7/14/2019 Curs3_b

1/33

CURS 3

1. Limbajul de programare MATLAB/Octave

2. Algebra liniar. Matrici speciale. Rezolvarea sistemelor

de ecuaii liniare3. Calcul simbolic in MATLAB

4. Grafica 2D si 3D

7/14/2019 Curs3_b

2/33

Limbajul de programare MATLAB/Octave

D

KERNELFuncii de sistem

(funcii built - in)

Funcii M-file

Funcii utilizator

7/14/2019 Curs3_b

3/33

Octave(funcia poate fi scris n spaiul de lucru sau ntr-un fiier

de tip Notepad, salvat n Octave/bin)

MATLABfuncia poate fi scris doar n editorul

propriu, salvat n MATLAB/bin

function name

body

end

7/14/2019 Curs3_b

4/33

Exemplu:s se scrie o funciepentru determinarea radacinilor unei ecuatii de

grad 2, n care coeficienii a, b i c sa poat fi introdui de la tastatur la apelarea

funciei

function ecuatieclear all

a=input(a=)

b=input(b=)

c=input(c=)delta=b^2-4*a*c;

r1=(-b+sqrt(delta))/2/a/c;

r2=(-b-sqrt(delta))/2/a/c;disp(cele doua radacini ale ecuatiei sunt:)

[r1 r2]

endfunction

7/14/2019 Curs3_b

5/33

Salvarea sesiunii de lucru(mai putin partea grafica) intr-un fisier text se face

cu comanda diary nume_fisier. In fisierul nume_fisier, care se salveaza tot in

directorul bin se vor pastra toate comenzile si rezultatele obtinute pana la

intalnirea comenzii diary off.

Salvarea graficelor

print('nume_grafic','-doptiune') salveaza graficul cu numele specificat

(nume_grafic), in varianta de format grafic specificat prin optiune (extensia

fisierului).

print -doptiune nume_grafic -d inseamna -deviceUnele dintre optiunile de format grafic sunt (vezi help print):

eps (formatEncapsulated PostScript)

epsc2 (formatEncapsulated Postscript, color, nivel 2) este recomandat,

deoarece are cea mai mare rezolutie

png (formatPortable Network Graphic, 24-bit, color)

tiff saujpeg (format format TIFF sau formatJPEG) ( rezolutie slaba)Pentru marirea rezolutiei, in MATLAB se poate apela - djpeg, unde

este nivelul de calitate (rezolutie); exemplu de utilizare: -djpeg90 (pentru nivel

de calitate = 90)

7/14/2019 Curs3_b

6/33

meta (utilizat in MATLAB si in GNU Octave = formatMetafile cu extensia

emfpentru Windows, recomandat pentru inserarea graficului intr-un document

editat in MS Word)

emf (utilizat doar in GNU Octave = formatMetafilepentru Windows,recomandat pentru inserarea graficului in document din MS Word)

gif (utilizat doar in GNU Octave = format imagine GIF)

Exemplu:

x = 1:10, y=x, plot(x,y), print('dreapta.emf', '-dmeta')

va salva graficul dreapta.emf; acelasi lucru rezulta daca se scrie: print -dmeta

dreapta.emf

iar pentru a salva graficul dreapta.eps, se scrie: print -depsc2 dreapta.epsFisierele PostScript ps si Encapsulated PostScript epspot fi vizualizate cu

GSview (numit si Ghost View) =free software

Copierea ferestrei de lucru MATLAB/Octave se poate face cu

Alt+PrtScn i paste ntr-un document .doc.

7/14/2019 Curs3_b

7/33

Dac intruciunile pentru determinarea rdcinilor ecuaiei sunt pstrate

ntr-un fiier ASCI, salvat n directorul bin al MATLAB/Octave, acesta

reprezint un script, iar la apelarea n linia de comand a numelui fiierului, vor

fi executate instruciunile care se gasesc n acesta.

clear all

echo on

a=input(a=)

b=input(b=)

c=input(c=)delta=b^2-4*a*c;

r1=(-b+sqrt(delta))/2/a/c;

r2=(-b-sqrt(delta))/2/a/c;

disp(cele doua radacini ale ecuatiei sunt:)[r1 r2]

7/14/2019 Curs3_b

8/33

Exemplu: S se scrie un script care s construiasc o matrice ptratic dedimensiune n =100+kn care elementele de pe diagonala principal sunt egale

cu 4, cele de pe diagonala de deasupra i de dedesubtul diagonalei principalesunt egale cu2, iar restul cu 0.

