cursscoaladoctorala

8/2/2019 cursscoaladoctorala

1/27

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

1

ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE

FINITE SI INSTABILITATI NUMERICE IN CALCULUL

LINIAR SI NELINIAR AL STRUCTURILOR

1. DISCRETIZAREA STRUCTURILOR.

1.1 Generalitati

Prin discretizarea unei structuri se intelege subinpartirea acesteia intr-un numar oarecarede elemente finite sau retea de puncte de integrare numerica, interconectate in nodurilelor exterioare. In cadrul acestei operatii se aleg tipurile de elemente finite care vor fiutilizate si se stabilieste repartitia lor pe domeniul discretizat, rezultind astfel numarul,

dimensiunea si forma acestora.La structurile care pot fi asimilate ca fiind alcatuite numai din bare, modelul de calcul cerezulta in urma discretizarii structurii asigura satisfacerea conditiilor de compatibilitate side echilibru atit in interiorul fiecarui element cit si pentru intreaga structura; la structurilebi si tri dimensionale, modelul de calcul rezultat prin discretizare nu satisface conditiilementionate decit partial.


2/27


2

Fig.1De asemenea fortele nodale care depind de gradele de libertate prevazute in nod, nu au inacest caz corespondenta fizica in structura data, in cazul elementelor finite liniare aceteforte coincizind chiar cu eforturile rezultante din sectiune.

Din aceasta cauza, pentru ca rezultatele obtinute prin calculul condus pe un model cuelement bi sau tri dimensionale sa aproximeze cit mai bine solutia problemei discretizareatrebuie sa aiba la baza o analiza atenta a starii de deformatii si eforturi din structura, luindin considerare aspectele legate de forma, material, rezemare si incarcare pe care leprezinta aceasta.

Pozitia nodurilor, respectiv a liniilor sau suprafetelor de separare intre elementele finite(linii, suprafete nodale) este conditionata atit de prezenta unor variatii in geometriastructurii sau calitatea materialului acesteia, cit si de existenta unor incarcari concentratesau chiar distribuite, dar dupa legi de variatie discontinue. In figura 1 sunt prezentateschematic citeva situatii in care pozitia nodurilor sau a liniilor nodale este impusa

In cazul structurilor bidimensionale se pot utiliza pentru modelare elemente finitetriunghiulare sau patrulatere, elementele triunghiulare asigurind posibilitati mai largi inceea ce priveste aproximarea geometriei contururilor, in timp ce elementele patrulaterereproduc mai corect distributia de tensiuni. Este indicat sa se utilizeze elemente cit maiapropiate de triunghiul echilateral, respectiv de patrat. Nu se recomanda utilizareatriunghiurilor cu unghi foarte obtuz sau a elementelor patrulatere prea alungite.

Aproximind o structura printr-un anumit numar de element finite, de un anumit tip,modelul de calcul optim este caracterizat prin energia potentiala minima. Aceastaproprietate poate furniza criteriul de alegere a variantei opime de discretizare. In acestscop se analizeaza structura in diferite variante de discretizare si se determina energiapotentiala pentru fiecare caz cu relatia:

=

=m

i

ii

T

i

12

1ukuP

Folosind acest criteriu se poate stabili configuratia optima a retelei de discretizarecorespunzatoare unui numar dat de puncte de nodale si se pot face aprecieri in ceea cepriveste calitatea modelarii in functie de tipurile de elemente finite utilizate.

In cazul existentei unor concentratori de tensiune cum este cazul intrindurilor in virful

unghiului concav va trebui plasat un nod. Cind se urmareste efectul local alconcentratorului de tensiune, pentru cunoasterea virfului de tensiune uneori sepreconizeaza procedeu indesirii succesive a retelei in zona cercetata in functie de stareade tensiune si deformatie din zona respectiva la momentul de timp considerat.

Prezenta unor fisuri necesita dedublarea nodurilor in retea, la capatul fisurii fiind dispusun singur nod. Pentru a prinde efectul local al concentratorului de tensiune de la capatulfisurii si in acest caz sunt imaginate elemente finite speciale cu fisura. In ceea ce priveste


3/27


3

tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind elementefinite cu margini drepte (triunghi, patrulater oarecare, tetraedru) fie ca se apeleaza laavantajele elementelor finite izoparametrice cu margini curbe.

Fig.2. Model numeric pentru analiza la solicitari dinamice a unui stilp din beton armatRafinarea retelei de discretizare pe zonele plastic potentiale

(a) Retea cu pas variabil(b) Discretizare diferita pe zona de impact

respectiv pe zona conturului circular

(c) Detaliu de dicretizare a proiectilului sferic


4/27


4

Fig. 3. Model numeric pentru analiza la impact balisticIn analiza cu elemente finite a starii de deformatie si tensiune a mediilor continue infinitesau semi-infinite (modelarea terenului de fundare, modelarea zonelor de impact balistic),o problema esentiala este precizarea limitelor semispatiului sau semiplanului cercetat.Avind in vedere faptul ca efectul actiunilor descreste cu distanta pina la punctul de

aplicatie al incarcarilor, mediul continuu va trebui extins pina in zona unde acest efecteste neglijabil, iar conditiile de rezemare, in lungul acestei margini, idelaizate; daca, deexemplu, deplasarile nodurilor retelei in lungul acestei margini sunt foarte mici acesteapot fi blocate, considerindu-le deci fixe.

