curs mecanica structurilor_13.2
TRANSCRIPT
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 117
983107983125983122983123983125983116 1983107983125983122983123983125983116 13232983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105 983117983105983124983109983122983113983105983116983109983116983119983122
983125983105983125983113983117
983109983116983109983117983109983118983124983109 983108983109 983117983109983107983105983118983113983107983105 983123983124983122983125983107983124983125983122983113983116983119983122
983109983116983109983117983109983118983124983109 983123983119983116983113983107983113983124983105983124983109 983116983105 983113983118983107983119983126983119983113983109983122983109 983120983125983122983105 (1983138)
983107983151983150983142 983140983154 983145983150983143 983117983145983144983137983141983148983137 983111983141983151983154983143983141983155983139983157
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 217
983139132 983111983141983151983149983141983156983154983145983137983111983141983151983149983141983156983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983138983137983154983141983145983138983137983154983141983145
983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105 983117983105983124983109983122983113983105983116983109983116983119983122
983154983141983162983145983155983156983141983150ţă983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 (983140983141983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 (983140983141
983143983145983154983137ţ983145983141)983143983145983154983137ţ983145983141)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 317
983117983119983117983109983118983124 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983128983113983105983116
∆=
A∆
unde ldquoardquo reprezintă distanţele de la elementelede arie dA (aparţinacircnd suprafaţa secţiunii) laaxa ∆∆∆∆
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 417
983117983119983117983109983118983124 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983120983119983116983105983122
∆=
int AIO = r2dA
Faţă de orice sistem ortogonal de axe Oxy (cu originea icircn polul O)Ix + Iy = Io = constcăci x2 + y2 = r2
un e r reprez n s an e ede la elementele de arie dA(aparţinacircnd suprafeţeisecţiunii) la polul O
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 517
983117983119983117983109983118983124 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983107983109983118983124983122983113983110983125983111983105983116
∆=
Axy
unde x şi y reprezintă distanţele de la elementele de arie dA la celedouă axe
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 617
983117983119983117983109983118983124983125983116 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109 983246983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983119 983105983128Ă 983108983109 983123983113983117983109983124983122983113983109
983113983160 983101
12
3
bh
983113983129 983101
12
3hb
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 717
983117983119983117983109983118983124983125983116 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113 983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983246983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983125983118 983108983113983105983117983109983124983122983125
983113983108 983101
64
4 Dπ
unde D este diametrul cercului
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 817
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
Fie IG momentul de inerţie al unei suprafeţe de arie A icircnraport cu axa ∆G ce trece prin centrul de greutate alsuprafeţei (axă centrală) Să se determine momentul deinerţie al aceleaşi suprafeţe icircn raport cu axa ∆ paralelăcu axa ∆G la distanţa d
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 917
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
I = a2dA= (aG + d)2 dA
I = a2GdA + 2d aGdA + d2 dA
int A
int A
int A
int A int A
G A
=suprafeţe icircn raport cu o axă centrală)
I = IG + Ad2
expresie cunoscută sub numele de formula lui Steinerformula lui SteinerMomentul de inerţie icircn raport cu o axă centrală arevaloare minimă (căci cantitatea Ad2 este nulă)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1017
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
In raport cu diferite axe trecacircnd prin punctul O cuprins icircnplanul suprafeţei momentele de inerţie au valori diferite
Intrucacirct icircn raport cu două axe perpendiculare (D1 şi D2)suma momentelor de inerţie este o constantă dacă I1 (icircnraport cu axa D1) are valoare maximă rezultă că I2 (icircn
raport cu axa D2) are valoare minimă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1117
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Momentele de inerţie cu valori extremeI1 = Imax şi I2 = I min
se numesc momentemomente principaleprincipale dede inerţieinerţie cele două axeperpendiculare icircntre ele - icircn raport cu care momentele deinerţie ating aceste valori se numesc axeaxe principaleprincipale dede
Cacircnd punctul O este centrul de greutate al suprafeţeimomentele extreme se numesc momentemomente centralecentraleprincipaleprincipale dede inerţieinerţie iar axele - axeaxe centralecentrale principaleprincipale dede
inerţieinerţieDacă suprafaţa are o axă de simetrie ea este axăaxă centralăcentralăprincipalăprincipală dede inerţieinerţie perpendicular pe ea se află cea de-a
doua axă principală
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1217
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Pe baza relaţiei de definiţie icircn care intervin distanţele apentru anumite forme de secţiuni la care suprafaţa estedistribuită evident icircn lungul uneia din cele două axe sepoate aprecia (fără calcul) că icircn raport cu această axă
momentul de inerţie este minim
La suprafeţele pentru care I1 = I2 (adică Imax = Imin) toatemomentele de inerţie centrale sunt egale şi toate axele
centrale sunt axele principale de inerţie este cazulsuprafeţelor cu mai mult de două axe de simetrie(suprafeţele poligoanelor regulate inclusiv cercul)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1317
983107983105983116983107983125983116983125983116 983117983119983117983109983118983124983109983116983119983122 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983116983105 983123983109983107983124983113983125983118983113 983108983109
983110983119983122983117983105 983119983105983122983109983107983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983141 983137983154983145983141 983105 983139983151983149983152983157983155ă 983140983145983150983149983137983145 983149983157983148983156983141 983155983157983152983154983137983142983137ţ983141 983139983157 983137983154983145983145983148983141 983105983113 983105983113983113
983105983113983113983113991270983113983150983156983141983143983154983137983148983137 983152983141 983137983154983145983137 983105 983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140983141983160983152983154983141983155983145983137 983149983151983149983141983150983156983157983148983157983145 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983155983141983152983151983137983156983141 983140983141983155983139983151983149983152983157983150983141 983278983150 983145983150983156983141983143983154983137983148983141 983152983141983137983154983145983145983148983141 983152983137983154ţ983145983137983148983141 983105983113 983105983113983113 983105983113983113983113991270983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140 983149983151983149983141983150983156983141983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141983137983148983141 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983148983151983154 983152983137983154ţ983145983137983148983141
983113 = 9831372983140983105 = 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 991270
983105983140983145983139ă
983113 = 983113983113 + 983113983113983113 + 983113983113983113983113 + 991270
int A int AI intAII intAII
Momentul de inerţie al uneisuprafeţe icircn raport cu o axă esteegal cu suma momentelor deinerţie al unor suprafeţecomponente icircn raport cu aceeaşiaxă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1417
983117983119983108983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105
983117983151983140983157983148983157983148 983140983141 983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983141983155983156983141 983151983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150983139983141983148983141 983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983139983141983150983156983154983137983148983141 983140983141983145983150983141983154ţ983145983141
983127983160 =
983113983160 = 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160983161983149983137983160 = 983140983145983155983156983137983150ţ983137 983140983141983085983137 983148983157983150983143983157983148 983137983160983141983145 983161 (983139983141983137983140983141983085983137 983140983151983157983137 983137983160ă 983152983154983145983150983139983145983152983137983148ă 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141) 983140983141983148983137 983137983160983137 983160 983148983137 983141983160983156983154983141983149983145983156ăţ983145983148983141 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
max y
x
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 217
983139132 983111983141983151983149983141983156983154983145983137983111983141983151983149983141983156983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983138983137983154983141983145983138983137983154983141983145
983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105 983117983105983124983109983122983113983105983116983109983116983119983122
983154983141983162983145983155983156983141983150ţă983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 (983140983141983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 (983140983141
983143983145983154983137ţ983145983141)983143983145983154983137ţ983145983141)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 317
983117983119983117983109983118983124 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983128983113983105983116
∆=
A∆
unde ldquoardquo reprezintă distanţele de la elementelede arie dA (aparţinacircnd suprafaţa secţiunii) laaxa ∆∆∆∆
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 417
983117983119983117983109983118983124 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983120983119983116983105983122
∆=
int AIO = r2dA
Faţă de orice sistem ortogonal de axe Oxy (cu originea icircn polul O)Ix + Iy = Io = constcăci x2 + y2 = r2
un e r reprez n s an e ede la elementele de arie dA(aparţinacircnd suprafeţeisecţiunii) la polul O
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 517