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaaaaaa

aaaa

A

321

3333231

2232221

1131211

4200

2420

0242

0024

Se observ c diagonala principal are indicii i=j, iar indicii pentru supra

i subdiagonala respecta condiia (i-j)= 1

7/14/2019 Curs3_b

9/33

n=100+1; %k=1

A=zeros(n);for i=1:n

for j=1:n

if i==j

A(i,j)=4;

elseif abs(i-j)==1

A(i,j)=-2;

else

A(i,j)=0;

endif

endfor

endfor

[A]

7/14/2019 Curs3_b

10/33

Algebra liniar. Matrici speciale. Rezolvarea sistemelor

de ecuaii liniare

bxaxxxa

bxaxaxa

bxaxaxa

mnmnmm

nn

nn

.....

........................................

.....

.....

2211

22222121

11212111

Se scrie matricial : BXA , unde

aaa

aaa

aaa

mnmm

n

n

A

...

............

...

...

21

22221

11211

,

mb

b

b

B ...

2

1

,iar

mx

x

x

X ...

2

1

este vectorul care conine

soluia sistemului.

7/14/2019 Curs3_b

11/33

Sistemul poate fi compatibil determinat (det(A)0)

nedeterminat

incompatibil (nu are soluii)

Conform teoremei KroneckerCapelli sistemul este compatibil

dac rangul matricii sistemului este egal cu rangul matricii extinse.

>> rank(A) == rank([A B])

>> if det(A)~=0

BXA solutia sistemului se obtine BAX 1

>> X=inv(A)*B

>>X=A\B

Exist situaii practice, n care un sistem care descrie un

fenomen fizic are mai multe ecuaii dect necunoscute sau mai

multe necunoscute dect ecuaiisau care din punct de vedere

strict matematic nu are soluii, caz n care se caut o soluie

7/14/2019 Curs3_b

12/33

aproximativ care verific cel mai bine sistemul (prin metoda

celor mai mici ptrate).

Operatorul \ sau pinvrezolv astfel de situaii.

Intruct A este dreptunghiular (deci nu i se poate calcula

inversa), ecuaia matricial se nmulete la stnga cu

transpusa acesteia:

BAXAA TT BAAAXAAAA TTTT 11

Matrice ptratic

I (matricea identic)

pinv(A) = pseudoinversa

>> X=pinv(A)*B

>> X=A\B

7/14/2019 Curs3_b

13/33

Matrici speciale:

- matricea nul zeros(n) = creeaz o matrice ptrat nxn cu elemente

nule, iar zeros(n,m) are dimensiunea nxm

- matricea unitate ones(n), respectiv ones(n,m)

- matricea identic eye(n), eye(n,m)

-matricea Hilbert

- matricea magica

>> magic(n)

Melancolia, gravur deAlbrecht Drer,1514

http://ro.wikipedia.org/wiki/Albrecht_D%C3%BCrerhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Albrecht_D%C3%BCrerhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Albrecht_D%C3%BCrer

7/14/2019 Curs3_b

14/33

3. Calcul simbolic in MATLAB

In MATLAB pot fi efectuate in mod simbolic o serie de calcule matematice cum ar

fi calculul unor derivate, integrale, limite sauserii Taylor; in cadrul algebrei liniare

determinarea inversei, valorilor proprii, determinantuluisau descompunerii unei matrici

simbolice, metode de simplificare a expresiilor algebrice, rezolvarea simbolica si

numerica a ecuatiilor algebrice si diferentiale, functii speciale s.a.

Inainte de a incepe calculul simbolic trebuie declarate variabilele respectivecu

instructiunea syms.

Exemplul 1:

Dac S este o expresie simbolic,solve(S) determin valorile variabilei simbolice

din expresia S, pentru care S este zero (0).

>>symsa b c x

>>S=a*x^2+b*x+c;

>>solve(S)

Rezult cele dou soluii:

1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))

7/14/2019 Curs3_b

15/33

Exemplul 2:

>>syms a b c d e f g h i>>A=[a b c; d e f; g h i]>>D=det(A)

Exemplul 3:

Functia symsum

- Fie seria lui Riemann 1+1/2^2+1/3^3+.

>>symsx k

>>s1 = symsum(1/k^2,1,inf)

-Fie seria geometrica 1+x+x^2+.

>>symsx k

>>s2 = symsum(x^k,k,0,inf)

A = [ a, b, c]

[ d, e, f]

[ g, h, i]

D = a*e*i - a*f*h - b*d*i + b*f*g + c*d*h - c*e*g

s1 = 1/6*pi^2

s2 = -1/(x-1)

7/14/2019 Curs3_b

16/33

- Calculul sumei patratelor primelor n numere naturale

syms k n xsymsum(k^2)

returneaza: 1/3*k^3-1/2*k^2+1/6*k

- Calculul sumei patratelor primelor 10 numere naturale

symsum(k^2,0,10) returns

385

-Calculul produsului polinoamelor f(x) = ax + 3 ig(x) =x + b>> syms a b x f g

>> f = a * x + 3

f =

a*x+3

>> g = x + b

g =

x+b

>> f * g

ans =

(a*x+3)*(x+b)