Pentru structuri complexe si cu dimesniuni mari, majoritatea programelor de calculpermit generarea automata a topologiei si a coordonatelor nodurilor, reducind prinaceasta substantial volumul datelor initiale.

1.2 Efectul discretizarii asupra rezultatelor numerice

Rezultatele (deplasarile si tensiunile) care se obtin cu metoda elementelor finite suntdependente de solutia de discretizare aleasa. Din acest motiv exista situatii in special incazul unor geometrii complicate cind problema inginereasca abordata cu aceste metodetrebuie investigata in mai multe variante de discretizare urmind sa se trieze rezultateleobtinute.

Pentru solicitari dinamice influenta marimii retelei este chiar mai importanta intrucit suntadaugati mai multi termeni in modelul constitutiv (strain rate effect), iar daca nu estedispusa o retea de elemente finite suficient de densa rezultatele numerice ale modeluluipot fi invalidate de o alegere gresita a retelei. Pe de alta parte, efectul de manipulare alerorilor creste odata cu numarul de elemente utilizat. Erorile numerice sunt datoratetruncherilor, erorilor de tip round-off si a datelor de intrare.

Pentru studiul influentei discretizarii, cea mai comuna metoda este de injumatatire aretelei si comprarea primei retelei injumatatite cu cea de a doua cu reteaua dublata, iardaca rezultatele sunt neglijabile analiza se considera acceptabila. In analiza cu elementefinite a problemelor cu caracter dinamic este important a se utiliza citeva retele pentru ase asigura de acuratetea rezultatelor. Schimbarea dimensiunii mesh-ului in structuraanlizata trebuie facuta insa cu multa atentie. Pentru a realiza in mod efectiv o crestereapreciziei rezultatelor prin rafinarea succesiva a retelei de elemente finite se impunerespectarea urmatoarelor trei criterii:

Fiecare discretizare anterioara trebuie sa se regaseasca in cea noua.

Fiecare punct al structurii trebuie sa se afle totdeauna in cadrul unui elementfinit. Functia de aproximare (tipul de element) trebuie sa ramina aceeasi cind se

trece de la un element la altul.Trebuie facuta insa observatia ca de la un anumit numar de elemente finite, rezultatele numai pot fi imbunatatite prin cresterea numarului acestora, impunindu-se schimbareatipului de element finit utilizat.


5/27


5

Fig.

Figura 4 prezinta modelul numeric de analiza a unui element din beton supus impactuluidinamic a unui proiectil din otel. Au fost studiate sapte tipuri de retele. Dupa cum sepoate observa adincimea penetrarii este sensibil influentata de calitatea retelei dediscretizatre.

Fig. 4

Tableul 1 Dimensiunea si numarul de elemente utilizate la discretizare


6/27


6

Fig. 5 Adincimea penetrarii

Fig. 6 Studiu parametric. Influenta retelei asupra marimii craterului


7/27


7

2. TEHNICI DE MODELARE A STRUCTURILOR SUB ACTIUNEA

INCARCARILOR DINAMICE SEVERE ( IMPACT, EXPLOZII)

In aplicarea metodei elementelor finite la calculul structurilor exista in principal douametode de descriere a miscarii materialului asociat retelei de discretizare a structurii, sianume modelul Lagrangian respectiv modelul Eulerian.

Fig.7 Modelul Lagrangian (stinga) respectiv modelul Eulerian(dreapta)


8/27


8

Fig. 8 Modelele numerice (a) Lagrangian (b) Eulerian utilizate la modelarea problemei deimpact

In modelul Lagrangian reteaua de discretizare se distorsioneaza impreuna cu materialulaasociat celulelor (elementelor) de discretizare, in timp ce in modeul Eulerian reteaua dediscretizare (mesh-ul) ramine fixa in spatiu, doar materialul miscindu-se in interiorulceluleor de discretizare. Pentru a permite miscarea materialului dimensiunea mesh-uluieste mai mare decit corpul original.

