SISTEME LINIARE CU UN NUMR FINIT DE GRADE DE LIBERTATE DINAMIC

Structurile reale se pot transforma, pe baza unei modelri corespunztoare, n sisteme oscilante discrete cu un numr limitat de grade de libertate dinamic. Modelul de calcul sau modelul discret simplificat va reflecta ct mai fidel comportarea sistemului real, astfel nct configuraia deformatelor dinamice s fie evaluate cu ct mai mult exactitate.

Masele concentrate provin din masa proprie a structurii, din masele unitilor nestructurale precum i din masele ncrcrilor adiionale. Modelarea disipativ va fi reprezentate prin prezena amortizrii, iar modelarea elastic va fi reprezentat prin intermediul proprietilor de rigiditate sau de flexibilitate.

Caracteristicile primare de definire ale modelului de calcul dinamic vor fi:

[M] matricea de inerie (a maselor), [C] matricea de amortizare,

[K] matricea de rigiditate lateral (dinamic),sau [D] matricea de flexibilitate lateral (dinamic)

Se admite c sistemul dinamic are o comportare liniar (fizic i geometric) i deci se vor aplica pricipiile superpoziiei i proporionalitii.

Dac se utilizeaz metodele mecanicii corpurilor deformabile se pot formula condiiile de echilibru dinamic, exprimate pe poziia deformat instantanee, folosind principiul lui dAlembert

Fig.3.1

Dup cum se vede n fig.3.1 forele care acioneaz dup direcia fiecrui

grad de libertate dinamic de translaie sunt: fora exterioar Fi(t), i trei fore generate de micare: fora de inerie Fi, in(t), fora de amortizare Fa, i(t) i fora de revenire a resortului elastic Fe, i(t).

Ecuaia micrii exprim echilibrul acestor sisteme de fore i se scrie astfel:

(3.1) (t)F (t)F (t)F (t)F- iie,ia,ini,

unde:

vectorul forelor de inerie

vectorul forelor de amortizare

vectorul forelor de revenire (elastice)

vectorul forelor exterioare perturbatoare

Sistemul de ecuaii de micare pentru un sistem liniar discret cu nGLD, fig. 3.1 se poate scrie:

(3.2)

unde:

{i(t)} vectorul coloan al acceleraiilor

{i(t)} vectorul coloan al vitezelor

{ui(t)} vectorul coloan al deplasrilor

{Fi(t)} vectorul forelor exterioare

)((t)F ini, tuM i

)((t)F ia, tuC i

)(K (t)F ie, tui

(t)Fi

)}({)}(]{[)}(]{[)}(]{[ tFtuKtuCtuM iiii

Vibraii libere. Valori i vectori proprii Metoda matricei de rigiditate lateral

Pentru determinarea frecvenelor naturale (valorile proprii) i a formelor proprii de vibraie (vectorii proprii) se consider c sistemul vibreaz liber neamortizat. n acest caz sistemul de ecuaii de micare este:

(3.3)

Acceptnd o soluie de forma: (3.4)

unde: vector arbitrar

pulsaie proprie

unghi de faz

sistemul (2.83) devine:

(3.5)

}0{)}(]{[)}(]{[ tuKtuM

)+t({U}={u(t)} sin

}{U

{0}=)+t({U}[M]-[K] 2 sin

Sistemul (3.5) trebuie s aib soluii nebanale pentru toate valorile lui t

(3.6)

unde: matrice unitate

matrice dinamic

Sistemul de ecuaii (3.7) este cunoscut i sub numele de "problema valorilor proprii generalizat" dac se pune sub forma:

(3.8)

n care = 2.

{0}={U}[M]-[K] 2

dup prenmulirea la stnga cu [M]-1 :

{0}={U}[I]-[K]][M 2-1

(3.7)

]M[]M[]I[ 1

]K[]M[]M~

[ 1

}0{}{][]~

[ UIM

Sistemul de ecuaii (3.7) sau (3.8) fiind omogen pentru a avea soluii diferite de soluia banal este necesar ca determinantul coeficienilor s fie nul:

(3.9)

Ecuaia (3.9), numit i ecuaie caracteristic, se mai poate scrie, dup dezvoltarea determinantului, astfel:

(3.10)

Rdcinile i ale ecuaiei (3.10) se numesc "valori proprii iar pulsaiile naturale neamortizate se determin din relaia:

(3.11)

[~

] [ ]M I 0

0=C.......++C+C+ n2-n

21-n

1n

i i2

m= i=1, N

nlocuind i in sistemul (2.88) se obin vectorii proprii corespunztori sau formele proprii de oscilaie notate {Ui}.

