curs11

Curs 11. Exemple de curbe planeScopuri:

1) Ecuaia general a unei conice

2) Descrierea conicelor nedegenerate: cerc, elips, hiperbol, parabol3) Reducerea la forma canonic a ecuaiei unei conice4) Prezentarea unor cuadrice remarcabile din geometrieDefiniia 1. Considerm funcia

, .

Se numete curb algebric de ordinul al doilea sau conic mulimea a punctelor din plan, ale cror coordonate n raport cu un reper cartezian ortonormat verific ecuaia general

, (1)unde coeficienii sunt constante reale, cu ; deci

.Definiia 2. Se numesc invariani ai unei conice acele expresii formate cu coeficienii ecuaiei conicei care pstraz aceeai valoare la schimbri de repere ortonormate.

Propoziia 1. Conicei din (1) i se pot asocia trei invariani

, , ,

unul liniar, al doilea ptratic i al treilea cubic n coeficienii ecuaiei conicei.

Invariantul determin natura unei conice. Astfel, dac

spunem c este conic nedegenerat (cercul, elipsa, hiperbola i parabola) spunem c este conic degenerat.

Cu ajutorul lui se stabilete genul unei conice. Astfel, dac

spunem c are gen eliptic

spunem c are gen hiperbolic

spunem c are gen parabolic.

Definiia 3. Se numete centru de simetrie al unei conice (n cazul n care acesta exist i conica se numete conic cu centru) un punct din plan care are proprietatea c pentru orice punct , simetricul lui fa de satisface de asemenea ecuaia conicei .

Teorema 1. Conica : admite un unic centru de simetrie dac i numai dac invariantul al acesteia este nenul; n acest caz, coordonatele sale sunt soluiile sistemului liniar:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 TABLOUL GENERAL DE DISCUIE A CONICEII) Dac atunci pentru:

1. , conica este a) o elips real cnd

b) o elips imaginar cnd

2. , conica este o parabol.

3. conica este o hiperbol

II) Dac atunci pentru:

1. obinem dou drepte concurente imaginare cu intersecia real

2. obinem:a) dou drepte paralele dac

b) dou drepte confundate dac

c) dou drepte paralele imaginare dac

3. obinem dou drepte concurente reale,unde

.

Teorema 2. Orice conic are una din formele canonice:

1) (elips imaginar);

2) (elips real);3) (hiperbol);4) (dou drepte concurente imaginare cu intersecia real);5) (dou drepte concurente reale);6) (parabol);7) (dou drepte paralele imaginare);8) (dou drepte paralele reale);9) (pereche de drepte confundate);Definiia 4. Cercul este mulimea punctelor din plan egal deprtate de un punct fix, numit centru, distana de la centru la punctele cercului numindu-se raz.Vom raporta planul cercului la un reper cartezian ortogonal . Fie centrul cercului iar un punct oarecare al lui (vezi fig. 1).

Fig. 1.

Din definiia 4 rezult c distana dintre i este constant i egal cu raza a cercului

,

adic

.

Ridicnd la ptrat obinem ecuaia cartezian implicit a cercului de centru i raz

. (2)

Dac desfacem ptratele n (2) obinem ecuaia cercului sub forma

. (3)Notnd

, ,

ecuaia (3) devine . (4)n cazul cercului mulimea va fi

,unde

.

Deoarece ecuaia (4) se poate scrie sub forma

rezult:1. dac atunci cercul va avea centrul i raza

2. dac atunci cercul se reduce la punctul

3. dac atunci .

Pentru , ecuaia (4) se numete ecuaia cartezian general a cercului .Dac este unghiul pe care raza l face cu direcia pozitiv a axei , atunci ecuaiile parametrice ale cercului vor fi

, .Fie un numr real pozitiv i , dou puncte fixate din plan astfel nct .Exemplul 1. S se gseasc ecuaia cercului determinat de punctele

.

Rezolvare

Folosind ecuaia (4) deducem

Rezult

, , .

Ecuaia cercului va fi

sau

.Definiia 5. Elipsa este mulimea punctelor din plan care o satisfac relaia

, (5)adic care au suma distanelor la dou puncte fixe constant.