In cazul deplasarilor si deformattiilor mari modelul Lagrangian prezinta dezavantajulprobelemelor numerice datorate distorsionarii severe a elementelor si intersectei acestoracare conduce la pierderea acuratetei solutiei la timp de integrare numerica foarte mic sichiar la oprirea procesului de analiza. Pentru depasirea acestor probleme trebuie aplicatetehnici de "rezonare" a elementelor puternic distorsionate sau la aplicarea tehnicii de"erodare" a elementelor ce inregistreaza deformatii accentuate. Rezonarea este o tehnicade creare a unei retele noi de discretizare in functie de nivelul de distorsionare aelementelor dintr-o zona oarecare a corpului original. Prin tehnica de "erodare" anumiteelemente sever distorsionate sunt eliminate din modelul numeric atunci cind un anumitcriteriu, cel mai adesea cind deformatiile plastice au atins un anumit nivel extrem, esteindeplinit. "Erodarea" poate altera solutia fizica a problemei intrucit masa si energia dedeformatie interna a elementlor este eliminata din intregul asamblu al sistemului initial.

Ambele metode descrise, atit cel Lagrangian cit si cel Eulerian sunt bazate pe definireaunei retele de discretizare (grid-based techniques). Pentru modelarea corpurilor care

Deformatii mari

Deformatii mari


9/27


9

inregistreaza deformatii mari este recomandabila utilizarea tehnicii SPH (Smot ParticleHydrodynamics) in care, spre deosebire de modelele anterioare, nu mai apar problemelegate de distorsionarea severa a elementelor si care sa conduca la instabilitati numerice.

Fig. 9 Modelul numeric Lagrangian - problema de impact


10/27


10

Impact balistic asupra unei placi compozite (Kevlar/Ceramica)

Fig. 10 Modelarea mixta Lagrangian+ SPH a zonei de impact

Fisurarea cermicii sub formaunui conoid

Delaminarea-

placii de Kevlar


11/27


11

3. INSTABILITATI NUMERICE IN CALCULUL NELINIAR AL

STRCUCTURILOR

3.1. Introducere

Prin analiza statica elasto-plastica de ordinul al II-lea se intelege orice tip de analiza careurmareste sa surprinda atit efectul neliniaritatii fizice cit si a celei geometrice, respectivinfluenta modificarii geometriei structurii, asupra marimii deplasarilor si eforturilorstructurii. In acest caz controlul solutiei consta in aplicarea unui calcul incremental sauincremental-iterativ si indeplinirea concomitenta a ambelor conditii ce trebuie satisfacutein situatia de echilibru, compatibilitatea deformatei si echilibrul static al nodurilor, lafiecare increment al incarcarii exterioare. In principal, procedeele de acest fel pot figrupate in urmatoarele categorii: (1) metoda pasilor controlati de incarcari, (2) metodapasilor controlati de deplasari si (3) metoda pasilor controlati de lungimea de arc ("arc

length control method"). De mentionat faptul ca aplicarea unei metode incremental-iterative din categoria (2) sau (3) premite si studiul comportarii structurii in domeniulpostcritic, spre deosebire de cazul metodelor din categoria pasilor controlati de incarcari,cind analiza este oprita la momentul atingerii incarcarii limita.

Raspunsul neliniar al unei structuri se datoreaza in principal modificarii caracteristicilorsale de rigiditate corespunzatoare diferitelor niveluri de intensitate ale actiunilorexterioare. Variatia rigiditatii provine din doua cauze importante, si anume: neliniaritateageometrica si neliniaritatea fizica.

Neliniaritatea geometrica se manifesta prin doua efecte importante: un efect local, deflexibilizare a barelor comprimate, modelat in analiza prin considerarea functiilor destabilitate in formularea metodei deplasarilor, respectiv prin considerarea matricelor derigiditate geometrica in formularea elementelor finite si un efect global, datoratmodificarii configuratiei geometrice a nodurilor structurii, modelat in analiza prinformularea Lagrangiana adoptata (actualizata sau totala).

Neliniaritatea fizica sau materiala se manifesta prin modificarea parametrilor curbeicaracteristice a materialului, ca urmare a cresterii nivelului de solicitare. Pentrustructurile in cadre plane metalice neliniaritatea fizica se manifesta prin plastificarealocala a sectiunilor si a dezvoltarii acestor zone plastice in lungul barelor, urmarindstarea de eforturi ce produce violarea curbei de inetractiune N-Mcorespunzatoare initieriicurgerii.

In principiu, utilizind una din metodele de analiza elasto-plastica de ordinul al II-leaamintite, curbele de raspuns forta-deplasare pentru cazul unor actiuni statice suntprezentate in figura 11.


