unitate , iarfNeste reaciunea tangenial la limit de-a lungul vectorului unitate . Figura 1. 5.21.Eforturile acionnd pe arcul s Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 94 ndefinitiv,utilizndformulaluiFrenetR s / d / d = ,putemscriesistemulde ecuaii care modeleaz fenomenul . 0, 0dd= = NRTfNsT (1.5.45) Soluie.EliminndreaciuneanormalN,deducemurmtoareaecuaie diferenial prdinar de ordinul I, linear i omogen ( = d d R s ) ( )0dd= fTT.(1.5.46) Conform ipotezei, ecuaia trebuie integrat cu condiia iniial ( )10 T T = .(1.5.47) Cu metoda de la 1.3.6, obinem imediat soluia general a ecuaiei sub forma =fC T e , (1.5.48) n care C este o constant arbitrar. CondiiainiialconduceladeterminareasoluieiproblemeiCauchy(1.5.46), (1.5.47) =fT T e1.(1.5.49) Interpretarefizic.Pentru = ,putemscrie =fT T e1 2,undes-aupusn evidenmrimiletensiunilorlacapetelefirului.Echilibrulpoateavealocipentru 1 2T T < ;nacestcaz,foradefrecaredealunecareischimbsensulirezult =fT T e2 1. Se obine astfel condiia de echilibru a lui Euler < =, for 0, , 0 for0T tT t QQe unde 0Qi T sunt constante. Model matematic. Pentru a deduce ecuaia diferenial care guverneaz micarea, observm c, n intervalul de timp dt, suma dintre volumul acumulat i cel evacuat este egal cu volumul afluent t Q t Ch h Aed d d2 3= + .(1.5.62) Figura 1.5.23. Chiuveta unui lac de acumulare Soluie. Pentru primul interval vom scrie ecuaia sub forma tCh Qh Aedd2 3=. (1.5.63) Introducnd notaia 3 = C Qe, schimbarea de funcie y y h y h d 2 d ,2= = (1.5.64) conduce la ecuaia cu variabile separate (vezi 1.3.1) Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 100 tyy yCAdd 23 3= . (1.5.65) Descompunnd fracia precedent n fracii simple ,123 221 131

1312 2 2 22 2 3 3|||

\|+ + + + ++ =|||

\|+ + + = y y y yyyy yyyyy ecuaia diferenial devine t yy y y yyy CAd d123 221 1322 2 2 2=|||

\|+ + + + ++ . Integrnd, obinem ( ) ( )02 232arctan 3 ln21ln32t tyy y yCA+ =((

+ + + + , unde 0teste o constant de integrare. Soluia precedent se mai scrie 02 232arctan 3 ln32t tyyy yCA+ =|||

\| + + +; revenind la funcia iniial h, gsim 0232arctan 3 ln32t thhh hCA+ =|||

\| + + +. (1.5.66) Pentru0 = tavem0 = h , deci 031arctan 332tCA= ||

\| . n final, obinem Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 101 [ ] T t thhhh hCA, 0 ,23arctan 3 ln322 =|||

\| + + +. (1.5.67) La momentulT t = , (1.5.67) devine o ecuaie transcendent Thhhh hCATTTT T=||||

\| + + + 23arctan 3 ln322, (1.5.68) care determin nivelul Thal apei . PentruT t >avem0 =eQi ecuaia (1.5.62) ia forma mai simpl 0 d d2 3= + t Ch h A(1.5.69) sau 0 d d2 3= +t h hCA. Integrnd, obinem 12 12t t hCA= + ,(1.5.70) n care 1teste o constant de integrare; ea se determin din condiia( )Th T h = . Rezult 12 12t T hCAT= + . Astfel, deducem soluia final ( ) T t T h hCAtT + = ,22 1 2 1, unde ( )T tT tAChhT((

+=,2122 1.Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 102 Aplicaia 1.5.13 (M.V.Soare, [17,18]) Problemafizic.Un recipientavndariaseciuniitransversale(orizontale)Aare pe fund un orificiu care poate evacua un debit 2 1dCh Q = , unde C este o constant iar h este adncimea apei din recipient. Se cere s se studieze variaia n timp a nivelului h al apeidinrecipientdacdebitulafluent eQ seprezintnurmtoarelevariante(iniial vasul este gol, adic pentru0 = tavem0 = h ): a) [ ]>=, for0, , 0 for 0eT tT t QQb) ((