Pentru a gsi ecuaia elipsei vom transforma analitic ecuaia (5). Alegem pe ca ax i mediatoarea segmentului ca ax (vezi fig. 2).

.

Fig. 2.

Deci i ; punctele i se numesc focarele elipsei iar distana constituie distana focal a elipsei.

, sunt raze focale ale punctului . Elipsa admite un centru unic de simetrie i dou axe de simetrie .

Elipsa este o curb mrginit (exist un dreptunghi care s conin toate punctele ei).

Dac atunci relaia (5) devine

. (6)Dorim s simplificm relaia (6). Vom scrie

sau

;deci

. (7)n triunghiul se tie c sau , deci ; astfel c . De aceea, putem nota .

mprind n (7) cu rezult ecuaia cartezian implicit a elipsei . (8)Dac ecuaia (8) devine

i reprezint un cerc cu centrul n origine i de raz .

Deci, cercul este o elips particular.Astfel

.Pentru a gsi punctele de intersecie ale curbei cu axele de coordonate vom face pe rnd i . Rezult , pe i , pe . Segmentul

se numete axa mare a elipsei; se numete axa mic a elipsei.

Jumtile lor, adic i sunt semiaxele elipsei. Punctele poart numele de vrfurile elipsei.Din ecuaia (8) se deduc ecuaiile carteziene explicite ale elipsei, .

Pentru a obtine ecuatiile parametrice ale elipsei se procedeaza astfel:

1) se construiesc doua cercuri concentrice cu razele si respectiv , ;

2) se traseaza prin origine o semidreapta, care intersecteaza cele doua cercuri in punctele si respectiv ;

3) prin punctele si se duc drepte paralele cu axele; intersectia acestor puncte va fi un punct al elipsei;

4) daca se noteaza unghiul format de raza cu axa se poate deduce ca ecuaiile parametrice ale elipsei sunt:

, .

Ca i la elips considerm un numr real pozitiv i , dou puncte fixate din plan astfel nct .

Definiia 6. Hiperbola este mulimea punctelor din plan care satisfac relaia , (9)

adic care au diferena distanelor la dou puncte fixe constant.

Pentru a gsi ecuaia hiperbolei vom transforma analitic ecuaia (9).

Alegem pe ca ax i mediatoarea segmentului ca ax (vezi fig. 3).

, sunt raze focale ale punctului . Hiperbola admite un centru unic de simetrie i dou axe de simetrie .

Hiperbola este o curb nemrginit.

Fig. 3.

Deci i ; punctele i se numesc focarele hiperbolei iar distana constituie distana focal a hiperbolei.

Dac atunci relaia (9) devine

. (10)

Vom obine

.

Dup reducerea termenilor asemenea i trecerea n prima parte a tuturor celor care nu conin radicali, avem

.

Prin ridicare la ptrat deducem . (11)Observm c am obinut aceeai ecuaie (7) de la elips, ceea ce rezult nmulind n (11) cu i schimbnd semnele n paranteze.Deosebirea hiperbolei fa de elips (unde aveam ) provine din faptul c n triunghiul din avem ; astfel c . De aceea, putem nota .

mprind n (11) cu rezult ecuaia cartezian implicit a hiperbolei

. (12)

Pentru a gsi punctele de intersecie ale hiperbolei cu axele de coordonate vom face pe rnd i . Rezult , pe iar pe axa nu avem puncte reale, deci axa nu taie hiperbola.

De aceea, axa se numete ax transvers iar axa ax netransvers.

Punctele reprezint vrfurile hiperbolei.Din ecuaia (12) se deduc ecuaiile carteziene explicite ale hiperbolei

, .

Hiperbola admite dou asimptote oblice .

Din (12) avem

.

Daca , notand

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

rezulta ca ecuaiile parametrice ale hiperbolei sunt:

, .

Daca , notand

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

rezulta ca ecuaiile parametrice ale hiperbolei sunt:

, .

Exemplul 2. S se determine vrfurile, focarele i asimptotele hiperbolei

.

Rezolvare

Scriind ecuaia hiperbolei sub forma

,

deducem

Vrfurile hiperbolei sunt

iar focarele

.

Ecuaiile asimptotelor hiperbolei sunt

.