Un vector {Ui} reprezint modul de deformare al structurii pentru pulsaia natural corespunztoare, i

2.

Deoarece sistemul de ecuaii (3.7) este omogen nu exist o soluieunic pentru {Ui} i deci se poate obine un raport ntre componentelevectorului {Ui}.

Astfel, forma proprie este definit de raportul amplitudinile micrilor diferitelor puncte de pe structur cnd aceasta este excitat cu frecvena sa proprie.

Pulsaia natural i mpreun cu forma proprie de oscilaie {Ui} alctuiesc modul propriu de oscilaie i.

Matricea spectral este constituit din pulsaiile naturale i are forma:

(3.12)

Matricea modal se formeaz din formele de vibraie corespunztoare:

(3.13)

0 valoare proprie, i, i vectorul propriu corespunztor, {Ui} satisfac sistemul de ecuaii (3.6), adic:

(3.14)

][=][ 2i

}]U},...{U{},....,U{},U[{=[U] Ni21

}U[M]{=}U[K]{ iii

Prenmulind la stnga cu transpusul unui alt mod, j, se obine:

(2.95)

Acelai lucru se poate face pentru o valoare proprie j i vectorul propriu corespunztor {Uj} i transpusul vectorului i:

(2.96)

Deoarece [M] i [K] sunt matrice simetrice se mai poate scrie:

(2.97)

Scznd ecuaia (2.96) din (2.95) se obine(2.98)

Dac i j , atunci

(2.99)

(2.100)

}U[M]{}U{=}U[K]{}U{ iT

jii

T

j

}U[M]{}U{=}U[K]{}U{ jT

iij

T

i

{U } [K]{U}= {U } [K]{U}jT

i iT

j

}U[M]{}U{=}U[M]{}U{ jT

ii

T

j

0=}U[M]{}U){-( jT

iij

0=}U[M]{}U{ iT

i

0=}U[K]{}U{ iT

i

Din punct de vedere energetic relaiile (2.99) i (2.100) arat c lucrumecanic al forelor de inerie corespunztoare unui mod propriu de vibraiei, atunci cnd ele parcurg cu ntreaga lor intensitate deplasrilecorespunztoare altui mod, este nul; cu alte cuvinte, nu poate avea loc untransfer de energie de la un mod propriu la alt mod propriu de vibraii.

Cnd una dintre componentele vectorului este aleas arbitrar atuncirestul de (Nm-1) componente sunt determinate din raportul dintre doucomponente, raport ce este constant:

(2.101)

Procesul de ajustare a componentelor formelor proprii este numit

"normalizare" iar formele proprii scalate care rezult se numesc "forme

ortonormate".Exist mai multe ci de normalizare a formelor proprii, i anume:

a) constanta din ecuaia (2.101) s fie egal cu 1;

b) cea mai mare component a formei proprii s fie egal cu 1 (ceea ce este convenabil pentru desenarea formei proprii);

c) o component particular a formei s fie egal cu 1;

d) lungimea vectorului propriu s fie egal cu 1.

{ } [ M ]{ } = const .iT

i

Vibraii libere amortizate

Sistemul de ecuaii n cazul micrii libere amortizate pentru un sistem cu nGLD este:

(2.102)

unde [C] este matricea de amortizare (vscoas echivalent).

Facem schimbarea de variabil:

(2.103)

unde {q(t)} reprezint vectorul coordonatelor generalizate (sau coordonate normale sau modale).

Sistemul de ecuaii (2.102), dup schimbarea de variabil (2.103) i prenmulirea lui cu [U]T, devine:

(2.104)

}0{)}(]([)}(]{[)}(]{[ tuKtuCtuM

q=]{q(t)}[={u(t)} iiN

=1i

}0{)}(]{][[][)}(]{][[][)}(]{][[][ tqUKUtqUCUtqUMU TTT

Notm: [Mg] = [Y]T[M][Y] matricea maselor generalizat

[Cg] = [Y]T[C][Y] matricea de amortizare generalizat (2.105)

[Kg] = [Y]T[K][Y] matricea de rigiditate generalizat

Matricele [M], [C], [K] sunt matrice simetrice i deci [Mg], [Cg], [Kg] vor rezulta diagonale. Sistemul de ecuaii (2.104) devenind:

(2.106)

iar a "i" -a ecuaii se poate scrie:

(2.107)

sau

(2.108)

}0{)]t(q]{K[)}t(q]{C[)}t(q]{M[ ggg

m q t c q t k q ti i i i i i ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( )q t q t q ti i i i i i2 02

Sistemul de n ecuaii dependente corespunztoare sistemului cu nGLD (2.102),s-a decuplat intr-un sistem de Nm ecuaii independente, fiecare ecuaiereprezentnd micarea liber amortizat pentru GLD corespunztor.

