curs matematici speciale

Cuprins

1 Functii de o variabila complexa. 91.1 Numere complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Diferentiabilitatea functiilor complexe de variabila complexa . . 12

1.2.1 Functii armonic-conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Operatorii diferentiali ∂

∂z si ∂∂z . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Integrarea functiilor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.1 Curbe continuie ın planul complex . . . . . . . . . . . . 181.3.2 Integrarea functiilor cu valori complexe . . . . . . . . . 191.3.3 Formule integrale fundamentale ale functiilor complexe . 23

1.4 Teorema integrala Cauchy si consecintele ei . . . . . . . . . . . 261.5 Formula integrala a lui Cauchy si consecintele ei . . . . . . . . 301.6 Serii Taylor si Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.6.1 Dezvoltarea ın serie Taylor a functiilor diferentiabile . . 361.6.2 Dezvoltari ın serie Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . 381.6.3 Zerourile functiilor diferentiabile. Prelungirea analitica . 42

1.7 Singularitatile izolate ale functiilor uniforme . . . . . . . . . . . 461.7.1 Functii meromorfe. Cazul punctului de la infinit. . . . . 52

1.8 Reziduurile si aplicatiile lor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.8.1 Reziduul punctului de la infinit. . . . . . . . . . . . . . 69

1.9 Principiul argumentului si aplicatiile sale. . . . . . . . . . . . . 72

2 Serii Fourier. 752.1 Seria Fourier a unei functii de o variabila. . . . . . . . . . . . . 75

2.1.1 Convergenta ın medie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.1.2 Forma complexa a seriei Fourier. . . . . . . . . . . . . . 80

3 Transformate. 833.1 Transformata Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.1 Transformata Fourier a functiilor. . . . . . . . . . . . . 833.1.2 Inversa transformatei Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2 Transformata Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5

6 CUPRINS

3.2.1 Transformata Laplace a functiilor. . . . . . . . . . . . . 903.2.2 Inversa transformatei Laplace. . . . . . . . . . . . . . . 923.2.3 Proprietati elementare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2.4 Consecinte deduse din proprietatile transformatei Laplace.1003.2.5 Teorema de dezvoltare. Aplicatii. . . . . . . . . . . . . . 112

3.3 Transformata Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.3.1 Definitia transformatei Z. Proprietati. . . . . . . . . . . 1153.3.2 Inversa transformatei Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.3.3 Aplicarea transformatei Z la solutionarea ecuatiilor cu

diferente finite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4 Elemente de teoria campului. 1274.1 Campuri scalare si vectoriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.1.1 Campuri scalare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.1.2 Suprafata de nivel sau suprafata echipotentiala ın spatiul

cu trei dimensiuni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.1.3 Variatia campului scalar. Derivata dupa o directie a

campului scalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.1.4 Proprietatile gradientului. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.1.5 Campuri vectoriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.1.6 Linii de camp. proprietati. . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.1.7 Suprafata de camp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.1.8 Variatia campului vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.1.9 Asupra integralei de suprafata. . . . . . . . . . . . . . . 1404.1.10 Integrala de suprafata de speta ıntai si doi. . . . . . . . 1434.1.11 Fluxul unui camp vectorial printr-o suprafata. . . . . . 1444.1.12 Divergenta unui camp vectorial. . . . . . . . . . . . . . 1474.1.13 Proprietati ale divergentei. . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.1.14 Circulatia unui camp vectorial. . . . . . . . . . . . . . . 1524.1.15 Rotorul unui camp vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . 1534.1.16 Proprietatile rotorului. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.1.17 Operatori diferentiali vectoriali si scalari. . . . . . . . . 1574.1.18 Operatori diferentiali vectoriali de ordinul ıntai. . . . . . 1574.1.19 Operatori diferentiali vectoriali de ordinul al doilea. . . 159

4.2 Formule integrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.2.1 Calculul integral ın teoria campurilor. . . . . . . . . . . 161

4.3 Clasificarea campurilor vectoriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.3.1 Categoriile principale de campuri vectoriale. . . . . . . . 1634.3.2 Camp solenoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.3.3 Camp laplacian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.3.4 Camp biscalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.3.5 Camp general (oarecare). . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

CUPRINS 7

4.4 Determinari de campuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764.4.1 Determinarea unui camp scalar de gradient dat. . . . . 1764.4.2 Determinarea unui camp vectorial de rotor si divergenta

date. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5 Principalele ecuatii ale fizicii matematice. 1815.1 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I. . . . . . . . . . . . . 181

5.1.1 Integrale prime. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.1.2 Sisteme simetrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.1.3 Ecuatii cu derivate partiale de ordin I liniare si omogene. 1855.1.4 Ecuatii cu derivate partiale de ordin I (cvasiliniare). . . 1885.1.5 Probleme rezolvate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.2 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul al doilea. . . . . . . . . . 1955.2.1 Generalitati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.2.2 Ecuatii liniare ın derivate partiale de ordin II. . . . . . . 198

5.3 Exercitii si probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

8 CUPRINS

Capitolul 1

Functii de o variabilacomplexa.

1.1 Numere complexe.

In multe aplicatii concrete multimea R a numerelor reale nu este suficientapentru a exprima rezultatele obtinute. Astfel ın rezolvarea efectiva a ecuatieide gradul al doilea:

ax2 + bx + c = 0, a, b, c ∈ R, a 6= 0 (1.1)

cu formula:

x1,2 =−b±√b2 − 4ac

2a(1.2)

deoarece b2 − 4ac poate sa fie negativ, apar numere care nu pot fi reale(niciun numar real ridicat la patrat nu este negativ). Aceasta reprezinta unul dinmotivele introducerii multimii numerelor complexe notata cu C cu proprietateaR ⊂ C si presupunem ca exista un element(numar) din C, notat cu i, astfelıncat i nu apartinne lui R, i apartine lui C si orice element z ∈ C fiind o perecheordonata de numere reale,notata cu z = (x, y) ın care x = Rez, y = Imz (cititereal de z, reprezinta partea reala a numarului complex z, respectiv imaginarde z, si reprezinta partea imaginara a numarului complex z ). Prin definitievom lua:

(1, 0) = 1; (0, 1) = i (1.3)

care reprezinta numerele complexe 1, respectiv i. Produsul acestora cu numerereale, nenule vor fi definite astfel:

a(1, 0) = (a, 0) = a; b(0, 1) = (0, b) = bi, (∀)a, b ∈ R, (1.4)

9

10 CAPITOLUL 1. FUNCTII DE O VARIABILA COMPLEXA.

Egalitatea numerelor complexe o vom defini astfel:

(x1, y1) = (x2, y2) ⇔ x1 = x2 si y1 = y2, (1.5)

Adunarea numerelor complexe o vom defini astfel:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), (1.6)

Inmutirea numerelor complexe o vom defini astfel:

(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1), (1.7)

In acest mod multimea numerelor complexe C poate fi considerata ca fi-ind definita axiomatic(ca multimea numerelor reale R) utilizand proprietatilemultimii R. Din proprietatea ınmultirii se deduce:

i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. (1.8)

In plus deoarece:

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a1 + bi = a + ib, (1.9)

vom nota ın viitor un numar complex z ∈ C, z = (x, y) prin z = x + iy =Rez + iImz si vom putea scrie:

C = R+ iR. (1.10)

Din modul de constructie al multimii C ca pereche ordonata de numere reale,(x, y) 6= (y, x), rezulta posibilitatea reprezentarii numerelor complexe ca punctedin planul R2 asupra careia nu vom mai insista, fiind studiata ın liceu. Modulde reprezentare(constructie) a multimii C fac valabile ın C axiomele de adunaresi ınmultire si axioma de distributivitate, ceeace ınseamna ca opratiile deadunare si ınmultire vor avea aceleasi proprietati ın C ca si ın R. Axiomelede ordine nu sunt valabile ın C, de exemplu, daca am presupune i ∈ C, ipozitiv va trebui sa avem ii > 0 ceea ce ınseamna −1 > 0, absurd, iar daca sepresupune i < 0 atunci −i > 0 si (−i)(−i) = i = −1 si deci nu putem admiteaxioma de ordine.

Vom studia ce se ıntampla cu multimea C cand z se ındeparteaza de origine.In R s-a pus ın evidenta elementele −∞, +∞, pentru aceasta vom utilizaposibilitatea identificarii punctelor din planul complex cu punctele sferei dinR3 si se identifica planul complex cu punctele sferei unitate din R3.(Fig.1.1)

Planul xOy sau x3 = 0 Daca z = x + iy ∈ C = xOy = x1Oy1, z arecoordonatele (x, y, 0) ın R3. Sfera are ecuatia:

x21 + x2

2 + x23 = 1. (1.11)

1.1. NUMERE COMPLEXE. 11

Fig. 1.1:

N(0, 0, 1) este polul nord al sferei. Dreapta (D) ce trece prin N si prin zınteapa sfera ın Z si va avea coordonatele:

x1 = 2xx+y+1

x2 = 2yx+y+1

x3 = x+y−1x+y+1

(1.12)

Acestea se justifica folosind notiuni de geometrie analitica ın spatiu . Astfelecuatia dreptei (D) ce trece prin N si Z este:

x1 − 0x− 0

=x2 − 0y − 0

=x3 − 10− 1

= λ

sau

x1 = λxx2 = λy

x3 = 1− λ

Cum x1, x2, x3, sunt pe sfera acestea verifica ecuuatia sferei unitate adica:

λ2x2 + λ2y2 + (1− λ)2 = 1.

de unde rezulta:λ =

2x2 + y2 + 1

Orice punct Z de pe sfera unitate (Z 6= N) va determina un singur punctz ∈ C (intersectia dreptei D cu planul x3 = 0). Daca Z are coordonatele(x1, x2, x3) atunci:

z =x1 + ix2

1− x3(1.13)


Aceasta operatie prin care punctele din plan se pun ın corespondenta cupunctele sferei se numeste proiectia stereografica iar sfera ın cauza se numestesfera lui Riemann si este utilizata ın geodezie.

Punctului S, diametral opus lui N pe sfera ıi va corespunde numarul com-plex 0, iar daca Z tinde catre N atunci z tinde catre punctul (numarul) com-plex de la infinit , vom scrie z = ∞. Vom nota de asemeni cu C = C ∪∞.

1.2 Diferentiabilitatea functiilor complexe de vari-abila complexa

In cadrul cursului se analiza (), s-a aratat ca daca u, v : D ⊂ R→ R suntdiferentiabile ıntr-un punct (x0, y0) ∈ D (D fiind multime deschisa) atunci scri-ind f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy, functia f : D→ C va fi diferentiabilaın punctul z0 = x0 + iy0 ∈ D daca s numai daca sunt verificate, ın punctul(x0, y0) conditiile Cauchy-Riemann(pe scurt C-R)

∂u(x, y)∂x

=∂v(x, y)

∂y,

∂u(x, y)∂y

= −∂v(x, y)∂x

(1.14)

In acest caz, derivata f ′(z0) se poate scrie sub una din urmatoarele patruforme:

f ′(z0) =

∂u(x0,y0)∂x − i∂u(x0,y0)

∂y∂u(x0,y0)

∂x + i∂v(x0,y0)∂x

∂v(x0,y0)∂y + i∂v(x0,y0)

∂x∂v(x0,y0)

∂y − i∂u(x0,y0)∂y

(1.15)

1.2.1 Functii armonic-conjugate

Presupunand acum u si v functii de clasa C2(D), interpretand conditiileC-R ca un sistem format din doua ecuatii cu doua necunoscute, prin eliminarea, fie a functiei u, fie a functiei v se vor obtine egalitati care trebuiesc verificatede u = Ref si de v = Imf astfel ıncat f = Ref + iImf sa fie functiediferentiabila. Vom presupune u si de v diferentiabile ın multimea deschisa Diar conditiile C-R vor fi verificate ın fiecare punct din D.

Derivand, prima egalitate (1.14) ın raport cu x si a doua egalitate (1.14)ın raport cu y, prin adunare se obtine:

42u =∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0 (1.16)

adica u este neaparat o functie armonica ın D(ıntelegand prin functii armoniceıntr-un domeniu functiile de clasa C2 ın acel domeniu care verifica ecuatia luiLaplace 42u = 0,42 fiind operatorul lui Laplace din R2:42 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 ).

1.2. DIFERENTIABILITATEA FUNCTIILOR COMPLEXE DE VARIABILA COMPLEXA13

Derivand, prima egalitate (1.14) ın raport cu y si a doua egalitate (1.14)ın raport cu x, prin scadere se obtine:

42v =∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2= 0 (1.17)

adica v este neaparat o functie armonica ın D. De fapt, acest rezultat se puteadeduce si direct, din faptul ca u = Ref este armonica, ın modul urmator:conditiile C-R se verifica, deci f este o functie diferentiabila ceea ce ınseamnaca si functia −if va fi diferentiabila ceea ce atrage armonicitatea parti ei realecare coincide cu v.

Asadar, daca vrem ca u+ iv sa defineasca o functie diferentiabila f = f(z)ın D, va trebui ca u si v sa fie armonice ın D sau nu orice doua functii armoniceu si v au proprietatea ca u + iv este diferentiabila(ca functie de z = x + iy)deoarece doua functii armonice luate la ıntamplare nu pot verifica egalitatile(1.14) (care sunt conditii necesare si suficiente ).

Orice pereche (u, v) de functii armonice care verrifica ın D conditiile C-R(1.14) se vor numi functii armonic-conjugate ın D. Cu alte cuvinte, dacaperechea (u, v) este armonic conjugata, scriind u(x, y) + iv(x, y) = f(z), z =x + iy, f va fi o functie diferentiabila ın D.

O caracteristica a perechilor armonic-conjugate este aceea ca este suficientsa se cunoasca una din functiile perechi pentru a se putea determina si cealalta.

Astfel, daca u = u(x, y) ∈ C2(D) este data (o functie armonica ın D)interpretand conditiile C-R ca un sistem format din doua ecuatii pentru functiav, deci:

∂v(x, y)∂x

= −∂u(x, y)∂y

,∂v(x, y)

∂y=

∂u(x, y)∂x

(1.18)

integrand prima ecuatie ın raport cu x se obtine:

v(x, y) = −∫ x

x0

∂u(t, y)∂y

dt + ϕ(y) (1.19)

unde ϕ(y) este o functie arbitrara (diferentiabila) care este de fapt constantade integrare (este cazul unei constante ın raport cu variabila x, deci va depindede y, v depinzand si de x si de y). Tinand seama de posibilitatea derivarii subsemnul integral (deoarece ∂u

∂y ∈ C1(D)) si de faptul ca u este o functie armonica

( deci −∂2u(t,y)∂y2 = ∂2u(t,y)

∂t2) gasim:

∂v(x, y)∂y

= −∫ x

x0

∂2u(t, y)∂y2

dt + ϕ′(y) =∫ x

x0

∂2u(t, y)∂t2

dt + ϕ′(y) =

=∂u

∂t|t=xt=x0

+ ϕ′(y) =∂u(x, y)

∂x− ∂u(x0, y)

∂x+ ϕ′(y).


Deoarece ∂v(x,y)∂y = ∂u(x,y)

∂x , din egalitatea ∂u(x,y)∂x = ∂u(x,y)

∂x − ∂u(x0,y)∂x + ϕ′(y) se

gaseste relatia:

ϕ′(y) =∂u(x0, y)

∂x

care da posibilitatea determinarii lui ϕ:

ϕ(y) =∫ y

y0

∂u(x0, t)∂x

dt + c, c ∈ R

ceea ce conduce la expresia lui v, ınlocuindu-l pe ϕ ın (1.19):

v(x, y) = −∫ x

x0

∂u(t, y)∂y

dt +∫ y

y0

∂u(x0, t)∂x

dt + c (1.20)

Daca ın loc de prima egalitate (1.18) se alege a doua se obtine pe aceeasicale:

v(x, y) = −∫ x

x0

∂u(t, y0)∂y

dt +∫ y

y0

∂u(x, t)∂x

dt + c′ (1.21)

punctele (x, y) si (x0, y0) sunt din D si suficient de apropiate unul de celalalt.Daca se presupune v dat, u se obtine cu ajutorul uneia din egalitatile:

u(x, y) =∫ x

x0

∂v(t, y)∂y

dt−∫ y

y0

∂v(x0, t)∂x

dt + c1 (1.22)

sauu(x, y) =

∫ x

x0

∂v(t, y0)∂y

dt−∫ y

y0

∂v(x, t)∂x

dt + c′1 (1.23)

In ambele cazuri, functiile v (respectiv u) sunt unic determinate daca nu se iaın consideratie o constanta aditiva.

Exemple: 1o. Daca u : R2 → R

u(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2

u va fi partea reala a unei functii diferentiabile ın C, daca 42u = 0, deci dacaa + c = 0; rezulta:

u(x, y) = a(x2 − y2) + 2bxy

iar din (1.20), cu x0 = 0, y0 = 0, se deduce:

v(x, y) = 2∫ x

0(ay − bt)dt + 2b

∫ y

0tdt + d = 2axy − b(x2 − y2) + d

si deci

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = a(x2 − y2 + 2ixy) + b[2xy − i(x2 − y2)] + id =


= az2 − biz2 + id = (a− bi)z2 + id

2o. Daca v : R2 → Rv(x, y) = ex sin y

v este partea imaginara a unei functii diferentiabile ın C, avem 42v = 0 ın R2

iar din (1.22) se deduceu(x, y) = ex cos y + d

si deci

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = ex(cos y + i sin y) + d = exeiy + d = ez + d.

In calculele anterioare ipoteza u, v ∈ C2(D) este esentiala si vom arataulterior ca o functie f : D → C este diferentiabila ın D este automat si declasa C∞(D) (desi u si v admit derivate partiale de orice ordin).

1.2.2 Operatorii diferentiali ∂∂z

si ∂∂z

Vom presupune u, v ∈ C1(D) si vom forma combinatia u+ iv. Daca u si vnu verifica conditiile Cauchy-Riemann (1.14), atunci u si v nu va fi o functiediferentiabila ın D. Deoarece

x =12(z + z), y =

i

2(z − z) (1.24)

si este valabil ca ın general, trecand de la variabilele x si y la variabilele z siz prin egalitatile (1.24), u + iv va depinde de z si z si vom scrie

f = f(z, z) = u(12(z + z),

i

2(z − z)) + iv(

12(z + z),

i

2(z − z)) (1.25)

Vom conveni sa definim operatorii diferentiali ∂∂z si ∂

∂z , punand:

∂f

∂z=

12[(

∂u

∂x+

∂v

∂y) + i(

∂v

∂x− ∂u

∂y)] (1.26)

∂f

∂z=

12[(

∂u

∂x− ∂v

∂y) + i(

∂u

∂y+

∂v

∂x)] (1.27)

si este evident ca acesti operatori au sens pentru orice doua functii u si vdiferentiabile ın D. Se verifica usor egalitatile:

∂f

∂z=

12(∂f

∂x− i

∂f

∂y),

∂f

∂z=

12(∂f

∂x+ i

∂f

∂y)

daca∂f

∂x=

∂u

∂x+ i

∂v

∂x,

∂f

∂y=

∂u

∂y+ i

∂v

∂y


In viitor vom utiliza notatia:

∂f =∂f

∂z

Daca ın particular u si v sunt partea reala, respectiv partea imaginara afunctiei diferentiabile f , din (1.27) se deduce ∂f

∂z = 0 iar din (1.26) se obtine(utilizand (1.15)), ∂f

∂z = f ′. Asadar, daca f este diferentiabila ın D, atuncicei doi operatori (1.26) si (1.27) au o semnificatie deosebita, importanta lorcrescand ın momentul ın care ∂f

∂z 6= 0 (deci cand ∂f∂z nu coincide cu f ′ , deoarece

f ′ nu are sens ın acest caz). Se poate utiliza observatia ca din (1.27) se deduce∂f∂z = 0 numai daca f este diferentiabila: egaland cu zero partile reale si celeimaginare se obtin exact conditiile Cauchy-Riemann.

De aici decurge un criteriu practic de deducere a diferentiabilitatii lui ffara a utiliza operatii de derivare(deci fara a verifica conditiile C-R(1.14): secalculeaza f(z, z) cu ajutorul lui (1.24) si daca ın final nu apare variabila z(deci ∂f

∂z = 0), f va fi diferentiabila ın D.De exemplu, daca u, v : R2 \ (0, 0) → R

u(x, y) =ax

x2 + y2, v(x, y) =

by

x2 + y2, a, b ∈ R

avem

u + iv =ax + iby

x2 + y2=

12zz

[a(z + z)− b(z − z)] =a− b

2z+

a + b

2z

deci f(z, z) = a−b2z + a+b

2z si f va fi diferentiabila in C \ 0 daca si numai dacaa + b = 0 cand f(z) = a

z ( atunci v(x, y) = −ayx2+y2 ).

Deoarece ∂f∂z = 0 daca si numai daca se verivica sistemul (1.14) se spune ca

ecuatia ∂f∂z = 0 reprezinta transcrierea complexa a conditiilor C-R.

Regulile de calcul cu operatorii ∂∂z si ∂

∂z sunt identice cu regulile obisnuitede derivare, deoarece acesti operatori sunt liniari ın raport cu derivatele partialede ordinul ıntai ale functiilor u si v, astfel:

∂

∂z(f1 + f2) =

∂f1

∂z+

∂f2

∂z,

∂

∂z(λf) = λ

∂f

∂z, λ ∈ C

∂

∂z(f1f2) = f1

∂f2

∂z+ f2

∂f1

∂z,

∂

∂z(f1

f2) =

1f2

∂f1

∂z− f1

f22

∂f2

∂z

∂

∂zf(ϕ) = f ′(ϕ)

∂ϕ

∂z,

daca f este o functie diferentiabila iar ϕ = ϕ(z, z).


In particular, daca f1 = f si f2 = g, g fiind diferentiabila ın D, din regulade derivare a unui produs, deoarece ∂g

∂z , se deduce:

∂

∂z(gf) = g

∂f

∂z, (1.28)

egalitate care arata ca functiile diferentiale, ın raport cu operatia ∂∂z , se com-

porta ca si constantele ın raport cu operatia de derivare.Daca z0 = x0 + iy0 ∈ D, o dreapta care trece prin z0 si formeaza unghiul

θ cu axa reala pozitiva se scrie parametric:

xθ = x0 + t cos θ, yθ = y0 + t sin θ

sau sub forma complexa:zθ = z0 + teiθ.

Prin derivata lui f = f(z, z) ın raport cu directia (fixa) avand argumentul θse ıntelege egalitatea:

∂f

∂θ=

∂f

∂zθ=

∂f

∂(z0 + teiθ)ın care t este parametrul variabil. Vom avea:

∂f

∂(z0 + teiθ)=

∂f

∂t

∂t

∂(z0 + teiθ)= e−iθ ∂f

∂t

si prin urmare,

∂f

∂θ= e−iθ(

∂f

∂x

∂x

∂t+

∂f

∂y

∂y

∂t) = e−iθ(

∂f

∂xcos θ +

∂f

∂ysin θ) =

12

∂f

∂x(1 + e−2iθ)+

+12i

∂f

∂y(1− e−2iθ).

Daca se tine cont de definitiile (1.26) si (1.27) se deduce egalitatea

∂f

∂θ=

∂f

∂z+ e−2iθ ∂f

∂z

si este vizibil ca derivate dupa o directie nu va depinde de unghiul θ daca sinumai daca ∂f

∂z = 0, adica numai daca f este diferentiabila ın punctul z0.Conform cu teoria de la serii de puteri, vor fi diferentiabile ın discul |z −

z0| < R toate functiile F : BR(z0) → C, R > 0 dezvoltarile ın serie de putericentrata ın z0, deci avand forma:

f(z) = a0 + a1(z − z0) + a2(z − z0)2 + ... + an(z − z0)n + ...

(este evident ca ∂f∂z = 0, derivarea termen cu termen fiind permisa acolo unde

seria este uniform convergenta, deci daca z ∈ BR(z0)). In particular, functiileexp, sin, cos, sinh, cosh sunt diferentiabile ın orice punct z ∈ C (deoarece aiciraza de convergenta este infinita)


1.3 Integrarea functiilor complexe

1.3.1 Curbe continuie ın planul complex

Deoarece ın R2,multimea punctelor (x, y) obtinute prin:

x = x(t), y = y(t), t ∈ II fiind un interval oarecareal axei reale, defineste o curba (γ). Scriind z =x + iy, o curba (γ) ın planul complex se va scrie:

z = z(t), t ∈ Ifiind deci o aplicatie a unui interval al axei reale cu valori ın C.

Daca z ∈ C0(I), se spune ca (γ) este o curba continua iar daca z ∈ C1(I),se spune ca (γ) este o curba neteda.

Pentru orice curba se pot defini doua sensuri, corespunzand parcurgeriiintervalului I ın sens crescator sau ın sens descrescator. Daca I = [a, b], atunciın primul caz z(a) este punctul initial al lui (γ) iar z(b) este punctul final iarın al doilea caz capetele se inverseaza. Daca z(a) = z(b), curba (γ) se numesteınchisa iar daca unul si acelasi punct al lui (γ) se obtine pentru cel putin douavalori distincte ale parametrului t ( o valoare cel putin, fiind diferita de a saub) atunci curba (γ) se numeste multipla. O curba fara puncte multiple senumeste simpla sau curba Jordan.

Fig. 1.2:

Exemplu: Daca z = R(cos t + i sin t) = Rcis(t), t ∈ [0, 2π], R > 0 (γ)va fi circomferinta cercului de raza R cu centru ın origine; cum cis(0) =1, cis(2π) = 1, (γ) este o curba ınchisa (simpla).

1.3. INTEGRAREA FUNCTIILOR COMPLEXE 19

Se poate arata (teorema lui Jordan) ca orice curba Jordan ınchisa (γ)ımparte planul complex ın doua domenii G1 si G2 astfel ıncat ∂G1 = (γ),∂G2 = (γ), C = G1 ∪ G2 ∪ (γ), G1 ∩ G2 = ∅. Daca, de exemplu, G1 estemarginit, atunci G2 este nemarginit iar G1 se numeste interiorul lui (γ), G2

fiind exteriorul lui (γ).De exemplu, curba (γ) definita prin:

z = a cos t + ib sin t, t ∈ [0, 2π], a, b ∈ R+

este elipsax2

a2+

y2

b2= 1

iar interiorul ei G1 va fi definit prin

x2

a2+

y2

b2< 1.

Fie D ⊂ C un domeniu oarecare. Daca pentru orice curba Jordan (γ) ⊂ D,interiorul lui (γ) apartine lui D, atunci D este un domeniu simplu conex.

De exemplu multimea:

D = z|z ∈ C, |z| < R = BR(0)

este un domeniu simplu conex, pe cand multimea:

D = z|z ∈ C, r < |z| < R, r < R

nu reprezinta un domeniu simplu conex: curba (γ) : |z| < R+r2 are interiorul

format din discul cu centru ın origine si de raza mai mare decat r, deci vacontine la interior toate punctele z cu |z| < r, care nu apartin lui D.

Un domeniu care nu este simplu conex, vom spune ca este multiplu conex.

1.3.2 Integrarea functiilor cu valori complexe

Fie (γ) o curba de clasa C1(I)(sau mai pe scurt o curba rectificabila)

(γ) : z = z(t), t ∈ I = [a, b]

sensul pe (γ) fiind cel crescator; prin (γ−) se ıntelege aceeasi curba (γ) daravand sensul invers de parcurgere a punctelor ei.

Fie o partitie P a intervalului I

a = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = b


careia ıi va corespunde o partitie a lui (γ) prin punctele P0, P1, P2, ..., Pn−1, Pn

cu Pj = z(tj), j = 0, 1, 2, ..., n− 1, n si fie

f = f(z, z) = u(x, y) + iv(x, y), x =12(z + z), y =

i

2(z − z)

o functie (uniforma) definita pe (γ) (sau ıntr-un domeniu care contine pe (γ)).Daca sk ∈ [tk, tk−1], vom nota:

ζk = z(sk) = ξk + iηk

si atunci suma:

σ(f, P ) =n−1∑

k=0

f(ζk, ζk)(zk+1 − zk), zk = z(tk)

se numeste suma integrala corespunzatoare partitiei P considerate. Deoarece

f(ζk, ζk) = u(ξk, ηk) + iv(ξk, ηk) = uk + ivk,

zk+1 − zk = (xk+1 − xk) + i(yk+1 − yk) = ∆xk + i∆yk

separand partile reale si cele imaginare, se gaseste:

σ(f, P ) =n−1∑

k=0

(uk + ivk)(∆xk + i∆yk) =

=n−1∑

k=0

(uk∆xk − vk∆yk) + in−1∑

k=0

(vk∆xk + uk∆yk)

Se observa ca ultimile doua sume reprezinta sume integrale pentru integralelecurbilinii de speta a doua:

∫

(γ)udx− vdy,

∫

(γ)vdx + udy

si de aceea ın ipoteza ca u si v sunt astfel ıncat aceste integrale exista, vomscrie, prin definitie:∫

(γ)f(z, z)dz =

∫

(γ)u(x, y)dx− v(x, y)dy + i

∫

(γ)v(x, y)dx+u(x, y)dy (1.29)

iar∫

(γ)f(z, z)dz se va numi integrala functiei f de-a lungul curbei (γ).

Evident ∫

(γ)f(z, z)dz = lim

‖P‖→0σ(f, P )


cu ‖P‖ = maxt1−t0, t2−t1, ..., tn−tn−1. din definitie, utilizand proprietatileintegralelor curbilinii de speta a doua se obtin urmatoarele proprietati pentru∫

(γ)f(z, z)dz:

∫

(γ−)f(z, z)dz = −

∫

(γ)f(z, z)dz (1.30)

∫

(γ)[

m∑

k=1

ckfk(z, z)]dz =m∑

k=1

ck

∫

(γ)fk(z, z)dz (1.31)

∫p⋃

j=1

(γj)f(z, z)dz =

p∑

j=1

∫

(γj)f(z, z)dz (1.32)

daca arcele (γj) si (γj+1)au ın comun punctul final respectiv punctul initial.

|∫

(γ)f(z, z)dz| ≤

∫

(γ)|f(z, z)|dz (1.33)

|∫

(γ)f(z, z)dz| ≤ M |γ| (1.34)

daca |f(z, z)| ≤ M cand z ∈ (γ), |γ|fiind lungimea curbei (γ).

Pentru calculul efectiv al integralei∫

(γ)f(z, z)dz, daca z = z(t), t ∈ I =

[a, b] este ecuatia curbei netede (γ) avem:

∫

(γ)f(z, z)dz =

∫ b

af [z(t), z(t)]z′(t)dt (1.35)

ultima integrala fiind o integrala definita, daca f ∈ C0(γ) egalitatea (1.35) seobtine usor daca se tine cont de formula de calcul a integralelor curbilinii

∫

(γ)P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

∫ b

a(P [x(t), y(t)]x′(t) + Q[x(t), y(t)]y′(t))dt

Exemple. 1o. Daca f(z, z) = zz iar (γ) este z = z(t) = t + i, t ∈ [0, 1],

avem:∫

(γ)f(z, z)dz =

∫ 1

0

t + i

t− idt =

∫ 1

0

(t + i)2

t2 + 1dt =

∫ 1

0

t2 + 2it− 1t2 + 1

dt =∫ 1

0

t2 − 1t2 + 1

dt+

+i

∫ 1

0

2t

t2 + 1dt = (t− 2 arctan t− i ln(t2 + 1))|10 = 1− 2

π

4− i ln 2.


2o. Daca f(z, z) = (z − z0)n, n ∈ Z iar (γ) este curba |z − z0| = R (adicacercul de raza R cu centru ın z0 ), atunci, deoarece z = z0 + Reit, t ∈ [0, 2π]gasim:∫

(γ)(z−z0)ndz =

∫ 2π

0RneintRieitdt = iRn+1

∫ 2π

0eit(n+1)dt =

iRn+1

n + 1eit(n+1)|2π

0 = 0

daca n + 1 6= 0, deci n 6= −1, si∫

(γ)(z − z0)−1dz =

∫ 2π

0R−1e−itRieitdt = i

∫ 2π

0dt = 2πi

Asadar, ∫

|z−z0|=R(z − z0)ndz =

0, daca n 6= −1

2πi , daca n = −1(1.36)

3o. Daca f(z, z) = zz iar (γ) este arcul cercului |z| = 2 aflat ın semiplanulImz ≤ 0 parcurs de la z0 = −2 la z1 = 2, atunci deoarece z = 2eit, t ∈[+π, 2π], avem

∫

(γ)f(z, z)dz =

∫ 2π

π2eit2e−it2ieitdt = 8i

∫ 2π

πeitdt = 8eit|2π

π = 16

4o. Daca f(z, z) = zz iar (γ) este cercul unitate, avem deci |z| = 1 cadrum de integrare, adica z = eit, t ∈ [0, 2π] si:

∫

(γ)f(z, z)dz =

∫

|z|=1zzdz =

∫ 2π

0eite−itieitdt = i

∫ 2π

0eitdt = 0

5o. Daca f(z, z) = zImz2 iar (γ) este cercul |z| = 2, avem z = 2eit, t ∈[0, 2π] iar∫

(γ)f(z, z)dz =

∫

|z|=2zImz2dz =

∫

|z|=2z·2xydz = 2

∫

|z|=2z12(z+z)

i

2(z−z)dz =

i

2

∫

|z|=2z(z2 − z2)dz =

i

2

∫

|z|=2zz2 − i

2

∫

|z|=2z3 =

i

2

∫ 2π

02eit4e−2it2ieitdt−

− i

2

∫ 2π

08e3it2ieitdt = −8

∫ 2π

0dt = 8

∫ 2π

0e4itdt = −16π

6o. Daca f(z, z) = Rez, (γ) este cercul |z − 1| = 1, adica z = 1 + eit, t ∈[0, 2π] avem:

∫

(γ)f(z, z)dz =

∫

|z−1|=1Rezdz =

∫

|z−1|=1xdz =

12

∫

|z−1|=1(z + z)dz = iπ


1.3.3 Formule integrale fundamentale ale functiilor complexe

Vom presupune f = f(z, z) = u(x, y) + iv(x, y) de clasa C1 ın interiorulD al curbei ∂D, presupusa curba Jordan(care evident este ınchisa ) iar pe ∂D,f este cel putin continua.

Prima teorema integrala

In conditiile enuntate are loc egalitatea:

∫

∂Df(z, z)dz = 2i

∫∫

(D)

∂f(z, z)∂z

dxdy, z = x + iy (1.37)

unde operatorul ∂∂z = ∂ a fost definit mai sus, deci

∂f

∂z=

12[(

∂u

∂x− ∂v

∂y) + i(

∂u

∂y+

∂v

∂x)]

iar prin integrala dubla∫∫

(D)g(z, z)dxdy se ıntelege

∫∫

(D)g(z, z)dxdy =

∫∫

(D)Reg(z, z)dxdy + i

∫∫

(D)Img(z, z)dxdy

cu mentiunea ca ∂D poate fi inlocuit cu orice alta curba Jordan ınchisa netedadin D.

Vom justifica aceasta formula (1.37) ın baza formulei lui Green:

∫

∂DP (x, y)dx + Q(x, y)dy =

∫∫

(D)(∂Q(x, y)

∂x− ∂P (x, y)

∂y)dxdy

avem∫

∂Du(x, y)dx− v(x, y)dy = −

∫∫

(D)(∂u(x, y)

∂y+

∂v(x, y)∂x

)dxdy

∫

∂Dv(x, y)dx + u(x, y)dy =

∫∫

(D)(∂u(x, y)

∂x− ∂v(x, y)

∂y)dxdy

si deci ın baza egalitatii (1.29)

∫

∂Df(z, z)dz =

∫∫

(D)[−(

∂u

∂y+

∂v

∂x) + i(

∂u

∂x− ∂v

∂y)]dxdy = 2i

∫∫

(D)

f(z, z)∂z

dxdy


A doua teorema integrala (teorema de reprezentare)

In conditiile ın care este valabila prima teorema integrala este valabila siformulalui Pompeiu:

f(z, z) =1

2πi

∫

∂Df(ζ, ζ)ζ − z

dζ − 1π

∫∫

(D)

∂f(ζ, ζ)ζ − z

dξdη, ζ = ξ + iη (1.38)

cu mentiunea ca ∂D poate fi inlocuit cu orice alta curba Jordan ınchisa netedadin D

Vom justifica aceasta formula (1.38) cu ajutorul formulei (1.37) unde vomscrie f(z,z)

z−z0ın loc de f(z, z). Cum f(z,z)

z−z0nu este ce clasa C1 ın D daca z0 ∈ D

(ceea ce se presupune) ,suntem obligati sa ınlocuim domeniul simplu conex Dprin domeniul dublu conex D \ Bε(z0) unde Bε(z0) = z|z ∈ C, |z − z0| ≤ε ⊂ D asa cum este prezentat in Fig1.3, a. Deoarece (1.38) este valabila

Fig. 1.3:

pentru domeniu simplu conex, vom considera doua puncte A,B, A ∈ ∂D, B ∈γε = ∂Bε(z0) pe care le vom uni prin segmentul AB presupus interior luiD. Conturul ∂D ∪ AB ∪ γε ∪ BA delimiteaza un domeniu simplu conex (esteevident ca orice curba jordan ınchisa (Γ) din domeniu a carei frontiera ∂D ∪AB∪γε∪BA nu contine la interior decat puncte ale acestui domeniu, deoareceaceasta curba (Γ) nu poate intersecta pe AB ca sa cuprinda la interior punctedin Bε(z0)). In aceste ipoteze, formula (1.38) este aplicabila iar deoarece 1

z−z0

este diferentiabila ın C \ z0, deoarece ∂∂z ( 1

z−z0) = 0 avem

∂

∂z(f(z, z)z − z0

) =1

z − z0

∂f(z, z)∂z


vezi(1.28), gasim

2i

∫∫

D\Bε(z0)

∂f(z, z)z − z0

dxdy =∫

∂Df(z, z)z − z0

dz −∫

(γε)

f(z, z)z − z0

dz+

+∫

AB

f(z, z)z − z0

dz +∫

BA

f(z, z)z − z0

dz (1.39)

Pe Fig1.3, b se constata ca daca ∂D este parcursa ın sens direct, ∂Bε(z0) esteparcursa ın sens invers, ceea ce justifica semnul − ın fata integralei relative la(γε) iar cum f este uniforma, ca si functia 1

z−z0, avem

∫

AB

f(z, z)z − z0

dz = −∫

BA

f(z, z)z − z0

dz

iar din (1.39) se deduce egalitatea:

∫

(γε)

f(z, z)z − z0

dz =∫

∂Df(z, z)z − z0

dz − 2i

∫∫

D\Bε(z0)

∂f(z, z)z − z0

dxdy

valabila pentru orice (γε) cu ε > 0 suficient de mic pentru ca Bε(z0) ⊂ D. cumdaca z ∈ (γε) avem z = z0 + εeit, t ∈ [0, 2π] si

∫

(γε)

f(z, z)z − z0

dz =∫ 2π

0

f(z0 + εeit, z0 + εe−it)εeit

εieitdt = i

∫ 2π

0f(z0+εeit, z0+εe−it)dt

adica

i

∫ 2π

0f(z0 + εeit, z0 + εe−it)dt =

∫

∂Df(z, z)z − z0

dz − 2i

∫∫

D\Bε(z0)

∂f(z, z)z − z0

dxdy

Trcand la limita pentru ε → 0 vom avea:

2πif(z0, z0) =∫

∂Df(z, z)z − z0

dz − 2i

∫∫

D∂f(z, z)z − z0

dxdy

din care, dupa ımpartire cu 2πi si scrierea lui z ın loc de z0 (modificand ınconsecinta si variabila de integrare, scriind ζ = ξ + iη ın loc de z = x + iy,deci dxdy se ınlocuieste cu dξdη) se obtine formula lui Pompeiu.