Definiia 7. Parabola este mulimea punctelor din plan egal deprtate de o dreapt fix i de un punct fix. Dreapta fix se numete directoarea parabolei iar punctul fix focarul parabolei.Pentru a gsi ecuaia parabolei alegem un reper cartezian ale crui axe de coordonate sunt: perpendiculara din focarul pe directoarea ca ax , paralela la dus la jumtatea distanei dintre focar i directoarea ca ax (coincide cu tangenta la varvul parabolei).Notm . Fie un punct al parabolei i proiecia lui pe directoare (vezi fig.4).

Fig. 4.

Parabola nu are centru de simetrie i are o singur ax de simetrie . Este o curb nemrginit.Se noteaz ; rezult i . Dac este un punct oarecare al parabolei, potrivit definiiei 7, relaia pe care o satisface punctul este

. (13)

Deoarece

,

relaia (13) devine

;ridicnd la ptrat se obine ecuaia cartezian implicit a parabolei . (14)Observatie. In cazul in care , ecuaia cartezian implicit a parabolei va deveni .Axa taie parabola n punctul numit vrful parabolei.Din ecuaia (14) se deduc ecuaiile carteziene explicite ale parabolei

, ,

p fiind un numar pozitiv numit parametrul parabolei, care indica forma acesteia.

Cu cat p este mai mic, cu atat focarul si directoarea se apropie de axa Oy, iar parabola se apropie de axa Ox (cand atunci parabola degenereaza in axa Ox). Cu cat p este mai mare, cu atat focarul si directoarea se departeaza de axa Oy, iar parabola se apropie de axa Oy (cand atunci parabola degenereaza in axa Oy).Ecuaiile parametrice ale parabolei sunt

, .

Ne propunem s determinm un reper cartezian ortonormat fa de care ecuaia general din (1) a lui s aib una din formele canonice din (2), (8), (12), (14).Distingem urmtoarele situaii:

Cazul 1. , adic conica admite un centru unic de simetrie

Etapele care se parcurg n acest caz pentru obinera unei ecuaii canonice a conice sunt:

1) Atam ecuaiei (1) forma ptratic

, .

2) Matricei asociat formei n raport cu baza canonic a lui i atam polinomul caracteristic

.

3) Se efectueaz o schimbare de reper ortonormat astfel nct centrul de simetrie s constituie originea noului reper. Trecerea de la coordonatele la coordonatele n noul reper se realizeaz printr-o translaie de vector , caracterizat de ecuaiile

.

Prin aceast transformare, ecuaia general a conicei devine

adic , (15)4) Se determin o baz ortonormat format din vectorii proprii corespunztori valorilor proprii i ale matricei (vezi metoda valorilor proprii din cursul 10).5) n raport cu baza , ecuaia (15) va deveni . (16)

Trecerea la noile coordonate se realizeaz prin intermediul relaiei

.

Observm c pentru ecuaia (16) avem

, .

Deoarece rezult c .

6) Obinem ecuaia canonic a conicei:

. (17)

Observaii. Dac i au acelai semn iar are semn opus atunci din (17) se obine o elips. Dac i au semne diferite atunci din (17) se obine o hiperbol.

Exemplul 3. Se consider conica

.

S se aduc la forma canonic, indicndu-se schimbrile de reper necesare, s se recunoasc conica obinut i s se reprezinte grafic.

Rezolvare

Avem

Deoarece

, conica este de tip eliptic,

conica este nedegenerat,

, conica admite centru unic de simetrie.

Centrul conicei este dat de sistemul:

adic este punctul

.Vom efectua o schimbare de reper ortonormat astfel nct centrul de simetrie s constituie originea noului reper:

Prin aceast transformare, ecuaia conicei devine

sau

.(19)

Observm c

,

unde

.

Matricea asociat formei ptratice din (19) este

.

Deoarece polinomul caracteristicasociat matricei este

rezult valorile proprii

, .

Subspaiul propriu asociat valorii proprii va fi

.

Din relaia

deducem

;

deci

rezult

.

Vom obine baza ortonormat

,

unde

.


.

Din relaia

deducem

;

deci

rezult

.


,

unde

.

Va rezulta

.

Ecuaia conicei devine

.


,

unde

;

deci

(20)

Ecuaia conicei va avea forma canonic

i reprezint o elips.

