08 capitolul 5 dinamica rigidului - tex.tuiasi.ro. dr. ing. florina... · cazul rigidelor cu masa...
TRANSCRIPT
CAPITOLUL 5
DINAMICA RIGIDULUI
Dinamica este diviziunea mecanicii care studiază mişcările
corpurilor materiale, ţinându-se seama de interacţiunea lor reciprocă, de solicitările care intervin, stabilind relaţii între variaţiile parametrilor de poziţie şi sistemul solicitărilor care acţionează asupra corpurilor.
Comportamentul dinamic al unui rigid în mişcare este condiţi-onat de trei categorii de mărimi mecanice, denumite caracteristici mecanice şi anume:
– caracteristicile inerţiale ale rigidului, care pun în evidenţă influenţa fenomenului de inerţie a substanţei în desfăşurarea proceselor mecanice;
– caracteristicile cinetice ale unui rigid, care caracterizează din punct de vedere dinamic mişcarea rigidului, prin influenţa asupra desfăşurării procesului mecanic, a capacităţii substanţei de a-şi transforma starea de mişcare, sau, în anumite condiţii de a-şi păstra starea de mişcare;
– caracteristicile dinamice ale unui rigid sunt mărimi me-canice care, caracterizează interacţiunile lui cu alte corpuri din mediul înconjurător, evidenţiind influenţa acestor interacţiuni asupra evoluţiei stării de mişcare a rigidului.
5.1. CARACTERISTICILE INERŢIALE ALE UNUI RIGID
Cercetările efectuate asupra proceselor mecanice au condus la concluzia că mişcarea unui rigid, aflat în interacţiune cu alte corpuri din mediul înconjurător, este influenţată atât de cantitatea de substanţă conţinută cât şi de modul de distribuţie a substanţei în volumul ocupat de rigid.
Studiul experimental al mişcărilor mecanice a scos în evidenţă fenomenul de inerţie a substanţei, prin care un rigid opune rezistenţă atunci când se încearcă să i se modifice, fie starea de mişcare rectilinie şi uniformă a centrului său de masă sau în
– 233 –
particular starea lui de repaus, fie starea de mişcare de rotaţie uniformă sau în particular starea de repaus relativ la rotaţie.
Rezistenţa opusă de rigid la modificarea mişcării de translaţie depinde de cantitatea de substanţă conţinută de el, iar rezistenţa opusă la variaţia mişcării de rotaţie depinde de modul de distribuţie a substanţei în rigid.
Caracteristicile inerţiale ale unui rigid, care caracterizează fe-nomenul de inerţie a substanţei, sunt reprezentate prin două categorii de mărimi mecanice:
masa rigidului, care caracterizează cantitatea de substanţă conţinută de volumul ocupat de rigid;
momentele de inerţie, care folosesc la caracterizarea modului de răspândire a substanţei într-un rigid, cu ajutorul lor exprimându-se inerţia unui corp aflat în mişcare de rotaţie.
5.1.1. MASA RIGIDULUI
5.1.1.1. Centrul de masă al unui rigid Rigidul este un mediu continuu nedeformabil pentru care distanţa dintre două puncte arbitrare ale lui rămâne aceeaşi indiferent de sistemul de solicitări la care este supus rigidul, precum şi de mişcarea acestuia.
Relaţia de definiţie a vectorului de poziţie Gr a centrului de masă G al rigidului, faţă de reperul Oxzy, este de forma
,dm
dmr
r
)M(
)M(G
∫
∫= (5.1)
în care r este vectorul de poziţie al unui punct curent B al rigidului, sediul masei elementare dm , Fig. 5.1, iar (M) este domeniul ocupat de rigid.
– 234 –
Fig. 5.1
Proiectând relaţia vectorială (5.1) pe axele reperului ,Oxyz ţinând seama de expresiile analitice ale vectorilor Gr şi r în acest reper, adică kzjyixr GGGG ++= ; kzjyixr ++= , k,j,i fiind verso-rii axelor acestui reper, se obţin coordonatele centrului de masă
.dm
dmz
z;dm
dmy
y;dm
dmx
x
)M(
)M(G
)M(
)M(G
)M(
)M(G
∫
∫
∫
∫
∫
∫=== (5.2)
În aplicaţiile practice, masa unui rigid (masa este o mărime fizică scalară, constantă şi pozitivă care măsoară cantitatea de substanţă conţinută de rigid) poate fi repartizată spaţial sau pe volume, pe suprafeţe în cazul plăcilor, sau pe curbe în cazul barelor. a). Cazul rigidelor cu masa repartizată spaţial În acest caz se defineşte densitatea volumică
,dVdm
v =ρ (5.3) dV fiind un volum elementar dintr-un punct B al rigidului, sediul masei elementare “dm”, Fig. 5.2.
)S( z
y
x
Q
B
GrGr
dm
– 235 –
Fig. 5.2
Masa elementară din punctul B are expresia
.dVdm vρ= (5.4) Masa rigidului este dată de relaţia
,dVdmM)V(
v
)M(∫∫ ρ== (5.5)
unde V reprezintă volumul domeniului ocupat de rigid. În cazul când densitatea vρ are aceeaşi valoare în toate punctele unui rigid, acesta se numeşte omogen şi pentru astfel de corpuri omogene, relaţia (5.5) devine
).m/kg(VM
VdVM 3vv
)V(
v =ρ⇒ρ=ρ= ∫ (5.6)
Relaţia (5.1) are forma particulară
.dVrV1
r)V(
G ∫= (5.7)
Proiectând relaţia vectorială (5.7) pe axele reperului Oxyz ,
ţinând seama de expresiile analitice ale vectorilor Gr şi r în acest
x
)S( z
yO
Br
dV
– 236 –
reper, adică kzjyixr GGGG ++= ; kzjyixr ++= , k,j,i fiind versorii axelor reperului, se obţin coordonatele centrului de masă G
.dVzV1
z;dVyV1
y;dVxV1
x)V(
G
)V(
G
)V(
G ∫∫∫ === (5.8)
b). Cazul rigidelor cu masa repartizată pe suprafeţe
Acest caz corespunde plăcilor, când grosimea este neglijabilă în raport cu celelalte două dimensiuni şi când placa se asimilează cu suprafaţa ei mediană de arie (A), în care este repartizată toată substanţa, Fig. 5.3. În acest caz se defineşte densitatea superficială
,dAdm
s =ρ (5.9) dA fiind aria elementară dintr-un punct B al plăcii, sediul masei elementare “dm”.
Fig. 5.3
Masa elementară din punctul B are expresia
.dAdm sρ= (5.10)
dA
x
zy
O
)A(
r B
– 237 –
Masa plăcii este dată de relaţia
,dAdmM)A(
s
)M(∫∫ ρ== (5.11)
în care A reprezintă aria domeniului ocupat de placă. În cazul plăcilor omogene, .consts =ρ , rezultă
)m/kg(AM
AdAM 2ss
)V(
s =ρ⇒ρ=ρ= ∫ (5.12)
şi relaţiile (5.1) şi (5.2) au următoarele forme particulare
,dArA1
r)A(
G ∫= (5.13)
respectiv,
.dAzA1
z;dAyA1
y;dAxA1
x)A(
G
)A(
G
)A(
G ∫∫∫ === (5.14)
c). Cazul rigidelor cu masa repartizată pe curbe
Această situaţie corespunde barelor, când două dintre dimen-siuni sunt neglijabile în raport cu cea de-a treia – care este lungimea L a barei – şi când barele se asimilează cu curbele mediane ale lor, în care se admite că este repartizată întreaga substanţă.
În Fig. 5.4 este repezentată o bară – curba mediană a ei fiind )(Γ de lungime L – şi un segment de arc din curba )(Γ , de lungime
elmentară ds, căruia îi corespunde un tronson de bară de aceeaşi lungime “ds” având masa “dm”.
În acest caz se defineşte densitatea liniară
,dsdm
=ρl (5.15)
ds fiind lungimea elementară corespunzătoare unui punct B al barei.
– 238 –
Masa elementară din punctul B, sediul masei elementare “dm”, are expresia
.dsdm lρ= (5.16)
Fig. 5.4
Masa barei este dată de relaţia
,dsdmM)L()M(∫∫ ρ== l (5.17)
unde L reprezintă lungimea barei. În cazul barelor omogene, .const=ρl şi rezultă
)m/kg(LM
LdsM)L(
=ρ⇒ρ=ρ= ∫ lll (5.18)
şi relaţiile (5.1) şi (5.2) au formele
,dsrL1
r)L(
G ∫= (5.19)
respectiv,
y
ds)(Γ
z
x
O
r B
– 239 –
.dszL1
z;dsyL1
y;dsxL1
x)L(
G
)L(
G
)L(
G ∫∫∫ === (5.20)
Proprietăţi ale centrelor de masă 1. Dacă un rigid admite un plan de simetrie în repartiţia masei, atunci centrul de masă este conţinut în acest plan de simetrie. 2. Dacă un rigid admite o axă de simetrie în repartiţia masei, atunci centrul de masă aparţine axei de simetrie. 3. Dacă un rigid admite un centru de simetrie în repartiţia masei, atunci centrul de masă coincide cu acest centru de simetrie.
4. Proprietatea privind compunerea centrelor de masă Dacă un rigid (S), de masă M, poate fi descompus intr-un număr finit “n” de porţiuni simple, de mase )n,1i(,Mi = , cu centrele de masă )n,1i(,Gi = , determinate prin vectorii de poziţie )n,1i(,r
iG = , în
raport cu polul O al reperului Oxyz , atunci vectorul de poziţie al întregului rigid va fi dat de relaţia
.
M
rMr n
1ii
n
1iGi
G
i
∑
∑
=
== (5.21)
În cazul corpurilor omogene cu masa repartizată spaţial, pe suprafeţe sau pe curbe, expresia (5.21) are formele
.
L
rLr;
A
rAr;
V
rVr n
1ii
n
1iGi
Gn
1ii
n
1iGi
Gn
1ii
n
1iGi
G
iii
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
= === (5.22)
Relaţiile (5.22) sunt valabile şi în cazul când anumite porţiuni se extrag din rigid, cu condiţia însă ca maselor extrase, respectiv a volumelor sau ariilor extrase să li se atribuie semnul minus.
– 240 –
5.1.1.2. Momente statice ale unui rigid
– Moment static al rigidului în raport cu polul O, originea reperului Oxyz. Din relaţia de definiţie (5.1) a centrului de masă al unui rigid, se obţine expresia momentului static, notat OS , definit prin expresia
.rMdmrS G
)M(
O == ∫ (5.23)
– Momente statice faţă de planele de coordonate Proiecţiile momentului static (5.23) pe axele reperului Oxyz poartă numele de momente statice planare şi au expresiile
.zMzdmkSS
;yMydmjSS
;xMxdmiSS
G
)M(
OOz
G
)M(
OOy
G
)M(
OOx
==⋅=
==⋅=
==⋅=
∫
∫
∫ (5.24)
5.1.1.3. Teoremele lui Pappus-Guldin
I). Aria generată prin rotaţia completă a unei curbe plane în jurul unei axe )(Δ situată în planul curbei şi care nu intersectează curba, este egală cu produsul dintre lungimea L a curbei şi lungimea cercului descris de centrul de masă al curbei, Fig. 5.5.
Fig. 5.5
.Lr2A π= (5.25)
B L
rG
)(Δ
A
– 241 –
II). Volumul generat prin rotaţia completă a unei suprafeţe
plane în jurul unei axe )(Δ situată în planul suprafeţei şi care nu intersectează suprafaţa, este egală cu produsul dintre aria A a suprafeţei şi lungimea cercului descris de centrul de masă al curbei, Fig. 5.6.
Fig. 5.6
.Ar2V π= (5.26)
5.1.1.4. Poziţia centrelor de masă ale unor corpuri omogene simple 1). Rigidul omogen în formă de con circular drept Se consideră cunoscute raza R a cercului de bază şi înălţimea
H a conului, Fig. 5.7.
Fig. 5.7
H
R 4H
G
O
z
y
x
r
)A( G
)(Δ
– 242 –
Prin alegerea reperului Oxyz cu originea în centrul cercului de
bază şi cu axa Oz coincizând cu axa de simetrie de revoluţie a conului, rezultă
.4H
OGz;0yx GGG ==== (5.27)
2). Rigidul omogen în formă de segment sferic Se consideră cunoscute raza R a cercului mare al sferei şi
înălţimea H a segmentului sferic, Fig. 5.8.
Fig. 5.8 Prin alegerea reperului Oxyz ca în figură, rezultă
.HR3HR2
4H3
OGz,0y,0x 22
22
GGG−
−==== (5.28)
Gz
R
G
H
O
z
y
x
– 243 –
În cazul emisferei, RH = , iar relaţia (5.28) devine de forma
.8R3
OGz,0y,0x GGG ==== (5.29)
3). Placa omogenă în formă de triunghi Centrul de masă G se află la intersecţia medianelor, Fig. 5.9 şi
fiind cunoscute coordonatele vârfurilor A, B şi C faţă de reperul Oxyz, se pot scrie următoarele expresii ale coordonatelor lui G
.3
zzzz;
3yyy
y;3
xxxx CBA
GcBA
GCBA
G++
=++
=++
= (5.30)
Fig. 5.9
4). Placa omogenă în formă de sector circular de rază R şi
unghiul la centru egal cu α2 radiani, Fig. 5.10. Se alege reperul Oxy cu originea în centrul cercului şi cu axa
Ox astfel încât să coincidă cu axa de simetrie a plăcii. Coordonatele centrului de masă G sunt
.0y;sin
R32
OGx GG =αα
== (5.31)
h h
3/h
3/h2
)z,y,x(C CCC
)z,y,x(B BBB
)z,y,x(A AAA
GO
z
y
x
– 244 –
Fig. 5.10 În cazul unei plăci în formă de sfert de disc de rază R şi cu
unghiul 4/π=α se obţine
.3
2R4OG
π= (5.32)
Pentru o placă având formă de semidisc de rază R şi 2/π=α , rezultă
.3R4
OGπ
= (5.33) 5). Bara omogenă în formă de arc de cerc de rază R şi unghi la centru α2 radiani, Fig. 5.11.
Alegând reperul Oxyz ca în figură, ţinând seama că lungimea barei este R2L α= rezultă coordonatele centrului de masă G al barei
.0y,sinR
OGx GG =αα
== (5.34)
Gx
α
α RGO
y
x
– 245 –
Fig. 5. 11
În cazul unei bare în formă de sfert de cerc de rază R, cu 4/π=α , rezultă
.2R2
OGπ
= (5.35) Pentru o bară având formă de semicerc de rază R şi 2/π=α
se obţine
.R2
OGπ
= (5.36)
Observaţie: Coordonatele centrului de masă al unui rigid pot fi scrise în
raport cu orice reper, în particular, fată de reperul mobil zyxQ ′′′ , invariabil legat de rigid.
Rα
α
Gx
GO
y
x
– 246 –
5.1.2. MOMENTE DE INERŢIE Momentele de inerţie, se folosesc la caracterizarea modului
de răspândire a substanţei într-un rigid şi cu ajutorul lor se exprimă inerţia unui corp aflat în mişcare de rotaţie.
În mecanică se întâlnesc două tipuri de momente de inerţie: – momente de inerţie mecanice; – momente de inerţie geometrice. 5.1.2.1. MOMENTE DE INERŢIE MECANICE
∗ Definirea momentelor de inerţie mecanice Fie un rigid (S), ce ocupă un domeniu (M), de care se ata-
şează invariabil zyxO)R( ′′′≡′ şi un element de volum în jurul punctu-lui B, de masă dm, Fig. 5.12.
Se notează cu yxQ)P(,zxQ)P(,zyQ)P( zyx ′′≡′′′≡′′′≡′ planele de coordonate şi cu zyx ,, δ′δ′δ′ distanţele de la punctul )z,y,x(B ′′′ , sediul masei elementare dm, la axele de coordonate zQ,yQ,xQ ′′′ .
Definiţie. Momentele de inerţie mecanice ale unui rigid )S( sunt mărimile definite prin integrale de forma
,dmJ)M(
2∫δ′=′ (5.37)
unde δ′ reprezintă distanţa, de la punctul B al rigidului, sediul masei elementare dm, la un plan, la o axă sau la un pol.
Momentele de inerţie mecanice pot fi clasificate astfel:
- momente de inerţie planare;
- momente de inerţie axiale;
- momente de inerţie polare;
- momente de inerţie centrifugale.
– 247 –
Fig. 5.12
a). Momente de inerţie mecanice planare Momentele de inerţie ale rigidului faţă de planele de coordo-
nate se numesc momente de inerţie planare şi ele sunt definite, în baza relaţiei (5.37), prin următoarele integrale
.dmzJ;dmyJ;dmxJ)M(
2)P(
)M(
2)P(
)M(
2)P( zyx ∫∫∫ ′=′′=′′=′ (5.38)
b). Momentele de inerţie mecanice axiale Momentele de inerţie ale rigidului faţă de axele de coordonate
poartă numele de momente de inerţie axiale şi în conformitate cu
)dm(B
z′
y′
x′
r ′ yδ′
zδ′
xδ′)S(
z′
y′
x′
)R( ′
Q
)P( x′
)P( y′
)P( z′
– 248 –
relaţia de definiţie (5.37), ele sunt exprimate prin integralele
∫∫
∫∫
∫∫
′+′=δ′=′
′+′=δ′=′
′+′=δ′=′
)M(
22
)M(
2zzz
)M(
22
)M(
2yyy
)M(
22
)M(
2xxx
.dm)yx(dmJ
;dm)zx(dmJ
;dm)zy(dmJ
(5.39)
c). Momentul de inerţie mecanic polar Momentul de inerţie al rigidului calculat în raport cu un pol Q
se numeşte moment de inerţie polar şi este definit prin relaţia
.dm)zyx(J;dmrJ)M(
222Q
)M(
2Q ∫∫ ′+′+′=′′=′ (5.40)
d) Momentele de inerţie centrifugale, care se calculează
faţă de două plane, sunt definite prin relaţiile
.dmxzJ;dmzyJ;dmyxJ)M(
zx
)M(
yz
)M(
xy ∫∫∫ ′′=′′′=′′′=′ (5.41)
Observaţii 1. Momentele de inerţie mecanice, planare, axiale şi polare,
sunt mărimi mecanice diferite de zero şi totdeauna pozitive. Se vor putea considera egale cu zero următoarele momente de inerţie:
– momentele de inerţie ale plăcilor plane subţiri faţă de planele lor mediane;
– momentele de inerţie ale barelor subţiri şi rectilinii în raport cu axele lor mediane.
2. Momentele de inerţie mecanice pot fi definite şi în raport cu
alte repere, cum ar fi Oxyz, caz în care toate relaţiile stabilite îşi
– 249 –
păstrează valabilitatea dar cu adaptarea notaţiilor la noul reper (de exemplu xyxyxxxx JJ,JJ →′→′ , etc.).
3. Momentele de inerţie centrifugale sunt mărimi scalare, po-zitive, negative sau chiar egale cu zero atunci când planele de coordonate ale reperului )R( ′ sunt plane de simetrie în repartiţia masei.
∗ Relaţii între momentele de inerţie mecanice Între momentele de inerţie mecanice planare, axiale şi mo-
mentul de inerţie polar pot fi stabilite următoarele relaţii:
Momentul de inerţie axial este egal cu suma momen-telor de inerţie faţă de două plane perpendiculare între ele şi care conţin axa respectivă.
Acest lucru rezultă din relaţiile (5.39), ţinându-se seama de definiţia momentelor de inerţie planare
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
′+′=′+′=′+′=′
′+′=′+′=′+′=′
′+′=′+′=′+′=′
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
)M( )M( )M(
)P()P(2222
zz
)M( )M( )M(
)P()P(2222
yy
)M( )M( )M(
)P()P(2222
xx
.JJdmydmxdm)yx(J
;JJdmzdmxdm)zx(J
;JJdmzdmydm)zy(J
yx
zx
zy
(5.42)
Momentul de inerţie polar este egal cu semisuma mo-
mentelor de inerţie în raport cu cele trei axe ale reperului )R( ′ , având originea în polul considerat.
Dacă se însumează momentele de inerţie axiale exprimate prin relaţiile (5.39), se obţine
.2/)JJJ(J
,J2dm)zyx(2JJJ
zzyyxxQ
Q
)M(
222zzyyxx
′+′+′=′⇒
′=′+′+′=′+′+′ ∫ (5.43)
– 250 –
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momen-
telor de inerţie în raport cu planele unui triedru ortogonal având originea în polul considerat.
Din relaţia (5.40), rezultă
.JJ)JdmzdmydmxJ)M(
)zP()yP(xP(2
)M(
2
)M(
2Q ∫∫∫ ′+′+′=′+′+′=′ (5.44)
Momentul de inerţie polar este egal cu suma dintre mo-
mentul de inerţie în raport cu o axă ce trece prin polul considerat şi momentul de inerţie faţă de planul normal în polul respectiv, pe axă.
Pentru a pune în evidenţă această relaţie se pleacă de la definiţia (5.40) a momentului de inerţie polar, ţinându-se seama de relaţiile (5.38) şi (5.39) şi se obţine
.JJdm)yx(zJ
;JJdm)zx(yJ
;JJdm)zy(xJ
zz)P(
)M( )M(
222Q
yy)P(
)M( )M(
222Q
xx)P(
)M( )M(
222Q
z
y
x
′+′=′+′+′=′
′+′=′+′+′=′
′+′=′+′+′=′
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ (5.45)
O axă a reperului zyxQ)R( ′′′=′ va fi numită axă principală de inerţie relativă la polul Q atunci când momentele de inerţie centrifugale care conţin indicele axei sunt egale cu zero. De exemplu, dacă sunt îndeplinite condiţiile
0JJ yzxz =′=′ (5.46) atunci axa zQ ′ este axă principală de inerţie relativă la polul Q. Momentul de inerţie axial al rigidului faţă de o axă principală de inerţie se va numi moment principal de inerţie.
În cazul când axa principală de inerţie trece prin centrul de masă al rigidului, ea se numeşte axă principală centrală de inerţie,
– 251 –
iar momentul de inerţie axial faţă de această axă poartă numele de moment principal central de inerţie. Momentele principale centrale de inerţie vor fi notate cu un singur indice, pentru a le deosebi de cele corespunzătoare unei altfel de orientări a axelor reperului )R( ′ ; de exemplu xxx JJ ′=′ , etc.