Aceasta egalitate (1.38) arata ca orice functie de clasa C1 ın D se poatescrie cu ajutorul unei integrale curbilinii si a unei integrale duble ın care rolulprincipal ıl joaca derivata areolara ∂.


1.4 Teorema integrala Cauchy si consecintele ei

Una din teoremele centrale a teoriei functiilor diferentiabile de o variabilacomplexa este teorema integrala Cauchy care are urmatorul enunt:

Daca G este un domeniu simplu conex din C iar f = f(z) este uniforma sidiferentiabila ın acest domeniu, atunci pentru orice curba rectificabila ınchisa(γ) din G are loc egalitatea:

∫

γf(z)dz = 0 (1.40)

Daca presupunem f functie continua ın G, acest rezultat decurge directdin prima teorema integrala (1.37) ın care, ın ipotezele noastre, avem ∂f

∂z = 0.se poate arata ca ipoteza f ∈ C1(D) nu este esentiala, dar ın baza lungimiiacestei demonstratii, nu o vom considera ın prezenta lucrare.

DacaG nu este simplu conex egalitatea (1.40) poate sa nu mai fie adevarata,dupa cum ne arata egalitatea (1.36): ın discul BR(z0) functia 1

z−z0nu este

diferentiabila, dar este diferentiabila ın inelul BR(z0) \Br(z0), 0 < r < R iar∫

|z|=R′

dz

z − z0= 2πi daca r < R′ < R.

Vom deduce cateva consecinte simple ale teoremei integralei Cauchy (1.40).I. Daca γ1 si γ2, γ1 ∩ γ2 = ∅ sunt doua curbe netede din domeniul G de

diferentiabilitate a functiei f care au aceleiasi extremitati iar curba ınchisaγ = γ1 ∪ γ−2 are interiorul simplu conex ınchis ın G, atunci:

Fig. 1.4:

∫

γ1

f(z)dz =∫

γ2

f(z)dz (1.41)

1.4. TEOREMA INTEGRALA CAUCHY SI CONSECINTELE EI 27

Din Fig1.4 a. rezulta ca daca D este domeniul simplu conex astfel ıncat ∂D =γ1 ∪ γ−2 , din (1.40) se deduce

0 =∫

γ1∪γ−2f(z)dz =

∫

γ1

f(z)dz +∫

γ−2f(z)dz =

∫

γ1

f(z)dz −∫

γ2

f(z)dz

ceeace coincide cu (1.41). rezultztul ramane evident valabil daca curbele γ1 siγ2 se intersecteaza de un numar finit de ori.

II. Daca f este diferentiabila ın domeniul multiplu conex G si pe ∂D iar∂D este reuniunea unui numar finit de curbe Jordan ınchise rectificabile ∂D =γ ∪ γ1 ∪ ... ∪ γp, p ∈ N iar γ1, γ2, ..., γp se afla ın interiorul lui γ, atunci:

∫

γf(z)dz =

∫

γ1

f(z)dz +∫

γ1

f(z)dz + ... +∫

γp

f(z)dz (1.42)

sensul de parcurs pe γ si pe γj , j = 1, 2, ..., p fiind cel direct (invers acelorunui ceasornic).

Pe Fig.4.b este prezentat cazul p = 3 cand curba Jordan ınchisaa figurata

prin sageti este frontiera unui domeniu simplu conex, deci∫

Γf(z)dz = 0. cum

f este uniforma integralele pe AB si BA, CD si DC, EF si FE se anuleazareciproc si se deduce:

∫

γf(z)dz +

∫

γ−1f(z)dz +

∫

γ−2f(z)dz +

∫

γ−3f(z)dz = 0

ceea ce coincide cu (1.42) pentru p = 3.III. Daca γ1 si γ2 sunt doua curbe Jordan ınchise si netede fara puncte

Fig. 1.5:

comune cu proprietatea ca γ1 este ın interiorul curbei γ2, atunci daca ın dome-niul limitat de γ1 si γ2 (ca si pe γ1 si γ2) f este diferentiabila, atunci are loc


egalitatea: ∫

γ1

f(z)dz =∫

γ2

f(z)dz (1.43)

Justificarea este evidenta, ın baza Fig1.5.a, cand conturul γ2∪AB∪γ−1 ∪BA

este o curba Jordan ınchisa rectificabila si deci∫

γ2∪AB∪γ−1 ∪BAf(z)dz = 0, ceea

ce este echivalent cu (1.43).IV. Daca f ∈ C0(G) cu proprietatea ca integralele calculate pe orice curbe

rectificabile din G depinde de capetele acestor curbe, atunci integrala:

F (z) =∫ z

z0

f(t)dt (1.44)

este diferentiabila ın G iar

F ′(z) = f(z), z ∈ G (1.45)

Intr-adevar

F (z + h)− F (z) =∫ z+h

z0

f(t)dt−∫ z

z0

f(t)dt =∫ z+h

zf(t)dt

cum ∫ z+h

zf(t)dt =

∫ z+h

z[f(t)− f(z)]dt + f(z)h

are loc descompunerea:

F (z + h)− F (z) = f(z)h + α(z, h)) (1.46)

cu

α(z, h) =∫ z+h

z[f(t)− f(z)]dt (1.47)

si mai ramane de aratat ca limh→0

α(z, h)h

= 0. Cum integrala∫ z+h

zf(t)dt

depinde numai de capetele drumului de integrare, se poate alege ca drum deintegrare segmentul de dreapta (Γ) care uneste z cu z + h si atunci, utilizand(1.34) gasim (vezi Fig.1.5.b)

|α(z, h)h

| = |1h

∫ z+h

z[f(t)−f(z)]dt| ≤ 1

|h| maxt∈(Γ)

|f(t)−f(z)||h| = maxt∈(Γ)

|f(t)−f(z)|

Daca z si z + h sunt suficient de apropiate, ın baza continuitatii lui f avem|f(z + h)− f(z)| < ε daca |h| < δ = δ(ε) si cu atat mai mult maxt∈(Γ) |f(t)−

1.4. TEOREMA INTEGRALA CAUCHY SI CONSECINTELE EI 29

f(z)| < ε. Aceasta ınseamna ca limh→0

α(z, h)h

= 0 prin urmare F este diferentiabila

iarF ′ = f

atunci F se numeste primitiva a functiei f , la fel ca la functiile reale de vari-abila reala. Proprietatea IV arata ca daca f este diferentiabila (deci f estecontinua si integrala depinde doar de capetele drumului de integrare) ın Gatunci F este o primitiva pentru f iar orice primitiva Φ a lui f se scrie:

Φ(z) =∫ z

z0

f(t)dt + c, c ∈ C (1.48)

Intr-adevar, scriind

g(z) = Φ(z)−∫ z

z0

f(t)dt = u(x, y) + iv(x, y)

avemg′(z) = Φ′(z)− f(z) = f(z)− f(z) = 0, z ∈ C

Cumg′(z) =

∂u

∂x+ i

∂v

∂x=

∂v

∂y− i

∂u

∂y= 0

se deduce ∂u∂x = ∂u

∂y = 0, ∂v∂x = ∂v

∂y = 0 deci u(x, y) = u0 v(x, y) = v0, u0,v0 ∈ Rdeci g(x, y) = u0 + iv0 ∈ C. Asadar are loc (1.48), care pentru z = z0,Φ(z0) = c si deci (1.48) se transcrie sub forma:

∫ z

z0

f(t)dt = Φ(z)− Φ(z0) (1.49)

care coincide cu formula Newton-Leibniz din calculul integral si prin urmare

integrala∫ z

z0

f(t)dt, daca f este diferentiabila ın G, se poate calcula cu aju-

torul unei primitive a lui f . Raman de asemeni valabile toate algoritmelede calcul din analiza reala (integrarea prin parti, prin substitutie, etc.) dacase ınlocuiesc functiile reale continuie prin functii diferentiabile de variabilacomplexa.

Exemple. 1o Sa calculam∫

γ(z − z0)ndz, n ∈ Z

unde γ este orice curba Jordan ınchisa si rectificabila care contine la interiorpunctul z0. Deoarece interiorul lui γ este o multime deschisa G iar z0 ∈ G, vaexista r > 0 astfel ıncat Br(z0) ⊂ G si atunci, ın baza proprietatii III avem

∫

γ(z − z0)ndz =

∫

∂Br(z0)(z − z0)ndz =

0, daca n 6= −1

2πi , daca n = −1


ın baza formulei (1.36).2o Sa calculam ∫

γexp(t)dt

unde γ este orice curba rectificabila care uneste punctele z = 0 si z = z1 dinplanul complex C. Deoarece exp(z) este diferentiabila ın C avem:

∫

γexp(t)dt =

∫ z1

0exp(t)dt

unde drumul de integrare este segmentul de dreapta care uneste z = 0 cuz = z1. Asadar, folosind (1.49):

∫

γexp(t)dt = exp(z1)− exp(0) = exp(z1)− 1

3o Sa calculam ∫

γ

dt

t

unde γ este un contur rectificabil care uneste punctele z0 si z1 din planul Ccare nu trece prin origine. Avem, pentru functia 1

z , ca primitiva functia Lnzsi deci: ∫

γ

dt

t= log t|z1

z0= ln |z1| − ln |z0|+ i[arg(z1)− arg(z0)]

Daca γ nu ocoleste originea avem arg(z1) − arg(z0) = 0 iar daca γ ocolesteoriginea de k ori ın sens direct, avem arg(z1) − arg(z0) = 2kπ (= −2kπ dacaoriginea este ocolita ın sens invers).

1.5 Formula integrala a lui Cauchy si consecinteleei

Daca in formula de reprezentare (1.38) se presupune f diferentiabila ındomeniul simplu conex G iar D ⊂ G, atunci notand prin ∂D = γ, se obtineformula integrala Cauchy

f(z) =1

2πi

∫

γ

f(ζ)ζ − z

dζ (1.50)

valabila deci pentru orice functie f diferentiabila ın G, care este un domeniusimplu conex, γ ∈ G fiind orice curba Jordan rectificabila ınchisa, z fiind unpunct oarecare din interiorul lui γ(vezi Fig1.7) Formula (1.50), care poate ficonsiderata ca o consecinta a teoremei integrale Cauchy (dupa cum formula

1.5. FORMULA INTEGRALA A LUI CAUCHY SI CONSECINTELE EI31

Fig. 1.6:

(1.38) este o consecinta a formulei (1.37)) este de fapt formula centrala dinteoria functiilor diferentiabile de o variabila complexa. Importanta constaın faptul ca valoarea lui f ın punctul z ∈ C se poate obtine cu ajutorul uneiintegrale cu parametru, deci poate fi aplicata teoria relativa la aceste integrale.Scriind:

g(z, ζ) =1

2πi

f(ζ)ζ − z

(1.51)

formula (1.50) se transcrie

f(z) =∫

γg(z, ζ)dζ

si deoarece z 6= ζ (z nu se afla pe γ), se deduce ca g este indefinit derivabilaın raport cu variabila z iar

∂ng(z, ζ)∂zn

=n!2πi

f(ζ)(ζ − z)n+1

si deci cum

f (n)(z) =dn

dzn

∫

γg(z, ζ)dζ =

∫

γ

∂ng(z, ζ)∂zn

dζ

rezulta egalitatea:

f (n)(z) =n!2πi

∫

γ

f(ζ)(ζ − z)n+1

dζ, n = 1, 2, 3, ... (1.52)

care defineste derivatele de orice ordin ale functiei diferentiabile f ın oricepunct z ∈ G. In consecinta, o functie f : G → C, diferentiabila ın G va fiautomat o functie indefinit derivabila ın G, derivatele de orice ordin ale lui fputand fi calculate cu ajutorul formulelor (1.52).


Formula integrala (1.50) a fost obtinuta ın ipoteza z ∈ D, unde D esteinteriorul curbei γ. Deoarece din (1.51) se observa ca functia g(z, ζ) estedefinita ın C \ (γ) ın raport cu variabila z, rezulta notand

I(z) =1

2πi

∫

γ

f(ζ)ζ − z

dζ, (1.53)

I este definit de asemeni ın C \ (γ) si vom avea

I(z) =1

2πi

∫

γ

f(ζ)ζ − z

dζ =

f(z), daca z ∈ D0 , daca z ∈ CD (1.54)

Intr-adevar, egalitatea I(z) = f(z) pentru z ∈ D este transcrierea formuleiintegrale Cauchy (1.50) iar egalitatea I(z) = 0 pentru z ∈ CD este transcriereaformulei (1.24), care este aplicabila deoarece functia f(ζ)

ζ−z este diferentiabila ınD.

Daca z ∈ D, integrala din (1.50) trebuie interpretata ca o integrala impro-prie, ın sensul valorii principale Cauchy.

In particular, (1.50) este valabila daca (γ) este cercul |ζ − z| = r, cur suficient de mic, astfel ıncat γ ⊂ G. Deoarece ın acest caz, se deduceζ = z + reit, 0 ≤ z ≤ 2π, dζ = rieitdt, se deduce egalitatea:

f(z) =12π

∫ 2π

0f(z + reit)dt (1.55)

care poate fi interpretata ca o formula de medie, ıntrucat integrala din membrudrept este media functiei f pe cercul |ζ − z| = r.

Asadar, pentru orice functie f diferentiabila ın G, daca cercul |ζ − z| = reste inclus ın G, atunci media lui f pe orice cerc centrat ın z si inclus ın Geste egala cu valoarea lui f ın centrul cercului.

Formulele (1.40), (1.41) si (1.52) pot fi utilizate ın diverse situatii. Vomconsidera mai ıntai unele aplicatii ın calculul unor integrale curbilinii din C.

Exemple. 1o Sa se arate ca:

I =∫

|z−i|=R

dz

(z − 1)(z + 2)=

0, daca 0 < R <√

223πi , daca

√2 < R <

√5

0, daca√

5 < R

Din Fig.1.7 se deduc trei cazuri diferite, ın functie de valorile posibile pentruR.

Daca 0 < R <√

2, ın cercul |z − i| = R functia f(z) = 1(z−1)(z+2) este

diferentiabila, deci conform cu formula (1.40) avem I = 0.


Fig. 1.7:

Daca√

2 < R <√

5, se poate scrie

I =∫

|z−i|=R

dz

(z − 1)(z + 2)=

∫

|z−i|=R

1ζ+2

ζ − 1dζ

si comparand cu (1.50) avem f(ζ) = 1ζ+2 , z = 1, deci I = 2πif(1) = 2πi

3 .Daca

√5 < R, ın cercul |z − i| = R functia f(z) = 1

(z−1)(z+2) nu estediferentiabila ın punctele z = 1 si z = −2 scriind

f(z) =1

(z − 1)(z + 2)=

13

z − 1−

13

z + 2

avemI =

13

∫

|z−i|=R

dz

z − 1− 1

3

∫

|z−i|=R

dz

z + 2

si aplicand (1.50) de doua ori gasim

I = 2πi13− 2πi

13

= 0.

2o Sa calculam integrala∫

(γ)

f(z)z2 + pz + q

dz,

unde f este o functie olomorfa ın domeniul D in care ((γ) = ∂G, G ⊂ D iarp, q ∈ C.

Sa presupunem ca z1 si z2 sunt zerourile polinomului z2 + pz + q, deciz2 + pz + q = (z − z1)(z − z2), z1 6= z2 iar z1, z2 ∈ D. Sunt posibile treisituatii:


I:z1, z2 ∈ C \ G atunci functia f(z)z2+pz+q

va fi o functie olomorfa ın G siconform cu (1.24) avem

∫

(γ)

f(z)z2 + pz + q

dz = 0

II:z1 ∈ G, z2 ∈ C \ G atunci functia f(z)z−z2

va fi olomorfa ın G si conformcu (1.50) vom obtine

∫

(γ)

f(z)dz

z2 + pz + q=

∫

(γ)

f(z)dz

(z − z1)(z − z2)=

∫

(γ)

f(z)z−z2

dz

(z − z1)= 2πi

f(z)z − z2

|z=z1 = 2πif(z1)

z1 − z2

Daca z2 ∈ G, z1 ∈ C \G atunci se procedeaza analog si vom avea

∫

(γ)

f(z)dz

z2 + pz + q=

∫

(γ)

f(z)dz

(z − z1)(z − z2)=

∫

(γ)

f(z)z−z1

dz

(z − z2)= 2πi

f(z)z − z1

|z=z2 = 2πif(z2)

z2 − z1

III:z1 ∈ G, z2 ∈ G atunci vom scrie 1(z−z1)(z−z2) = 1

z1−z2( 1

z−z1− 1

z−z2) si

deci:∫

(γ)

f(z)dz

z2 + pz + q=

1z1 − z2

∫

(γ)

f(z)dz

z − z1− 1

z1 − z2

∫

(γ)

f(z)dz

z − z2

si aplicand de doua ori formula (1.50) gasim:∫

(γ)

f(z)dz

z2 + pz + q=

2πi

z1 − z2f(z1)− 2πi

z1 − z2f(z2) = 2πi

f(z1)− f(z2)z1 − z2

IV: Daca avem z1 = z2 ∈ G, atunci se poate aplica formula integrala (1.52)cu n = 1 si deci se va obtine

∫

(γ)

f(z)dz

z2 + pz + q=

∫

(γ)

f(z)dz

(z − z1)2= 2πif ′(z)|z=z1 = 2πif ′(z1)

Acest rezultzt se mai poate obtine din cazul III anterior, prin trecere la limita,cand z2 → z1.

Daca z1 sau z2 se afla pe (γ), calculele anterioare nu mai sunt valabile.3o Sa calculam integrala

∫

(γ)

f(z)(z2 + pz + q)n

dz,

unde f(z), p, q, n sunt date la fel ca ın exemplul 2o


I:z1, z2 ∈ C \ G atunci functia f(z)(z2+pz+q)n va fi o functie olomorfa ın G si

conform cu (1.24) avem∫

(γ)

f(z)(z2 + pz + q)n

dz = 0

II:z1 ∈ G, z2 ∈ C \G atunci functia f(z)(z−z2)n va fi olomorfa ın G si conform

cu (1.50) vom obtine

∫

(γ)

f(z)(z2 + pz + q)n

dz =∫

(γ)

f(z)(z−z2)n

(z − z1)ndz = 2πi(n− 1)!

dn−1

dzn−1[

f(z)z − z2

]z=z1

III:z1 ∈ G, z2 ∈ G se va descompune 1(z−z1)n(z−z2)n ın fractii simple

1(z − z1)n(z − z2)n

=A1

z − z1+

A2

(z − z1)2+ ... +

An

(z − z1)n+

B1

z − z2+

+B2

(z − z2)2+ ... +

Bn

(z − z2)n=

n∑

j=1

[Aj

(z − z1)j+

Bj

(z − z2)j]

In continuare, aplicand aceleasi formule, gasim

∫

(γ)

f(z)(z2 + pz + q)n

dz =n∑

j=1

[Aj

∫

(γ)

f(z)dz

(z − z1)j+ Bj

∫

(γ)

f(z)dz

(z − z2)j] =

= 2πin∑

j=1

[Aj(j − 1)!f (j−1)(z1) + Bj(j − 1)!f (j−1)(z2)]

IV: Daca avem z1 = z2 ∈ G, atunci se obtine ın acelasi mod∫

(γ)

f(z)(z2 + pz + q)n

dz =∫

(γ)

f(z)dz

(z − z1)2n= 2πi(2n− 1)!f (2n−1)(z1)

4o Sa se stabileasca egalitatile de mai jos:∫

|z|=2

cosh zdz

(z + 1)3(z − 1)=

π

2ei;

∫

|z|=1

cos zdz

z3= −πi

∫

|z|=1

sinh2 zdz

z3= πi;

∫

|z−1|=1

sin π4 zdz

(z − 1)2(z − 3)=

π√

2(π + 2)8i

∫

|z|=2

z sinh z

(z2 − 1)2dz = 0;

∫

|z−3|=6

zdz

(z − 2)3(z + 4)=

π

27i


∫

|z−2|=3

cosh eiπz

z2(z − 4)dz = −π2

2sinh 1;

∫

|z|= 12

1− sin z

z2dz = −2πi

∫

|z−2|=1

e1z

(z2 + 4)2dz =

3π√

e

32i;

∫

|z|= 12

cos πz+1

z3dz = π2

∫

|z−1|= 12

eiz

(z2 − 1)2dz = − i + 1

2ei

1.6 Serii Taylor si Laurent

1.6.1 Dezvoltarea ın serie Taylor a functiilor diferentiabile

In consideratiile anterioare s-a dedus ca daca f este diferentiabila intr-un domeniu D ⊂ C, atunci f ∈ C∞(D). Cu ajutorul formulei integraleCauchy (1.50) se poate arata imediat ca f este dezvoltabila ın serie Taylorın vecinatatea oricarui punct z0 ∈ D. Fie γr curba |z − z0| = r, cu r suficient

Fig. 1.8:

de mic astfel ıncat γr ∩ ∂D = ∅. Conform cu (1.50) avem

f(z) =1

2πi

∫

γr

f(ζ)ζ − z

dζ

Scriind ζ−z = (ζ−z0)−(z−z0), din Fig1.8 se deduce |ζ−z0| = r, |z−z0| < rsi deci

|z − z0

ζ − z0| < 1

adica seria geometrica

∞∑

n=0

(z − z0

ζ − z0)n = 1 + (

z − z0

ζ − z0) + (

z − z0

ζ − z0)2 + ...

1.6. SERII TAYLOR SI LAURENT 37

avand ratia z−z0ζ−z0

este convergenta uniform catre 1

1− z−z0ζ−z0

deci

f(z) =1

2πi

∫

γr

f(ζ)dζ

ζ − z=

12πi

∫

γr

f(ζ)dζ

(ζ − z0)− (z − z0)=

12πi

∫

γr

f(ζ)ζ − z0

dζ

1− z−z0ζ−z0

=

=1

2πi

∫

γr

f(ζ)ζ − z0

[∞∑

n=0

(z − z0

ζ − z0)n]dζ =

∞∑

n=0

(z − z0)n 12πi

∫

γr

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1

Inversarea operatiei de integrare cu operatia de ınsumare fiind permisa ın bazauniform convergentei seriei geometrice. Prin urmare:

f(z) =∞∑

n=0

f (n)(z0)n!

(z − z0)n (1.56)

deoarece din (1.52) se deduce

12πi

∫

γr

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1=

1n!

f (n)(z0)

seria (1.56) fiind convergenta (uniform si absolut) pentru |z − z0| < r <d(z0, ∂D) unde d(z0, ∂D) este distanta de la punctul z0 la frontiera lui D,adica d(z0, ∂D) = inf|z0 − z| | z ∈ D.

Din dezvoltarea (1.56) se deduce ca orice functie diferentiabila ıntr-undomeniu simplu conex D este dezvoltabila ın serie de puteri

f(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n, an =f (n)(z0)

n!(1.57)

reaza de convergenta R fiind egala cu d(z0, ∂D), deci este o functie olomorfasau analitica ın D.

Daca D = C, functia f se numeste ıntreaga (aici R = +∞ si z0 poate fiorice numar complex; de preferinta se alege z0 = 0).

Vom da o teorema de interes deosebit ın algebra:Teorema lui Liouville: Daca f : C → C este o functie ıntreaga si

marginita in C atunci f este consranta.d Din (1.52) pentru n = 1 gasim

f ′(z) =1

2πi

∫

γ

f(ζ)dζ

(ζ − z)2

unde γ poate fi orice curba Jordan rectificabila si ınchisa din C cate continez la interior. Luand, ın particular cercul |ζ − z| = R cu R suficient de mare,deci ζ = z + Reit, 0 ≤ t ≤ 2π gasim

f ′(z) =1

2πR

∫ 2π

0f(z + Reit)e−itdt


deci

|f ′z)| ≤ 12πR

∫ 2π

0|f(z + Reit)|dt ≤ M

R

daca |f(ζ)| ≤ M, ζ ∈ C. Pentru R → ∞, gasim |f ′(z)| ≤ 0, deci f ′(z) = 0,adica f este o constanta.c

O consecinta directa a teoremei lui Liouville este teorema fundamentala aalgebrei:

Orice polinom

p(z) = a0 + a1z + a2z2 + ... + anzn, n ≥ 1

cu coeficienti complecsi admite cel putin un zero z0 ∈ C, adica p(z0) = 0.Intr-adevar, daca n-ar fi asa, am avea p(z) 6= 0, z ∈ C deci cum p

este diferentiabila ın C, functia 1p ar fi diferentiabila ın C, deci este o functie

ıntreaga. Cum 1p(z) → 0 cand z → ∞, avem | 1

p(z) | ≤ M, z ∈ C si teoremalui Liouville arata ca 1

p(z) = c0 ∈ C, adica p(z) = 1c0∈ C ceea ce contrazice

ipoteza n ≥ 1.

1.6.2 Dezvoltari ın serie Laurent

In calculele din punctul anterior s-a presupus diferentiabilitatea functieif ın fiecare punct din D. Acum vom face ipoteza ca f este uniforma sidiferentiabila ın D \ z0 si vom demonstra urmatorul rezultat:

Teorema Laurent: Orice functie f , uniforma si diferentiabila ın inelulcircular r < |z − z0| < R este dezvoltabila ın acest inel ın serie Laurent

f(z) =+∞∑

n=−∞an(z − z0)n (1.58)

ın care coeficientii an sunt definiti cu ajutorul egalitatilor

an =1

2πi

∫

γ

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1, n = 0,±1,±2, ... (1.59)

γ fiind o curba simpla rectificabila si ınchisa situata ın inelul considerat.Fie z astfel ıncat |z − z0| = ρ, r < ρ < R. Conform cu formula integrala

Cauchy, vom putea scrie

f(z) =1

2πi

∫

|ζ−z0|=R′

f(ζ)dζ

ζ − z− 1

2πi

∫

|ζ−z0|=r′

f(ζ)dζ

ζ − z

unde r < r′ < ρ < R′ < R (aplicand procedeul din Fig1.3, b) si vom cal-cula separat cele doua integrale, dupa modelul utilizat ın 1.6.1 la deducerea


Fig. 1.9:

dezvoltarii ın serie Taylor pentru f . Cum (cand γ este cercul |ζ − z0| = R′)|ζ − z0| < R′,

12πi

∫

|ζ−z0|=R′

f(ζ)dζ

ζ − z=

12πi

∫

|ζ−z0|=R′

f(ζ)dζ

(ζ − z0)− (z − z0)=

=∞∑

n=0

(z − z0)n[1

2πi

∫

|ζ−z0|=R′

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1] =

∞∑

n=0

an(z − z0)n

Daca ζ este pe cercul |ζ − z0| = r′, avem |z − z0| > r′ iar |ζ−z0||z−z0| < 1, deci

12πi

∫

|ζ−z0|=r′

f(ζ)dζ

ζ − z= − 1

2πi

∫

|ζ−z0|=r′

f(ζ)dζ

(z − z0)− (ζ − z0)=

= − 12πi

∫

|ζ−z0|=r′

f(ζ)z − z0

1

1− ζ−z0

z−z0

dζ = − 12πi

∫

|ζ−z0|=r′

f(ζ)z − z0

[∞∑

n=0

(ζ − z0

z − z0)]dζ =

=∞∑

n=0

(z − z0)−n−1[1

2πi

∫

|ζ−z0|=r′(ζ − z)nf(ζ)dζ] =

∞∑

n=0

a−n−1(z − z0)−n−1 =

=a−1

z − z0+

a−2

(z − z0)2+ ... +

a−n

(z − z0)n+ ... =

−1∑n=−∞

an(z − z0)n

Revenind la f , se obtine dezvoltarea (1.58), cu

an =1

2πi

∫

|ζ−z0|=R′

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1=

12πi

∫

γ

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1, n = 0, 1, 2, ...


ultima egalitate fiind posibila datorita consecintei I de la punctul 1.4 iar

an =1

2πi

∫

|ζ−z0|=r′(ζ−z0)n+1f(ζ)dζ =

12πi

∫

γ(ζ−z0)n+1f(ζ)dζ, n = −1,−2, ...

si deci se obtin egalitatile (1.59) ın ultima egalitate intervenind aceeasi consecintaca si mai sus.c

Exemple.1o Functia

f(z) =1

(z − 1)(z − 2)

este uniforma ın C \ 1, 2 si este diferentiabila ın inelul circular 1 < |z| < 2(este de asemeni diferentiabila pentru |z| < 1 si |z| > 2).

Pentru |z| > 1, avem:

1z − 1

=1

z(1− 1z )

=1z(1 +

1z

+1z2

+ ...) =∞∑

n=0

1zn+1

iar pentru |z| < 2,

1z − 2

= −12

11− z

2

= −12

∞∑

n=0

(z

2)n = −

∞∑

n=0

zn

2n+1

Cum pentru z ∈ C \ 1, 2avem

1(z − 1)(z − 2)

=1

z − 2− 1

z − 1,

se deduce dezvoltarea Laurent (1 < |z| < 2)

f(z) = −∞∑

n=0

zn

2n+1−

∞∑

n=0

1zn+1

= ...− 1zn− 1

zn−1−...− 1

z− 1

2− z

4−...− zn

2n+1−...

Daca |z| < 1, f(z) este diferentiabila si se deduce dezvoltarea Taylor:

f(z) =∞∑

n=0

(1− 12n+1

)zn, |z| < 1

iar daca |z| > 2, f(z) este de asemeni diferentiabila si din calculele anterioarese deduce nu o dezvoltare Taylor ci dezvoltarea

f(z) =∞∑

n=2

(2n−1 − 1)1zn

, |z| > 2


2o. Sa gasim dezvoltarea ın serie Laurent ın ipoteza z0 = 1 (ın primulexemplu s-a presupus z0 din (1.58) egal cu zero ). In acest caz trebuie luateın consideratie doua domenii:

Mai ıntai cercul |z − 1| < 1 din care se exclude z = 1 (pentru z = 1, f(z)este discontinua, iar daca |z − 1| = 1, pe acest cerc se afla punctul z = 2,care este un punct de discontinuitate pentru f(z) ) si apoi exteriorul cercului|z−1| = 1 (pe acest cerc se afla punctul z = 2 ın care f nu este diferentiabila).

In primul caz, deoarece

f(z) =1

(z − 1)(z − 2)=

1z − 2

− 1z − 1

s-a obtinut unul din termenii dezvoltarii cautate si anume − 1z−1 ce corespunde

lui n = −1 deci a−1 = −1 si ramane de dezvoltat functia 1z−2 (va fi vorba de

o dezvoltare Taylor):

1z − 2

= − 11− (z − 1)

= −[1 + (z − 1) + (z − 1)2 + ... + (z − 1)n + ...]

si deci dezvoltarea Laurent cautata va fi

f(z) = − 1z − 1

− 1− (z − 1)− (z − 1)2 − ...− (z − 1)n − ..., 0 < |z − 1| < 1

deci

a−1 = a0 = a1 = ... = an = ... = −1; a−2 = a−3 = ... = a−n = ... = 0

In domeniul |z − 1| > 1, se va obtine o dezvoltare de forma:

a−1

z − 1+

a−2

(z − 1)2+ ...

scriind

1z − 2

=1

(z − 1)− 1=

1z − 1

11− 1

z−1

=1

z − 1[1 +

1z − 1

+1

(z − 1)2+ ...]

si deci

f(z) =1

(z − 1)2+

1(z − 1)3

+ ... +1

(z − 1)n+ ... |z − 1| > 1.

Daca functia f s-a dezvoltat ın serie Laurent ın vecinatatea punctuluiz = z0 (ın care f nu este diferentiabila, dar este diferentiabila si uniformaın orice punct din vecinatatea acestui punct), scriind

f(z) = f1(z) + f2(z),


f1(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n, f2(z) =−∞∑

n=−1

an(z − z0)n

atunci f1 se numeste partea Tayloriana a dezvoltarii Laurent (1.58) iar f2 (carecontine toate puterile ıntregi negative ale lui z−z0 ) se numeste patrea principalaa dezvoltarii Laurent (1.58).

Exercitii. Sa se deduca egalitatile urmatoare:

1. 1z2+1

=∞∑

n=0

2−n+1

2 sin[(n + 1)3π

4](z − 1)n, daca |z − 1| < √

2

R. Se scrie 1z2+1

= 12i(

1z−i − 1

z+i) si pentru |z − 1| < √2

1z − i

= − 1i− 1

11− z−1

i−1

= −∞∑

n=0

(i− 1)−n−1(z − 1)n

1z − i

= − 1−i− 1

11− z−1

−i−1

= −∞∑

n=0

(−i− 1)−n−1(z − 1)n

2. 1z2+1

=∞∑

n=1

(−1)n2n−1

2 sin[(n− 1)π

4](z − 1)−n, daca |z − 1| > √

2

3. z cos( 12z+1) = −1

2

∞∑

k=0

(−1)k 2−2k

(2k)!(z+

12)−2k +

∞∑

k=0

(−1)k 2−2k

(2k)!(z+

12)1−2k,

0 < |z +12| < ∞

R. Se scrie z = −12 + (z + 1

2),

cos( 12z+1) = cos(1

21

z+ 12

) =∞∑

k=0

(−1)k

22k(2k)!(z+

12)−2k si se efectuiaza ınmultirea.

4. 1(z−a)(z−b) = 1

(a−b)b(1+ zb + z2

b2+...)+ 1

a−b(1z + a

z2 + a2

z3 +...), |a| < |z| < |b|,1

(z−a)(z−b) = 1z2 + a2−b2

a−b1z3 + a3−b3

a−b1z4 + ... + an−1−bn−1

a−b1zn + ..., |z| > |b| > |a|,

1(z−a)(z−b) = − 1

(a−b)2+ z−a

(a−b)3− (z−a)2

(a−b)4+ ... + 1

a−b1

z−a , |z − a| < |b| − |a|5. sin( 1

1−z ) = −1z − 1

z2 − 56z3 − 1

2z4 − ..., |z| > 1

6. z−4[cos(z)− 1] = − 12z2 +

∞∑

n=0

(−1)n z2n

(2n + 4)!, 0 < |z| < ∞.

1.6.3 Zerourile functiilor diferentiabile. Prelungirea analitica

Vom presupune f uniforma si diferentiabila ın domeniul simplu conex D.Daca pentru z0 ∈ D se verifica relatiile:

f(z0) = 0, f ′(z0) = 0, ..., f (k−1)(z0) = 0, f (k)(z0) 6= 0, k ≥ 1 (1.60)


atunci z0 se numeste zero multiplu de ordin k al functiei f . Pentru k = 1zeroul se numeste simplu.

Tinand cont de dezvoltarea Taylor (1.56) valabila ın orice punct din D,daca z0 verifica (1.60) se deduce

f(z) = f(z0)+z − z0

1!f ′(z0)+ ...+

(z − z0)k−1

(k − 1)!f (k−1)(z0)+

(z − z0)k

(k)!f (k)(z0)+

+(z − z0)k+1

(k + 1)!f (k+1)(z0) + ... = (z − z0)k[

1k!

f (k)(z0) +z − z0

(k + 1)!f (k+1)(z0) + ...]

si decif(z) = (z − z0)kg(z) (1.61)

notandg(z) =

1k!

f (k)(z0) +z − z0

(k + 1)!f (k+1)(z0) + ... (1.62)

decig(z0) =

1k!

f (k)(z0) 6= 0

din (1.62) se deduce ca g este diferentiabila ın vecinatatea lui z0, deoarece f(z)scris sub forma (1.61) are aceasta proprietate, ceea ce antreneaza convergentaseriei din (1.62) pentru cel putin un z1 6= z0 si prin urmare seria va fi absolutuniform convergenta pentru |z − z0| < |z1 − z0|.