983117983119983117983109983118983124 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983107983109983118983124983122983113983110983125983111983105983116
∆=
Axy
unde x şi y reprezintă distanţele de la elementele de arie dA la celedouă axe
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 617
983117983119983117983109983118983124983125983116 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109 983246983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983119 983105983128Ă 983108983109 983123983113983117983109983124983122983113983109
983113983160 983101
12
3
bh
983113983129 983101
12
3hb
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 717
983117983119983117983109983118983124983125983116 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113 983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983246983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983125983118 983108983113983105983117983109983124983122983125
983113983108 983101
64
4 Dπ
unde D este diametrul cercului
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 817
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
Fie IG momentul de inerţie al unei suprafeţe de arie A icircnraport cu axa ∆G ce trece prin centrul de greutate alsuprafeţei (axă centrală) Să se determine momentul deinerţie al aceleaşi suprafeţe icircn raport cu axa ∆ paralelăcu axa ∆G la distanţa d
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 917
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
I = a2dA= (aG + d)2 dA
I = a2GdA + 2d aGdA + d2 dA
int A
int A
int A
int A int A
G A
=suprafeţe icircn raport cu o axă centrală)
I = IG + Ad2
expresie cunoscută sub numele de formula lui Steinerformula lui SteinerMomentul de inerţie icircn raport cu o axă centrală arevaloare minimă (căci cantitatea Ad2 este nulă)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1017
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
In raport cu diferite axe trecacircnd prin punctul O cuprins icircnplanul suprafeţei momentele de inerţie au valori diferite
Intrucacirct icircn raport cu două axe perpendiculare (D1 şi D2)suma momentelor de inerţie este o constantă dacă I1 (icircnraport cu axa D1) are valoare maximă rezultă că I2 (icircn
raport cu axa D2) are valoare minimă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1117
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Momentele de inerţie cu valori extremeI1 = Imax şi I2 = I min
se numesc momentemomente principaleprincipale dede inerţieinerţie cele două axeperpendiculare icircntre ele - icircn raport cu care momentele deinerţie ating aceste valori se numesc axeaxe principaleprincipale dede
Cacircnd punctul O este centrul de greutate al suprafeţeimomentele extreme se numesc momentemomente centralecentraleprincipaleprincipale dede inerţieinerţie iar axele - axeaxe centralecentrale principaleprincipale dede
inerţieinerţieDacă suprafaţa are o axă de simetrie ea este axăaxă centralăcentralăprincipalăprincipală dede inerţieinerţie perpendicular pe ea se află cea de-a
doua axă principală
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1217
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Pe baza relaţiei de definiţie icircn care intervin distanţele apentru anumite forme de secţiuni la care suprafaţa estedistribuită evident icircn lungul uneia din cele două axe sepoate aprecia (fără calcul) că icircn raport cu această axă
momentul de inerţie este minim
La suprafeţele pentru care I1 = I2 (adică Imax = Imin) toatemomentele de inerţie centrale sunt egale şi toate axele
centrale sunt axele principale de inerţie este cazulsuprafeţelor cu mai mult de două axe de simetrie(suprafeţele poligoanelor regulate inclusiv cercul)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1317
983107983105983116983107983125983116983125983116 983117983119983117983109983118983124983109983116983119983122 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983116983105 983123983109983107983124983113983125983118983113 983108983109
983110983119983122983117983105 983119983105983122983109983107983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983141 983137983154983145983141 983105 983139983151983149983152983157983155ă 983140983145983150983149983137983145 983149983157983148983156983141 983155983157983152983154983137983142983137ţ983141 983139983157 983137983154983145983145983148983141 983105983113 983105983113983113
983105983113983113983113991270983113983150983156983141983143983154983137983148983137 983152983141 983137983154983145983137 983105 983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140983141983160983152983154983141983155983145983137 983149983151983149983141983150983156983157983148983157983145 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983155983141983152983151983137983156983141 983140983141983155983139983151983149983152983157983150983141 983278983150 983145983150983156983141983143983154983137983148983141 983152983141983137983154983145983145983148983141 983152983137983154ţ983145983137983148983141 983105983113 983105983113983113 983105983113983113983113991270983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140 983149983151983149983141983150983156983141983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141983137983148983141 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983148983151983154 983152983137983154ţ983145983137983148983141
983113 = 9831372983140983105 = 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 991270
983105983140983145983139ă
983113 = 983113983113 + 983113983113983113 + 983113983113983113983113 + 991270
int A int AI intAII intAII
Momentul de inerţie al uneisuprafeţe icircn raport cu o axă esteegal cu suma momentelor deinerţie al unor suprafeţecomponente icircn raport cu aceeaşiaxă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1417
983117983119983108983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105
983117983151983140983157983148983157983148 983140983141 983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983141983155983156983141 983151983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150983139983141983148983141 983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983139983141983150983156983154983137983148983141 983140983141983145983150983141983154ţ983145983141
983127983160 =
983113983160 = 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160983161983149983137983160 = 983140983145983155983156983137983150ţ983137 983140983141983085983137 983148983157983150983143983157983148 983137983160983141983145 983161 (983139983141983137983140983141983085983137 983140983151983157983137 983137983160ă 983152983154983145983150983139983145983152983137983148ă 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141) 983140983141983148983137 983137983160983137 983160 983148983137 983141983160983156983154983141983149983145983156ăţ983145983148983141 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
max y
x
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 317
983117983119983117983109983118983124 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983128983113983105983116
∆=
A∆
unde ldquoardquo reprezintă distanţele de la elementelede arie dA (aparţinacircnd suprafaţa secţiunii) laaxa ∆∆∆∆
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 417
983117983119983117983109983118983124 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983120983119983116983105983122
∆=
int AIO = r2dA
Faţă de orice sistem ortogonal de axe Oxy (cu originea icircn polul O)Ix + Iy = Io = constcăci x2 + y2 = r2
un e r reprez n s an e ede la elementele de arie dA(aparţinacircnd suprafeţeisecţiunii) la polul O
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 517
983117983119983117983109983118983124 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983107983109983118983124983122983113983110983125983111983105983116
∆=
Axy
unde x şi y reprezintă distanţele de la elementele de arie dA la celedouă axe
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 617
983117983119983117983109983118983124983125983116 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109 983246983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983119 983105983128Ă 983108983109 983123983113983117983109983124983122983113983109
983113983160 983101
12
3
bh
983113983129 983101
12
3hb
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 717
983117983119983117983109983118983124983125983116 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113 983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983246983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983125983118 983108983113983105983117983109983124983122983125
983113983108 983101
64
4 Dπ
unde D este diametrul cercului
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 817
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
Fie IG momentul de inerţie al unei suprafeţe de arie A icircnraport cu axa ∆G ce trece prin centrul de greutate alsuprafeţei (axă centrală) Să se determine momentul deinerţie al aceleaşi suprafeţe icircn raport cu axa ∆ paralelăcu axa ∆G la distanţa d
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 917
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
I = a2dA= (aG + d)2 dA
I = a2GdA + 2d aGdA + d2 dA
int A
int A
int A
int A int A
G A
=suprafeţe icircn raport cu o axă centrală)
I = IG + Ad2
expresie cunoscută sub numele de formula lui Steinerformula lui SteinerMomentul de inerţie icircn raport cu o axă centrală arevaloare minimă (căci cantitatea Ad2 este nulă)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1017
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
In raport cu diferite axe trecacircnd prin punctul O cuprins icircnplanul suprafeţei momentele de inerţie au valori diferite
Intrucacirct icircn raport cu două axe perpendiculare (D1 şi D2)suma momentelor de inerţie este o constantă dacă I1 (icircnraport cu axa D1) are valoare maximă rezultă că I2 (icircn
raport cu axa D2) are valoare minimă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1117
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Momentele de inerţie cu valori extremeI1 = Imax şi I2 = I min
se numesc momentemomente principaleprincipale dede inerţieinerţie cele două axeperpendiculare icircntre ele - icircn raport cu care momentele deinerţie ating aceste valori se numesc axeaxe principaleprincipale dede
Cacircnd punctul O este centrul de greutate al suprafeţeimomentele extreme se numesc momentemomente centralecentraleprincipaleprincipale dede inerţieinerţie iar axele - axeaxe centralecentrale principaleprincipale dede
inerţieinerţieDacă suprafaţa are o axă de simetrie ea este axăaxă centralăcentralăprincipalăprincipală dede inerţieinerţie perpendicular pe ea se află cea de-a