∗ Proprietăţile momentelor de inerţie I). Dacă un rigid (S) admite un plan de simetrie în repartiţia
masei, atunci orice axă normală într-un punct Q la acest plan este axă principală de inerţie relativă la polul Q, iar în cazul când polul Q coincide cu centrul de masă G, )GQ( ≡ , axa este axă principală centrală de inerţie.
II). Dacă un rigid (S) admite o axă de simetrie în repartiţia
masei, atunci această axă este axă principală centrală de inerţie. III). Dacă un rigid admite simetrie materială de revoluţie în
repartiţia masei, atunci axa de simetrie de revoluţie este axă principală centrală de inerţie şi orice pereche de alte două axe reciproc perpendiculare între ele şi normale la axa de simetrie sunt axe principale de inerţie.
În cazul când polul Q este ales în centrul de masă G al rigidului, atunci cele două axe sunt axe principale centrale de inerţie.
Proprietatea privind compunerea momentelor de inerţie Dacă un rigid de masă M şi cu axele principale centrale de
inerţie precizate şi alese ca axe ale reperului zyxG)R( ′′′≡′ , poate fi descompus într-un număr determinat n de porţiuni simple, de mase
)n,1i(Mi == , cărora li se cunosc momentele de inerţie )i(yy)i(xx J,J ′′ şi
)i(zzJ′ în raport cu axele reperului )R( ′ , atunci momentele principale centrale de inerţie ale rigidului sunt date de relaţiile
.JJ;JJ;JJn
1i)i(zzz
n
1i)i(yyy
n
1i)i(xxx ∑∑∑
===
′=′′=′′=′ (5.47)
– 252 –
Această proprietate de compunere a momentelor de inerţie poate fi aplicată tuturor categoriilor de momente de inerţie, deci şi momentelor de inerţie centrifugale, precum şi în raport cu orice reper ataşat rigidului.
Observaţii
1. Unitatea de măsură a momentului de inerţie mecanic – în sistemul internaţional de unităţi – este ]mkg[ 2⋅ .
2. Se recomandă materialul bibliografic [11] pentru a se urmări demonstraţiile proprietăţilor.
∗ Variaţia momentelor de inerţie mecanice axiale şi centrifugale la translaţia axelor Se consideră un rigid )S( , de masă M, căruia i se pot deter-
mina, în raport cu un reper Oxyz)R( = ales convenabil în rigid, atât momentele de inerţie mecanice axiale şi centrifugale
∫∫
∫∫
∫∫
=+=
=+=
=+=
)M(
zx
)M(
22zz
)M(
yz
)M(
22yy
)M(
xy
)M(
22xx
,zxdmJ;dm)yx(J
;yzdmJ;dm)zx(J
;xydmJ;dm)zy(J
(5.48)
cât şi coordonatele GGG z,y,x ale centrului de masă G, Fig. 5.13. Cunoscând masa M a rigidului, momentele de inerţie axiale şi
centrifugale ale rigidului (S) în raport cu reperul Oxyz)R( = , exprimate prin relaţiile (5.48), precum şi coordonatele centrului de masă G faţă de reperul (R), se pune problema determinării momentelor de inerţie axiale şi centrifugale ale rigidului faţă de reperul ∗∗∗∗ ≡ zyGx)R( , ales cu originea în G şi cu axele paralele la axele reperului (R), deci a momentelor ∗∗∗∗∗∗
zxyzxyzzyyxx J,J,J,J,J,J .
– 253 –
Fig. 5.13
Pentru a stabili expresiile momentelor de inerţie axiale, se pleacă de la relaţiile de definiţie (5.39) ale acestora, scrise însă, în concordanţă cu reperul )R( ∗ adică
∫
∫
∫
∗∗∗
∗∗∗
∗∗∗
+=
+=
+=
)M(
22zz
)M(
22yy
)M(
22xx
.dm)yx(J
;dm)zx(J
;dm)zy(J
(5.49)
)R( ′ z′
y′
x′
)R( ∗
∗y
∗x
∗z
GQ ≡
∗rr
Gr )S(
z
)dm(B
y
x
)R(
O
– 254 –
Din Fig. 5.13 rezultă ecuaţia vectorială
,rrr G∗+= (5.50)
care se proiectează pe axele reperului (R), obţinându-se
.zzz;yyy;xxx
;zzz;yyy;xxx
GGG
GGG
−=−=−=⇒
+=+=+=∗∗∗
∗∗∗
(5.51)
Înlocuind, în prima dintre relaţiile (5.49) ∗y şi ∗z cu cele din
(5.51) rezultă pentru momentul axial ∗xxJ , expresia
,dmzz2dmyy2dm)zy(
dm)zy(dm)zz(dm)yy(J
)M(
G
)M( )M(
G2G
2G
)M( )M(
222G
)M(
2Gxx
∫∫ ∫∫ ∫∫
−−++
++=−+−=∗
(5.52)
care, ţinând seama de prima dintre relaţiile (5.48) precum şi de definiţia momentelor statice se poate scrie sub forma finală
,MJ)zy(MJJ 2xxx
2G
2Gxxxx δ−=+−=∗ (5.53)
xδ fiind distanţa de la centrul de masă G la axaOx. Procedând în mod analog, se pot stabili şi expresiile momen-telor de inerţie axiale ∗∗
zzyy J,J , ele rezultând de forma
,MJ)yx(MJJ
;MJ)zx(MJJ2zzz
2G
2Gzzzz
2yyy
2G
2Gyyyy
δ−=+−=
δ−=+−=∗
∗
(5.54)
yδ şi zδ reprezentând distanţele de la centrul de masă G la axele Oy respectiv Oz. Considerând într-un rigid (S) de masă M, două axe paralele
)(Δ şi )( GΔ – ultima trecând prin centrul de masă G al rigidului – şi
– 255 –
notând cu „d” distanţa dintre cele două axe, Fig. 5.14, relaţiilor (5.53) şi (5.54) li se poate da următoarea formă generală
.MdJJ 2G+= ΔΔ (5.55)
Fig. 5.14
Relaţia (5.55) exprimă teorema lui Huygens-Steiner pentru momente de inerţie mecanice, cu următoarea formulare:
Momentul de inerţie mecanic al unui rigid în raport cu o axă oarecare )(Δ este egal cu momentul de inerţie al rigidului faţă de o axă )( GΔ paralelă la axa )(Δ şi care trece prin G adunat cu produsul dintre masa rigidului şi pătratul distanţei dintre cele două axe.
În vederea stabilirii momentelor de inerţie centrifugale se foloseşte relaţia de definiţie a acestora, putându-se scrie
.dmxzJ;dmzyJ;dmyxJ)M(
zx
)M(
yz
)M(
xy ∫∫∫ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗ === (5.56)
Înlocuind în prima expresie din (5.56), mărimile ∗x şi ∗y cu valorile din (5.51), rezultă pentru momentul centrifugal ∗
xyJ relaţia
.dmyxdmyxdmxydmxy
dm)yy)(xx(J
)M(
GG
)M(
G
)M( )M(
G
)M(
GGxy
∫∫∫ ∫
∫+−−=
=−−=∗
(5.57)
)S(
)( GΔd
G
Q
– 256 –
Ţinându-se seama de semnificaţiile integralelor care apar, se obţine expresia finală a momentului de inerţie centrifugal ∗
xyJ
.yMxJJ GGxyxy −=∗ (5.58) În mod analog se deduc şi celelalte două momente centri-fugale ∗∗
zxyz J,J , pentru care rezultă expresiile
.xMzJJ;zMyJJ GGzxzxGGyzyz −=−= ∗∗ (5.59) Observaţie Cunoscându-se momentele de inerţie axiale şi centrifugale ale rigidului faţă de reperul ∗∗∗∗ ≡ zyGx)R( , deci a momentelor ,Jxx
∗ ,Jyy∗
∗∗∗∗zxyzxyzz J,J,J,J , se pot determina momentele de inerţie ,J,J yyxx ′′
zxyzxyzz J,J,J,J ′′′′ în raport cu un reper zyxQ)R( ′′′≡′ , rotit faţă de repe-
rul ),R( ∗ ales cu originea Q în centrul de masă G al rigidului, Fig. 5.13, [1, 5,11].
5.1.2.2. MOMENTE DE INERŢIE GEOMETRICE
∗ Definirea momentelor de inerţie geometrice ale suprafeţelor materiale
Fie o suprafaţă materială plană omogenă )(Σ de grosime neglijabilă, de arie A şi masă M, reperul Qxyz)R( ≡ cu axa Qz perpendiculară pe planul suprafeţei ( 0z = , grosimea fiind neglija-bilă), Fig.5.15. Un punct )0,y,x(B ′′ al suprafeţei )(Σ , sediul ariei elementare dA, va fi determinat în raport cu reperul )R( ′ prin vectorul de poziţie
.jyixr ′′+′′=′ (5.60)
– 257 –
Fig. 5.15 Se pot defini următoarele categorii de momente de inerţie geometrice:
a). momente de inerţie geometrice axiale
;dAxI;dAyI)A(
2yy
)A(
2xx ∫∫ ′=′′=′ (5.61)
b). momentul de inerţie geometric polar
∫ ′=′)A(
2Q ;dArI (5.62)
c). momentul de inerţie geometric centrifugal
∫ ′′=′)A(
xy dAyxI . (5.63)
Pornind de la relaţia (5.62) şi descompunând integrala într-o sumă de două integrale, se poate stabili următoarea relaţie între
j′
i′
)R( ′ y′
x′
B
r ′
)(Σ
y′
x′
– 258 –
momentul de inerţie geometric polar şi momentele de inerţie geometrice axiale
.IIdAydAxdA)yx(dArI xxyy
)A(
2
)A(
2
)A(
22
)A(
2Q ′+′=′+′=′+′=′=′ ∫∫∫∫ (5.64)
Observaţii 1. Momentele de inerţie geometrice axiale şi polare sunt mă-
rimi pozitiv definite şi diferite de zero. 2. Momentul de inerţie geometric centrifugal este o mărime
scalară, pozitivă, negativă sau chiar egală cu zero în cazul existenţei unor simetrii în repartiţia masei.
3. Dacă este satisfăcută condiţia
,0dAyxI)A(
xy =′′=′ ∫ (5.65)
atunci axele reperului )R( ′ se numesc axe principale de inerţie geometrice. Atunci când centrul de masă al suprafeţei )(Σ se află pe o axă principală de inerţie, axa respectivă va fi numită axa principală centrală geometrică de inerţie.
4. Momentele de inerţie mecanice se pot calcula cu ajutorul momentelor de inerţie geometrice. Se consideră ca exemplu momen-tul de inerţie mecanic axial xxJ′ , definit prin integrala
,dm)zy(J)M(
22xx ∫ ′+′=′
care, ţinând seama că în cazul suprafeţelor materiale plane omogene sunt valabile relaţiile
,AM;0z;dAdm ss =ρ=′ρ= (5.66)
– 259 –
se va putea scrie sub forma
.IAMIdAydmyJ xxxxs
)A(
2s
)M(
2xx ′=′ρ=′ρ=′=′ ∫∫ (5.67)
Relaţia (5.67) stabileşte legătura dintre momentul de inerţie mecanic axial xxJ′ şi momentul de inerţie geometric axial xxI′ .
În mod similar se arată că
.IAM
J;IAM
J xyxyyyyy ′=′′=′ (5.68)
5. Unitatea de măsură în S.I. a momentului de inerţie geome-tric al unei suprafeţe materiale plane este ( 4m ).
∗ Variaţia momentelor de inerţie geometrice la translaţia axelor Se consideră o suprafaţă materială plană )(Σ de arie A, căreia i se poate determina în raport cu un reper Oxy)R( ≡ , ales convenabil în rigid, atât momentul de inerţie geometric centrifugal şi momentele de inerţie geometrice axiale cu ajutorul integralelor
,dAxI;dAyI;xydAI)A(
2yy
)A(
2xx
)A(
xy ∫∫∫ === (5.69)
cât şi coordonatele centrului de masă )y,x(G GG , Fig. 5.16.
Cunoscându-se aceste mărimi, se pune problema determinării momentelor de inerţie geometrice axiale şi cel centrifugal, în raport cu un reper ∗∗yGx translat faţă de reperul Oxy, notate ∗∗∗
xyyyxx I,I,I . Pentru a stabili expresiile momentelor de inerţie geometrice axiale ∗
xxI şi ∗yyI se folosesc relaţiile de definiţie ale acestora
– 260 –
.dAxI;dAyI
)A(
yy
)A(
xx22
∫∫ ∗∗∗∗ == (5.70)
Fig. 5.16
Mărimile ∗x şi ∗y se înlocuiesc cu valorile obţinute prin pro-
iectarea pe axele reperului (R) a relaţiei vectoriale ∗+= rrr G , adică cu valorile
.yyy;xxx GG −=−= ∗∗ (5.71)
Momentul de inerţie geometric axial ∗xxI , dat de relaţia (5.70),
ţinând seama de (5.71), se va putea scrie sub forma
.AyIAyAyy2I
dAyydAy2dAy
dA)yy(dAyI
2Gxx
2GGGxx
)A(
2G
)A()A(
G2
)A(
2G
)A(
2xx
−=+−=
=+−=
=−==
∫∫∫
∫∫ ∗∗
(5.72)
∗r Gr
r
G
)R( ∗ ∗y
∗x
)R( y
x
B
)(Σ
O
dA
– 261 –
Procedând analog, pentru momentul de inerţie geometric axial ∗yyI se obţine următoarea expresie
.AxII 2Gyyyy −=∗ (5.73)
Relaţiilor (5.72) şi (5.73) li se poate da o formă generală, prin considerarea în suprafaţa )(Σ a două axe paralele )(Δ şi )( GΔ , ultima trecând prin centrul de masă al suprafeţei, Fig. 5.17
,AdII 2G+= ΔΔ (5.74)
unde d reprezintă distanţa dintre cele două axe paralele, iar A este aria suprafeţei materiale )(Σ .
Fig. 5.17
Relaţia (5.74) exprimă teorema lui Huyghens-Steiner, care are următorul enunţ: Momentul de inerţie geometric al unei suprafeţe materiale )(Σ în raport cu o axă )(Δ situată în planul ei este egal cu momentul de inerţie al suprafeţei )(Σ calculat faţă de o axă )( GΔ paralelă la axa )(Δ şi trecând prin centrul de masă G al suprafeţei, la care se adună produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre axele )(Δ şi )( GΔ .
d )(Σ
)( GΔ
)(Δ
G
– 262 –
Expresia momentului de inerţie centrifugal ∗
xyI se obţine înlocuind în relaţia de definiţie a acestuia
,dAyxI)A(
xy ∫ ∗∗∗ = (5.75)
mărimile ∗x şi ∗y cu valorile (5.71), rezultând
.yAxII
,yAxIAyxAyxAxyI
dAyxdAyxdAxydAxyI
GGxyxy
GGxyGGGGGGxy
)A(
GG
)A(
G
)A(
G
)A(
xy
+=→
−=+−−=
=+−−=
∗
∗ ∫∫∫∫ (5.76)
Momentul de inerţie geometric centrifugal al unei suprafeţe
materiale )(Σ , în raport cu reperul Oxy, este egal cu momentul de
inerţie al suprafeţei )(Σ calculat faţă de reperul ∗∗yGx ales cu originea în centrul de masă al secţiunii şi având axele paralele la axele reperului Oxy, la care se adună produsul dintre aria suprafeţei şi coordonatele Gx şi Gy ale centrului de masă G al suprafeţei )(Σ .
∗ Variaţia momentelor de inerţie geometrice la rotaţia axelor Fiind determinate momentele de inerţie ∗∗∗
xyyyxx I,I,I ale secţiunii
materiale )(Σ în raport cu reperul ∗∗∗ ≡ yGx)R( , se pune problema calculării momentelor de inerţie yyxx I,I ′′ şi xyI′ în raport cu un reper
yxG)R( ′′≡′ , Fig. 5.18, rotit faţă de reperul )R( ∗ într-o poziţie deter-minată prin următorul tabel de cosinusuri directoare
– 263 –
i j k
i′ ∗ϕcos ∗ϕsin 0 j′ ∗ϕ− sin ∗ϕcos 0 k ′ 0 0 1
(5.77)
Fig. 5.18 În baza relaţiei de definiţie, pentru momentele de inerţie xxI′ şi yyI′ se vor putea scrie expresiile
.dAxI;dAyI)A(
2yy
)A(
2xx ∫∫ ′=′′=′ (5.78)
Un punct curent B al suprafeţei materiale )(Σ , va fi determinat faţă de polul GQ ≡ , prin vectorul de poziţie
.rr ∗=′ (5.79)
x
y
j
GQ ≡
dA
∗j
∗i
∗Δϕ
)(Δ′
j′
∗=′ rr
i′∗ϕ
∗y
∗x
)R( ′ y′
x′
B
)(Σ
O
– 264 –
Relaţia (5.79) are expresia analitică de forma
.jyixjyix ∗∗∗∗ +=′′+′′ (5.80)
Prin proiectarea relaţiei (5.80) pe axele reperului )R( ′ , ţinând seama de tabelul de cosinusuri directoare (5.77), se obţine
.cosysinxy
;sinycosxx∗∗∗∗
∗∗∗∗
ϕ+ϕ−=′
ϕ+ϕ=′ (5.81)
Înlocuind expresiile (5.81) în relaţiile (5.78)
( )
( ) ,dAsinycosxdAxI
;dAcosysinxdAyI
)A()A(
2yy
)A( )A(
2xx
2
2
∫∫
∫ ∫∗∗∗∗
∗∗∗∗
ϕ+ϕ=′=′
ϕ+ϕ−=′=′
după efectuarea calculelor, rezultă următoarele expresii ale momen-telor de inerţie geometrice axiale
.dAyxcossin2dAysindAxcosI
;dAyxcossin2dAycosdAxsinI
)A()A(
22
)A(
22yy
)A()A(
22
)A(
22xx
∫∫∫
∫∫∫
∗∗∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗∗∗
ϕϕ+ϕ+ϕ=′
ϕϕ−ϕ+ϕ=′
(5.82)
Ţinând seama de semnificaţiile integralelor care apar în relaţiile (5.82), se pot scrie expresiile finale ale momentelor de inerţie geometrice axiale sub forma
.2sinIcosIsinII
;2sinIsinIcosII
xy2
yy2
xxyy
xy2
yy2
xxxx
∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗
ϕ+ϕ+ϕ=′
ϕ−ϕ+ϕ=′ (5.83)
– 265 –
Dacă se consideră în planul suprafeţei materiale )(Σ , o axă
)(Δ′ ce trece prin G şi care formează cu axa ∗Gx un unghi ∗Δϕ , Fig.
5.18, se va putea scrie expresia momentului de inerţie geometric al suprafeţei în raport cu axa )(Δ′ , sub următoarea formă generală
.2sinIsinIcosII xy2
yy2
xx∗Δ
∗∗Δ
∗∗Δ
∗Δ ϕ−ϕ+ϕ=′ (5.84)
Pentru a deduce expresia momentului de inerţie centrifugal
xyI′ , în raport cu reperul )R( ′ rotit faţă de reperul )R( ∗ , se foloseşte relaţia de definiţie a acestuia, în care x′ şi y′ se înlocuiesc cu valorile (5.81)
( ) ( )∫∫ ∗∗∗∗∗∗∗∗ ϕ+ϕ−ϕ+ϕ=′′=′)A()A(
xy dAcosysinxsinycosxdAyxI
şi se obţine expresia
.dAyxsindAyxcos
dAycossindAxcossinI
)A( )A(
22
)A(
2
)A(
2xy
∫ ∫
∫∫∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗
ϕ−ϕ+
+ϕϕ+ϕϕ−=′
(5.85)
Deoarece integralele din relaţia (5.85) reprezintă momentele de inerţie geometrice axiale ∗∗
yyxx I,I , şi momentul de inerţie geometric
centrifugal ∗xyI , ale suprafeţei )(Σ în raport cu reperul ∗∗∗ ≡ yGx)R( ,
se poate scrie expresia finală a momentului xyI′ sub forma
.2cosI2sin2
II
2cosIcossin)II(I
xyyyxx
xyyyxxxy
∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗
ϕ+ϕ−
=
=ϕ+ϕϕ−=′
(5.86)
– 266 –
∗ Determinarea momentelor de inerţie
ale unor corpuri omogene simple
A). Placa omogenă având forma unui dreptunghi ADCE de masă M şi laturile b şi h, Fig. 5.19.
1). Să se calculeze xyyyxxxyyyxx J,J,J,I,I,I .
2). Să se calculeze ∗∗∗∗∗∗xyyyxxxyyyxx J,J,J,I,I,I .
Fig. 5.19
1). Pornind de la relaţiile de definiţie rezultă
∫ ∫∫
∫ ∫∫
∫ ∫∫
===
===
===
b
0
h
0
22
)A(
xy
b
0
h
0
32
)A(
2yy
b
0
h
0
32
)A(
2xx
.4hb
ydyxdxxydAI
;3hb
dydxxdAxI
;3
bhdyydxdAyI
(5.87)
C
AO ≡
D
Ex
h y
∗y
∗x
y
x
dydxdA =
b
BG
– 267 –
Momentele de inerţie mecanice faţă de reperul Oxy, adică
mărimile xyyyxx J,J,J , au expresiile
.4
MbhIAMJ
;3
MbIAMJ
;3
MhIAMJ
xyxy
2
yyyy
2
xxxx
==
==
==
(5.88)
2). Momentele de inerţie faţă de reperul ∗∗yGx , adică
mărimile ∗∗∗∗∗∗xyyyxxxyyyxx J,J,J,I,I,I , se calculează cu ajutorul relaţiilor
stabilite în cadrul studiului variaţiei momentelor de inerţie geometrice la translaţia axelor, precum şi în baza relaţiilor
∗∗ = xxxx IAM
J , ∗∗ = yyyy IAM
J , ∗∗ = xyxy IAM
J ,
şi rezultă
,0I
;12
hb2b
bh3hb
AxII
;12bh
2h
bh3
bhAyII
xy
3232Gyyyy
3232Gxxxx
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=
∗
∗
∗
(5.89)
respectiv,
.0J
;12
MbI
AM
J
;12
MhI
AM
J
xy
2
yyyy
2
xxxx
=
==
==
∗
∗∗
∗∗
(5.90)
– 268 –
B). Placa omogenă în formă de triunghi dreptun-
ghic, OAC, de masă M având catetele b şi h, Fig. 5.20. 1). Să se calculeze xyyyxxxyyyxx J,J,J,I,I,I .