Reciproc, din (1.61) rezulta usor, prin derivari succesive ca se verifica (1.60)daca g(z0) 6= 0 (avem f (k)(z0) = k!g(z0) 6= 0) si deci pentru ca o functiediferentiabila ın D sa admita z = z0 ∈ D ca zero multiplu de ordin k estenecesar si suficient ca dezvoltarea Taylor centrata ın z0 sa se scrie sub forma(1.61) cu g diferentiabila si nenula ın z0.

Din consideratiile de mai sus se deduce ca functiile nenule diferentiabileın D nu pot avea decat zerouri avand multiplicitate finita, adica ıntotdeaunak ∈ N, deoarece daca am avea k = ∞ ar rezulta f (k)(z0) = 0, k = 0, 1, 2, ...deci f(z) = 0 ın vecinatatealui z0. De asemeni zerourile lui f formeaza ın D omultime izolata de puncte, adica ın discul |z−z0| < r, cu r > 0 suficient de micnu pot existe alte zerouri ale lui f (ın caz contrar, daca f(z1) = 0, |z0−z1| < rdin (1.61), deoarece z1 6= z0, se deduce g(z1) = 0, dar cum g(z0) 6= 0, ın bazacontinuitatii functiei |g(z)|, neaparat |g(z)| > 0 pentru |z− z0| < ε, cu ε > 0).

In acest mod, zerourile unei functii nenule diferentiala ın D nu pot aveapuncte de acumulare decat pe ∂D. Daca multimea Z ⊂ D a zerourilor lui far avea o infinitate de zerouri ın D cu puncte de acumulare ın D, este usorde aratat ca f este nula ın vecinatatea acestui punct de acumulare. Pentruacasta, fie un sir (xn)n∈N din Z care converge catre punctul de acumularez0 ∈ D; ın baza continuitatii lui f , din f(zn) = 0 se deduce

limn→∞ f(zn) = f( lim

n→∞ zn) = f(z0) = 0


si deci dezvoltarea Taylor ın vecinatatea lui z0 se scrie

f(z) = ap(z − z0)p + ap+1(z − z0)p+1 + ... p ≥ 1

(caci a0 = f(z0) = 0) daca ap este primul coeficient nenul al dezvoltarii Taylor.Scriind f(zn) = 0, avem:

(zn − z0)p[ap + ap+1(zn − z0) + ap+2(zn − z0)2 + ...] = 0

si simplificand cu (zn − z0)p 6= 0 (avem zn 6= z0) se obtine

ap + ap+1(zn − z0) + ap+2(zn − z0)2 + ... = 0

seria fiind convergenta. Prin trecere la limita, pentru n → ∂, se gaseste ap = 0.Deci nu exista un prim coeficient nenul al dezvoltarii Taylor ın discutie, adicaf(z) = 0 ın vecinatatea unui punct de acumulare de zerouri.

Rezultatele anterioare se pot completa ın modul urmator: Daca f estediferentiabila ın domeniul simplu canex D si este nula ıntr-un disc de razar > 0 (r oricat de mic), atunci f este nula ın orice alt punct z1 din D. Pentrua justifica aceasta afirmatie, se considera un drum contnuu γ din D care unestez0 cu z1 si un numar finit de discuri avand centrele pe γ si aprtinand disculuianterior.

Fig. 1.10:

Cum ın primul disc f este nula, va fi nula si in portiunea comuna celordoua discuri si cum aceasta portiune comuna contine o infinitate de zerouricu punct de acumulare ın al doilea disc, f va fi deci nula ın acest ultim disc.Continuand acest procedeu, ajungem la concluzia ca f(z1) = 0.

Aceste rezultate sunt deosebit de importante ın teoria functiilor diferentiabilede variabila complexa z. Astfel, daca f1 : D → C, f2 : D → C, daca exista omultime G din D, avand punct de acumulare ın G si daca f1(z) = f2(z), z ∈


G ⊂ D, atunci f1(z) = f2(z), z ∈ D (deoarece g = f1 − f2 este diferentiabilaın D si nula pe multimea G, deci va fi nula pe ıntreaga multime de definitie).

In acest mod, daca f1 : D1 → C, f2 : D2 → C, f1(z) = f2(z), z ∈ Gunde G = D1 ∩D2, G fiind o multime cu punct de acumulare ın G, atunci sepoate defini o singura functie f pe D1 ∪ D2, f : D1 ∪ D2 → C

f(z) =

f1(z), daca z ∈ D1

f2(z), daca z ∈ D2

care se numeste prelungirea analitica a lui f1 la D2 (sau prelungirea analiticaa lui f2 la D1) care va fi diferentiabila pe D1 ∪ D2.

Sa consideram cateva aplicatii:I. Daca f : C→ C, g : R→ R sunt astfel ıncat

f(x) = g(x), x ∈ R

si daca ın plus f este diferentiabila pe C, atunci orice alta functie h analiticape C care coincide cu g pe axa reala va coincide cu f : h = f .

Astfel, functia exp(z) coincide pe R cu exp(x) iar daca h este analitica peC iar h(x) = ex, x ∈ R, atunci h(z) = exp(z) = ez.

II. Daca f(z) este diferentiabila ın C si este nula pe R (sau pe un in-terval oarecare al axei reale), atunci f(z) = 0, z ∈ C. Aceasta observatiesimpla poarta numele de principiul permanentei relatiilor analitice si permiteextindereaunor formule ın real, la valori complexe ale variabilei.

De exemplu, fie f(z) = cos2(z)+sin2(z)−1. Daca x ∈ R, avem f(x) = 0 sicum cos2(z) + sin2(z)− 1 este o functie diferentiabila ın C, pentru orice z ∈ Cavem ın mod obligatoriu

cos2(z) + sin2(z) = 1,

deci formula fundamentala a trigonometriei este valabila si ın complex (ceeace se poate demonstra si direct, din formulele lui Euler pentru cos si sin).

In acest mod, toate formulele trigonometrice, demonstrate pentru x ∈ R,raman valabile cand se ınlocuieste x cu z ∈ C ın toate punctele din C ın careformula defineste functii diferentiabile.

III. Fie (xn)n∈N un sir din R, 0 < xn < 1, limn→∞xn = 0 si fie f : D→ C, D

fiind discul unitate din C, f diferentiabila ın D si astfel ıncat

f(−xn) = f(xn) = xn

sa aratam ca nu poate exista o astfel de functie f .Intr-adevar, f1(z) = z, este astfel ıncat f1(xn) = xn si cum sirul (xn)n∈N

este convergent catre zero (care este un punct de acumulare pentru multimeaformata din elementele sirului dat ) rezulta ca functia cautata va coincide cu


f1; dar f1(−xn) = −xn 6= xn iar aceasta contradictie conduce la inexistentaunei functii diferentiabile cu proprietatile cerute.

IV. Daca f(z) = sin(z), avem f(nπ) = 0, deci functia sin se anuleaza de oinfinitate de ori ın C, dar deoarece sirul (nπ)n∈Z nu are punct de acumulare ladistanta finita(adica ın C ) nu se poate conchide ca f(z) = 0, z ∈ C; ın plus,exista oricat de multe functii diferentiabile ın C astfel ıncat f(nπ) = 0, n ∈ Z,cum ar fi de exemplu functiile sin2(z), sin3(z), ...

IV. Sa notam prin f(z) suma seriei∞∑

n=0

zn, deci f(z) = 1 + z + ... + zn +

... raza de convergenta fiind egala cu unitatea, f va fi diferentiabila (deciolomorfa) pentru |z| < 1 suma ei fiind egala cu 1

1−z deci

f(z) =1

1− zdaca |z| < 1

In afara cercului |z| = 1 seria∞∑

n=0

zn este divergenta, deci f(z) nu poate fi

definita pentru |z| > 1; dar functia

f1(z) =1

1− z

este definita si diferentiabila ın C \ 1 si cum f1(z) = f(z) pentru |z| < 1,rezulta ca functia f1 este prelungirea analitica a functiei f ın planul complexC din care se excepteaza z = 1.

1.7 Singularitatile izolate ale functiilor uniforme

Fie f uniforma si diferentiabila ın vecinatatea punctului z0, exceptandeventual punctul z0. Altfel spus, f este uniforma si analitica pentru z ∈ D, Dfiind inelul 0 < |z − z0| < r, r > 0 si ın consecinta este valabila dezvoltareaLaurent:

f(z) =+∞∑

n=−∞an(z−z0)n = ...+a−n(z−z0)−n+...+a−1(z−z0)−1+a0+a1(z−z0)+...

(1.63)ın care coeficientii an, n ∈ Z, pot fi calculati cu ajutorul integralelor

an =1

2πi

∫

(γ)

f(ζ)dζ

(ζ − z0)n+1, n ∈ Z (1.64)

In acest caz vom conveni sa spunem ca z0 este un punct singular (sau caf are singularitate ın z0) al functiei f . Aceste puncte se obtin cautand aceiz ∈ C pentru care sau f nu este definita sau ın care f nu este diferentiabila.

1.7. SINGULARITATILE IZOLATE ALE FUNCTIILOR UNIFORME 47

De exemplu, daca

f(z) =e

1z cos( 1

1−z )z2 + 1

singularitatile lui f sunt z = 0 (de la e1z ), z = 1 (din cauza functiei cos) si ±i

(din cauza numitorului z2 + 1).Se pot ıntampla trei situatii:a) Partea principala a dezvoltarii Laurent are toti coeficientii nuli, adica

a−1 = a−2 = ... = a−n = ... = 0

aceasta nu ınseamna ca f este analitica ın punctul z = z0, deoarece ın punctulz = z0, prin definitie f nu este diferentiabila. In acest caz se spune ca z = z0

este un punct singular aparent sau eliminabil pentru f .b) Partea principala a dezvoltarii Laurent are numai un numar finit de

termeni nenuli, adica

a−m 6= 0, a−m−1 = a−m−2 = ... = 0

coeficientii a−1, a−2, ..., a−m+1 putand fi nuli sau nu. In acest caz punctulsingular z0 este un pol pentru f .

c) Partea principala a dezvoltarii Laurent are o infinitate de termeni nenuli,cand se spune ca z0 este un punct singular esential pentru f .

Sa analizam si sa caracterizam pe scurt aceste situatii.Sa presupunm f : C \ 0, 1 → C,

f(z) =ez − 1

z(1− z),

scriind f(0) = α, f(1) = β, α, β ∈ C, functia data va fi definita pe C iarcum ez − 1 = z + z2

2! + ..., 11−z = 1 + z + z2 + ... dezvoltarea Laurent ın

vecinatatea originii va fi:

f(z) =ez − 1

z

11− z

= (1 +z

2!+

z2

3!+ ...)(1 + z + z2 + ...) = 1 +

32z +

53z2 + ...

cu |z| < 1, z 6= 0. Asadar, cum aceasta dezvoltare nu are puteri negativepentru z, punctul z = 0 este un punct singular aparent; deoarece z 6= 0, |z| <1, s-a obtinut o serie de puteri, aceasta va defini o functie diferentiabila g ıncercul |z| < 1

g(z) = 1 +32z +

53z2 + ...

iar g(0) = 1. Daca α (α = f(0)) este egal cu g(0) (adica daca α = 1) fdevine diferentiabila si pentru z = 0, deci ın acest punct f nu va admite nici


o singularitate (acesta este si motivul pentru care acest tip de singularitatipoarta numele de singularitati aparente sau eliminabile; daca α 6= 1, punctulz = 0 este efectiv un punct ın care f nu este diferentiabila).

In vecinatatea punctului z = 1 putem scrie:

ez = e(z−1)+1 = ez−1e = [1 +z − 1

1!+

(z − 1)2

2!+ ...]e, |z − 1| < ∞

1z

=1

(z − 1) + 1=

11− (1− z)

= 1 + (1− z) + (1− z)2 + ..., |1− z| < 1

si deci

f(z) = −e1

z − 1[1 + (1− z) + (1− z)2 + ...][1 +

z − 11!

+(z − 1)2

2!+ ...] =

=−e

z − 1− e

2(z − 1) + ..., |z − 1| < 1

adica existand termenul (z − 1)−1 pentru dezvoltarea Laurent ın vecinatatealui z = 1, acest punct singular este un pol.

Teorema marginirii. Daca f este diferentiabila si uniforma ın inelul0 < |z − z0| < r, atunci z0 va fi un punct singular aparent daca si numai dacaf este marginita ın vecinatatea lui z0.

d Conditia este necesara: daca punctul singular z = z0 este aparent atunciare loc dezvoltarea Laurent:

f(z) = a0 + a1(z − z0) + a2(z − z0)2 + ... + an(z − z0)n + ...

pentru z 6= z0, |z − z0| < ε; cum seria aceasta de puteri defineste pentru|z − z0| < r, inclusiv z = z0, o functie diferentiabila, aceasta va fi continua,deci marginita ın vecinatatea lui z0. Cum f(z0) poate sa fie diferit de a0,dar ın orice caz f(z0) ∈ C, f va ramane marginita ın vecinatatea punctuluisingular.

Conditia este suficienta: fie deci |z − z0| < ε vecinatatea punctului z0 ıncare f este marginita; cum z = z0 este un punct singular, are loc dezvoltareaLaurent (1.63) si sa aratam ca a−1 = 0, a−2 = 0, ... Or din (1.64) rezulta

|an| = 12π|∫

|z−z0|=δ

f(ζ)(ζ − z0)n+1

dζ| ≤ 12π

∫ 2π

0

|f(z0 + δeit)|δn

dt ≤ Mδ−n,

n = −1,−2, ... folosind marginirea lui f : |f(ζ)| ≤ M rezulta ca a−1, a−2, a−3, ...sunt arbitrari de mici, fiind majorati respectiv Mδ, M2δ, M3δ, ... si cuma−1, a−2, a−3, ... sunt constante neaparat a−1 = a−2 = a−3 = ... = 0, deciz = z0 este un punct singular aparent. c


Prin urmare teorema marginirii arata ca daca ın vecinatatea unui punct z0

ın care f este (exceptand z0) diferentiabila si uniforma, ramanand marginita ınacel punct, atunci se poate defini f ın z0 astfel ıncat f sa devina diferentiabilaın ıntreaga vecinatate.

Trecand la cazul punctului singular z0 de tip pol, din definitie se deducedezvoltarea Laurent

f(z) =a−m

(z − z0)m+ ...

a−1

z − z0+ a0 + a1(z − z0) + ... + an(z − z0)n + ...,

a−m 6= 0 valabila pentru 0 < |z − z0| < r, r > 0; aceasta dezvoltare se scriesub forma:

f(z) =a−m + a−m+1(z − z0) + ... + a−1(z − z0)m−1 + a0(z − z0)m + ...

(z − z0)m=

g(z)(z − z0)m

m ∈ Ng(z) = a−m +a−m+1(z−z0)+ ...+a−1(z−z0)m−1 +a0(z−z0)m + ..., a−m 6= 0

Rezulta ca g va admite punctul z0 ca punct singular aparent, deci g va fimarginita pentru |z − z0| < ε (teorema marginirii) deci si functia g1 = 1

g va fimarginita pentru |z − z0| < ε, ε > 0 atunci functia

1f(z)

= (z − z0)m 1g(z)

= (z − z0)mg1(z)

va admite un zero avand ordinul de multiplicitate egal cu m (functia g definitaanterior poate fi presupusa diferentiabila pentru z = z0, conform cu teoremaanterioara).

Reciproc, sa presupunem ca functia f admite un zero ın punctul z = z0,deci se scrie sub forma:

f(z) = (z − z0)m[b0 + b1(z − z0) + b2(z − z0)2 + ...], b0 6= 0

ın vecinatatea lui z− z0, deoarece seria Taylor b0 + b1(z− z0)+ b2(z− z0)2 + ...defineste o functie diferentiabila si nenula pentru |z − z0| < ε, ε > 0 functia

1b0+b1(z−z0)+b2(z−z0)2+...

= g1(z) va defini de asemeni o functie diferentiabila ınaceeasi vecinatate, g1(z0) = 1

b06= 0, deci

g1(z) =1b0

+ c1(z − z0) + c2(z − z0)2 + ..., |z − z0| < ε, ε > 0

Atunci, functia 1f va admite un pol ın z0, deoarece

1f(z)

=g1(z)

(z − z0)m=

1b0

(z − z0)m+

c1

(z − z0)m−1+ ... +

cm−1

z − z0+ cm + ...


si seria Laurent va avea un numar finit de termeni cu puteri negative pentruz − z0.

Daca functia 1f admite un zero multiplu de ordin m ın z = z0, atunci prin

definitie, f va admite ın z = z0 un pol multiplu de ordin m.Din consideratiile anterioare se deduce ca daca z = z0 este un pol pentru

f , atuncilim

z→z0

f(z) = ∞

deoarece

limz→z0

f(z) = limz→z0

g(z)(z − z0)m

=lim

z→z0

g(z)

limz→z0

(z − z0)m = ∞

(avand ın vedere ca limz→z0

g(z) = a−m 6= 0).

Astfel, functia f(z) = 1z4−1

va admite poluri simple ın punctele z1 =1, z2 = −1, z3 = i, z4 = −i, deoarece 1

f(z) = z4−1 = (z−1)(z+1)(z−i)(z+i),

iar functia f(z) = ez2

(z2+1)2(z−1)4va admite poluri duble ın z1 = i, z2 = −i si un

pol de ordinul patru pentru z = 1, pentru ca 1f(z) = e−z2

(z−i)2(z+i)2(z−1)4.Daca

f(z) =f1(z)f2(z)

unde f1 si f2 sunt diferentiabile ın punctul z0, avand zerouri cu ordine demultiplicitate m1 respectiv m2, deci:

f1(z) = (z − z0)m1g1(z), g1(z0) 6= 0

f2(z) = (z − z0)m2g2(z), g2(z0) 6= 0

atunci, deoarece

f(z) = (z − z0)m1−m2g(z), g(z) =g1(z)g2(z)

rezulta g este diferentiabila ın z0 iar f va avea un zero de ordin m1 −m2 ınz0 daca m1 −m2 > 0 sau un pol de ordin m2 −m1 daca m1 −m2 < 0. Dacam1 = m2, z0 este un punct singular aparent.

Astfel, functia f(z) = z2

sin3(z)va avea un pol de ordinul ıntai ın origine

deoarece f(z) = f1(z)f2(z) , f1(z) = z2, f2(z) = sin3(z) = z3(1− z2

2! +...)3 iar functia

f(z) = tan(z) = sin(z)cos(z) va admite poluri simple ın punctele zk = 2k+1

2 π, k ∈ Zdeoarece functia cos are poluri simple ın zk iar sin(zk) 6= 0.

Daca z0 este un punct singular esential pentru f , atunci f nu poate fimarginita ın vecinatatea lui z0 (deoarece ın acest caz z0 ar fi un punct singular


aparent deci a−n = 0, n = 1, 2, ...)nici nu putem spune ca limz→z0

f(z) = ∞(deoarece atunci 1

f ar avea limita nula, ın z0 iar z0 ar fi pol). Asadar, singuraposibilitate ramane sa nu existe limita nici finita nici infinita ın z0.

Se poate arata ca f este complet nedeterminata ın vecinatatea lui z0 (teo-rema lui Weierstrass) adica, pentru orice a ∈ C exista un sir (zn)z∈N din Clim

n→∞ zn = z0 astfel ıncat limn→∞ f(zn) = a. Intr-adevar, daca ıntr-o vecinatate

Vz0 a punctului z0 nu putem gasi nici un punct z astfel ıncat |f(z)− a| sa fieoricat de mica, vom avea

|f(z)− a| ≥ ε, |z − z0| < δ, z 6= z0

ceea ce ınseamna ca functia

g(z) =1

f(z)− a

este marginita ın Vz0 , si diferentiabila ın 0 < |z−z0| < δ. Deci z0 este un punctsingular aparent pentru g iar lim

z→z0

g(z) exista si este finita, dar f nu poate fi

marginita ın Vz0 (ar ınsemna ca z0 este un punct singular aparent) ceea ceconduce la concluzia ca lim

z→z0

g(z) = 0(pentru ca sa avem limz→z0

|f(z) − a| =

∞). Deci z0 va fi un pol ceea ce contrazice ipoteza. Asadar nu putem avea|f(z)− a| ≥ ε pentru z ∈ Vz0 , z 6= z0, ceea ce echivaleaza cu lim

z→z0

f(z) = a.

Exemplu. Fie f(z) = e1z , z 6= 0 avem

f(z) = 1 +1

1!z+

12!z2

+1

3!z3+ ... +

1n!zn

+ ...

si deci z = 0 este un punct singular esential, toti coeficientii puterilor z−n, n =1, 2, 3, ... fiind nenuli. Sa gasim un sir cu proprietatea lim

n→∞ e1

zn = a, limn→∞ zn =

0, a ∈ C. Pentru a ∈ C, sa rezolvam ecuatia

e1z = a, deci

1z

= Ln(a) = ln |z|+ i arg(a) + 2nπi

punand

zn =1

ln |z|+ i arg(a) + 2nπi

avem limn→∞ zn = 0 si f(zn) = a, deci lim

n→∞ f(zn) = a.

Daca a = ∞, se poate lua zn = 1n , cand zn → 0 iar f(zn) = en →∞ cand

n →∞Exercitii. 1o Sa se defineasca tipul singularitatii z = 0 pentru functiile:

a) f(z) = esin z

z ; b) f(z) =z + 3z3

ln(1− 2z)


c) f(z) =ez

sin z − z + z3

6

; d) f(z) = (ez − 1− z) cot3 z

e) f(z) =sin(2z)

cos z − 1− z2

2

; f) f(z) = e1

z2−z

R. a), b) punct singular aparent; c), d), e) poluri de ordin patru , simplu,trei respectiv; f) punct singular esential.

2o Daca f1 si f2 au poluri de ordin m1respectiv m2 ın z0, ce se ıntamplaın acest punct cu:

a) f1 · f2; b) f1 + f2; c)f1

f2d) fp

1 f q2 , p, q ∈ N

R a) pol de ordin m1 + m2

b) pol de ordin max(m1,m2) daca m1 6= m2(daca m1 = m2 se poate saapara o singularitate aparenta cand partile principale sunt egale si de semnecontrarii ).

c) pol sau punct singular aparent.d) pol de ordinul pm1 + qm2.

1.7.1 Functii meromorfe. Cazul punctului de la infinit.

Fie f diferentiabila ın punctele z ∈ C, |z| > R. Pentru ca domeniul|z| > R contine punctul z = ∞ trebuie precizat modul ın care se studiaza fpentru z = ∞. In acest scop se face schimbarea de variabila

z =1ζ, (ζ =

1z)

care face sa corespunda lui z = ∞, ζ = 0 si reciproc si notandu-se

f∗(ζ) = f(1ζ)

studiul functiei f∗ ın vecinatatea originii va fi asimilat cu studiul functiei f ınvecinatatea punctului de la infinit.

Astfrl, daca f∗ este diferentiabila ın origine, vom spune ca f(z) = f∗(1z )

este diferentiabila ın punctul de la infinit. Daca f∗ are o singularitate (aparenta,polsau punct singular esential) ın origine, f(z) = f∗(1

z ) va avea aceeasi singular-itate ın punctul de la infinit.

De exemplu, daca

f(z) =z2

z − 1


f este uniforma si diferentiabila pentru orice z astfel ıncat |z| > 1, deoarece

f∗(ζ) = f(1ζ) =

1ζ(1− ζ)

f∗ va avea un pol simplu ın punctul z = ∞, deci

limz→∞ f(z) = ∞

Analog se trateaza cazul unui zero sau punct singular aparent (ceea ce justificamodul de calcul cu limitele functiilor rationale: daca r(z) = p(z)

q(z) , deg p > deg q,atunci lim

z→∞ r(z) = ∞; daca deg p = deg q, atunci z = ∞ este un punct singular

aparent, iar daca deg p < deg q, z = ∞ este un zero).Functia f(z) = ez va admite z = ∞ ca punct singular esential deoarece

f∗(ζ) = f(1ζ) = 1 +

11!ζ

+1

2!ζ2+ ... +

1n!ζn

+ ... (1.65)

deci dezvoltarea Laurent ın vecinatatea lui ζ = 0 are toti termenii cu puterinegative nenuli.

Daca f este diferentiabila pentru orice z ∈ C, scriind seria Taylor centrataın origine,

f(z) = a0 + a1z + a2z2 + ... + anzn + ... =

∞∑

n=0

anzn

vom avea R = ∞ si aceste functii se numesc ıntregi. Teorem Liouville aratacapentru z = ∞, f nu poate fi marginita deci punctul de la infinit va fi sau polpentru f (ceea ce se ıntampla cand f este un polinom) sau un punct singularesential (daca f nu este un polinom). Intr-adevar, ın cazul unui polinom

f(z) = a0 + a1z + a2z2 + ... + anzn, an 6= 0

avem

f∗(ζ) = f(1ζ) =

a0ζn + a1ζ

n−1 + ... + an

ζn

si ζ = 0 va fi pol de ordin de multiplicitate n = deg f ; daca

f(z) = a0 + a1z + a2z2 + ... + anzn + ...

se deducef∗(ζ) = f(

1ζ) = a0 +

a1

ζ+

a2

ζ2+ ... +

an

ζn+ ...

si ζ = 0 este un punct singular esential.


Nu s-a luat ın consideratie cazul functiei constante f(z) = a0 care se poatetrata si direct : f∗(ζ) = a0 deci z = ∞ este un punct singular aparent.

Prin functie meromorfa se ıntelege orice functie care se poate scrie subforma de cat a doua functii ıntregi

f(z) =g(z)h(z)

, h 6= 0; (1.66)

ın particular, functiile ıntregi (h = 1) si functiile rationale (r(z) = p(z)q(z) , p, q

fiind polinoame) sunt functii meromorfe. Functiile meromorfe pot avea, pentruz ∈ C, singularitati de tip pol (zerourile lui h ) sau puncte singulare aparente(cand g si h au ın acelasi punct zerouri cu acelasi ordin de multiplicitate )In orice caz, deoarece h nu poate avea decat un numar finit de zerouri ın C,functia meromorfa (1.66) nu poate avea decat un numar finit de poluri ın oricedisc cu raza oricat de mare din C.

1.8 Reziduurile si aplicatiile lor

Fie o functie f definita si diferentiabila ın domeniul D ⊂ C cu exceptiaunui numar finit de puncte z1, z2, ..., zn din acest domeniu. Rezulta ca ınvecinatatea punctului z = zk, k = 1, 2, ..., n este valabila dezvoltarea Laurent

f(z) =+∞∑

n=−∞an(z − zk)n, k = 1, 2, ..., n (1.67)

Dintre toti coeficientii a0, a1, a−1, a2, a−2, ...ai acestei dezvoltari, coeficientultermenului (z − z0)−1 adica constanta a−1 joaca un rol deosebit ın aplicatiileteoriei de o variabila complexa. Acest rol special al coeficientului a−1 poate fi

justificat estfel: sa calculam∫

|z−zk|=rf(z)dz, unde r este suficient de mic astel

ıncat ın interiorul cercului |z−zk| = r sa nu se afle alt punct z1, z2, ..., zk−1, zk+1, ..., zn

definit anterior.Calculul acestei integrale se poate face integrand seria Laurent termen

cu termensau utilzand formulele care dau coeficientii unei dezvoltari ın serieLaurent (vezi (1.64)).

In acest din urma caz, deoarece

an =1

2πi

∫

(γ)

f(ζ)dζ

(ζ − zk)n+1

luand n = −1 si (γ) : |z − zk| = r, gasim egalitatea:∫

(γ)f(z)dz = 2πia−1 (1.68)

1.8. REZIDUURILE SI APLICATIILE LOR 55

care pune ın evidenta legatura dintre integrala din functia f calculata pe cercul|z − zk| = r si coeficientul a−1.

Coeficientul a−1 din dezvoltarea ın serie Laurent (1.67) se numeste reziduulfunctiei f ın punctul zk si se noteaza prin Rezz=zk f(z).

Teorema reziduurilor. Fie D un domeniu din planul complex C si fiezk1≤k≤n n puncte din D. Fie f o functie diferentiabila ın D \ z1, z2, ..., znsi fie (γ) un contur din D care cuprinde la interior punctele z1, z2, ..., zn atuncieste valabila formula reziduurilor:

∫

(γ)f(z)dz = 2πi

n∑

k=1

Rezz=zkf(z) (1.69)

in care semnul de parcurs pe (γ) este cel direct.(Daca la interiorul lui (γ) se afla punctele zk1 , zk2 , ..., zkp ⊂ z1, z2, ..., zn

unde k1, k2, ..., kp ⊂ 1, 2, ..., n, 1 ≤ p < n atunci suma din membrul dreptal formulei (1.69) se refera doar la reziduurile acestor puncte adica:

∫

(γ)f(z)dz = 2πi

p∑

j=1

Rezz=zkjf(z) )

dUtilizand (1.42) avem∫

(γ)f(z)dz =

∫

(γ1)f(z)dz +

∫

(γ2)f(z)dz + ... +

∫

(γn)f(z)dz

si utilizand (1.68) se obtine∫

(γ)f(z)dz = 2πiRezz=z1f(z) + 2πiRezz=z2f(z) + ... + 2πiRezz=znf(z) c

Observatie. A doua formula fundamentala Cauchy sta la baza obtineriimajoritatii rezultatelor de baza din teoria functiilor olomorfe, inclusiv obtinereadezvoltarii formulei (1.69). Totusi aceasta formula integrala se poate obtine(a posteriorii) ca o consecinta a teoremei raziduurilor, deoarece functia g(ζ) =f(ζ)ζ−z are ın D o singularitate, ζ = z, care este un pol simplu iar reziduulcorespunzator este f(z): Rezζ=zg(ζ) = f(z). Asadar avem

∫

(γ)g(ζ)dζ = 2πiRezζ=zg(ζ) = 2πif(z)

deci

f(z) =1

2πi

∫

(γ)

f(ζ)dζ

ζ − z


(faptul ca Rezζ=zg(ζ) = f(z) se obtine astfel: f(ζ) este diferentiabila pentruζ = z, deci este valabila dezvoltarea Taylor f(ζ) = f(z) + (ζ − z)f ′(z) + ...care arata ca avem:

g(ζ) =f(z) + (ζ − z)f ′(z) + ...

ζ − z=

f(z)ζ − z

+ f ′(z) +ζ − z

2f ′′(z) + ...)

Sa trecem acum la calculul efectiv al reziduurilor.Fie z = a un pol simplu al functiei f ; aceasta ınseamna ca ın vecinatatea

acestui punct functia f se va scrie astfel:

f(z) =a−1

z − z+ g(z) (1.70)

unde g(z) este partea Tayloriana a dezvoltarii Laurent, deci va fi o functieolomorfa ın vecinatatea lui z = a. Deoarece lim

z→a(z − a)g(z) = 0 se observa ca

reziduul a−1 se obtine din (1.70) prin ınmultirea cu (z−a) si trecere la limita,z → a. Asadar, ın cazul ın care f se scrie sub forma (1.70) avem:

a−1 = limz→a

[(z − a)f(z)] = Rezz=af(z) (1.71)

Exemple.a) Sa se calculeze reziduul functiei f(z) = z2

z−3 relativ la polul z = 3.Se observa z = 3 este un pol simplu al functiei ın cauza si deci utilizand

relatia (1.71) gasim:

a−1 = Rezz=3z2

z− 3= lim

z→3(z− 3)

z2

z− 3= 9.

b) Sa se calculeze reziduul functiei f(z) = 1sin z relativ la polul z = kπ, k ∈

Z.Deoarece z = kπ, k ∈ Z este zero simplu al functiei sin z, acelasi punct

va fi pol simplu al functiei 1sin z , conform cu (1.71) avem (aplicand regula lui

Hopital)

Rezz=kπ1

sin z= lim

z→kπ

z− kπ

sin z= lim

z→kπ

1cos z

=1

cos(kπ)=

1(−1)k

= (−1)k, k ∈ Z

Tot ın cazul determinarii reziduurilor polurilor simple, este utila o altarelatie, mai ales daca f se prezinta sub forma unui cat f1

f2, unde f1 este functie

olomorfa ın z = a iar f2 admite un zero simplu ın acelasi punct. Prin urmare,daca f admite un pol simplu pentru z = a daca f1(a) 6= 0, ceea ce presupunem.

Utilizand formula (1.71) gasim:

Rezz=af(z) = limz→a

[(z− a)f1(z)f2(z)

] = limz→a

f1(z)f2(z)−f2(a)

z−a

=f1(a)f ′2(a)


deoarece f2(a) = 0 iar limz→a

f2(z)− f2(a)z − a

= f ′2(a).

Asadar, s-a obtinut formula:

Rezz=af1(z)f2(z)

=f1(a)f ′2(a)

(1.72)

Exemple.a) Sa gasim Rezz=kπ cot z.

Avem, utilizand (1.72)

Rezz=kπ cot z = Rezz=kπcos zsin z

=cos(kπ)cos(kπ)

= 1, k ∈ Z.

b) Sa calculam Rezz=af(z)

zn − an, n ∈ N.

Cu aceeasi formula avem:

Rezz=af(z)

zn − an=

f(a)nan−1

.

Sa presupunem acum ca punctul z = a este pol de ordinul m al functiei f ,deci ın vecinatatea acestui punct are loc dezvoltarea ın serie Laurent

f(z) = g(z) +a−1

z − a+

a−2

(z − a)2+ ... +

a−m

(z − a)m, a−m 6= 0 (1.73)

cu g functie olomorfa pentru z = a. Pentru a gasi a−1, se ınmultesc ambiimembrii ai egalitatii (1.73) cu (z − a)m:

(z − a)mf(z) = (z − a)mg(z) + (z − a)m−1a−1 + (z − a)m−2a−2 + ... + a−m

Derivand de (m− 1) ori ın raport cu z se obtine egalitatea:

dm−1

dzm−1[(z − a)mf(z)] = (z − a)g1(z) + (m− 1)!a−1

unde (z − a)g1(z) = dm−1

dzm−1 [(z − a)mg(z)] ((z − a) va fi factor comun dupaefectuarea derivarilor ın cauza). Prin trecere la limita, pentru z → a se obtineexpresia cautata a reziduului.

Rezz=af(z) =1

(m− 1)!limz→a

dm−1

dzm−1[(z− a)mf(z)] (1.74)

Exemplu.Se cere reziduul functiei f(z) = 1

(z2+1)3relativ la polul z = i


Utilizand formula (1.74) putem scrie, fiind vorba de un pol triplu:

Rezz=i1

(z2 + 1)3=

12

limz→i

d2

dz2[(z− i)3

1(z2 + 1)3

] =12

limz→i

d2

dz2[

(z− i)3

(z− i)3(z + i)3] =

=12

limz→i

d2

dz2[(z + i)−3] = 6(2i)−5 =

316

i−5 =−3i

16.

Sa calculam acum cateva integrale de contur cu ajutorul teoremei rezidu-urilor.

1) Se cere sa se calculeze∫

(γ)

dz

z4 + 1, unde (γ) este cercul: x2 + y2 = 2x.

Trebuie gasita ecuatia complexa a conturului (γ). Deoarece avem (x −1)2 + y2 = 1 rezulta (γ) : |z − 1| = 1 si singularitatile functiei 1

z4+1din

interiorul acestui contur, se obtin cautandu-se zerourile functiei z4 + 1 = 0ınseamna z4 = −1 = eiπ+2kπi si deci z = e

πi4

+ kπi2 si evident ın interiorul lui

(γ) se afla zerourile simple z1 = eπi4 si z2 = e−

πi4 . Asadar,

∫

(γ)

dz

z4 + 1= 2πi(Rezz=z1 [

1z4 + 1

] + Rezz=z2 [1

z4 + 1]) = 2πi(

14z3

1

+1

4z32

) =

=πiz31+z3

22(z1z2)3

. Or z31 + z3

2 = e3πi4 + e−

3πi4 = 2 cos(3π

4 ) = −√2. Prin urmare

∫

(γ)

dz

z4 + 1= −πi

√2

2.

2) Se cere valoarea integralei∫

(γ)

dz

(z − 1)2(z2 + 1), (γ) fiind cercul: x2 +

y2 = 2x + 2y.Scriind (γ) sub forma complexa vom avea |z − 1− i| = √

2 (fiind vorba deun cerc cu centru ın z0 = 1 + i si care trece prin origine) si deci va cuprindela interior punctele z1 = 1 si z2 = i care sunt poluri (dublu respectiv simplu)pentru functia f(z) = 1

(z−1)2(z2+1); deoarece

Rezz=1f(z) = limz→1

ddz

[(z− 1)21

(z− 1)2(z2 + 1)] = lim

z→1

ddz

1z2 + 1

=−222

= −12

iarRezz=if(z) = lim

z→i

1(z− 1)2(z + i)

=1

(i− 1)22i=

14,

vom avea ın definitiv∫

(γ)

dz

(z − 1)2(z2 + 1)= 2πi[Rezz=1f(z) + Rezz=if(z)] = 2πi(−1

2+

14) =

−πi2


Teorema reziduurilor poate fi utilizata ın calculul unor integrale Riemann,prin transformarea acestora ın integrale de contur si aplicarea apoi a teoremeiamintite. Aceeasi metoda poate fi aplicata si unor integale improprii, avandınsa grija sa justificam trecerea de la integrarea pe o curba avand interiorulmarginit (care a fost cazul considerat pana acun ) la integrarea pe un domeniunemarginit. Trebuie mentionat ca teorema reziduurilor nu se utilizeaza lacalculul primitivelor (integralelor nedefinite).