doua axă principală
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1217
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Pe baza relaţiei de definiţie icircn care intervin distanţele apentru anumite forme de secţiuni la care suprafaţa estedistribuită evident icircn lungul uneia din cele două axe sepoate aprecia (fără calcul) că icircn raport cu această axă
momentul de inerţie este minim
La suprafeţele pentru care I1 = I2 (adică Imax = Imin) toatemomentele de inerţie centrale sunt egale şi toate axele
centrale sunt axele principale de inerţie este cazulsuprafeţelor cu mai mult de două axe de simetrie(suprafeţele poligoanelor regulate inclusiv cercul)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1317
983107983105983116983107983125983116983125983116 983117983119983117983109983118983124983109983116983119983122 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983116983105 983123983109983107983124983113983125983118983113 983108983109
983110983119983122983117983105 983119983105983122983109983107983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983141 983137983154983145983141 983105 983139983151983149983152983157983155ă 983140983145983150983149983137983145 983149983157983148983156983141 983155983157983152983154983137983142983137ţ983141 983139983157 983137983154983145983145983148983141 983105983113 983105983113983113
983105983113983113983113991270983113983150983156983141983143983154983137983148983137 983152983141 983137983154983145983137 983105 983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140983141983160983152983154983141983155983145983137 983149983151983149983141983150983156983157983148983157983145 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983155983141983152983151983137983156983141 983140983141983155983139983151983149983152983157983150983141 983278983150 983145983150983156983141983143983154983137983148983141 983152983141983137983154983145983145983148983141 983152983137983154ţ983145983137983148983141 983105983113 983105983113983113 983105983113983113983113991270983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140 983149983151983149983141983150983156983141983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141983137983148983141 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983148983151983154 983152983137983154ţ983145983137983148983141
983113 = 9831372983140983105 = 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 991270
983105983140983145983139ă
983113 = 983113983113 + 983113983113983113 + 983113983113983113983113 + 991270
int A int AI intAII intAII
Momentul de inerţie al uneisuprafeţe icircn raport cu o axă esteegal cu suma momentelor deinerţie al unor suprafeţecomponente icircn raport cu aceeaşiaxă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1417
983117983119983108983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105
983117983151983140983157983148983157983148 983140983141 983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983141983155983156983141 983151983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150983139983141983148983141 983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983139983141983150983156983154983137983148983141 983140983141983145983150983141983154ţ983145983141
983127983160 =
983113983160 = 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160983161983149983137983160 = 983140983145983155983156983137983150ţ983137 983140983141983085983137 983148983157983150983143983157983148 983137983160983141983145 983161 (983139983141983137983140983141983085983137 983140983151983157983137 983137983160ă 983152983154983145983150983139983145983152983137983148ă 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141) 983140983141983148983137 983137983160983137 983160 983148983137 983141983160983156983154983141983149983145983156ăţ983145983148983141 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
max y
x
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 417
983117983119983117983109983118983124 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983120983119983116983105983122
∆=
int AIO = r2dA
Faţă de orice sistem ortogonal de axe Oxy (cu originea icircn polul O)Ix + Iy = Io = constcăci x2 + y2 = r2
un e r reprez n s an e ede la elementele de arie dA(aparţinacircnd suprafeţeisecţiunii) la polul O
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 517
983117983119983117983109983118983124 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983107983109983118983124983122983113983110983125983111983105983116
∆=
Axy
unde x şi y reprezintă distanţele de la elementele de arie dA la celedouă axe
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 617
983117983119983117983109983118983124983125983116 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109 983246983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983119 983105983128Ă 983108983109 983123983113983117983109983124983122983113983109
983113983160 983101
12
3
bh
983113983129 983101
12
3hb
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 717
983117983119983117983109983118983124983125983116 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113 983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983246983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983125983118 983108983113983105983117983109983124983122983125
983113983108 983101
64
4 Dπ
unde D este diametrul cercului
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 817
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
Fie IG momentul de inerţie al unei suprafeţe de arie A icircnraport cu axa ∆G ce trece prin centrul de greutate alsuprafeţei (axă centrală) Să se determine momentul deinerţie al aceleaşi suprafeţe icircn raport cu axa ∆ paralelăcu axa ∆G la distanţa d
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 917
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
I = a2dA= (aG + d)2 dA
I = a2GdA + 2d aGdA + d2 dA
int A
int A
int A
int A int A
G A
=suprafeţe icircn raport cu o axă centrală)
I = IG + Ad2
expresie cunoscută sub numele de formula lui Steinerformula lui SteinerMomentul de inerţie icircn raport cu o axă centrală arevaloare minimă (căci cantitatea Ad2 este nulă)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1017
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
In raport cu diferite axe trecacircnd prin punctul O cuprins icircnplanul suprafeţei momentele de inerţie au valori diferite
Intrucacirct icircn raport cu două axe perpendiculare (D1 şi D2)suma momentelor de inerţie este o constantă dacă I1 (icircnraport cu axa D1) are valoare maximă rezultă că I2 (icircn
raport cu axa D2) are valoare minimă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1117
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Momentele de inerţie cu valori extremeI1 = Imax şi I2 = I min
se numesc momentemomente principaleprincipale dede inerţieinerţie cele două axeperpendiculare icircntre ele - icircn raport cu care momentele deinerţie ating aceste valori se numesc axeaxe principaleprincipale dede
Cacircnd punctul O este centrul de greutate al suprafeţeimomentele extreme se numesc momentemomente centralecentraleprincipaleprincipale dede inerţieinerţie iar axele - axeaxe centralecentrale principaleprincipale dede
inerţieinerţieDacă suprafaţa are o axă de simetrie ea este axăaxă centralăcentralăprincipalăprincipală dede inerţieinerţie perpendicular pe ea se află cea de-a
doua axă principală
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1217
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Pe baza relaţiei de definiţie icircn care intervin distanţele apentru anumite forme de secţiuni la care suprafaţa estedistribuită evident icircn lungul uneia din cele două axe sepoate aprecia (fără calcul) că icircn raport cu această axă
momentul de inerţie este minim
La suprafeţele pentru care I1 = I2 (adică Imax = Imin) toatemomentele de inerţie centrale sunt egale şi toate axele
centrale sunt axele principale de inerţie este cazulsuprafeţelor cu mai mult de două axe de simetrie(suprafeţele poligoanelor regulate inclusiv cercul)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1317
983107983105983116983107983125983116983125983116 983117983119983117983109983118983124983109983116983119983122 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983116983105 983123983109983107983124983113983125983118983113 983108983109
983110983119983122983117983105 983119983105983122983109983107983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983141 983137983154983145983141 983105 983139983151983149983152983157983155ă 983140983145983150983149983137983145 983149983157983148983156983141 983155983157983152983154983137983142983137ţ983141 983139983157 983137983154983145983145983148983141 983105983113 983105983113983113
983105983113983113983113991270983113983150983156983141983143983154983137983148983137 983152983141 983137983154983145983137 983105 983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140983141983160983152983154983141983155983145983137 983149983151983149983141983150983156983157983148983157983145 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983155983141983152983151983137983156983141 983140983141983155983139983151983149983152983157983150983141 983278983150 983145983150983156983141983143983154983137983148983141 983152983141983137983154983145983145983148983141 983152983137983154ţ983145983137983148983141 983105983113 983105983113983113 983105983113983113983113991270983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140 983149983151983149983141983150983156983141983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141983137983148983141 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983148983151983154 983152983137983154ţ983145983137983148983141
983113 = 9831372983140983105 = 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 991270
983105983140983145983139ă
983113 = 983113983113 + 983113983113983113 + 983113983113983113983113 + 991270
int A int AI intAII intAII
Momentul de inerţie al uneisuprafeţe icircn raport cu o axă esteegal cu suma momentelor deinerţie al unor suprafeţecomponente icircn raport cu aceeaşiaxă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1417
983117983119983108983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105
983117983151983140983157983148983157983148 983140983141 983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983141983155983156983141 983151983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150983139983141983148983141 983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983139983141983150983156983154983137983148983141 983140983141983145983150983141983154ţ983145983141
983127983160 =