2). Să se calculeze ∗∗∗∗∗∗xyyyxxxyyyxx J,J,J,I,I,I .
Fig.5.20
1). Din ecuaţia dreptei AC
,1hy
bx
=+ (5.91)
rezultă
.xbh
hysauyhb
bx −=−= (5.92) Folosind relaţiile de definiţie, precum şi relaţiile (5.92) se obţine
∫ ∫∫∫−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −===
h/byb
0
h
0
32
h
0
2
)A(
2xx ;
12bhdyy
hbbydxdyydAyI
h
C
A3/b
3/h
∗x
x
dydxdA =
b
B
y G
h
C
A
y
3/h
O
∗y
∗x
x
dydxdA =
b
B
y
x
G
– 269 –
∫ ∫∫∫
∫ ∫∫∫−
−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −===
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −===
b/hxh
0
b
0
222b
0)A(
xy
b/hxh
0
h
0
32
b
0
2
)A(
2yy
.24bhdxx
bhhx
21dyydxxdAxyI
;12
hbdxxbhhxdydxxdAxI
(5.93)
Momentele de inerţie mecanice faţă de reperul Oxy, adică
mărimile xyyyxx J,J,J , au expresiile
.12
MbhI
AM
J;6
MbI
AM
J;6
MhI
AM
J xyxy
2
yyyy
2
xxxx ====== (5.94)
2). În baza relaţiilor stabilite la variaţia momentelor de inerţie
geometrice la translaţia axelor şi ştiind că ,3/hy,3/bx GG == 2/bhA = , rezultă
.72hb
yAxII
;36
hbAxII
;36
bhAyII
22
GGxyxy
32Gyyyy
32Gxxxx
−=−=
=−=
=−=
∗
∗
∗
(5.95)
Folosind relaţiile ∗∗ = xxxx IAM
J , ∗∗ = yyyy IAM
J , ∗∗ = xyxy IAM
J , se obţin
valorile
.36
MbhIAMJ
;18
MbIAMJ
;18
MhIAMJ
xyxy
2
yyyy
2
xxxx
−==
==
==
∗∗
∗∗
∗∗
(5.96)
– 270 –
C). Placa omogenă având formă de sector circular
de rază R, unghi la centru )rad(2α şi masă M, Fig. 5.21. 1). Să se calculeze xyyyxxxyyyxx J,J,J,I,I,I .
2). Să se calculeze ∗∗∗∗∗∗xyyyxxxyyyxx J,J,J,I,I,I .
Fig. 5.21 1). Plecând de la relaţiile de definiţie, rezultă
).simetriedeaaxesteOxaxa(0I
;)2sin2(8
RdcosddAxI
;)2sin2(8
RdsinddAyI
xy
4R
0
23
)A(
2yy
4R
0
23
)A(
2xx
=
α+α=ϕϕρρ==
α−α=ϕϕρρ==
∫ ∫∫
∫ ∫∫α
α−
α
α−
(5.97)
ϕ
∗y
G
x
y
y
ϕd ∗x,x
ρ
R
ϕρ=ϕρ=ρϕρ=
sinycosx
dddA
O
Bαα
=sin
R32
OG α
α
– 271 –
Momentele de inerţie mecanice faţă de reperul Oxy, adică
mărimile xyyyxx J,J,J , au expresiile
.0J
;2
2sin1
4MR
IAM
J
;2
2sin1
4MR
IAM
J
xy
2
yyyy
2
xxxx
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛αα
+==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛αα
−==
(5.98)
2). Momentele de inerţie geometrice faţă de reperul ∗∗yGx ,
ţinând seama că la sectorul circular αα
==sinR
32
xOG G , α= 2RA ,
0yG = şi că axa ∗Gx este axă centrală de inerţie, au expresiile
.0I
;9sin322sin2
8RAxII
;)2sin2(8
RIAyII
xy
242Gxxyy
4
xx2Gxxxx
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α
α−α+α=−=
α−α==−=
∗
∗
∗
(5.99)
Momentele de inerţie mecanice faţă de reperul ∗∗yGx , adică mărimile ∗∗∗
xyyyxx J,J,J , au forma
.0IAMJ
;9sin16
22sin1
4MRI
AMJ
;2
2sin14
MRIAMI
AMJ
xyxy
2
22
yyyy
2
xxxxxx
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
αα
−αα
+==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
−===
∗∗
∗∗
∗∗
(5.100)
– 272 –
5.2. CARACTERISTICILE CINETICE ALE UNUI RIGID
Caracteristicile cinetice caracterizează din punct de vedere dinamic mişcarea unui rigid şi ele sunt reprezentate prin următoarele mărimi fizice:
1). Impulsul rigidului (mărime fizică vectorială).
2). Momentul cinetic al rigidului (mărime fizică vectorială).
3). Energia cinetică a rigidului (mărime fizică scalară). Ansamblul format din vectorii impuls şi moment cinetic poartă
numele de torsor cinetic.
Torsorul cinetic al unui rigid
Se consideră un rigid (S) care execută o mişcare generală, determinată în polul Q prin parametrii cinematici de ordinul I, Qv şi ω , Fig. 5.22.
Fie )r(B ′ un punct curent al rigidului (S), sediul masei elementare „dm”, a cărui viteză are expresia
.rvv Q ′×ω+= (5.101)
Masei elementare „dm” din punctul B al rigidului (S) i se
asociază vectorul elementar
,dmvHd = (5.102)
numit impulsul masei elementare „dm”, coliniar cu viteza v a punctului respectiv, Fig. 5.22.
Momentul vectorului elementar Hd , în raport cu polul Q, este dat de relaţia
dmv x 'rHd x 'rKd Q == , (5.103)
– 273 –
iar în raport cu polul O are expresia
.dmv x rHd x rKd O == (5.104)
Vectorul QKd reprezintă momentul cinetic al masei elemen-tare „dm” în raport cu polul Q, iar vectorul OKd este momentul cinetic al masei elementare „dm” în raport cu polul O.
Fig. 5.22
Sistemul tuturor vectorilor elementari d H , corespunzători
tuturor punctelor rigidului (S) de masă M, va putea fi redus, fie în polul Q, fie în polul O, la un torsor al impulsurilor, numit şi torsor cinetic al rigidului în mişcare generală. Vectorul rezultant al torsorului cinetic se numeşte impulsul rigidului, iar momentul rezultant poartă denumirea de moment cinetic al rigidului, notat
QK dacă este determinat în raport cu polul Q, sau OK dacă este determinat în raport cu polul O.
z
z′
r
)R( ′
)S(
y
x
j′
)R(
OK
O
Qv
QK B
Qr
Q
x′
y′
r ′
Hd
ω
vdm
i′
k ′
– 274 –
Torsorul cinetic în polul Q
.vdmrKdK
vdmH
}H{T
)M()M(
)M(Q
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
×′==
=
=
∫∫
∫ (5.105)
Torsorul cinetic în polul O
.vdmrKdK
vdmH
}H{T
)M()M(
OO
)M(O
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
×==
=
=
∫∫
∫ (5.106)
5.2.1. IMPULSUL UNUI RIGID
În baza relaţiei (5.102) de definiţie a impulsului masei
elementare „dm”, pentru impulsul unui rigid aflat în mişcare generală, se poate scrie următoarea expresie
,vdmH)M(∫= (5.107)
în care viteza v are expresia rvv Q ′×ω+= . Relaţia (5.107) se scrie sub forma
∫ ∫ ∫ ′×ω+=′×ω+=)M( )M( )M(
QQ dm)r(dmv)rv(dmH (5.108)
şi deoarece parametrii cinematici de ordinul I ( Qv şi ω ) sunt aceeaşi pentru toate masele elementare „dm”, ei pot fi scoşi în faţa integra-lelor, astfel încât relaţia (5.108) devine
.dmrdmvH)M( )M(
Q ∫ ∫ ′×ω+= (5.109)
– 275 –
Ţinând seama de semnificaţiile integralelor
∫∫ ′=′=)M(
G
)M(
,rMdmr;Mdm (5.110)
se poate scrie expresia finală a impulsului unui rigid sub forma
),rv(MH GQ ′×ω+= (5.111)
care, în baza faptului că GGQ vrv =′×ω+ , se mai poate scrie şi sub forma
,vMH G= (5.112) care exprimă teorema lui Koenig relativă la impuls în dinamica rigidului, având următoarea formulare: Impulsul unui rigid în mişcare este egal cu impulsul centrului său de masă, în care se consideră concentrată întreaga masă a rigidului.
5.2.2. MOMENTUL CINETIC AL UNUI RIGID a) Momentul cinetic al unui rigid în raport cu polul mobil Q Pornind de la relaţia de definiţie (5.103) a momentului cinetic
elementar faţă de polul Q, pentru momentul cinetic al întregului rigid se poate scrie relaţia
.vdmrK)M(
Q ∫ ×′= (5.113)
Se înlocuieşte în relaţia (5.113) viteza v a punctului B al
rigidului, cu expresia rvv Q ′×ω+= şi se obţine
.dm)r(rdmvr)rv(dmrK)M()M( )M(
QQQ ∫∫ ∫ ′×ω×′+×′=′×ω+×′= (5.114)
– 276 –
În baza observaţiei că Qv şi ω au aceleaşi valori pentru toate masele elementare „dm”, deci viteza Qv poate fi scoasă din integrală, precum şi în baza relaţiei de definiţie a mometului static
G
)M(
rMdmr ′=′∫ , prima integrală din (5.114) devine de forma
.vrMvdmrdmvr)M(
QGQ
)M(
Q∫ ∫ ×′=×⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛′=×′ (5.115)
Se notează cu rotQK a doua integrală din (5.114)
,dm)r(rK)M(
Qrot ∫ ′×ω×′= (5.116)
cu semnificaţia de moment cinetic corespunzător rotaţiei in-stantanee a rigidului în jurul polului Q
Se înlocuiesc relaţiile (5.115) şi (5.116) în (5.114) şi rezultă următoarea formă a momentului cinetic faţă de polul Q
.KvrMKrotQQGQ +×′= (5.117)
Pentru calculul momentului cinetic rotQK , se descompune în relaţia (5.116) dublul produs vectorial şi se obţine
,dm]r)r(r[K)M(
2Qrot ∫ ′ω⋅′−ω′= (5.118)
în care vectorul de poziţie r ′ al punctului B, în raport cu polul Q este
,kzjyixr ′′+′′+′′=′ (5.119) iar viteza unghiulară ω în mişcarea generală a rigidului, în reperul
)R( ′ legat de rigid, are expresia
.kji zyx ′ω′+′ω′+′ω′=ω (5.120)
– 277 –
Se efectuează calculele din expresia (5.118) şi rezultă următoarea formă a vectorului rotQK
.kdm)xy(dmzydmzx
jdmzydm)zx(dmyx
idmzxdmyxdm)zy(K
)M(
22z
)M( )M(
yx
)M(
z
)M( )M(
22yx
)M(
z
)M( )M(
y22
xQrot
′⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛′+′ω′+′′ω′−′′ω′−+
+′⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛′′ω′−′+′ω′+′′ω′−+
+′⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛′′ω′−′′ω′−′+′ω′=
∫∫ ∫
∫∫ ∫
∫∫ ∫
(5.121)
Integralele care apar, în relaţia (5.121) reprezintă chiar momentele de inerţie mecanice axiale şi centrifugale ale rigidului în raport cu reperul )R( ′ , momente definite prin relaţiile (5.39) şi (5.41). După cum s-a menţionat anterior, viteza unghiulară ω , precum şi componentele ei pe axe, respectiv zyx ,, ω′ω′ω′ , au aceleaşi valori pentru toate masele elementare „dm”, deci mărimile ,xω′ yω′ şi zω′ pot fi scoase în faţa integralelor. Ca urmare a acestor precizări, expresia (5.121) a momentului cinetic rotQK devine
.k]JJJ[j]JJJ[i]JJJ[K
zzzyzyxzx
zyzyyyxyx
zxzyxyxxxQrot
′ω′′+ω′′−ω′′−++′ω′′−ω′′+ω′′−++′ω′′−ω′′−ω′′=
(5.122)
Forme simplificate pentru expresia (5.122)
Dacă axele reperului )R( ′ coincid cu axele principale de inerţie relative la polul Q, atunci momentele de inerţie centrifugale devin egale cu zero
,0JJJ zxyzxy =′=′=′ (5.123)
– 278 –
iar momentele principale de inerţie, aşa cum s-a precizat în subparagraful 5.1.2.1, se notează cu un singur indice
.JJ,JJ,JJ zzzyyyxxx ′=′′=′′=′ (5.124)
În aceste condiţii, expresia (5.122) are forma particulară
.kJjJiJK zzyyxxQrot′ω′′+′ω′′+′ω′′= (5.125)
În cazul când axa de rotaţie este de direcţie fixă în spaţiu, fără a fi axă principală de inerţie şi este luată ca direcţie comună a axelor Oz respectiv zQ ′ , deci în condiţiile
,;0 zyx ϕ=ω=ω′=ω′=ω′ & (5.126)
vectorul rotQK are forma
.kJjJiJK zzyzxzQrot′ω′+′ω′−′ω′−= (5.127)
Dacă axa de rotaţie OzzQ ≡′ este şi axă principală de inerţie, atunci momentele de inerţie centrifugale devin egale cu zero
,0JJ yzxz =′=′ (5.128) expresia (5.127) capătând forma
.JkJkJK zzzzQrotω′=′ϕ′=′ω′= & (5.129)
Atunci când polul Q coincide cu centrul de masă al rigidului,
GQ ≡ , rezultă 0rG =′ şi relaţia (5.117) devine
,KKrotGG = (5.130)
care arată că momentul cinetic al rigidului în raport cu centrul său de masă G coincide chiar cu momentul cinetic corespunzător rotaţiei sale instantanee în jurul acestui centru.
– 279 –
b). Momentul cinetic în raport cu polul O În vederea stabilirii expresiei momentului cinetic al rigidului
faţă de polul fix O, notat OK , se aplică o formulă din teoria vectorilor alunecători, de modificare a momentului rezultant al unui sistem de vectori alunecători la trecerea de la un pol Q la un alt pol O [3, 7, 11]
,RrQQO ×+=MM (5.131)
cu OOQQ K,K,HR →→→ MM , rezultând următoarea formă pentru momentul cinetic în polul fix O
.HrKK QQO ×+= (5.132) Prin considerarea relaţiei (5.117), rezultă forma finală
.HrKvrMK QQQGO rot×++×′= (5.133)
Dacă polul GQ ≡ , atunci
,KKK;vMH;0r;rr GGQGGGQ rotrot====′= (5.134)
iar momentul cinetic în polul fix O, va avea expresia
,KvMrK GGGO +×= (5.135)
care reprezintă teorema lui Koenig relativă la momentul cinetic cu următoarea formulare:
„Momentul cinetic, în polul fix O, al unui rigid este egal cu momentul cinetic în acelaşi pol al centrului de masă al rigidului în care se consideră concentrată întreaga masă a rigidului adunat cu momentul cinetic corespunzător rotaţiei instantanee a rigidului în jurul centrului său de masă”.
Torsorul cinetic în polul Q
.KvrMK
)rv(MH}H{T
rotQQGQ
GQQ
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+×′=
′×ω+== (5.136)
– 280 –
Torsorul cinetic în polul O
.HrKK
)rv(MH}H{T
QQO
GQO
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
×+=
′×ω+== (5.137)
Dacă GQ ≡ , atunci 0rG =′ şi relaţiile (5.136) şi (5.137) au formele particulare
,KK
vMH}H{T
rotGQ
GG
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
== (5.138)
respectiv,
.vMrKHrKK
vMH}H{T
GGGGGO
GO
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
×+=×+=
== (5.139)
Unitatea de măsură a impulsului în S.I. este ( 1smkg −⋅⋅ ) iar unitatea de măsură a momentului cinetic în S.I. este ( 12 smkg −⋅⋅ ).
5.2.3. ENERGIA CINETICĂ A UNUI RIGID
Fie (S) un rigid în mişcare generală şi B un punct curent al său, sediul masei elementare „dm”, care se deplasează în raport cu reperul fix Oxyz)R( ≡ cu viteza rvv Q ′×ω+= , Fig. 5.22. Pentru fiecare masă elementară se defineşte mărimea elementară
,vdm21
dE 2c = (5.140)
numită energie cinetică a masei elementare „dm”, iar pentru rigidul (S), care ocupă un domeniu (M) în spaţiu, se defineşte mărimea
,vdm21
E)M(
2c ∫= (5.141)
care poartă numele de energie cinetică a rigidului în mişcare.
– 281 –
Se înlocuieşte în relaţia (5.141) expresia vitezei punctului B, rvv Q ′×ω+= şi ţinând seama că Qv şi ω pot fi scoşi în faţa integralelor, se obţine
.dm)r(21dmrvdmv
21
dm)r(21dm)r(vdmv
21
)rv(dm21E
)M(
2
)M( )M(
Q2Q
)M( M )M(
2Q
2Q
)M(
2Qc
∫∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
′×ω+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛′×ω⋅+=
=′×ω+′×ω⋅+=
=′×ω+=
(5.142)
Având în vedere semnificaţiile primelor două integrale din relaţia (5.142)
Mdm)M(
=∫ , G
)M(
rMdmr ′=′∫
şi notând ultimul termen din această relaţie cu
,dm)r(21
E)M(
2rotc ∫ ′×ω= (5.143)
numit energie cinetică de rotaţie a rigidului în jurul polului Q, rezultă forma finală a expresiei energiei cinetice a unui rigid
.E)r(vMvM21
Erotcc GQ
2Q +′×ω+= (5.144)
Pentru stabilirea expresiei energiei cinetice de rotaţie rotcE , se
foloseşte identitatea lui Lagrange
,r)r()r( 2222 ′ω=′⋅ω+′×ω (5.145) pe baza căreia, relaţia (5.143) se va putea scrie sub forma
– 282 –
.dm])r(r[21
E 2
)M(
22rotc ′⋅ω−′⋅ω= ∫ (5.146)
Vectorul de poziţie r ′ şi viteza unghiulară ω , în raport cu reperul mobil )R( ′ , au expresiile analitice
kzjyixr ′′+′′+′′=′ şi kji zyx ′ω′+′ω′+′ω′=ω , deci relaţia (5.146) devine
( )( ) ( ) ,dmzyxzyx21E
)M(
zyx2222
z2
y2
x2
rotc ⎮⌡⌠
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ω′′+ω′′+ω′′−′+′+′ω′+ω′+ω′=
(5.147)
care în urma efectuării calculelor capătă forma
.dmzx2dmzy2
dmyx2dm)yx(
dm)zx(dm)zy(21
E
)M(
zx
)M(
zy
)M( )M(
yx222
z
)M(
222y
)M(
222xrotc
⎥⎥
⎦
⎤′′ω′ω′−′′ω′ω′−
−′′ω′ω′−′+′ω′+
+′+′ω′⎢⎢
⎣
⎡+′+′ω′=
∫∫
∫ ∫
∫∫ (5.148)
Observând că integralele care apar în relaţia (5.148) repre-zintă momentele de inerţie mecanice axiale şi centrifugale ale rigidului în raport cu reperul zyxQ)R( ′′′≡′ , se poate scrie relaţia finală de calcul a energiei cinetice de rotaţie a rigidului
).J2J2J2JJJ(21
E zxxzzyyzyxxy2
zzz2
yyy2
xxxrotc ω′ω′′−ω′ω′′−ω′ω′′−ω′′+ω′′+ω′′=
(5.149)
– 283 –
Forme simplificate ale expresiei energiei cinetice de rotaţie
Când axele reperului )R( ′ invariabil legat de rigid coincid cu axele principale de inerţie relative la polul Q, sunt îndeplinite condiţiile
zzzyyyxxxxzyzxy JJ;JJ;JJ;0JJJ ′=′=′=′=′=′=′ (5.150)
şi relaţia (5.149) va avea forma particulară
).JJJ(21
E 2zz
2yy
2xxrotc ω′′+ω′′+ω′′= (5.151)
Dacă axa de rotaţie are direcţie fixă şi în rigid şi în spaţiu, şi este aleasă ca direcţie comună a axelor Oz şi zQ ′ , atunci
ϕ=ω′=ω′=ω′=ω′ &zyx ;0 (5.152) şi în acest caz relaţia (5.149) are forma
.J21
J21
E 2z
2zzrotc ϕ′=ω′= & (5.153)
În cazul în care polul GQ ≡ , rezultă
GQG vv;0r ==′ (5.154) şi relaţia (5.144) va avea forma
,EvM21
Erotcc
2G += (5.155)
care exprimă teorema lui Koenig relativă la energia cinetică în dinamica rigidului, cu următoarea formulare:
„Energia cinetică a unui rigid în mişcare este egală cu energia cinetică a centrului său de masă, în care se consideră concentrată întreaga masă a rigidului, adunată cu energia cinetică corespun-zătoare rotaţiei rigidului în jurul centrului său de masă”.
Unitatea de măsură a energiei cinetice a unui rigid în Sistemul Internaţional de unităţi (S.I) este joul-ul, el reprezentând energia
– 284 –
cinetică a unui rigid cu masa de 1 kg, în mişcare de translaţie efectuată cu viteza de 1m/s. În aplicaţiile tehnice se întâlnesc situaţii când, în cazul unui rigid în mişcare, termenul
rotcE datorat rotaţiei, din expresia (5.144) a energiei cinetice, poate fi neglijat în raport cu primul termen datorat translaţiei, adică se poate accepta aproximarea:
2GvM
21
Ec ≈ (5.156) Aşa după cum rezultă din expresia (5.149), pentru ca
0Erotc ≅ , ar trebui să fie îndeplinite condiţiile
0J,0J,0J zzyyxx ≅′≅′≅′ (5.157) şi
,0,0,0 zyx ≅ω′≅ω′≅ω′ (5.158) ceea ce implică faptul că rigidul ar trebui să aibă dimensiuni mici şi rotaţii proprii lente. În aceste condiţii, modelul de rigid poate fi aproximat cu modelul de punct material.
