curs11 hidrogeologie aplicata mim

32
Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur CURSUL XI 1. MODELAREA MATEMATICĂ ÎN HIDROGEOLOGIE Curgerea subterană constituie partea ascunsă a ciclului hidrologic, motiv pentru care anumite caracteristici, măsurabile numai punctual, rămân uneori incerte. Studiul curgerii apelor subterane şi precum şi resursele existente nu pot fi neglijate în gestiunea cantitativă şi calitativă a apelor. Mişcarea apei în subteran este foarte lentă în raport cu vitezele de curgere ale apelor de suprafaţă, ceea ce implică un timp lung de sejur în subsol. Costurile de extracţie a apelor din straturile acvifere sunt mult mai ridicate decât în cazul unei simple prelevări din apele de suprafaţă. Totuşi exploatarea apelor subterane oferă unele avantaje: o protecţie mai bună împotriva poluării; o temperatură relativ constantă; distanţe mici între sursă şi utilizator. O exploatare optimă a resurselor subterane implică o cunoaştere prealabilă a condiţiilor hidrologice pentru calculul bilanţului hidrologic, informaţiile hidrogeologice fiind furnizate prin încercări, în număr limitat, de pompaj, trasaj şi piezometre. Cea mai bună modalitate de a profita de toate datele disponibile, referitoare la straturile acvifere, este de a le combina cu legile fizice corespunzătoare (exprimate prin ecuaţii matematice) pentru a forma un model matematic. 1

Upload: puma316

Post on 20-Jun-2015

442 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

CURSUL XI

1. MODELAREA MATEMATICĂ ÎN HIDROGEOLOGIE

Curgerea subterană constituie partea ascunsă a ciclului hidrologic, motiv pentru care

anumite caracteristici, măsurabile numai punctual, rămân uneori incerte. Studiul curgerii

apelor subterane şi precum şi resursele existente nu pot fi neglijate în gestiunea cantitativă şi

calitativă a apelor.

Mişcarea apei în subteran este foarte lentă în raport cu vitezele de curgere ale apelor de

suprafaţă, ceea ce implică un timp lung de sejur în subsol. Costurile de extracţie a apelor din

straturile acvifere sunt mult mai ridicate decât în cazul unei simple prelevări din apele de

suprafaţă. Totuşi exploatarea apelor subterane oferă unele avantaje:

– o protecţie mai bună împotriva poluării;

– o temperatură relativ constantă;

– distanţe mici între sursă şi utilizator.

O exploatare optimă a resurselor subterane implică o cunoaştere prealabilă a condiţiilor

hidrologice pentru calculul bilanţului hidrologic, informaţiile hidrogeologice fiind furnizate

prin încercări, în număr limitat, de pompaj, trasaj şi piezometre.

Cea mai bună modalitate de a profita de toate datele disponibile, referitoare la straturile

acvifere, este de a le combina cu legile fizice corespunzătoare (exprimate prin ecuaţii

matematice) pentru a forma un model matematic.

Pentru a obţine soluţii simulate ale sistemului, cu semnificaţii fizice foarte precise, este

necesar a se ţine cont de complexitatea rezervoarelor acvifere. Eterogenităţile, variaţiile

spaţiale, anizotropiile terenului geologic conduc la complicaţii care îngreunează realizarea

modelelor matematice în hidrogeologie.

Scara la care sunt reprezentate domeniul şi procesele este de asemenea un factor de

precizie care va determina aproximări permise sau nu în idealizarea domeniului şi

conceptualizarea sistemului.

Dezvoltarea informaticii permite realizarea de simulări foarte precise, ţinând cont de

eterogenităţile locale, neliniarităţile parametrilor, cuplajele între procesele simulate, etc.

În cazul unui studiu cantitativ, rolul unui model numeric este integrarea tuturor datelor

disponibile, aproximarea logică şi fiabilă ale datelor inexistente şi furnizarea unui răspuns

global asupra tendinţelor stratului acvifer în regim permanent sau tranzitoriu.

1

Page 2: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

În prezent, gestiunea straturilor acvifere presupune atât studiul aspectelor cantitativ cât

şi calitative (probleme de poluare).

1.1. PRINCIPII ALE MODELĂRII

Motivaţia inerentă a construirii unui model este necesitatea rezolvării problemelor de

interes practic: probleme de gestiune a situaţiilor, implicând curgerea apei şi transportul

poluantului în zona saturată şi / sau nesaturată.

În general, un model se poate defini ca o reprezentare simplificată a realităţii în

vederea simulării răspunsului unui sistem la o serie de solicitări. Obiectivele obişnuite ale

unei modelări pot fi următoarele:

– realizarea previziunilor asupra comportamentului sistemului considerat, ca răspuns

solicitărilor;

– obţinerea informaţiilor necesare respectării anumitor recomandări sau legislaţii;

– obţinerea unei bune înţelegeri a sistemului din punct de vedere hidrogeologic, chimic,

geologic;

– furnizarea informaţiilor necesare realizării noilor teste in situ (pompaje, trasaje).