983113983160 = 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160983161983149983137983160 = 983140983145983155983156983137983150ţ983137 983140983141983085983137 983148983157983150983143983157983148 983137983160983141983145 983161 (983139983141983137983140983141983085983137 983140983151983157983137 983137983160ă 983152983154983145983150983139983145983152983137983148ă 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141) 983140983141983148983137 983137983160983137 983160 983148983137 983141983160983156983154983141983149983145983156ăţ983145983148983141 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
max y
x
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 517
983117983119983117983109983118983124 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983107983109983118983124983122983113983110983125983111983105983116
∆=
Axy
unde x şi y reprezintă distanţele de la elementele de arie dA la celedouă axe
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 617
983117983119983117983109983118983124983125983116 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109 983246983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983119 983105983128Ă 983108983109 983123983113983117983109983124983122983113983109
983113983160 983101
12
3
bh
983113983129 983101
12
3hb
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 717
983117983119983117983109983118983124983125983116 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113 983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983246983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983125983118 983108983113983105983117983109983124983122983125
983113983108 983101
64
4 Dπ
unde D este diametrul cercului
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 817
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
Fie IG momentul de inerţie al unei suprafeţe de arie A icircnraport cu axa ∆G ce trece prin centrul de greutate alsuprafeţei (axă centrală) Să se determine momentul deinerţie al aceleaşi suprafeţe icircn raport cu axa ∆ paralelăcu axa ∆G la distanţa d
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 917
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
I = a2dA= (aG + d)2 dA
I = a2GdA + 2d aGdA + d2 dA
int A
int A
int A
int A int A
G A
=suprafeţe icircn raport cu o axă centrală)
I = IG + Ad2
expresie cunoscută sub numele de formula lui Steinerformula lui SteinerMomentul de inerţie icircn raport cu o axă centrală arevaloare minimă (căci cantitatea Ad2 este nulă)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1017
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
In raport cu diferite axe trecacircnd prin punctul O cuprins icircnplanul suprafeţei momentele de inerţie au valori diferite
Intrucacirct icircn raport cu două axe perpendiculare (D1 şi D2)suma momentelor de inerţie este o constantă dacă I1 (icircnraport cu axa D1) are valoare maximă rezultă că I2 (icircn
raport cu axa D2) are valoare minimă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1117
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Momentele de inerţie cu valori extremeI1 = Imax şi I2 = I min
se numesc momentemomente principaleprincipale dede inerţieinerţie cele două axeperpendiculare icircntre ele - icircn raport cu care momentele deinerţie ating aceste valori se numesc axeaxe principaleprincipale dede
Cacircnd punctul O este centrul de greutate al suprafeţeimomentele extreme se numesc momentemomente centralecentraleprincipaleprincipale dede inerţieinerţie iar axele - axeaxe centralecentrale principaleprincipale dede
inerţieinerţieDacă suprafaţa are o axă de simetrie ea este axăaxă centralăcentralăprincipalăprincipală dede inerţieinerţie perpendicular pe ea se află cea de-a
doua axă principală
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1217
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Pe baza relaţiei de definiţie icircn care intervin distanţele apentru anumite forme de secţiuni la care suprafaţa estedistribuită evident icircn lungul uneia din cele două axe sepoate aprecia (fără calcul) că icircn raport cu această axă
momentul de inerţie este minim
La suprafeţele pentru care I1 = I2 (adică Imax = Imin) toatemomentele de inerţie centrale sunt egale şi toate axele
centrale sunt axele principale de inerţie este cazulsuprafeţelor cu mai mult de două axe de simetrie(suprafeţele poligoanelor regulate inclusiv cercul)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1317
983107983105983116983107983125983116983125983116 983117983119983117983109983118983124983109983116983119983122 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983116983105 983123983109983107983124983113983125983118983113 983108983109
983110983119983122983117983105 983119983105983122983109983107983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983141 983137983154983145983141 983105 983139983151983149983152983157983155ă 983140983145983150983149983137983145 983149983157983148983156983141 983155983157983152983154983137983142983137ţ983141 983139983157 983137983154983145983145983148983141 983105983113 983105983113983113
983105983113983113983113991270983113983150983156983141983143983154983137983148983137 983152983141 983137983154983145983137 983105 983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140983141983160983152983154983141983155983145983137 983149983151983149983141983150983156983157983148983157983145 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983155983141983152983151983137983156983141 983140983141983155983139983151983149983152983157983150983141 983278983150 983145983150983156983141983143983154983137983148983141 983152983141983137983154983145983145983148983141 983152983137983154ţ983145983137983148983141 983105983113 983105983113983113 983105983113983113983113991270983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140 983149983151983149983141983150983156983141983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141983137983148983141 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983148983151983154 983152983137983154ţ983145983137983148983141
983113 = 9831372983140983105 = 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 991270
983105983140983145983139ă
983113 = 983113983113 + 983113983113983113 + 983113983113983113983113 + 991270
int A int AI intAII intAII
Momentul de inerţie al uneisuprafeţe icircn raport cu o axă esteegal cu suma momentelor deinerţie al unor suprafeţecomponente icircn raport cu aceeaşiaxă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1417
983117983119983108983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105
983117983151983140983157983148983157983148 983140983141 983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983141983155983156983141 983151983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150983139983141983148983141 983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983139983141983150983156983154983137983148983141 983140983141983145983150983141983154ţ983145983141
983127983160 =
983113983160 = 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160983161983149983137983160 = 983140983145983155983156983137983150ţ983137 983140983141983085983137 983148983157983150983143983157983148 983137983160983141983145 983161 (983139983141983137983140983141983085983137 983140983151983157983137 983137983160ă 983152983154983145983150983139983145983152983137983148ă 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141) 983140983141983148983137 983137983160983137 983160 983148983137 983141983160983156983154983141983149983145983156ăţ983145983148983141 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
max y
x
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 617
983117983119983117983109983118983124983125983116 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109 983246983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983119 983105983128Ă 983108983109 983123983113983117983109983124983122983113983109
983113983160 983101
12
3
bh
983113983129 983101
12
3hb
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 717
983117983119983117983109983118983124983125983116 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113 983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983246983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983125983118 983108983113983105983117983109983124983122983125
983113983108 983101
64
4 Dπ
unde D este diametrul cercului
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 817
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
Fie IG momentul de inerţie al unei suprafeţe de arie A icircnraport cu axa ∆G ce trece prin centrul de greutate alsuprafeţei (axă centrală) Să se determine momentul deinerţie al aceleaşi suprafeţe icircn raport cu axa ∆ paralelăcu axa ∆G la distanţa d
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 917
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
I = a2dA= (aG + d)2 dA
I = a2GdA + 2d aGdA + d2 dA
int A
int A
int A
int A int A
G A
=suprafeţe icircn raport cu o axă centrală)
I = IG + Ad2
expresie cunoscută sub numele de formula lui Steinerformula lui SteinerMomentul de inerţie icircn raport cu o axă centrală arevaloare minimă (căci cantitatea Ad2 este nulă)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1017
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
In raport cu diferite axe trecacircnd prin punctul O cuprins icircnplanul suprafeţei momentele de inerţie au valori diferite
Intrucacirct icircn raport cu două axe perpendiculare (D1 şi D2)suma momentelor de inerţie este o constantă dacă I1 (icircnraport cu axa D1) are valoare maximă rezultă că I2 (icircn
raport cu axa D2) are valoare minimă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1117
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Momentele de inerţie cu valori extremeI1 = Imax şi I2 = I min
se numesc momentemomente principaleprincipale dede inerţieinerţie cele două axeperpendiculare icircntre ele - icircn raport cu care momentele deinerţie ating aceste valori se numesc axeaxe principaleprincipale dede
Cacircnd punctul O este centrul de greutate al suprafeţeimomentele extreme se numesc momentemomente centralecentraleprincipaleprincipale dede inerţieinerţie iar axele - axeaxe centralecentrale principaleprincipale dede
inerţieinerţieDacă suprafaţa are o axă de simetrie ea este axăaxă centralăcentralăprincipalăprincipală dede inerţieinerţie perpendicular pe ea se află cea de-a
doua axă principală
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1217
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Pe baza relaţiei de definiţie icircn care intervin distanţele apentru anumite forme de secţiuni la care suprafaţa estedistribuită evident icircn lungul uneia din cele două axe sepoate aprecia (fără calcul) că icircn raport cu această axă
