Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

Soluţie

1. a) Se arată că 3 eα = .

b) Deoarece 3 eα = rezultă că 2009 2 1 2 3

2 3 1α α

= =

. Ecuaţia devine 2 x eα ⋅ = , cu unica soluţie

1 1 2 3

3 1 2x −

=α = =α

.

c) Fie 1 2 3 4 5 6σ = σ ⋅σ ⋅σ ⋅σ ⋅σ ⋅σ o ordonare oarecare a factorilor.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 1 1

m m m m m mσ + σ + σ + σ + σ + σε σ = ε σ ⋅ε σ ⋅ ε σ ⋅ ε σ ⋅ ε σ ⋅ ε σ = − = − .

2. a) ( )2 1z i= + .

b) Dacă [ ]z a bi i= + ∈ este inversabil, atunci 2 2 1a b+ = , deci 1a = ± şi 0b = sau 0a = şi 1b = ± .

Rezultă că { }1;z i∈ ± ± . Cum 1± şi i± sunt inversabile în [ ]i , rezultă concluzia.

c) z a bi= + cu ,a b ∈ aparţine lui H ( )2 / a b⇔ + . Dacă a bi+ , c di H+ ∈ rezultă

( )( )a bi c di H+ + ∈ deoarece ( ) ( )2 / c a b d a b+ + − .