Axele elipsei au ecuaiile i respectiv .

Rezolvnd sistemul din (20) deducem

Aadar, axele elipsei au ecuaiile

innd seama c

deducem c axele elipsei vor avea ecuaiile

adic

Centrul elipsei va fi .

Avem

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 deci centrul elipsei va fi .

Vrfurile elipsei vor fi

, , , .Deducem

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Obinem vrfurile urmtoare ale elipsei

, ,

, .

Elipsa obinut are reprezentarea grafic de mai jos

Cazul 2. , adic conica nu are centru unic de simetrie.

Etapele care se parcurg n acest caz pentru obinera unei ecuaii canonice a conice sunt:

1), 2), 4) de la cazul 1 urmate de

1) n raport cu baza , ecuaia (1) va deveni

. (18)


.

Observm c pentru ecuaia (18) avem

.

Presupunem pentru ca . Vom obine ecuaia

.

2) Se formeaz un ptrat perfect

.

3) Efectund schimbarea de coordonate

rezult ecuaia

.

Observm c avem

.

4)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ; de aceea putem scrie

.

5) Efectund schimbarea de coordonate

rezult ecuaia canonic

,

care corespunde unei parabole.Exemplul 4. Se consider conica

.

S se aduc la forma canonic, indicndu-se schimbrile de reper necesare i s se recunoasc conica obinut.

SolutionAvem

Deoarece

conica este nedegenerat,

, conica nu admite centru unic de simetrie.

Matricea asociat formei ptratice este

.

Deoarece polinomul caracteristicasociat matricei este

rezult valorile proprii

, .


.

Din relaia

deducem

;

deci

rezult

.

Considernd rezult , adic

.


,

unde

.


.

Din relaia

deducem

;

deci

rezult

.

Considernd rezult , adic

.


,

unde

.

Va rezulta

.

n raport cu baza , ecuaia conicei va deveni

sau

.(8.45)


,

unde

;

deducem

Vom forma un ptrat perfect, scriind ecuaia (8.45) sub forma

.

Efectund schimbarea de coordonate

rezult ecuaia

.