5.3. CARACTERISTICILE DINAMICE ALE UNUI RIGID Caracteristicile dinamice ale unui rigid sunt mărimi care caracterizează interacţiunile mecanice dintre rigidul căruia i se studiază mişcarea şi alte corpuri din mediul înconjurător. Aceste mărimi mecanice se încadrează în următoarele două categorii:
caracteristici dinamice scalare, reprezentate prin noţiunile de putere mecanică şi lucru mecanic al solicitărilor la care este supus un rigid;
caracteristici dinamice vectoriale, reprezentate prin torsorii
dinamici, sau torsorii solicitărilor aplicate rigidului.
– 285 –
5.3.1. PRINCIPIILE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII SISTEMELOR MATERIALE
Un sistem material, notat (s), este definit ca o mulţime de
elemente care se influenţează reciproc din punct de vedere mecanic, asupra cărora se exercită acţiuni mecanice exterioare şi care, la rândul lor, pot exercita acţiuni mecanice asupra altor sisteme mecanice. Orice parte a lui (s) este de asemenea sistem material.
Dacă, la un moment dat, un sistem material (s) umple complet un domeniu D al spaţiului euclidian tridimensional 3E , el este numit mediu continuu. Rigidul este un astfel de mediu continuu, care, prezintă în plus proprietatea că distanţa dintre două puncte arbitrare ale sale nu se modifică în timpul procesului mecanic examinat.
1. Principiul conservării masei „Masa unui sistem material este invariabilă pe toată durata
procesului mecanic”.
2. Principiul existenţei forţelor „Pentru orice mişcare a unui sistem material (s) există un
sistem de vectori localizaţi în puncte ale domeniului D ocupat de sistem, reprezentând măsuri ale interacţiunilor sistemului material cu alte sisteme materiale din mediul înconjurător, numit sistem de forţe”.
Consecinţe ale principiului existenţei forţelor a). Principiul existenţei forţelor postulează posibilitatea de
aplicare a teoriei vectorilor alunecători şi legaţi la reducerea siste-melor de forţe aplicate unui rigid, permiţând definirea torsorilor forţelor aplicate unui rigid (S), în polii Q şi O – originile reperelor
zyxQ)R( ′′′≡′ şi Oxyz)R( ≡ – de forma
{ } { },,F}F{T;,F}F{T OOQQ MM == (5.159)
unde F reprezintă rezultanta tuturor forţelor aplicate unui rigid, iar
– 286 –
QM şi OM sunt momentele rezultante ale forţelor în polii Q şi O.
Torsorii de forma (5.159) sunt numiţi torsorii solicitărilor aplicate rigidului, sau torsorii dinamici, întrucât componentelor torsorilor forţelor li se vor da denumirea de solicitări. b). Interacţiunile unui rigid cu alte corpuri din mediul înconjurător se manifestă sub două forme, cărora le corespund două categorii de distribuţii de forţe elementare de interacţiune:
- interacţiune la distanţă, căreia îi corespund distribuţii de forţe elementare repartizate pe întreaga masă a rigidului respectiv, numite distribuţii de forţe masice;
- interacţiune de contact, care se produce în cazul contac-tului direct al unui rigid cu alte corpuri din mediul înconjurător şi ele se realizează pe porţiuni de arii în contact; forţele elementare de interacţiune sunt repartizate pe porţiunile respective de suprafeţe în contact şi din acest motiv poartă numele de distribuţii superficiale.
c). Principiul existenţei forţelor permite să se facă următoarea clasificare a forţelor care pot acţiona asupra unui sistem material:
- forţe exterioare, exercitate asupra sistemului (s) de alte sisteme materiale din mediul înconjurător;
- forţe interioare, reprezentate prin forţele de interacţiune dintre orice subdomeniu al domeniului ocupat de un sistem material (s) şi restul domeniului; în cazul unui solid rigid există numai forţe exterioare.
3. Principiul forţelor interioare „Sistemul forţelor interioare corespunzătoare unui sistem
material (s), formează un sistem echivalent cu zero”. Cu ajutorul principiului forţelor interioare şi a principiului
existenţei forţelor se poate demonstra teorema acţiunii şi reacţiunii [11].
Considerând sistemul material ca fiind format din două rigide (S) şi )S( ∗ în interacţiune, pe baza concluziilor anterioare, se poate enunţa teorema acţiunii şi reacţiunii în dinamica rigidului:
„Torsorului, într-un pol oarecare, al acţiunilor exercitate de un
– 287 –
rigid (S) asupra unui alt rigid )S( ∗ din mediul înconjurător îi cores-punde un torsor în acelaşi pol, al reacţiunilor exercitate de rigidul
)S( ∗ asupra rigidului (S), cei doi torsori având componentele de mărimi egale şi de sensuri contrarii”.
Notând cu },F{ OM , componentele torsorului într-un pol O al
acţiunilor exercitate de rigidul (S) asupra rigidului )S( ∗ , şi cu },F{ O
∗∗ M , componentele torsorului în acelaşi pol O al reacţiunilor
exercitate de rigidul )S( ∗ asupra rigidului (S), Fig. 5.23, se pot scrie relaţiile
,0;0FF
,;FF
OO
OO
=+=+⇒
−=−=∗∗
∗∗
MM
MM (5.160)
respectiv,
}.F{T}F{T OO∗−= (5.161)
Fig. 5.23
OM
∗OM
– 288 –
Forţele de interacţiune din distribuţiile (Δ) şi (Δ*) sunt constituite în perechi de vectori, situaţi pe acelaşi suport, de mărimi egale şi de sensuri contrarii, dar aplicaţi unor domenii disjuncte.
4. Principiul acţiunii forţelor
„Există cel puţin un reper inerţial şi o manieră de a măsura timpul, numită cronologie absolută, astfel că pentru orice subsistem al unui sistem material (s), care ocupă un subdomeniu DD1 ⊂ al spaţiului sunt valabile condiţiile
,FFH)1D()1D(1 intext)D( +=& (5.162)
respectiv
,K)1D(int)1D(ext)1D( OOO MM +=& (5.163)
O fiind originea reperului inerţial”.
Aşa după cum rezultă din relaţiile (5.162) şi (5.163) există cel puţin un reper Oxyz)R( ≡ în care mişcarea se efectuează astfel încât derivata în raport cu timpul a torsorului cinetic în raport cu originea reperului este egală cu torsorul dinamic, în acelaşi pol, al tuturor acţiunilor (solicitărilor) exterioare exercitate asupra rigidului Consecinţe ale principiului acţiunii forţelor
a). În cazul în care se consideră un sistem material repre-zentat printr-un rigid, ce ocupă un domeniu D în spaţiu, în baza prin-cipiului forţelor interioare, relaţiile (5.162) şi (5.163) capătă forma
,FFH ext ==& (5.164)
respectiv
,K OextOO MM ==& (5.165) unde
– 289 –
H este impulsul rigidului;
FFext = este rezultanta tuturor forţelor exterioare;
OK este momentul cinetic al rigidului faţă de polul O;
OOextMM = este momentul rezultant în raport cu polul O, al
forţelor exterioare. După cum se observă din relaţiile (5.164) şi (5.165), acest principiu face legătura între caracteristicile cinetice ale rigidului şi caracteristicile dinamice ale lui. Relaţia (5.164) exprimă principiul impulsului în dinamica rigidului căruia i se poate da următoarea formulare: “Derivata în raport cu timpul a impulsului unui rigid în mişcare este egală cu rezultanta tuturor forţelor exterioare la care este supus rigidul”. Relaţia (5.165) exprimă principiul momentului cinetic în dinamica rigidului, cu formularea: “Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic, într-un pol fix O, al unui rigid în mişcare este egală cu momentul rezultant, în acelaşi pol fix, al forţelor exterioare la care este supus rigidul considerat”. Relaţiile (5.164) şi (5.165) reprezintă ecuaţiile vectoriale de mişcare ale rigidelor
.K
FH
OO ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
M&
& (5.166)
Aceste ecuaţii pot fi scrise şi în raport cu centrul de masă G al rigidului, ele rezultând de forma [1, 7, 11]
.K
FH
GG ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
M&
& (5.167)
Principiul acţiunii forţelor permite demonstrarea, în condiţii
determinate, a legii de conservare a torsorului impulsurilor, respectiv existenţa unor integrale ale torsorului impulsurilor. Dacă, într-un anumit interval de timp sunt satisfăcute condiţiile
,0;0FextOext =≡ M (5.168)
– 290 –
ecuaţiile (5.166) au formele
0H =& , ,0KO =& (5.169) care prin integrare conduc la relaţiile
oHH = , ,KK oOO = (5.170)
în care oH şi oOK reprezintă vectori constanţi de integrare care au
semnificaţia de valori iniţiale ale impulsului şi momentului cinetic. Prima relaţie din (5.170) exprimă legea de conservare a impulsului iar cea de-a doua exprimă legea de conservare a momentului cinetic calculat în raport cu polul O.
Ansamblul relaţiilor (5.170) exprimă legea de conservare a torsorului cinetic
„Dacă asupra unui rigid în mişcare acţionează un sistem de solicitări exterioare echivalent cu zero într-un anumit interval de timp, atunci torsorul impulsurilor într-un pol fix al rigidului se conservă pe toată durata acelui interval de timp”. Proiectând relaţiile (5.170) pe axele reperului fix Oxyz)R( ≡ , se obţin integralele impulsului, respectiv ale momentului cinetic în raport cu polul O. Legea de conservare a torsorului cinetic în G are forma
,KK;HH oGG
o == (5.171)
prima relaţie exprimând legea de conservare a impulsului, iar cea de-a doua ecuaţie legea de conservare a momentului cinetic calculat în raport cu centrul de masă G al rigidului. Proiecţiile primei relaţii din (5.171) pe axele reperului fix )R( , reprezintă integralele impulsului, iar proiecţiile celei de-a doua din relaţiile (5.171) pe axele reperului )R( ′ invariabil ataşat rigidului, reprezintă integralele momentului cinetic în centrul de masă. Principiul acţiunii forţelor permite să se demonstreze valabilitatea, în anumite condiţii, a legii generale a inerţiei în dinamica rigidului.
Dacă sunt îndeplinite condiţiile (5.168), atunci din prima relaţie din (5.170) scrisă sub forma o
G HvMH == , rezultă
– 291 –
,vMHv o
G
o
G == (5.172)
care exprimă legea inerţiei la translaţie în dinamica rigidului, lege care confirmă existenţa fie a unei mişcări rectilinii şi uniforme a centrului de masă al rigidului, fie a stării lui de repaus, după cum, în momentul în care devin valabile condiţiile (5.168), viteza centrului de masă este diferită de zero sau egală cu zero. De asemenea, fiind îndeplinite condiţiile (5.168), din a doua relaţie din (5.171), scrisă sub forma o
GG KJK =ω= , corespunzătoare cazului când rigidul prezintă simetrie materială sferică, rezultă
,J
K0
oG ω==ω (5.173)
care exprimă legea inerţiei la rotaţie în dinamica rigidului. Relaţia (5.173) atestă caracterul de rotaţie uniformă a rigidului în jurul unei axe de direcţie fixă în spaţiu care este direcţia vectorului
oGK în cazul când 00 ≠ω şi absenţa oricărei rotaţii a rigidului în cazul
când 00 =ω . Pe baza relaţiilor (5.172) şi (5.173) se poate formula legea generală a inerţiei în dinamica rigidului:
Dacă asupra unui rigid care prezintă simetrie materială sferică )JJJJ( zyx =′=′=′ acţionează un sistem de solicitări exterioare reduc-
tibil la un sistem echivalent cu zero într-un anumit interval de timp, atunci în tot acel interval de timp, rigidul are, în funcţie de valorile iniţiale o
Gv şi 0ω , una din următoarele stări inerţiale:
- stare de repaus, când ;0;0v 0oG =ω=
- mişcare de translaţie inerţială, când ;0;0v 0oG =ω≠
- mişcare de rotaţie inerţială, când ;0;0v 0oG ≠ω=
- roto-translaţie inerţială, când .0;0v 0oG ≠ω≠
– 292 –
5.3.2. CARACTERISTICI DINAMICE SCALARE
Aceste mărimi sunt reprezentate prin puterea mecanică şi
lucrul mecanic al solicitărilor la care este supus un rigid 5.3.2.1. Puterea mecanică
Fie (S) un rigid în mişcare generală în raport cu reperul fix (R),
efectuată cu parametrii cinematici de ordinul I, Qv şi ω şi un punct curent )r(B ′ al acestui rigid, sediul masei elementare dm, care se deplasează cu viteza rvv Q ′×ω+= , Fig. 5.24.
În cazul distribuţiilor continue de forţe într-un subdomeniu (D) al domeniului ocupat de rigidul (S), în fiecare punct B( 'r ) al acestui subdomeniu acţionează o forţă elementară d F , iar măsura efectului acţiunii acestei forţe elementare exercitate asupra punctului B( 'r ) o poate constitui produsul scalar vFd ⋅ , numit putere mecanică a forţei elementare d F .
Mărimea definită prin relaţia
∫ ⋅=)D(
vFdP , (5.174)
reprezintă puterea mecanică a distribuţiei de forţe considerate, care poate fi o distribuţie de forţe masice, Fig. 5.24a, sau o distribuţie de forţe superficiale pe o arie )( sΣ a subdomeniului (D), Fig. 5.24b. Sistemul forţelor elementare Fd , care acţionează în punctele rigidului, se reduce în polul Q, originea reperului mobil, la un torsor care va avea componentele
.Fdr
FdF
}F{T
)D(
Q
)D(Q
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
×′=
=
=
∫
∫M
(5.175)
– 293 –
Fig. 5.24a
Fig. 5.24b
)S(
z
x
y
)R(
QM
Qr
O
B
y
G
x
sQM
Qr
O
)R( z
)S(
B
sF
– 294 –
Pentru a obţine formula de calcul a puterii, se înlocuieşte în relaţia (5.174) expresia vitezei punctului B, rvv Q ′×ω+= , şi rezultă relaţia
.)r(FdvFd)rv(FdP)D()D( )D(
QQ ∫∫ ∫ ′×ω⋅+⋅=′×ω+⋅= (5.176)
Ţinând seama de semnificaţiile integralelor
∫ ∫ ∫
∫ ∫⋅ω=×′ω=×′⋅ω=′×ω⋅
⋅=⋅=⋅
)D( )D(
Q
)D(
)D( )D(
QQQ
,Fdr)Fdr()r(Fd
;FvFdvvFd
M (5.177)
se obţine expresia finală de calcul a puterii mecanice
.vFP QQ ω⋅+⋅= M (5.178) În dinamica rigidului se va lua în considerare numai puterea mecanică a solicitărilor exterioare
.vFvFPP QQQQextext extω⋅+⋅=ω⋅+⋅== MM (5.179)
Unitatea de măsură în S.I. a puterii mecanice este watt-ul,
]W[ , definit ca fiind puterea mecanică dezvoltată de o forţă de 1N, atunci când rigidul asupra căruia acţionează, efectuează o mişcare de translaţie cu viteza de translaţie orientată în lungul forţei şi având mărimea de 1m/s. Dacă polul Q coincide cu centrul de masă G al rigidului, atunci puterea mecanică va avea expresia
.vFP GG ω⋅+⋅= M (5.180) Puterea mecanică a tuturor distribuţiilor de forţe de interacţiune exterioare (masice şi superficiale) va avea expresia
– 295 –
[ ] . )F()F(v)FF(
PPPP
sQmQQsm
smext
ω⋅++⋅+=
=+==
MM (5.181)
5.3.2.2. Lucrul mecanic Se consideră un rigid (S) în mişcare, asupra căruia acţionează o distribuţie de forţe de interacţiune reductibilă în polul Q la un torsor de forma (5.175), având componentele F şi QM . Mărimea definită prin relaţia
,dtPdL = (5.182)
unde P este puterea mecanică a distribuţiei de forţe, se numeşte lucrul mecanic elementar al distribuţiei de forţe considerate. Expresia lucrului mecanic elementar al solicitărilor exterioare aplicate unui rigid are forma
.dt)vF(dL extQQext ω⋅+⋅= M (5.183) Având în vedere că
,dtd;
dtrd
v QQ
Θ=ω= (5.184)
expresia lucrului mecanic elementar se va putea scrie şi sub forma
.drdFdLdLextQQextext Θ⋅+⋅== M (5.185)
Lucrul mecanic este o mărime scalară, care poate fi pozitivă, negativă sau egală cu zero, după cum componentele torsorului forţelor în polul Q formează cu parametrii cinematici de ordinul întâi
Qv şi ω , unghiuri ascuţite, obtuze sau drepte. În primul caz, lucrul mecanic elementar este numit lucru mecanic motor şi solicitările exterioare care îl produc se numesc solicitări motoare, iar în al doilea caz, lucrul mecanic este numit lucru mecanic rezistent şi solicitările care îl produc se numesc solicitări rezistente.
– 296 –
Pentru a obţine lucrul mecanic total efectuat de distribuţia de forţe într-un interval de timp ]t,t[ 0 , se va integra pe acest interval lucrul mecanic elementar, dat prin relaţia (5.183), rezultând
.dt)vF(dLLt
t
QQext
t
t 0
ext
0
∫∫ ω⋅+⋅== M (5.186)
Unitatea de măsură a lucrului mecanic în S.I este joul-ul ]J[ , care reprezintă lucrul mecanic efectuat în timp de o secundă de un sistem de solicitări cu puterea de 1 watt.
5.3.3. TEOREME FUNDAMENTALE ÎN DINAMICA RIGIDULUI
I. Teorema momentului cinetic faţă de polul mobil Q Pentru a stabili expresia matematică care exprimă această teoremă, se porneşte de la principiul momentului cinetic
OextOOK MM ==& ,
care, în baza relaţiei (5.133), adică HrKvrMK QrotQQGO ×++×′= , devine de forma
.)HrKvrM(dtd
OQQQG rotM=×++×′ (5.187)
Se efectuează derivata în raport cu timpul a membrului stâng din relaţia precedentă şi se obţine expresia
,HrHvKarMv)r(M
HrHrKvrMvrM
)HrKvrM(dtd
QQQQGQG
QQQQGQG
QQQG
rot
rot
rot
&&
&&&&&
×+×++×′+×′×ω=
=×+×++×′+×′=
=×++×′
(5.188)
– 297 –
care se înlocuieşte în relaţia (5.187)
.HrHvKarMv)r(M OQQQQGQG rotM=×+×++×′+×′×ω && (5.189)
În conformitate cu relaţia cunoscută din teoria vectorilor
alunecători FrQQO ×+=MM , [3, 7, 11], precum şi în baza relaţiilor
)rv(MH GQ ′×ω+= şi FFH ext ==& , expresia (5.189) capătă forma finală
,KarMextrot QQQG M=+×′ & (5.190)
care reprezintă teorema momentului cinetic faţă de polul mobil Q.
II. Forme ale teoremei energiei
a). Teorema energiei sub formă generală Fie (S), un rigid în mişcare generală şi )r(B ′ un punct curent al
său, care se deplasează cu viteza v , exprimată prin relaţia rvv Q ′×ω+= , Fig. 5.25.
Pentru obţinerea relaţiei matematice care exprimă această teoremă, se pleacă de la expresia energiei cinetice a rigidului
,vdm21E
)M(
2c ∫=
care se derivează în raport cu timpul, obţinându-se
∫ ⋅=)M(
.dmavEc& (5.191)
Introducând în relaţia (5.191) expresia rvv Q ′×ω+= , rezultă
.dma)r(dmavdma)rv(E)M( )M(
Q
)M(
Qc ∫ ∫∫ ′×ω+⋅=′×ω+=& (5.192)
– 298 –
Fig.5.25
Din Fig. 5.25, rezultă relaţia vectorială
,rrr Q ′+= (5.193)
pe baza căreia, ţinând seama şi de principiul acţiunii forţelor, se pot scrie semnificaţiile integralelor care apar în relaţia (5.192)
,FvHvdtHdv
dmvdtdvdm
dtvdvdmav
QQQ
)M( )M(
Q
)M(
⋅=⋅=⋅=
=⋅=⋅=⋅ ∫ ∫∫
&
(5.194)
respectiv,
z
z′
r
)R( ′
)S(
y
x
)R(
O
Qv
B
Qr Q
x′
y′
r ′ω
v
dm
– 299 –
.)Fr()HrK(
dtHd
rdtKd
dmvdtd
rdmvrdtd
dmdtvd
rdmdtvd
r)dmar()dmar(
dm]a)rr[(dm)ar(dma)r(
QextQOQO
QO
(M)
Q
(M)
)M( )M(
Q
(M)
Q
(M)
)M( )M(
Q
)M(
MM ⋅ω=×−ω=×−ω=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×−ω=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡×−×ω=
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡×−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×ω=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡×−×ω=
=×−ω=×′ω=′×ω
∫∫
∫ ∫∫∫
∫ ∫∫
&&
(5.195)
Observaţie
Deoarece operaţiile de derivare în raport cu timpul şi de integrare pe domeniul )M( , sunt independente între ele, în relaţiile anterioare s-a inversat ordinea lor. Înlocuind relaţiile (5.194) şi (5.195) în expresia (5.192), rezultă teorema energiei sub formă generală
,vFE QQextc ω⋅+⋅= M& (5.196) care în baza relaţiei (5.179), se poate scrie sub formă finală
.PPE extc ==& (5.197)
Enunţ: Derivata în raport cu timpul a energiei cinetice a unui rigid în mişcare este egală cu puterea mecanică a solicitărilor exterioare la care este supus rigidul. b). Teorema energiei sub formă diferenţială Se scrie relaţia (5.197) sub forma
,PPdt
dEext
c ==
de unde rezultă
– 300 –
.dLdLPdtdtPdE extextc ==== (5.198)
Enunţ: Diferenţiala energiei cinetice a unui rigid în mişcare
este egală cu lucrul mecanic elementar al tuturor solicitărilor exterioare la care este supus rigidul.
c). Teorema variaţiei finite a energiei cinetice
Pentru a obţine relaţia care exprimă această teoremă se va integra relaţia (5.198) în intervalul de timp ]t,t[ o , momentului iniţial ot corespunzându-i energia cinetică o
cE , iar momentului final t corespunzându-i valoarea cE
∫∫ =t
t
ext
c
cE 0
E
o
dLdEc (5.199)
şi va rezulta relaţia care exprimă această teoremă
.LLEE extocc ==− (5.200)
Enunţ: Variaţia, într-un interval de timp ]t,t[ 0 , a energiei cinetice a unui rigid în mişcare, este egală cu lucrul mecanic total efectuat în acel interval de timp de solicitările exterioare aplicate rigidului. Legea de conservare a energiei
Forma diferenţială (5.198) a teoremei energiei permite să se stabilească legea de conservare a energiei.