||

\|((

=,2,4for42,4, 0 for400eT TtTtQTtTtQQunde 0Qi T suntconstante. nfigura1.5.24a)sedschemadecalcul,iarnfigura1.5.24b)suntdatecele dou legi de variaie a lui eQ . Model matematic.Pentru aobine ecuaiadiferenial care guverneazmicarea, observmc,ntr-unintervaldetimpdt,sumadintrevolumulacumulaticelevacuat este egal cu volumul afluent e2 1ddQ ChthA = + .(1.5.71) Aceasta este o ecuaie diferenial de ordinul I, nelinear i neomogen. Soluie. Cu schimbarea de funcie y y h y h d 2 d2= = (1.5.72) ecuaia (1.5.71) devine Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 103 edd2 Q CytyAy = + ,(1.5.73) i putem trece la examinarea cazurilor a), b) din enun. a) Pentru [ ] T t , 0 ecuaia (1.5.73) este cu variabile separate (vezi 1.3.1) Cy Qy Ayt=0d 2d . Introducnd notaia = C Q0, soluia general a ecuaiei precedente devine ( ) ( )02ln + = + tACy y , unde 0 esteoconstantdeintegrare;revenindlavariabilah,soluiaprecedentse scrie ( )02 1 0 0 2 12ln + = ||

\| + tAChCQCQh . (1.5.74) Introducnd condiia iniial ( 0 = hpentru0 = t ), rezult CQCQCA0 00ln2 = , astfel nct (1.5.74) devine [ ] T t tACQChCQh , 0 ,21 ln02 10 2 1 =|||

\| + .(1.5.75) n particular, la momentulT t = , avem TACQChCQhTT21 ln02 10 2 1 =|||

\| + ; (1.5.76) relaia (1.5.76) determin nlimea Th . Pentru intervalulT t > , ecuaia diferenial (1.5.71) ia forma Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 104 0dd2 1= + ChthAsau 0 dd2 1= + t ChhA , cu soluia general12 12 = + Ct Ah ,(1.5.77) ncare 1 esteoconstantdeintegrare,ceurmeazafideterminatdincondiiade continuitate; pentruT t =trebuie s avem Th h = , determinat de relaia (1.5.76) Figura 1.5.24. Recipient cu orificiu: a)schema de calcul; b) legile de variaie ale luiQe

12 12 = + CT AhT.(1.5.78) Introducnd expresia (1.5.78) a lui 1n (1.5.77), obinem CT Ah Ct AhT+ = +2 1 2 12 2 , care determin explicit nivelul h( ) T t T tACh hT>((

=,222 1.(1.5.79) Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 105 Timpul t poate fi explicitat din (1.5.73) i (1.5.75) sub forma [ ]( )> +(((

|||

\| + =. pentru2, , 0 pentru 1 ln22 1 2 102 10 2 1T t h hCATT tQChCQhCAtT b) Ecuaia diferenial (1.5.71) devine TtQ ChthA4dd02 1= + , pentru primul interval; cu schimbarea de funcieu t h2= , ecuaia se mai scrie ( )TtQ u Ct u t tu A4202= + + . Simplificnd cu t, rezult ecuaia cu variaile separate ttAu u CTQu A d24d0= , deci ( ) K u F KAu u CTQu At ln ln24dln0+ + =, unde Keste o constant pozitiv arbitrar. Primitiva F din membrul drept se scrie astfel ( )( )( ), ln lnd1d1

2d 242d 221 2211 212 1 221 1 212 10 2v vv vvv vv vvvv v v vvvv v v vvv v v v Av AvTQCv Avv Avu F = = = + = Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 106 n careu v =i 2 1, v vsunt rdcinile ecuaiei algebrice 0420 2= +TQCv Av , i sunt ntotdeauna reale. n consecin, 0 , 0 ,42162 10 22 , 1< >+ = v vAATQC Cv . Soluia capt forma K t vthv vvvthv vvln ln ln ln21 2211 21 = sau ( ) ( )1 2 12 1K t v h t v hv v= , n care 1Keste o nou constant arbitrar. Dac( ) 0 0= h , pe primul interval rezult 2 21t v h = . Pentru cel de al doilea interval vom folosi aceeai metod. n ecuaia ||

\| = +TtQ ChthA42dd02 1 vom face schimbarea de funcie( ) u T t h24 2 = . Deducem ||

\| =||

\| +(((

||

\| +||

\| TtQ uTtC uTtuTtTA42424242802. Simplificndcu( ) T t / 4 2 ,obinemdinnoupentruuoecuaiediferenialcu variabile separabile Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 107 0dd 428Q u CtuTtuTA= +||

