8/3/2019 Curs4_MC

1/30

CURS 4

MECANICA

CONSTRUCIILOR

Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu

8/3/2019 Curs4_MC

2/30

SISTEME DE FORE OARECARE Fora vector alunector; Momentul unei fore n raport cu un punct; Momentul unei fore fa de o ax;

Teorema lui VARIGNON; Cupluri de fore; Sisteme de fore echivalente;

Reducerea sistemelor de fore n raport cu un punct.Torsorul. Variaia torsorului cu punct de reducere;

Invariantul unui sistem de fore fa de punctul dereducere;

Torsorul minim. Axa central; Cazurile de reducere ale unui sistem de fore oarecare.

Sisteme echivalente;

Sisteme de fore particulare.

8/3/2019 Curs4_MC

3/30

INVARIANII UNUI SISTEM DE FOREFA DE PUNCTUL DE REDUCERE (1)

La schimbarea punctului in raport cu care se efectueaz

operaia de reducere, cei doi vectori care formeaztorsorul sistemului de forte, vectorul rezultant R sivectorul moment rezultant Mo se comport in mod diferit:

- Rezultanta R rmne neschimbata;- Momentul rezultant variaz dup legea

ROOMM 1O1O

8/3/2019 Curs4_MC

4/30

INVARIANII UNUI SISTEM DE FOREFA DE PUNCTUL DE REDUCERE (2)

1. Primul invariant (invariantul vectorial) este rezultanta:

2. Al doilea invariant este invariantul scalar care este dat

de produsul scalar

Demonstraie:

3. Consecinta: proiecia momentului rezultant pedirecia rezultantei este aceeai indiferent de punctulin care se efectueaz reducerea:

R

2 vectoricoliniari

R

MR)R,Mcos(MM

ooo

R

8/3/2019 Curs4_MC

5/30

Pentru a reduce un sistem de fore oarecare, exista 2invariani fa de operaiile de reducere:

- invariantul vectorial R;

- invariantul scalar produsul scalar RMo (proieciamomentului pe direcia rezultantei).

8/3/2019 Curs4_MC

6/30

Torsor minim, ax central (1)

Fiind dat un sistem de forte oarecare, se pune ntrebarea:

Care este valoarea minima a torsorului sistemului de forte

si in care puncte de reducere se obine aceasta valoare?

La schimbarea punctului de reducere se schimbitorsorul:

Se caut condiiile pentru gsirea momentului minim.

)M,R( OO

ROOMM 1O1O

8/3/2019 Curs4_MC

7/30

Se descompune n Ovectorul moment n doucomponente: MR coliniar cu rezultanta i MNn planulnormal rezultantei.

Cnd punctul de reducere se schimb, numai MNischimb mrimea (MR este constant).

Mo

va fi minim cnd MN

=0 i deci Mo

= MR

.

Torsorul minim este:

Torsor minim, ax central (2)

8/3/2019 Curs4_MC

8/30

Locul geometric al punctelor in care, efectund reducerea,

torsorul sistemului are valoarea minima este o dreapta

care se numete axa centrala a sistemului de forte.

OBSERVAIE

In punctele situate pe axa centrala, momentul rezultantavnd mrimea minima, este coliniar cu rezultanta R asistemului de forte. Torsorul minim este deci ansamblul

format de vectorii R vectorul rezultant al sistemului deforte si momentul minim MR, vectori avnd ca dreapta -

suport axa centrala a sistemului de forte.

8/3/2019 Curs4_MC

9/30

Cazurile de reducere ale unui sistem de

fore oarecare. Sisteme echivalente (1)

Fie un sistem de forte oarecare acionnd asupra unui

corp. In urma reducerii acestor forte intr-un punct

oarecare O al corpului, se pun in evidenta mai multe

cazuri de reducere, crora Ii se poate asocia cate unsistem echivalent mai simplu care sa aib in oricepunct al corpului acelai torsor ca si sistemul de fortedat.

8/3/2019 Curs4_MC

10/30

Cazurile de reducere ale unui sistem de

fore oarecare. Sisteme echivalente (2)

Cazul I: R=0 i Mo=0 (torsorul nul). Sistemul de fore

este n echilibru sau sistem echivalent cu zero.

Cazul II: R=0 i Mo0. Sistem echivalent cu un cuplu.

Cazul III: R 0 i Mo=0.Sistem echivalent cu o rezultant(unic) care trece prin punctul de

reducere O.

8/3/2019 Curs4_MC

11/30

Cazurile de reducere ale unui sistem de

fore oarecare. Sisteme echivalente (3)Cazul IV: R0 i Mo0 pentru care exist dou variante:

a) sau MR este nul i sistemulechivalent cel mai simplu este dat de o rezultanta

(unica) care nu trece prin originea O.

b) , deci unghiul format de

cei doi vectori este diferit de 90 .Sistemul de forte dat este echivalent

cu torsorul minim al acestuia care

are ca dreapta-suport axa centrala

a sistemului de forte.

8/3/2019 Curs4_MC

12/30

SISTEME DE FORTE COPLANARE

O

8/3/2019 Curs4_MC

13/30

O A

d

8/3/2019 Curs4_MC

14/30

A

d

8/3/2019 Curs4_MC

15/30

Cazuri de reducere la sistemele de

forte coplanare

8/3/2019 Curs4_MC

16/30

8/3/2019 Curs4_MC

17/30

6

Aplicaia 1:

8/3/2019 Curs4_MC

18/30

8/3/2019 Curs4_MC

19/30

Aplicaia 2:

8/3/2019 Curs4_MC

20/30

8/3/2019 Curs4_MC

21/30

Cazuri de reducere la sistemele deforte paralele

8/3/2019 Curs4_MC

22/30

8/3/2019 Curs4_MC

23/30

Centrul forelor paralele

8/3/2019 Curs4_MC

24/30

8/3/2019 Curs4_MC

25/30

8/3/2019 Curs4_MC

26/30

Echivalarea forelor distribuite cu o forconcentrat

Sarcini distribuite pe suprafa si pe lungime

8/3/2019 Curs4_MC

27/30

Echivalarea fortelor distribuite n cteva cazuri des

ntlnite n practic

8/3/2019 Curs4_MC

28/30

Aplicaia 3:

8/3/2019 Curs4_MC

29/30

Fortele de presiune n cazul unui baraj vertical

Se consider un baraj cu perete vertical asupra cruiaacioneaz presiunea apei. Ne propunem s determinm

pozitia centrului de presiune n acest caz si fora exercitatde ap asupra barajului dac nltimea apei este Hiarlrgimea barajului este L.

Aplicaia 4:

8/3/2019 Curs4_MC

30/30

n acest caz presiunea dat de ap la adncimea yde la

suprafata apei este:p = g y

si este constant pe toat lrgimea barajului la aceeasi

adncime y. Forta dat

de presiune pe toat

suprafata barajuluieste:

Distributia presiunilor este triunghiular

, deci pozitia centruluide mas se va gsi la dou treimi de suprafata apei.