12/27


12

Fig. 11

3.2. Metoda elementelor finite in studiul comportarii postelastice

Analiza statica neliniara genereaza, in metoda elementelor finite, sisteme de ecuatiineliniare, pentru rezolvarea carora se recurge la liniarizarea prin metoda secantelor sauprin metoda tangentelor. In concordanta cu acestea se definesc matricea secanta arigiditatilor, respectiv matricea tangenta a rigiditatilor. Determinarea matricelorcaracteristice ale elementelor finite, in formularea deplasarilor, se bazeaza pe principiuldeplasarilor virtuale si, considerarea unei functii de deplasari, de obicei sub formapolinomiala, cu ajutorul careia se pot exprima deplasarile oricarui punct din interiorulelementului, in raport cu deplasarile nodurilor de la capetele elementului finit. Odatacunoscut cimpul de deplasari, pe baza unui studiu geometric, se poate determina starea dedeformatie specifica si de efort unitar din element. Daca se tine seama ca deformatastructurii nu se incadreaza in domeniul micilor deplasari, pentru o bara dintr-o structuraplana, unde din tensorul deformatiilor se retine numai deformatia specificacorespunzatoare axei longitudinale a barei, expresia acesteia nu mai poate fi mentinutasub forma simpla, ci trebuie adaugati unul sai mai multi termeni pentru a tine seama deinterdependenta dintre solicitari. Pentru fiecare asemenea forma va rezulta o alta alcatuirea matricei de rigiditate secanta respectiv tangenta, alegerea celei mai potrivite depinzindde natura problemei studiate si de gradul de aproximare dorit.

Analiza elasto-

plastica (articulatii

plastice) de ordinul I

Analiza rigid plastica

Analiza elasto-

plastica de ordinul al

II-lea

Modelul clasic al

articulatiilor plastice

Modelul

plastificarii

distribuite sau al

artic. plastice

imbunatatite

d (deplasare)

p

(factorde

incarcare)


13/27


13

Formularea calculului neliniar in metoda elementelor finite, implica rezolvareaurmatoarelor doua aspecte principale:

(1) Determinarea ecuatiilor ce caracaterizeaza comportarea neliniara astructurilor, sub cele doua aspecte, cel fizic si cel geometric:.

(a) adoptarea relatiilor neliniare intre deformatiile specifice si deplasari.

(b) adoptarea unui model pe baza caruia sa se deduca relatiile constitutiveneliniare s-e(c) aplicarea principiului deplasarilor virtuale pentru determinarea ecuatiilor

de echilibru static.(2) Rezolvarea acestor ecuatii neliniare, prin metoda elementelor finite. Principiul

metodei elementelor finite aplicat in studiul structurilor din bare, consta in separareastructurii prin linii imaginare rezultind un anumit numar de elemente finite. Elementelefinite sunt presupuse ca se interconecteaza intr-un numar discret de puncte nodale situalela capetele lor; deplasarile acestor puncte nodale se considera a fi parametrii necunoscuti.Deplasarile punctelor din interiorul fiecarui element finit sunt exprimate in functie dedeplasarile nodurilor de interconexiune, cu ajutorul unor functii de deplasari. Functiile de

deplasari, odata definite, servesc la deducerea starii de eforturi unitare in diverse sectiunisi fibre, din interiorul elementului finit. Solutionarea sistemului de ecuatii neliniareimplica aplicarea urmatoarelor proceduri

(a) Adoptarea tipului de element finit si asocierea gradelor de libertate in functiede natura problemei studiate si de gradul de aproximare dorit.

(b) Definirea functiilor de deplasari pe baza carora se definesc deplasarile ininteriorul elementului finit.

(c) Exprimarea ecuatiilor de echilibru in functie de deplasarile gradelor delibertate asociate elementului finit utilizat.

(d) Aplicarea unor procedee incrementale sau incremental iterative pentru

rezolvarea sistemelor de ecuatii neliniare rezultate

3.2.1 Determinarea matricelor caracteristice ale elementelor finite.Tipul de element finit utilizat in acest studiu este cel de bara dreapta cu sase grade delibertate (3 grade de libertate pe nod), corespunzatoare deplsarilor axiale, verticale sirotirilor (fig. 12.).

Fig. 12

z

Ti, vi

x

i

L

Bara ij

M

Nj, uj

Tj, vj

Mi, qiNi, ui


14/27


14

Acceptind modelul de comporatre elastic-perfect plastic al materialului (descarcarea areloc considerind modulul de elasticitate initial, iar reconsolidarea nu este luata inconsiderare), energia potentiala de deformatie a elementului finit poate fi scrisa in modulurmator :

++=p

c

c

e c V

pc

V

e dVdddVdUe

e

e

eeseses 0 (1)

Legatura neliniara intre deformatia specifica axiala (incrementala) si deplasari, fata desistemul de referinta fix al sectiunii transversale curente a elementului finit (fig. 12),poate fi scrisa acceptind comportarea elastica pe parcursul unui increment al incarcarii,astfel:

2

22

2

1

dx

vdy

dx

dv

dx

du-

+=e (2)

Pentru aproximarea cimpului de deplasari din interirul elementului finit, se utilizeaza

functiile standard de interpolare Lagrange pentru deplasarile axiale si Hermite pentrudeplasarile transversale. Prin intermediul acestor functii de interpolare se aproximeazadeplasarile punctelor, din lungul axei de referinta initiala (fixa) a elementului finit (fig.12.), dupa cele doua directii, longitudinale si transversale, in functie de deplasarile nodalecunoscute, considerind o variatie liniara (Lagrange) pentru reprezentarea deplasariloraxiale, u, respectiv o variatie polinomiala cubica (Hermite) pentru reprezentareadeplasarilor transversale, v. Notind cu d vectorul deplasarilor nodale ale elementului finitreprezentat in fig. 12., cimpul de deplasari se poate exprima in functie de vectorii deinterpolare corespunzatori deplasarilor axiale, uN si transversale, vN astfel:

dN = uu ; dN = vv (3)unde:

-= 0,0,,0,0,1L

x

L

xuN (4)

+--+-+-= 32

233

22

32

233

22

11,

23,0,

12,

231,0 x

Lx

Lx

Lx

Lx

Lx

Lxx

Lx

LvN

Exprimind variatia de ordinul II a energiei potentiale totale de deformatie a elementuluifinit rezulta expresia matricei de rigiditate tangenta, in coordonate locale, prinintermediul careia se exprima relatia neliniara intre variatia fortelor si variatiadeplasarilor, si care poate fi scrisa simbolic, sub forma matriceala astfel:

FdK D=Dt (5)unde FD si dD reprezinta vectorul variatiei fortelor si respectiv vectorul variatieideplasarilor nodale ale elementului finit, in coordonate locale, iar

tK reprezinta matricea

de rigiditateConsiderarea dezvoltarii zonelor plastice in sectiunile transversale ale elementelor

finite se face prin impartirea acestor sectiuni printr-un cadrilaj de ochiuri dreptunghiulare(fig. 13) si explicitarea deformatiilor in dreptul acestora utilizind ecuatia (2) in functie devalorile deplasarilor incrementale de la capetele elementului finit, actualizindu-se astfel la


15/27


15

fiecare pas valorile deformatiilor totale, pe baza deformatiilor din pasii anteriori:k

i

k

i

k

i eee D+=-1

ri

k

vi

k

v

T

v

Tkk

u

k

i y e+D-DD+D=eD---- 1''1''''11'

2

1dNdNNddN (6)

Prin monitorizarea explicita a deformatiilor in fiecare fibra a sectiunii transversale, pentru

fiecare increment al incarcarii, prin intermediul relatiilor (6), se ia in considerare cumaxima acuratete dezvoltarea graduala a zonelor plastice si a descarcarilor elastice infibrele sectiunii precum si influenta deformatiilor din tensiuni reziduale, eri, asupracaracteristicilor de deformabilitate si rigiditate ale sectiunilor. O fibra se consideraplastificata in momentul in care deformatia totala corespunatoare unui anumit incrementkal incarcarii depaseste valoarea deformatiei de initiere a curgerii ec.

Pentru evaluare integralelor de suprafata care intervin in relatiile (1-6), dedeterminare a caracteristicilor de rigiditate ale sectiunilor transversale, se pot utilizadiferite metode numerice de integrare numerica cum ar fi metoda Simpson sau metodaGauss. Desi metoda Gauss este in general mai eficienta din punct de vedere al numaruluide puncte utilizate (la acelasi numar de puncte de integrare are o precizie mai buna decitmetoda Simpson) deseori in programele de analiza este utilizata metoda Simpson.Motivul principal al acestei alegeri il constituie faptul ca reteaua de puncte de integrarepresupusa de metoda Simpson surprinde si frontiera domeniului de integrare, adicatocmai fibrele cele mai puternic solicitate, in timp ce metoda Gauss nu considera punctede integrare in aceste zone.

3.2.2 Integrari numerice in metoda elementelor finite

Matricele de rigiditate secanta respectiv tangenta ale elementelor finite pot fi determinatedoar aproximativ prin intermediul unor metode numerice de integrare numerica afunctiilor de o singura variabila, deoarece caracteristicile de rigiditate ale sectiunilor din

lungul elementelor finite, ce intervin in expresiile matricelor de rigiditate, sunt marimi cucaracter discret, ce depind de valoarea deplasarilor de la capetele elementului. Cea maieficienta metoda de integrare numerica, utilizata in acest caz, ca urmare a considerariiunei variatii polinomiale ale deplasarilor in interiorul elementului finit, este considerata afi metoda Gauss in diferite variante (Gauss-Legendre, Gauss-Lobatto). In figura 13 seprezinta modul de discretizare a elementului de bara in elemente finite si a sectiunilortransversale din dreptul punctelor de integrare numerica Gauss a elementelor finite.

(ec.3.99)

k

ie Suprafata dreptunghiulara

elementara (fibra)

Nod de elementfinit Punct de integrare

Gauss-Legendre

n43 21


16/27


16

In cazul aplicarii unei metode de tip Gauss trebuie avut in vedere faptul ca limitele deintegrare sunt diferite. Astfel printr-o schimabre de variabila corespunzatoare, se reduceorice integrala cu limite finite (a, b, a


17/27


17

Este stiut faptul ca cuadratura gaussiana ne da, la acealasi numar de puncte, o

precizie mai buna decit metoda lui Simpson-simpla, presupunind ca nu putem localizaaceste puncte, si ca urmare a faptului ca varianta Gauss-Lobatto fata de Gauss-Legendreconsidera noduri si la capetele barei, aceasta varianta este de preferat.