Ecuaia conicei va avea forma canonic

i reprezint o parabol.PAGE 1

_1228916306.unknown

_1229004215.unknown

_1292324878.unknown

_1293515223.unknown

_1353738679.unknown

_1353747005.unknown

_1353753968.unknown

_1353754883.unknown

_1353756970.unknown

_1353757074.unknown

_1355414004.doc

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1228913775.unknown

_1295812427.unknown

_1295812758.unknown

_1295813070.unknown

_1295813246.unknown

_1295812428.unknown

_1228913776.unknown

_1228913601.unknown

_1228913774.unknown

_1228913558.unknown

_1356174859.unknown

_1353757197.unknown

_1353756990.unknown

_1353757001.unknown

_1353755433.doc

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1228929346.unknown

_1228931138.unknown

_1228931298.unknown

_1228932131.unknown

_1353524202.unknown

_1228931263.unknown

_1228930905.unknown

_1228913776.unknown

_1228915831.unknown

_1228913558.unknown

_1353753993.unknown

_1353754006.unknown

_1353753977.unknown

_1353750211.unknown

_1353753854.unknown

_1353753957.unknown

_1353751026.doc

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1228915442.unknown

_1228929345.unknown

_1228929346.unknown

_1228929846.unknown

_1228915831.unknown

_1228913601.unknown

_1228913776.unknown

_1228913558.unknown

_1353750061.unknown

_1353750190.unknown

_1353750045.doc

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1353747436.unknown

_1353747488.unknown

_1353747657.unknown

_1353749973.unknown

_1353747656.unknown

_1353747487.unknown

_1228913776.unknown

_1353750033.unknown

_1353745797.unknown

_1353745962.unknown

_1353746230.unknown

_1353745949.unknown

_1353738711.unknown

_1353738732.unknown

_1353738753.unknown

_1353745777.unknown

_1353738743.unknown

_1353738723.unknown

_1353738695.unknown

_1353738707.unknown

_1353738689.unknown

_1353736651.unknown

_1353737409.unknown

_1353737952.unknown

_1353738647.unknown

_1353738664.unknown

_1353738672.unknown

_1353738658.unknown

_1353738154.unknown

_1353738640.unknown

_1353738144.unknown

_1353737545.unknown

_1353737800.unknown

_1353737881.unknown

_1353737887.unknown

_1353737838.unknown

_1353737793.unknown

_1353737444.unknown

_1353737194.unknown

_1353737309.unknown

_1353737360.unknown

_1353737391.unknown

_1353737325.unknown

_1353737347.unknown

_1353737287.unknown

_1353736767.unknown

_1353736793.unknown

_1353736749.unknown

_1353672603.unknown

_1353736548.unknown

_1353736596.unknown

_1353736506.unknown

_1295809541.unknown

_1295813025.unknown

_1298498858.unknown

_1353672520.unknown

_1295813032.unknown

_1295809671.unknown

_1295811514.unknown

_1295808084.unknown

_1295808949.unknown

_1295808976.unknown

_1295808642.unknown

_1293515250.unknown

_1293514715.unknown

_1293515041.unknown

_1293515145.unknown

_1293515190.unknown

_1293515110.unknown

_1293514975.unknown

_1293515010.unknown

_1293514949.unknown

_1292339950.unknown

_1292340438.unknown

_1293514316.unknown

_1293514538.unknown

_1293514589.unknown

_1293514501.unknown

_1293514050.unknown

_1293514117.unknown

_1293514247.unknown

_1293514092.unknown

_1292340546.unknown

_1292340927.unknown

_1292341340.unknown

_1292341376.unknown

_1292341425.unknown

_1292341354.unknown

_1292341025.unknown

_1292340568.unknown

_1292340808.unknown

_1292340464.unknown

_1292340528.unknown

_1292340447.unknown

_1292340266.unknown

_1292340363.unknown

_1292340404.unknown

_1292340427.unknown

_1292340372.unknown

_1292340293.unknown

_1292340336.unknown

_1292340274.unknown

_1292340186.unknown

_1292340219.unknown

_1292340252.unknown

_1292340203.unknown

_1292340088.unknown

_1292340165.unknown

_1292339982.unknown

_1292336897.unknown

_1292337115.unknown

_1292338773.unknown

_1292339261.unknown

_1292338918.unknown

_1292338984.unknown

_1292338795.unknown

_1292338181.unknown

_1292338734.unknown

_1292338741.unknown

_1292338759.unknown

_1292338580.unknown

_1292337341.unknown

_1292337846.unknown

_1292336985.unknown

_1292337100.unknown

_1292336932.unknown

_1292326662.unknown

_1292327825.unknown

_1292327946.unknown

_1292328240.unknown

_1292336747.unknown

_1292327832.unknown

_1292326961.unknown

_1292327374.unknown

_1292327443.unknown

_1292326732.unknown

_1292326850.unknown

_1292326674.unknown

_1292326711.unknown

_1292324923.unknown

_1292325121.unknown

_1292324907.unknown

_1229015878.unknown

_1229019716.unknown

_1229761619.unknown

_1229762068.unknown

_1292323808.unknown

_1292324582.unknown

_1292324849.unknown