I. Integrale pe intervalul [0, 2π] din functiile rationale de functiiletrigonometrice sin si cos.

Fie R(cos θ, sin θ) = P (cos θ,sin θ)Q(cos θ,sin θ) , P si Q fiind polinoame cu coeficient

reali sau complecsi cu doua variabile independente. Pentru a calcula integrala∫ 2π

0R(cos θ, sin θ)dθ se face schimbarea de variabila eiθ = z care transforma

integrarea pe segmentul [0, 2π] ın integrarea pe cercul unitate (|z| = |eiθ| =1, arg z = θ) si deoarece cos θ = 1

2(z + z), sin θ = 12i(z− z), ]; ieiθdθ = dz, deci

dθ = dzieiθ = dz

iz avem:

∫ 2π

0R(cos θ, sin θ)dθ =

1i

∫

|z|=1R(

z + z

2,z − z

2i)dz

z=

1i

∫

|z|=1R(

z + 1z

2,z − 1

z

2i)dz

z

caci pe |z| = 1 avem z = e−iθ = 1z .

Ramane de calculat, cu ajutorul teoremei reziduurilor integrala pe cerculunitate (evident ın ipotaza ca functia R este astfel ıncat pe |z| = 1 nu se aflasingularitati ale ei ).

Exemple.

1) Sa se calculeze∫ 2π

0

dθ

a + cos θunde a ∈ C, a nu apartine intervalului[−1, 1].

Conform cu cele de mai sus, avem:

∫ 2π

0

dθ

a + cos θ=

2i

∫

|z|=1

dz

z2 + 2az + 1= 2πi

2iRezz=z1f(z) = 4π

12z1 + 2a

=2π

z1 + a

deoarece numitorul are doua zerouri simple z1 si z2 a caror produs fiind egalcu 1 rezulta ca numai un zero se afla ın interorul cercului unitate. Dacantam cu z1 acest zero (care va fi pol simplu pentru functia 1

z2+2az+1) evident

z1 = −a +√

a2 − 1, iar

∫ 2π

0

dθ

a + cos θ=

2π√a2 − 1

.


2) Sa se calculeze∫ 2π

0

dθ

(a + b cos θ)2unde a ∈ R, 0 < b < a. Vom avea

∫ 2π

0

dθ

(a + b cos θ)2=

4ib2

∫

|z|=1

zdz

z2 + 2ab z + 1

=4

ib22πiRezz=z1f(z) =

2πa√(a2 − b2)3

deoarece, ca mai sus z1 =√

a2−b2−ab este singurul pol (care este dublu) care se

afla ın cercul unitate. Deci conform cu formula (1.74) cu m = 2, avem:

Rezz=zk

z(z2 + 2b

a z + 1)2= lim

z→z1

ddz

z

(z +√

a2−b2+ab )2

=b2a

4√

(a2 − b2)3

II. Integrale improprii calculate pe axa reala.

Fie∫ +∞

−∞r(x)dx =

∫

Rp(x)q(x)

dx, unde p si q sunt polinoame cu coeficienti

reali (complecsi) astfel ıncat integrala sa fie convergenta. Aceasta se va ıntampladaca gradul polinomului q este mai mare cel putin cu doua unitati ca cel al luip, si daca q nu are zerouri reale (evident se presupun p si q prime ıntre ele).Se considera zerourile lui q aflate ın semiplanul superior deci zerourile care au

Fig. 1.11:

partea imaginara pozitiva si fie ele z1, z2, ..., zq. Fie un semicerc de raza Rsuficient de mare, aflat ın semiplanul Im z> 0 care cuprinde ın interior toatezerourile lui q (vezi Fig. 1.11). Conform cu teoria reziduurilor, notand cu γR

conturul din figura, vom avea:∫

γR

r(z)dz = 2πi

q∑

k=1

Rezz=zkr(z)

dar avem γR = [−R, R] ∪ |z| = R, Im z > 0 si deci avem:∫

γR

r(z)dz =∫ +R

−Rr(x)dx+

∫Im z>0

|z|=Rr(z)dz =

∫ +R

−Rr(x)dx+

∫ π

0r(Reiθ)Rieiθdθ


Trecand la limita, pentru R →∞, gasim succesiv

limR→∞

∫ +R

−Rr(x)dx =

∫ +∞

−∞r(x)dx =

∫

Rr(x)dx

limR→∞

|∫ π

0r(Reiθ)Rieiθdθ| ≤ lim

R→∞

∫ π

0

|p(Reiθ)|R|q(Reiθ)| dθ = 0

deoarece gradul numitorului este mai mare, cel putin cu o unitate, decat gradulnumitorului. Asadar, ın definitiv avem formula:

∫ +∞

−∞r(x)dx =

∫

Rp(x)q(x)

dx = 2πi

q∑

k=1

Rezz=zk [p(z)q(z)

] (1.75)

La acelasi rezultat se putea ajunge utilizand semicercul din semiplanul inferior,dar ın acest caz trebuie schimbat sensul de parcurs pe contur pentru a se obtineintegrala ın cauza. Prin urmare , cu acest procedeu avem:

∫ +∞

−∞r(x)dx =

∫

Rp(x)q(x)

dx = −2πi

q∑

k=1

Rezz=z′k[p(z)q(z)

] (1.76)

unde z′1, z′2, ..., z

′q sunt polurile lui r aflate ın semiplanul inferior. Practic se va

utiliza fie formula (1.75) fie formula (1.76), preferandu-se aceea care solicitacalcule mai putine.

Exemple.

1) Sa calculam∫ +∞

−∞

dx

(x2 + 1)nunde n ∈ N.

Functia f(z) = 1(z2+1)n are doua poluri z = +i si z = −i ambele multiple

de ordin n. Avem conform cu formula (1.74) cu m = n

Rezz=i1

(z2 + 1)n=

1(n− 1)!

limz→i

dn−1

dzn−1[(z+i)n] =

(−1)n−1n(n + 1)...(2n− 2)(n− 1)!

(2i)−2n+1 =

=−i (2n−2)![(n−1)!]222n−1 .

Prin urmare∫ +∞

−∞

dx

(x2 + 1)n=

(2n− 2)!π22n−2[(n− 1)!]2


0

dx

x4 + 1Functia f(z) = 1

z4+1admite patru poluri simple dintre care doua poluri se

afla ın semiplanul superior z1 = eiπ4 , z2 = e

iπ4

+ iπ2 . Deoarece f(−z) = f(z),

vom putea scrie:∫ +∞

0

dx

x4 + 1=

12

∫ +∞

−∞

dx

x4 + 1=

2πi

2[Rezz=z1f(z) + Rezz=z2f(z)] =


= πi[1

4z31

+1

4z32

] =πi

4z31 + z3

2

(z1z3)3=

π√

24

deoarece z1z2 = eiπ4

+ iπ4

+ iπ2 = eiπ = −1 iar z3

1 + z32 = e

3iπ4 (1+ e

3iπ2 ) =

√2

2 (−1+i)(1− i) = i

√2

Alte tipuri de integrale calculate cu teorema reziduurilor.

Sa demonstram ca ∫ ∞

0

sinx

xdx =

π

2(1.77)

Pentru aceasta, se considera integrala∫

γ

eiz

zdz, unde γ este conturul format

dintr-un segment al axei reale cuprins ıntre punctele z = δ > 0 si z = R, 0 <δ < R, semicercul CR de raza R cu centru ın origine situat ın planul superior,alt segment al axei reale cu capetele ın z = −R si z = −δ si ın sfarsit semicerculde raza δ cu centru ın origine situat ın planul superior (vezi Fig.1.12).

Fig. 1.12:

Vom face δ → 0 si R → ∞ (semicercul de raza δ a fost considerat pentrua nu cuprinde ın domeniul nostru singularitatea z = 0 a functiei eiz

z , careeste un pol simplu iar semicercul mare a fosr introdus pentru a obtine uncontur ınchis de integrare). Deoarece ın domeniul considerat functia eiz

z esteolomorfa, putem scrie

∫ R

δ

eix

xdx +

∫

CR

eiz

zdz +

∫ −δ

−R

eix

xdx +

∫

Cδ

eiz

zdz = 0 (1.78)

Suma interalelor calculate pe axa reala este egala cu:

∫ R

δ

eix − e−ix

xdx = 2i

∫ R

δ

sinx

xdx


Sa calculam integrala pe CR, unde avem z = Reiθ, θ ∈ [0, π]; deci

|∫

CR

eiz

zdz| = |

∫ π

0

eiReiθ

ReiθiReiθdθ| ≤

∫ π

0|eiR(cos θ+i sin θ)|dθ =

∫ π

0e−R sin θdθ

daca 0 < θ < π avem sin θ > 0 deci e−R sin θ → 0 cand R →∞; de aceea vomscrie

∫ π

0e−R sin θdθ =

∫ π−β

αe−R sin θdθ +

∫ α

0e−R sin θdθ +

∫ π

π−βe−R sin θdθ

cu α > 0, β > 0. Deoarece e−R sin θ ≤ 1 pentru R > 0 si sin θ ≥ 0 rezulta∫ α

0e−R sin θdθ ≤

∫ α

0dθ = α si

∫ β

π−βe−R sin θdθ ≤

∫ π

π−βdθ = β

si prin urmare∫ π

0e−R sin θdθ ≤

∫ π−β

αe−R sin θdθ + α + β → 0

cand R →∞, α → 0, β → 0

Ramane de calculat∫

Cδ

eiz

zdz cu z = δeiϕ, repetand calculele anterioare

avem :∫

Cδ

eiz

zdz = −

∫ π

0

eiδeiϕ

δeiϕiδeiϕdϕ = −i

∫ π

0eδ(− sin ϕ+i cos ϕ)dϕ → −i

∫ π

0dϕ = −iπ

cand δ → 0. Prin urmare, ınlocuind integralele ın cauza ın relatia (1.78), printrecere la limita, pentru δ → 0 si R →∞ gasim:

2i

∫ ∞

0

sinx

xdx− πi = 0

de unde rezulta egalitatea (1.77).Vom stabili ın continuare egalitatea:

∫ ∞

0

xa−1

1 + xdx =

π

sin(aπ)0 < a < 1 (1.79)

Pentru aceaste vom considera functia f(z) = za−1

1+z si vom calcula∫

γf(z)dz

unde γ este conturul din figura de mai jos, care nu contine originea (ceea ce eraobligatoriu caci functia za−1 nu este uniforma ın vecinatatea originii). Functiaf are o singura singularitate ın domeniul considerat: polul simplu ın punctul


In calculul integralelor de forma∫ +∞

−∞f(x)dx este de multe ori utilizata

lema urmatoare numita uneori:Lema lui Jordan. Daca1) f(z) = eimzF (z), m > 0 s F → 0 cand z → ∞ pe orice drum aflat pe

axa reala sau ın semiplanul superior (deci pentru Im z > 0)2) pentru Im z ≥ 0 f este diferentiabila iar ın semiplanul superior Im

z > 0 are un numar finit de puncte singulare a1, a2, ..., an, atunci este valabilaformula: ∫ +∞

−∞f(x)dx = 2πi

n∑

k=1

Rezz=zk f(z) (1.81)

Utilizand conturul din Fig.1.11 care contine la interior punctele singularea1, a2, ..., an obtinem:

∫ +R

−Rf(x)dx =

∫Im z>0

|z|=Rf(z)dz = 2πi

n∑

k=1

Rezz=zkf(z)

si formula (1.81) va fi demonstrata daca aratam ca limR→∞

∫Im z>0

|z|=Rf(z)dz = 0.

Or deoarece avem pe |z| = R, Im z > 0, z = Reiϕ, 0 < ϕ < π, obtinem:

|∫

Im z>0

|z|=Rf(z)dz| = |

∫Im z>0

|z|=ReimzF (z)dz| ≤

∫ π

0|eimReiϕ ||F (Reiϕ)|R|ieiϕ|dϕ =

= R

∫ π

0e−mR sin ϕ|F (Reiϕ)|dϕ caci |eimReiϕ | = |eimR(cos ϕ+i sin ϕ)| = e−mR sin ϕ

iar |ieiϕ| = 1. Deoarece |F (Reiϕ)| = M(R), gasim

|∫

Im z>0

|z|=Rf(z)dz| ≤ RM(R)

∫ π

0e−mR sin ϕdϕ = 2RM(R)

∫ π2

0e−mR sin ϕdϕ

deoarece functia sin este simetrica fata de ϕ = π2 .

Sa consideram functia ajutatoare g(ϕ) = sin ϕϕ , ϕ ∈ [0, π

2 ]. Cum g′(ϕ) =ϕ cos ϕ−sin ϕ

ϕ2 = cos ϕϕ2 (ϕ − tanϕ) < 0 deoarece ϕ < tanϕ si cosϕ > 0 pentru

ϕ ∈ [0, π2 ], rezulta ca g este o functie descrescatoare si deci g(π

2 ) < g(0), adicasin(π

2)

π2

≤ sin ϕϕ ≤ 1 adica sinϕ ≥ 2ϕ

ϕ pentru ϕ ∈ [0, π2 ].

Cum e−x este de asemeni functie descrescatoare, rezulta e−mR sin ϕ ≤ e−2mRϕ

π .Asadar, avem

|∫

Im z>0

|z|=Rf(z)dz| ≤ 2RM(R)

∫ π2

0e−2mRϕ

π dϕ = 2RM(R)π

2mRe−2mRϕ

π |ϕ=0ϕ=π

2=


= πmM(R)(1− e−mR) si este clar, ca daca R →∞, deoarece M(R) → 0 avem

|∫

Im z>0

|z|=Rf(z)dz| → 0 deci lim

R→∞

∫Im z>0

|z|=Rf(z)dz = 0 si lema este demonstrata.

Exemple.1) Sa calculam

∫ +∞

−∞

x cosx

x2 − 2x + 10dx si

∫ +∞

−∞

x sinx

x2 − 2x + 10dx

Fie functia f(z) = zeiz

z2−2z+10care se poate pune sub forma eizF (z). Com-

paramd cu lema lui Jordan, avem m = 1, F (z) = zz2−2z+10

si evident m >0, F (z) → 0 cand z →∞ iar polurile lui f sunt z1 = 1 + 3i si z2 = 1− 3i iarnumai z1 are partea imaginara pozitiva. Vom avea:

Rezz=z1f(z) =z1eiz1

2(z1 − 1)=

(1 + 3i)ei(1+3i)

2 · 3i=

1 + 3i6i

e−3+i

Asadar, vom avea∫ +∞

−∞

xeix

x2 − 2x + 10dx = 2πi

1 + 3i

6ie−3+i =

πe−3

3(1 + 3i)(cos 1 + i sin 1)

si separand partile reale si imaginare, gasim:∫ +∞

−∞

x cosx

x2 − 2x + 10dx =

πe−3

3(cos 1− 3 sin 1),

∫ +∞

−∞

x sinx

x2 − 2x + 10dx =

πe−3

3(3 cos 1 + sin 1).


0

cosx

x2 + a2dx, a > 0

Se utilizeaza functia f(z) = eiz

z2+a2 = eimzF (z) si deci m = 1, F (z) =1

a2+z2 . Se verifica conditiile lemei lui Jordan si deci

∫ ∞

0

cosx

x2 + a2dx =

12

∫ +∞

−∞

cosx

x2 + a2dx = πi

e−a

2ia=

πe−a

2a

In demonstratia lemei lui Jordan s-a presupus ca pe axa reala functia fnu are singularitati. Aceasta ipoteza este necesara pentru ca ın caz contrar

integrale∫ +∞

−∞f(x)dx ar putea fi divergenta.

Exista ınsa posibilitatea calcularii unor integrale de acest tip daca pe axareala se afla un numar de poluri simple iar integrala se calculeaza ın sensul


valorii principale a lui Cauchy (adica daca x0 este o astfel de singularitatex0 ∈ (a, b) atunci

∫ b

af(x)dx = lim

δ→0(∫ x0−δ

af(x)dx +

∫ b

x0−δf(x)dx), δ > 0 )

In acest caz, se poate aplica teorema reziduurilor.Sa presupunem deci ca suntem ın ipotezele lemei lui Jordan iar pe axa reala

exista polurile simple x1 < x2 < ... < xm ale functiei f . Utilizand definitiavalorii principale Cauchy, avem∫ +∞

−∞f(x)dx = lim

R→∞lim

δ→0[∫ x1−δ

−Rf(x)dx+

∫ x2−δ

x1+δf(x)dx+...+

∫ xm−δ

xm−1+δf(x)dx+

+∫ R

xm+δf(x)dx]

Fig. 1.14:

Sa luam R > 0 suficient de mare astfel ca toate punctele singulare ale luif cu Im z > 0 sa se afle ın semicercul de raza R cu centru ın origine si fie ΓR

conturul de la Fig. 1.14. Aplicand teorema reziduurilor avem:∫

Im z>0

|z|=Rf(z)dz+

∫ x1−δ

−Rf(x)dx+

∫

γ1

f(x)dx+...+∫

γm

f(x)dx+∫ R

xm+δf(x)dx =

= 2πin∑

k=1

Rezz=akf(z), unde γ1, γ2, ..., γm sunt semicercurile de raza δ (care nu

se intersecteaza) cu centrele ın x1, x2, ..., xm trasate in Fig. 1. 14.

In baza lemei lui Jordan, avem limR→∞

∫Im z>0

|z|=Rf(z)dz = 0. Prin urmare

facand R →∞, gasim:∫ +∞

−∞f(x)dx = 2πi

n∑

k=1

Rezz=akf(z)−

m∑

k=1

limδ→0

∫

γk

f(z)dz


Pentru a calcula ultimile integrale sa notam cu αk reziduul lui f relativla polul xk, deci αk = lim

z→xk

[(z − xk)f(z)]. Asadar, pentru δ suficient de mic

avem |(z − xk)f(z)− αk| < ε daca |z − xk| < δ. Sa aratam ca

limδ→0

∫

γk

f(z)dz = αk

∫

γk

dz

z − xk

Pentru aceasta vom evalua diferenta

|∫

γk

f(z)dz − αk

∫

γk

dz

z − xk| = |

∫

γk

(z − xk)f(z)− αk

z − xkdz| ≤

≤∫ π

0

|(z − xk)f(z)− αk||z − xk| δdϕ < επ caci pe γk avem z = xk + δeiϕ, ϕ ∈ [0, π]

iar |z − xk| = δ. Asadar gasim:∫ +∞

−∞f(x)dx = 2πi

n∑

k=1

Rezz=akf(z)− lim

δ→0

m∑

k=1

αk

∫

γk

dzz− xk

Cum ∫

γk

dz

z − xk=

∫ 0

π

iδeiϕdϕ

δeiϕ= −iπ

In definitiv, gasim formula:∫ +∞

−∞f(x)dx = 2πi[

n∑

k=1

Rezz=akf(z) +

12

m∑

k=1

Rezz=xkf(z)] (1.82)

care poarta numele de formula semi-reziduurilor deoarece apare factorul12 ın calculul reziduurilor polurilor aflate pe axa reala.

Exemplu. Vom recalcula∫ ∞

0

sinx

xdx =

π

2

cu ajutorul functiei f(z) = eiz

z , care admite z = 0 ca unic pol simplu pe axareala. Aplicand formula (1.82) gasim∫ ∞

−∞

eix

xdx = iπRezz=0(

eiz

z) = iπ =

∫ ∞

−∞

cos xx

dx+i∫ ∞

−∞

sin xx

dx = 2i∫ ∞

0

sin xx

dx

deoarece functia cos xx fiind impara, avem

∫ ∞

−∞

cosx

xdx = 0 iar cum sin x

x este

functie para, avem∫ ∞

−∞

sinx

xdx = 2

∫ ∞

0

sinx

xdx (ın sensul valorii principale

Cauchy).


Exercitii. Sa se stabileasca egalitatile de mai jos:

∫ ∞

−∞

x2 + 1x4 + 1

dx = π√

2;∫ ∞

−∞

1(x2 + 1)n

dx =(2n− 2)!π

22n−2[(n− 1)!]2;

∫ ∞

−∞

x2

(x2 + a2)2dx =

π

2a, a > 0;

∫ ∞

−∞

dx

(x2 + a2)(x2 + b2)=

π

ab(a + b);

∫ ∞

−∞

cosxdx

x2 + 9=

π

3e3;

∫ ∞

−∞

x sinxdx

x2 + 4x + 20=

πe−4

4(4 cos 2 + 2 sin 2);

∫ ∞

−∞

x cosxdx

x2 − 5x + 6= π(2 sin 2−3 cos 3);

∫ ∞

−∞

sinxdx

(x2 + 4)(x− 1)=

π

5(cos 1− 1

e2).

1.8.1 Reziduul punctului de la infinit.

Vom presupune f diferentiabila ın vecinatatea punctului z = ∞, adicaf este diferentiabila pentru orice z astfel ıncat |z| > R. Cu schimbarea devariabila

z =1ζ

(1.83)

functia f∗(ζ) = f(1ζ ) va fi diferentiabila pentru |ζ| < 1

R , avand o singularitate(eventual) pentru ζ = 0. Vom putea scrie deci

f∗(ζ) =+∞∑

n=−∞a∗nζn = ... + a∗−2ζ

−2 + a∗−1ζ−1 + a∗0 + a∗1ζ + a∗2ζ

2 + ... (1.84)

unde notand prin γ1 un contur ınchis din vecinatatea originii

a∗n =1

2πi

∫

γ1

f∗(ζ)ζn+1

dζ (1.85)

utilizand (1.83), se deduce dezvoltarea

f(z) = f∗(1z) =

+∞∑n=−∞

a∗nz−n = ... + a∗−2z2 + a∗−1z + a∗0 + a∗1z

−1 + a∗2z−2 + ...

(1.86)din care rezulta ca reziduul punctului de la infinit nu este coeficientul a∗−1 cicoeficientl a∗1, adica, din (1.85), pentru n = 1, avem

Rezz=∞f(z) =1

2πi

∫

γ1

f∗(ζ)ζ2

dζ (1.87)


Aplicand transformarea (1.83), adica scriind ζ = 1z , dζ = − 1

z2 dz, din(1.87) se deduce

Rezz=∞f(z) =1

2πi

∫

γf(z)dz (1.88)

unde γ este un contur ınchis care ocoleste z = ∞, ın sens direct (prin schim-barea ζ = 1

z conturul γ este parcurs ın sens invers sensului parcurs pe γ1,deoarece arg z = − arg ζ iar smnul minus de la dζ restabileste sensul direct deparcurgere a conturului ).

Trebuie retinut faptul cadaca z0 este o singularitate la distanta finita ınformula

Rezz=z0f(z) =1

2πi

∫

γf(z)dz

z parcurge conturul γ lasand z0 la stanga, pe cand ın formula (1.88) z = ∞este in afara conturului, ceea ce conduce ın final la urmatoarea concluzie:

Daca f este uniforma si admite ın C numai singularitati izolate, atuncisuma tuturor reziduurilor la distanta finita este egala cu rezuduul lui f lainfinit.

Intr-adevar, o astfel de functie nu poate avea decat un numar finit desingularitati (deoarece ın caz contrar ar exista un punct de acumulare desingularitati, care nu poate fi singularitate izolata ) si fie γR cercul de raza R cucentru ın origine care contine la interior toate singularitatile lui f , exceptandz = ∞. Teorema reziduurilor afirma ca

∫

γR

f(z)dz = 2πin∑

k=1

Rezz=zkf(z)

iar din (1.88) se deduce∫

γR

f(z)dz = 2πiRezz=∞f(z)

adica

Rezz=∞f(z) =n∑

k=1

Rezz=zkf(z) (1.89)

Daca ınsa se cauta ca sensul de parcurs pe γ atat pentru singularitati ladistanta finita cat si pentru z = ∞ sa fie cel direct (ceea ce ınseamna ca ın(1.88) sensul de parcurs al conturului γ este invers), atunci pentru functii fcare verifica ipotezele de mai sus, suma tuturor reziduurilor este nula.

In particular, aceste rezultate sunt aplicabile functiilor rationale, deci deforma

r(z) =p(z)q(z)


p si q fiind polinoame. De retinut faptul ca reziduul pentru z = ∞ poate sa fienenul si ın cazul ın care acest punct nu este singular pentru f . De exemplu,functia

f(z) =1

1 + z

are un pol simplu pentru z = −1 iar pentru z = ∞ are un zero simplu iar din(1.89) se deduce

Rezz=∞f(z) = Rezz=−1f(z) = 1 6= 0

(explicatia rezulta din (1.87), reziduul lui f∗ pentru ζ = 0 fiind a∗−1 pe candreziduul lui f relativ la z = ∞ este a∗1).

Vom utiliza in continuare conventia ca si pentru z = ∞, sensul de parcurssa fie astfel ıncat acest punct sa fie lasat ın stanga deci

Rezz=∞f(z) = − 12πi

∫

γf(z)dz =

12πi

∫

γ−f(z)dz (1.90)

Calculul lui Rezz=∞f(z) este simplu daca z = ∞ este pol sau punct ordinar(nesingular) pentru f . Astfel ın acest din urma caz avem dezvoltarea Laurent

f(z) = b0 +b1

z+

b2

z2+ ...

(pentru a avea limz→∞ f(z) ∈ C) iar reziduul va fi egal cu −b1, deci

Rezz=∞f(z) = − limz→∞ z[f(z)− b0].

Exemple.1. Sa calculam integrala:

I =∫

|z|=2

dz

(z4 − 1)(z + 3); f(z) =

1(z4 − 1)(z + 3)

Se observa ca ın interiorul cercului |z| = 2 se afla patru singularitati pentruf : 1, −1, i, −i pe cand ın exterior se afla doar doua singularitati: z = −3si z = ∞ (eventual). Deoarece ın conventia facuta suma tuturor reziduuriloreste nula (f este o functie rationala), se deduce:

I = −2πi[Rezz=∞f(z) + Rezz=−3f(z)] = −πi40

deoarece Rezz=−3f(z) =180

iar Rezz=∞f(z) = 0, deoarece z = ∞ este zero de

ordinul cinci pentru f : f(1ζ ) = ζ5

(1+3ζ)(1−ζ4).


2. Daca f(z) = z5+z3

1+z4 = z + z3−z1+z4 , atunci

∫

|z|=2f(z)dz = 2πi

deoarece Rezz=∞f(z) = −1 (coeficientul lui z cu semn schimbat, deoarece z3−z1+z4

are un zero simplu la ∞) iar∫

|z|=2f(z)dz = −2πiRezz=∞f(z)

1.9 Principiul argumentului si aplicatiile sale.

Fie f o functie meromorfa ın D. Atunci si raportul f ′f (numit si derivata

logaritmica a lui f) reste o functie meromorfa ın D dar zerourile si polurilelui f vor fi poluri simple pentru f ′

f . In adevar, daca ın vecinatatea lui z0 ∈ Davem

f(z) = (z − z0)ng(z), g(z0) 6= 0, n ∈ Z, n 6= 0

g fiind olomorfa ın vecinatatea lui z0 ∈ D rezulta imediat

f ′(z)f(z)

=n

z − z0+

g′(z)g(z)

si deci afirmatia facuta este justificata. Se observa ca reziduul functiei f ′f

relativ la polul z = z0 este egal cu ordinul de multiplicitate al zeroului saupolului considerat

Rezz=z0

f ′(z)f(z)

= n

si deci nu este nul.Daca ∂D = C si daca ın D f este functie meromorfa iar pe C nu are nici

poluri nici zerouri, atunci prin aplicarea teoremei reziduurilor lui f din rezultaegalitatea

12πi

∫

C

f ′(z)f(z)

dz = N − P (1.91)

ın care N este suma ordinilor de multiplicitate a zerourilor lui f din D iar Peste suma ordinilor de multiplicitate a polurilor lui f aflate ın D.

Formula (1.91) se generalizeaza imediat ın cazul interalelor de forma∫

Cg(x)

f ′(z)f(z)

dz,

ın care g este o functie analitica in D si se obtine

12πi

∫

Cg(x)

f ′(z)f(z)

dz =∑

k

mkg(zk)−∑

`

n`g(z`) (1.92)

1.9. PRINCIPIUL ARGUMENTULUI SI APLICATIILE SALE. 73

unde mk este ordinul de multiplicitate al zeroului zk al functiei f iar n` esteordinul de multiplicitate al polului z` al aceleiasi functie f , zk ∈ D, z` ∈D, C = ∂D.

In adevar, avem

Rezz=zk [g(z)f ′(z)f(z)

] = limz→zk

[(z− zk)g(z)f ′(z)f(z)

] = g(zk)mk

si o formula analoaga pentru polul z`. Prin aplicarea teoremei reziduurilor,se obtine exact (1.92), din care, pentru g = 1 se obtine (1.91) pentru ca prindefinitie N =

∑

k

mk, P =∑

`

n`.

Dar, deoarece avem∫

f ′(z)f(z)

dz = ln f(z), va rezulta egalitatea

∫

C

f ′(z)f(z)

dz = ln f(z)|C

unde, prin ϕ(z)|C se ıntelege, fie ϕ(z∗) − ϕ(z0) daca curba C are capetele z0

si z∗, sensul de parcurs pe C fiind de la z0 la z∗, fie cresterea pe care o suferafunctia cand z parcurge conturul C. In cazul nostru C este un contur (decio curba ınchisa) si deoarece avem ln f(z) = ln |f(z)| + i arg f(z) si cum sepresupune f(z) 6= 0 cand z ∈ C, va rezulta ca functia ln |f(z)| este uniformape C, deci ln |f(z)||C = 0. In schimb functia arg f(z) este multiforma si deciavem egalitatea ln f(z)|C = arg f(z)|C = care combinata cu formula (1.91)conduce la egalitatea importanta

12π

arg f(z)|C = N − P (1.93)

care reprezinta transcrierea analitica aunui principiu fundamental din teoriafunctiilor de o variabila complexa numit principiul variatiei argumentuluisi care se poate formula astfel:

Diferenta dintre numarul total de zerouri si poluri ale functiei f meromorfaın D, ∂D = C, este egala cu numarul de rotatii pe care le efectuiaza ın planulw vectorul cu originea ın w = 0 si cu extremitatea ın w = f(z) cand punctulz descrie conturul C (numarul de rotatii se considera pozitiv daca vectorul seroteste ın sens invers acelor unui ceasornic si negativ ın caz contrar).

O prima aplicatie a principiului argumentului este urmatoarea teorema:Teorema lui Rouche

Daca functiile f si g sunt analitice ın D, ∂D = C, atunci daca f(z) 6=0, z ∈ C iar |g(z)| < |f(z)|, z ∈ C, ın D functiile f si f + g au acelasi numarde zerouri.


dDeoarece functiile f si g+f sunt olomorfe ın D nu avem poluri ın domeniulconsiderat, teorema va fi demonstrata, daca aratam ca

arg[f(x) + g(x)]|C = arg f(x)|Cdeoarece se aplica (1.93) ın care P = 0, Ori din egalitatea f + g = f(1 + g

f )rezulta arg(f + g) = arg f + arg(1 + g

f ) si deci avem:

arg(f + g)|C = arg f |C + arg(1 +g

f)|C (1.94)

Daca z parcurge ın planul complex z conturul C, punctul w = 1 + g(z)f(z) va

parcurge ın planul complex w un contur C1 care se va afla ın interiorul cerculuide raza 1 cu centru ın punctul w = 1, deoarece ın baza ipotezei |g(z)| <

|f(z)|, z ∈ C, va rezulta |w − 1| = | g(z)f(z) | < 1. Aceasta ınseamna ca vectorul

w nu se va roti niciodata ın jurul originii din planul w, deci arg w|C = 0, prinurmare, rezulta din (1.94)

arg(f + g)|C = arg f |C + arg w|C = arg f |CcTeorema lui Rouche are numeroase aplicatii practice. O prima aplicatie

consta ın determinarea numarului de zerouri ale unui polinom dat, aflate ıntr-un domeniu D, ∂D = C.

Vom exemplifica ın cazul ecuatiei z5 − z3 − 2 = 0 cautand numarul dezerouri aflate ın cercul unitate |z| < 1.

Functia −5z3 este nenula pentru |z| = 1 si |−5z3| = 5|z| = 5 iar |z5−2| <| − 5z3| caci |z5 − 2| < |z5|+ 2 = 3 daca |z| = 1. In baza teoremei lui Rouche,ın cercul |z| < 1, polinomul z5 − z3 − 2 va avea tot atatea zerouri cat are z3

ın acelasi domeniu, adica trei zerouri.Se observa imediat ca procedeul aplicat acum poate fi utilizat si la demon-

strarea teoremei fundamentale a algebrei: Un polinom de grad n are nzerouri ın planul complex z.

In adevar, fie

Pn(z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a1z + a0 = f(z) + g(z), an 6= 0

f(z) = anzn, g(z) = an−1zn−1 + ... + a1z + a0

si fie C conturul cercului |z| = R cu R convenabil ales. Pe C vom avea:

|f(z)| = |an|Rn, |g(z)| ≤ |an−1|Rn−1+...+|a1|R+|a0| ≤ (|an−1|+...+|a1|+|a0|)Rn−1

si deci

|g(z)| < |f(z)|, z ∈ C daca R >|an−1|+ ... + |a1|+ |a0|

|an|Aplicand teorema lui Rouche, polinoamele f(z) si f(z) + g(z) = Pn(z) auacelasi numar de zerouri ın domeniul |z| < R, cu R determinat mai sus. Cumf are n zerouri, Pn va avea tot n zerouri, aflate toate ın cercul de raza R.

Capitolul 2

Serii Fourier.

2.1 Seria Fourier a unei functii de o variabila.

2.1.1 Convergenta ın medie.

In cadrul cursului de analiza matematica au fost definite doua tipuri deconvergenta pentru sirurile(seriile) de functii (fn(x))n∈N cu fn : A ⊆ R→ R sianume convergenta punctuala(simpla) care este foarte generala si convergentauniforma care ınsa este uneori prea restrictiva. Un alt tip de convergentapentru sirurile(seriile) de functii ıl constituie convergenta ın medie care esteintermediara fata de cele doua notiuni de convergenta amintite anterior (inter-mediara ın sensul ca orice sir(serie) uniform convergent(a) este ın acelasi timpconvergent(a) ın medie, reciproca nefiind adevarata. Mai precis, considerndmultimea R([a, b]) a functiilor integrabile Riemann pe [a, b] cu a < b, a, b ∈ R,sirul de functii (fn(x))n∈N din R([a, b]) va converge ın medie catre f ∈ R([a, b])daca:

(∀)ε > 0(∃)N = N(ε) ∈ N a.ı. (∀)n ≥ N sa avem:∫ ba (fn(x)−f(x))2dx < ε.

Vom evidentia doua proprietati:Proprietatea 1: Un sir sau o serie de functii din R([a, b]) uniform con-

vergent pe [a, b] va fi convergent si ın medie pe [a, b].d Intr-adevar aceasta rezulta din inegalitatea:∫ b

a(fn(x)− f(x))2dx < sup

x∈[a,b](fn(x)− f(x))2(b− a)c.

Proprietatea 2: Orice sir(serie) convergent(a) ın medie pe [a, b] va puteafi integrat(a) termen cu termen pe [a, b](chiar dupa ınmultirea cu o functie dinR([a, b]).

d Considernd inegalitatea Buniacovski-Schwartz:

(∫ b

af(x)g(x)dx)2 ≤

∫ b

af2(x)dx ·

∫ b

ag2(x)dx (2.1)

75

76 CAPITOLUL 2. SERII FOURIER.

pentru orice f, g din R([a, b]), si ınlocuind f cu fn − f sirul (fn(x))n∈N dinR([a, b]) converge n medie catre f ∈ R([a, b]) rezulta imediat:

(∫ ba fn(x)g(x)dx−∫ b

a f(x)g(x)dx)2 ≤ ε2∫ ba g2(x)dx, deci sirul (

∫ ba fn(x)g(x)dx)n∈N

din R este convergent si are limita∫ ba f(x)g(x)dx ın Rc.

Acest rezultat este important pentru ca, ın ipoteza ca seria de functii deforma:

a0 +∞∑

n=1

(an cos(nx) + bn sin(nx)), (2.2)

este convergenta ın medie catre o functie f ∈ R([−π, π]) atunci ın mod obliga-toriu coeficientii (an)n∈N, (bn)n∈N sunt determinati cu ajutorul formulelorluiFourier:

a0 =12π

∫ π

−πf(x)dx, an =

1π

∫ π

−πf(x) cos(nx)dx, bn =

1π

∫ π

−πf(x) sin(nx)dx.