1.1.1. ETAPE ALE MODELĂRII

Metodologia de construire a unui model se va aborda, considerând problemele de

curgere şi transport în mediul poros şi / sau saturat. Obiectivele studiului trebuie să fie foarte

bine cunoscute; să se aleagă criterii de decizie cum ar fi: costul, durata, calitatea apei

infiltrate, cantitatea şi / sau calitatea apei pompate.

1.1.1.1 Modelul conceptual

În realitate, sistemul real care urmează a fi modelat este foarte complex şi complicat.

Ca urmare, se pune întrebarea cum se poate simplifica descrierea sistemului real.

Conceptualizarea sau construirea modelului conceptual a problemei studiate constă în

alegerea ipotezelor fundamentale. Aceste ipoteze reduc problema reală la o problemă

simplificată care trebuie acceptată în vederea atingerii obiectivelor propuse.

Ipotezele se pot referi la următoarele aspecte:

2

Page 3: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

– analiza în regim permanent sau tranzitoriu;

– dimensiunea modelului: 1D, 2D vertical, 2D orizontal, 3D;

– geometria frontierelor;

– tipul materialelor geologice din care este compus domeniul;

– omogenitate / eterogenitate, izotropie / anizotropie;

– numărul şi tipul fazelor şi fluidelor;

– proprietăţi fizice diferite ale fazelor fluide (densitate, vâscozitate, compresibilitate);

– compuşi chimici implicaţi;

– mecanisme de transport în interiorul domeniului;

– posibilitatea schimbului de compuşi chimici între fazele constituente;

– regimul de curgere al fluidelor implicate (laminar, turbulent);

– condiţii izoterme / neizoterme (eventual influenţa lor asupra proprietăţilor fluidelor şi

solidului);

– prezenţa / absenţa surselor sau dispariţia fluidelor sau poluanţilor în interiorul domeniului,

repartiţia lor spaţială şi variaţia temporală;

– variabilele de stare considerate, volume sau suprafeţe pentru care se aleg valori medii sau

echivalente;

– procesele chimice, fizice sau biologice;

– condiţii de frontieră ale domeniului pentru curgere şi transport;

– condiţii iniţiale în interiorul domeniului.

Buna selecţie a ipotezelor acceptabile pentru fiecare caz specific este foarte importantă la

interpretarea rezultatelor obţinute cu ajutorul modelului.

Dacă se simplifică prea mult, modelul nu va furniza informaţiile dorite; dacă se fac prea

puţine ipoteze simplificatoare, nu vom dispune de toţi parametrii necesari sau de mijloacele

de rezolvare pentru obţinerea unui răspuns. Dacă ipotezele nu sunt alese adecvat, se

trunchiază realitatea. Din nefericire, majoritatea greşelilor de modelare se fac în această etapă.

Este recomandabil, ca etapa să fie realizată de un hidrogeolog, bun cunoscător ale proceselor

fizico-chimice ce au loc la curgerea şi transportul fluidelor în mediul saturat.

1.1.1.2 Modelul matematic

A doua etapă constă în transcrierea modelului conceptual în modelul matematic prin

ecuaţii matematice. Modelul matematic va exista pornind de la definirea geometriei, ecuaţiilor

3

Page 4: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

de bilanţ al cantităţilor de fluide considerate, ecuaţiile de flux (fluxul se exprimă funcţie de

variabilele de stare), ecuaţiile ce descriu proprietăţile diferitelor fluide (dependenţa densităţii

şi vâscozităţii în funcţie de temperatură, presiune, concentraţie), termenii de sursă şi

dispariţie, condiţii iniţiale şi condiţii la limită care descriu interacţiunile domeniului studiat cu

mediul înconjurător.

1.1.1.3 Modelul numeric

Modelul matematic trebuie rezolvat în funcţie de variabilele de stare pentru cazul

studiat. În practică, nu se pot aplica metodele analitice datorită eterogenităţii (repartiţia

spaţială ale proprietăţilor relative la curgere şi transport), se aplică metodele numerice

prezentate anterior.

1.1.1.4 Verificarea codului

Metodele de rezolvare introduc întotdeauna erori numerice în relaţia cu discretizarea

spaţio-temporală aleasă. În general, aceste erori pot fi reduse semnificativ printr-o discretizare

adecvată, astfel încât ele să fie neglijate în raport cu alte aproximări.

Trebuie, de asemenea, controlată calitatea răspunsurilor furnizate de modelul numeric

pentru unele probleme clasice, rezolvate prin alte metode (analitice sau numerice). Modelul

numeric trebuie să treacă în mod pozitiv toate testele unei proceduri ce asigură calitatea: este

verificarea codului.

1.1.1.5 Validarea modelului

Această operaţie constă în verificarea rezultatelor modelului care trebuie să descrie

foarte bine realitatea. Pentru validări la scară in situ, se integrează adesea această etapă

calibrării.