Fig.14 Distributia factorilor de pondere pentru (a) Gauss-Legendre (b) Gauss-Lobatto

In cazul integrarii numerice pe domenii (cazul bi-dimensional) cuadratura Gauss seexprima in modul urmator:

( ) ( )=

-==

n

i

iiifHddfI1

1

1,, hxhxhx

unde ix , jh reprezinta coordonatele punctelor de integrare iar Hi sunt coeficientii de

pondere.

Distribuita si coeficientii de pondere a punctelor de integrare pentru elemente finite deforma patrulater si triunghi este data in tabelele de mai jos.


18/27


19/27


19

3.3 Metode de determinare a solutiei in calculul elasto-plastic de ordinul al II-lea

In studiul comportarii neliniare a structurilor intereseaza atit modul de comportare a

structurii pina la atingerea incarcarii limita ce produce colapsul structurii cit si modul decomportare post critic, astfel incit este necesar ca ecuatia (3.102) sa fie rescrisa suburmatoarea forma:

( ) 0=l- FdP (1)in care cu l s-a notat factorul de incarcare corespunator unei anumite situatii de echilibrustabil sau instabil al structurii. Pentru rezolvarea acestui sistem cu n ecuatii de echilibru si(n+1) necunoscute (deplasarile generalizate corespunzatoare celor n grade de libertate alestructurii respectiv l parametrul incarcarii de referinta F ), o ecuatie aditionala deconstringere trebuie introdusa. In general aceasta ecuatie poate fi scrisa sub urmatoareaforma:

( ) ( )2212

11

21

cdd

mm

n

n

k

m

k

m

kk =-+-

-

+=

-

llabb (2)in care a reprezinta un coeficient de normalizare a dimensiunilor incarcarilor cu cele aldeplasarilor, indicele superior m semnifica pasul corespunzator pozitiei de echilibrucurente, c este o valoare prescrisa a lungimii de arc dintre doua puncte succesive m si m-1 de echilibru, iar coeficientii bk (k=1,2,3, ,n+1) sunt parametrii de control aialgoritmului de rezolvare a sistemului (3.107). Dupa cum se poate observa in figura 15.a,ecuatia (2) in cazul in care 0=kb ( )nk ,...2,1= si 11 =+nb corespunde metodei pasilorcontrolati de incarcari; ecuatia de constringere corespunzatoare metodei pasilor controlatide deplasari se obtine prin particularizarea ecuatiei (2) daca 1=kb si 0=ib ( )ki (fig.

15.b); iar metoda pasilor controlati de lungimea de arc (arc-length control) corespundesituatiei in care toti parametri

kb =1 (fig.15.c).

Fig.15 Ecuatii de constringere pentru diferite metode de control pentru trasarea curbeiincarcare -deplasare

Snap-Through

Snap-Back

Control in deplasaricdd

ii =-+1Control in incarcari

cii =-+ ll 1

m+1c1

mm

m+1

m+1

m

c2

c

d3d2d1

l

dd

l

cl3

l2

l1

d

l

Control in lungimea de arc

( ) ( ) 22121 cdd iiii =-+- ++ ll

Snap-Through

(a) (b) (c)


20/27


20

3.4 Exemple numerice

Un studiu cu privire la eficien a metodelor de integrare numeric Gauss-Lobatto, respectiv Gauss-Legendre este prezentat n continuare.

Fig. 16. Curbele nc rcare-rotire.

Fig. 17. Distribu ia procentual a sec iunilor plastificate n lungul barei.

n figura 16 sunt prezentate comparativ curbele nc rcare-rotire, pentru cap tul dindreapta al grinzii, n cazul utiliz rii metodei "exacte" Simpson-repetat, pentru efectuareaintegralelor n lungul barei, respectiv utiliznd metoda numeric Gauss-Lobatto, considernd un

num r par respectiv impar de puncte de integrare. Se observ o bun concordan ntre curba"exact " ob inut cu metoda Simpson-repetat, cu cea ob inut prin utilizarea metodei Gauss-Lobatto, cu 9 puncte de integrare numeric . De asemenea, este de observat c , n cazul de fa ,datorit faptului c zona plastic poten ial se afla la mijlocul grinzii (mijlocul intervalului [-1,1]),este nevoie de un num r par de puncte de integrare mult mai mare dect cel impar pentru oprecizie asem n toare, datorit faptului ca n cazul unui num r par de puncte de integrare, nu esteprev zut punct de integrare la jum tatea intervalului de integrat (mijlocul grinzii), n contrast cucazul unui num r impar.