momentul de inerţie este minim
La suprafeţele pentru care I1 = I2 (adică Imax = Imin) toatemomentele de inerţie centrale sunt egale şi toate axele
centrale sunt axele principale de inerţie este cazulsuprafeţelor cu mai mult de două axe de simetrie(suprafeţele poligoanelor regulate inclusiv cercul)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1317
983107983105983116983107983125983116983125983116 983117983119983117983109983118983124983109983116983119983122 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983116983105 983123983109983107983124983113983125983118983113 983108983109
983110983119983122983117983105 983119983105983122983109983107983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983141 983137983154983145983141 983105 983139983151983149983152983157983155ă 983140983145983150983149983137983145 983149983157983148983156983141 983155983157983152983154983137983142983137ţ983141 983139983157 983137983154983145983145983148983141 983105983113 983105983113983113
983105983113983113983113991270983113983150983156983141983143983154983137983148983137 983152983141 983137983154983145983137 983105 983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140983141983160983152983154983141983155983145983137 983149983151983149983141983150983156983157983148983157983145 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983155983141983152983151983137983156983141 983140983141983155983139983151983149983152983157983150983141 983278983150 983145983150983156983141983143983154983137983148983141 983152983141983137983154983145983145983148983141 983152983137983154ţ983145983137983148983141 983105983113 983105983113983113 983105983113983113983113991270983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140 983149983151983149983141983150983156983141983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141983137983148983141 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983148983151983154 983152983137983154ţ983145983137983148983141
983113 = 9831372983140983105 = 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 991270
983105983140983145983139ă
983113 = 983113983113 + 983113983113983113 + 983113983113983113983113 + 991270
int A int AI intAII intAII
Momentul de inerţie al uneisuprafeţe icircn raport cu o axă esteegal cu suma momentelor deinerţie al unor suprafeţecomponente icircn raport cu aceeaşiaxă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1417
983117983119983108983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105
983117983151983140983157983148983157983148 983140983141 983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983141983155983156983141 983151983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150983139983141983148983141 983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983139983141983150983156983154983137983148983141 983140983141983145983150983141983154ţ983145983141
983127983160 =
983113983160 = 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160983161983149983137983160 = 983140983145983155983156983137983150ţ983137 983140983141983085983137 983148983157983150983143983157983148 983137983160983141983145 983161 (983139983141983137983140983141983085983137 983140983151983157983137 983137983160ă 983152983154983145983150983139983145983152983137983148ă 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141) 983140983141983148983137 983137983160983137 983160 983148983137 983141983160983156983154983141983149983145983156ăţ983145983148983141 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
max y
x
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 717
983117983119983117983109983118983124983125983116 983108983109 983113983118983109983122Ţ983113983109 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113 983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983246983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983125983118 983108983113983105983117983109983124983122983125
983113983108 983101
64
4 Dπ
unde D este diametrul cercului
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 817
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
Fie IG momentul de inerţie al unei suprafeţe de arie A icircnraport cu axa ∆G ce trece prin centrul de greutate alsuprafeţei (axă centrală) Să se determine momentul deinerţie al aceleaşi suprafeţe icircn raport cu axa ∆ paralelăcu axa ∆G la distanţa d
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 917
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
I = a2dA= (aG + d)2 dA
I = a2GdA + 2d aGdA + d2 dA
int A
int A
int A
int A int A
G A
=suprafeţe icircn raport cu o axă centrală)
I = IG + Ad2
expresie cunoscută sub numele de formula lui Steinerformula lui SteinerMomentul de inerţie icircn raport cu o axă centrală arevaloare minimă (căci cantitatea Ad2 este nulă)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1017
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
In raport cu diferite axe trecacircnd prin punctul O cuprins icircnplanul suprafeţei momentele de inerţie au valori diferite
Intrucacirct icircn raport cu două axe perpendiculare (D1 şi D2)suma momentelor de inerţie este o constantă dacă I1 (icircnraport cu axa D1) are valoare maximă rezultă că I2 (icircn
raport cu axa D2) are valoare minimă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1117
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Momentele de inerţie cu valori extremeI1 = Imax şi I2 = I min
se numesc momentemomente principaleprincipale dede inerţieinerţie cele două axeperpendiculare icircntre ele - icircn raport cu care momentele deinerţie ating aceste valori se numesc axeaxe principaleprincipale dede
Cacircnd punctul O este centrul de greutate al suprafeţeimomentele extreme se numesc momentemomente centralecentraleprincipaleprincipale dede inerţieinerţie iar axele - axeaxe centralecentrale principaleprincipale dede
inerţieinerţieDacă suprafaţa are o axă de simetrie ea este axăaxă centralăcentralăprincipalăprincipală dede inerţieinerţie perpendicular pe ea se află cea de-a
doua axă principală
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1217
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Pe baza relaţiei de definiţie icircn care intervin distanţele apentru anumite forme de secţiuni la care suprafaţa estedistribuită evident icircn lungul uneia din cele două axe sepoate aprecia (fără calcul) că icircn raport cu această axă
momentul de inerţie este minim
La suprafeţele pentru care I1 = I2 (adică Imax = Imin) toatemomentele de inerţie centrale sunt egale şi toate axele
centrale sunt axele principale de inerţie este cazulsuprafeţelor cu mai mult de două axe de simetrie(suprafeţele poligoanelor regulate inclusiv cercul)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1317
983107983105983116983107983125983116983125983116 983117983119983117983109983118983124983109983116983119983122 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983116983105 983123983109983107983124983113983125983118983113 983108983109
983110983119983122983117983105 983119983105983122983109983107983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983141 983137983154983145983141 983105 983139983151983149983152983157983155ă 983140983145983150983149983137983145 983149983157983148983156983141 983155983157983152983154983137983142983137ţ983141 983139983157 983137983154983145983145983148983141 983105983113 983105983113983113
983105983113983113983113991270983113983150983156983141983143983154983137983148983137 983152983141 983137983154983145983137 983105 983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140983141983160983152983154983141983155983145983137 983149983151983149983141983150983156983157983148983157983145 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983155983141983152983151983137983156983141 983140983141983155983139983151983149983152983157983150983141 983278983150 983145983150983156983141983143983154983137983148983141 983152983141983137983154983145983145983148983141 983152983137983154ţ983145983137983148983141 983105983113 983105983113983113 983105983113983113983113991270983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140 983149983151983149983141983150983156983141983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141983137983148983141 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983148983151983154 983152983137983154ţ983145983137983148983141
983113 = 9831372983140983105 = 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 991270
983105983140983145983139ă
983113 = 983113983113 + 983113983113983113 + 983113983113983113983113 + 991270
int A int AI intAII intAII
Momentul de inerţie al uneisuprafeţe icircn raport cu o axă esteegal cu suma momentelor deinerţie al unor suprafeţecomponente icircn raport cu aceeaşiaxă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1417
983117983119983108983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105
983117983151983140983157983148983157983148 983140983141 983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983141983155983156983141 983151983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150983139983141983148983141 983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983139983141983150983156983154983137983148983141 983140983141983145983150983141983154ţ983145983141
983127983160 =
983113983160 = 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160983161983149983137983160 = 983140983145983155983156983137983150ţ983137 983140983141983085983137 983148983157983150983143983157983148 983137983160983141983145 983161 (983139983141983137983140983141983085983137 983140983151983157983137 983137983160ă 983152983154983145983150983139983145983152983137983148ă 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141) 983140983141983148983137 983137983160983137 983160 983148983137 983141983160983156983154983141983149983145983156ăţ983145983148983141 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
max y
x
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 817
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
Fie IG momentul de inerţie al unei suprafeţe de arie A icircnraport cu axa ∆G ce trece prin centrul de greutate alsuprafeţei (axă centrală) Să se determine momentul deinerţie al aceleaşi suprafeţe icircn raport cu axa ∆ paralelăcu axa ∆G la distanţa d
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 917
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
I = a2dA= (aG + d)2 dA
I = a2GdA + 2d aGdA + d2 dA
int A
int A
int A
int A int A
G A
=suprafeţe icircn raport cu o axă centrală)
I = IG + Ad2