1.1.1.6 Estimarea parametrilor – Calibrarea

În majoritatea studiilor de caz, cunoaşterea cantitativă a proprietăţilor acviferelor este

o problemă majoră în elaborarea modelului, datorită insuficientei cunoaşteri cantitative ale

geologiei, hidrogeologiei şi parametrilor dispersivi ai mediului studiat. În cele mai fericite

cazuri, valorile parametrilor sunt cunoscute numai în anumite zone locale şi hidrogeologul

trebuie să estimeze valorile parametrilor pentru celelalte zone. De asemenea un rol important

4

Page 5: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

îl are efectul de scară atunci când un parametru este măsurat la o anumită scară şi în model

trebuie utilizat la un nivel de scară superioară.

Aceste constatări demonstrează obligativitatea verificării dacă rezultatele obţinute cu

ajutorul modelului sunt bune sau nu în raport cu realitatea.

Acest procedeu se numeşte calibrare: ea constă în minimizarea diferenţei dintre

măsurători şi rezultate prin ajustarea datelor de intrare până când modelul reproduce condiţiile

de câmp măsurate la un nivel de precizie acceptabil. Comparaţia dintre răspunsurile măsurate

şi calculate nu vor fi niciodată identice deoarece modelul nu este decât o aproximare a

sistemului real realizată prin considerarea unor ipoteze simplificatoare de lucru. Pentru

minimizarea diferenţelor, trebuie ales un criteriu astfel încât ajustarea să fie cât mai eficace.

Modalitatea de calibrarea cea mai utilizată constă în ajustarea rezultatelor şi

măsurătorilor fără un alt mijloc matematic şi se bazează pe metoda încercărilor şi erorilor.

1.1.1.7 Exploatarea modelului – Simulări

După etapa de calibrare, modelul este pregătit pentru diferite simulări. Modelul are

capacitatea de a calcula valorile extrapolate, rezultatele obţinute constituind un ajutor precis.

Dintre aplicaţiile posibile ale modelelor de curgere putem cita (Jensen, 1987):

a) studii de bilanţ:

– determinarea tendinţelor regionale de curgere în rezervoarele subterane şi interacţiunile

acestora cu apele de suprafaţă, alte rezervoare, puţuri, etc.

b) încercări de pompaj

– determinarea perimetrelor de protecţie;

– previziuni ale modificării poziţiei interfeţei apă dulce şi apă sărată;

c) schimbări în realimentarea stratului:

– efectele datorate urbanizării;

– previziuni ale schimbărilor rezultate din irigaţii sau infiltraţii provenite dintr-un canal nou;

– analiza pe o perioadă mare a influenţelor provocate de climă asupra nivelelor piezometrice

şi distingerea efectelor datorate factorilor antropici;

d) planificarea măsurătorilor in situ

– raţionalizarea colectării ulterioare de date prin realizarea măsurătorilor cele mai necesare;

e) gestiunea apelor subterane

– planificarea ideală a exploatării resurselor;

– stocarea subterană sezonieră a apelor de suprafaţă;

5

Page 6: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

Dintre aplicaţiile posibile ale modelelor de curgere –transport putem cita (Jensen, 1987):

a) contaminarea stratului acvifer de la o sursă punctuală:

– determinarea condiţiilor existente de contaminare;

– determinarea concentraţiilor;

– previziuni în ceea ce priveşte condiţiile viitoare de contaminare;

– identificarea locurilor pentru o eventuală descărcare.

b) contaminarea stratului acvifer de la surse uniforme:

– determinarea calităţii actuale a apei din straturi;

– determinarea concentraţiei apelor

c) gestiunea calităţii apelor:

– determinarea perimetrelor de protecţie;

– în anumite cazuri, identificarea strategiei de pompaj pentru evitarea intruziunii apelor

sărate sau poluate.

Toate măsurile de salvare sau prevenire împotriva poluării trebuie precedată de o bună

înţelegere a condiţiilor existente. Modelele matematice furnizează un mijloc de integrare a

parametrilor specifici unei anumite probleme, fiind indispensabile pentru interpretarea şi

rezolvarea studiilor de caz.

1.1.2 SCHEMA GENERALĂ ŞI RAPORT

Construirea unui model matematic presupune parcurgerea tuturor etapelor date în schema

generală din figura

Raportul final referitor la modelarea unui domeniu pentru o anumită problemă (studiu de

caz) trebuie să conţină următoarele informaţii:

a) Rezumat;

b) Introducere: descrierea problemei, întrebări;

c) Obiectivele modelării;

d) Ipoteze şi modelul conceptual;

e) Ecuaţiile matematice ale modelului;

f) Coeficienţii şi parametrii modelului;

g) Cod, programul utilizat, dezvoltare numerică;

h) Calibrarea şi estimarea parametrilor;

i) Simulări (incluzând şi studiul de sensibilitate);

6

Page 7: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

j) Concluzii;

k) Lista simbolurilor utilizate, referinţe.

Fig. nr. 1.1 Dezvoltarea unui model numeric hidrogeologic (după Peck şi alţii, 1988)

Condiţii la limită

Trebuie să se distingă foarte clar, limitele fizice ale domeniului (unde au loc procesele) şi

limitele modelului construit pentru simulări. Din nefericire, ele sunt adesea distincte şi trebuie

să ne asigurăm că frontierele impuse de model va crea acelaşi efect ca şi limitele naturale.