(2.3)Justificarea acestor afirmatii se realizeaza usor integrand termen cu termenegalitatea: f(x) = a0 +

∑∞n=1(ancos(nx) + bnsin(nx)), dupa ınmultire cu

functia cos(mx) (pentru coeficientii am) sau cu functia sin(mx) (pentru coeficientiibm) si folosind egalitatile:∫ π

−πcos(nx)cos(mx)dx =

∫ π

−πsin(nx)sin(mx)dx =

∫ π

−πsin(nx)cos(mx)dx = 0,

(2.4)pentru orice m,n ∈ N , m 6= n(ultima egalitate si pentru n = m), si

∫ π

−πcos2(nx)dx =

∫ π

−πsin2(nx)dx = π (2.5)

Toate acestea se obtin folosind identitatile din trigonometrie:

2 cos(a) cos(b) = cos(a + b) + cos(a− b)

2 sin(a)sin(b) = cos(a− b)− cos(a + b)

2 sin(a) cos(b) = sin(a + b) + sin(a− b)

Pentru o functie f , marginita, periodica si monotona pe portiuni vom numiserie Fourier o serie de functii de forma:

a0 +∞∑

k=1

(ak cos(kωx) + bk sin(kωx)). (2.6)

Observam ca:

cos(kωx) = cos k(ωx + 2π) = cos kω(x +2π

ω)

2.1. SERIA FOURIER A UNEI FUNCTII DE O VARIABILA. 77

sin(kωx) = sin k(ωx + 2π) = sin kω(x +2π

ω)

ceea ce arata ca cos(kωx) si sin(kωx) sunt functii periodice de perioada T = 2πω

Proprietati ale functiilor cos(kωx) si sin(kωx) :

∫ T

0cos(kωx) cos(`ωx)dx =

0, daca k 6= `

T2 , daca k = `,

∫ T

0sin(kωx) sin(`ωx)dx =

0, daca k 6= `

T2 , daca k = `,

∫ T

0sin(kωx) cos(`ωx)dx = 0(∀)k, ` ∈ N

Definitie: Sirurile de functii (cosnωx)n∈N si (sin nωx)n∈N cu proprietatilede mai sus reprezinta un sistem de functii ortogonale.

Din proprietatea de periodicitate a functiilor cos(kωx) si sin(kωx) rezultaca daca seria (2.42) este convergenta catre functia f pe [a, b], va fi convergentala f pe [a + T, b + T ], ..., [a + nT, b + nT ].

Presupunand ca seria (2.42) este convergenta pe [0, T] determinam coeficientiiei astfel: ∫ T

0f(x)dx = Ta0.

∫ T

0f(x)cos(`ωx)dx =

T

2a`

si ∫ T

0f(x)sin(`ωx)dx =

T

2b`,

de unde rezulta, cu ω = 2πT :

a0 =1T

∫ T

0f(x)dx

ak =2T

∫ T

0f(x) cos(

2kπ

Tx)dx =

1T

∫ T

−Tf(x) cos(

2kπ

Tx)dx

bk =2T

∫ T

0f(x) sin(

2kπ

Tx)dx =

1T

∫ T

−Tf(x) sin(

2kπ

Tx)dx

Privind convergenta unei serii Fourier enuntam:Teorema 7 (Dirichlet):

Daca f este marginita, monotona pe portiuni si periodica atunci ın oricepunct ın care functia este continua, suma seriei este f(x) iar ın punctele de


discontinuitate suma seriei este: f(x−0)+f(x+0)2 , unde f(x − 0) este limita la

stanga iar f(x + 0) este limita la dreapta.Exemple:1) Fie

f(x) =

1, daca x ∈ [0, 1]2 , daca x ∈ [1, 2]

a) Sa se dezvolte f ın serie Fourier.b) Sa se dezvolte f , ın serie de cosinusic) Sa se dezvolte f , ın serie de sinusi.Rezolvare: T = 2

Pentru punctul a)

a0 =1T

∫ T

0f(x)dx =

12(∫ 1

0+

∫ 2

12dx) =

32

ak = 2T

∫ T0 f(x) cos(2kπ

T x)dx =∫ 10 cos(kπx)dx + 2

∫ 21 cos(kπx)dx =

= sinkπkπ + 2 sin2kπ

kπ − 2 sinkπkπ = 0

bk = 2T

∫ T0 f(x) sin(2kπ

T x)dx =∫ 10 sin(kπx)dx + 2

∫ 21 sin(kπx)dx =

= − cos kπkπ − 2 cos 2kπ

kπ + 1kπ + 2 cos kπ

kπ = cos kπkπ − 1

kπdeci seria Fourier este :

32− 2

π

∞∑

s=0

12s + 1

sin(2s + 1)πx =

f(x), daca x 6= n, n ∈ Zf(x−0)+f(x+0)

2 , daca x = n, n ∈ Z

Pentru punctul b) avem in general

fc(x) =

f(x), daca x ∈ [0, T ]f(−x) , daca x ∈ [−T, 0],

cu f(x + T ) = f(x), atuncifc(x + 2T ) = fc(x), x ∈ (−T, T ) si fc(−x) = fc(x) x ∈ (−T, T )In acest caz seria Fourier asociata lui fc(x) este

a∗0 +∞∑

n=1

(a∗n cos(nx) + b∗n sin(nx))

unde

a∗0 =1

2T

∫ T

−Tf(x)dx =

1T

∫ T

0f(x)dx

a∗k =2

2T

∫ T

−Tf(x) cos(

2kπ

Tx)dx =

2T

∫ T

0f(x) cos(

2kπ

Tx)dx


b∗k =2

2T

∫ T

−Tf(x) sin(

2kπ

Tx)dx = 0

pentru orice k ∈ NDeci seria asociata va fi o serie de cosinusi, rezultat valabil ıntotdeauna

cand este vorba de o functie para si vom avea

a∗0 +∞∑

n=1

(a∗n cos(nx)

Concret pentru cazul b) avem:

a∗0 =12(∫ 1

0dx +

∫ 2

1dx) =

32

a∗k =∫ 1

0cos(

kπ

2x)dx +

∫ 2

12 cos(

kπ

2x)dx = − 2

kπsin(

kπ

2)

si vom avea

32− 2

π

∞∑

s=0

12s + 1

cos(2s + 1)πx =

f(x), daca x 6= n, n ∈ Zf(x−0)+f(x+0)

2 , daca x = n, n ∈ Z

Pentru punctul c) avem in general

fs(x) =

f(x), daca x ∈ [0, T ]−f(−x) , daca x ∈ [−T, 0],

cu f(x + T ) = f(x), atuncifs(x + 2T ) = fc(x), x ∈ (−T, T ) si fs(−x) = −fs(x) x ∈ (−T, T )In acest caz seria Fourier asociata lui fc(x) este

a∗∗0 +∞∑

n=1

(a∗n cos(nx) + b∗n sin(nx))

unde

a∗∗0 =1

2T

∫ T

−Tf(x)dx = 0

a∗∗k =2

2T

∫ T

−Tf(x) cos(

2kπ

Tx)dx = 0

b∗∗k =2

2T

∫ T

−Tf(x) sin(

2kπ

Tx)dx =

2T

∫ T

0f(x) cos(

2kπ

Tx)dx

pentru orice k ∈ N


Deci seria asociata va fi o serie de sinusi, rezultat valabil ıntotdeauna candeste vorba de o functie impara si vom avea

∞∑

n=1

b∗∗n sin(nx)

Concret pentru cazul c) avem:

b∗∗k =∫ 1

0sin(

kπ

2x)dx +

∫ 2

12 cos(

kπ

2x)dx =

2kπ

coskπ

2+

2kπ

− 4kπ

(−1)k

Dupa calcule va rezulta dezvoltarea ın serie de sinusi.

2.1.2 Forma complexa a seriei Fourier.

Fie f(x) o functie reala sau complexa, periodica de perioada T , integrabilape orice interal [α, α + T ]. Seria sa Fourier,

a0 +∞∑

k=1

(ak cos kωx + bk sin kωx), ω =2π

T

este determinata, coeficientii a0, ak, bk fiind dati de formulele

a0 =1T

∫ α+T

αf(x)dx, ak =

1T

∫ α+T

αf(x) cos kωxdx, bk =

1T

∫ α+T

αf(x) sin kωxdx,

(2.7)k=1,2,3,... Aceste egalitati se numesc formulele lui Euler si Fourier.

Sa inlocuim functiile trigonometrice prin exponentiale, folosind formulelelui Euler:

cos kωx =12(eikωx + e−ikωx), sin kωx = − i

2(eikωx − e−ikωx)

Seria Fourier devine:

a0 +∞∑

k=1

(ak − ibk

2eikωx +

ak + ibk

2e−ikωx)

Coeficientii acestei serii de functii exponentiale sunt:

c0 = a0 =1T

∫ α+T

αf(x)dx,

ck =ak − ibk

2=

1T

∫ α+T

αf(x)(cos kωx−i sin kωx)dx =

1T

∫ α+T

αf(x)e−ikωxdx


c∗k =ak + ibk

2=

1T

∫ α+T

αf(x)(cos kωx + i sin kωx)dx =

1T

∫ α+T

αf(x)eikωxdx

Observam ca toti acesti coeficienti se pot obtine din

cn =1T

∫ α+T

αf(x)e−inωxdx, n = 0,±1,±2, ...

Deci, seria Fourier a functiei f(x) se mai scrie

c0 +∞∑

k=1

(ckeikωx + c−ke

−ikωx)

sau ınca ∞∑

k=−∞cneinωx, cn =

1T

∫ α+T

αf(t)e−inωtdt (2.8)

Aceasta este forma complexa a seriei Fourier.Daca f(x) satisface conditiile Dirichlet si daca ın fiecare punct de disconti-

nuitate valoarea functiei este egala cu media aritmetica a limitelor sale lateraleın acel punct, atunci

f(x) =1T

+∞∑n=−∞

∫ α+T

αf(t)einω(x−t)dt (2.9)

Capitolul 3

Transformate.

3.1 Transformata Fourier.

3.1.1 Transformata Fourier a functiilor.

Fie f : (−∞, +∞) → C o functie de argument real si avand valoricomplexe (adica f(x) ∈ C, deci f(x) = f1(x) + if2(x) unde f1 si f2 suntfunctii reale de argument real). Sa nu se confunde cu functiile f(z) undez ∈ C, deci z = x + iy. Sa presupunem ca f este absolut integrabila pe axareala, adica ∫ +∞

−∞|f(x)|dx < +∞ (3.1)

Prin definitie, transformata Fourier a functiei f definita anterior este functiaf(ξ) definita ın modul urmator

f(ξ) =∫ +∞

−∞eixξf(x)dx (3.2)

unde ξ este o alta variabila reala. Din cauza conditiei (3.1) integrala dinmembrul drept al relatiei (3.2) este o integrala improprie (deoarece intervalulde integrare are lungime infinita) convergenta. In adevar, putem scrie

|f(ξ)| ≤∫ +∞

−∞|eixξf(x)|dx =

∫ +∞

−∞|f(x)|dx < ∞

deoarece |eixξ| = 1, caci x, ξ ∈ R.Transformata Fourier definita mai sus transforma functiile de argument

real si cu valori complexe tot ın functii de argument real si avand valori com-plexe. O aplicatie a unei multimi de functii ın alta multime de functii senumeste operator. De aceea transformata Fourier defineste un operator spe-cial F : M1 → M2, unde M1 = f si M1 = f (ın ipoteza ca f exista).

83

84 CAPITOLUL 3. TRANSFORMATE.

Acest operator F , definit deci prin relatia

F [f ] = f

va fi un operator liniar, adica

F [λf + µg] = λF [f ] + µF [g]

oricare ar fi constantele λ, µ ∈ C, deoarece

F [λf+µg] =∫ +∞

−∞(λf+µg)(x)eixξdx = λ

∫ +∞

−∞f(x)eixξdx+µ

∫ +∞

−∞g(x)eixξdx =

= λF [f ] + µF [g]Exemple.

1) Daca f(x) = e−εx2, ε > 0, x ∈ R, evident

∫ +∞

−∞e−εx2

dx < ∞, deci f

este functie integrabila. Vom obtine

f(ξ) =∫ +∞

−∞e−εx2

eixξdx =∫ +∞

−∞e−(εx2−ixξ) = e−

ξ2

4ε

∫ +∞

−∞e−(√

εx− iξ2√

ε)2

dx

Efectuand schimbarea de variabila√

εx− iξ2√

ε= α, dx = 1√

εdα, gasim

F [e−εx2](ξ) =

e−ξ2

4ε√ε

∫ +∞− i2√

εξ

−∞− i2√

εξ

e−α2dα,

integrarea efectuandu-se pe dreapta Im z = − 12√

εξ. Or ın banda cuprinsa

ıntre dreptele Im z = 0 si Im z = − 12√

εξ functia care se integreaza e−z2

este

olomorfa si deoarece e−z2 → 0 cand x →∞(z = x+iy), conform cu teorema luiCauchy integrala calculata pe dreapta Im z = − 1

2√

εξ va avea aceeasi valoare

ca si integrala calculata pe axa reala, Im z = 0. Deoarece∫ +∞

−∞e−t2dt =

√π,

obtinem:

F [e−εx2](ξ) = e−εx2 =

√π

εe−

ξ2

4ε (3.3)

2) f(x) = 1x2+a2 , a > 0. Aplicand lema lui Jordan, avem:

∫ +∞

−∞

eixξ

x2 + a2dx = 2iπRezz=ai

eizξ

z2 + a2= 2iπ

e−aξ

2ai=

π

ae−aξ daca , ξ > 0

Daca ξ < 0, vom aplica lema lui Jordan dupa transformarea lui x ın −x:∫ +∞

−∞

ei(−x)(−ξ)

(−x)2 + a2dx = 2iπRezz=ai

ei(z)(−ξ)

z2 + a2= 2iπ

ei(ai)(−ξ)

2ai=

π

aeaξ daca , ξ < 0

3.1. TRANSFORMATA FOURIER. 85

Reunind cele doua formule, vom scrie:

F [1

x2 + a2](ξ) =

π

ae−a|ξ|

Exercitii. Sa se stabileasca formulele de mai jos:1) F [e−a|x|](ξ) = 2a

a2+ξ2

2) F[

e−ax, daca x > 00 , daca x ≤ 0

](ξ) = a+iξ

a2+ξ2

3) F[

1, daca |x| < a0 , daca |x| ≥ a

](ξ) = 2 sin(aξ)

ξ

4) F[

1, daca a ≤ x ≤ b0 , daca x < a si x > b

](ξ) = eibξ−eiaξ

iξ

5) F[

1− |x|a , daca |x| < a

0 , daca |x| > a

](ξ) = 2

a2ξ2 (1− cos(aξ))

6) F[

b− b|x|a , daca |x| < a

0 , daca |x| > a

](ξ) = 2b

a2ξ2 (1− cos(aξ))

7) F[

cos(ax), daca |x| < a0 , daca |x| > a

](ξ) = 2

a2−ξ2 [a sin(a2) cos(aξ)−ξ cos(a2) sin(aξ)]

8) F

i, daca 0 < x < a−i, daca − a < x < 00 , daca |x| ≥ a

(ξ) = 2

ξ (cos(aξ)− 1)

9) F [ 1x4+1

](ξ) = πe− ξ√

2 (sin ξ√2

+ cos ξ√2)

Evident, exista functii pentru care transformarea Fourier nu este din nou

o functie. De exemplu, daca f(x) = x, x ∈ R, integrala∫ +∞

−∞xeixdx este

divergenta.

3.1.2 Inversa transformatei Fourier.

Problema principala care trebuie rezolvata ın cazul transformatei Fourier(3.2) este urmatoarea: prsupunand ca in relatia (3.2) se cunoaste f , se cere sase determine f .

In acest mod, practic trebuie rezolvata o ecuatie integrala, deoarece functianecunoscuta se afla sub semnul integral. Aceasta problema se rezolva cu aju-torul urmatoarei teoreme:

Teorema de inversare. Daca ın relatia (3.2) f este o functie continua siabsolut integrabila pe R, atunci este valabila formula:

f(x) =12π

∫ +∞

−∞f(ξ)e−ixξdξ (3.4)


numita formula de transformare inversa a lui Fourier.d Se considera integrala urmatoare:

F (x) =∫ +∞

−∞f(ξ)e−ixξ−εξ2

dξ, ε > 0

ın care, daca se ınlocuieste f prin expresia sa data de (3.2) si se inverseazaordinea de integrare se va obtine

∫ +∞

−∞e−εξ2−ixξ[

∫ +∞

−∞eyξf(y)dy]dξ =

∫ +∞

−∞f(y)[

∫ +∞

−∞e−εξ2+iξ(x−y)dξ]dy

(ın integrala anterioara s-a notat cu y variabila de integrare pentru a nu pro-duce confuzii cu variabila x care mai apare). Integrala ultima din egalitateaprecedenta poate fi considerata ca fiind transformata Fourier a functiei e−εξ2

considerata ınsaa ca functie de variabila (x−y). Conform cu relatia (3.3) vomavea: ∫ +∞

−∞e−εξ2+iξ(x−y)dξ =

√π

εe−

(y−x)2

4ε

si deci se obtine egalitatea:

∫ +∞

−∞e−εξ2−ixξf(ξ)dξ =

√π

ε

∫ +∞

−∞e−

(y−x)2

4ε f(y)dy

Efectuand schimbarea de variabila y = x + 2√

εt, dy = 2√

εdt, gasim

∫ +∞

−∞e−εξ2−ixξ f(ξ)dξ = 2

√π

∫ +∞

−∞e−t2f(x + 2

√εt)dt (3.5)

din care, prin trecere la limita, pentru ε → 0 se va obtine egalitatea:∫ +∞

−∞e−ixξ f(ξ)dξ = 2

√π

∫ +∞

−∞e−t2f(x)dt = 2

√πf(x)

∫ +∞

−∞e−t2dt

care va coincide cu (3.4) deoarece∫ +∞

−∞e−t2dt =

√πc

Se constata ca formulele (3.2) si (3.4) sunt simetrice: formula inversa (3.4)se obtine din formula initiala (directa) (3.2) prin plasarea factorului 1

2π ın fatasemnului integral si prin schimbarea semnului lui i de la exponent.

Dupa cum rezulta din demonstratie, relatia (3.4) este valabila ın fiecarepunct de continuitate al functiei f . Insa daca x0 este punct de discontinuitatede prima speta pentru functia f , se poate scrie o relatie asemanatoare cu(3.5) pentru f cu conditia ca ın punctul x0 sa se considere valoarea functiei


egala cu 12 [f(x0+)+f(x0−)]. Acest fapt se poate justifica astfel: daca se scrie

egalitatea (3.5) ın punctul x0 sub forma∫ +∞


√π

∫ 0

−∞e−t2f(x+2

√εt)dt+2

√π

∫ +∞

0e−t2f(x+2

√εt)dt

si facand ε → 0, gasim∫ +∞


√πf(x0−)

∫ 0

−∞e−t2dt + 2

√πf(x0+)

∫ +∞

0e−t2dt

deoarece t ∈ (−∞, 0), 2√

εt ∈ (−∞, 0) iar limε→0

f(x + 2√

εt) = f(x0 − 0) si

daca t ∈ (0,+∞), 2√

εt ∈ (0, +∞) iar limε→0

f(x + 2√

εt) = f(x0 + 0). Cum∫ 0

−∞e−t2dt =

∫ +∞

0e−t2dt =

√π

2vom obtine ın definitiv:

2πf(x0−) + f(x0+)

2=

∫ +∞

−∞e−εξ2−ixξ f(ξ)dξ

Prin urmare, formula de inversiune (3.4) este valabila atat ın punctele decontinuitate ale lui f cat si ın punctele de salt, cu conditia ca valoarea functieif ıntr-un punct de salt sa fie egala cu f(x0−)+f(x0+)

2 . Deci, mai general, formulade inversiune Fourier (3.4) se poate scrie sub forma:

f(x0−) + f(x0+)2

=12π

∫ +∞

−∞f(ξ)e−ixξdξ (3.6)

deoarece daca x este punct de continuitate pentru f , avem f(x0−) = f(x0+) =f(x0) si deci f(x−)+f(x+)

2 = f(x).Ilocuind expresia (3.4) ın relatia (3.6), schimband variabila de integrare

din (3.4) din x ın y, se obtine formula urmatoare

f(x) =12π

∫ +∞

−∞[∫ +∞

−∞f(y)eiξ(y−x)]dξ (3.7)

numita integrala lui Fourier (sub forma complexa).Din cauza interpretarilor fizice, ın formulele (3.4) si (3.6) variabila ξ se

numeste numar de unda iar multimea valorilor ξ care apar ın aceste for-mule se numeste spectrul numerelor de unda (care ın acest caz coincidecu R ). Transformata Fourier f(ξ) se mai numeste functie spectrala saudensitate spectrala.

In unele cazuri se utilizeaza alte forme ale formulelor (3.4) si (3.6) careprovin din descompunerea exponentialei eiξx = cos(ξx) + i sin(ξx). Astfel, se


defineste transformarea cosinus Fourier a functiei f , notata prin fc(ξ), prinrelatia

fc(ξ) =∫ ∞

0f(x) cos(ξx)dx (3.8)

In mod analog, transformarea sinus Fourier a aceleiasi functii va fi

fs(ξ) =∫ ∞

0f(x) sin(ξx)dx (3.9)

Formulele inverse vor fi

f(x) =2π

∫ ∞

0fc(ξ) cos(ξx)dξ (3.10)

respectiv

f(x) =2π

∫ ∞

0fs(ξ) sin(ξx)dξ (3.11)

Pentru a demonstra, de exemplu formula (3.10), vom presupune f functiepara, adica f(−x) = f(x), ceea ce nu este o restrictie deoarece in (3.9) apar subsemnul integral doar valorile lui f pentru x > 0, ceea ce face sa fie indiferentevalorile lui f pentru x < 0. Va rezulta ca functiile f(x) cos(ξx) si f(x) sin(ξx)

vor fi para respectiv impara, deci∫ +∞

−∞f(x) cos(ξx)dx = 2

∫ +∞

0f(x) cos(ξx)dx,

∫ +∞

−∞f(x) sin(ξx)dx = 0. Vom putea scrie:

fc(ξ) =12

∫ +∞

−∞f(x) cos(ξx)dx +

i

2

∫ +∞

−∞f(x) sin(ξx)dx =

12

∫ +∞

−∞f(x)eixξdx

iar prin aplicarea formulei (3.4se v obtine

f(x) =12π

∫ +∞

−∞2fc(ξ)e−ixξdξ =

1π

∫ +∞

−∞fc(ξ) cos(xξ)dξ− i

π

∫ +∞

−∞fc(ξ) sin(xξ)dξ =

= 2π

∫ +∞

0fc(ξ) cos(xξ)dξ deoarece din (3.8) rezulta ca fc va fi functie para ın

variabila ξ.Exemplu. Daca f(x) = e−αx α > 0, x ∈ R, avem:

fc(ξ) + ifs(ξ) =∫ +∞

0e−αx[cos(ξx) + i sin(ξx)]dx =

∫ +∞

0e−x(α−iξ)dx =

=1

α− iξe−x(α−iξ)|x=0

x=∞ =1

α− iξ=

α + iξ

α2 + ξ2


si deci

fc(ξ) =α

α2 + ξ2, fs(ξ) =

ξ

α2 + ξ2

In baza relatiilor inverse (3.10) si (3.11) se obtin egalitatile

e−αx =2α

π

∫ +∞

0

cos(ξx)α2 + ξ2

dξ, e−αx =2π

∫ +∞

0

ξ sin(ξx)α2 + ξ2

dξ

Exercitii. Sa se stabileasca egalitatile urmatoare1) F [f(x)](ξ) = F [f(x)];2) F [f(b− x)](ξ) = eibξF [f(x)](−ξ);3) F [f(−x)](ξ) = F [f(x)](−ξ);4) F [f(x + a) + f(x− a)](ξ) = 2 cos(aξ)F [f(x)](ξ);5) F [f(x + a)](ξ) = e−iaξF [f(x)](ξ);6) F [f(x + a)− f(x− a)](ξ) = −2i sin(aξ)F [f(x)](ξ);7) F [2f(x)− f(x + a)− f(x− a)](ξ) = 4 sin2(aξ

2 )F [f(x)](ξ);8) F [f(ax)](ξ) = 1

aF [f(x)]( ξa);

9) F [f(ax + b)](ξ) = 1ae−

baξF [f(x)]( ξ

a);10) F [eiaxf(x)](ξ) = F [f(x)](ξ + a);11) F [eibxf(ax)](ξ) = 1

aF [f(x)]( ξ+ba );

12) F [eibxf(ax + c)](ξ) = 1ae−

ca(ξ+b)F [f(x)]( ξ+b

a );13) F [cos(bx)f(x)](ξ) = 1

2F [f(x)](ξ + b) + 12F [f(x)](ξ − b);

14) F [sin(bx)f(x)](ξ) = 12iF [f(x)](ξ + b)− 1

2iF [f(x)](ξ − b);15) F [sin2(bx)f(x)](ξ) = 1

2F [f(x)](ξ)− 14F [f(x)](ξ+2b)− 1

4F [f(x)](ξ−2b);16) F [cos(bx)f(ax+c)](ξ) = 1

2ae−i ca(ξ+b)F [f(x)]( ξ+b

a )+ 12ae−i c

a(ξ−b)F [f(x)]( ξ−b

a ).

Sa presupunem acum ca f este astfel ıncat produsul eα|x|f(x) sa fie integra-bil pe R pentru un α > 0. Este evident ca ın acest caz f este suficient de reg-ulata si descreste repede la infinit deoarece prin ipoteza avem eα|x||f(x)| < Mdeci |f(x)| ≤ Me−α|x| si deci |xmf(x)| ≤ M |x|me−α|x| → 0 cand x → ±∞.

In acest caz, functia f(ζ), ζ = ξ + iη este olomorfa ın banda |η| ≤ α. In

adevar, deoarece f(ζ) =∫ +∞

−∞f(x)eixζdx va rezulta

f(ζ) =∫ +∞

−∞f(x)eixζdx =

∫ +∞

−∞f(x)eix(ξ+iη)dx =

∫ +∞

−∞f(x)eixξe−xηdx

si deoarece|f(x)eixξ · e−xη| ≤ |f(x)|e|xη| ≤ |f(x)|eα|x|

pentru |η| ≤ α, ultima integrala va fi convergenta pentru −α ≤ η ≤ +α.Derivand formal f se obtine

f ′(ξ) =∫ +∞

−∞(ix)f(x)eixζdx


iar pentru |η| < α integrala va fi uniform convergenta deoarece

|ixf(x)eixζ | = |xf(x)e−xη| ≤ |xf(x)e|xη|| = |xf(x)e(|η|−α)|x|e|x|α| =

= |f(x)|e|x|αe(|η|−α)|x| ≤ C|f(x)|e|x|α unde |xe(|η|−α)| ≤ C deoarece pentru|η| < α, xe|x|(|η|−α) → 0 uniform cand x →∞ ceea ce face ca C sa nu depindade x. Deci, deoarece f ′ este reprezentat de o integrala improprie uniformconvergenta, rezulta posibilitatea derivarii sub semnul integral, deci f(ζ) esteo functie olomorfa ın banda |η| = |Im ζ| < ∞. In plus se verifica imediat cadaca |x| → ∞ ın aceasta banda, |f | → 0. Ca o consecinta imediata a acestorrezultate, ın baza teoremei lui Cauchy, ın formula inversa

f(x) =12π

∫ +∞

−∞f(ξ)e−ixξdξ

integrala nu-si schimba valoarea daca se efectuiaza integrarea pe orice paralelala axa reala aflata ın banda |η| < α. Asadar, va fi valabila relatia

f(x) =12π

∫ +∞+iC

−∞+iCf(ξ)e−ixξdξ. (3.12)

3.2 Transformata Laplace.

3.2.1 Transformata Laplace a functiilor.

In cazul transformarii Fourier studiata anterior, s-a presupus x ∈ R ceeace ınseamna ca aceasta transformare este aplicabila ın cazul problemelor ıncare variabila independenta ia valori ıntre −∞ si +∞. Exista ınsa fenomeneın care variabila independenta (de exemplu timpul) ia valori ıncepand de lao anumita valoare (cum ar fi momentul initial ın cazul timpului). De aceea,practic x va varia ıntre 0 si ∞.

O alta ipoteza utilizata ın cazul transformarii Fourier nu este ıntotdeaunaverificata. Anume, s-a presupus ca f este absolut integrabila pe R, adica∫ +∞

−∞|f(x)|dx < ∞. Or, ın cazul unor functii simple, utilizate ın practica,

cum ar fi f(x) = 1, f(x) = x, f(x) = x2 etc. aceasta conditie nu esteındeplinita, ceea ce face ca aceste functii sa nu aibe transformata Fourier ınsens obisnuit.

Pentru a se ınlatura aceste restrictii, vom considera ın viitor functii fdefinite pentru x ∈ R, dar nule pentru x < 0. Cu alte cuvinte, vom ınlocuifunctia f prin f+ unde

f+(x) =

f(x), daca x ≥ 00 , daca x < 0

(3.13)

3.2. TRANSFORMATA LAPLACE. 91

valoarea in origina fiind 12f(0+), pentru a se verifica conditia (3.6), daca f(0+)

este finit. In aceasta ipoteza, vom putea scrie

f+(ξ) =∫ +∞

−∞f+(x)eixξdx =

∫ +∞

0f(x)eixξdx (3.14)

si deci formula inversa va fi

12π

∫ +∞

−∞f+(ξ)e−ixξdξ = f+(x) =

f(x), pentru x > 00 , pentru x < 0

(3.15)

Pentru a ınlatura cea de-a doua obiectie, se va presupune ca functia f ın cauzaeste astfel ıncat integrala

I(s0) =∫ +∞

0|f(x)|e−s0xdx (3.16)

este convergenta pentru un s0 ∈ R, s0 > 0. Cu alte cuvinte, se vor lua ınconsideratie functiile care verifica inegalitatea

|f(x)| ≤ Mes0x, x ∈ (0, ∞), s0 > 0(s0 fixat) (3.17)

In aceste ipoteze, prin definitie integrala cu parametru

F (p) =∫ +∞

0f(x)e−pxdx (3.18)

va deveni o noua functie care se va numi transformarea (sau transformata)Laplace a functiei f si se noteaza L[f(x)] = F (p)

Sa presupunem parametrul p complex si sa gasim domeniul de existentala functiei F . Scriind p = s + it, avem

|e−px| = |e−sx · e−itx| = e−sx|e−itx| = e−sx

si deoarece pentru x > 0 functia e−x este descrescatoare, pentru s > s0 six > 0 avem e−sx < e−s0x. Prin urmare, utilizand conditia (3.16), putem scrie

|F (p)| = |∫ ∞

0f(x)e−psdx| ≤

∫ ∞

0|f(x)||e−ps|dx =

∫ ∞

0|f(x)|e−xsdx <

<

∫ ∞

0|f(x)|e−xs0dx < ∞ si deci functia F este definita pentru Re p = s >

s0. Deci domeniul de definitie al transformatei Laplace L[f ] = F (p) estesemiplanul Re p > s0 (s0 fiind definit prin conditia (3.17)).

Se poate verifica ca integrala∫ ∞

0x|f(x)|e−xs0dx este convergenta uniform

si ca F este olomorfa pentru Re p > s0. In adevar, derivand F formal sub

semnul integral se obtine integrala uniform convergenta∫ ∞

0xf(x)e−pxdx.


3.2.2 Inversa transformatei Laplace.

Ca si ın cazul transformarii Fourier, o problema importanta este aceea ainversarii formulei (3.18) drept o ecuatie integrala ın care functia necunoscutaeste f iar F este presupus cunoscut, sa exprimam pe f cu ajutorul lui F = L[f ].

Pentru aceasta, vom compara relatia (3.18) cu relatia (3.4) gasim

L[f ] = F (p) =∫ ∞

0f(x)e−pxdx =

∫ +∞

−∞f+(x)e(ix)(ip)dx = f+(ip)

si rezulta ca transformarea Laplace nu este altceva decat transformarea Fouriera functiei f+ definita prin relatia (3.13), calculata pentru argumentul ip (cualte cuvinte este vorba de o rotatie de unghi π

2 a axelor: axa reala ξ se trans-forma in axa imaginara is ). Deoarece

|f(x)e−px| = |f(x)e−sx−itx| = |f(x)|e−sx| ≤ Mes0x−sx = Me−αx

cu α = s − s0, varezulta ca pentru α > 0, deci pentru s > s0 se poate aplicaformula (3.12) de inversiune si vom avea

f+(x) =12π

∫ +∞+iC

−∞+iCf+(ξ)e−ixξdξ.

Efectuand ın integrala schimbarea de variabila ξ = ip, limitele de integrarevor deveni C + i∞ respectiv C − i∞ si se gaseste

f+(x) = − 12πi

∫ −i∞+C

i∞+Cf+(ip)expdp.

care conduce la formula finala cautata (numita formula lui Mellin )

12πi

∫ −i∞+C

i∞+CF (p)expdp = f+(x) =

f(x), daca x > 00 , daca x < 0

(3.19)

ın care drumul de integrare este o dreapta paralela cu axa imaginara situataın domeniul de olomorfie al functiei F , deci C > s0.

Vom nota relatia (3.19) si astfel

L−1[F (p)](x) = f+(x) (3.20)

O functie f pentru care sunt verificate conditiile:a) f este definita si local integrabila pentru x > 0, f = 0 daca x < 0b) |f(x)| ≤ Mes0x, s0 > 0 fiind fixat iar x > 0

se numeste functie original sau original ın timp ce transformata ei Laplacese numeste functie imagine sau imagine.


Prin functie local integrabila pentru x > 0 se ıntelege o functie pentru carebaf(x)dx exista oricare ar fi constantele 0 < a < b.

Se poate vedea imediat ca |F (P )| → 0 cand p → ∞ pe orice dreaptaRe p = s > s0 deoarece, utilizand conditia b), avem cu p = s + it:

|F (p)| ≤∫ ∞

0|f(x)||e−px|dx ≤ M

∫ ∞

0e−sx+s0xdx =

M

s0 − se(s0−s)x|x=∞

x=0 =M

s− s0

daca s − s0 > 0 caci atunci limx→+∞ e−(s−s0)x = 0. Daca p → ∞ pe dreapta

Re p = s > s0 ınseamna ca s → ∞ si deci Ms−s0

→ 0 adica F (p) → 0 cands →∞.

In studiul transformatei Laplace este utila functia unitate sau functialui Heaviside definita astfel:

h(x) =

1, daca x ≥ 00 , daca x < 0

Cu ajutorul functiei h vom putea scrie f+ = f · h, f+ fiind definit prin (3.13).Exemple.

1) L[h(x)](p) =∫ ∞

01 · e−pxdx =

e−px

p|x=∞x=0 =

1p

= H(p)

Aici s0 poate fi zero si deci putem scrie formula lui Mellin corespunzatoare

h(x) =1

2πi

∫ C+i∞

C−i∞

1pepxdp

ın care C este orice numar real pozitiv.

2) L[sin(x)](p) =∫ ∞

0sinxe−pxdx =

e−px

1 + p2(−p sinx−cosx)|x=∞

x=0 =1

1 + p2

Formula inversa se va scrie deci

sinx =1

2πi

∫ C+i∞

C−i∞

epx

1 + p2dp

cu C iarasi, orice numar pozitiv, deoarece evident se poate lua s0 = 0.

3) L[cos(x)](p) =∫ ∞

0cosxe−pxdx =

e−px

1 + p2(sinx− p cosx)|x=∞

x=0 =p

1 + p2

si formula inversa se va scrie deci

cosx =1

2πi

∫ C+i∞

C−i∞

p

1 + p2epxdp, C > 0, x > 0

4) L[erx](p) =∫ ∞

0erx · e−pxdx =

∫ ∞

0e−(p−r)xdx =

1p− r


Oricare ar fi r ∈ C, pentru orice p astfel ıncat Re p >Re r (conditie impusade convergenta integralelor ın cauza ). Formula inversa va fi:

erx =1

2πi

∫ C+i∞

C−i∞

epx

p− rdp

cu C >Re r.5) L[coshx](p) =

∫ ∞

0coshxe−pxdx =

12

∫ ∞

0ex−pxdx+

12

∫ ∞

0e−x−pxdx =

12(

1p− 1

+1

p + 1) =

p

p2 − 1si deci:

coshx =1

2πi

∫ C+i∞

C−i∞

p

p2 − 1epxdp, C > 1.

6) L[sinhx](p) =∫ ∞

0sinhxe−pxdx =

12

∫ ∞

0ex−pxdx− 1

2

∫ ∞

0e−x−pxdx =

12(

1p− 1

− 1p + 1

) =1

p2 − 1si deci:

sinhx =1

2πi

∫ C+i∞

C−i∞

epx

p2 − 1dp, C > 1.

7) L[xa](p) =∫ ∞

0xae−pxdx =

1pa+1

∫ ∞

0e−ttadt

daca se efectuiaza schimbarea de variabila px = t. Deoarece∫ ∞

0e−ttadt = Γ(a + 1),

rezulta formulaL[xa] =

Γ(a + 1)pa+1

valabila pentru orice a ∈ C, Re a > −1.Deci, pentru C > 0 avem si relatia inversa

xa

Γ(a + 1)=

12πi

∫ C+i∞

C−i∞

1pa+1

epxdp

In particular, pentru a = n, cum Γ(n + 1) = n!, avem

L[xn] =n!

pn+1, n = 0, 1, ...

Din exemplele de mai sus rezulta faptele mentionate initial relativ la olo-morfia functiei imagine F . In plus, este vizibil ca domeniul de olomorfie nu


este ın mod obligatoriu doar multimea Re p > s0. De exemplu L[erx] = 1p−r

iar functia 1p−r este olomorfa ın C \ r, ın p = r aceasta functie avand un pol

simplu. In orice caz, F nu poate avea singularitati la dreapta dreptei Re p = s0

(ceea ce face ca nu orice functie olomorfa sa poata fi o functie imagine; asa deexemplu functia 1

sin(πp) nu poate fi transformata Laplace a vreunei functii orig-inal pentru ca oricum se considera dreapta Re p = s0, functia 1

sin(πp) admitesingularitati de tip pol ın semiplanul Re p > s0 (functia sin(πp))se anuleazapentru p = 0, ±1, ±2, ...)