7/14/2019 Curs3_b

17/33

4. Grafica 2D i 3D

n general, pentru a realiza o reprezentare grafic, trebuie parcurse

etapele urmtoare:

Etapa Instruciuni

1.Pregtirea

atelor

x = 0:0.2:12;

y1=f1(x)

y2=f2(x)

plot

ezplot

plot

polar(teta,r

7/14/2019 Curs3_b

18/33

y3=f3(x)

2.Apelarea

unei

funcii

elementare

de plotare

h = plot(x,y1,x,y2,x,y3);

4. Selectarea

caracteristicilo

r liniei i

markerului.

set(h,'LineWidth',2,{'LineStyle'},{'--';':';'-.'})

set(h,{'Color'},{'r';'g';'b'})

5. Setarea

limitelor

axelor, afisare

grid

axis([0 12 -0.5 1])

grid on

7/14/2019 Curs3_b

19/33

6. Completarea

graficului cu

etichete pe

axe, legend,

text

xlabel('x')

ylabel('y')

legend(h,'First','Second','Third')

title('titlul graficului')

text('alte_notaii')

Funciile pentru realizarea graficelor:

Funcie Utilizare

plot Genereaz grafice 2-D cu scalare liniar a axelor

loglog Genereaz grafice cu scalare logaritmic a axelor

semilog

x

Genereaz grafice cu scalare liniar a axei y i cu scalare logaritmic

a axei x

7/14/2019 Curs3_b

20/33

semilog

y

Genereaz grafice cu scalare liniar a axei x i cu scalare logaritmic

a axei y

plotyy Genereaz grafice cu dubl reprezentare a axei y (pe stnga i pedreapta)

ezplot Se utilizeaz pentru reprezentarea funciilor date sub form

parametric. De exemplu:

>> ezplot('x.^2/16+y.^2/3=6',[-15 15])

polar Pentru cazul n care variabilele sunt exprimate n coordinate polare

7/14/2019 Curs3_b

21/33

Reprezentarea mai multor curbe pe acelai grafic

t = 0:pi/100:2*pi;

y1= sin(t);y2 = sin(t-0.25);

y3 = sin(t-0.5);

plot(t,y1,'-',t,y2,'--',t,y3,':') SAU plot(t,y1)

hold on

plot(t,y2)

plot(t,y3)hold off

7/14/2019 Curs3_b

22/33

Funciile de plotare accept deci argumente de tip caracter care specific

stilul liniei, simbolurile utilizate pentru marker, culoarea etc. Forma general

este:

plot(x,y,'linestyle_marker_color')

unde linestyle_marker_coloreste un ir de caractere construit din:

Un stil de linie (de exemplu linie punctat, plin etc.) Un tip de marker (de exemplu x, *, o, etc.)

Un specificator de culoare ('r' rosu (red), 'b' albastru (blue), 'k'negru (black; neimplementat in versiunile vechi, 2.x.xx, de GNU

Octave), 'g' verde (green; de fapt este verde fluorescent), 'm'ciclamen (magenta), 'c' bleu ciel (cyan), 'w' alb (white) si 'y' galben(yellow).

Se poate folosi un specificator sau mai muli, n oriceordine. De exemplu,

'ro--'

definete o linie ntrerupt, cu markere circulare, ambele colorate rosu.

7/14/2019 Curs3_b

23/33

Specificarea culorii i dimensiunii liniilor

Caracteristicile liniilor se pot controla prin specificarea unor valori pentruproprietile linilor:

LineWidthspecific limea unei linii. MarkerEdgeColor seteaz culoarea markerului sau culoarea marginilor

markerului n cazul anumitor forme (cerc, ptrat etc.)

MarkerFaceColorseteaz culoarea interiorului markerelor. MarkerSizespecific dimensiunea markerului.

Exemplu:

x = -pi:pi/10:pi;

y = tan(sin(x)) - sin(tan(x));

plot(x,y,'--rs','LineWidth',2, 'MarkerEdgeColor','k', 'MarkerFaceColor','g',

'MarkerSize',10)

7/14/2019 Curs3_b

24/33

Plotarea cu axa Y dubl

Comandaplotyypermite crearea unor grafice pentru dou seturi de date i

cu reprezentare dubl a axei Y, pe partea stng i pe partea dreapt.