După identificarea acestor frontiere, trebuie ca eventualele diferenţe să fie justificate

conceptual, pentru a afirma că limitele idealizate ale modelului nu influenţează sau foarte

puţin soluţia problemei.

Din punct de vedere matematic, pentru fiecare ecuaţie de curgere rezolvată, se vor obţine

o infinitate de soluţii posibile. Soluţia ce corespunde problemei studiate

În general, se disting următoarele tipuri de condiţii impuse frontierelor:

– condiţii de presiune sau de potenţial impus;

7

Page 8: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

– condiţii de flux sau debit impus;

– condiţii de debit dependent de potenţial;

– condiţii de suprafaţă

– condiţii de limită între două medii poroase diferite;

– condiţii de suprafaţă liberă.

În cazul regimului tranzitoriu, pe lângă aceste condiţii la limită sunt necesare definirea

condiţiilor iniţiale ce se referă la valorile iniţiale ale variabilelor principale şi ale tuturor

parametrilor care intervin în legile constitutive ale modelului.

Condiţii de presiune sau potenţial impus

Cunoscute sub numele de condiţiile lui Dirichlet, ele constau în specificarea

potenţialului (sau presiunii) la aceste limite sau independent de fluxul schimbat.

Pentru înălţimea piezometrică, acest tip de condiţie se exprimă prin:

(1.1.)

unde f este o funcţie cunoscută.

Conform relaţiei (1.1.), această înălţime piezometrică impusă poate varia în spaţiu şi

timp. Specificarea eventualelor variaţii este impusă de discretizările spaţiale şi temporale.

În practică, aceste condiţii la limită pot fi alese în următoarele cazuri:

1) la contactul între un acvifer şi apele de suprafaţă (râuri, lacuri);

2) când liniile echipotenţiale pot fi distinse (baraje);

3) în cazul modelării unei zone restrânse cuprinsă într-un acvifer vast şi când fluxurile la

frontierele acestei zone sunt necunoscute.

Fig. nr. 1.2. Limite cu potenţial impus

8

Page 9: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

Condiţii de flux sau debit impus

Cunoscute sub numele de condiţii Neumann, ele constau în specificarea debitului la

limitele modelului, independent de înălţimile piezometrice existente. Utilizând legea lui

Darcy, gradientul normal impus la frontieră este: (1.2.)

Dacă limita corespunde unei linii de curent, fluxul specific este nul (condiţia de frontieră

impermeabilă): (1.3.)

Dacă fluxul nenul este specificat, condiţia de debit se poate scrie:

(1.4.)

Frontierele impermeabile pot fi adesea utilizate când se constată, în valorile

coeficienţilor de permeabilitate, diferenţe superioare valorii 105. Un mediu poros natural nu

este niciodată impermeabil în totalitate în sensul strict al termenului.

O frontieră impermeabilă poate fi utilizată la limita bazinului hidrogeologic a stratului

studiat (fig. nr. 1.3) când curgerea nu are loc perpendicular la această limită.

Fig. nr. 1.3. Limite cu flux impus

9

Page 10: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

Condiţii de debit ce depinde de un potenţial

În anumite situaţii, trebuie reprezentat un flux (de-a lungul frontierei) care variază

funcţie de variaţiile înălţimii piezometrice.

Exemplul tip este fluxul ce traversează un strat semipermeabil, provenit fie dintr-un

acvifer superior, fie din apele de suprafaţă (fig. nr. 1.4). Diferenţa de potenţial induce un flux

şi utilizând legea lui Darcy, se obţine următoarea relaţie:

(1.5.)

unde k’ şi b’ sunt coeficienţi de permeabilitate şi grosimi ale stratului semipermeabil.

Pentru acviferul simulat, se obţine:

sau (1.6.)

Se obţine o condiţie mixtă (exprimată funcţie de şi h), denumită condiţia Fourier sau mai

este încă întâlnită sub denumirea de condiţia Cauchy.

Fig. nr. 1.4. Condiţie mixtă unde debitul depinde de potenţial

Limita între două medii poroase omogene

Schimbările foarte mari ale valorilor parametrilor corespunzători unei limite între două medii

poroase (presupuse omogene) este în contradicţie cu procedeul omogenizării la scară

macroscopică. Aceste limite nu constituie frontiere externe ale modelului, de ele ţinându-se

cont, de obicei, la discretizarea geometrică a modelului.

Pentru a asigura continuitatea sau compatibilitatea debitelor de-a lungul acestor limite,

avem:

(1.7.)

10

Page 11: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

unde n este direcţia normalei la frontieră, în cazul în care mediul poros este izotrop.

Pentru continuitatea înălţimilor piezometrice, avem: h1=h2 (1.8.)

Condiţii de suprafaţă liberă

Pentru stabilirea condiţiilor corespunzătoare unei suprafeţe libere, trebuie studiată

interfaţa apă aer în mediul poros. Suprafaţa pentru care presiunea apei macroscopice este nulă

(presiunea atmosferică) este denumită suprafaţă liberă a acviferului.