3.2.3 Proprietati elementare.

Vom stabili cateva proprietati ale tansformatei Laplace:I. Proprietatea de liniaritate. Exprimata prin egalitatea :

L[af(x) + bg(x)](p) = aL[f(x)](p) + bL[g(x)](p), a, b ∈ RJustificarea se face utilizand definitia transformatei Laplace si proprietatile

integralelor.II. Proprietatea de omotetie. Exprimata prin egalitatatile :

L[f(ax)](p) = 1aL[f(x)]( p

a), a > 0

L[f(x)](ap) = 1aL[f(x

a )](p), a > 0(3.21)

Intr-adevar, deoarece

L[f(ax)](p) =∫ ∞

0f(ax)e−pxdx, a > 0,

cu schimbarea de variabila ax = t, dx = 1adt, se gaseste prima relatie (3.21)

L[f(ax)](p) =1a

∫ ∞

0f(t)e−

patdt =

1aL[f(x)](

p

a)

Scriind ın egalitatea (3.18) ap ın loc de p , se deduce

L[f(x)](ap) =∫ ∞

0f(x)e−apxdx, a > 0,

iar schimbarea de variabila ax = t, dx = 1adt, conduce la a doua egalitate

(3.18). Prin urmare, ınmultirea argumentului functiei-original cu un numarreal pozitiv conduce la ımpartirea atat a argumentului functiei-imagine cuacelasi numar cat si la ımpartirea imaginii ınsasi cu acel numar. Aceeasiregula este valabila si ın cazul ınmultirii argumentului imaginii cu un numara > 0.


III. Prima teorema de translatie. Se exprima prin:

L[h(x− a)f(x− a)](p) = e−apL[f(x)](p) = e−apF (p), a > 0 (3.22)

unde h este functia unitate definita prin mai sus.Intr-adevar, avem:

L[h(x−a)f(x−a)](p) =∫ ∞

0h(x−a)f(x−a)e−pxdx =

∫ ∞

−ah(t)f(t)e−p(t+a)dt,

ultima egalitate obtinandu-se cu schimbarea de variabila x − a = t. Tinandcont ca h(t) = 0, daca t < 0, avem:

∫ ∞

−ah(t)f(t)e−p(t+a)dt = e−pa

∫ ∞

0f(t)e−ptdt = e−paL[f(x)](p)

si deci egalitatea (3.22) este justificata.Daca egalitatea (3.22) se citeste de la dreapta spre stanga, adica scriind:

e−paL[f(x)](p) = L[f(x− a)](p)

trebuie tinut cont ca originalul f(x − a) este nul pentru x < a (pentru a nupune ın evidenta functia unitate).

IV. A doua teorema de translatie. Este exprima prin:

L[f(x + a)](p) = eap[L[f(x)](p)−∫ a

0f(x)e−pxdx], a > 0 (3.23)

si care se justifica imediat:

L[f(x + a)](p) =∫ ∞

0f(x + a)e−pxdx =

∫ ∞

af(t)e−p(t−a)dt =

= eap[∫ ∞

0f(x)e−pxdx−

∫ a

0f(x)e−pxdx]

V. Teorema de deplasare. Este data de egalitatea:

L[e−αxf(x)](p) = L[f(x)](p + α), α ∈ C (3.24)

care se justifica imediat:

L[e−αxf(x)](p) =∫ ∞

0e−αxf(x)e−pxdx =

∫ ∞

0f(x)e−(p+α)xdx = L[f(x)](p+α)

Combinand teorema de deplasare cu proprietatea de omotetie, rezultaurmatoarea egalitate importanta:

L[e−αxf(βx)](p) =1β

F (p + α

β), α ∈ C, β > 0 (3.25)


VI. Teorema derivarii originalului. Este exprimata prin:

L[f (n)(x)](p) = pnF (p)−pn−1f(0+)−pn−2f ′(0+)− ...−pf (n−1)(0+)−f (n)(0+)(3.26)

valabila daca f ∈ Cn si are sens L[f (n)(x)](p).Intr-adevar

L[f ′(x)](p) =∫ ∞

0f ′(x)e−pxdx = f(x)e−px|x=∞

x=0 + p

∫ ∞

0f(x)e−pxdx

si deoarece din (3.17) rezulta |f(x)| ≤ Meαx, α fiind abscisa de convergentaa lui f , se deduce

|f(x)e−px| ≤ Me(α−p)x,

iar cum pentru p > α avem limx→∞ f(x)e−px = 0, rezulta

f(x)e−px|x=∞x=0 = −f(0+)

s1 (3.26) este justificata pentru n=1 (apare f(0+)) si nu f(0) deoarece ın cazulintegrarii prin parti, prin F (x)|ba se ıntelege diferenta F (b−) − F (a+). Dacan=2, avem

L[f ′′(x)](p) = L[(f ′(x))′](p) = pL[f ′(x)](p)− f ′(0+)

si folosind iar relatia pentru n=1 avem:

L[f ′′(x)](p) = p(pL[f(x)](p)−f(0+))−f ′(0+) = p2L[f(x)](p)−pf ′(0+)−f(0+)

ceea ce coincide cu (3.26) pentru n=2. Pentru n > 2, se itereaza ultimulrationament.

Proprietatea VI ne arta importanta practica a utilizarii transformatei Laplace.Astfel, pe cand ın spatiul functiilor-original operatia de derivare este o operatiede trecere la limita, ın spatiul functiilor-imagine operatia de derivare constaın ınmultirea imaginii cu p si adaugarea unui polinom ın p obtinut cu ajutorulvalorilor initiale f(0+), f ′(0+), f ′′(0+), ...

VII. Teorema derivarii imaginii. Este caracterizata prin faptul caderivatele F ′(p), F ′′(p), , ...F (n)(p), ... sunt transformatele Laplace ale functiilor−xf(x), x2f(x) , ..., (−1)nf(x), ..., adica:

L[f(x)](n)(p) = F (n)(p) = L[(−x)nf(x)](p), n = 0, 1, 2, ... (3.27)

Intr-adevar, derivand ın raport cu parametrul p egalitatea de definitie

F (p) =∫ ∞

0f(x)e−pxdx


se deduce

F ′(p) =∫ ∞

0(−x)f(x)e−pxdx, F ′′(p) =

∫ ∞

0(−x)2f(x)e−pxdx, ...

ceea ce justifica (3.27).Se observa ca si in cazul operatiei de derivare ın spatiul imaginilor (care

este o operatie de trecere la limita) ın spatiul originalelor va corespunde ooperatie mai simpla (ınmultirea cu variabila independenta).

VIII. Teorema integrarii originalului. Este data prin relatia:

L[∫ x

0f(t)dt](p) =

1pL[f(x)](p) =

1pF (p) (3.28)

care se justificasimplu. Notand∫ x

0f(t)dt = g(x)

daca f este continua ın R+ avem g ∈ C1(R+) si g(0+) = 0. Aplicand (3.26),pentru n=1 functiei g, gasim (cu G(p) = L[g])

L[g′(x)](p) = pG(p)− g(0+) = pG(p)

adicaL[g′(x)](p) = L[f(x)](p) = pL[

∫ x

0f(t)dt](p),

deciL[

∫ x

0f(t)dt](p) =

1pL[f(x)](p)

ceea ce coincide cu (3.28).Prin iterare, din (3.28) se va deduce

L[∫ ∞

0...

∫ ∞

0f(x)dx...dx](p) =

1pn

F (p) (3.29)

Prin urmare si la operatia de trecere la primitiva functiei f ın spatiulfunctlor original, va corespunde o operatie mult mai simpla ın spatiul functlorimagine si anume operatia de ımpartire cu variabila p.

IX. Teorema de integrare a imaginii. Este data prin relatia:

L[f(x)

x](p) =

∫ ∞

pF (q)dq (3.30)

valabila ın ipoteza ca functia f(x)x poate constitui o functie-original si sejustifica

prin urmatorul calcul:∫ ∞

pF (s)ds =

∫ ∞

p[∫ ∞

0f(x)e−xsdx]ds =

∫ ∞

0[∫ ∞

pf(x)e−xsds]dx =


=∫ ∞

0(f(x)

xe−sx|s=p

s=∞)dx =∫ ∞

0

f(x)x

e−pxdx = L[f(x)

x](p).

X. Teorema de convolutie. Daca f, g : R → R sunt astfel ıncaturmatoarea integrala improprie cu parametru notata prin f∗g este convergenta

(f ∗ g)(x) =∫ +∞

−∞f(x− t)g(t)dt, x ∈ R (3.31)

atunci functia f ∗ g se numeste produsul de convolutie (pe scurt convolutia)functiilor f si g. Daca ın plus f si g sunt functii original (deci nule pentrux < 0), din (3.31) se deduce

(f ∗ g)(x) =∫ x

0f(x− t)g(t)dt, x > 0 (3.32)

deoarece∫ +∞

−∞f(x−t)g(t)dt =

∫ 0

−∞f(x−t)g(t)dt+

∫ x

0f(x−t)g(t)dt+

∫ +∞

xf(x−t)g(t)dt

iar∫ 0

−∞f(x − t)g(t)dt = 0 (pentru ca g(t) = 0 daca t < 0) si vom avea

∫ +∞

xf(x−t)g(t)dt = 0, pentru ca daca t > x avem x−t < 0, deci f(x−t) = 0.

Cu schimbarea de variabila x − t = s, dt = −ds, din (3.31) se deduceegalitatea

(f ∗ g)(x) =∫ +∞

−∞g(x− s)f(s)ds = (g ∗ f)(x), x ∈ R

care arata ca f ∗ g = g ∗ f (convolutia este o operatie ın care ordinea factorilornu are importanta ).

Fig. 3.1:


Teorema de convolutie se exprima prin relatia:

L[(f ∗ g)(x)](p) = L[f(x)](p) · L[g(x)](p) = F (p) ·G(p) (3.33)

care se justifica astfel: din (3.32) avem

L[(f ∗ g)(x)](p) =∫ ∞

0(f ∗ g)(x)e−pxdx =

∫ ∞

0[∫ x

0f(x− t)g(t)dt]e−pxdx

Schimband ordinea de integrare (posibil daca f si g au cresteri exponentiala) ( vezi Fig.3.1) se deduce egalitatea

L[(f ∗ g)(x)](p) =∫ ∞

0[∫ ∞

tf(x− t)g(t)e−xpdx]dt

Daca ın integrala interioara se scrie y ın loc de x− t (deci dx = dy) va rezulta

L[(f∗g)(x)](p) =∫ ∞

0[∫ ∞

0f(y)e−p(y+t)dy]g(t)dt =

∫ ∞

0[∫ ∞

0f(y)e−py)dy]e−ptg(t)dt =

=∫ ∞

0L[f(x)](p)g(t)e−ptdt == L[f(x)](p)

∫ ∞

0g(t)e−ptdt = L[f(x)](p)L[g(x)](p)

Prin urmare, daca ın spatiul originalelor se introduce operatia de convolutiedefinita prin (3.32), atunci ın spatiul imaginilor va corespunde functia produsF ·G.

3.2.4 Consecinte deduse din proprietatile transformatei Laplace.

Vom deduce acum cateva egalitati importanta in practica. Astfel

L[xk](p) =γ(k + 1)

pk+1, k ∈ R, p > 0 (3.34)

prin xk vom ıntelege functia original xk+. Intr-adevar

L[xk](p) =∫ ∞

0xke−pxdx

px=s=

1pk+1

∫ ∞

0ske−sds =

γ(k + 1)pk+1

deoarece∫ ∞

0ske−sds = γ(k + 1). In particular, pentru k = 0, deoarece

x0+ = h(x), h fiind functia unitate, rezulta ceea ce stiam

L[h(x)](p) =1p

(3.35)


In baza teoremei V de deplasare, din (3.35) se deduce

L[eαx+ ](p) = L[eαxh(x)](p) = L[h(x)](p− α) =

1p− α

adica are loc transformarea

L[eαx](p) =1

p− α, α ∈ C (3.36)

In baza lui (3.36) si a proprietatii I de liniaritate rezulta

L[sinx](p) =1

p2 + 1(3.37)

deoarece

L[sinx](p) = L[eix − e−ix

2i](p) =

12i

(L[eix](p)− L[e−ix](p)) =

= 12i(

1p−i − 1

p+i),iar

L[cosx](p) =1

p2 + 1(3.38)

dupa un calcul analog.In baza proprietatii II de omotetie, se pot deduce imediat si relatiile

L[sin(ax)](p) =a

p2 + a2, a > 0, p > 0

L[cos(ax)](p) =p

p2 + a2, a > 0, p > 0

Cu ajutorul teoremei de convolutie (3.33) se poate demonstra usor legaturadintre functiile lui Euler de cele doua spete si anume

β(p, q) =γ(p)γ(q)γ(p + q)

, p, q ∈ R, p > 0, q > 0 (3.39)

unde

γ(z) =∫ ∞

0xz−1e−xdx, β(p, q) =

∫ 1

0tp−1(1− t)q−1dt

Pentru aceasta ın integrala care defineste pe β se face schimbarea de variabilat = xs, dt = xds si se va obtine egalitatea

xp+q−1β(p, q) =∫ x

0sp−1(x− s)q−1ds


care se poate scrie sub forma

xp−1+ ∗ xq−1

+ = β(p, q)xp+q−1+

daca se tine cont de definitia (3.32) a convolutiei. In baza teoremei de convolutie(3.33) se deduce egalitatea

L[xp−1+ ](s) · L[xq−1

+ ](s) = β(p, q)L[xp+q−1+ ](s)

care ın baza lui (3.34) se transcrie

γ(p)sp

· γ(q)sq

= β(p, q)γ(p + q)

sp+q, s > 0

si evident, dupa simplificare va conduce la egalitatea (3.39).In fine, cu ajutorul egalitatii (3.30) vom putea calcula unele integrale im-

proprii ın ipoteza ca integrala improprie∫ ∞

0

f(x)x

dx este convergenta, deoarece

(3.30) se scrie ∫ ∞

0

f(x)x

e−pxdx =∫ ∞

pF (q)dq

pentru p = 0 se va obtine egalitatea∫ ∞

0

f(x)x

dx =∫ ∞

0F (p)dp (3.40)

care este importanta prin aceea ca permite calculul integralei improprii∫ ∞

0

f(x)x

dx

cu ajutorul integralei improprii∫ ∞

0F (p)dp =

∫ ∞

0L[f(x)](p)dp care de multe

ori este mai usor de calculat.

Exemple. 1. Sa se calculeze∫ ∞

0

sinx

xdx

Deoarece, din (3.37) se deduce L[sinx](p) = 11+p2 in baza lui (3.40) avem:

∫ ∞

0

sinx

xdx =

∫ ∞

0

dp

1 + p2= arctan p|∞0 =

π

2.

2. Pentru a > 0, b > 0 avem∫ ∞

0

e−at − e−bt

tdt = ln(

b

a),

deoarece din (3.36) se deduce

L[e−ax](p) =1

p + a, L[e−bx](p) =

1p + b


si ın baza lui (3.40) putem scrie∫ ∞

0

e−at − e−bt

tdt =

∫ ∞

0(

1p + a

− 1p + b

)dp = lnp + a

p + b|p=∞p=0 = − ln(

a

b)

3. Integralele improprii de forma∫ ∞

0

f(ax)− f(bx)x

dx

se numesc integrale de tip Froullani si se pot obtine imediat egalitatile:∫ ∞

0

e−at − e−bt

tsin(mt)dt = arctan(

b

m)− arctan(

a

m), a > 0, b > 0,m > 0

∫ ∞

0

cos(at)− cos(bt)t

dt = ln(b

a), a > 0, b > 0

∫ ∞

0

sin(at) · sin(bt)t

dt =12

ln|a + b||a− b| , a > 0, b > 0

Ca exercitii, se pot deduce egalitatile∫ ∞

0

e−ax sin(bx)x

dx = arctan(b

a), a > 0, b > 0

∫ ∞

0

Ae−ax + Be−bx + Ce−cx + De−dx

xdx = A ln(

d

a) + B ln(

d

b) + C ln(

d

c)

daca A + B + C + D = 0, a > 0, b > 0, c > 0, d > 0.

Rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuatii diferentiale liniare cucoeficienti constanti.

Pentru ilustrarea modului ın care transformata Laplace poate fi utilizatala rezolvarea problemei Cauchy atasata unor ecuatii diferentiale liniare cucoeficienti constanti, vom lua ın consideratie ecuatia de ordinul al doilea:

a0x′′ + a1x

′ + a2x = f(t), a0, a1, a2 ∈ R, a0 6= 0, x′ =dx

dt, x′′ =

d2x

dt2(3.41)

Problema lui Cauchy fiind:

x(0) = x0, x′(0) = x1, x0, x1 ∈ R (3.42)

Vom nota L[x(t)](p) = X(p), L[f(t)](p) = F (p) si aplicand ambilor mem-brii ai ecuatiei (3.41) transformata Laplace, utilizand proprietatea I de liniari-tate si teorema IV de derivare a originalului, deoarece x(0+) = x0, x′(0+) = x1

din ecuatia diferentiala (3.41) si conditiile (3.42) se obtine ecuatia operationala

(a0p2 + a1p + a2)X(p)− (a0x0p + a0x1 + a1x0) = F (p)


Aceasta ultima egalitate poate fi rezolvata algebric ın raport cu functiaX(p), obtinandu-se astfel imaginea solutiei cautate:

X(p) =a0x0p + a0x1 + a1x0

a0p2 + a1p + a2+

1a0p2 + a1p + a2

F (p) (3.43)

care se numeste solutia operationala a problemei ın cauza. Cautand functiax(t) astfel ıncat

x(t) = L−1[X(p)](t)

x(t) va fi solutia cautata a problemei (3.41)-(3.42).Cazul general (cand n > 2) al problemei Cauchy pentru ecuatii diferentiale

liniare de ordinul n cu coeficienti constanti nu difera decat prin numarul cal-culelor de situatia prezentata mai sus.

Exemple. 1.Fie ecuatia diferentiala

x′′ − 5x′ + 6x = et

si conditiile initialex(0) = −1, x′(0) = 1

Deoarece

L[x′′](p) = p2X(p)− px(0)− x′(0) = p2X(p) + p− 1

L[x′](p) = pX(p)− x(0) = pX(p) + 1, L[et] =1

p− 1iar

L[x′′ − 5x′ + 6x](p) = L[x′′](p)− 5L[x′](p) + 6L[x](p)

se deduce egalitatea

(p2 − 5p + 6)X(p) = −p + 6 +1

p− 1

adicaX(p) =

−p + 6p2 − 5p + 6

+1

(p− 1)(p2 − 5p + 6)

Deoarece prin descompunerea ın functii rationale simple avem

−p + 6p2 − 5p + 6

= − 4p− 2

+3

p− 3

1(p− 1)(p2 − 5p + 6)

=12

1p− 1

− 1p− 2

+12

1p− 3

rezultaX(p) = − 5

p− 2+

72

1p− 3

+12

1p− 1


adica utilizand formula (3.36)

x(t) =12et − 5e2t +

72e3t

2.Fie ecuatia diferentiala

x′′ − 4x′ + 4x = sin t

si conditiile initialex(0) = 1, x′(0) = 2

Ecuatia operationala corespunzatoare se scrie

(p2 − 4p + 4)X(p) = p− 2 +1

1 + p2

adica imaginea cautata va fi

X(p) =1

p− 2+

1(p− 2)2(p2 + 1)

Cum prin descompunere se obtine

1(p− 2)2(p2 + 1)

= − 425

1p− 2

+15

1(p− 2)2

+125

4p + 3p2 + 1

rezultaX(p) =

2125

1p− 2

+15

1(p− 2)2

+425

p

p2 + 1+

325

1p2 + 1

din care se deduce imediat originalul corespunzator

x(t) =2125

e2t +15te2t +

425

cos t +325

sin t

(deoarece din egalitatea (3.34) si teorema V de deplasare se deduce L[te2t] =1

(p−2)2).

3. Problema Cauchy x(0) = −2, x′(0) = 0 pentru ecuatia diferntiala

x′′ − 2x′ + 2x = t

se rezolva operational ın mod analog cu situatiile din exercitiile anteroareaplicand transformata Laplace. Se obtine ecuatia operationala

(p2 − 2p + 2)X(p) = −2p− 2 +1p2

adicaX(p) =

−2p− 2p2 − 2p + 2

+1

p2(p2 − 2p + 2)


sauX(p) =

12

1p

+12

1p2− 5

2p− 1

(p− 1)2 + 1− 4

1(p− 1)2 + 1

de unde rezultax(t) =

12

+12t− 5

2et cos t− 4et sin t

4. Vom lua in consideratie problema Cauchy x(0) = 0 pentru ecuatiadiferentiala de primul ordin

x′ + 2x = e−t[2 cos(2t) + sin(2t)]

Ecuatia operationala corespunzatoare va fi

(p + 2)X(p) =2(p + 1)

(p + 1)2 + 4+

2(p + 1)2 + 4

=2(p + 2)

(p + 1)2 + 4

Solutia operationala fiind

X(p) =2

(p + 1)2 + 4

adica x(t) = e−t sin(2t).5. In cazul problemei Cauchy, x(0) = 7, x′(0) = 0, x′′(0) = −6, pentru

ecuatia diferentiala de ordinul al treilea

x′′′ + x′ = 3t2 − 6t + 6

vom avea ın mod analog deoarece

L[x′′′](p) = p3X(p)− p2x(0+)− px′(0+)− x′′(0+) = p3X(p)− 7p2 + 6

L[x′](p) = pX(p)− x(0+) = pX(p)− 7

va rezulta ecuatia operationala

p(p2 + 1)X(p) = 7p2 + 1 +6p3− 6

p2+

6p

adicaX(p) =

7p− 6

p3+

6p4

deci x(t) = 7− 3x2 + x3.Transformata Laplace se poate aplica si la integrarea unor ecuatii diferentiale

cu coeficienti variabili. In acest sens vom considera exemplul urmator.fie ecuatia diferentiala

x′ + tx = sin(2t)


si conditia initiala x(0) = 0. Deoarece

L[x′](p) = pX(p)− x(0) = pX(p), L[tx](p) = − d

dpX(p)

aplicand transformata Laplace ecuatiei date se va obtine din nou o ecuatiediferentiala de primul ordin

−X ′ + pX =2

p2 + 4

si deci metoda nu va prezenta un avantaj. In plus, deoarece solutia ultimeiecuatii diferentiale va fi X(p) = Cp + 1

4 ln(p2 + 4)− 12 ln p este greu de obtinut

originalul. In schimb, metoda este avantajoasa ın cazul integrarii ecuatiilordiferentiale de ordin superior, liniare, de forma

(a0x + b0)y(n) + (a1x + b1)y(n−1) + ... + (anx + bn)y = 0, aj , bj ∈ Rdeoarece prin aplicarea transformatei Laplace se va obtine o ecuatie diferentialade ordinul ıntai.

din calculele anterioare efectuate pentru rezolvarea problemei Cauchy atasataunor ecuatii diferentiale liniare si cu coeficienti constanti prin transformataLaplace se poate deduce urmatoarea schema de aplicare a acestei metode:

Fig. 3.2:

Aceasta schema arata ca solutia unei probleme Cauchy pentru o ecuatiediferentiala liniara, cu coeficienti constanti, considerata ın spatiul originalelorse transforma ıntr-o ecuatie algebrica ın spatiul imaginilor (prin aplicareatransormatei Laplace). Rezolvand aceasta ecuatie se deduce solutia ın cauzaaplicand solutiei operationale transformata Laplace inversa care conduce laspatiul originalelor.


Rezolvarea problemei Cauchy pentru sisteme diferentiale liniare cucoeficienti constanti. Rezolvarea unor ecuatii integrale.

Rezolvarea problemei Cauchy pentru sisteme diferentiale liniare si cucoeficienti constanti prin metoda operationala, se realizeaza dupa aceeasi schemadescrisa anterior pe care o vom simplifica ın cazul sistemului particular

n∑

k=1

(ajkx′′k + bjkx

′k + cjkxk) = fj(t), j = 1, 2, ..., n (3.44)

ın care ajk, bjk, cjk ∈ R ın ipoteza ca trebuie satisfacute conditiile initiale

xk(0) = ak, x′k(0) = bk, k = 1, 2, ..., n (3.45)

Daca vom nota

L[xk(t)](p) = Xk(p), L[fj(t)](p) = Fj(p)

din (3.44)-(3.45) se deduce sistemul operational

n∑

k=1

(ajkp2+bjkp+cjk)Xk(p) = Fj(p)+n∑

k=1

[(ajkp+bjk)ak+ajkbj ], j = 1, 2, ..., n

care rezolvandu-se cu ajutorul regulii lui Cramer, conduce la functiile X1(p),X2(p), ..., Xn(p), din care se pot deduce originalele x1(t), x2(t), ..., xn(t).

Exemplu. Sa rezolvam problema Cauchy x(0) = 0, x′(0) = 0, y(0) =0, y′(0) = −1, z(0) = 1, z′(0) = 0 pentru sistemul diferential

x′′ = −3x + 3y + 3zy′′ = x− yz′′ = −z

Sistemul operational este

p2X = −3X + 3Y + 3Zp2Y = X − Y − 1p2Z = −Z + p

unde L[x(t)](p) = X(p), L[y(t)](p) = Y (p), L[z(t)](p) = Z(p), se deduce

X(p) =3(p− 1)

p2(p2 + 4), Y (p) =

3(p− 1)p2(p2 + 1)(p2 + 4)

− 1p2 + 1

, Z(p) =p

p2 + 1

de unde se deduce

x(t) = 34(1− t)− 3

4 cos(2t) + 38 sin(2t)

y(t) = 34(1− t) + 1

4 cos(2t)− 18 sin(2t)− cos t

z(t) = cos t.


Vom considera acum cazul unor ecuatii integrale, ıntelegand prin ecuatieintegrala acea ecuatie ın care necunoscuta se afla sub semnul integral. Deexemplu, ecuatia

y(x) = f(x) +∫ b

ak(x, t)y(t)dt

va fi o ecuatie integrala (chiar liniara, functia necunoscuta y intervenind liniar).Vom lua ın consideratie doar ecuatii integrale de forma

∫ x

0k(x− t)y(t)dt = f(x) (3.46)

sauy(x) +

∫ x

0k(x− t)y(t)dt = f(x) (3.47)

numite ecuatii integrale de tipul convolutiei (ecuatia (3.46) se numesteecuatie integrala Volterra de speta ıntai iar ecuatia (3.47) se numeste ecuatieintegrala Volterra de speta doua).

Scriind aceste ecuatii sub forma

k ∗ y = f respectiv y + k ∗ y = f

prin aplicarea teoremei X de convolutie, se deduce

K(p) · Y (p) = F (p) respectiv Y (p) + K(p) · Y (p) = F (p)

daca L[k(t)](p) = K(p), L[y(t)](p) = Y (p), L[f(t)](p) = F (p). Rezolvandalgebric se deduce solutia operationala Y , care va conduce la solutia cautatay(t) = L−1[Y (p)].

Exemplu. In cazul ecuatiei integrale

y(x) = cosx +∫ x

0(x− t)y(t)dt

se deduce ecuatia operationala Y (p) = p1+p2 + 1

p2 Y (p) deci

Y (p) =p3

(p2 − 1)(p2 + 1)=

12

p

p2 + 1+

12

p

p2 − 1,

deducandu-se solutia

y(x) =12

cosx +12

coshx

EXERCITII.1. x′′ + 2x′ + 2x = 1, x(0) = 0, x′(0) = 02. x′′ + x = 1, x(0) = −1, x′(0) = 0


3. x′′ + 4x = t, x(0) = 1, x′(0) = 04. x′′ − 2x′ + 5x = 1− t, x(0) = 0, x′(0) = 05. x′′′ + x = 0, x(0) = 0, x′(0) = −1, x′′(0) = 26. x′′′ + x′′ = cos t, x(0) = −2, x′(0) = 0, x′′(0) = 07. x′′′ + x′ = et, x(0) = 0, x′(0) = 2, x′′(0) = 08. xIV − x′′ = 1, x(0) = 0, x′(0) = 0, x′′(0) = 0, x′′′(0) = 09. x′′ + x′ = cos t, x(0) = 2, x′(0) = 010. x′′ − x′ = tet, x(0) = 0, x′(0) = 011. x′′′ + x′ = cos t, x(0) = 0, x′(0) = −2, x′′(0) = 012. x′′ + 2x′ + x = t, x(0) = 0, x′(0) = 013. x′′ − x′ + x = e−t, x(0) = 0, x′(0) = 114. x′′ − x = sin t, x(0) = −1, x′(0) = 015. x′′′ + x = et, x(0) = 0, x′(0) = 2, x′′(0) = 016. x′′ + x = 2 sin t, x(0) = 1, x′(0) = −117. x′′ − 2x′ + x = t− sin t, x(0) = 0, x′(0) = 018. x′′ + 2x′ + x = 2 cos2 t, x(0) = 0, x′(0) = 019. x′′ + 4x = 2 cos t cos 3t, x(0) = 0, x′(0) = 020. x′′ + x = tet + 4 sin t, x(0) = 0, x′(0) = 021. x′′ − x′ = tet, x(0) = 1, x′(0) = 022. x′′ + x′ = 4 sin2 t, x(0) = 0, x′(0) = −123. x′′′ − 2x′′ + x′ = 4, x(0) = 1, x′(0) = 2, x′′(0) = −224. x′′ − 3x′ + 2x = et, x(0) = 0, x′(0) = 025. x′′ − x′ = t2, x(0) = 0, x′(0) = 126. x′′′ + x = 1

2 t2et, x(0) = 0, x′(0) = 0, x′′(0) = 027. x′′ + x = t cos(2t), x(0) = 0, x′(0) = 028. x′′ + nx = a sin(nt + b), x(0) = 0, x′(0) = 029. x′′′ + 6x′′ + 11x′ + 6x = 1 + t + t2, x(0) = 0, x′(0) = 0, x′′(0) = 030. xIV + 2x′′ + x = t sin t, x(0) = 0, x′(0) = 0, x′′(0) = 0, x′′′(0) = 031. x′′ − 2ax′ + (a2 + b2)x = 0, x(0) = 0, x′(0) = 0, b 6= 032. x′′ + 4xx = sin t, x(0) = 0, x′(0) = 033. x′′′ + x′ = e2t, x(0) = 0, x′(0) = 0, x′′(0) = 034. xIV + x′′′ = cos t, x(0) = 0, x′(0) = 0, x′′(0) = 0, x′′′(0) = a35. x′′ − 4x = sin 3t

2 sin t2 , x(0) = 1, x′(0) = 0

36. xIV −5x′′+10x′−6x = 0, x(0) = 1, x′(0) = 0, x′′(0) = 6, x′′′(0) = −1437. x′′ + x′ + x = tet, x(0) = 0, x′(0) = 038. x′′ + x = t cos t, x(0) = 0, x′(0) = 039. x′′′ + 3x′′ − 4x = 0, x(0) = 0, x′(0) = 0, x′′(0) = 240. x′′′ + 3x′′ + 3x′ + x = 1, x(0) = 0, x′(0) = 0, x′′(0) = 0

41.

x′ + y = 0y′ + x = 0

, x(0) = 1, y(0) = −1

42.

x′ + x− y = et

y′ − x + y = et , x(0) = 1, y(0) = 1


43.

x′ − y′ − 2x + 2y = 1− 2tx′′ + 2y′ + x = 0

, x(0) = 0, x′(0) = 0, y(0) = 0

44.

x′′ − 3x′ + y′ + 2x− y = 0−x′ + y′′ − 5y′ + x + 4y = 0

, x(0) = 0, x′(0) = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0

45.

x′ = −yy′ = 2x + 2y

, x(0) = 1, y(0) = 1

46.

2x′′ − x′ + 9x− y′′ − y′ − 3y = 02x′′ + x′ + 7x− y′′ + y′ − 5y = 0

,x(0) = x′(0) = 1, y(0) = 0, y′(0) = 0

47.

x′ + y′ − y = et

2x′ + y′ + 2y = cos t, x(0) = 0, y(0) = 0

48.

x′ = −x + y + z + et

y′ = x− y + z + e3t

z′ = x + y + z + 4, x(0) = 0, y(0) = 0, z(0) = 0

49.

x′ = −y − zy′ = −x− zz′ = −x− y

, x(0) = −1, y(0) = 0, z(0) = 1

50.

x′ = y + zy′ = 3x + zz′ = 3x + y

, x(0) = 0, y(0) = 1, z(0) = 1

51.

x′ = −x + 3yy′ = x + y + eat , x(0) = 1, y(0) = 1, a 6= 2

52.

x′ = 2x− y + zy′ = x + zz′ = −3x + y − 2z

, x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 0

53.

x′ = −2x− 2y − 4zy′ = −2x + y − 2zz′ = 5x + 2y + 7z

, x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 1

54.y(x) = sinx +∫ x

0(x− t)y(t)dt

55.y(x) = x + 12

∫ x

0(x− t)2y(t)dt

56.y(x) = x +∫ x

0sin(x− t)y(t)dt

57.y(x) = cos x +∫ x

0ex−ty(t)dt

58.y(x) = 1 + x +∫ x

0cos(x− t)y(t)dt

59.y(x) = x2

2 +∫ x

0(x− t)ex−ty(t)dt

60.y(x) = e−x + 12

∫ x

0(x− t)2y(t)dt


61.y(x) = sinx + 2∫ x

0cos(x− t)y(t)dt

62.∫ x

0ex−ty(t)dt = x

63.∫ x

0ex−ty(t)dt = sin x

64.∫ x

0cos(x− t)y(t)dt = sin x

65.∫ x

0cos(x− t)y(t)dt = x + x2

3.2.5 Teorema de dezvoltare. Aplicatii.

In subcapitolul anterior s-a utilizat efectiv transformata Laplace la re-zolvarea problemei Cauchy pentru ecuatii diferentiale liniare cu coeficienticonstanti s-s presupus ca daca F este transformata Laplace pentru functiaoriginal f , atunci invers, f = L−1(). Aceasta presupune implicit ca transfor-mata Laplace inversa este o aplicatie bijectiva (la un F corespunde o singurafunctie original). Cu ajutorul formulei lui Mellin acest rezultat se obtine ime-diat: daca L−1(F ) = f1, L−1(F ) = f2, atunci scriind (3.19)

f1(x) =1

2πi

∫ c+∞

c−i∞F (p)epxdx

f2(x) =1

2πi

∫ c+∞

c−i∞F (p)epxdx

se deduce f1 = f2.Formula lui Mellin poate fi utilizata la calculul efectiv al functiilor original

f , daca se cunosc functiile imagine F .Teorema.Daca se verifica urmatoarele conditii:a) Functia F este meromorfa ın C;b) Functia F este analitica ın semiplanul Re p > s0;c) Exista cercurile Cn,

Cn : |p| = Rn, 0 < R1 < R2 < ..., Rn → +∞pe care F (p) tinde la zero uniform in raport cu Arg p;

d) pentru un numar real γ > s0 integrala∫ γ+i∞

γ−i∞F (p)dp este absolut

convergenta, atunci functia f definita prin

f(x) =∑pk

Rezp=pkepxF(z) (3.48)


va fi functia original pentru functia imagine F (reziduurile se calculeaza relativla toate polurile lui F ).

In conditiile teoremei, F poate fi considerata ca functie imagine a functieioriginal

f(x) =1

2πi

∫ c+i∞

c−i∞epxF (p)dp

Fig. 3.3:

Vom considera conturul γn din figura 3.3 γn = C ′n ∪ AnBn unde C ′

n estearcul cercului |p| = Rn aflat ın semiplanul Re p < c, An, Bn fiind afixelenumerelor complexe c− ibnm c + ibn.

In ipotezzele teormei, lema lui Jordan arata ca

limn→∞

∫

C′neptF (p)dp = 0

si atunci, deoarece

12πi

∫

γn

eptF (p)dp =1

2πi

∫ c+ibn

c−ibn

eptF (p)dp +1

2πi

∫

C′neptF (p)dp

se deducef(x) = lim

n→∞1

2πi

∫

γn

eptF (p)dp

Cum γn este o curba Jordan ınchisa si rectificabila, se poate aplica teoremareziduurilor (evident, se poate alege Rn, raza cercului C ′

n, astfel ıncat acestcerc sa nu treaca prin polurile lui f) obtinundu-se evident (3.48).

Exemple. Sa calculam f(x) daca F (p) este dat ca ın unele exemple datemai sus. Daca F (p) = 1

p , atunci c este un numar pozitiv, iar ın γ functia F (p)are un singur pol simplu p = 0. Deci

f(x) = Rezp=0epxF(p) = Rezp=0epx

p= 1, x > 0


(avem Rezp=0epx

p = epx|p=0 = 1). Daca x < 0, lema lui Jordan nu functioneazapentrul conturul din Fig 3.3, ci pentru un contur ın care C ′

n este ınlocuitprin arcul C ′′

n (Cn = C ′n ∪ C ′′

n) aflat la dreapta dreptei Re p = c iar ın in-terorul acestui contur γ′ = AnBn ∪ C ′′

n, functia epxF (p) este olomorfa, deci∫

γ′nepxF (p)dp = 0, adica f(x) = 0.