98.7%

Fibre plastificate comprimate

Fibre plastificate intinse

Articulatie plastica


21/27


21

Eficien a metodei numerice de integrare Gauss-Lobatto fa a de metoda Gauss-Legendreva fi testat n urm torul exemplu de calcul.

Se consider cazul unei grinzi continue cu trei deschideri, cu o deschidere central delungime L=3,524m i dou deschideri laterale aL, ac ionat de o for a uniform distribuit nlungul deschiderii centrale (fig. 18). Se observ ca pentru a0 grinda continu se transformintr-o grind dublu ncastrat n reazemele 2 i 3, n care caz zonele plastic poten iale sunt

concentrate la capetele i la mijlocul grinzii centrale.

Fig. 18. Grinda continu cu trei deschideri.

Fig. 19. Testarea metodei de cuadratur Gauss-Lobatto.

Un num r impar de puncte de integrare Gauss-Lobatto, acoper n totalitate aceste sec iuni, ntimp ce un num r similar de puncte Gaus-Legendre omit capetele intervalului de integrare(capetele grinzii centrale), conducnd, n acest caz, la erori semnificative la determinarear spunsului neliniar. Curbele comparative nc rcare-rotire, pentru capatul 3 al grinzii centrale,ob inute utiliznd aceste dou metode numerice de integrare, precum i n cazul utiliz rii metodeiSimpson-repetat sunt reprezentate grafic n figura. 19.


22/27


22

Fig. 20. Compararea metodelor de cuadratura Gauss-Lobatto i Gauss-Legendre (curbelenc rcare-rotire pentru cap tul 3 al grinzii centrale).

Comportarea elasto-plastic a sec iunilor din lungul barei a fost modelat pe bazarela iilor analitice propuse in [1] considernd src=0,333sc. n figura 21 sunt prezentate curbelecomparative nc rcare-rotire pentru cap tul 3 al grinzii centrale, n ipoteza form rii articula iilor

plastice (a=1, n=600), precum i n ipoteza comport rii elasto-plastice a sec iunilor conformrela iilor analitice, considernd dou valori pentru tensiunile maxime de compresiunesrc=0,333sc, rspectiv src=0,80sc, iar n figura 22 este prezentat distribu ia procentual asec iunilor plastificate, considernd separat fibrele ntinse respectiv comprimate intrate n curgere,din lungul barei, obtinu la valoarea factorului limit de nc rcare (q/qpl=2,0) , n ipotezaconsider rii form rii zonelor plastice n sec iune i n lungul barei, rela iile constitutive neliniares-e i distribu ia tensiunilor reziduale pe nal imea sec iunii fiind considerate n mod similar cucel de la exemplul anterior. n aceste cazuri s-a utilizat metoda Simpson-repetat pentru calculareacoeficien ilor de corec ie.


23/27


23

Fig. 21. Curbele nc rcare rotire pentru cap tul 3 al grinzii centrale.

Fig. 22. Distributia procentual a sec iunilor plastificate n lungul grinzii centrale.

98,7% 98,7%

Fibre plastificate comprimate

Fibre plastificate intinse 98,7%

Articulatie plastica #1,q/qpl=1,5

Articulatie plastica #2,q/ qpl=2,0

Articulatie plastica #1,q/qpl=1,5

(-)

(+ )

(-)

(+ )(+ )

(-)


24/27


24

4. INSTABILITATI NUMERICE IN MODELAREA CONSTRINGERILOR

Metoda elementelor de penalizare

Se considera urmatorul model numeric asociat barei din figura 23. Se cere sa sedetermine deplasrile din lungul barei, in ipoteza neglijarii deplasarilor transversale si arotirilor, considerind urmatoarea constringere cu privire la deplasarile axiale u2 si u6.

Fig. 23

062 =- uu (1)Pentru impunerea acetei conditii putem considera un element imaginar de rigiditate axialaw care este asamblat modelului initial Fig.24 Elementul atasat poarta denumirea deelement de penalizare iar rigiditatea sa w reprezinta ponderea de penalizare.

Fig. 24

Elementul de penalizare poate fi considerat ca si oricare element finit iar asamblarea sa inmatricea de rigiditate a structurii urmeaza aceleasi procedeu standard. Ecuatiile depenalitate asamblate matriceal pot fi scrise in acest caz astfel:

( ) ( ) ( )

( )

( )

=

-

-

=

76

72

6

2

777

11

11

f

f

u

uw

fuK

(2)

Urmind procedeul standard de asamblare a matricii de rigiditate globale a intreguluimodel obtinem:

Element de penalizare cu rigiditatea axiala w


25/27


25

(3)

Acest sistem poate fi in continuare rezolvat, folosind spre exemplu metoda eliminarii

Gauss, determinind astfel vectorul deplasarilor u si care satisface in plus relatia (1).Principalul avantaj al acestei metode, in comparatie cu metoda bazata pe rearanjareamatricii sistemului de ecuatii dupa tehnica "master-slave" consta in simplitateaimplementarii ei numerice. Cu toate acestea o atentie deosebita trebuie acordata alegeriicoeficeintului de pondere de penalizare w in cazul rezolvarii numerice a sistemului (3).Daca pentru coeficientul w se alege o valoare finita ecuatia de constribgere 062 =- uu este satisfacuta doar aproximativ:

0,62 =- gg eeuu (4)

Valoarea eroarii ge depinde de w: cu cit valoarea coeficeintului de pondere este mai

mare cu atit eroarea de violare a contringerii este mai mica. Se poate arata ca eroarea ge

devine proportionala cu w/1 daca w este suficient de mare. In baza acestor afirmatii s-arparea ca strategia adecvata modelarii este alegerea unui coeficient de pondere w cit demare posibil, in limitele domeniului de definitie alocat reprezentarii numerelor incalculator. Cu toate acestea pe masura ce coeficientul de pondere tinde spre matriceade rigiditate a sistemului modificat (3) devine tot mai slab conditionata ceea ce conducela obtinerea unor solutii eronate la rezolvarea sistemului.

Astfel daca alegem o valoare mare pentru ponderea de penalizare w eroarea de violare acosntringerii se reduce, dar in acest caz creste eroare cu care este solutionat sistemul deecuatii, din cauza slabei condtionari a matricii de rigiditate modificate. Astfel cea maibuna valoare pentru coeficientul w este cel care pondereaza cele doua erori. In calculelepractice urmatoarea regula a radacinii patrate este aplicata. Presupunem ca cel mai marecoeficient din matricea de rigiditate a structurii asamblata inainte de adaugareaelementelor de penalizare, este de ordinul 10k iar precizia sistemului de calcul pe care seruleaza aplicatia este p digiti. Determinarea celui mai mare coeficient al matricii derigiditate se face simplu inspectind elementele de pe diagonala principala a matricii derigidate. In acest caz, conform regulii radacinii patrate, valoarea coeficientului de ponderew se determina cu relatia:


26/27


26

pkpkw 101010 2/ == + (5)asigurindu-ne de nedepasirea de format (arithmetic overflow).

Sa consideram urmatoarea relatie omogena de constringere:043 653 =-+ uuu (6)

relatie care mai poate fi scrisa matriceal astfel:

[ ] 0413

6

5

3

=

-

u

u

u

(7)

si multiplicind ambii membri ai relatiei cu transpusa matrcii coeficientilor obtinem:

(8)Unde ( )eK reprezinta matricea de rigiditate nescalata a elementului de penalizare.Multiplicind aceasta matrice cu coeficeintul de pondere w si asamblind-o in matricea derigiditate a structurii urmind regulile uzuale de asamblare obtinem:

(9)In cazul general pentru un model numeric oarecare descris prin FEM, includereaconstringerilor se realizeaza construind asa numita functie patratica de penalizare a luiCourant. Prsupunem ca avem urmatorul set de relatii de constringere:

mppp ,...,2,1== bua (10)

unde vectorul u contine toare gradele de libertate si fiecarei astfel de relatii i se asociazaun coeficeint de pondere wp. Se construieste functia Cournat de penalizare:

p

T

p

T

p

T

ppp

T

pp

T

p

m

p

pwwPPP fuuKubauaau -=

-== = 2

1

2

1,

1

(11)

Adaugind functia P functiei energiei potentiale fuKuu TT -=2

1P obtinem functia

energiei potentiale totale Pa += PP . Minimizind functia aP in raport cu u obtinem


27/27


urmatoarea ecuatie matriceala de condtie a modelului:

==

+=

+

m

p

p

m

p

p

11

ffuKK (12)

Relatia (12) mai poate fi scrisa intr-o forma mai compacta daca se utilizeaza urmatoareaforma de definire a constringerilor:

bAu = (13)in acest caz relatia (12) se scrie:

) bWAfuWAAK TT +=+ (14)

Aplicatii

1. Modelarea efectului de saiba rigida

2. Modelarea barelor cu variatie brusca de sectiune

3. Modelarea structurilor mixte cadre-diafragme

Bibliografie

1. Chiorean C.G.,Aplicatii software pentru analiza neliniara a structurilor in cadre, Ed.UT Pres Cluj-Napoca, 2006.

2. Chiorean, C.G., Numerical simulation of ballistic impact on composite materials,Technical Report, Project POCTI 43228/EME/2001, UNIC-New University of Lisbon,

Portugal, 2003.3. Chiorean, C.G., Large deflection distributed plasticity of 3D steel frameworks,Comp&Struct, 83(19-20), pp.1555-1571, 2005.

4. Stoian, V., Pacoste, C.,Dubina, D, Metode moderne in calculul structurilor, Edit.Tehnica, Bucuresti, 1985.

5. Felippa, C.A., Introduction to Finite Elements Method, Departmanet of AerospaceEngineering Sciences, University of Colorado at Boulder, www.Colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.

cursscoaladoctorala

Documents