Schematizarea condiţiilor de margine

a. Acvifere cu nivel liber:

Fig. nr. 1.5.

1. - profil de depresiune (pC = 0, HC = ZC, );

2. - zona de izvorâre (HB=ZB);

3. - apa capilară mobilă (HD=ZD-hC);

4. - nivelul apei din râu (HA=hAP+ZA=const.);

5. - limita laterală impermeabilă (Qn = 0, );

6. - pat semipermeabil (HE=hEP+ZE); debitul de alimentare prin drenanţă, pe unitatea de

suprafaţă este WD=k’H/M’=kDH (kD= k’/M’ – coeficient de drenanţă).

b. Acvifere sub presiune:

7. - profil piezometric (HG=hGP);

8. - pat impermeabil (Qn = 0, );

11

Page 12: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

9. - acoperiş semipermeabil (HF=HG); debitul pierdut prin drenanţă pe unitatea de

suprafaţă, este WD=k’H/M’=kDH;

9’. - acoperiş impermeabil (HF=HG, Qn = 0, );

10. – direcţia drenanţei.

Acviferele sub presiune sunt limitate de două tipuri de suprafeţe:

a. Suprafeţe impermeabile: culcuşul şi acoperişul stratului permeabil şi eventualele limite

laterale (schimbări de facies, accidente tectonice, etc.). Impermeabilitatea acestor

suprafeţe impune condiţia de egalare cu zero a debitelor care le traversează, deci

componenta vitezei de filtrare normală pe acesta este nulă:

(1.9.)

deci: (1.10.)

ceea ce înseamnă că liniile echipotenţiale (H=const.) intersectează suprafeţele impermeabile

sub un unghi drept, adică suprafeţe impermeabile se identifică cu liniile de curent.

b. Suprafeţe filtrante (suprafeţele de aflorare ale stratului permeabil, prin care se

realizează alimentarea acestuia) sunt suprafeţe orizontale ale acviferului, în echilibru cu

presiunea atmosferică, cu sarcina piezometrică constantă):

H = z + hP = const. (1.11.)

În cazul acviferelor cu dezvoltare mare în plan orizontal, suprafeţele filtrante (suprafeţe

echipotenţiale limită) se consideră că se găsesc la o distanţă infinit de mare.

Acviferele cu nivel liber se caracterizează prin prezenţa unei suprafeţe libere, în echilibru

cu presiunea atmosferică, care le limitează în partea superioară. În regim staţionar

(permanent), poziţia suprafeţei libere se consideră constantă. Imobilitatea acesteia implică

egalarea cu zero a debitului care o traversează. Rezultă că profilul de depresiune este o linie

de curent. Pe de altă parte, deoarece pe suprafaţa liberă moleculele de apă în mişcare sunt în

echilibru cu presiunea atmosferică (nulă în sistemul relativ patm=0) – şi neglijând efectul

capilarităţii rezultă condiţia: H=Z.

De fapt, în majoritatea situaţiilor, delimitarea în partea superioară a acviferelor cu nivel

liber este făcută de suprafaţa zonei cu apă capilară mobilă. Coloana de apă de înălţime hC este

susţinută de tensiunea superficială care se dezvoltă pe circumferinţa meniscului care se

formează la contactul între apă şi peretele tubului capilar. Deci, deasupra curbei de depresiune

se dezvoltă pe înălţimea hC zona apei capilare mobile, la partea superioară a acesteia presiunea

12

Page 13: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

capilară fiind . Rezultă că la suprafaţa zonei capilare, se obţin următoarele

condiţii:

şi (1.12.)

Suprafaţa zonei de apă capilară mobilă are două poziţii extreme: una de maxim, dacă se

stabilizează după coborârea nivelului apelor subterane, şi una de minim după ridicarea

nivelului acestora.

Din cele prezentate au rezultat condiţiile de margine pentru limitele impermeabile (k=0) şi

pentru cele cu potenţial dat (k=∞). Limitele cu potenţial dat sunt malurile (sub oglinda apei) şi

fundul lacurilor sau râurilor.

Condiţii de margine particulare

Un caz particular de suprafaţă liberă (de depresiune) îl constituie zona de izvorâre (fig. nr.

1.6)

Fig. nr.1.6

Liniile de curent 3, 4, 5 şi 6 trebuie să traverseze linia CD (care este echipotenţială) sub

unghiuri drepte. Dacă am admite că profilul de depresiune (care este o linie de curent) ar

ajunge în punctul C, ar însemna că în acest punct s-ar întâlni două linii de curent, ceea ce

echivalează cu atingerea unei viteze de filtrare infinit de mare. Acest lucru nefiind fizic

posibil, se deduce că profilul de depresiune trebuie să intersecteze suprafaţa terenului într-un

punct plasat deasupra lui C, de exemplu B, suprafaţa BC numindu-se zonă de izvorâre, de

prelingere sau exfiltrare. Segmentul de taluz BC nu este linie de curent şi nici linie

echipotenţială, dar moleculele de apă se mişcă pe această suprafaţă în echilibru cu presiunea

atmosferică (pa=0, deci H=z). Viteza de filtrare în lungul profilului de depresiune este

13

Page 14: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

, atingând valoarea maximă în punctul B (în care are valoarea identică cu

unghiul de taluz). Rezultă că în zona de izvorâre vitezele sunt maxime, impunându-se măsuri

pentru combaterea fenomenelor de antrenare hidrodinamică a terenurilor permeabile

granulare. Deoarece precizarea zonei de izvorâre se face cu aproximaţie, în rezolvarea

problemelor practice de acest tip se întâmpină dificultăţi suplimentare.