În general, mărimea dL definită prin relaţia (5.182), nu repre-zintă diferenţiala totală a unei funcţii L. Există însă anumite excepţii, când expresia lucrului mecanic elementar al unei distribuţii de forţe exterioare se prezintă sub forma unei diferenţiale totale a unei funcţii U, numită funcţie de forţă, care este o funcţie de parametrii de poziţie GG y,x şi Gz ai rigidului.
– 301 –
În acest caz, solicitările exterioare se numesc conservative,
sau solicitări care derivă din funcţia de forţă U şi în baza relaţiei (5.182), adică dtPdL = , se va putea scrie
.dUdzzUdy
yUdx
xU
dtPdLdLdL
GG
GG
GG
extextext cc
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=
==== (5.201)
Dacă se consideră că asupra rigidului acţionează numai solicitări exterioare conservative, relaţia (5.198) ia forma
.dUdLdEc == (5.202)
Prin integrarea relaţiei (5.202), se obţine
,hUEc += (5.203)
h fiind o constantă de integrare numită constanta energiei
,UEh 00c −= (5.204)
iar mărimile ocE şi oU fiind valorile iniţiale ale energiei cinetice şi
funcţiei de forţă. Înlocuind în relaţia (5.204) funcţia de forţă U cu funcţia
potenţială
,UV −= (5.205) se obţine
.consthVEc ==+ (5.206)
În cazul când valoarea iniţială a funcţiei potenţiale este egală cu zero, 0Vo = , rezultă că funcţia potenţială, numită acum potenţial, va coincide chiar cu energia potenţială
pEV = (5.207) şi, în aceste condiţii, relaţia (5.206) capătă forma
– 302 –
.consthEE pc ==+ (5.208)
Ţinând seama de faptul că suma
,EEE mpc =+ (5.209) este energia mecanică, legea de conservare a acesteia va fi
.consthEm == (5.210) Enunţ: Dacă asupra unui rigid acţionează într-un anumit
interval de timp numai un sistem de solicitări exterioare conservative, atunci energia mecanică a rigidului se conservă pe toată durata acestui interval.
5.3.4. CARACTERISTICI DINAMICE VECTORIALE
Caracteristicile dinamice vectoriale sunt reprezentate prin torsorii dinamici, sau torsorii solicitărilor aplicate rigidului.
Torsorii dinamici ai distribuţiilor de forţe exercitate asupra unui rigid
Interacţiunea unui rigid (S) cu un alt corp )S( ∗ din mediul înconjurător, (Fig. 5.26), se manifestă prin exercitarea asupra celor două corpuri a două distribuţii distincte de forţe de interacţiune, reprezentând măsurile acestor interacţiuni şi anume:
- o distribuţie de forţe de acţiune, (Δ), exercitată de rigidul (S) căruia i se studiază mişcarea, asupra corpului (S*) din mediul înconjurător cu care se găseşte în interacţiune;
- o distribuţie de forţe de reacţiune, (Δ*), exercitată de corpul (S*) asupra rigidului (S), cu care interacţionează şi căruia i se studiază mişcarea.
– 303 –
În practica inginerească curentă, aceste distribuţii de forţe de
interacţiune se prezintă sub una din următoarele două forme: ca distribuţii de forţe masice, corespunzătoare inte-
racţiunilor la distanţă între corpuri, reprezentând repartiţii continue de forţe pe întreg volumul corpului, astfel că fiecărui volum ΔV, cu centrul într-un punct curent B( 'r ), îi corespunde forţa elementară masică mFΔ , (Fig. 5.26), în această situaţie, se introduce noţiunea de forţă masică specifică, definită prin relaţia
,dVFd
VFlim)'r(ff mm
0Vmm =ΔΔ
==→Δ
(5.211) fapt care permite exprimarea forţei elementare masice sub forma
dVfFd mm = ; (5.212)
Fig. 5.26
mQM
B
z z′
mFΔ
)( ∗Δ )(Δ
– 304 –
ca distribuţii de forţe superficiale, corespunzătoare inte-
racţiunilor de contact şi reprezentând forţe continuu repartizate, numai pe porţiuni finite (Σs) ale suprafeţei )(Σ a rigidului (S), (Fig. 5.27). În această situaţie, fiecărei arii ΔA a porţiunii (Σs) de suprafaţă de contact, cu centrul în punctul curent B( 'r ), îi revine forţa elementară superficială sFΔ , putându-se defini acum forţa specifică superficială sf , funcţie de punct cu valori diferite de zero numai pentru punctele ariei )( sΣ , în baza relaţiei
Fig. 5.27
dAFd
AFlim)'r(ff ss
0Ass =ΔΔ
==→Δ
(5.213)
şi deci forţa elementară superficială în punctul B( 'r )
dAfFd ss = . (5.214)
B
)( sΣ
sCM
z
y
– 305 –
Orice distribuţie de forţe de interacţiune (masice sau superficiale, exterioare sau interioare) se poate reduce, fie într-un punct oarecare al rigidului (acesta fiind, de regulă, originea Q a reperului (R') invariabil ataşat rigidului sau centrul de masă al acestuia), fie în originea O a reperului fix (R), la un torsor numit torsorul dinamic al distribuţiei considerate de forţe, cu compo-nentele acestuia, forţa rezultantă şi momentul rezultant în polul considerat. Torsorul dinamic al unei distribuţii de forţe masice, (Fig. 5.26), în polul Q
.dVf x'r
dVfF
)F(T
)V(
mQ
)V(
mm
mQ
m ⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
∫
∫M
(5.215)
Torsorul dinamic al unei distribuţii de forţe masice, (Fig. 5.26),
în polul O
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
∫
∫
)V(
mO
)V(
mm
mOdVf xr
dVfF
)F(Tm
M. (5.216)
Între momentele rezultante din cei doi poli consideraţi există
relaţia de legătură cunoscută din teoria vectorilor alunecători [3, 7, 9]
mQQOm F x rm+=MM (5.217)
În aplicaţiile practice concrete, distribuţiile de forţe masice exercitate asupra unui rigid (S) sunt reductibile, de regulă, la o forţă unică mF , acţionând în centrul de masă G al rigidului.
– 306 –
Trecând la stabilirea formelor torsorilor în polii Q şi O ai unei
distribuţii de forţe superficiale exercitate asupra porţiunii )( sΣ a ariei (Σ) a rigidului (S), Fig. 5.27, se face menţiunea că, în mod obişnuit, reducerea distribuţiei de forţe superficiale se face mai întâi în punctul teoretic de contact C al ariei )( sΣ , adică în punctul din interiorul ariei în care s-ar realiza contactul cu corpul (S*) în ipoteza că suprafeţele de contact ale celor două corpuri ar fi perfect nedeformabile, acest lucru fiind justificat de următoarele argumente:
- dacă se cunoaşte funcţia de punct )'r(fs , atunci atât poziţia punctului C, cât şi componentele torsorului dinamic, pot fi mult mai uşor calculate în raport cu un reper auxiliar ataşat ariei )( sΣ ;
- în cazul în care este greu de stabilit funcţia )'r(fs , caz cel mai frecvent întâlnit în aplicaţiile practice concrete, atunci determinarea poziţiei punctului C şi a componentelor torsorului dinamic în acest punct al distribuţiei considerate de forţe, se face pe baza unor studii experimentale efectuate direct în zona de contact.
Torsorul dinamic ai distribuţiei de forţe superficiale în punctul
C (cu CBrCB =′ )
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
∫∫
)A(
s'CBC
)A(
ss
sCdAf xr
dAfF
)F(Ts
M. (5.218)
Torsorul dinamic ai distribuţiei de forţe superficiale în polul Q
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
==
∫s
'CCQ
)A(
ss
sQ
Fxr
dAfF)F(T
ssMM
. (5.219)
– 307 –
Torsorul dinamic ai distribuţiei de forţe superficiale în polul O
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
×+=
== ∫
sQQO
)A(
ss
sO
Fr
dAfF)F(T
ssMM
. (5.220)
În foarte multe cazuri întâlnite în aplicaţiile practice concrete, componenta sCM a torsorului dinamic al unei distribuţii de forţe superficiale are valori foarte mici în comparaţie cu valorile altor momente, astfel încât ea poate fi neglijată în calculele dinamice. În astfel de situaţii se spune că asupra rigidului acţionează în punctul C forţa concentrată sF şi torsorii (5.218), (5.219) şi (5.220), iau formele aproximative de mai jos
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧′=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
sC
ssO
sC
ssQssC F x r
F)F(T ;F x rF)F(T ;0
F)F(T , (5.221)
evidenţiind valabilitatea teoremei lui Varignon. Considerând că asupra modelului mecanic de rigid acţionează atât forţa masică mF , aplicată centrului de masă G, cât şi un număr de (n) distribuţii de forţe superficiale repartizate pe porţiunile ),n,....,2,1h(),( h =Σ ale suprafeţei corpului, cu punctele teoretice de contact )r(C
hCh , se va putea introduce torsorul dinamic al tuturor acţiunilor lor exterioare exercitate asupra solidului respectiv având forma
[ ] ⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
++=
+==
∑∑
=
=n
1hs
'Csmext
n
1hsmext
extQ
F x r
FFF)F(T
hhhCQQ
h
MMM, (5.222)
în polul Q şi forma
– 308 –
[ ]⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
++=
+==
∑∑
=
=n
1hsCCsmext
n
1hsmext
extO
F x r
FFF)F(T
hhhOO
h
MMM, (5.223)
în polul O, cu simplificările corespunzătoare pentru cazul rigidului acţionat de „forţe concentrate” şi pentru cazul modelului mecanic punctual. În cadrul acestui subparagraf se vor prezenta principalele solicitări (forţe şi momente) care pot acţiona asupra unui corp modelat ca rigid, clasificate după aceleaşi criterii ca în cazul clasificării forţelor ce acţionează asupra unui corp asimilat cu un punct material. Schema de mai jos conţine clasificarea efectuată după criteriile menţionate în Capitolul 4 al lucrării, a principalelor solicitări întâlnite în dinamica rigidului.
Solicitări
de inerţie
efectiv aplicate
interioare
exterioare
active
pasive
de interacţiune directă
de legătură activă
de rezistenţă
de legătură pasivă
– 309 –
5.3.4.1. Solicitări de inerţie
Se consideră un rigid (S) în mişcarea generală, Fig. 5.28 şi un punct curent )r(B ′ al său, sediul masei elementare „dm”. Fiecărei mase elementare „dm” i se asociază vectorul elementar
,admFd in −= (5.224) numit forţă elementară de inerţie.
Fig. 5.28
Distribuţia forţelor elementare de inerţie se reduce în polul Q la un torsor al solicitărilor de inerţie de forma
,admrFdrM
admFdF
}F{T
)M()M(
ininQ
)M()M(
inin
inQ
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
×′−=×′=
−==
=
∫∫
∫∫ (5.225)
unde
y′
)S(
a inFd
inQM
)dm(B
r ′
z′
x′
)R( ′
Q
– 310 –
inF reprezintă forţa rezultantă de inerţie; inQM reprezintă momentul rezultant în polul Q al forţelor de inerţie;
a este acceleraţia cu care se deplasează punctul )r(B ′
).rv(dtd
dtvda Q ′×ω+== (5.226)
Expresia forţei de inerţie se stabileşte pornind de la prima
relaţie din (5.225), care se poate scrie sub forma
∫∫∫ −=−=−=)M()M()M(
in .vdmdtd
dtvddmadmF (5.227)
Ţinând seama de relaţia de definiţie a impulsului, expresia (5.227) a forţei de inerţie rezultante capătă următoarea formă finală
.aMHdtHd)H(
dtdF G
in −=−=−=−= & (5.228)
Expresia momentului rezultant în polul Q al forţelor de inerţie, se obţine plecând de la cea de-a doua relaţie din (5.225), în care acceleraţia a se înlocuieşte cu expresia (5.226), rezultând
.dm)r(rdtdadmr
dm)r(dtdrdmar
dm)r(dtdr
dtvd
r
dm)rv(dtdradmrM
)M(
Q
)M(
)M()M(
Q
)M(
Q
Q
)M()M(
inQ
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡′×ω×′−×′−=
=′×ω×′−⋅×′−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′×ω×′+×′−=
=′×ω+×′−=×′=
∫∫
∫∫
∫
∫∫
(5.229)
– 311 –
Ţinând seama de semnificaţiile integralelor
∫∫ =′×ω×′′=′)M(
Q
)M(
G ,Kdm)r(r;rMdmrrot
(5.230)
se obţine expresia finală a momentului rezultant în polul Q al forţelor de inerţie
.KarMMrotQQG
inQ
&−×′−= (5.231) Pe baza relaţiilor (5.228) şi (5.231) torsorul solicitărilor de inerţie va avea forma
.KarMM
HF}F{T
rotQQGinQ
inin
Q⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−×′−=
−==
&
&
(5.232)
În cazul particular, când polul Q coincide cu centrul de masă G al rigidului, torsorul solicitărilor de inerţie are forma
.KM
aMF}F{T
GinG
Gin
inG
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−==
& (5.233)
Dacă, rigidul (S) execută o mişcare particulară, cu axa Gz' de
direcţie fixă, atunci relaţiile (5.233) iau formele
,JJM
aMF}F{T
zzinG
Gin
inG
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
ε−=ω′−=
−==
& (5.234)
Ga şi ε , fiind parametrii cinematici de ordinul II ai rigidului, iar J, momentul de inerţie mecanic al rigidului faţă de axa de rotaţie Gz'.
– 312 –
5.3.4.2. Solicitări active
Solicitările active, se caracterizează prin următoarele: – existenţa lor este independentă atât de starea de mişcare a
rigidului asupra căruia acţionează cât şi de preexistenţa altor distri-buţii de forţe aplicată acelui rigid;
– solicitările exterioare active pot efectua lucru mecanic pozi-tiv, negativ sau egal cu zero după cum, unghiul format de forţa exte-rioară activă cu viteza de translaţie şi unghiul format de momentul forţei exterioare active cu viteza unghiulară este ascuţit, obtuz sau drept. În aplicaţiile tehnice, tipurile cele mai des întâlnite de astfel de forţe sunt greutăţile şi forţele elastice.
.o1 Greutatea corpurilor
Atracţia exercitată de Pământ asupra oricărui corp, aflat la suprafaţa sau în vecinătatea solului terestru, se manifestă sub forma unei distribuţii de forţe exterioare masice care acţionează asupra corpului considerat, numită forţă gravitaţională terestră, orientată spre centrul Pământului, distribuţie care este reductibilă la o forţă unică aplicată în centrul de masă al corpului, cu suportul trecând prin centrul Pământului. Peste această distribuţie de forţe masice se suprapune o a doua distribuţie masică de forţe, datorată mişcării de rotaţie a Pământului, numită forţă de inerţie centrifugă. Pentru observatorii care studiază comportamentul dinamic al unui rigid la suprafaţa Pământului, aceste forţe de inerţie centrifuge se comportă ca o distribuţie de forţe efectiv aplicată corpului considerat.
Ansamblul acestor două distribuţii de forţe masice este reductibil la o forţă rezultantă unică, numită greutatea corpului care este aplicată în centrul de masă al corpului, fapt care justifică şi denumirea lui de centrul de greutate, dar cu suportul ei uşor deviat de la direcţia centrului Pământului, determinând verticala locului.
Greutatea corpului, notată cu simbolul P , satisface ecuaţia fundamentală extG FaM = a dinamicii rigidului, putându-se scrie
g MP = , (5.235)
– 313 –
unde g (cu g= 2m/s 8,9g ≈ ) este acceleraţia imprimată de greutate, numită acceleraţia greutăţii.
Datorită faptului că principala componentă a acceleraţiei greutăţii se datorează atracţiei exercitate de Pământ asupra corpului considerat, acceleraţia g este numită uneori şi acceleraţia gravita-ţională.
În foarte multe situaţii, suportul greutăţii este ales ca direcţie a uneia din axele reperului fix – de regulă, ca direcţia axei Oz - iar centrul de masă al rigidului este ales ca origine a reperului (R') invariabil ataşat rigidului (Fig. 5.29).
Fig. 5.29
În aceste cazuri, torsorul dinamic al greutăţii are forma
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
−== .
0)P(MKMgP
)P(TG
G (5.236)
Lucrul mecanic elementar al greutăţii are expresia
(III)
z
y
P
– 314 –
,U d)Cz Mg(dz d Mgr dPdL gGGGP =+−=−== (5.237)
care evidenţiază caracterul conservativ al greutăţii, cu funcţia de forţă de forma
,Cz MgU Gg +−= (5.238) C fiind o constantă de integrare.
Examinând Fig. 5.29, se constată că în poziţia I a rigidului lucrul mecanic este rezistent, în poziţia II lucrul mecanic este egal cu zero şi în poziţia III lucrul mecanic este motor.
.o2 Solicitări elastice
Distribuţiile de forţe elastice sunt dezvoltate prin deformarea elastică a unor elemente de legătură activă. Se numeşte legătură activă a unui rigid (S) cu un alt rigid )S( ∗ din mediul înconjurător, forma de interacţiune dintre ele realizată printr-un element elastic cu caracteristici inerţiale neglijabile, cum ar fi:
- arc elicoidal, deformat prin întindere sau comprimare (Fig. 5.30a); - bară elastică, deformată prin încovoiere plană; - arc spiral, deformat prin răsucire (Fig. 5.30b); - tijă elastică, deformată prin torsionare.
În cazul modelului mecanic din Fig. 5.30a, prin deplasarea rigidului din poziţia de echilibru static (S)st în poziţia (S), arcul elicoidal capătă deformare elastică dinamică liniară
,xxOAOAfstGGst −=−= (5.239)
căreia îi corespund două distribuţii de forţe elastice, una exercitată asupra corpului (S*) şi o a doua asupra rigidului (S). Fiecare distribuţie este reductibilă la câte o forţă unică, numită forţă elastică dinamică.
Cercetările experimentale au stabilit următoarea expresie a acestei forţe
– 315 –
,i)xx(kF stGGeed −−= (5.240)
ke fiind o constantă de proporţionalitate, numită constantă elastică a arcului, care depinde de datele constructive ale elementului elastic.
a.
b.
Fig. 5.30
Dacă extremitatea E a arcului este fixă, atunci modelul elastic considerat se spune că este neperturbat.
În cazul când, în poziţia de echilibru a rigidului, arcul are şi o deformare statică, ei îi va corespunde forţa elastică statică
.iFFstst ee =
Forţa elastică totală exercitată asupra rigidului (S) va avea expresia
.i ]F)xx(k[FFFststst eGGeeede +−−=+= (5.241)
Forţa elastică este o forţă conservativă. Într-adevăr, plecând
QO
eM
– 316 –
de la formula de calcul al lucrului mecanic elementar
GeGee x dFr dFdL == , (5.242) va rezulta expresia
eGGe2
GGee dUC)xx(F)xx(k21 ddL
ststst=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−+−−= , (5.243)
care evidenţiază existenţa funcţiei de forţă elastică definită prin relaţia
.C)xx(F)xx(k21U
ststst GGe2
GGee +−+−−= (5.244)
În cazul modelului mecanic din Fig. 5.30b, la deplasarea rigidului din poziţia de echilibru static (S)st în poziţia (S), arcul spiral (As) capătă deformarea elastică unghiulară
,stϕ−ϕ=δ (5.245) căreia îi corespund două distribuţii de forţe elastice, una aplicată rigidului (S), cealaltă corpului (S*) cu care este cuplat elastic rigidul (S). Fiecare distribuţie de forţe este reductibilă la câte un cuplu, cu moment orientat în lungul axei de rotaţie a rigidului (S), numit moment elastic. Cercetările experimentale au condus şi aici la concluzia că acest moment elastic care acţionează asupra rigidului (S) este determinat prin relaţia
,'k ]M)(k['kMMstesttee +ϕ−ϕ−== (5.246)
unde tk este o constantă fizică, ce depinde de datele constructive ale arcului spiral, numită constantă de torsiune; steM este momentul elastic static corespunzător unei eventuale deformări unghiulare a arcului spiral în poziţia de echilibru static al rigidului (S).
Calculând lucrul mecanic elementar al momentului elastic (5.246) în baza relaţiei
– 317 –
, dMdML d eee ϕ⋅=Θ⋅= (5.247)
adică
este2
stte U dC)(M)(k21 dL d st =+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ϕ−ϕ+ϕ−ϕ−= , (5.248)
va rezulta funcţia de forţă elastică
,C)(M)(k21U ste
2stte st
+ϕ−ϕ+ϕ−ϕ−= (5.249) ceea ce înseamnă că momentul elastic este conservativ. 5.3.4.3. Solicitări pasive În această clasă de solicitări sunt incluse toate distribuţiile de forţe caracterizate prin următoarele:
– existenţa lor este condiţionată fie de starea de mişcare a rigidului, fie de preexistenţa altor distribuţii de forţe aplicate rigidului;
– solicitările exterioare pasive pot produce numai lucru mecanic rezistent sau egal cu zero, deoarece aceste solicitări formează cu parametrii cinematici de ordinul întâi, Qv şi ω unghiuri obtuze sau drepte. Din această categorie de solicitări pasive fac parte rezisten-ţele mediului, rezistenţele de amortizare şi reacţiunile legăturilor pasive aplicate rigidului.
.o1 Rezistenţele mediului
În timpul mişcării unui rigid într-un mediu fluid, asupra unei porţiuni determinate a suprafeţei lui, numită arie de atac, se exercită o distribuţie de forţe de interacţiune cu mediul respectiv. Conform concluziilor studiilor teoretice şi experimentale efectuate asupra acestor mişcări, dacă mediul în care evoluează rigidul este la rândul său în mişcare, atunci distribuţia de forţe are caracter de forţe active, iar dacă mediul este imobil, distribuţia de forţe are caracter de forţe pasive, purtând denumirea de rezistenţele mediului. În continuare se va face referire la forţele de rezistenţă ale mediului.