_1292324080.unknown

_1292324288.unknown

_1292324462.unknown

_1292324224.unknown

_1292324021.unknown

_1229762123.unknown

_1229762173.unknown

_1229762630.unknown

_1229762631.unknown

_1229762307.unknown

_1229762131.unknown

_1229762112.unknown

_1229761814.unknown

_1229761990.unknown

_1229762051.unknown

_1229761843.unknown

_1229761851.unknown

_1229761644.unknown

_1229021158.unknown

_1229761518.doc

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1228913775.unknown

_1228915442.unknown

_1228915511.unknown

_1228915831.unknown

_1228913776.unknown

_1228913601.unknown

_1228913774.unknown

_1228913558.unknown

_1229761558.unknown

_1229761575.unknown

_1229761537.unknown

_1229021591.unknown

_1229359907.unknown

_1229361209.unknown

_1229761476.unknown

_1229361208.unknown

_1229021200.unknown

_1229019899.unknown

_1229021143.unknown

_1229019737.unknown

_1229017177.unknown

_1229018735.unknown

_1229018840.unknown

_1229018199.unknown

_1229018510.unknown

_1229017183.unknown

_1229016700.unknown

_1229017150.unknown

_1229017157.unknown

_1229016840.unknown

_1229016156.unknown

_1229016324.unknown

_1229016693.unknown

_1229015921.unknown

_1229009571.unknown

_1229014806.unknown

_1229014999.unknown

_1229015140.unknown

_1229015154.unknown

_1229015796.unknown

_1229015118.unknown

_1229014947.unknown

_1229014994.unknown

_1229014819.unknown

_1229010999.unknown

_1229014778.unknown

_1229014785.unknown

_1229012282.unknown

_1229012368.unknown

_1229009772.unknown

_1229010835.unknown

_1229010867.unknown

_1229009756.unknown

_1229006065.unknown

_1229006080.unknown

_1229009399.unknown

_1229009497.unknown

_1229009391.unknown

_1229005604.unknown

_1229005935.unknown

_1229005983.unknown

_1229004716.unknown

_1229005245.unknown

_1229005585.unknown

_1229005019.unknown

_1229005139.unknown

_1229004983.unknown

_1229004690.unknown

_1229004701.unknown

_1229004669.unknown

_1229004288.unknown

_1229004451.unknown

_1228919858.unknown

_1228927514.unknown

_1228930553.unknown

_1228930620.unknown

_1228931222.unknown

_1228932362.unknown

_1228934690.unknown

_1228934717.unknown

_1228932431.unknown

_1228932454.unknown

_1228931986.unknown

_1228932349.unknown

_1228931951.unknown

_1228931017.unknown

_1228931125.unknown

_1228930972.unknown

_1228930583.unknown

_1228930603.unknown

_1228930558.unknown

_1228930379.unknown

_1228930494.unknown

_1228930516.unknown

_1228930478.unknown

_1228927940.unknown

_1228928963.unknown

_1228927588.unknown

_1228926812.unknown

_1228927269.unknown

_1228927477.unknown

_1228927505.unknown

_1228927426.unknown

_1228926971.unknown

_1228927128.unknown

_1228926826.unknown

_1228922867.unknown

_1228926346.unknown

_1228926602.unknown

_1228926280.unknown

_1228920532.unknown

_1228922762.unknown

_1228922600.unknown

_1228919868.unknown

_1228918453.unknown

_1228918539.unknown

_1228918790.unknown

_1228918808.unknown

_1228918962.unknown

_1228918608.unknown

_1228918466.unknown

_1228918493.unknown

_1228917154.unknown

_1228917647.unknown

_1228918171.unknown

_1228918310.unknown

_1228918426.unknown

_1228918297.unknown

_1228918151.unknown

_1228917406.unknown

_1228917635.unknown

_1228917484.unknown

_1228917355.unknown

_1228917388.unknown

_1228917308.unknown

_1228916419.unknown

_1228916678.unknown

_1228916407.unknown

_1228903008.unknown

_1228905338.unknown

_1228914342.unknown

_1228915012.unknown

_1228915271.unknown

_1228915522.unknown

_1228915845.unknown

_1228915453.unknown

_1228914998.unknown

_1228914484.unknown

_1228906393.doc

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1228900236.unknown

_1228902807.unknown

_1228906290.unknown

_1228906317.unknown

_1228902831.unknown

_1228902793.unknown

_1228900195.unknown

_1228914218.unknown

_1228913375.unknown

_1228913383.unknown

_1228906410.unknown

_1228905785.unknown

_1228905807.unknown

_1228905764.unknown

_1228904862.unknown

_1228904880.unknown

_1228905150.unknown

_1228905234.unknown

_1228905322.unknown

_1228905073.unknown

_1228904872.unknown

_1228904370.unknown

_1228904402.unknown

_1228904800.unknown

_1228904394.unknown

_1228904261.unknown

_1228903018.unknown

_1228900410.unknown

_1228901319.unknown

_1228901987.unknown

_1228902970.unknown

_1228902998.unknown

_1228901472.unknown

_1228900982.unknown

_1228899934.unknown

_1228900016.unknown

_1228900383.unknown

_1228899988.unknown

_1228897753.unknown

_1228897844.unknown

_1228897461.unknown

curs11

Documents