Exemplu:

t = 0:pi/20:2*pi;

y = exp(sin(t));

plotyy(t,y,t,y,'plot','stem')

7/14/2019 Curs3_b

25/33

Setarea parametrilor axelor

La apelarea comenzii plot, sunt setate automat limitele axelor i gradarea

acestora. Se pot ns folosi i setrile utilizatorului:

axis

axis('auto')axis([x_left, x_right,y_infer, y_sup])

axis equal sauaxis('equal')

axis square sauaxis('square')

axis off sau axis('off')

Permite scalarea automata a axelor siafiseaza limitele axelor.Permite scalarea automata a axelor.Exemplu: axis([0, 100, -5, 10]) scaleazagraficul de la 0 la 100 pe axa Ox si dela -5 la 10 pe axa Oy

Scaleaza axele cu unitatea pe axa Oxegala cu unitatea de pe axa Oy.Scaleaza axele astfel incat graficul sase incadreze intr-un patrat.Nu mai afiseaza axele graficului

7/14/2019 Curs3_b

26/33

Afiarea unor grafice multiple n aceeai fereastr grafic

Funcia subplot(m,n,i)desparte fereastra de tip figur ntr-o matrice m x n

de mici subploturi (subgrafice) i selecteaz subplotul i ca grafic curent.Exemplu:

t = 0:pi/20:2*pi;

[x,y] = meshgrid(t);

subplot(2,2,1)

plot(sin(t),cos(t))

axis equalsubplot(2,2,2)

z = sin(x)+cos(y);

plot(t,z)

axis([0 2*pi -2 2])

subplot(2,2,3)

z = sin(x).*cos(y);plot(t,z)

axis([0 2*pi -1 1])

subplot(2,2,4)

z = (sin(x).^2)-(cos(y).^2);

plot(t,z), axis([0 2*pi -1 1])

7/14/2019 Curs3_b

27/33

Comenzi pentru personalizarea graficelor

MATLAB-ul furnizeaz comenzi de etichetare a fiecrei axe i de plasare a

unui text n orice loc din grafic. Comenzile sunt prezentate n tabelul urmtor.

Comand Descriere

title Adaug un titlu

xlabel Adaug o etichet pe axax

ylabel Adaug o etichet pe axa y

zlabel Adaug o etichet pe axa z

legend Adaug o legend

text Afieaz un text la o locaie specificat

gtext Plaseaz textul pe grafic utiliznd mouse-ul

7/14/2019 Curs3_b

28/33

MATLAB-ul interpreteaz caracterele care urmeaz dup backslash"\" ca i comenzi TeX. Aceste comenzi permit inserarea unor simboluricum ar fi literele greceti sau sgeile.

Adugarea textelorPrin utilizarea funciei textse poate plasa un text (ir de caractere) oriunde

pe grafic. Exemplu:

text(3*pi/4,sin(3*pi/4),...

'\leftarrowsin(t) = .707',...

'FontSize',16)text(pi,sin(pi),'\leftarrowsin(t) = 0',...

'FontSize',16)

text(5*pi/4,sin(5*pi/4),'sin(t)=-.707

\rightarrow',...

'HorizontalAlignment','right',...

'FontSize',16)

Plasarea textului n mod interactiv

(doar in Matlab!)- cu ajutorul mouse-ului

>> gtext

7/14/2019 Curs3_b

29/33

GRAFICA 3D (funcii reale de douvariabile reale)

-surf, mesh, surfc, meshc

-ezsurf, ezcontour, ezmesh

-plot3

pentru indicaii privind utilizarea lor se tasteaz help comanda, de exempluhelp surfn linia de comand a MATLAB/ Octave

7/14/2019 Curs3_b

30/33

Vizualizarea funciilor de dou variabile

[X,Y] = meshgrid(-8:.5:8);

R = sqrt(X.^2 + Y.^2) + eps;

Z = sin(R)./R;

mesh(X,Y,Z)

- functia colormap('paleta') care are ca efect setarea paletei de culori, codul de culori presetate

pentru 'paleta'fiind: 'jet', 'hsv', 'hot', 'spring', 'summer', 'autumn', 'winter', cool', 'copper', 'gray',

'bone', 'pink'; vezi help colormap. Implicit, colormap este setat pe 'jet'.colormap(winter) sau culormap(hot)

1

2

3

7/14/2019 Curs3_b

31/33

Crearea de grafice tip contur

Funciile contour i contour3 afieaz contururi 2-D i 3-D. Pentru a seta

numrul de niveluri de contur (implicit se realizeaz automat pe baza valorilor

minime i maxime) se folosete un argument suplimentar opional. Deexemplu,

[X,Y,Z] = peaks;

contour(X,Y,Z,20)

afieaz 20 de contururi ale funciei

ntr-o vedere bidimensional.

Pentru o reprezentare 3 D:

[X,Y,Z] = peaks;

contour3(X,Y,Z,20)

h = findobj(`Type','patch');

set(h,'LineWidth',2)

title('Twenty Contours')

7/14/2019 Curs3_b

32/33

Sa se reprezinte grafic suprafaa descris de ecuaiile:

7/14/2019 Curs3_b

33/33