În situaţia când un acvifer cu nivel liber este alimentat prin infiltrare (din precipitaţii,

reţeaua de irigaţii, râuri şi lacuri, fig. , b şi c), profilul de depresiune nu este o linie de curent,

chiar în condiţiile unui regim staţionar (modulul de infiltrare are o valoare constantă, pentru

un anumit interval de timp) [12].

2 METODE DE REZOLVARE A ECUAŢIILOR DE TRANSFER DE MASĂ ÎN

MEDII POROASE. MODELARE MATEMATICĂ.

Ecuaţiile de transfer a poluanţilor în medii poroase se pot rezolva prin metode analitice

sau prin metode numerice. Metodele analitice sunt aplicabile în situaţii mai simple, dar

reprezintă şi o posibilitate de aproximare, în multe situaţii mai complexe, pentru evoluţia

poluanţilor.(David) Este de preferat utilizarea acestor metode atunci când lucrul acesta este

posibil. De aceea, în practică, sunt utilizate metodele numerice care sunt aplicabile în situaţii

complexe, atât în ceea ce priveşte domeniul mişcării, condiţiile limită, cât şi variabilitatea

parametrilor caracteristici.

2.1 METODE NUMERICE

Principalele caracteristici ale modelelor numerice permit rezolvarea problemelor de

curgere şi transport în mediul poros saturat şi nesaturat. Acestea sunt următoarele:

– se obţine soluţia în puncte discrete ale domeniului spaţio-temporal;

– ecuaţiile diferenţiale sau cu derivate parţiale sunt înlocuite printr-un sistem de ecuaţii

algebrice, scrise în funcţie de variabilele de stare necunoscute;

– soluţia problemei este obţinută pentru setul specificat de valori ale parametrilor;

– numărul ecuaţiilor ce urmează a fi rezolvate simultan şi în etape, în sistem, este foarte

important; astfel se poate utiliza un program de calcul ceea ce ar conduce la reducerea

timpului de calcul al sistemului de ecuaţii.

14

Page 15: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

Dintre metodele numerice utilizate putem enumera: metoda diferenţelor finite, metoda

elementelor finite (cea mai folosită), metoda elementelor de frontieră, etc.

Metoda diferenţelor finite (MDF)

Metoda diferenţelor finite permite găsirea soluţiei aproximative în nişte puncte din

domeniu, utilizând diferenţele finite şi folosind un polinom de interpolare se poate aproxima

soluţia în orice alt punct din domeniu. MDF presupune parcurgerea unor paşi:

– discretizarea spaţio-temporală a domeniului respectiv;

– se scriu relaţiile de legătură dintre derivate şi diferenţe finite;

– se renunţă la erorile de trunchiere şi se obţin schemele cu diferenţe finite asociate

problemei respective.

Metoda elementelor finite (MEF)

Metoda elementelor finite este o metodă numerică pentru rezolvarea problemelor de

câmp. Ca urmare, de prim interes este cunoaşterea cât mai bună a acestei aproximări astfel

încât soluţia obţinută să fie apropiată cât mai mult de soluţia exactă. Evaluarea erorii este o

problemă dificilă, datorită faptului că soluţia exactă a problemelor complexe este ea însăşi

necunoscută. Precizia soluţiei aproximative este mai bună pe măsură ce creşte numărul de

elemente finite din discretizare şi, implicit, numărul de noduri (fig 1.7)[4].

Fig. 1.7 Convergenţa soluţiei în elemente finite

Dacă acest proces de îmbunătăţire a aproximării se realizează, se spune că soluţia

numerică converge către soluţia exactă.

Rezolvarea unei probleme comportă o succesiune de etape de calcul:

15

Page 16: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

– discretizarea, în care domeniul de studiu se împarte în elemente finite şi se stabilesc

punctele nodale;

– alegerea funcţiilor de aproximare, etapă care se mai numeşte şi alegerea tipului de

element, dat fiind că există anumite configuraţii ale elementelor finite în funcţie de forma

şi de gradul funcţiilor de aproximare.

– evaluarea matricelor de influenţă şi a vectorilor caracteristici, care se face de obicei prin

integrare numerică.