\| + , sau uTAu C QuTtt8d42d0+ =. Aplicaia 1.5.14 (M.V.Soare, [17,18]) Problemafizic.Ssestudiezevariaiavitezeiapeipeoconductsimpl alimentat dintr-un rezervor la deschiderea brusc a vanei (figura 1.5.25). Model matematic. Scriind relaia lui Bernoulli ntre rezervor i van, rezult pentru cazul micrii nepermanente (regim tranzitoriu) ( )tvgLgva Hdd220+ + = ,(1.5.80) pentru cazul micrii permanente (regim stabilizat) ( )gva H2200 + = ,(1.5.81) undeconst0 = veste viteza de regim permanent. Soluie. Scznd relaia(1.5.81) din (1.5.80), rezult ecuaia diferenial ( ) 0dd2202= + +tvgLv vga; simplificnd cu g i introducnd notaia 2002vHLgLaB = += , (1.5.82) putem scrie Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 108 vv v v v vv vvt B d1 121 dd0 0 0202 |||

\|++= . (1.5.83) Figura 1.5.25. Schema geometric a rezervorului i a conductei Soluia general a ecuaiei cu variabile separate (1.5.83) este (vezi 1.3.1) Cv vv vBvt ++=000ln21, (1.5.84) undeCesteoconstantdeintegrare.Valoareaeisedetermindincondiiainiial ( ) 0 0= v ; it rezult0 = C , aa nct avem v vv vngHL vv vv vBvt+=+=00000002ln21, (1.5.85) sau, exprimnd viteza v ca funcie de timp |||

\|= tL vgHv v000tanh . (1.5.86) Aplicaia 1.5.15 (M.V.Soare, [17,18]) Problema fizic. S se studieze forma suprafeei libere a apei la curgerea printr-un stratpermeabilaezatpeunpatimpermeabilnclinatcupantai.Setiecvitezade curgereaparentvntr-oseciunecurent(debitulraportatlantreagaseciune)este Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 109 proporionalcupantasuprafeeilibereaapeidinaceaseciune(legealuiDarcy)Caz particular:0 = i . Modelmatematic.Schemadecalculestedatnfigura1.5.26,fiindintroduse urmtoarele notaii: q debitul specific, adic debitul care se scurge pe o fie de de lime unitate; z cota patului impermeabil fa de un plan orizontal de referin; h cota suprafeei libere a apei, msurat fa de patul impermeabil nclinat; 0h adncimea constant din micarea uniform. Cuacestenotaii,s z i d d = exprimpantapatuluiimpermeabil,iar s H j d d =este panta suprafeei libere, unde h z H + = .(1.5.87) PentrustabilireamodeluluimatematicseapliclegealuiDarcy,stablit experimental ntreanii 1852-1855, legecarest la baza tuturorcalculelordeinfiltraie.HenriDarcyadescoperitpeprobedenisip,proporionalitateadebituluiinfiltratQcu seciuneadecurgere,cugradientulhidraulicIicuuncoeficientconstant, conductivitatea hidraulic k: Ik Q = . Raportul / Q aredimensiunideviteziexprimvitezadeinfiltraiev.Legea lui Darcy capt astfel forma cunoscut kI v = . Din legea lui Darcy rezult n acest caz kj v = , (1.5.88) k fiind constanta de proporionalitate. Ecuaii difereniale ordinare cu aplicaii n mecanic, fizic i inginerie 110 Figura 1.5.26. Curgerea printr-un strat permeabil Soluie. Viteza poate fi scris n dou moduri: ( )shk kishkszksh zksHk kjhqvdddddddddd1 = =+ = = == . Din al doilea i din ultimul membru se deduce khqish =dd.(1.5.89) ncazulmicriiuniforme,avem 0 0h q v v = = ii j = , deciki h q =0;rezult 0kih q = . nlocuind aceast expresie a lui q n (1.5.89), se obine ||

\| =hhish01dd, (1.5.90) sau, separnd variabilele, s i hh hhd d 100=|||

\| . Integrnd, rezult ( ) C is h h h h + = +0 0ln , (1.5.91) Ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti 111 unde C este o constant de integrare. Valoarea ei poate fi determinat, de exemplu,dac se cunoate cota suprafeei libere 1h h =ntr-o seciune 1s s = ; relaia (1.5.91) devine n acest caz ( ) C is h h h h + = +1 1 0 0 1ln . (1.5.92) Scznd (1.5.92) din (1.5.91), rezult n final ( )11 000 1ln s s ih hh hh h h =+ , (1.5.93) sau, explicitndu-l pe s1 00 0 11lnh hh hihih hs s++ = . (1.5.94) Explicitarea lui h este mai dificil, deoarece (1.5.93) este o ecuaie transcendent, care poate fi rezolvat num