2.2.3. Vibraii forate. Soluii n domeniul timpa. Vibraii forate neamortizate.

Fig. 2.11 Modelul de calcul al sistemului cu 1GLD n vibraia forat neamortizat

Ecuaia micrii unui sistem cu 1GLD supus unei aciuni exterioare oarecare F(t) corespunztoare modelului de calcul din fig. 2.11 este:

(2.52))()()( tFtkutum

Dac fora exterioar este de forma :

(2.53)

atunci ecuaia (2.52) se mai poate scrie: (2.54)

Aciunea F(t) poate fi considerat ca o succesiune de impulsuri elementare

dH=F( ) d pentru (2.55)

i deci:(2.56)

Rspunsul sistemului la aciunea unui impuls finit H este :

(2.57)

reprezentarea grafic fiind cea din fig. 2.12.

Fig. 2.12 Rspunsul n deplasri la un impuls finit

)()()( 02 tfm

Ftutu

F t F f t( ) ( )0

t>pentru )d-(t)f(m

F=du(t)

0

0 sin

t>pentru )-(tm

H=u(t) sin

Soluia micrii unui sistem cu 1GLD n vibraia forat neamortizat, cnd fora exterioar este de forma (2.53) este dat de:

(2.58)

Reprezentarea grafic a ecuaiei (2.58) este cea din fig. 2.13.

Integrala din relaia (2.58) poart numele de integrala de convoluie sau integrala Duhamel.

Fig. 2.13 Rspunsul n deplasri la o for exterioar F(t)

)d-(t)f(m

F=u(t)

t

0

0 sin

b. Vibraii forate amortizate

Modelul de calcul i ecuaia micrii sunt reprezentate n fig. 2.14 i respectiv ecuaia (2.59):

(2.59)

n cazul aciunii unui impuls H soluia are forma :

(2.60)

iar curba deplasrilor este dat de fig. 2.15.

Fig. 2.14 Modelul de calcul n vibraia forat amortizat Fig. 2.15 Rspunsul n deplasri aciunea unui impuls

)()()()( tFtkutuctum

)-(tem

H=u(t) *)-( t-

*sin

Dac sistemul este supus unei aciuni perturbatoare oarecare F(t)=F0f(t) atunci ecuaia micrii este:

(2.61)

n fig. 2.16 este reprezentat grafic la soluia ecuaiei (2.61).

Fig. 2.16 Curba deplasrilor la o aciune exterioar oarecare

)d-(te)f(m

F=u(t) *)-( t-

t

0*

0 sin

Vibraii forate armonice fr amortizare

Fora exterioar este de forma

(2.62)

Ecuaia micrii n vibraia forat armonic fr amortizare este:

(2.63)

a crei soluie general este compus din soluia n vibraia liber neamortizat, uL(t), i soluia particular a oscilaiei forate, uF(t), i care are forma:

(2.64)

Soluia n vibraia liber are expresia:

(2.65)

iar soluia n vibraia forat armonic are caracter staionar i permanent i este tot armonic de forma:

(2.66)

tsinF=F(t) 0

tm

Ftutu sin)()( 02

)()()( tututu FL

tCtCtuL cossin)( 21

tNtMtuF cossin)(

Constantele M i N se deretmin din condiia ca aceast soluie s satisfac ecuaia micrii

(2.67)

(2.68)

(2.69)

Soluia particular este dat de:

(2.70)

Iar soluia general este:

(2.71)

)cossin()( 22 tNtMtuF

tm

FtNtMtNtM sin)cossin()cossin( 0222

0;)( 22

0 Nm

FM

tm

FtuF sin

)()(

22

0

tm

FtCtCtu sin

)(cossin)(

22

021

Constantele C1 i C2 se determin din condiiile iniiale:

(2.72)

Rezult:

2.73)

Soluia general se poate scrie:

(2.74)

Dac la timpul t=0 att deplasarea ct i viteza sunt egale cu zero atunci soluia ecuaiei de micare este:

(2.75)

tm

FtCtCtu cos

)(sincos)(

22

021

00 )0()0(0 uuuut

0222

001 cos

)(uCt

m

FuC

)sin(sin)(

cossin)(22

00

0 ttm

Ftut

ytu

)sin(sin)(

)(22

0 ttm

Ftu

(2.76)

unde (2.77)

D sau se numete coeficient de amplificare dinamic

st este deplasarea static dup direcia GLD produs de amplitudinea forei exterioare perturbatoare, F0.

n realitate rspunsul liber se amortizeaz foarte repede, micarea se stabilizeaz i rmne numai influena rspunsului forat. Soluia micrii n acest caz devine:

(2.78)

Fora dinamic este dat de fora de inerie i de fora exterioar perturbatoare

(2.79)

stDk

F

m

F

m

F 0

222

0

22

0

)(1

1

])(1[)(

2)(1

1D

stddst ututtu sinsin)(

00

2

002

0

2

0

1

sinsin)()(

DFFFk

FmFF

tmtFtFtFF

d

stind

Vibraii forate armonice amortizate

n situaiile n care fora exterioar este armonic de forma :

(2.80)

ecuaia de micare este:

(2.81)

iar soluia general va fi :

(2.82)

Soluia n vibraia liber este

(2.83)

iar soluia n vibraia forat este

(2.84)

tsinF=F(t) 0

tm

Ftututu sin)()(2)( 02

)()()( tututu FL

tCtCtuL cossin)( 21

tNtMtuF cossin)(**

Constantele M* i N* se determin din condiia ca soluia yF(t) s satisfac ecuaia de micare (2.84)

(2.85)

Soluia yF(t) reprezint o suprapunere de dou oscilaii armonice de pulsaie i deci ea se mai poate scrie:

(2.86)

Amplitudinea A* are expresia:

(2.87)

22222

0*

22222

22

0*

4

2

4 m

FN

m

FM

*

*

)sin()(

*2*2**

**

M

NtgNMA

tAtuF

222

*

22222

0 2

4

1* tg

m

FA

Soluia stabil a micrii este :

(2.88)

Dac se noteaz

(2.89)

unde D(t) este funcia de multiplicare (amplificare) dinamic i

(2.90)

)-t(

4+-1

1

m

F=u(t)

2

2

22

0 sin

)-t(

4+-1

1t=D(t)

2

2

22

sin)(

22

2

22

-1

2

=tg ,

4+-1

1=D ***

unde: D* factor de amplificare dinamic sau coeficient dinamic

unghi de faz

Soluia micrii devine:

(2.91)

Variaia coeficientului dinamic funcie de raportul este reprezentat n fig.2.17.

*

0)()(m

FtDtu

Fig. 2.17 Variaia coeficientului dinamic funcie de

Din fig. 2.17 se poate observa c influena amortizrii este mai puternic nzona (zona rezonanei) i c pentru valori mici ale pulsaieicoeficientul dinamic este egal cu 1, iar pentru valori mari ale pulsaieicoeficientul dinamic tinde ctre zero.

Variaia unghiului de faz, , funcie de este reprezentat n fig.2.18.

Fig. 2.18 Variaia unghiului de faz funcie de