expresie cunoscută sub numele de formula lui Steinerformula lui SteinerMomentul de inerţie icircn raport cu o axă centrală arevaloare minimă (căci cantitatea Ad2 este nulă)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1017
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
In raport cu diferite axe trecacircnd prin punctul O cuprins icircnplanul suprafeţei momentele de inerţie au valori diferite
Intrucacirct icircn raport cu două axe perpendiculare (D1 şi D2)suma momentelor de inerţie este o constantă dacă I1 (icircnraport cu axa D1) are valoare maximă rezultă că I2 (icircn
raport cu axa D2) are valoare minimă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1117
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Momentele de inerţie cu valori extremeI1 = Imax şi I2 = I min
se numesc momentemomente principaleprincipale dede inerţieinerţie cele două axeperpendiculare icircntre ele - icircn raport cu care momentele deinerţie ating aceste valori se numesc axeaxe principaleprincipale dede
Cacircnd punctul O este centrul de greutate al suprafeţeimomentele extreme se numesc momentemomente centralecentraleprincipaleprincipale dede inerţieinerţie iar axele - axeaxe centralecentrale principaleprincipale dede
inerţieinerţieDacă suprafaţa are o axă de simetrie ea este axăaxă centralăcentralăprincipalăprincipală dede inerţieinerţie perpendicular pe ea se află cea de-a
doua axă principală
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1217
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Pe baza relaţiei de definiţie icircn care intervin distanţele apentru anumite forme de secţiuni la care suprafaţa estedistribuită evident icircn lungul uneia din cele două axe sepoate aprecia (fără calcul) că icircn raport cu această axă
momentul de inerţie este minim
La suprafeţele pentru care I1 = I2 (adică Imax = Imin) toatemomentele de inerţie centrale sunt egale şi toate axele
centrale sunt axele principale de inerţie este cazulsuprafeţelor cu mai mult de două axe de simetrie(suprafeţele poligoanelor regulate inclusiv cercul)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1317
983107983105983116983107983125983116983125983116 983117983119983117983109983118983124983109983116983119983122 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983116983105 983123983109983107983124983113983125983118983113 983108983109
983110983119983122983117983105 983119983105983122983109983107983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983141 983137983154983145983141 983105 983139983151983149983152983157983155ă 983140983145983150983149983137983145 983149983157983148983156983141 983155983157983152983154983137983142983137ţ983141 983139983157 983137983154983145983145983148983141 983105983113 983105983113983113
983105983113983113983113991270983113983150983156983141983143983154983137983148983137 983152983141 983137983154983145983137 983105 983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140983141983160983152983154983141983155983145983137 983149983151983149983141983150983156983157983148983157983145 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983155983141983152983151983137983156983141 983140983141983155983139983151983149983152983157983150983141 983278983150 983145983150983156983141983143983154983137983148983141 983152983141983137983154983145983145983148983141 983152983137983154ţ983145983137983148983141 983105983113 983105983113983113 983105983113983113983113991270983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140 983149983151983149983141983150983156983141983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141983137983148983141 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983148983151983154 983152983137983154ţ983145983137983148983141
983113 = 9831372983140983105 = 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 991270
983105983140983145983139ă
983113 = 983113983113 + 983113983113983113 + 983113983113983113983113 + 991270
int A int AI intAII intAII
Momentul de inerţie al uneisuprafeţe icircn raport cu o axă esteegal cu suma momentelor deinerţie al unor suprafeţecomponente icircn raport cu aceeaşiaxă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1417
983117983119983108983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105
983117983151983140983157983148983157983148 983140983141 983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983141983155983156983141 983151983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150983139983141983148983141 983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983139983141983150983156983154983137983148983141 983140983141983145983150983141983154ţ983145983141
983127983160 =
983113983160 = 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160983161983149983137983160 = 983140983145983155983156983137983150ţ983137 983140983141983085983137 983148983157983150983143983157983148 983137983160983141983145 983161 (983139983141983137983140983141983085983137 983140983151983157983137 983137983160ă 983152983154983145983150983139983145983152983137983148ă 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141) 983140983141983148983137 983137983160983137 983160 983148983137 983141983160983156983154983141983149983145983156ăţ983145983148983141 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
max y
x
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 917
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983120983105983122983105983116983109983116983109
I = a2dA= (aG + d)2 dA
I = a2GdA + 2d aGdA + d2 dA
int A
int A
int A
int A int A
G A
=suprafeţe icircn raport cu o axă centrală)
I = IG + Ad2
expresie cunoscută sub numele de formula lui Steinerformula lui SteinerMomentul de inerţie icircn raport cu o axă centrală arevaloare minimă (căci cantitatea Ad2 este nulă)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1017
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
In raport cu diferite axe trecacircnd prin punctul O cuprins icircnplanul suprafeţei momentele de inerţie au valori diferite
Intrucacirct icircn raport cu două axe perpendiculare (D1 şi D2)suma momentelor de inerţie este o constantă dacă I1 (icircnraport cu axa D1) are valoare maximă rezultă că I2 (icircn
raport cu axa D2) are valoare minimă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1117
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Momentele de inerţie cu valori extremeI1 = Imax şi I2 = I min
se numesc momentemomente principaleprincipale dede inerţieinerţie cele două axeperpendiculare icircntre ele - icircn raport cu care momentele deinerţie ating aceste valori se numesc axeaxe principaleprincipale dede
Cacircnd punctul O este centrul de greutate al suprafeţeimomentele extreme se numesc momentemomente centralecentraleprincipaleprincipale dede inerţieinerţie iar axele - axeaxe centralecentrale principaleprincipale dede
inerţieinerţieDacă suprafaţa are o axă de simetrie ea este axăaxă centralăcentralăprincipalăprincipală dede inerţieinerţie perpendicular pe ea se află cea de-a
doua axă principală
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1217
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Pe baza relaţiei de definiţie icircn care intervin distanţele apentru anumite forme de secţiuni la care suprafaţa estedistribuită evident icircn lungul uneia din cele două axe sepoate aprecia (fără calcul) că icircn raport cu această axă
momentul de inerţie este minim
La suprafeţele pentru care I1 = I2 (adică Imax = Imin) toatemomentele de inerţie centrale sunt egale şi toate axele
centrale sunt axele principale de inerţie este cazulsuprafeţelor cu mai mult de două axe de simetrie(suprafeţele poligoanelor regulate inclusiv cercul)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1317
983107983105983116983107983125983116983125983116 983117983119983117983109983118983124983109983116983119983122 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983116983105 983123983109983107983124983113983125983118983113 983108983109
983110983119983122983117983105 983119983105983122983109983107983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983141 983137983154983145983141 983105 983139983151983149983152983157983155ă 983140983145983150983149983137983145 983149983157983148983156983141 983155983157983152983154983137983142983137ţ983141 983139983157 983137983154983145983145983148983141 983105983113 983105983113983113
983105983113983113983113991270983113983150983156983141983143983154983137983148983137 983152983141 983137983154983145983137 983105 983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140983141983160983152983154983141983155983145983137 983149983151983149983141983150983156983157983148983157983145 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983155983141983152983151983137983156983141 983140983141983155983139983151983149983152983157983150983141 983278983150 983145983150983156983141983143983154983137983148983141 983152983141983137983154983145983145983148983141 983152983137983154ţ983145983137983148983141 983105983113 983105983113983113 983105983113983113983113991270983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140 983149983151983149983141983150983156983141983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141983137983148983141 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983148983151983154 983152983137983154ţ983145983137983148983141
983113 = 9831372983140983105 = 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 991270
983105983140983145983139ă
983113 = 983113983113 + 983113983113983113 + 983113983113983113983113 + 991270
int A int AI intAII intAII
Momentul de inerţie al uneisuprafeţe icircn raport cu o axă esteegal cu suma momentelor deinerţie al unor suprafeţecomponente icircn raport cu aceeaşiaxă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1417
983117983119983108983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105
983117983151983140983157983148983157983148 983140983141 983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983141983155983156983141 983151983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150983139983141983148983141 983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983139983141983150983156983154983137983148983141 983140983141983145983150983141983154ţ983145983141
983127983160 =
983113983160 = 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160983161983149983137983160 = 983140983145983155983156983137983150ţ983137 983140983141983085983137 983148983157983150983143983157983148 983137983160983141983145 983161 (983139983141983137983140983141983085983137 983140983151983157983137 983137983160ă 983152983154983145983150983139983145983152983137983148ă 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141) 983140983141983148983137 983137983160983137 983160 983148983137 983141983160983156983154983141983149983145983156ăţ983145983148983141 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