In cazul imaginii F (p) = 11+p2 , F are polurile simple p = ±i deci c > 0

iar

f(x) = Rezp=−i[epx 11 + p2

] + Rezp=+i[epx 11 + p2

] =e−ix

−2i+

eix

2i= sin x, x > 0,

pentru x < 0, un rationament asemanator celui anterior conduce la concluziaf(x) = 0.

Daca F (p) = p1+p2 , F are la fel polurile simple p = ±i si

f(x) = Rezp=−i[epx p1 + p2

]+Rezp=+i[epx p1 + p2

] =−ie−ix

−2i+

ieix

2i= cos x, x > 0

iar pentro x < 0, f(x) = 0.Daca F (p) = 1

p−r , F are la fel polul simpu p = r, r ∈ R si

f(x) = Rezp=r[epx 1p− r

] = erx, x > 0

iar pentro x < 0, f(x) = 0.Daca F (p) = p

p2−1, F are polurile simple p = ±1 si

f(x) = Rezp=−1[epx pp2 − 1

]+Rezp=+1[epx pp2 − 1

] =−e−x

−2+

ex

2= cosh x, x > 0

iar pentro x < 0, f(x) = 0.Iar daca F (p) = 1

p2−1, F are la fel polurile simple p = ±1 si

f(x) = Rezp=−1[epx 1p2 − 1

] + Rezp=+1[epx 1p2 − 1

] =e−x

−2+

ex

2= sinh x, x > 0

iar pentro x < 0, f(x) = 0.In ultimile calcule, c este ales astfel ıncat singularitatile lui F se se afle ın

semiplanul Re p < c. In sfarsit, daca F (p) = 1pa+1 , a ∈ N, deoarece

Rezp=0epx

pa+1= Rezp=0[

1pa+1

+x

1!pa+

x2

2!pa−1+ ... +

xa

a!p+

xa+1

(a + 1)!+ ...] =

xa

a!

rezultaf(x) =

xa

a!, x > 0 si f(x) = 0, daca x < 0

3.3. TRANSFORMATA Z. 115

Daca ın particular F = GH este meromorfa si admite numai poluri simple,

rezulta

f(x) =n∑

k=1

G(pk)H ′(pk)

epkx, x > 0, f(0) = 0, x < 0.

3.3 Transformata Z.

3.3.1 Definitia transformatei Z. Proprietati.

Fie T > 0 un numar pozitiv si f(t) o functie definita pe multimea nu-merelor reale si cu valori reale sau complexe.

Transformata Z a functiei f(t) este prin definitie functia complexa:

F (z) =∞∑

n=0

f(nT )z−n = f(0) +f(T )

z+

f(2T )z2

+ ... (3.49)

Se mai noteazaF (z) = Z[f(t)](z)

Functia F (z) este o functie de variabila complexa z, reprezentata printr-oserie Laurent cu partea regulata f(0). Conform celor din cap. 1.6 aceasta serieconverge pentru |z| > R (R putand fi infinit) si deci ın domeniul |z| ≥ R1 > Rfunctia F (z) este olomorfa.

Vom presupune ın continuare ca avem R < +∞ pentru toate functiile cucare lucram.

Din modul cum a fost definita transformata Z se vede ca pentru deter-minarea ei sunt necesare numai valorile functiei f(t) ın punctele nT (n =0, 1, 2, ...). Se poate considera atunci si transformata Z a unui sir numeric(fn)n∈N:

Z[fn] =∞∑

n=0

fnz−n (3.50)

Exemple.1) Sa determinam transformata Z a functiei unitate h(t)Aplicand definitia avem:

Z[h(t)] =∞∑

n=0

z−n = 1 +1z

+1z2

+ ... =1

1− 1z

=z

z − 1

pentru |z| > 12) Fie acum sirul cu termenul general fn = n. Avem

Z[n] =∞∑

n=0

nz−n =1z

+2z2

+... = −z(1+1z

+1z2

+...)′ =1z

z2

(1− z)2=

z

(z − 1)2,


pentru |z| > 13) Fie acum sirul cu termenul general fn = n2. Avem

Z[n2] =∞∑

n=0

n2z−n =1z

+22

z2+

32

z3+ ... = −z(

1z

+2z2

+ ...)′ =z(z + 1)(z − 1)3

,

pentru |z| > 14) Sa determinam transformata Z pentru sirul cu termenul general fn =

an.Aplicand definitia avem:

Z[an] =∞∑

n=0

anz−n = 1 +a

z+

a2

z2+ ... =

11− a

z

=z

z − a

pentru |z| > a5) Sa determinam transformata Z pentru sirul cu termenul general fn =

eαn.Aplicand definitia avem:

Z[eαn] =∞∑

n=0

eαnz−n = 1 +eα

z+

e2α

z2+ ... =

11− eα

z

=z

z − eα

pentru |z| > eα

6) Fie acum sirul cu termenul general fn = 1n . Avem

Z[1n

] =∞∑

n=1

1n

z−n =1z+

12z2

+1

3z3+... = −

∫(

1z2

+1z3

+...)dz = −∫

(z−2 z

z − 1)dz

= −∫

dz

z(z − 1)= ln

z

z − 1pentru |z| > 1

Proprietati ale transformatei Z.

I. Proprietatea de liniaritate.

Z[c1f1(t) + c2f2(t)] = c1Z[f1(t)] + c2Z[f2(t)] (3.51)

Justificarea este imediata, folosind definitia transformatei Z si liniaritateasunei cu care se defineste.

II. Teorema de deplasare.Daca F (z) = Z[f(t)] atunci avem:

Z[f(t + T )] = zF (z)− f(0) (3.52)


d Din definitia (3.49) rezulta

Z[f(t+T )] =∞∑

n=0

f(nT+T )z−n =∞∑

n=0

f((n+1)T )z−n = z∞∑

n=0

f((n+1)T )z−(n+1) =

= z∞∑

k=1

f(kT )z−k, unde k = n + 1. Adunand si scazand zf(0) va rezulta:

Z[f(t + T )] = z∞∑

k=0

f(kT )z−k − f(0) = zZ[f(t)]− f(0).c

Prin inductie completa din (3.52) mai avem:

Z[f(t + mT )] = zmZ[f(t)]−m−1∑

k=0

f(kT )z−k (3.53)

Pentru siruri aceasta formula devine

Z[fn+m)] = zmZ[fn]−m−1∑

k=0

fkz−k (3.54)

Ca o consecinta a teoremei demonstrate avem:

Z[f(t−mT )h(t−mT )] = z−mZ[f(t)] (3.55)

Intr-adevar

Z[f(t−mT )h(t−mT )] =∞∑

n=0

f((n−m)T )h((n−m)T )z−n =

= z−m∞∑

n=m

f((n−m)T )z−(n−m) = z−m∞∑

k=0

f(kT )z−k; k = n−m

Observatie. In cazul unui sir (fn)n ∈ N aceasta proprietate se scrie subforma:

Z[(fn−mh(n−m))n] = z−mZ[fn] (3.56)

III. Multiplicarea prin e−at (a real sau complex).

Z[e−atf(t)] = F (eaT z) (3.57)

Avem:

Z[e−atf(t)] =∞∑

n=0

e−anT f(nT )z−n =∞∑

n=0

f(nT )(eaT z)− n = F (eaT z)


Exemple. 1) Sa calculam transformata Z functiei

f(t) =

eat, daca t ≥ 00 , daca t < 0

Avem:

Z[f(t)] = Z[eath(t)] =e−aT z

e−aT z − 1=

z

z − eaT

De aici mai avem:

Z[eiωt] =z

z − eiωT; Z[e−iωt] =

z

z − e−iωT

2) Sa calculam transformata Z functiilor sin(ωt) si cos(ωt).Aplicand proprietatea I si cele din exemplul precedent mai avem:

Z[sinωt] = Z[eiωt − e−iωt

2i] =

12iZ[eiωt]− 1

2iZ[e−iωt] =

=12i z

z − eiωT− z

z − e−iωT =

z sinωT

z2 − 2z cosωT + 1De asemenea:

Z[cosωt] =z(z − cosωT )

z2 − 2z cosωT + 1IV. Sumarea finita.

Fie de calculat Z[n∑

k=0

f(kT )]. Vom nota

gn = g(nT ) =n∑

k=0

f(kT ) sau gn−1 = g((n− 1)T ) =n−1∑

k=0

f(kT )

si din aceste relatii:

g(nT ) = g((n− 1)T )h((n− 1)T ) + f(nT )

Aplicand transformata Z ultimei relatii rezulta

G(z) =1zG(z) + F (z)

undeG(z) = Z[g(nT )] si F (z) = Z[f(nT )]

sau solutionand ın raport cu G(z) aceasta relatie:

Z[n∑

k=0

f(kT )] =z

z − 1F (z) (3.58)


V. Produsul imaginilor.Fie F1(z) = Z[f1(t)], F2(z) = Z[f2(t)]. avem

F1(z) · F2(z) = Z[n∑

k=0

f1(kT )f2((n− k)T )] (3.59)

Justificare

F1(z) · F2(z) =∞∑

k=0

f1(kT )z−kF2(z) =∞∑

k=0

f1(kT )(z−kF2(z))

Dar conform proprietatii de deplasare avem:

z−kF2(z) = Z[f2(t− kT )h(t− kT )]

si deci

F1(z) · F2(z) =∞∑

k=0

f1(kT )∞∑

n=0

f2((n− k)T )h((n− k)T )z−n =

=∞∑

n=0

∞∑

k=0

f1(kT )f2((n−k)T )h((n−k)T )z−n. Dar h((n−k)T ) = 0 dacak > n

rezultand astfel (3.59).Aplicatie.Fie (an)n∈N si (bn)n∈N doua siruri de numere complexe. Sa determinam

transformata Z a sirului (cn)n∈N

cn = a0bn + a1bn−1 + ... + akbn−k + ... + anb0

Avem

Z[cn] = Z[n∑

k=0

akbn−k] = Z[an] · Z[bn]

VI. Derivarea imaginii.Daca Z[f(t)](z) = F (z), avem:

Z[t · f(t)] = −TzdF (z)

dz(3.60)

Justificare

Z[t · f(t)] =∞∑

n=0

nTf(nT )z−n = −Tz∞∑

n=0

f(nT )−nz−n−1 =


= −Tz∞∑

n=0

f(nT )dz−n

dz= −Tz

d

dz

∞∑

n=0

f(nT )z−n

Exemple:i) Z[t] = Z[th(t)] = −Tz d

dz ( zz−1) = Tz

(z−1)2

ii) Z[t2] = Z[t · t] = −Tz ddz ( Tz

(z−1)2)

3.3.2 Inversa transformatei Z.

Am vazut ca transformata Z a unei functii, este o functie complexa olo-morfa ın vecinatatea punctului de la infinit.

In continuare ne putem pune problema inversa: Fiind data o functie F (z)olomorfa ın |z| > R, exista o functie f(t) a carei transformata Z sa coincidacu F (z)? In caz ca exista functia f(t) cum poate fi ea determinata?

Intrucat F (z) este olomorfa ın vecinatatea punctului de la infinit avempentru |z| > R reprezentarea:

F (z) = c0 +c−1

z+

c−2

z2+ ... +

c−n

zn+ ... (3.61)

a unei serii Laurent.In 1.6.2 am aratat ca dezvoltarea unei functii ın serie Laurent este unica

si ca coeficientii cn au expresia

cn =1

2πi

∫

C

f(ζ)ζn+1

dζ; n = 0,−1,−2, ... (3.62)

ın care C reprezinta un cerc cu centru ın origine si cu raza suficient de mareastfel ca toate singularitatile functiei F (z) sa se gaseasca ın interiorul acestuicerc.

Atunci transformata Z a sirului (fn)n∈N cu fn = c−n coincide cu F (z) sideci prima ıntrebare de mai sus capata un raspuns afirmativ. Orice functief(t) ce indeplineste conditiile f(nT ) = fn = c−n are ca transformata Z functiaF (z).

Totodata formula (3.62) permite calculul valorilor fn ale functiei f(t) intr-o secventa de puncte echidistante. aceasta nu trebuie sa ne surprinda ıntrucatın definitia (3.49) functia f(t) nu intervine decat prin aceste valori.

Vom numi transformata Z inversa a functiei F (z) sirul definit de fn =f(nT ), n = 0, 1, 2, ...

In concluzie, valorile fn pot fi obtinute direct din dezvoltarea functiei F (z)ın serie Laurent (ın jurul punctului de la infinit), fie din formula (6.62) utilizandde exemplu teoria reziduurilor.

Exemple:i) Sa se determine transformata inversa a functiei F (z) = ( z+b

z )α, α fiindun numar real neıntreg.


Avem pentru |z| > b:

(z + b

z)α = (1 +

b

z)α = 1 + α

b

z+

α(α− 1)2

(b

z)2 + ... + Cn

α(b

z)n + ...

Prin urmare

(z + b

z)α =

∞∑

n=0

Cnαbnz−n

Astfel

fn = Cnαbn

sau

f(nT ) = Cnαbn

ii) Sa se determine transformata inversa a functiei F (z) = 0,632zz2−1,368z+0,368

.Avem

F (z)z

=1

z − 1− 1

z − 0, 368

si de aici

F (z) =z

z − 1− z

z − 0, 368

Darz

z − 1=

11− 1

z

= 1 +1z

+1z2

+ ... +1zn

+ ...

z

z − 0, 368=

11− 0,368

z

= 1 +0, 368

z+

(0, 368)2

z2+ ... +

(0, 368)n

zn+ ...

De aici

f0 = 0, f1 = 0, 632, f2 = 0, 864, ...

iii) Sa se determine transformata inversa a functiei F (z) = 0,632zz2−1,368z+0,368

,utilizand formula (3.62).

Avem

fn = c−n =1

2πi

∫

C

0, 632z2 − 1, 368z + 0, 368

zndz = Rezz=10, 632

z2 − 1, 368z + 0, 368zn+

+Rezz=0,3680,632

z2−1,368z+0,368zn = 1− (0, 368)n ≈ 1− e−n.


3.3.3 Aplicarea transformatei Z la solutionarea ecuatiilor cudiferente finite.

Vom considera ecuatii cu diferente finite liniare si cu coeficienti constanti.O asemenea ecuatie are forma:

a0xn + a1xn+1 + ... + apxn+p = fn; n ≥ 0 (3.63)

a0, a1, ..., ap si fn sunt constante reale date iar xn = f(nT ) valorile ce urmeazaa fi determinate.

Expresia (3.63) este o ecuatie cu diferente finite de ordinul p. Pentrudeterminarea lui xn, n ∈ N mai sunt necesare si conditii initiale de forma:

x0 = b0, x1 = b1, ..., xp−1 = bp−1 (3.64)

in care b0, b1, ..., bp−1 sunt iarasi constante date.Din (3.63) utilizand conditiile (3.64) se poate determina xp, xp+1 si astfel

din aproape ın aproape rezulta toate valorile lui xn. Ne intereseaza ınsa oforma compacta a solutiei.

Pentru ecuatiile cu diferente finite se poate dezvolta o teorie analoagaecuatiilor diferentiale.

Noi vom aborda ınsa numai cazul particular al ecuatiei (3.63) si vom rezolvaaceasta ecuatie cu conditiile initiale (3.64) utilizand transformata Z.

Sa luam transformata Z a ecuatiei (3.63):

Z[a0xn + a1xn+1 + ... + apxn+p] = Z[fn] (3.65)

Aplicand proprietatile I s II (formula (3.54)) rezulta:

Z[p∑

j=0

ajxn+j ] =p∑

j=0

ajZ[xn+j ] =p∑

j=0

ajzjZ[xn]−

j−1∑

k=0

xkz−k

Ecuatia (3.65) se scrie:

Z[xn]p∑

j=0

ajzj = Z[bn] +

p∑

j=0

ajzj ·

j−1∑

k=0

xkz−k

si de aici:

Z[xn] =

Z[bn] +p∑

j=0

ajzj ·

j−1∑

k=0

xkz−k

p∑

j=0

ajzj

(3.66)


Transformata Z inversa a functiei date de relatia (3.66) conduce la solutiaproblemei (3.63)+(3.64). Daca se lucreaza cu valorile x0, x1, ..., xp−1 nepre-cizate atunci din inversarea relatiei (3.66) se obtine solutia generala a ecuatiei(3.63).

Exemple:i) Sa se determine solutia ecuatiei cu diferente finite

xn+2 − 5xn+1 + 6xn =12((−1)n − 1)

AvemZ[xn] = X(z)

Z[xn+1] = zX(z)− zx0

Z[xn+2] = zzX(z)− zx0

Z[12((−1)n − 1)] =

12Z[(−1)n − 1] =

12

z

z + 1− 1

2z

z − 1=

z

1− z2

Astfel transformata Z a ecuatiei date va fi:

X(z)(z2 − 5z + 6) =z

1− z2+ x0z

2 + x1z − 5x0z

De aici

X(z)z

= − 1(z2 − 1)(z2 − 5z + 6)

+ x0z − 5

z2 − 5z + 6+ x1

1z2 − 5z + 6

=

= −14

1z − 1

+13

1z − 2

+124

1z + 1

−18

1z − 3

+x0 3z − 2

− 2z − 3

+x1 1z − 3

− 1z − 2

Deci

X(z) = −14

11− 1

z

+13

11− 2

z

+124

11 + 1

z

−18

11− 3

z

+x0 31− 2

z

− 21− 3

z

+x1 11− 3

z

− 11− 2

z

De aici rezulta ca solutia generala a ecuatiei cu diferente finite considerateeste:

xn = −14

+124

(−1)n +132n − 1

83n + (3 · 2n − 2 · 3n)x0 + (3n − 2n)x1

i) Sa se determine curentul ın ochiul n al circuitului ın scara din figura 3.4.Legea a doua a lui Kirchoff pentru ochiul n+1 ne da:

Rin+1 + R(in+1 − in) + R(in+1 − in+2) = 0, n = 0, 1, 2, ..., L− 2, L ∈ N


Fig. 3.4:

sau−Rin + 3Rin+1 −Rin+2 = 0 (3.67)

ceea ce constituie o ecuatie ın diferente finite de ordinul al doilea. Avem:

Z[in] = I(z)

Z[in+1] = zI(z)− i0Z[in+2] = zzI(z)− i0 − i1

Ecuatia (3.67)devine atunci:

−I(z) + 3z(I(z)− i0)− z2(I(z)− i0) + zi1

si de aici

I(z) =z

z2 − 3z + 1i1 +

z2 − 3z

z2 − 3z + 1i0 (3.68)

sau

I(z)z

=1√5(

1

z − 3+√

52

− 1

z − 3−√52

)i1+(5− 3

√5

101

z − 3+√

52

+5 + 3

√5

101

z − 3−√52

)i0 =

=2√

5i1 + (5− 3√

5)i010

1

z − 3+√

52

− 2√

5i1 − (5 + 3√

5)i010

1

z − 3−√52

prin urmare

in =2√

5i1 + (5− 3√

5)i010

(3 +

√5

2)n − 2

√5i1 − (5 + 3

√5)i0

10(3−√5

2)n

De aici

in =√

55(3 +

√5

2)n−(

3−√52

)ni1−3−√52√

5(3 +

√5

2)n−3 +

√5

2√

5(3−√5

2)ni0

(3.69)


Din primul ochi al circuitului mai rezulta:

Ri0 + R(i0 − i1) = E

si de aici:

i1 = 2i0 =E

R(3.70)

De asemenea din ultimul ochi al circuitului mai avem:

(R + RL)iL + R(iL − iL−1) = 0 (3.71)

Relatiile (3.70) si (3.71) determina pe i1 si i0 astfel ca din (3.69) rezulta solutiaproblemei.

Capitolul 4

Elemente de teoria campului.

4.1 Campuri scalare si vectoriale.

4.1.1 Campuri scalare.

In studiul dinamic al fenomenelor naturii intervine notiunea de camp.Daca o marime fizica are o valoare determinata ın fiecare punct din spatiu,spunem ca multimea acestor valori defineste campul marimii respective.

Exemplu: Curgerea unui lichid defineste un camp al vitezelor.Notiunea de camp se bazeaza pe doua elemente de natura diferita, inde-

pendente ıntre ele:Elementul analitic: Functia f a campului, reprezentant al actiunii ma-

teriale siElementul geometric: Regiunea < a spatiului ın care actioneaza functia

f , reprezentant al bazei materiale.Definitia 1: Campul este multimea valorilor lui f asociate punctelor M

din regiunea <.Natura functiei f determina natura campului, daca f este scalar u, campul

este scalar, daca f este vector −→v , campul este vectorial, daca f este tensor−→T

atunci campul este tensorial.Campurile nestationare sunt campurile care variaza ın timp: f = f(x, y, z, t),

iar campurile stationare sunt cele care nu variaza ın timp adica: f = f(x, y, z).Definitia 2: Daca < este o regiune marginita sau nu a spatiului cu una

doua sau trei dimensiuni siu = u(M) (4.1)

o functie scalara ce depinde de puncte M din < numim camp scalar multimeavalorilor lui u corespunzatooare tuturor punctelor M ∈ <.

Definitia 3: Regiunea < constituie domeniul de definitie al campuluiscalar, functia u(M) este functia campului scalar si se numeste camp scalar.

127

128 CAPITOLUL 4. ELEMENTE DE TEORIA CAMPULUI.

Exemple:In fizica: u este functia potentiala, u este functia de forta.In geodezica: u este masa specifica a unui mediu neomogen.In termotehnica: u reprezinta campul temperaturilor, presiunea ıntr-un

gaz: p = p(v, t).In analiza reala se face studiul continuitatii si derivabilitatii functiei u(M).

4.1.2 Suprafata de nivel sau suprafata echipotentiala ın spatiulcu trei dimensiuni.

Definitia 4: Suprafata de nivel este multimea punctelor M din D ∈ < pentrucare functia u ramane constanta.

du = 0,u(M) = const.

(4.2)

Observatie: In cazul cand domeniul este bidimensional se poate vorbidespre o curba de nivel constant sau curba echipotentiala.

Propozitia 1. Suprafetele d nivel stratifica valorile campului scalar.Propozitia 2. Suprafetele de nivel formeaza o familie de suprafete cu un

parametru, de ecuatieu(M) = k.

Propozitia 3. Printr-un punct dat M0 din regiunea < trece o singurasuprafeta de nivel care are ecuatia:

u(M) = u0.

DemonstratiePunem conditia ca punctul M0 sa fie pe suprafata de nivel: u(M0) = u0

si M0 ∈ R, u(M0) = k deci k = u0 si prin urmare: u(M) = u0 reprezinta osingura suprafata de nivel.

Propozitia 4. Doua suprafete de nivel dinstincte u1(x, y, z) si u2(x, y, z)nu pot avea nici un punct comun.

DemonstratieFie:

u(M) = u1

u(M) = u2

unde u1 6= u2. Presupunem ca suprafetele ar avea puncte comune. Punctelecomune le putem determina rezolvand sistemul, din care deducem: u1−u2 = 0dar u1 6= u2 din ipoteza deci presupunerea este falsa.

4.1. CAMPURI SCALARE SI VECTORIALE. 129

4.1.3 Variatia campului scalar. Derivata dupa o directie acampului scalar.

Fie u0 suprafata de nivel avand ecuatia u(M) = u0 si un punct care se poatedeplasa sau pe suprafata data sau ın afara suprafetei de nivel u0.

Cazul I. Deplaearea punctului are loc pe suprafeta de nivel.La o deplasare infinitezimala a punctului corespunde variatia functiei care

ındeplineste conditia: du = 0, dar:

du =∂u

∂xdx +

∂u

∂ydy +

∂u

∂zdz

si membrul drept al ecuatiei de mai sus reprezinta produsul scalar a doi

Fig. 4.1:

vectori: −→G =

∂u

∂x

−→i +

∂u

∂y

−→j +

∂u

∂z

−→k (4.3)

si d−→r =−→i dx +

−→j dy +

−→k dz adica:

−→Gd−→r = 0

dar d−→r se afla ın planul tangent ın punctul M la u0 pentru ca deplasarea seface ın planul tangent deci

−→G este vector normal ın M la suprafata de nivel

u0.−→G se numeste gradientul functiei u. Gradientul poate fi scris sub forma

simbolica: −→G = (

−→i

∂

∂x+−→j

∂

∂y+−→k

∂

∂z)u

sau−→G = grad u sau

−→G = ∇u. Operatorul ∇ sau nabla este numit operatorul

lui Hamilton.Cazul II. Deplaearea are loc in afara suprafetei de nivel. Fie M un punct


Fig. 4.2:

din domeniul de definitie al campului scalar u, M ′ din afara suprafetei. Nepropunem sa calculam variatia campului ın vecinatatea punctului M , −→r estevectorul de pozitie al lui M , −→r + d−→r este vectorul de pozitie al lui M ′, −→seste versorul directiei

−−−→MM ′

−→s =1

|−−−→MM ′|−−−→MM ′

Elementul liniar pe directia −→s este: 4s = |−−−→MM ′| adica 4s = |d−→r |.Variatia campului scalar u la trecerea din M ın M ′ este:

4u = u(−→r + d−→r )− u(−→r ) = U(M ′)− u(M) (4.4)

si depinde atat de distanta |−−−→MM ′| cat si de directia de deplasare −→s . Pentru aevalua variatia campului u ın punctul M ın directia de vector −→s se determina

lim4s→0

4u

4s

Definitia 5: Se numeste derivata functiei u dupa directia de versor −→s ınpunctul M sau derivata campului scalar u dupa directia de versor −→s limitaraportului

4u

4s

pentru 4s → 0, atunci cand limita exista.Derivata campului scalar u dupa directia de versor −→s se noteaza:

du

ds= lim|MM ′|→0

u(M)− u(M ′)|MM ′|


saudu

ds= lim4s→0

4u

4s

Se stie ca: d−→r = s|d−→r | sau d−→r = −→s 4s si

−→s = l−→i + m

−→j + n

−→k

cu l = cos(−→s ,−→i ),m = cos(−→s ,

−→j ), n = cos(−→s ,

−→k ), l2 + m2 + n2 = 1

dx−→i + dy

−→j + dz

−→k = l4s

−→i + m4s

−→j + n4s

−→k

Urmeaza cadx = l4s, dy = m4s, dz = n4s

Dar cu (4.4):

4u = u(x + l4s, y + m4s, z + n4s)− u(x, y, z)

Cum functia u(x, y, z) este diferentiabila avem:

4u = u(x, y, z) +∂u

∂xdx +

∂u

∂ydy +

∂u

∂zdz + R− u(x, y, z)

undelim4s→0

R

4s= 0

Altfel scris:4u = 4s

∂u

∂xl +4s

∂u

∂ym +4s

∂u

∂zn + R

lim4s→0

4u

4s=

∂u

∂xl +

∂u

∂ym +

∂u

∂zn + lim

4s→0

R

4s

Prin urmaredu

ds=

∂u

∂xl +

∂u

∂ym +

∂u

∂zn

du

ds=−→G−→s

saudu

ds= grad u−→s (4.5)

unde:G =

∂u

∂x

−→i +

∂u

∂y

−→j +

∂u

∂z

−→k

sis = l

−→i + m

−→j + n

−→k


Marimeadu

ds=−→G−→s

se numeste derivata functiei scalare u dupa directia de vector −→s .Propozitia 5. Derivata dupa o directie

−→S de versor −→s a campului scalar

u este proiectia gradientului−→G dupa directia

−→S .

Intr-adevar, exprimand produsul scalar din definitia derivatei functiei scalareu dupa directia de versor −→s avem:

du

ds= |−→G ||−→s | cos( −→s ,grad u)

adica:du

ds= |−→G | cos( −→s ,grad u)

care reprezinta proiectia gradientului−→G pe directia

−→S de versor −→s . Se vede

ca derivata depinde de punctul M si de directia de versor −→s .Propozitia 6. Marimea gradientului

−→G este derivata campului scalar u

dupa directia normalei ın punctul respectiv la suprafata.Intr-adevar daca directia

−→S este normala

−→N ın punctul M la u, versorul −→s

este −→s = −→n si atunci:

du

dn= |−→G ||−→n | cos(

−→G,−→n );

du

dn= |−→G ||−→n | cos(0o);

du

dn= |−→G ||−→n |; du

dn= |−→G |

atunci −→G =

du

dn−→n (4.6)

si marimea sa este:

|−→G | =√

(∂u

∂x)2 + (

∂u

∂y)2 + (

∂u

∂z)2 (4.7)

Propozitia 7. Marimea gradientului−→G este valoarea maxima ıntre derivatele

dupa o directie oarecare.Intr-adevar

du

ds= |−→G ||−→s | cos( −→s ,grad u)

Fie Θ = ( −→s ,grad u) deci:du

ds= cosΘ

Cum −1 ≤ cosΘ ≤ 1 atunci: max duds = |−→G |.

Observatie.


Cum|−→G | = du

dn

rezulta camax

du

ds=

du

dn

Vectorul−→G indica directia dupa care functia u are valoarea cea mai mare.

Propozitia 8. Derivatele dupa directiile pozitive ale axelor de coordonatecoincid cu derivatele partiale ın raport cu variabila respectiva.Intr-adevar, pentru −→s =

−→i

du

ds=−→i · (∂u

∂x

−→i +

∂u

∂y

−→j +

∂u

∂z

−→k ) =

−→i · grad u;

du

ds=

∂u

∂x

Analog pentru −→s =−→j si −→s =

−→k

du

ds=−→j · grad u =

∂u

∂y

du

ds=−→k · grad u =

∂u

∂z

adica derivatele dupa directiile pozitive ale axelor de coordonate coincid cuderivatele partiale ın raport cu variabila respectiva.

Daca −→s este −−→i ,−−→j sau −−→k atunci duds este respectiv:

−∂u

∂x, −∂u

∂y, −∂u

∂z

Concluzie: Derivata dupa o directie−→S de versor −→s depinde nu numai de

directia respectiva ci si de sensul ales pe aceasta directie.

4.1.4 Proprietatile gradientului.

Pentru functiile: ϕ : D1 ⊂ R3 → R si ψ : D2 ⊂ R3 → R unde ϕ si ψ sunt declasa C1 reprezentand campuri scalare, au loc propozitiile urmatoare:

Propozitia 9. Pentru campurile scalare ϕ si ψ

grad (ϕ + ψ) = grad ϕ + grad ψ (4.8)

Demonstratie

∇(ϕ + ψ) =∂

∂x(ϕ + ψ)

−→i +

∂

∂y(ϕ + ψ)

−→j +

∂

∂z(ϕ + ψ)

−→k =

=∂ϕ

∂x

−→i +

∂ψ

∂x

−→i +

∂ϕ

∂y

−→j +

∂ψ

∂y

−→j +

∂ϕ

∂z

−→k +

∂ψ

∂z

−→k = ∇ϕ +∇ψ


Analog se demonstreaza:Propozitia 10.

∇(ϕψ) = ϕ∇ψ + ψ∇ϕ (4.9)

Propozitia 11.∇F (ϕ(x, y, z)) = F ′(ϕ)∇ϕ (4.10)

Intr-adevar:

∇(F (ϕ)) =∂

∂xF (ϕ(x, y, z))

−→i +

∂

∂yF (ϕ(x, y, z))

−→j +

∂

∂zF (ϕ(x, y, z))

−→k =

=dF

dϕ[∂ϕ

∂x

−→i +

∂ϕ

∂y

−→j +

∂ϕ

∂z

−→k ] = F ′(ϕ)∇ϕ

Exemplu:

grad f(r) = f ′(r)grad r = f ′(r)grad√

x2 + y2 + z2

deci:grad f(r) = f ′(r)[

∂r

∂x

−→i +

∂r

∂y

−→j +

∂r

∂z

−→k ]

grad f(r) = f ′(r)[x

r

−→i +

y

r

−→j +

z

r

−→k ]

grad f(r) =f ′(r)

r−→r

Cu (4.5) se deduc cu usurinta proprietatile urmatoarePropozitia 12.

d

ds(f + g) =

df

ds+

dg

ds(4.11)

Propozitia 13.d

ds(fg) = g

df

ds+ f

dg

ds(4.12)

Propozitia 14.d

ds(F (ϕ)) = F ′(ϕ)

dϕ

ds(4.13)

4.1.5 Campuri vectoriale.

Definitia 6 Daca < este o regiune marginita sau nu a spatiului cu unadoua sau trei dimensiuni si

−→V =

−→V (M) este o functie vectoriala ce depinde de

puncte M din <, numim camp vectorial multimea valorilor−→V atasati punctelor

M din <.Definitia 7 Regiunea < se numeste domeniul de definitie al campului

vectorial, functia−→V (M) este a campului vectorial. Exemple:

In mecanica, geofizica: campul vitezelor, campul momentelor, campulgravitational. In teoria campului electromagnetic: campul magnetic

−→H


4.1.6 Linii de camp. proprietati.

Definitia 8 Se numeste linie de camp (linie de forta, linie de curent) o curbadin domeniul < de definitie al campului

−→V (M), care este tangenta ın fiecare

punct M al sau la vectorul camp−→V (M). Prin urmare

−→V ‖ d−→r , adica:

Fig. 4.3:

−→V × d−→r = 0 (4.14)

este ecuatia diferentiala a liniilor de camp sub forma vectoriala.Liniile de camp sunt date de sistemul de ecuatii diferentiale:

dx

P (x, y, z)=

dy

Q(x, y, z)=

dz

R(x, y, z)(4.15)

unde:−→V (M) = P (x, y, z)

−→i +Q(x, y, z)

−→j +R(x, y, z)

−→k si d−→r = dx

−→i +dy

−→j +dz

−→k

Solutia sistemului de ecuatii sub forma simetrica (4,15) este data de douaintegrale prime :

(Γ)

ϕ1(x, y, z) = C1

ϕ2(x, y, z) = C2(4.16)

Proprietati ale liniilor de camp.

Propozitia 15. Printr-un punct dat M0al domeniului trece o singura linie decamp Γ0de ecuatii:

(Γ0)

ϕ1(x, y, z) = C10

ϕ2(x, y, z) = C20

Propozitia 16. Doua linii de camp Γ1 si Γ2 nu au ın general nici un punctcomun.

Propozitia 17. Liniile de camp formeaza o multime de curbe cu doiparametrii care au ca ecuatii sistemul (4.16).


4.1.7 Suprafata de camp.

O suprafata de camp Σ este generata de liniile de camp carora li se impuneconditia sa treaca printr-o curba (C) care nu este linie de camp. Fie (C) deecuatii:

(C)

f1(x, y, z) = 0f2(x, y, z) = 0

(4.17)

unde C ⊂ Σ. Suprafata se determina scriind ca punctul M(x, y, z) trebuie sa

Fig. 4.4:

fie ın acelasi timp si pe (C) si pe una din liniile de camp (Γ), adica: M ∈ (Γ)si M ∈ (C). Se elimina x, y, z din relatiile:

ϕ1(x, y, z) = C1

ϕ2(x, y, z) = C2

f1(x, y, z) = 0f2(x, y, z) = 0

obtinandu-se astfel o relatie ıntre C1 si C2:

Φ(C1, C2) = 0 (4.18)

numita relatie de compatibilitate a sistemului.In relatia (4.18) se inlocuiesc C1 si C2 din integralele prime (Γ) si se obtinerelatia:

Φ(ϕ1(x, y, z), ϕ2(x, y, z)) = 0 (4.19)

care reprezinta ecuatia suprafetei de camp Σ.Proprietati:1. Daca C ar fi chiar o linie de camp prin aceasta curba ar trece o infinitate

de suprafete de camp (problema nedeterminata).


2. Cand C este o curba ınchisa, suprafata (Σ) formeaza un tub de vectori(tub de forte).

Fig. 4.5:

3. Vectorul−→V este tangent la suprafata Σ.

Intr-adevar prin fiecare punct M al suprafetei Σ trece o linie de camp (Γ)la care vectorul

−→V este tangent.

Exercitiu: Fie campul−→V = x

−→i + y

−→j + z

−→k si curba:

(C)

x2 + y2 = R2

z = h

Sa determinam suprafata de camp ce contine curba (C).Rezolvare: Se determina liniile de camp:

dx

x=

dy

y=

dz

z

cu integrale prime date de:

lnx = ln y + ln C1; ln y = ln z + ln C2

liniile de camp sunt: x = yC1

y = zC2

Se formeaza sistemul:

x = yC1

y = zC2

z = hx2 + y2 = R2


Se exprima x, y, z din trei relatii ın functie de C1 si C2:

z = h; y = hC2; x = hC1C2

care apoi se introduc ın ultima relatie ramasa din sistemul de mai sus, obtinandu-se relatia de compatibilitate:

Φ(C1, C2) = (hC1C2)2 + (hC2)2 −R2 = 0

adica:

h2 x2

z2+ h2 y2

z2= R2

Suprafata conica cu centru O si cerc generator (C)

x2 + y2 =R2

h2z2.

Fig. 4.6:

4.1.8 Variatia campului vectorial.

Derivata dupa o directie a unui camp vectorial.

Pentru a calcula variatia unui camp vectorial ın vecinatatea unui punctM , cum campul variaza diferit pe diferite directii ale spatiului vom procedaastfel: Ducem prin M o dreapta avand directia data de versorul−→s , sau o curbaa carui tangenta ın punctul M are directia de versor −→s . Pe aceasta dreaptasau curba luam un punct M ′ vecin cu M . Punctul M ′(x + dx, y + dy, z + dz)are vectorul de pozitie −→r + d−→r .