– asamblarea, care se obţine prin însumarea matricelor de influenţă şi a vectorilor condiţiilor

de margine ale elementelor de discretizare. La baza procedurii de sumare stă faptul că,

într-un nod comun mai multor elemente finite, valoarea sarcinii hidraulice este aceeaşi

pentru toate elementele cuplate în acel nod;

– rezolvarea sistemului de ecuaţii algebrice liniare rezultat din operaţia de asamblare;

– calculul parametrilor hidraulici în orice punct al domeniului pe baza valorilor nodale

obţinute.

Metoda elementelor de frontieră

Metoda elementelor de frontieră (MEFr) dezvoltată în mod deosebit în ultima decadă,

este o nouă metodă aproximativă de soluţionare a problemelor la limită. În esenţă această

metodă, utilizând o soluţie a ecuaţiei omogene asociate sau o soluţie fundamentală a ecuaţiei

date, reduce problema la o ecuaţie integrală pe frontiera domeniului. Prin integrarea numerică

a acestei ecuaţii integrale pe frontieră, care pretinde o discretizare doar a frontierei, se obţin

datele necesare ce vor permite, prin intermediul unei reprezentări integrale asociate ecuaţiei

date, calculul soluţiei în orice punct al domeniului.

Ecuaţia integrală pe frontieră încorporează condiţiile la limită asociate pentru care nu

se vor folosi relaţii speciale.

Această metodă se poate aplica şi domeniilor infinite, condiţiile la limită fiind

înglobate în ecuaţia integrală respectivă.

Dacă ar fi să comparăm MEF cu MEFr sub aspectul timpului de calculator am

constata că ele sunt de acelaşi ordin de mărime. MEFr se dovedeşte avantajoasă prin

următoarele proprietăţi:

– rezultatele sunt bune chiar şi pentru un număr mic de noduri pe frontieră;

16

Page 17: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

– metoda este aplicabilă fără modificări, atât pentru probleme interioare cât şi pentru

probleme exterioare (domenii nemărginite);

– reprezentarea integrală a soluţiilor în interiorul domeniului permite diferenţierea analitică

a acestor soluţii;

– adesea soluţia ecuaţiei integrale pe frontieră este legată de anumite mărimi fizice de

deosebit interes care vor fi deci implicit calculate.

Principalul dezavantaj al metodelor cu elemente finite pe frontieră constă în aceea că

trebuie cunoscute soluţiile fundamentale ale problemei abordate. Această puternică restricţie

reduce substanţial câmpul de aplicare al acestei metode.

Metodele cu elemente finite (interioare) pot fi aplicate în schimb oricăror probleme care

acceptă o formulare variaţională chiar mai puţin riguroasă.

Comparând aceste două metode sub aspectul implementării lor, vom observa că MEFr, în

cazul în care nu se cuplează cu MEF, nu necesită algoritmi pentru triangulaţia domeniului şi

nu se pune practic problema asamblării. Matricea sistemului final, în cazul folosirii MEFr

chiar pentru probleme ce conţin operatori foarte buni (probleme de teoria potenţialului) nu

mai are proprietăţile acestora, fiind nişte matrice oarecare. De aici necesitatea de a lucra cu

matricea întreagă, cu toate avantajele inerente.

Odată aplicabilă MEFr pentru o anumită problemă, această metodă este mult mai flexibilă

decât MEF, şi doar prin faptul că se pot utiliza domenii infinite, cu unghiuri concave, cu

tăieturi etc., pe care şansa folosirii cu bune rezultate a MEF este practic nulă.

Discretizarea spaţială

Discretizarea geometrică trebuie să ţină cont de numeroase imperative. Discretizarea

spaţială, în celule, elemente, regiuni, depinde de schema de integrare spaţială utilizată. De

exemplu, pentru elemente finite, variaţia spaţială a presiunii sau înălţimii piezometrice este

reprezentată cu ajutorul funcţiilor de interpolare şi necunoscutele nodale reprezintă

necunoscutele problemei discretizate. Cu cât paşii de discretizare sunt mai mici, cu atât

precizia de calcul va fi mai mare.

Reţeaua este reprezentarea domeniului studiat printr-un ansamblu de celule (diferenţe

finite), de elemente (elemente finite) sau regiuni (elemente de frontieră sau elemente

analitice). Mărimea lor este aleasă în funcţie de eterogenitatea mediului, de complexitatea

17

Page 18: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

frontierelor, de densitatea măsurătorilor disponibile, de precizia dorită precum şi de

contingenţele informatice (mărimea sistemului, timpul de calcul).

În metoda diferenţelor finite discretizarea se realizează prin celule sau blocuri rectangulare

(2D) sau paralelipipedice (3D); într-un model se poate utiliza un singur tip de celule.

Metoda elementelor de frontieră şi elementelor analitice presupun că eterogenitatea

domeniului este relativ restrânsă deoarece soluţiile continue şi analitice sunt impuse în

diferitele regiuni discretizate.

Metoda elementelor finite este metoda cea mai bună şi cea mai utilizată, fiind adaptată la

reprezentarea domeniului de eterogenitate mare în 3D, elementele propuse având forme

diferite şi putând fi deformate cu uşurinţă.