max y
x
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1017
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
In raport cu diferite axe trecacircnd prin punctul O cuprins icircnplanul suprafeţei momentele de inerţie au valori diferite
Intrucacirct icircn raport cu două axe perpendiculare (D1 şi D2)suma momentelor de inerţie este o constantă dacă I1 (icircnraport cu axa D1) are valoare maximă rezultă că I2 (icircn
raport cu axa D2) are valoare minimă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1117
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Momentele de inerţie cu valori extremeI1 = Imax şi I2 = I min
se numesc momentemomente principaleprincipale dede inerţieinerţie cele două axeperpendiculare icircntre ele - icircn raport cu care momentele deinerţie ating aceste valori se numesc axeaxe principaleprincipale dede
Cacircnd punctul O este centrul de greutate al suprafeţeimomentele extreme se numesc momentemomente centralecentraleprincipaleprincipale dede inerţieinerţie iar axele - axeaxe centralecentrale principaleprincipale dede
inerţieinerţieDacă suprafaţa are o axă de simetrie ea este axăaxă centralăcentralăprincipalăprincipală dede inerţieinerţie perpendicular pe ea se află cea de-a
doua axă principală
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1217
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Pe baza relaţiei de definiţie icircn care intervin distanţele apentru anumite forme de secţiuni la care suprafaţa estedistribuită evident icircn lungul uneia din cele două axe sepoate aprecia (fără calcul) că icircn raport cu această axă
momentul de inerţie este minim
La suprafeţele pentru care I1 = I2 (adică Imax = Imin) toatemomentele de inerţie centrale sunt egale şi toate axele
centrale sunt axele principale de inerţie este cazulsuprafeţelor cu mai mult de două axe de simetrie(suprafeţele poligoanelor regulate inclusiv cercul)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1317
983107983105983116983107983125983116983125983116 983117983119983117983109983118983124983109983116983119983122 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983116983105 983123983109983107983124983113983125983118983113 983108983109
983110983119983122983117983105 983119983105983122983109983107983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983141 983137983154983145983141 983105 983139983151983149983152983157983155ă 983140983145983150983149983137983145 983149983157983148983156983141 983155983157983152983154983137983142983137ţ983141 983139983157 983137983154983145983145983148983141 983105983113 983105983113983113
983105983113983113983113991270983113983150983156983141983143983154983137983148983137 983152983141 983137983154983145983137 983105 983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140983141983160983152983154983141983155983145983137 983149983151983149983141983150983156983157983148983157983145 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983155983141983152983151983137983156983141 983140983141983155983139983151983149983152983157983150983141 983278983150 983145983150983156983141983143983154983137983148983141 983152983141983137983154983145983145983148983141 983152983137983154ţ983145983137983148983141 983105983113 983105983113983113 983105983113983113983113991270983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140 983149983151983149983141983150983156983141983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141983137983148983141 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983148983151983154 983152983137983154ţ983145983137983148983141
983113 = 9831372983140983105 = 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 991270
983105983140983145983139ă
983113 = 983113983113 + 983113983113983113 + 983113983113983113983113 + 991270
int A int AI intAII intAII
Momentul de inerţie al uneisuprafeţe icircn raport cu o axă esteegal cu suma momentelor deinerţie al unor suprafeţecomponente icircn raport cu aceeaşiaxă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1417
983117983119983108983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105
983117983151983140983157983148983157983148 983140983141 983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983141983155983156983141 983151983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150983139983141983148983141 983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983139983141983150983156983154983137983148983141 983140983141983145983150983141983154ţ983145983141
983127983160 =
983113983160 = 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160983161983149983137983160 = 983140983145983155983156983137983150ţ983137 983140983141983085983137 983148983157983150983143983157983148 983137983160983141983145 983161 (983139983141983137983140983141983085983137 983140983151983157983137 983137983160ă 983152983154983145983150983139983145983152983137983148ă 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141) 983140983141983148983137 983137983160983137 983160 983148983137 983141983160983156983154983141983149983145983156ăţ983145983148983141 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
max y
x
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1117
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Momentele de inerţie cu valori extremeI1 = Imax şi I2 = I min
se numesc momentemomente principaleprincipale dede inerţieinerţie cele două axeperpendiculare icircntre ele - icircn raport cu care momentele deinerţie ating aceste valori se numesc axeaxe principaleprincipale dede
Cacircnd punctul O este centrul de greutate al suprafeţeimomentele extreme se numesc momentemomente centralecentraleprincipaleprincipale dede inerţieinerţie iar axele - axeaxe centralecentrale principaleprincipale dede
inerţieinerţieDacă suprafaţa are o axă de simetrie ea este axăaxă centralăcentralăprincipalăprincipală dede inerţieinerţie perpendicular pe ea se află cea de-a
doua axă principală
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1217
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Pe baza relaţiei de definiţie icircn care intervin distanţele apentru anumite forme de secţiuni la care suprafaţa estedistribuită evident icircn lungul uneia din cele două axe sepoate aprecia (fără calcul) că icircn raport cu această axă
momentul de inerţie este minim
La suprafeţele pentru care I1 = I2 (adică Imax = Imin) toatemomentele de inerţie centrale sunt egale şi toate axele
centrale sunt axele principale de inerţie este cazulsuprafeţelor cu mai mult de două axe de simetrie(suprafeţele poligoanelor regulate inclusiv cercul)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1317
983107983105983116983107983125983116983125983116 983117983119983117983109983118983124983109983116983119983122 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983116983105 983123983109983107983124983113983125983118983113 983108983109
983110983119983122983117983105 983119983105983122983109983107983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983141 983137983154983145983141 983105 983139983151983149983152983157983155ă 983140983145983150983149983137983145 983149983157983148983156983141 983155983157983152983154983137983142983137ţ983141 983139983157 983137983154983145983145983148983141 983105983113 983105983113983113
983105983113983113983113991270983113983150983156983141983143983154983137983148983137 983152983141 983137983154983145983137 983105 983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140983141983160983152983154983141983155983145983137 983149983151983149983141983150983156983157983148983157983145 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983155983141983152983151983137983156983141 983140983141983155983139983151983149983152983157983150983141 983278983150 983145983150983156983141983143983154983137983148983141 983152983141983137983154983145983145983148983141 983152983137983154ţ983145983137983148983141 983105983113 983105983113983113 983105983113983113983113991270983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140 983149983151983149983141983150983156983141983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141983137983148983141 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983148983151983154 983152983137983154ţ983145983137983148983141
983113 = 9831372983140983105 = 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 991270
983105983140983145983139ă
983113 = 983113983113 + 983113983113983113 + 983113983113983113983113 + 991270
int A int AI intAII intAII
Momentul de inerţie al uneisuprafeţe icircn raport cu o axă esteegal cu suma momentelor deinerţie al unor suprafeţecomponente icircn raport cu aceeaşiaxă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1417
983117983119983108983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105
983117983151983140983157983148983157983148 983140983141 983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983141983155983156983141 983151983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150983139983141983148983141 983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983139983141983150983156983154983137983148983141 983140983141983145983150983141983154ţ983145983141
983127983160 =
983113983160 = 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160983161983149983137983160 = 983140983145983155983156983137983150ţ983137 983140983141983085983137 983148983157983150983143983157983148 983137983160983141983145 983161 (983139983141983137983140983141983085983137 983140983151983157983137 983137983160ă 983152983154983145983150983139983145983152983137983148ă 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141) 983140983141983148983137 983137983160983137 983160 983148983137 983141983160983156983154983141983149983145983156ăţ983145983148983141 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
max y
x
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1217
983117983119983117983109983118983124983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983113983118 983122983105983120983119983122983124 983107983125 983105983128983109 983107983119983118983107983125983122983109983118983124983109
983117983119983117983109983118983124983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983105983128983109 983120983122983113983118983107983113983120983105983116983109 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109
Pe baza relaţiei de definiţie icircn care intervin distanţele apentru anumite forme de secţiuni la care suprafaţa estedistribuită evident icircn lungul uneia din cele două axe sepoate aprecia (fără calcul) că icircn raport cu această axă
momentul de inerţie este minim