Soluia ecuaiei (2.108) este de forma:

(2.109)

n care

(2.110)

qoi i reprezint al "i"-lea termen din vectorii {qo}, respectiv { }.

Vectorii {qo} i { } se determin din condiiile iniiale i din condiiile de ortogonalitate, astfel:

(2.111)

0q

tcosqtsinqq

eq *ii0*i*

i

*iii0i0*

ii

2i

-1i=*i

}u[M]{][U=}q{ 0T

o

0q

0qiq0

Vibraii forate neamortizate

Sistemul de ecuaii de micare este:

(2.112)

Dac utilizm aceeai schimbare de variabil ca i n cazul vibraiilor libere (2.103) sistemul de ecuaii (2.112) devine

(2.113)

Dup prenmulirea cu [U]T i utiliznd relaiile (2.105) se obine:

(2.114)

O ecuaie "i" din sistemul (2.114) se poate scrie astfel:

(2.115)

)}({)}(]{[)}(]{[ tFtuKtuM

)}({)}(]{][[)}(]{][[ tFtqUKtqUM

)}({)}({][)}(]{[)}(]{[ tFtFUtqKtqM gT

gg

mgi

T

iigiigi NitFtFUtqKtqM ,...,1)()}({}{)()(

Ecuaia (2.115) reprezint ecuaia micrii unui sistem cu 1GLD n vibraia forat neamortizat, schematizat n figura de mai jos

Ecuaia (2.115) se mai poate scrie i sub forma:

(2.116)

Soluia ecuaiei (2.116) este:

(2.117)

Dup rezolvarea celor Nm ecuaii de forma (2.115) soluia micrii se obine prin transformarea invers din coordonate generalizate n coordonate normale i poate fi scris ca o sum de micri ale fiecrui mod n anumite proporii i faze relative, astfel:

(2.118)

( ) ( ){ } { }

{ } [ ]{ }q t q t

F

M

Y F

Y M Yi i i

gi

gi

i

T

i

T

g i

2

q tM

F t digi i

gi i

t

( ) ( ) sin ( )1

0

{ ( )} { }cos( ) { }cos( ) { }cos( )y t q Y t q Y t q Y ti n n n n1 1 1 1 2 2 2 2

Vibraii forate amortizate. Amortizare vscoas

Micarea unui sistem cu nGLD n vibraia forat amortizat este descris de sistemul de ecuaii:

(2.119)

Se consider c amortizarea este de tip vscos i proporional, adic matricea de amortizare este proporional cu matricea maselor sau cu matricea de rigiditate sau cu o combinaie liniar a celor dou matrice:

[C]=a[M] ; [C]=b[K] sau [C]=a[M]+b[K] (2.120)

unde a i b sunt constante reale.

Aplicnd aceeai transformare de variabil n coordonate normale va rezulta decuplarea sistemului cu nGLD n Nm sisteme cu 1GLD

(2.121)

unde [Cg] = a[Mg] + b[Kg]

[ ]{( )} [ ]{( )} [ ]{ ( )} { ( )}M y t C y t K y t F t

[ ]{( )} [ ]{( )} [ ]{ ( )} [ ] { ( )}M q t C q t K q t Y F tg gT

Ecuaia i este de forma:

(2.122)

i reprezint ecuaia micrii pentru sistemul cu 1GLD a crui model de calcul poate fi cel din figura

Fig. 2.28. Modelul de calcul pentru sistemul cu amortizare vscoas

Ecuaia (2.121) mai poate fi scris i sub forma

(2.123)

unde:

(2.124)

gi

gi

gi

gi

T

i

iiiiiiM

F

M

tFUtqtqtq

)(}{)()(2)( 2

)(}{}{)()()( tFFUtqKtqCtqM giT

iigiigiigi

i

gi

gi gi

C

K M2

Dac matricea de amortizare este proporional numai cu matricea de

rigiditate adic [C]=a[K] atunci: :

(2.125)

Soluia ecuaiei (2. 122) este

(2.126)

Prin rezolvarea celor Nm ecuaii corespunztoare celor Nm frecvenenaturale (moduri proprii) i prin transformarea de variabil din coordonategeneralizate (normale) n coordonate iniiale se obine soluia micriiu(t).

i

gi

gi gi

iaK

K Ma

q t eq q

t qM

F e t dIt i i i i

i

i i i

gi i

gi

t

t

ii i i i( )

sin cos ( ) sin ( )* *

*

( ) **0 0

0

0

1