– 318 –
Aria de atac (Aa) este porţiunea din suprafaţa exterioară a rigidului aflat în mişcare într-un mediu fluid imobil, în care vitezele punctelor sale formează unghiuri ascuţite cu normalele exterioare în punctele respective, Fig. 5.31. Fiecare element dA al ariei de atac a rigidului întâmpină din partea mediului fluid o forţă elementară zR d , numită rezistenţă elementară sau forţă elementară de frecare vâscoasă, exprimată în baza legii generale a lui Bernoulli prin relaţia
vz i)n,vcos( A dv cR d λ−= , (5.250) unde
)sNm(c )2( λ+λ− ⋅ este coeficientul de rezistenţă a mediului, ce depinde de densitatea mediului şi de forma, natura şi modul de prelucrare a suprafeţei de atac;
)s/m( i vv v= , este viteza elementului de arie dA; λ este un exponent ce depinde de mărimea vitezei. n este versorul normalei exterioare a elementului de arie dA.
Fig. 5.31
)S( )R(Md zQ
Q
r ′
)A( a
v
nzRd B dA
– 319 –
Pentru viteze relativ mici ale punctelor ariei de atac, care nu depăşesc 50 m/s, rezistenţa pe care mediul o opune unui element al ariei de atac al corpului în mişcare are mărimea proporţională cu viteza elementului de arie şi sensul astfel încât să se opună elementului respectiv; această concluzie a cercetărilor experimentale efectuate exprimă prima lege a lui Newton relativă la rezistenţa mediului şi are expresia
).n,vcos( A d v cR d z −= (5.251) A doua lege a lui Newton, după care rezistenţa mediului este proporţională cu pătratul vitezei, are următoarea expresie
.i)n,vcos(dAcvRd v2
z −= (5.252) Torsorul în polul Q al reperului (R') ataşat invariabil rigidului în mişcare, al rezistenţelor mediului în care se deplasează rigidul respectiv va avea forma:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=
=
=
∫
∫.
Rxd'r)R(M
RdR
)R(T
a
a
A
zz
A
zz
zQ
Q
(5.253)
.o2 Solicitări de amortizare ale elementelor elastice În timpul deformării unui element elastic, în afara celor două distribuţii de forţe elastice, asupra rigidelor mai acţionează alte două distribuţii de forţe elementare, care satisfac teorema acţiunii şi reacţiunii şi care se opun mişcărilor relative ale celor două rigide cuplate, amortizându-le, numite rezistenţe de amortizare. Se va considera, în Fig. 5.32 modelul de element elastic prezentat şi la studiul solicitărilor exterioare de legătură activă şi se
– 320 –
va lua în consideraţie numai distribuţia rezistenţelor de amortizare exercitate asupra rigidului (S) căruia i se studiază mişcarea.
Fig. 5.32
Distribuţia rezistenţelor de amortizare, se reduce în punctul
teoretic de legătură A, respectiv în centrul de masă al rigidului, dacă G se află pe axa )(Δ , la un torsor al rezistenţelor de amortizare cu componentele numite solicitări de amortizare şi anume forţa de amortizare aR şi momentul de amortizare aM
,)}(DM);vv(CR{}R{T aGaaG∗∗ ω−ω−=−−== (5.254)
unde
Gv şi ω sunt parametrii cinematici de ordinul întâi ai rigidului (S); ∗v şi ∗ω sunt parametrii cinematici de ordinul întâi ai rigidului )S( ∗ ;
C (Ns/m) reprezintă constanta de amortizare la translaţie; D (Nms) reprezintă constanta de amortizare la rotaţie. Aceste constante se determină experimental şi ele depind de natura materialului din care este confecţionat elementul elastic, de datele lui constructive precum şi de coeficientul de vâscozitate al me- diului fluid în care este introdus elementul elastic. În schiţele mecanice, pentru a indica amortizarea la translaţie se foloseşte simbolul cilindru-piston şi pentru a indica amortizarea la rotaţie se foloseşte simbolul cilindru exterior-cilindru interior.
)t(rE
)(Δ )t(∗ϕ
te k,k
aM
AE
aR
)S(
– 321 –
Dacă elementul elastic are numai una din cele două deformaţii
considerate, torsorul rezistenţelor de amortizare se reduce numai la componenta corespunzătoare deformaţiei produse.
.o3 Reacţiunile legăturilor pasive
În aplicaţiile practice, folosindu-se mijloace tehnice adecvate, denumite generic legături, unii dintre parametrii de poziţie ai rigidului sunt împiedicaţi să varieze, sau li se impun anumite legi de variaţie, astfel că rigidul execută o mişcare particulară. În cazul când toţi parametrii de poziţie ai rigidului sunt împiedicaţi să varieze, rigidul rămâne în stare de repaus. În lucrarea de faţă vor fi prezentate doar câteva din tipurile uzuale de legături: reazemul cu alunecare, reazemul cu rostogolire, articulaţia cilindrică, legătura prin ansamblu fus-lagăr (lagăr cilindric şi lagăr pivot), legătura prin fir, legătura prin tijă rigidă şi încastrarea.
Relaţiile care exprimă restricţiile impuse în variaţia parame-trilor de poziţie se numesc condiţii de legătură, iar în cazul când se exprimă prin egalităţi se numesc ecuaţii de legătură. Stabilirea ecuaţiilor de legătură, problemă deosebit de importantă pentru dinamica rigidului, poate fi mult simplificată prin alegerea convenabilă a reperelor (R') şi (R).
Studiile, predominant experimentale, ale interacţiunilor dintre două corpuri dezvoltate prin cuplarea lor prin unul dintre tipurile de legătură pasivă prezentate, au condus la următoarele concluzii cu caracter general referitoare la formele distribuţiilor forţelor de interacţiune:
Fiecărui tip de legătură pasivă aplicată unui rigid îi cores-punde o distribuţie de forţe de interacţiune reductibilă în punctul teoretic de legătură C la un torsor numit torsor dinamic al reacţiunilor legăturii, având forma
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=)R(
R)R(T
CC M
. (5.255)
– 322 –
Fiecare din cele două componente ale torsorului dinamic al
reacţiunilor unei legături pasive se descompune, în general, în două componente:
- o componentă care efectuează lucru mecanic zero, purtând din acest motiv denumirea de componentă ideală;
- o componentă care efectuează totdeauna lucru mecanic rezistent, componentă care se datorează frecărilor existente în legătura considerată; această componentă poartă numele de componentă disipativă, deoarece efectuarea lucrului mecanic rezistent implică compensarea lui cu lucrul mecanic motor, furnizat din exterior.
Componentele torsorilor dinamici ai reacţiunilor legăturilor pasive exterioare au expresiile
).R()R()R(
;RRR
dCidCC
did
MMM +=
+=. (5.256)
Unele din componentele menţionate mai sus pot să nu figureze în torsorii dinamici ai reacţiunilor unor legături concrete; astfel, pentru majoritatea tipurilor de legături pasive, componenta ideală a momentului rezultant al reacţiunilor nu există, sau poate fi neglijată.
Anumite mărimi care caracterizează componentele ideale ale torsorilor reacţiunilor unei legături pasive, de regulă valorile scalare ale lor raportate la versorii direcţiilor lor, sunt necunoscute ale unei probleme de dinamica rigidului; aceste necunoscute urmează a fi determinate din ecuaţiile de mişcare ale rigidului.
Componentele disipative ale torsorului reacţiunilor unei legături pasive se exprimă în funcţie de cele ideale, în baza unor relaţii stabilite pe cale experimentală, denumite legi de frecare.
În multe situaţii, mărimile componentelor disipative din torsorii reacţiunilor unei legături pasive sunt foarte mici în comparaţie cu mărimile componentelor celorlalţi torsori dinamici care acţionează asupra rigidului considerat; în astfel de cazuri, se pot neglija componentele disipative, adică se pot accepta aproximările:
– 323 –
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=≈)R(
R)R(T)R(T
idc
ididcc M
. (5.257)
Legăturile pasive respective se numesc legături pasive cu
frecare neglijabilă sau legături ideale.
a). Torsorul dinamic al reacţiunilor din reazemul cu alunecare şi pivotare
În Fig. 5.33 cilindrul circular (S) se reazemă cu una din bazele sale pe placa fixă (P) şi efectuează o mişcare plan paralelă. Prin alegerea ca în figură a reperelor (R') şi (R) rezultă ecuaţia de legătură 0zQ = iar ecuaţiile parametrice ale mişcării plan paralele sunt .)t( );t(yy );t(xx QQQQ ϕ=ϕ==
Fig. 5.33
– 324 –
Torsorul reacţiunilor din reazem, în punctul teoretic de rezemare C, este de forma
.M)N(M)R(
FNR)R(T
pivCC
fC
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
+==
M (5.258)
Mărimile din relaţia (5.258) au următoarele semnificaţii: N este componenta ideală a reacţiunii, numită reacţiune
normală a planului de reazem, are mărimea necunoscută şi urmează a fi determinată din ecuaţiile de mişcare, are direcţia normalei comune, în punctul C, a celor două suprafeţe în contact, iar sensul coincide cu sensul în care rigidul poate părăsi legătura;
fF este componenta disipativă a reacţiunii reazemului, numită forţă de frecare la alunecare şi este determinată prin legea de frecare la alunecare a lui Amonton-Coulomb, exprimată prin relaţia
,iNF alf μ−= (5.259) unde μ este coeficientul de frecare la alunecare, un număr abstract, depinzând, într-o primă aproximaţie, numai de natura şi modul de prelucrare al suprafeţelor în contact, număr determinat experimental; ali este versorul vitezei de alunecare a punctului teoretic de reazem,
adică viteza relativă a acestui punct în raport cu planul de rezemare; dacă acest plan este fix, viteza de alunecare este chiar viteza absolută a punctului C; )N(MC este momentul rezultant al reacţiunilor normale în punctul C;
pivM , numit moment de frecare la pivotare, este compo-nenta disipativă a momentului rezultant al reacţiunilor reazemului; mişcarea rigidului (S) în jurul normalei Cz’ se numeşte pivotare,
pivM are sens contrar vitezei unghiulare, iar mărimea lui îndeplineşte condiţia
,iNMpiv ων−= (5.260)
– 325 –
unde
ν este coeficientul de frecare la pivotare; acest coeficient reprezintă o constantă fizică cu dimensiunea de lungime, depinde de raza discului şi de natura suprafeţelor în contact, putând fi determinat experimental;
ωi este versorul vitezei unghiulare relative a discului faţă de plan, coincizând, în cazul când planul (P) este fix, cu versorul lui ω .
Observaţie. În cazul când se neglijează frecarea, legătura se numeşte ideală şi în acest caz torsorul reacţiunilor în punctul teoretic de rezemare C, este de forma
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
≅=
==== .
0)N(M)R(
NR)N(T)R(T)R(T
CidC
idCidCC M
(5.261)
b). Torsorul reacţiunilor reazemului cu rostogolire
În Fig. 5.34 este reprezentat schematizat un disc circular (S) de rază R, care se rostogoleşte fără alunecare pe placa fixă (P), mişcarea având loc în următoarele condiţii
Fig. 5.34
(S)
(S0)
– 326 –
- viteza centrului de masă este orientată în lungul axei (Δ)
paralelă la planul de sprijin (P); - distribuţiile tuturor forţelor exterioare active aplicate rigidului (S)
sunt plane, situate într-un plan normal la planul de sprijin şi conţinând axa (Δ); ele asigură menţinerea legăturii prin rezemare.
Alegerea reperelor (R') şi (R) ca în figură, cu (So) poziţia iniţială a discului, furnizează direct ecuaţiile de legătură de mai jos
0,z ;0Ry QQ ==− (5.262)
la care se adaugă condiţia de rostogolire fără alunecare
CC .lungCC arcului .lung 0'0 = , (5.263)
cu ,RCC şi xCC '0Q0 ϕ== rezultând următoarea ecuaţie de legătură
0 RxQ =ϕ− . (5.264)
Datorită ultimei ecuaţii, numai unul din parametrii Qx (t) şi φ(t) va fi suficient să fie cunoscut (în mod obişnuit unghiul φ) pentru a se cunoaşte poziţia şi deci mişcarea rigidului (S); parametrul ales este parametru independent de poziţie. Mişcarea discului descrisă mai sus se numeşte rostogolire plană şi ecuaţia parametrică a ei are forma ).t(ϕ=ϕ Torsorul reacţiunilor reazemului cu rostogolire prezentat în Fig. 5.34, are forma
,'kMM)R(
iTjNTNR)R(T
rostrostC
C⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
+−=+==
M (5.265)
unde
N este reacţiunea normală a planului de sprijin (P), reprezentând una din componentele ideale ale reacţiunii rezultante,
– 327 –
al cărui modul este o necunoscută a problemei de dinamică, ce va trebui găsită din ecuaţiile de mişcare;
T este reacţiunea tangenţială a planului de sprijin, transformându-se în forţă de frecare la alunecare, fF , în condiţii limită, adică atunci când discul începe să şi alunece pe suprafaţa de sprijin. Atâta timp cât nu a atins valoarea limită, ea este o componentă ideală a reacţiunii reazemului, lucrul mecanic al acestei forţe fiind nul. Sensul reacţiunii T fiind condiţionat nu numai de sensul de rostogolire al discului, ci şi de sistemul forţelor exterioare exercitate asupra discului, valoarea ei scalară raportată la versorul i este o necunoscută a problemei; această necunoscută va trebui să fie determinată din ecuaţiile de mişcare.
Condiţia
fFT ≤ , (5.266)
are justificarea fizică în faptul că T este tot o forţă de frecare, care atinge valoarea maximă fF în momentul când începe alunecarea corpului, motiv pentru care se numeşte condiţie de rostogolire. rostM este momentul de frecare la rostogolire, care se exprimă în funcţie de reacţiunea normală N în baza legii de frecare la rostogolire, stabilită experimental, dată prin relaţia
ω−= iNsMrost , (5.267) unde
s este o constanta fizică cu dimensiuni de lungime, numită coeficient de frecare la rostogolire, care depinde de raza discului şi de natura suprafeţelor în contact şi se determină experimental;
ωi este versorul vitezei unghiulare de rostogolire.
În cazul reazemului cu rostogolire cu frecare neglijabilă, torsorul dinamic (5.265) se reduce numai la reacţiunea rezultantă
.TNR +=
– 328 –
c). Torsorul dinamic al reacţiunilor legăturii prin articulaţie
Articulaţia este legătura unui rigid (S) cu un corp (S*) din mediul înconjurător prin care un punct C al rigidului (S) este menţinut în permanenţă în contact cu un punct al corpului (S*). În funcţie de procedeul folosit pentru imobilizarea punctului C în corpul (S*) se poate vorbi de două tipuri principale de legături prin articulaţie:
- articulaţia spaţială (sferică), realizată prin ansamblul format dintr-o sferă mică numită nuca articulaţiei şi un locaş sferic în care intră parţial nuca, numit corpul articulaţiei; rigidul (S) execută o rotaţie instantanee relativă în jurul punctului teoretic de articulaţie care este centrul C al nucii articulaţiei sferice;
- articulaţie plană (cilindrică), realizată prin ansamblul format din bolţ şi corpul articulaţiei; rigidul execută o rotaţie relativă în jurul axei bolţului, punctul teoretic al articulaţiei fiind punctul C de pe axa bolţului, situat la intersecţia acestei axe cu planul normal la axă, plan care conţine centrul de masă al rigidului respectiv (Fig. 5.35). Legătura prin articulaţie a unui rigid (S) cu un corp (S*) din mediul înconjurător se aplică corpurilor în mişcare de rotaţie, acţionate de distribuţii de forţe situate într-un plan normal la axa bolţului articulaţiei (Fig. 5.35). Alegerea convenabilă a reperelor (R) şi (R’) conduce la următoarele ecuaţii de legătură: .0zyx QQQ ===
Articulaţia poate fi staţionară sau nestaţionară după cum corpul (S*) este fix în spaţiu sau se deplasează în spaţiu. Mişcarea particulară a rigidului (S) este în acest caz o rotaţie în jurul axei fixe Oz)( ≡Δ care este perpendiculară pe planul figurii, ecuaţia parametrică a acestei mişcări fiind ).t(ϕ=ϕ
Cercetările experimentale efectuate au stabilit că în aceste condiţii, torsorul în punctul teoretic de articulaţie QOC ≡≡ are forma
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
==
+=+== ,
'kMM)R(
'jR'iRRRR)R(T
ffC
'y
'x
'y
'x
CM
(5.268)
unde 'xR şi '
yR reprezintă componentele reacţiunii articulaţiei R
– 329 –
după axele Qx' şi Qy' ale reperului ataşat rigidului (S); sunt compo-nentele ideale ale torsorului dinamic al reacţiunilor acestei legături şi valorile lor scalare raportate la versorii 'i şi 'j sunt necunoscute ale problemei, care vor trebui determinate din ecuaţiile de mişcare;
Fig. 5.35
fM este momentul de frecare în articulaţie, determinat prin
legea de frecare în articulaţie exprimată prin relaţia
2y
2xbf RRrM ′+′μ′−= riω , (5.269)
unde μ′ este coeficientul de frecare în articulaţie (adimensional),
care depinde de natura corpurilor în contact, de modul de ungere cu lubrifianţi şi se determină experimental;
br este raza bolţului articulaţiei;
riω este versorul vitezei unghiulare relative a rigidului (S); în cazul când corpul articulaţiei este fix (Fig. 5.35), viteza unghiulară relativă a rigidului (S) coincide cu viteza sa unghiulară absolută
.iir ωω =
x
zz)( ′≡≡Δ
y
xR′
yR′
– 330 –
În cazul legăturii prin articulaţie cu frecare neglijabilă, torsorul (5.268) se reduce numai la reacţiunea rezultantă:
.RRR 'y
'x += (5.270)
d). Torsorii dinamici ai reacţiunilor legăturilor realizate prin ansamblurile fusuri-lagăre Legătura prin ansamblurile fusuri-lagăre este asimilabilă cu articulaţia plană şi este utilizată în cazul rotoarelor pentru a le imobiliza axa geometrică de rotaţie. Arborele pe care se montează rotorul are două prelungiri cilindrice coaxiale de diametru mai mic, numite fusuri, care intră în lăcaşurile cilindrice coaxiale ale unor piese numite lagăre, formate din corpul lagărului şi din capacul lagărului; între fus şi cuzineţii lagărului (cămăşile cilindrice pe care se sprijină fusurile) se lasă un joc foarte mic pentru lubrifianţi. În cazul când fusul poate aluneca în lungul axei lagărului, acesta din urmă se numeşte lagăr cilindric; dacă rotorul se sprijină cu umărul arborelui de lagăr, sau lagărul este prevăzut cu o suprafaţă de pivotare menită să împiedice deplasarea rotorului în lungul axei sale de rotaţie (Δ), lagărul se numeşte lagăr pivot. În general, din cele două lagăre care imobilizează axa de rotaţie a unui rotor, unul se comportă ca lagăr pivot, iar celălalt ca lagăr cilindric. Reprezentarea schematică a acestor lagăre se face ca în Fig. 5.36.
Alegând reperele (R') şi (R) ca în figură, sunt valabile ecuaţiile de legătură 0z,0y,0x QQQ === , mişcarea rigidului (S), reprezentat prin ansamblul rigidizat rotor-arbore-fusuri, este o mişcare de rotaţie în jurul axei fixe (Δ) care este axa de simetrie de revoluţie a ansamblului (S).
Torsorul dinamic, în punctul teoretic de legătură C1, al reacţiunilor lagărului pivot (Lp), are forma de mai jos
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
+=+=
′+′+′=′+′+′== ,
'k)MM(MM)R(
'kR'jR'iRRRRR)R(T
pivfpivf1C
z1y1x1z1y1x11C
111
1 M (5.271)
unde
– 331 –
a.
b.
Fig. 5.36
'z1
'y1
'x1 R,R,R sunt componentele pe axele reperului invariabil
ataşat rigidului în rotaţie, ale reacţiunii rezultante a lagărului pivot 1R şi ele reprezintă componentele ideale ale torsorului reacţiunilor;
valorile lor scalare raportate la versorii 'k,'j,'i constituie necunoscute ale problemei de dinamică care se determină din ecuaţiile de mişcare;
1fM reprezintă momentul de frecare din lagărul pivot datorat frecărilor dintre fus şi pereţii lagărului şi este dat de
)(Δ
x′x
y′ )(Ar
)(Lp
)(Lc 2C
y1COQ ≡≡
)S(
z,z′
G (S)
1COQ ≡≡
pivM
1fM
y1R′ z1R ′
x1R′
y′
x′ x
y
ω
y2R′
x2R′ 2fM
z,z ′
2C
)(Δ
G
– 332 –
următoarea lege de frecare în lagăr
ω′+′μ′−= i RRrM 2y1
2x1f1f 11
, (5.272) unde
1μ′ este coeficientul de frecare în lagărul pivot, depinde de modul de ungere şi se determină experimental;
1fr este raza fusului din lagărul pivot;
ωi este versorul vitezei unghiulare a rotorului;
pivM este momentul de frecare la pivotare, datorat frecării dintre fus şi suprafaţa de rezemare (suprafaţa de pivotare); acest moment se determină în baza legii de frecare la pivotare în lagărul pivot, exprimată prin relaţia
ων−= iRM 'z1piv , (5.273)
unde ν este coeficientul de frecare la pivotare, care depinde de modul de ungere, de raza fusului şi se determină experimental sau prin calcul; în SI se exprimă în <m>.
În cazul lagărului pivot cu frecare neglijabilă, torsorul dinamic al reacţiunilor se reduce numai la reacţiunea rezultantă, cu cele trei componente ale ei.