La suprafeţele pentru care I1 = I2 (adică Imax = Imin) toatemomentele de inerţie centrale sunt egale şi toate axele
centrale sunt axele principale de inerţie este cazulsuprafeţelor cu mai mult de două axe de simetrie(suprafeţele poligoanelor regulate inclusiv cercul)
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1317
983107983105983116983107983125983116983125983116 983117983119983117983109983118983124983109983116983119983122 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983116983105 983123983109983107983124983113983125983118983113 983108983109
983110983119983122983117983105 983119983105983122983109983107983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983141 983137983154983145983141 983105 983139983151983149983152983157983155ă 983140983145983150983149983137983145 983149983157983148983156983141 983155983157983152983154983137983142983137ţ983141 983139983157 983137983154983145983145983148983141 983105983113 983105983113983113
983105983113983113983113991270983113983150983156983141983143983154983137983148983137 983152983141 983137983154983145983137 983105 983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140983141983160983152983154983141983155983145983137 983149983151983149983141983150983156983157983148983157983145 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983155983141983152983151983137983156983141 983140983141983155983139983151983149983152983157983150983141 983278983150 983145983150983156983141983143983154983137983148983141 983152983141983137983154983145983145983148983141 983152983137983154ţ983145983137983148983141 983105983113 983105983113983113 983105983113983113983113991270983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140 983149983151983149983141983150983156983141983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141983137983148983141 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983148983151983154 983152983137983154ţ983145983137983148983141
983113 = 9831372983140983105 = 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 991270
983105983140983145983139ă
983113 = 983113983113 + 983113983113983113 + 983113983113983113983113 + 991270
int A int AI intAII intAII
Momentul de inerţie al uneisuprafeţe icircn raport cu o axă esteegal cu suma momentelor deinerţie al unor suprafeţecomponente icircn raport cu aceeaşiaxă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1417
983117983119983108983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105
983117983151983140983157983148983157983148 983140983141 983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983141983155983156983141 983151983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150983139983141983148983141 983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983139983141983150983156983154983137983148983141 983140983141983145983150983141983154ţ983145983141
983127983160 =
983113983160 = 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160983161983149983137983160 = 983140983145983155983156983137983150ţ983137 983140983141983085983137 983148983157983150983143983157983148 983137983160983141983145 983161 (983139983141983137983140983141983085983137 983140983151983157983137 983137983160ă 983152983154983145983150983139983145983152983137983148ă 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141) 983140983141983148983137 983137983160983137 983160 983148983137 983141983160983156983154983141983149983145983156ăţ983145983148983141 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
max y
x
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1317
983107983105983116983107983125983116983125983116 983117983119983117983109983118983124983109983116983119983122 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 983116983105 983123983109983107983124983113983125983118983113 983108983109
983110983119983122983117983105 983119983105983122983109983107983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983141 983137983154983145983141 983105 983139983151983149983152983157983155ă 983140983145983150983149983137983145 983149983157983148983156983141 983155983157983152983154983137983142983137ţ983141 983139983157 983137983154983145983145983148983141 983105983113 983105983113983113
983105983113983113983113991270983113983150983156983141983143983154983137983148983137 983152983141 983137983154983145983137 983105 983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140983141983160983152983154983141983155983145983137 983149983151983149983141983150983156983157983148983157983145 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983155983141983152983151983137983156983141 983140983141983155983139983151983149983152983157983150983141 983278983150 983145983150983156983141983143983154983137983148983141 983152983141983137983154983145983145983148983141 983152983137983154ţ983145983137983148983141 983105983113 983105983113983113 983105983113983113983113991270983154983141983152983154983141983162983141983150983156983266983150983140 983149983151983149983141983150983156983141983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141983137983148983141 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983148983151983154 983152983137983154ţ983145983137983148983141
983113 = 9831372983140983105 = 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 9831372983140983105 + 991270
983105983140983145983139ă
983113 = 983113983113 + 983113983113983113 + 983113983113983113983113 + 991270
int A int AI intAII intAII
Momentul de inerţie al uneisuprafeţe icircn raport cu o axă esteegal cu suma momentelor deinerţie al unor suprafeţecomponente icircn raport cu aceeaşiaxă
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1417
983117983119983108983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105
983117983151983140983157983148983157983148 983140983141 983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983141983155983156983141 983151983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150983139983141983148983141 983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983139983141983150983156983154983137983148983141 983140983141983145983150983141983154ţ983145983141
983127983160 =
983113983160 = 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160983161983149983137983160 = 983140983145983155983156983137983150ţ983137 983140983141983085983137 983148983157983150983143983157983148 983137983160983141983145 983161 (983139983141983137983140983141983085983137 983140983151983157983137 983137983160ă 983152983154983145983150983139983145983152983137983148ă 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141) 983140983141983148983137 983137983160983137 983160 983148983137 983141983160983156983154983141983149983145983156ăţ983145983148983141 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
max y
x
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1417
983117983119983108983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118983124983105
983117983151983140983157983148983157983148 983140983141 983154983141983162983145983155983156983141983150ţă 983141983155983156983141 983151983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150983139983141983148983141 983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983139983141983150983156983154983137983148983141 983140983141983145983150983141983154ţ983145983141
983127983160 =
983113983160 = 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145
983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160983161983149983137983160 = 983140983145983155983156983137983150ţ983137 983140983141983085983137 983148983157983150983143983157983148 983137983160983141983145 983161 (983139983141983137983140983141983085983137 983140983151983157983137 983137983160ă 983152983154983145983150983139983145983152983137983148ă 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141) 983140983141983148983137 983137983160983137 983160 983148983137 983141983160983156983154983141983149983145983156ăţ983145983148983141 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
max y
x
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1517
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983108983122983109983120983124983125983118983111983112983113983125983116983105983122983109
983110983145983141 983151 983155983157983152983154983137983142983137ţă 983140983154983141983152983156983157983150983143983144983145983157983148983137983154ă 983139983157 983148983137983156983157983154983145983148983141 983138
983144 ş983145 983137983160983137 983160 983152983137983154983137983148983141983148ă 983139983157 983148983137983156983157983154983137 983138
3bh
983160 =
983127983160 =
2
h
6
2bh
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1617
983117983119983108983125983116983125983116 983108983109 983122983109983130983113983123983124983109983118ŢĂ 983105983116 983125983118983109983113 983123983109983107Ţ983113983125983118983113
983107983113983122983107983125983116983105983122983109
983108983137983139ă 983140 983141983155983156983141 983140983145983137983149983141983156983154983157983148 983139983141983154983139983157983148983157983145
983127983160 = 64
4
d
d π
983127983160 =2
32
3d π
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix
7212019 Curs Mecanica Structurilor_132
httpslidepdfcomreaderfullcurs-mecanica-structurilor132 1717
983122983105983130983105 983108983109 983113983118983109983122983124983113983109 (983122983105983130983105 983108983109 983111983113983122983105983124983113983109)
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983141983155983156983141 983151 983139983137983154983137983139983156983141983154983145983155983156983145983139ă 983143983141983151983149983141983156983154983145983139ă 983137
983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145 983140983141983142983145983150983145983156ă 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983157983150983137 983140983145983150 983139983141983148983141983140983151983157ă 983137983160983141 983152983154983145983150983139983145983152983137983148983141 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141
983122983137983162983137 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983145983160 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160 983137983154983141 983141983160983152983154983141983155983145983137
983145983160 =
983157983150983140983141
983085 983113983160 983141983155983156983141 983149983151983149983141983150983156983157983148 983140983141 983145983150983141983154ţ983145983141 983137983148 983155983157983152983154983137983142983141ţ983141983145 983278983150 983154983137983152983151983154983156 983139983157 983137983160983137 983160
983085 983105 983141983155983156983141 983137983154983145983137 983155983141983139ţ983145983157983150983145983145
A
Ix