Discretizarea în celule sau blocuri pentru metoda diferenţelor finite

În hidrogeologie, metoda diferenţelor finite este limitată la utilizarea celulelor

rectangulare (2D) sau paralelipipedice (3D). Pentru domenii de dimensiuni foarte mari şi

puţin afectate de eterogenităţi locale, metoda diferenţelor finite este aplicată foarte des cu

succes.

Reţelele utilizate sunt, de obicei, aliniate pe sisteme de coordonate ortogonale, carteziene,

cilindrice, antrenând următoarele inconveniente:

– este dificilă discretizarea foarte fină a unei zone fără generarea unei multitudini de alte

blocuri în zonele unde aceasta nu este necesară;

– nu este permisă combinarea reţelelor de diferite tipuri

– este dificilă alegerea unei reţele a cărei orientare nu provoacă un efect de anizotropie.

Aziz şi Palagi (1991)[5] propun una dintre primele reţele utilizate în diferenţe finite de

Tyson şi Weber (1964) compuse din poligoanele Voronoї (1908), similare celor din metoda

Theissen (utilizată în hidrologie pentru calculul precipitaţiilor). Ei generalizează această

aproximare pentru utilizarea poligoanelor de diferite forme.

18

Page 19: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

Fig. nr. 1.8 Reţea în care s-au utilizat poligoane Voronoï de diferite tipuri: cilindrice,

hexagonale, carteziene hibride şi hexagonale hibride (după Aziz şi Palagi, 1991)

Discretizarea în elemente pentru metoda elementelor finite

Metoda elementelor finite se caracterizează printr-o gamă foarte largă de elemente (cu

mare flexibilitate a formei şi mărimii lor) ceea ce permite considerarea unui număr mare de

situaţii particulare ce pot fi întâlnite. Exemple de diferite elemente finite sunt prezentate în

figura 1.9 [5].

Fig. nr. 1.9 Diverse elemente finite cu 1, 2 sau 3 dimensiuni

19

Page 20: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

Discretizarea în regiuni pentru metoda elementelor de frontieră şi elementelor

analitice

Metoda elementelor de frontieră se bazează pe discretizarea frontierelor domeniului

căruia se aplică modelarea respectivă. Se discretizează suprafeţe când se realizează o

modelare 3D şi curbe când problema se tratează în 2D. Valorile calculate ale variabilei

variază în mod continuu în interiorul regiunilor şi toate aproximările ale geometriei,

eterogenităţii domeniului trebuie să intervină asupra frontierelor acestor regiuni. Fiecare

regiune trebuie să fie omogenă. Astfel dacă eterogenitatea domeniului este mare, micile

regiuni discretizate apar virtual ca o reţea de elemente finite.

Metoda elementelor de frontieră permite discretizarea în mod egal a domeniilor pentru

următoarele cazuri:

– probleme la care condiţiile la limită sunt impuse la infinit în raport cu zona solicitării.

Acest tip de problemă poate fi întâlnită destul de frecvent în modelarea acviferelor regionale.

– probleme ce conţin regiuni semi-infinite, omogene şi care nu sunt supuse solicitărilor.

Trebuie subliniată abordarea foarte rară, în literatura de specialitate, a exemplelor referitoare

la simularea curgerilor apei în mediul poros saturat, la o scară regională, prin metoda

elementelor de frontieră.

Metoda elementelor analitice utilizează soluţii analitice valabile pentru fiecare regiune,

urmând a le suprapune. Aceste regiuni trebuie să fie omogene şi formele frontierelor trebuie

să fie regulate. Discretizarea constă în delimitarea zonelor ce îndeplinesc aceste condiţii.

O eterogenitate importantă a domeniului sau chiar iregularitate a sa este dificil de realizat

discretizarea şi conduce la inaplicabilitatea acestei metode. Ca şi metoda elementelor de

frontieră, metoda elementelor analitice se aplică foarte bine în particular unui domeniu semi-

infinit sau cu frontiere infinite.

Discretizare temporală

Pentru a rezolva o problemă în regim tranzitoriu în timp, este necesar a se realiza o

discretizare temporală, în sensul că soluţia problemei să fie calculată într-un număr finit de

momente alese de utilizator. Intervalele între aceste momente sunt denumite paşi de timp.

Alegerea paşilor de timp se va face în funcţie de:

– precizia în timp a datelor relative solicitărilor;

20

Page 21: Curs11 Hidrogeologie Aplicata MIM

Modelare hidrogeologică Conf. dr. ing. Omer Ichinur

– pentru calcule previzionale, paşii de timp aleşi depind de precizia în timp, dorită

pentru aceste previziuni;

– paşii de timp trebuie aleşi respectând criteriile numerice referitoare la precizie,

stabilitate şi convergenţa soluţiei;

– paşii de timp nu trebuie să fie aleşi foarte mici deoarece creşte spaţiul de memorie

ocupat de fişierele de ieşire şi se majorează, în general, numărul total al rezolvărilor

sistemului de ecuaţii.

Aceste criterii variază de la o metodă numerică la alta şi de la o schemă de integrare

temporală la alta.

21