Torsorul dinamic, în punctul teoretic de legătură C2, al reacţiunilor lagărului cilindric (Lc), Fig. 5.36, are următoarea formă
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
==
+=+== ,
'kMM)R(
'jR'iRRRR)R(T
22
2f2f2C
'y2
'x2
'y2
'x22
C M (5.274)
unde 'y2
'x2 R şi R sunt componentele după axele reperului ataşat
rigidului, normale la axa de rotaţie, Oz'Qz)( ≡≡Δ , ale reacţiunii totale a lagărului cilindric; ele reprezintă componentele ideale ale torsorului reacţiunilor cu valorile scalare raportate la versorii 'i şi 'j şi constituie necunoscute ale problemei de dinamică;
– 333 –
2fM este momentul de frecare în lagărul cilindric, determinat în baza legii de frecare în lagărul cilindric, exprimat prin relaţia
2y2
2x2f2f RRrM
22′+′μ′−= , (5.275)
2μ′ fiind coeficientul de frecare în lagăr, iar 2fr raza fusului montat în
lagărul cilindric. Torsorul dinamic se reduce numai la reacţiunea rezultantă
dacă lagărul cilindric este considerat lagăr cu frecare neglijabilă.
e). Torsorul dinamic al reacţiunilor legăturii prin fir Legătura prin fir este materializată practic prin cabluri, lanţuri, funii, etc. care sunt considerate perfect flexibile şi inextensibile (li se poate modifica oricum forma şi nu se alungesc atunci când sunt tensionate). O astfel de legătură se consideră în acţiune atât timp cât firul este întins între punctele de legătură C şi C* (Fig. 5.37).
Legătura prin fir aplicată unui rigid (S) poate fi întâlnită sub următoarele două forme uzuale:
- legătura prin fir de lungime constantă (legătură staţionară);
- legătura prin fir desfăşurabil (legătură nestaţionară).
Legătura prin fir de lungime constantă (staţionară) este reprezentată schematic în Fig. 5.37a. Legătura dintre discul circular (S) - care se reazemă pe placa plană fixă (P), considerată ca plan fix Oxy -, şi corpul (S*) - materializat printr-un suport (Sp) solidar cu placa (P) -, este realizată prin firul ∗CC de lungime constantă l . Alegând reperele (R') şi (R) ca în figură, rezultă ecuaţiile de legătură
,0y x;0z 22Q
2QQ =−+= l ultima, scrisă în ipoteza că firul rămâne în
permanenţă întins. Rezultă de aici că numai unul dintre parametrii de poziţie Qx şi Qy variază independent. Rigidul (S) efectuează o mişcare plan-paralelă cu ecuaţiile parametrice ale mişcării scrise
– 334 –
sub una din formele: (t),),t(xx QQ ϕ=ϕ= sau (t).),t(yy QQ ϕ=ϕ=
a. b.
Fig. 5.37
Datorită zonei foarte mici de contact între fir şi rigidul (S), torsorul dinamic al reacţiunilor legăturii are o formă simplă
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
−=== ,
0)R(iTTR
)R(TC
C*CC M
(5.276)
redusă numai la reacţiunea firului, T , numită în mod curent tensiunea firului.
Tensiunea T reprezintă reacţiunea totală a legăturii şi este orientată totdeauna în sensul în care legătura poate fi desfiinţată, adică în sens contrar sensului versorului C*Ci =vers. C*C (Fig.
5.37b), modulul T al tensiunii firului fiind o necunoscută a problemei
∗C
COQ ≡≡ x
y
l
– 335 –
de dinamică care va trebui determinată din ecuaţiile de mişcare.
Legătura prin fir desfăşurabil este reprezentată schematizat în (Fig. 5.38a).
a.
b.
Fig. 5.38
z 0l
Q )0(xQ
)0(z′
)0(y′
)0(x′
Qx
)S( 0
Q
C
– 336 –
Mosorul (S) pe care este înfăşurat un fir inextensibil având
extremitatea legată în punctul C* de cadrul (Cd), se poate roti liber în jurul axului (Ax) solidar cu culisele (Cl) care alunecă în lungul tijelor (Tj) ale cadrului (Cd), )S( 0 fiind poziţia iniţială a mosorului.
Alegând reperele (R') şi (R) ca în Fig. 5.38a şi ţinând seama de faptul că lungimea porţiunii de fir care leagă mosorul (S) de cadrul (Cd), considerat drept corp (S*), a crescut cu lungimea rφ a firului desfăşurat prin rotirea mosorului cu unghiul φ, rezultă următoarele ecuaţii de legătură
,0)r(x 0Q =ϕ+− l .0az ,0ry QQ =−=−
Această mişcare particulară a rigidului numită mişcare plan paralelă cu translaţie rectilinie, va fi determinată prin una din următoarele ecuaţii parametrice
,)t(xx QQ = sau (t).ϕ=ϕ În cazul legăturii prin fir desfăşurabil, Fig. 5.38b, torsorul
dinamic al reacţiunilor are aceeaşi formă ca în relaţia (5.284).
f). Torsorul dinamic al reacţiunilor legăturii prin tijă rigidă În cazul legăturii prin tijă rigidă, reprezentată în Fig. 5.39, discul (S) este legat de cadrul (Cd) - corpul (S*) -, prin tija (Tj), prevăzută cu articulaţii în punctele de legătură C şi C*; dimensiunile tijei şi ale articulaţiilor de legătură trebuie să fie suficient de mici pentru a putea fi neglijate în calcule. Prin urmare, tija rigidă este o bară subţire de masă neglijabilă, ale căre extremităţi se leagă prin intermediul unor articulaţii mici şi cu frecare neglijabilă de punctele C şi ∗C ale rigidelor (S) şi )S( ∗ pe care le cuplează. Torsorul în punctul teoretic de legătură C al reacţiunilor acestui tip de legătură aplicată rigidului (S) se reduce numai la o reacţiune rezultantă, Fig. 5.39b, numită efort în tijă, notată S ,
– 337 –
orientat în lungul axei tijei, cu sensul depinzând de forma torsorului forţelor exterioare exercitate asupra rigidului, rezultând de forma
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=== .
0)R(
iSSR)R(T
C
C*CC M
(5.277)
a. b.
Fig. 5.39 Efortul în tijă S este o reacţiune ideală, valoarea scalară, raportată la versorul C*Ci =vers. C*C al axei tijei fiind o necunoscută a problemei care va trebui determinată din ecuaţiile de mişcare.
Q
l
CCi ∗
– 338 –
g). Torsorul dinamic al reacţiunilor legăturii prin încastrare Încastrarea este legătura prin care un rigid (S) este fixat într-un corp (S*), fără nici o posibilitate de mişcare faţă de acesta. Această imobilizare, prin care cele două rigide formează împreună corp comun, se realizează prin diverse procedee tehnice, cum ar fi: fixare prin sudură, prin şuruburi, prin pene sau prin presare. Din punctul de vedere al forţelor exterioare active aplicate rigidului, încastrarea este de două tipuri:
- încastrare plană (Fig. 5.40), când toate distribuţiile de forţe aplicate rigidului (S) sunt situate în acelaşi plan;
- încastrare spaţială (Fig. 5.41), când rigidul (S) este solicitat de un sistem de forţe cu suporturile orientate în spaţiu.
Legăturii prin încastrare plană îi corespund ecuaţiile de
legătură 0 ;0y ;0x QQ =ϕ== , care evidenţiază starea de repaus total al rigidului încastrat. În această situaţie, distribuţia reacţiunilor din încastrare este coplanară cu distribuţia forţelor exterioare active, reducându-se în punctul teoretic de încastrare C (Fig. 5.40), la torsorul reacţiunilor încastrării plane, având forma
Fig. 5.40
,kMM
jViHjRiRR)R(T
CzC
yxC
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+=+== (5.278)
x
y
)S( ∗
CM HRx =
VRy =
CO ≡
(S)
– 339 –
unde
R este reacţiunea din încastrare, necunoscută ca mărime, direcţie şi sens, în aplicaţii se lucrează cu componentele ei HRx = şi
VRy = pe axele reperului Oxy; CM este momentul din încastrare, deasemeni necunoscut ca mărime şi sens, în aplicaţii se lucrează cu componenta lui CzM . Cele trei componente ale torsorului sunt componente ideale, necunoscute şi se vor determinata din ecuaţiile de echilibru scrise pentru cazul considerat.
În cazul încastrării spaţiale, Fig. 5.41, ecuaţiile de legătură sunt 0. 0, ,0,0z ,0y ,0x QQQ =θ=ϕ=ψ===
Fig. 5.41
Torsorul în punctul teoretic de încastrare C al reacţiunilor încastrării spaţiale are forma
)S( ∗CyM
CzM
CxM
z
x
y
xR
yR
zR
CO ≡
(S)
– 340 –
.kMjMiMM
kRjRiRR)R(T
CzCyCxC
zyxC
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
++=
++== (5.279)
R reprezintă reacţiunea din încastrare care este necunoscută
ca mărime, direcţie şi sens; în aplicaţii se lucrează cu componentele ei xR , yR şi zR pe axele reperului Oxyz.
CM este momentul din încastrare, deasemeni necunoscut ca mărime, direcţie şi sens; în aplicaţii se lucrează cu componentele lui
CxM , CyM şi CzM pe axele reperului Oxyz. Valorile scalare ale componentelor reacţiunii încastrării ,Rx
zy R,R şi ale momentului din încastrare CyCzCx M,M,M reprezintă necunoscute ale problemei.
5.4. ECUAŢIILE DINAMICII RIGIDULUI Ansamblul relaţiilor care exprimă principiul acţiunii forţelor, adică relaţiile care exprimă principiul impulsului şi principiul momen-tului cinetic, reprezintă ecuaţiile vectoriale de mişcare ale dina-micii rigidului, ele având forma
.K
;FFH
OOextO
ext
MM ==
==&
& (5.280)
Rezolvarea problemelor de dinamica rigidului, se bazează pe folosirea sistemului de ecuaţii de proiecţii fie pe axele reperului fix
Oxyz)R( ≡ , fie pe axele reperului mobil zyxQ)R( ′′′≡′ , ale ecuaţiilor vectoriale (5.280). Deoarece ecuaţiile vectoriale (5.280) pot fi scrise în raport cu originea O a reperului fix (R), în raport cu originea Q a reperului mobil )R( ′ , sau în raport cu centrul de masă G al rigidului în cazul în care GQ ≡ , există trei forme pentru ecuaţiile de mişcare ale dinamicii rigidului.
– 341 –
Forma I a ecuaţiilor vectoriale de mişcare Ecuaţiile vectoriale de mişcare corespunzătoare acestei forme
sunt reprezentate chiar prin relaţiile (5.280) dar cu solicitările exterioare },F{ extOext M scrise ca sumă dintre solicitările exterioare
active },F{ Oaa M şi solicitările exterioare pasive },F{ Opp M adică
.K
;FFH
OpOaO
pa
MM +=
+=
&
&
(5.281)
Proiectând ecuaţiile vectoriale (5.281) pe axele reperului fix (R), se va obţine sistemul de ecuaţii scalare ale mişcării rigidului.
Forma întâi a ecuaţiilor de mişcare este folosită în cazul în care, parametrii de poziţie necunoscuţi, variabili în timp şi care trebuie determinaţi ca funcţie de timp, se reduc numai la parametrii corespunzători translaţiei.
Forma a II-a a ecuaţiilor vectoriale de mişcare Ecuaţiile vectoriale corespunzătoare acestei forme sunt
reprezentate prin relaţia ce exprimă principiul impulsului şi prin relaţia ce exprimă teorema momentului cinetic faţă de polul mobil Q, adică
.KarM;FFH
QQrot paQQG
pa
MM +=+×′+=
&
& (5.282)
Sistemul de ecuaţii scalare ale mişcării rigidului, cores-
punzător formei a doua a ecuaţiilor vectoriale, se obţine prin proiec-tarea ecuaţiilor vectoriale (5.282) pe axele reperului mobil )R( ′ .
Forma a doua a ecuaţiilor vectoriale de mişcare este folosită
atunci când parametrii de poziţie, variabili în timp care trebuie determinaţi ca funcţie de timp, sunt cei corespunzători rotaţiei instantanee a rigidului în jurul polului mobil Q, adică sunt unghiurile lui Euler.
– 342 –
Forma a III-a a ecuaţiilor vectoriale de mişcare Ecuaţiile vectoriale de mişcare ale rigidului, pot fi scrise şi în
centrul lui de masă G, sub forma
,K;FFFaMH
GG paGG
paG
MMM +==+===
&
& (5.283)
şi ele reprezintă chiar ecuaţiile vectoriale de mişcare corespunză-toare formei a treia.
Sistemul de ecuaţii scalare ale mişcării se va obţine proiectând prima din ecuaţiile vectoriale (5.283) pe axele reperului fix (R) şi pe cea de-a doua pe axele reperului mobil )R( ′ . Forma a treia a ecuaţiilor vectoriale de mişcare a rigidului, se foloseşte atunci când parametrii de poziţie, variabili în timp ce trebuie determinaţi ca funcţie de timp, sunt reprezentaţi atât prin parametrii de poziţie corespunzători translaţiei, cât şi prin parametrii de poziţie corespunzători rotaţiei instantanee a rigidului în jurul centrului de masă G. 5.5. PROBLEMELE DINAMICII RIGIDULUI În orice problemă de dinamica rigidului se întâlnesc două serii de elemente:
a). O serie de elemente date, sau posibil de calculat cu ajuto-rul datelor conţinute în enunţul problemei cum ar fi: caracteristicile inerţiale, anumite elemente scalare ce determină torsorul solicitărilor active, elemente scalare ce caracterizează torsorii reacţiunilor legă-turilor pasive aplicate rigidului, etc.
b). Un număr, s, de elemente scalare necunoscute, care ur-
mează a se determina rezolvând problema de dinamica rigidului. Printre elementele scalare necunoscute figurează: – un număr p, de parametri de poziţie, care rămân inde-
pendenţi între ei în urma aplicării legăturilor, l−= vpp , unde vp
– 343 –
reprezintă numărul parametrilor de poziţie necunoscuţi, variabili în timp, ai rigidului; ( 6pv ≤ în cazul spaţial şi 3pv ≤ în cazul plan) iar l reprezintă numărul ecuaţiilor de legătură )p( v≤l . – un număr r, de elemente scalare necunoscute din torsorul rezultant al reacţiunilor legăturilor pasive aplicate rigidului;
– un număr f, de elemente scalare necunoscute din torsorul rezultant al solicitărilor active aplicate rigidului.
Prin urmare, numărul total de elemente necunoscute dintr-o problemă de dinamica rigidului se va putea exprima prin relaţia
.frps ++= (5.284)
Pentru a putea rezolva o problemă de dinamica rigidului,
trebuie ca numărul ecuaţiilor scalare conţinute de sistemul de ecuaţii scalare de mişcare a rigidului respectiv, să fie egal cu numărul necunoscutelor din problemă.
În aplicaţiile practice se întâlnesc două tipuri de probleme ale dinamicii rigidului şi anume: Probleme directe, caracterizate prin condiţia 0p = , adică ecuaţiile de mişcare ale rigidului se pot stabili pe baza conside-rentelor tehnologice. În problemele directe, fiind precizate legăturile pasive aplicate rigidului, se cere să se determine anumite elemente necunoscute din torsorul solicitărilor exterioare active, precum şi anumite elemente scalare necunoscute din torsorul rezultant al reacţiunilor legăturilor pasive, adică rfs += . Rezolvarea problemelor de tip direct nu prezintă dificultăţi, întrucât ecuaţiile de mişcare permit determinarea parametrilor cinematici de ordinul întâi şi doi ai rigidului, a caracteristicilor cinetice vectoriale, precum şi a derivatelor lor în raport cu timpul. Astfel, sistemul de ecuaţii scalare de mişcare va fi un sistem de ecuaţii algebrice, conţinând un număr de ecuaţii egal cu numărul necunoscutelor. Probleme inverse, sau fundamentale, caracterizate prin condiţia 0f = , care evidenţiază faptul că elementele scalare din torsorul rezultant al solicitărilor exterioare active sunt date.
– 344 –
În cazul problemelor inverse, fiind precizate şi legăturile apli-cate rigidului, se cere determinarea ecuaţiilor mişcării rigidului şi elementele scalare necunoscute din torsorul rezultant al reacţiunilor, deci rps += . Integrarea sistemului de ecuaţii scalare de mişcare a rigidului este dificilă în cazul problemelor de tip invers, întrucât aceste ecuaţii au forme complicate.
5.6. DINAMICA UNOR CAZURI PARTICULARE DE MIŞCĂRI ALE RIGIDULUI
Se vor studia din punct de vedere dinamic mişcările particulare ale rigidului cel mai des întâlnite în practică, adică:
– mişcarea de translaţie; – mişcarea de rotaţie în jurul unei axe fixe; – mişcarea plan paralelă.
5.6.1. DINAMICA MIŞCĂRII DE TRANSLAŢIE
∗ Parametrii de poziţie ai rigidului Considerând un rigid (S) în mişcare de translaţie Fig. 5.42,
parametrii de poziţie variabili în timp ai lui, vor fi reprezentaţi numai prin coordonatele polului mobil Q, care în mod obişnuit, în proble-mele de dinamică se alege în centrul de masă al rigidului )GQ( ≡ .
În mişcarea de translaţie a rigidului, unghiurile lui Euler rămân în permanenţă constante, sau chiar egale cu zero dacă în momentul iniţial axele reperului mobil )R( ′ sunt paralele la axele reperului fix (R). Dacă rigidul (S) se află în mişcare de translaţie liberă cele trei coordonate ale centrului de masă )z,y,x( GGG variază independent una de alta. Dacă rigidului (S) îi sunt aplicate legături pasive, atunci numărul p al parametrilor de poziţie independenţi se micşorează, astfel încât rezultă condiţia 3p ≤ , egalitatea fiind valabilă în cazul rigidului liber.
– 345 –
Fig. 5.42 ∗ Parametrii cinematici ai mişcării Parametrii cinematici de ordinul I
.0
0kzjyixvv GGGGQ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≡ω
≠++== &&& (5.285)
Parametrii cinematici ordinul II
.0
}0sau0{kzjyixaa GGGGQ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≡ε
≠=++== &&&&&& (5.286)
Deplasările elementare au expresiile
.0d
0kdzjdyidxrd GQQQ
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=Θ
≠++=
z
Ga )S(
y
x
)R( ′)R(
O
Gv Gr
z′
GQ ≡
x′
y′
– 346 –
∗ Caracteristicile inerţiale ale rigidului Datorită absenţei rotaţiei, dintre caracteristicile inerţiale ale dinamicii rigidului – masa şi momentele de inerţie – în cazul mişcării de translaţie a rigidului, numai masa M a rigidului va figura în ecuaţiile de mişcare.
∗ Caracteristicile cinetice ale rigidului Luând în consideraţie condiţiile cinematice corespunzătoare mişcării de translaţie a rigidului, caracteristicile cinetice stabilite în cazul unui rigid în mişcare generală, vor lua forme particulare.
– Impulsul rigidului
)kzjyix(MvMH GGGG &&& ++== . (5.287)
– Momentul cinetic al rigidului în polul fix O are expresia
.HrKvrMHrKK QQQGQQO rot×++×′=×+= (5.288)
În această mişcare particulară 0≡ω , ca urmare este valabilă
condiţia 0KKK GGQ rotrot=≡≡ şi deoarece s-a considerat că polul
mobil Q coincide cu centrul de masă G, GQ ≡ , rezultă 0rG =′ , astfel încât relaţia (5.288) capătă forma
.vMrHrK GGGO ×=×= (5.289) Torsorul impulsurilor în polul fix are forma
.vMrK
vMH}H{T
GGO
GO
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
×=
== (5.290)
– Energia cinetică
În mişcarea de translaţie a rigidului, expresia energiei cinetice se obţine prin particularizarea expresiei stabilite în cazul mişcării
– 347 –
generale a rigidului şi rezultă de forma
,vM21
E 2Gc = (5.291)
deoarece în cazul acestei mişcări GQ,0E,0rotC ≡=≡ω , 0rG =′ .
∗ Caracteristicile dinamice ale rigidului
a) Caracteristicile dinamice vectoriale În baza celor precizate mai sus, se poate scrie
,0KGGG paextG =+== MMM& (5.292)
care exprimă faptul că sistemul solicitărilor exterioare, active şi pasive, trebuie să fie sau echivalent cu zero, în cazul translaţiei inerţiale, sau cu un vector unic paext FFF += , al cărui suport să treacă prin centrul de masă al rigidului, în cazul unei translaţii oarecare. În condiţiile valabilităţii relaţiei (5.292), pentru a exclude şi rotaţia inerţială, trebuie să fie satisfăcută condiţia 00 =ω , pentru a se asigura existenţa mişcării de translaţie. Torsorul dinamic al solicitărilor exterioare în centrul de masă G al rigidului
.0
FFF}F{T pa
ext
extextG
G⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ +
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=M
(5.293)
Torsorul dinamic al solicitărilor exterioare în polul fix O
.)FF(rFr
FFF}F{T
paGextGext
paextextO
O ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+×=×=
+==
M (5.294)
– 348 –
b) Caracteristicile dinamice scalare În cazul mişcării de translaţie, expresiile puterii mecanice şi a
lucrului mecanic elementar, au următoarele forme particulare
,PPv)FF(vFP paGpaGextext +=⋅+=⋅= (5.295)
respectiv
.dLdLrd)FF(rdFdL paGpaGextext +=⋅+=⋅= (5.296)
∗ Stabilirea sistemului de ecuaţii scalare de mişcare Pentru a obţine sistemul de ecuaţii scalare de mişcare, se porneşte de la forma a treia a ecuaţiilor dinamicii rigidului, adică de la ecuaţiile (5.283), ecuaţii care în baza faptului că 0=ω , devin
.0
FFaM
GG pa
paG
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
+=
MM (5.297)
Pentru a obţine sistemul de ecuaţii scalare de mişcare, se proiectează prima ecuaţie vectorială din relaţiile (5.297) pe axele reperului fix Oxyz)R( ≡ , iar cea de-a doua pe axele reperului mobil
zyxQ)R( ′′′≡′ , rezultând sistemul
.
0).6;FFzM).3
0).5;FFyM).2
0).4;FFxM).1
zGzG
yGyG
xGxG
pazpazG
paypayG
papxaxG
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
′+′=+=
′+′=+=
′+′=+=
MM
MM
MM
&&
&&
&&
(5.298)
În cazul când rigidul efectuează o mişcare de translaţie în planul xOy, sistemul de ecuaţii scalare de mişcare va avea forma
– 349 –
.
0).3
FFyM).2
FFxM).1
zGpzGa
ypayG
xpaxG
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
′+′=
+=
+=
MM
&&
&&
(5.299)
Observaţie Deoarece, dintre ecuaţiile (5.297), numai prima ecuaţie furnizează informaţii asupra mişcării rigidului, ea poartă numele de ecuaţia vectorială fundamentală a dinamicii mişcării de translaţie a rigidului şi se poate scrie sub următoarea formă
paG FFrM +=&& . (5.300)
Cea de-a doua ecuaţie din (5.297) exprimă condiţiile pe care trebuie să le satisfacă sistemul de solicitări exterioare pentru ca mişcarea de translaţie a rigidului să aibă loc. Pentru integrarea sistemului (5.298), în vederea determinării necunoscutelor, se asociază sistemului de ecuaţii diferenţiale (5.299), condiţiile iniţiale avâd forma generală
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
===
===
===
=
ozGzGG
oGG
oyGyGG
oGG
oxGxGG
oGG
v)0(v)0(z;z)0(z
v)0(v)0(y;y)0(y
v)0(v)0(x;x)0(x
:0t
&
&
&
. (5.301)
– 350 –
5.6.2. DINAMICA MIŞCĂRII DE ROTAŢIE A
RIGIDULUI ÎN JURUL UNEI AXE FIXE
∗ Parametrii de poziţie ai rigidului Se consideră un rigid (S), în rotaţie în jurul unei axe fixe )(Δ ,
imobilizată prin intermediul unu lagăr pivot având centrul 1C şi a unui lagăr cilindric având centrul 2C , distanţa hCC 21 = , Fig. 5.43.
Rigidul (S) are două puncte fixe 1C şi 2C şi dacă se aleg reperele (R) şi )R( ′ ca în figură, 1COQ ≡≡ , iar )(OzzQ Δ≡≡′ , va rezulta că în această mişcare particulară avem un singur parametru de poziţie, reprezentat prin unghiul de rotaţie )1p(, =ϕ .
∗ Parametrii cinematici ai mişcării Parametrii cinematici de ordinul I
.0kk
0vQ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≠′ϕ=ϕ=ω
≡
&& (5.302)
Parametrii cinematici de ordinul II
.}0sau0{kk
0aQ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≠=′ϕ=ϕ=ω=ε
≡
&&&&& (5.303)
Deplasările elementare la translaţie şi rotaţie au expresiile
.0kdd;0rd Q ≠′ϕ=Θ= (5.304)
∗ Caracteristicile inerţiale ale rigidului Caracteristicile inerţiale ale rigidului sunt: – masa M a rigidului;
momentele de inerţie mecanice zzyzxz J,J,J ′′′ , deoarece axa
– 351 –
de rotaţie )(Δ în exemplul din Fig. 5.43 este de direcţie fixă în spaţiu, fără a fi însă axă principală de inerţie.
Fig. 5.43
∗ Caracteristicile cinetice ale rigidului În baza condiţiilor cinematice ale acestei mişcări şi ţinând
seama de faptul că )OQ(,0rQ ≡= , impulsul, momentul cinetic şi energia cinetică, deci caracteristicile cinetice stabilite pentru cazul
2fM
y1R ′ z1R ′
1COQ ≡≡
y2R ′
)S(x2R ′
y′
h
y
z,z ′
2C
)(Δ
)z,y,x(G GGG ′′′
1fM
pivM
)t(ϕ=ϕ
x1R ′
Gr ′
x
x′
– 352 –
rigidului în mişcare generală, vor avea expresii simplificate.
– Impulsul
),r(M)rv(MvMH GGQG ′×ω=′×ω+== (5.305)
cu următoarea expresie analitică
).jxiy(Mzyx
00kji
MH GG
GGG
′′ϕ+′′ϕ−=′′′ϕ
′′′
= &&& (5.306)
– Momentul cinetic Deoarece OQ ≡ , rezultă
.kJjJiJ
kJjJiJKKK
zzyzxz
zzyzxzQQO rot
′ϕ′+′ϕ′−′ϕ′−=
=′ω′+′ω′−′ω′−=≡≡
&&& (5.307)
Momentul cinetic QK are forma particulară (5.307) întrucât axa de rotaţie )(Δ de direcţie fixă, nu este axă principală de inerţie. Torsorul impulsurilor în polul OQ ≡ , are forma
.kJjJiJK
)r(MH}H{T}H{T
zzyzxzQ
GOQ
rot ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
′ϕ′+′ϕ′−′ϕ′−=
′×ω==≡
&&& (5.308)
– Energia cinetică, va avea numai termenul datorat rotaţiei,
adică se va putea scrie
.J21J
21EE 2
zz2
zzcc rotϕ′=ω′== & (5.309)
– 353 –
∗ Caracteristicile dinamice ale rigidului
a) Caracteristicile dinamice vectoriale Se consideră că asupra rigidului (S) acţionează un sistem de
solicitări exterioare format din următoarele sisteme:
Un sistem de solicitări exterioare active al cărui torsor rezultant, în polul Q, are forma
.kjikFjFiFF
}F{TzQyQxQQ aaaa
azayaxaaQ
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
′′+′′+′′=′′+′′+′′=
= MMMM (5.310)
Un sistem de solicitări exterioare pasive format din:
Solicitări rezistente (rezistenţele mediului zR şi rezisten-
ţele de amortizare aR ), torsorul rezultant având forma
.)R(M)R(M)R(
kRjRiRRRR}R{T
aQzQtQ
ztytxtazttQ
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
′′+′′+′′=+==
M (5.311)
Reacţiunile legăturilor
Torsorul, în polul Q, al reacţiunilor din lagărul pivot 1C
.MM)R(
kRjRiRR}R{T
pivf1
z1y1x111Q
1Q ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
′′+′′+′′==
M (5.312)
Torsorul, în polul Q, al reacţiunilor din lagărul cilindric 2C
.RQCM)R(MM)R(
jRiRR}R{T
22f2Qf2Q
y2x222Q
22 ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
×+=+=
′′+′′==
M (5.313)
– 354 –
Torsorul rezultant în polul 1COQ ≡≡ al reacţiunilor celor două legături pasive aplicate rigidului:
,RQCMMM)R(
RRR}R{T
22fpivfQ
21Q
21 ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
×+++=
+==
M (5.314)
unde
1fM este momentul de frecare din lagărul pivot, orientat în sens invers vitezei unghiulare ω , de mărime
;RRrM 2y1
2x1f1f 11
′+′μ′= (5.315)
pivM este momentul de pivotare din lagărul pivot, având sensul contrar vitezei unghiulare ω şi mărimea
;RM z1piv ′ν= (5.316)
2fM este momentul de frecare din lagărul cilindric, fiind deasemeni orientat în sens contrar vitezei unghiulare ω şi având mărimea
.RRrM 2y2
2x2f2f 22
′+′μ′= (5.317)
Notând cu fM , momentul rezultant de frecare în cele două lagăre, adică scriind
21 fpivff MMM ++=M (5.318) şi având în vedere faptul că acest vector este orientat pe axa de rotaţie zQ)( ′≡Δ , de versor k′ , se va putea scrie
,kff ′=MM (5.319)
fM fiind valoarea scalară a momentului rezultant de frecare în lagăre, raportată la versorul k′ .
– 355 –
În baza relaţiilor anterioare, se va putea scrie torsorul rezultant în polul Q, al solicitărilor exterioare pasive, sub forma
.kji
RQCMMM)R(kFjFiFRRRRRF
}F{T
zQyQxQ
21Q
ppp
22fpivftQp
pzpypx21ttp
pQ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
′′+′′+′′==×++++=
′′+′′+′′=++=+==
MMMMM (5.320)
b).Caracteristicile dinamice scalare ale rigidului În cazul acestei mişcări particulare, 0rQ = deoarece cei doi
poli coincid, QO ≡ , deci ,0vQ = expresiile caracteristicilor dinamice scalare, puterea mecanică şi lucrul mecanic elementar corespunzătoare unui sistem de solicitări exterioare },F{ Qextext M , vor lua forme simplificate şi anume
ϕ′=ω⋅== &
zQextQextext PP MM , (5.321)
respectiv ϕ′=Θ⋅== dddLdL
zQextQextext MM . (5.322)
∗ Stabilirea sistemului de ecuaţii scalare ale dinamicii mişcării de rotaţie Se pleacă de la forma a doua a ecuaţiilor vectoriale de mişca-re ale dinamicii rigidului
.K
;FFH
QQrot paQ
pa
MM +=
+=&
&
(5.323)
Ecuaţiile vectoriale de mişcare (5.323) trebuie scrise analitic în reperul mobil zyxQ)R( ′′′≡′ , pentru ca apoi să se proiecteze pe axele
– 356 –
acestui reper, în vederea obţinerii sistemului de ecuaţii scalare ale dinamicii mişcării de rotaţie a rigidului în jurul unei axe fixe. Se consideră mai întâi prima ecuaţie vectorială din (5.323)
pa FFH +=& , (5.324) unde
[ ] ).jj(xM)ii(yM)jxiy(Mdtd)H(
dtdH GGGG
&&&&&&&&&&& ′ϕ+′ϕ′+′ϕ−′ϕ−′=′′ϕ+′′ϕ−==
(5.325) În baza formulelor lui Poisson, derivatele în raport cu timpul ale versorilor mobili i′ şi j′ au expresiile
j001
00kji
ii ′ϕ=ϕ
′′′
=′×ω=′ &&& , .i010
00kji
jj ′ϕ−=ϕ
′′′
=′×ω=′ &&& (5.326)
Înlocuind în relaţia (5.325) expresiile (5.326) se obţine
.j)yx(Mi)xy(MH 2GG
2GG ′ϕ′−ϕ′+′ϕ′+ϕ′−= &&&&&&& (5.327)
În ceea ce priveşte membrul drept al ecuaţiei (5.324), se vor
putea scrie următoarele expresii analitice, în reperul )R( ′ , ale forţelor rezultante active şi pasive sub forma
.k)RR(j)RRR(
i)RRR(RRRF
;kFjFiFF
z1zty2y1yt
x2x1xt21tp
azayaxa
′′+′+′′+′+′+
+′′+′+′=++=
′′+′′+′′=
(5.328)
Observaţie
În cazul acestei mişcări particulare 0R zt =′ , deoarece rezis-tenţele elementare ale mediului sunt normale la axa de rotaţie zQ ′ , iar axele după care se produc deformaţiile elementelor elastice de legătură a rigidului cu exteriorul, sunt de regulă normale la axa de
– 357 –
rotaţie. Se consideră acum cea de-a doua ecuaţie vectorială din rela-ţiile (5.323), adică ecuaţia
,KQQrot paQ MM +=& (5.329)
care, deasemeni, trebuie scrisă analitic în reperul mobil )R( ′ . Se calculeaza expresia derivatei în raport cu timpul a momentului cinetic de rotaţie al rigidului
( )).kk(J)jj(J)ii(J
)kJjJiJ(dtdK
dtdK
zzyzxz
zzyzxzQQ rotrot
′ϕ+′ϕ′+′ϕ+′ϕ′−′ϕ+′ϕ′−=
=′ϕ′+′ϕ′−′ϕ′−==
&&&&&&&&&&&&
&&&&
(5.330)
Ţinând seama că derivatele versorilor i′ şi j′ în raport cu
timpul au expresiile (5.326) iar 0kkkk =′×′ϕ=′×ω=′ && , relaţia (5.330) va avea următoarea formă finală
.kJj)JJ(i)JJ(K zzyz2
xz2
yzxzQrot′ϕ′+′ϕ′−ϕ′−+′ϕ′+ϕ′−= &&&&&&&&& (5.331)
Expresiile analitice ale termenilor din membrul drept al ecuaţiei QpQarotQK MM +=& , se scriu sub forma
,k])R([
j]Rh)R([i]Rh)R([
0RRh00kji
kk)R(
j)R(i)R(RQC)R(
;kji
ftQ
x2tQy2tQ
y2x2
ftQ
tQtQ22ftQp
aaaa
z
yx
z
yxQ
zQyQxQQ
′+′+
+′′+′+′′−′=
=′′
′′′
+′+′′+
+′′+′′=×++=
′′+′′+′′=
MM
MM
MM
MMMMM
MMMM
(5.332)
– 358 –
Înlocuind în ecuaţiile (5.323), relaţiile (5.327), (5.328), (5.331)
şi (5.332), se obţine transcrierea analitică a lor, în reperul )R( ′ , adică rezultă ecuaţiile
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
′+′+′+′′+′+′+
+′′−′+′=
=′ϕ′+′ϕ′−ϕ′−+′ϕ′+ϕ′−
′′+′+
+′′+′+′+′+′′+′+′+′=
=′ϕ′−ϕ′+′ϕ′−ϕ′−
.k])R([j]Rh)R([
i]Rh)R([
kJj)JJ(i)JJ(
;k)RF(
j)RRRF(i)RRRF(j)yMxM(i)xMyM(
ftQax2ta
y2ta
zzyz2
xz2
yzxz
z1az
y2y1ytayx2x1xtax
2GG
2GG
zzQyQyQ
xQxQ
MMMMM
MM
&&&&&&&&
&&&&&&
(5.333)
Proiectând ecuaţiile (5.333), pe axele reperului mobil )R( ′ , prin
înmulţirea scalară a lor, pe rând, cu versorii k,j,i ′′′ , rezultă sistemul de ecuaţii scalare ale dinamicii mişcării de rotaţie a rigidului (S) în jurul axei fixe zQ)( ′≡Δ , de forma
.
)R(J.6
Rh)R(JJ.5
Rh)R(JJ.4
RF0.3
RRRFyMxM.2
RRRFxMyM.1
ftQazz
x2tQayz2
xz
y2tQa2
yzxz
z1az
y2y1ytay2
GG
x2x1xtax2
GG
zzQ
yyQ
xxQ
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+′+′=ϕ′
′+′+′=ϕ′−ϕ′−
′−′+′=ϕ′+ϕ′−
′+′=
′+′+′+′=ϕ′−ϕ′
′+′+′+′=ϕ′−ϕ′−
MMM
MM
MM
&&
&&&
&&&
&&&
&&&
(5.334)
Sistemului de ecuaţii scalare de mişcare (5.334) i se adaugă condiţiile iniţiale
.)0()0(
)0(:0t
o
o
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ω=ω=ϕ
ϕ=ϕ=
& (5.335)
– 359 –
Ultima ecuaţie din sistemul de ecuaţii scalare (5.334) se poate scrie sub forma generală
ΔΔΔΔ =ϕ=ϕ′ MM &&&& JsauJ (5.336)
şi ea se numeşte ecuaţia fundamentală a dinamici mişcării de rotaţie a rigidului în jurul unei axe fixe )(Δ . În relaţia (5.336), zzJJJ ′==′ ΔΔ reprezintă momentul de inerţie mecanic al rigidului faţă de axa de rotaţie zQ)( ′≡Δ , iar ΔM este valoarea scalară a momentului rezultant al tuturor forţelor active şi pasive în raport cu axa de rotaţie )(Δ . Această ecuaţie se foloseşte în aplicaţii atunci când nu se cere determinarea reacţiunilor. Pentru determinarea celor cinci reacţiuni dinamice necu-noscute, se folosesc primele cinci ecuaţii ale sistemului de ecuaţii scalare de mişcare (5.334), din care rezultă
.h1
F
)]R(JJ[h1
RyMxMR
;h1
F
)]R(JJ[h1
RxMyMR
;FR
;h1
)]R(JJ[h1
R
;h1
)]R(JJ[h1
R
xQ
x
yQ
y
xQx
yQy
aay
tQ2
yzxzyt2
GGy1
aax
tQyz2
xzxt2
GGx1
azz1
atQ2
yzxzy2
atQyz2
xzx2
M
M
M
M
MM
MM
′−′−
−′+ϕ′−ϕ′−′−ϕ′−ϕ′=′
′+′−
−′+ϕ′+ϕ′+′−ϕ′−ϕ′−=′
′−=′
′+′+ϕ′−ϕ′=′
′−′+ϕ′+ϕ′−=′
&&&&&&
&&&&&&
&&&
&&&
(5.337)
– 360 –
5.6.3. DINAMICA MIŞCĂRII
PLAN PARALELE A RIGIDULUI
∗ Parametrii de poziţie ai rigidului Se consideră planul Oxy paralel cu planul director şi care trece prin centrul de masă G al rigidului, Fig. 5.44.
Acest plan este, de regulă, plan de simetrie pentru rigid, deci axa perpendiculară pe plan, în polul mobil Q ales în centrul de masă al rigidului, GQ ≡ , notată zG ′ , este axă principală centrală de inerţie şi rezultă 0JJ yzxz =′=′ . În mişcarea plan paralelă liberă a rigidului sunt trei parametri de poziţie independenţi )3p( = , reprezentaţi prin coordonatele Gx şi
Gy , faţă de reperul fix Oxy, ale polului mobil G şi unghiul de rotaţie proprie ϕ . Aplicarea unor legături suplimentare introduce restricţii parametrilor independenţi ai rigidului, rezultând condiţia 3p ≤ .
Fig. 5.44
Gr
x′ε
Ga
Gy
Gx
y
(Σ )
O
GQ ≡
y′
Gv
x
ϕ
ω
– 361 –
∗ Parametrii cinematici ai rigidului Parametrii cinematici de ordinul I
.0kk
ojyixv GGG
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠′ϕ=ϕ=ω
≠+=
&&
&& (5.338)
Parametrii cinematici de ordinul II
.}0sau0{kk
}0sau0{jyixa GGG
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠=′ϕ=ϕ=ω=ε
≠=+=
&&&&&
&&&& (5.339)
Deplasările elementare ale rigidului au expresiile
.kddtdd
;jdyidxdtvrd GGGG
′ϕ=ω=ϕ=Θ
+== (5.340)
∗ Caracteristicile inerţiale ale rigidului În mişcarea plan paralelă a rigidului, caracteristicile inerţiale
sunt reprezentate prin: – masa rigidului (S), notată M; – momentul de inerţie axial JJJ zzz =′=′ , pentru că momentele
de inerţie centrifugale sunt egale cu zero. ∗ Caracteristicile cinetice ale rigidului În baza condiţiilor cinematice (5.338) şi (5.339), se obţin
următoarele forme particulare pentru caracteristicile cinetice:
– Impulsul ).jyix(MvMH GGG && +== (5.341)
– Momentul cinetic • în polul mobil GQ ≡
– 362 –
.JkJkJKK zzGQ ω=′ϕ=′ω′== & (5.342)
• în polul fix O
.vMrJHrKK GGGGO ×+ω=×+= (5.343) Relaţiile (5.341) şi (5.342), permit să se scrie expresiile
torsorului impulsurilor în polul mobil GQ ≡ , sub forma
}JK;vMH{}H{T GG ω=== (5.344)
şi în polul fix O, sub forma
}.vMrJHrKK;vMH{}H{T GGGGOG ×+ω=×+=== (5.345) – Energia cinetică
).JvM(21E 22
Gc ω+= (5.346)
∗ Caracteristicile dinamice ale rigidului
a) Caracteristicile dinamice vectoriale Se consideră că asupra rigidului (S) acţionează un sistem de
solicitări exterioare format din:
Un sistem de solicitări exterioare active al cărui torsor rezultant, în polul GQ ≡ , are forma
.},F{}F{T GaaaG M= (5.347)
Un sistem de solicitări exterioare pasive format din
solicitările rezistente - rezistenţele mediului zR şi rezistenţele de amortizare aR (rezistenţe totale) şi din solicitările de reacţiune R , torsorul rezultant în G, având forma
– 363 –
.)R()R(
RRRRRF}F{T
GtGp
tazppG
G ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
+=++==
MMM (5.348)
În baza relaţiilor (5.347) şi (5.348), se poate scrie torsorul
rezultant în polul mobil GQ ≡ , al solicitărilor exterioare, sub forma
.jFiFFFFF
}F{TGGG
yx
paext
extextextpaG
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
+==+==
MMM (5.349)
În condiţiile acestei miscări particulare, forma a treia a ecua-
ţiilor vectoriale de mişcare, va avea expresiile de mai jos
⎪⎩
⎪⎨⎧
=′′=′ϕ=ε
=+=+=
.kkJJ
;FjFiF)jyix(MaM
GzG
xx
extext
extextextGGG
MM&&
&&&& (5.350)
b).Caracteristicile dinamice scalare ale rigidului
Ţinând seama de condiţiile cinematice specifice acestei mişcări, expresiile caracteristicilor dinamice scalare, puterea mecanică şi lucrul mecanic elementar, corespunzătoare unui sistem de solicitări },F{ Gextext M , au forma
,yFxFvFPzGyxG extGextGextextGextext ϕ′++=ω⋅+⋅= &&& MM (5.351)
respectiv,
.ddyFdxF
drdFdL
zGyx
G
extGextGext
extGextext
ϕ′++=
=Θ⋅+⋅=
M
M (5.352)
– 364 –
∗ Stabilirea sistemului de ecuaţii scalare
ale dinamicii mişcării plan paralele
Ecuaţiile vectoriale ale dinamicii rigidului corespunzătoare formei a treia, vor lua formele
⎪⎩
⎪⎨⎧
++=ε
++=
),R()R(J
;RRFaM
GtGa
taG
GMMM
(5.353)
care, ţinându-se seama de condiţiile cinematice şi de relaţiile (5.349), se mai pot scrie astfel
⎪⎩
⎪⎨⎧
′′+′+′=′ϕ
+++++=+
.k)]R()R([kJ
;j)RRF(i)RRF()jyix(M
zzzG GtGa
yytayxxtaxGG
MMM&&
&&&& (5.354)
Proiectând prima dintre ecuaţiile vectoriale (5.354) pe axele reperului fix Oxy, prin înmulţirea scalară, pe rând, cu versorii j,i şi cea de-a doua pe axele reperului mobil yxG ′′ , prin înmulţirea scalară cu versorul k ′ , se obţine sistemul de ecuaţii scalare ale miscării plan paralele a rigidului
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
′+′+′=ϕ
++=
++=
).R()R(J.3
;RRFyM.2
;RRFxM.1
zzzG GtGa
yytayG
xxtaxG
MMM&&
&&
&&
(5.355)
Sistemului (5.355) i se asociază condiţiile iniţiale, de forma
.)0(;)0(
vy)0(y;y)0(yvx)0(x;x)0(x
:0tooo
oG
oGGGG
oG
oGG
oGG
y
x
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ω=ϕ=ϕϕ=ϕ======
=&&
&&
&&o (5.356)