Marimea vectorului−−→OM este:

|−−→OM | = |d−→r | = 4s; d−→r = −→s 4s


Fig. 4.7:

Pentru variatia 4−→V a functiei vectoriale−→V la trecerea din punctul M in

punctul M ′ se obtine:

4−→V =−→V (M ′)−−→V (M) =

−→V (x + dx, y + dy, z + dz)−−→V (x, y, z) =

=−→V (x, y, z) +

∂−→V

∂xdx +

∂−→V

∂ydy +

∂−→V

∂zdz +

−→R −−→V (x, y, z)

Definitia 9: Se numeste derivata functiei−→V (M) dupa directia de vector

−→s sau derivata campului vectorial−→V (M) dupa directia de vector −→s , limita

raportului 4−→V

4s cand 4s → 0 atunci cand aceasta limita exista.

lim4s→0

4−→V4s

=d−→V

ds

pentru ca d−→r = −→s 4s sau dx = l4s; dy = m4s; dz = n4s

lim4s→0

4−→V4s

=∂−→V

∂xl +

∂−→V

∂ym +

∂−→V

∂zn + lim

4s→0

−→R

4s

cum:

lim4s→0

−→R

4s= 0

rezulta :d−→V

ds=

∂−→V

∂xl +

∂−→V

∂ym +

∂−→V

∂zn

d−→V

ds= (−→s · ∇)

−→V


Se pot demonstra ca si la campurile scalare, urmatoarele proprietati:

d(−→A +

−→B )

ds=

d−→A

ds+

d−→B

ds

d(ϕ−→A )

ds=

dϕ

ds

−→A + ϕ

d−→A

ds

d(−→A ×−→B )

ds=

d−→A

ds×−→B +

−→A × d

−→B

ds

d(−→A · −→B )ds

=d−→A

ds· −→B +

−→A · d

−→B

ds

Definitia 10: Se numeste derivata vectorului−→V ın raport cu vectorul

−→A

expresia:d−→V

d−→A

= (−→A · 5)

−→V

Fie−→A = Ax

−→i + Ay

−→j + Az

−→k atunci:

d−→V

d−→A

= (Ax∂

∂x+Ay

∂

∂y+Az

∂

∂z)(P

−→i +Q

−→j +R

−→k ) = Ax

∂−→V

∂x+Ay

∂−→V

∂y+Az

∂−→V

∂z.

4.1.9 Asupra integralei de suprafata.

Fie S o submultime din R3 (S ⊂ U unde U ⊂ R3) si D2 ⊂ R2. Aceastasuprafata S se poate reprezenta sub trei forme:

• Forma implicita:

S = (x, y, z) | F (x, y, z) = 0; F : R3 → R

• Forma explicita:

S = (x, y, z) | z = f(x, y), (x, y) ∈ D2

• Forma parametrica:

S = (x, y, z) | x = ϕ1(u, v), y = ϕ2(u, v), z = ϕ3(u, v), (u, v) ∈ D2

Se poate trece de la forma explicita la forma parametrica astfel:x = u; y = v; z = f(u, v) unde (u, v) ∈ D2

Daca S este sub forma parametrica si v = v0 fixat, atunci se obtine o curbasituata pe suprafata S:

(Γu) : (x, y, z) | x = ϕ1(u, v0), y = ϕ2(u, v0), z = ϕ3(u, v), (u, v0) ∈ D2


Daca S este sub forma parametrica si u = u0 fixat, atunci se obtine o curbasituata pe suprafata S:

(Γu) : (x, y, z) | x = ϕ1(u0, v), y = ϕ2(u0, v), z = ϕ3(u, v), (u0, v) ∈ D2

Fig. 4.8:

Γu si Γv se numesc curbe de coordonate.−→N ⊥ −→r u si

−→N ⊥ −→r v ⇒ −→

N ‖ −→r u ×−→r v

Pentru ϕ1, ϕ2, ϕ3 de clasa C1 (adica S este neteda), vectorii tangenti ın M0

(punctul de intersectie) la curbele Γu si Γv sunt:

−→r u =∂ϕ1

∂u

−→i +

∂ϕ2

∂u

−→j +

∂ϕ3

∂u

−→k

−→r v =∂ϕ1

∂v

−→i +

∂ϕ2

∂v

−→j +

∂ϕ3

∂v

−→k

−→r u si −→r v sunt vectori necolineari ın D2, atunci ın fiecare punct (u0, v0) alsuprafetei exista un plan tangent unic determinat si deci exista o normalaunica.

−→r u si −→r v necolineari ⇐⇒ −→r u ×−→r v 6= 0 ⇐⇒ −→N ‖ −→r u ×−→r v;

−→r u ×−→r v =

∣∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

∂ϕ1

∂u∂ϕ2

∂u∂ϕ3

∂u∂ϕ1

∂v∂ϕ2

∂v∂ϕ3

∂v

∣∣∣∣∣∣∣= A

−→i + B

−→j + C

−→k

unde:

A =∂(ϕ2, ϕ3)∂(u, v)

, B =∂(ϕ3, ϕ1)∂(u, v)

, C =∂(ϕ1, ϕ2)∂(u, v)

,


Conditia ca vectorii sa fie necolineari este:

|−→r u ×−→r v|2 = A2 + B2 + C2 > 0

Notand: −→E = −→r u · −→r u = (

∂ϕ1

∂u)2 + (

∂ϕ2

∂u)2 + (

∂ϕ3

∂u)2;

−→F = −→r u · −→r v = (

∂ϕ1

∂u)(

∂ϕ1

∂v) + (

∂ϕ2

∂u)(

∂ϕ2

∂v) + (

∂ϕ3

∂u)(

∂ϕ3

∂v);

−→G = −→r v · −→r v = (

∂ϕ1

∂v)2 + (

∂ϕ2

∂v)2 + (

∂ϕ3

∂v)2;

Atunci A2 + B2 + C2 = EG− F 2 numita Identitatea lui Euler.Definitia 11: Fie S o suprafata neteda sau neteda pe portiuni avand

forma parametrica:

x = ϕ1(u, v); y = ϕ2(u, v); z = ϕ3(u, v); (u, v) ∈ D2

Daca: ∫∫

D2

√A2 + B2 + C2dudv =

∫∫

D2

√EG− F 2dudv,

exista si este finita atunci suprafata S are arie si:

A(S) =∫∫

D2

√A2 + B2 + C2dudv =

∫∫

D2

√EG− F 2dudv =

∫∫

Sdσ

iar:dσ =

√A2 + B2 + C2dudv =

√EG− F 2dudv

se numeste element diferential de suprafata.Propozitia 18. Fie S = (x, y, z) | z = f(x, y), (x, y) ∈ D2, S neteda.

Daca S are arie, atunci:

A(S) =∫∫

D2

√1 + (

∂f

∂x)2 + (

∂f

∂y)2dxdy =

∫∫

D2

√1 + p2 + q2dxdy =

unde p = ∂f∂x si q = ∂f

∂y sunt numite notatiile lui Monge.Demonstratie:

x = xy = y

z = f(x, y)=⇒

E = 1 + 0 + (∂f∂x )2

G = 0 + 1 + (∂f∂y )2

F = 1 · 0 + 0 · 1 + ∂f∂x

∂f∂y

EG− F 2 = (1 + (∂f

∂x)2)(1 + (

∂f

∂y)2)− (

∂f

∂x

∂f

∂y)2 = 1 + (

∂f

∂x)2 + (

∂f

∂y)2


sau:

−→r u ×−→r v =

∣∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

1 0 ∂f∂x

0 1 ∂f∂y

∣∣∣∣∣∣∣

Rezulta: A = −∂f∂x , B = ∂f

∂y ; C = 1

|−→r u ×−→r v|2 = A2 + B2 + C2 = 1 + (∂f∂x )2 + (∂f

∂y )2

4.1.10 Integrala de suprafata de speta ıntai si doi.

Definitia 12: Fie S o suprafata neteda (sau neteda pe portiuni)

S

x = ϕ1(u, v)x = ϕ2(u, v)x = ϕ3(u, v)

(u, v) ∈ D2

si f : U → R o functie continua pe U ⊂ R3.Se numeste integrala de suprafata de speta ıntai a functiei f pe suprafata S,integrala data de:

∫∫

D2

f(ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v))√

A2 + B2 + C2dudv =∫∫

Sf(x, y, z)dσ

Definitia 13: Consideram aceleasi proprietati pentru suprafata S iar−→V : U → R3,

−→V (x, y, z) = P (x, y, z)

−→i + Q(x, y, z)

−→j + R(x, y, z)

−→k

Se numeste integrala de suprafata de speta a doua, integrala data de:∫∫

D2

(P (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v))A + Q(ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v))B+

+R(ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v))C)dudv =

=∫∫

S,−→n +

P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy =

=∫∫

S,−→n +

(P (x, y, z)α + Q(x, y, z)β + R(x, y, z)γ)dσ

cu

−→n + = α−→i + β

−→j + γ

−→k versorul normalei la suprafata S , −→n + = −−→n −

∫∫

S,−→n +

(Pα + Qβ + Rγ)dσ = −∫∫

S,−→n−(Pα + Qβ + R)γ)dσ


4.1.11 Fluxul unui camp vectorial printr-o suprafata.

Fie o suprafata S situata ın domeniul < ın care ste definit campul vectorial−→V si −→n versorul normalei ın punctul M la S.

Definitia 14: Se numeste fluxul campului vectorial−→V prin suprafata S,

valoarea integralei:

Φ =∫∫

S

−→V −→n dσ,

unde dσ este elementul diferential al suprafetei S ce contine punctul M .

Fig. 4.9:

Campul −→V = P (x, y, z)

−→i + Q(x, y, z)

−→j + R(x, y, z)

−→k

si versorul normalei

−→n = cos(−→n ,−→i )−→i + cos(−→n ,

−→j )−→j + cos(−→n ,

−→k )−→k = α

−→i + β

−→j + γ

−→k

exprima: −→V −→n dσ = Pαdσ + Qβdσ + Rγdσ

dar:cos(−→n ,

−→i )dσ = cos(−→n , Ox)dσ = αdσ = dydz

cos(−→n ,−→j )dσ = cos(−→n , Oy)dσ = βdσ = dzdx

cos(−→n ,−→k )dσ = cos(−→n ,Oz)dσ = γdσ = dxdy

Astfel se poate exprima fluxul campului vectorial:

Φ =∫∫

SP (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy


O interpretare fizica a notiunii de flux pornind de la un camp par-ticular.

Fie campul vectorial−→V (M), care reprezinta campul de viteze al curgerii

unui fluid si S o suprafata oarecare situata ın domeniul D ocupat de fluid.Definitia 15: Se numeste flux al fluidului prin suprafata S cantitatea de

fluid care strabate suprafata S ın unitatea de timp.Pentru a calcula fluxul, vom ımparti suprafata S ıntr-un numar de suprafeteelementare de arie dσ.

Fig. 4.10:

Versorul normal la suprafata se noteaza cu −→n . Cantitatea de fluid carestrabate elementul dσ ın unitatea de timp o numim flux elementar al fluidu-lui. In unitatea de timp fluidul umple un paralelipiped de baza dσ si de muchie|−→V (M)|. Inaltimea h a paralelipipedului va fi proiectia vectorului

−→V (M) pe

versorul −→n , al normalei ın M , deci va fi data de h = |−→n ||−→V | cos(−→n ,−→V ) adica:

h =−→V −→n . Fluxul elementar este dat de hdσ, adica: dΦ =

−→V · −→n dσ. Fluxul

total prin suprafata S va fi limita sumei:∑−→

V · −→n dσ suma fiind extinsa latoate elementele suprafetei S, cand aria tuturor elementelor dσ → 0, dacaaceasta limita exista. Limita obtinuta este o integrala de suprafata

Φ =∫∫

S

−→V · −→n dσ

• Daca intr-un punct M apartinand suprafetei S,−→V si −→n sunt de aceeasi

parte a suprafetei, unghiul dintre−→V si −→n este ascutit si produsul scalar

−→V ·−→n

este pozitiv.• Daca

−→V si −→n sunt de parti opuse, atunci unghiul dintre

−→V si −→n este

optuz si produsul scalar−→V · −→n este negativ.


Fig. 4.11:

• Daca−→V este perpendicular pe −→n , deci tangent la suprafata, produsul

scalar−→V · −→n este nul.

Semnul expresiei−→V ·−→n precizeaza sensul ın care fluidul strabate suprafata

ın punctul M .• Daca

−→V · −→n > 0, fluidul iese din suprafata prin punctul M .

• Daca−→V · −→n < 0, fluidul intra ın suprafata prin punctul M .

• Daca−→V · −→n = 0, ın punctul M fluidul nu strabate suprafata.

Tinand seama de expresia fluxului printr-o suprafata S, rezulta:• Daca Φ > 0, mai mult fluid a iesit din domeniu decat a intrat;• Daca Φ > 0, mai mult fluid a intrat din domeniu decat a iesit;• Daca Φ = 0, cat fluid intra ın domeniu tot atata iese.Exemplu:

Pentru−→V = −→r sa se calculeze fluxul prin portiunea de suprafata: z = x2 + y2

cuprinsa ıntre planul xOy si planul z = 4, avand normala dirijata astfel ca saformeze un unghi optuz cu axa Oz.

Fig. 4.12:

Versorul:−→n =

p−→i + q

−→j + (−1)

−→k

±√

p2 + q2 + 1


iar elementul de suprafata:

dσ =√

p2 + q2 + 1dxdy

unde p = ∂z∂x ; q = ∂z

∂y

cos(−→n ,Oz) = γ < 0 face ca versorul normalei sa fie:

−→n =2x−→i + 2y

−→j −−→k√

4x2 + 4y2 + 1

si dσ =√

4x2 + 4y2 + 1dxdy

−→V · −→n =

2x2 + 2y2 − z√4x2 + 4y2 + 1

=⇒ Φ =∫∫

S(2x2 + 2y2 − z)dxdy =⇒

Φ =∫∫

D(2x2 + 2y2 − x2 − y2)dxdy =

∫ 2π

0dθ

∫ 2

0ρ3dρ = 8π

unde D : x2 + y2 ≤ 4 si x = ρ cos θ, y = ρ sin θ iar dxdy = ρdρ.dθ

4.1.12 Divergenta unui camp vectorial.

In cazul cand suprafata S este o suprafata ınchisa, aplicand formula luiGauss-Ostrogradski, obtinem:

Φ =∫∫

SPdydz + Qdzdx + Rdxdy =

∫∫∫

Ω(∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z)dω

unde S este o suprafata ınchisa care limiteaza domeniul simplu conex Ω si−→V (M) o functie vectoriala de componente functii cu derivate partiale de primulordin continuie pe Ω ∪ S.

Definitia 16: Functia scalara ∂P∂x + ∂Q

∂y + ∂R∂z se numeste divergenta a

functiei vectoriale−→V (M) de componente P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) si se

noteaza div−→V , adica:

div−→V =

∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂zsau div

−→V = ∇ · −→V

Fluxul unui vector printr-o suprafata ınchisa S este egala cu integrala de volumdin divergent vectorului extinsa la domeniul ınchis de suprafata S. FormulaGauss-Ostrogradski se numeste si formula flux-divergenta, se scrie:

∫∫

S

−→V · −→n dσ =

∫∫∫

Ωdiv

−→V dω (4.20)

unde dω este elementul de volum, notat uneori cu dxdydz.


Exprimarea divergentei independenta de sistemul de referinta, val-abila ın orice punct M din Ω.

Din ∫∫

S

−→V · −→n dσ =

∫∫∫

Ωdiv

−→V dω

aplicand formula mediei pentru integrala tripla avem:∫∫

S

−→V · −→n dσ = ( div

−→V )|M

∫∫∫

Ωdω = ( div

−→V )|MV

punctul M fiind interior domeniului Ω, V fiind volumul domeniului Ω. Facandsuprafata S sa se stranga continuu ın vecinatatea lui M , astfel ıncat V → 0avem:

( div−→V )|M = lim

V→0=

∫∫

S

−→V · −→n dσ

VAceasta limita analoaga cu limita care duce ın cazul unei dimensiuni la notiuneade derivata de numeste derivata spatiala.

Definitia 17: Se numeste divergent a campului vectorial−→V (M) ın punctul

M limita raportului dintre fluxul lui−→V (M) prin suprafata S care margineste

domeniul Ω si volumul V al acestui domeniu, cand V → 0 (punctul M apartinelui Ω ), daca aceasta limita exista.

Semnificatia fizica a divergentei unui vector.

Sa presupunem ca avem o curgere a unui fluid,−→V (M) fiind campul de

viteze al curgerii.

Fig. 4.13:

Sa consideram o suprafata S din domeniul D de dfinitie al campului−→V (M).

In unitatea de timp prin aceasta suprafata intra o anumita cantitate de fluid siiese o anumita cantitate de fluid. In M1 fluxul este negativ, deoarece normala


la suprafata si vectorul camp sunt de o parte si de alta a suprafetei, pe candın M2 fluxul este pozitiv deoarece normala la suprafata si vectorul camp suntde aceeasi parte a suprafetei. Daca consideram fluxul total prin suprafata Ssi fluxul este pozitiv atunci iese mai mult fluid decat intra; daca fluxul estenegativ, atunci intra mai mult fluid decat iese; daca fluxul este nul, cat fluidintra prin suprafata S tot atata iese. Avem urmatoarele cazuri:

1. Fluxul prin orice suprafata S ⊂ D este pozitiv si din formula (4.20)rezulta ca div

−→V > 0. In acest caz iese mai mult fluid decat intra si rezulta ca

ın interiorul lui S se creaza lichid. Spunem ın acest caz ca avem ın interiorullui S, izvoare sau surse pozitive.

2. Fluxul prin orice suprafata S ⊂ D este negativ deci div−→V < 0 in D.

In acest caz intra prin suprafata S mai mult fluid decat iese si ın interiorul luiS fluidul este absorbit. Spunem ca avem puturi sau surse negative.

3. Fluxul prin orice suprafata S ⊂ D este nul deci div−→V = 0 in D.

In acest caz cat fluid intra prin suprafata S tot atata si iese, fluidul esteincompresibil.

Sa consideram un camp vectorial−→V (M) si o suprafata S ınchisa prin care

fluxul total al campului este diferit de zero, deci div−→V 6= 0. Daca fluxul total

este pozitiv oricare ar fi suprafata ınchisa S cuprinzand punctul M , atunciizvorul este ın M , iar daca fluxul total este negativ oricare ar fi suprafataınchisa S cuprinzand punctul M , atunci putul este ın M .

Definitia 18: Se numeste sursa punctuala un punct M din D, care are

o vecinatate V astfel ıncat div−−−→V (M) 6= 0 si div

−−−−→V (M ′) = 0 pentru orice

M 6= M ′ si M ′ ∈ V.Definitia 19: Se numeste productivitatea sau intensitatea unei surse

punctuale M integrala:

e =∫∫

S

−→V · −→n dσ

adica valoarea fluxului vectorului printr-o suprafata S care contine sursa dataın interior, fara sa mai contina alte surse.

Teorema 1 Fluxul prin orice suprafata ınchisa care contine o sursa M sinu mai contine ın interior alte surse este acelasi.

Demonstratie: Fie S1 si S2 doua suprafete ınchise care contin sursapunctuala M .

In domeniul D limitat de S = S1 ∪S2 avem div−→V = 0 pentru ca nu avem

surse∫∫

S

−→V · −→n dσ =

∫∫

S1

−→V · −→n dσ +

∫∫

S2

−→V · −→n dσ;

∫∫

S

−→V · −→n dσ = 0

=⇒∫∫

S1

−→V · −→n dσ = −

∫∫

S2

−→V · −→n dσ


Fig. 4.14:

Prin urmare, deoarece normalele sunt respectiv interioara la S1 si exterioarala S2 avem: ∫∫

S1

−→V · −→n dσ =

∫∫

S2

−→V · −→n dσ

unde e este productivitatea sursei din M .Fie campul vectorial

−→V (M) definit ıntr-un domeniu D, admitand ın acest

domeniu un numar n de surse, pozitive sau negative, avand productivitatilee1, e2, ... en. Sa consideram suprafata ınchisa S care limiteaza domeniul D.

Teorema 2 Fluxul vectorului−→V prin suprafata S este egal cu suma pro-

ductivitatilor surselor situate ın interiorul lui S

∫∫

S

−→V · −→n dσ =

n∑

i=1

ei

Demonstratie: Fie Mi, i = 1, 2, ..., n surse situate in interiorul lui S.

Fig. 4.15:

In conjuram fiecare sursa Mi, cu o suprafata inchisa Si ce nu mai cuprindealte surse. Domeniul Ω marginit dr S si de Si, i = 1, 2, ..., n ıi aplicam formula


(4.20). Notam Σ = S ∪ S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sn. In interiorul domeniului Ω nu suntsurse deci: div

−→V = 0 si de aceea fluxul total prin Σ este nul:

∫∫

Σ

−→V · −→n dσ =

∫∫

S

−→V · −→n dσ +

∫∫

S1

−→V · −→n dσ + ... +

∫∫

Sn

−→V · −→n dσ = 0

∫∫

S

−→V · −→n dσ = −

∫∫

S1

−→V · −→n dσ −

∫∫

S2

−→V · −→n dσ − ...−

∫∫

Sn

−→V · −→n dσ

schimband sensurile de parcurgere pe suprafetele Si, i = 1, 2, ..., n si deci alenormalelor avem:

∫∫

S

−→V · −→n dσ =

∫∫

S1

−→V · −→n dσ +

∫∫

S2

−→V · −→n dσ + ... +

∫∫

Sn

−→V · −→n dσ =

= e1 + e2 + ... + en =n∑

i=1

ei

4.1.13 Proprietati ale divergentei.

1. div (−→V1 +

−→V 2)=div

−→V1+div

−→V2

Intr-adevar, dupa definitie avem:div (

−→V1 +

−→V 2)= ∂

∂x(P1 + P2) + ∂∂y (Q1 + Q2) + ∂

∂z (R1 + R2) =∂P1∂x + ∂Q1

∂y + ∂R1∂z + ∂P2

∂x + ∂Q2

∂y + ∂R2∂z =div

−→V1+div

−→V2

2. div (ϕ · −→A )=grad ϕ · −→A+ϕdiv−→A

Intr-adevar,

ϕ−→A = ϕA1

−→i + ϕA2

−→j + ϕA3

−→k

div (ϕ−→A ) =

∂

∂x(ϕA1) +

∂

∂y(ϕA2) +

∂

∂z(ϕA3) =

=∂ϕ

∂xA1 + ϕ

∂A1

∂x+

∂ϕ

∂yA2 + ϕ

∂A2

∂y+

∂ϕ

∂zA3 + ϕ

∂A3

∂z=

ϕ(∂A1

∂x+

∂A2

∂y+

∂A3

∂z) + grad ϕ · −→A = grad ϕ · −→A + ϕ div

−→A

Cu operatorul Hamilton avem:

div−→V = (

−→i

∂

∂x+−→j

∂

∂y+−→k

∂

∂z)·(P−→i +Q

−→j +R

−→k ) =

∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z= ∇·−→V


4.1.14 Circulatia unui camp vectorial.

Daca−→V (M) este un camp vectorial dat, al carui punct de aplicatie M

se deplaseaza de-a lungul unei curbe C din domeniul sau de definitie atuncicirculatia campului vectorial

−→V de-a lungul curbei C este:

c =∫

C

−→V · d−→r

Fig. 4.16:

Daca consideram drept camp de vectori campul fortelor−→F care actioneaza

asupra unui punct material M , iar drept curba C traiectoria punctului, atuncicirculatia campului vectorial

−→F de-a lungul curbei C este:∫

C

−→F · d−→r = L

reprezinta lucru mecanic al fortelor−→F pentru deplasarea punctului M de-a

lungul curbei C.Daca: −→

V = P (x, y, z)−→i + Q(x, y, z)

−→j + R(x, y, z)

−→k

cumd−→r = dx

−→i + dy

−→j + dz

−→k

c =∫

CP (x, y, z)

−→i + Q(x, y, z)

−→j + R(x, y, z)

−→k

Exemplu:Sa se calculeze circulatia vectorului

−→V = (y − z)

−→i + (z − x)

−→j + (x − y)

−→k

de-a lungul conturului OABOA segment de dreapta, iar AB un sfert de cerc situat in primul cadran

din planul xOy

OA :

x = xy = 0z = 0

=⇒

dx = dxdy = 0dz = 0

0 ≤ x ≤ 2


AB : x2 + y2 = 4 cu ecuatiile parametrice:

AB :

x = 2 cos θy = 2 sin θ

z = 0=⇒

dx = −2 sin θdθdy = 2 cos θdθ

dz = 00 ≤ θ ≤ π

2

Fig. 4.17:

c =∫

OAB

−→V · d−→r =

∫

OA

−→V · d−→r +

∫

AB

−→V · d−→r

unde :−→V · d−→r = (y − z)dx + (z − x)dy + (x− y)dz

Pe OA : c1 =∫ 2

0(y − z)dx = 0

Pe AB : c2 =∫

AB(y − z)dx + (z − x)dy

c2 =∫ π

2

0[(2 sin θ)(−2 sin θ) + (−2 cos θ)(2 cos θ)]dθ = −4

∫ π2

0dθ = −2π.

4.1.15 Rotorul unui camp vectorial.

Fig. 4.18:

Daca curba C este ınchisa, aplicand formula lui Stokes avem:∫

CP (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =


∫∫

S[(

∂R

∂y− ∂Q

∂z) cos(−→n ,

−→i )+(

∂P

∂z− ∂R

∂x) cos(−→n ,

−→j )+(

∂Q

∂x− ∂P

∂y) cos(−→n ,

−→k )]dσ

unde S este o suprafata ce se sprijina pe C iar S∪C sunt continute ın domeniulD, unde

−→V are derivate partiale de ordinul ıntai continuie.

Expresia de sub semnul integralei de suprafata din membrul al doilea esteprodusul scalar dintre vectorul de componente:

(∂R

∂y− ∂Q

∂z); (

∂P

∂z− ∂R

∂x); (

∂Q

∂x− ∂P

∂y)

si versorul normalei de componente:

cos(−→n ,−→i ); cos(−→n ,

−→j ); cos(−→n ,

−→k )

Definitia 20: Se numeste rotorul sau vartejul campului vectorial−→V si

se noteaza cu rot−→V sau ∇×−→V vectorul:

rot−→V = (

∂R

∂y− ∂Q

∂z)−→i + (

∂P

∂z− ∂R

∂x)−→j + (

∂Q

∂x− ∂P

∂y)−→k

Formula lui Stokes in scriere vectoriala devine:∫

C

−→V · d−→r =

∫∫

Srot

−→V dσ

si se poate enunta astfel:Definitia 21: Circulatia unui camp vectorial de-a lungul unei curbe ınchise

este egala cu fluxul rotorului campului vectorial printr-o suprafata marginitade acea curba.Utilizand o scriere simbolica formula lui Stokes este:

∫

CPdx + Qdy + Rdz =

∫∫

S

∣∣∣∣∣∣

dydz dzdx dxdy∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣

unde:

rot−→V =

∣∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣∣

Exprimarea rotorului campului vectorial−→V , independenta de sistemul de

referinta, valabila ın orice punct M din D:

limV→0

∫∫

S

−→n ×−→V dσ

V = rot−→V |M


Fig. 4.19:

Intr-adevar, volumul elementar V al paralelipipedului este determinat deperechile de suprafete: (x, x + dx); (y, y + dy); (z, z + dz)

Deplasarea pe Ox se face ın M1(x + dx, 0, 0) pe Oy ın M2(0, y + dy, 0) sipe Oz ın M3(0, 0, z + dz). Suprafata ce limiteaza volumul elementar V este:

Σ = Σx ∪ Σx+dx ∪ Σy ∪ Σy+dy ∪ Σz ∪ Σz+dz

IΣ =∫∫

Σ

−→n ×−→V dσ = I(Σx,Σx+dx) + I(Σy,Σy+dy) + I(Σz ,Σz+dz)

cu I(Σx,Σx+dx) = IΣx + IΣx+dx

Dar:(−→n ×−→V dσ)|Σx = (−−→i ×−→V (M))dydz

(−→n ×−→V dσ)|Σx+dx=−→i ×−→V (M)|Σx+dx

dydz = i× [−→V (M) +

∂−→V

∂xdx]dydz

I(Σx,Σx+dx) =−→i × ∂

−→V (M)∂x

dxdydz

I(Σy ,Σy+dy) =−→j × ∂

−→V (M)∂y

dxdydz

I(Σz ,Σz+dz) =−→k × ∂

−→V (M)∂z

dxdydz

IΣ =−→i × ∂

−→V (M)∂x

dxdydz +−→j × ∂

−→V (M)∂y

dxdydz +−→k × ∂

−→V (M)∂z

dxdydz

Pentru ca: −→i ×−→i = 0;

−→i ×−→j =

−→k ;

−→i ×−→k = −−→j

IΣ = [(−→i ×−→j )

∂Q

∂x+(−→i ×−→k )

∂R

∂x+(−→j ×−→i )

∂P

∂y+(−→j ×−→k )

∂R

∂y+(−→k ×−→i )

∂P

∂z+


+(−→k ×−→j )

∂Q

∂z]dxdydz = ∇×−→V dxdydz = rot

−→V dxdydz = ( rot

−→V )V

Prin urmare:

rot−→V |M = lim

V→0

∫∫

S

−→n ×−→V dσ

V

4.1.16 Proprietatile rotorului.

1. rot (−→V 1 +

−→V 2) = rot

−→V 1+rot

−→V 2

Intr-adevar,

rot (−→V 1 +

−→V 2) =

∣∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

P1 + P2 Q1 + Q2 R1 + R2

∣∣∣∣∣∣∣=

−→i (

∂R1

∂y− ∂Q1

∂z) +

−→j (

∂P1

∂z− ∂R1

∂x) +

−→k (

∂Q1

∂x− ∂P1

∂y)+

+−→i (

∂R2

∂y− ∂Q2

∂z) +

−→j (

∂P2

∂z− ∂R2

∂x) +

−→k (

∂Q2

∂x− ∂P2

∂y) =

rot−→V 1 + rot

−→V 2.

2. rot (ϕ−→V ) = grad ϕ×−→V +ϕrot

−→V

Intr-adevar,∣∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

ϕP ϕQ ϕR

∣∣∣∣∣∣∣=−→i (

∂ϕ

∂yR + ϕ

∂R

∂y− ∂ϕ

∂zQ− ϕ

∂Q

∂z)+

+−→j (

∂ϕ

∂zP + ϕ

∂P

∂z− ∂ϕ

∂xR− ϕ

∂R

∂x) +

−→k (

∂ϕ

∂xQ + ϕ

∂Q

∂x− ∂ϕ

∂yP − ϕ

∂P

∂y) =

=−→i (

∂ϕ

∂yR− ∂ϕ

∂zQ) +

−→j (

∂ϕ

∂zP − ∂ϕ

∂xR) +

−→k (

∂ϕ

∂xQ− ∂ϕ

∂yP )+

+ϕ[−→i (

∂R

∂y− ∂Q

∂z) +

−→j (

∂P

∂z− ∂R

∂x) +

−→k (

∂Q

∂x− ∂P

∂y)] =

=

∣∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

∂ϕ∂x

∂ϕ∂y

∂ϕ∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣∣+ ϕ

∣∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣∣=

= grad ϕ×−→V + ϕ rot−→V .


4.1.17 Operatori diferentiali vectoriali si scalari.

Operatorii diferentiali vectoriali si scalari se construiesc cu operatorulHamilton ∇ care ın coordonate carteziene este:

∇ =−→i

∂

∂x+−→j

∂

∂y+−→k

∂

∂z

Reguli generale de calcul cu operatorul ∇.

1. Operatorul ∇ formeaza cu functia scalara sau vectoriala careia i seaplica un tot unitar.

2. Operatorul ∇ actioneaza numai asupra functiilor aflate la dreapta sa.Din acest motiv ıntr-un produs, operatorul ∇ nu poate fi factor ultim, ın cazulcand rezultatul este o functie.

3. Operatorul ∇ este liniar adica aditiv si omogen. Notam ” ∗ ” legea decompozitie ıntre ∇ si o functie scalara sau vectoriala F .aditivitatea operatorului ∇: ∇ ∗ (F1 + F2) = ∇ ∗ F1 +∇ ∗ F2

omogenitatea operatorului ∇ : ∇ ∗ (cF) = c∇ ∗ Fliniaritatea operatorului ∇ : ∇ ∗ (c1F1 + c2F2) = c1∇ ∗ F1 + c2∇ ∗ F2

4. Operatorul ∇ aplicat asupra unui produs de n functii F1,F2, ...,Fn

conduce la sume de n functii noi, dupa regula derivarii produsului si duparegulile calculului vectorial ın care ∇ este considerat vector simbolic

∇ ∗ (F1 F2 ... Fn) = ∇ ∗ (F1 F2 ... Fn) + ... +∇ ∗ (F1 F2 ... Fn)

sublinierea indica factorul asupra caruia actioneaza operatorul ∇.Dezvoltarea calculelor mai departe depinde de natura legilor de compozitie.

4.1.18 Operatori diferentiali vectoriali de ordinul ıntai.

1. Operatorul ∇ aplicat functiei scalare u prin operatia de justapunereconduce la functia vectoriala:

∇u =−→i

∂u

∂x+−→j

∂u

∂y+−→k

∂u

∂z

2. Operatorul ∇ aplicat functiei vectoriale−→V prin produs scalar conduce

la functia scalara:

∇ · −→V =∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z

numita divergenta campului−→V .


3. Operatorul ∇ aplicat functiei vectoriale−→V prin produs vectorial con-

duce la functia vectoriala:

∇×−→V = (−→i

∂

∂x+−→j

∂

∂y+−→k

∂

∂z)× (P

−→i + Q

−→j + R

−→k )

∇×−→V =

∣∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣∣

numita rotorul campului vectorial−→V . Liniile acestui determinant simbolic

snt compuse din elemente de natura diferite (nu numai scalari cum am stu-diat pana acum). Acest determinant nu are proprietatile unui determinantobisnuit; se dezvolta numai dupa elementele primei linii.

1. Calculul gradientului, divergentei si rotorului unei sume de formaF1 + F2.

• ∇(u1 + u2) = ∇u1 +∇u2

• ∇ · (−→V 1 +−→V 2) = ∇ · −→V 1 +∇ · −→V 2

• ∇ × (−→V 1 +

−→V 2) = ∇×−→V 1 +∇×−→V 2

2. Calculul gradientului, divergentei si rotorului unui produs deforma aF a ∈ R.

• ∇(au) = a∇u

• ∇ · (a−→V ) = a∇ · −→V• ∇ × (a

−→V ) = a∇×−→V

3. Calculul gradientului, divergentei si rotorului unui produs deforma uF .

• ∇(u1u2) = ∇(u1u2) +∇(u1u2) = u2∇u1 + u1∇u2

• ∇ · (u−→V ) = ∇ · (u−→V ) +∇ · (u−→V ) =−→V · ∇u + u∇ · −→V

• ∇×(u−→V ) = ∇×(u

−→V )+∇×(u

−→V ) = ∇u×−→V +u∇×−→V = u∇×−→V −−→V ×∇u

4. Calculul gradientului, divergentei si rotorului unui produs deforma F F .


• ∇(−→V 1 · −→V 2) = ∇(

−→V 1 · −→V 2) +∇(

−→V 1 · −→V 2)

Pentru calculul primului termen din membru drept utilizam dublu produsvectorial: −→

V 1 × (∇×−→V 2) = ∇(−→V 2 · −→V 1)−−→V 2(∇ · −→V 1) =⇒

∇(−→V 2 · −→V 1) =

−→V 1 × (∇×−→V 2) + (

−→V 1 · ∇)

−→V 2 =

−→V 1 × rot

−→V 2 +

d−→V 2

d−→V 1

Dupa ce se calculeaza si cel de-al doilea termen din membrul drept printr-unprocedeu analog, rezulta ca gradientul produsului sdalar a doi vectori este:

∇(−→V 1 · −→V 2) =

−→V 1 × rot

−→V 2 −−→V 2 × rot

−→V 1 +

d−→V 2

d−→V 1

− d−→V 1

d−→V 2

• ∇ · (−→V 1 × −→V 2) = ∇ · (−→V 1 × −→V 2) + ∇ · (−→V 1 × −→V 2) = (∇ × −→V 1) · −→V 2−−(∇×−→V 2) ·−→V 1 =

−→V 2 · (∇×−→V 1)−−→V 1 · (∇×−→V 2) =

−→V 2 rot

−→V 1−−→V 1 rot

−→V 2

• ∇ × (−→V 1 × −→V 2) = ∇ × (

−→V 1 × −→V 2) +∇ × (

−→V 1 × −→V 2) =

−→V 1(

−→V 2 · ∇)−

−−→V 2(∇−→V 1) +−→V 1(∇ · −→V 2) − −→

V 2(−→V 1 · ∇) = (

−→V 2 · ∇)

−→V 1 − −→

V 2(∇ · −→V 1)+

+−→V 1(∇ · −→V 2)− (

−→V 1 · ∇)

−→V 2 = d

−→V 1

d−→V 2

− d−→V 2

d−→V 1

+−→V 1 div

−→V 2 −−→V 2 div

−→V 1

4.1.19 Operatori diferentiali vectoriali de ordinul al doilea.

Prin aplicarea din nou a operatorului ∇ asupra functiei F1 = ∇ ∗ Futilizand legea de compozitie notata ” ” obtinem o noua functie:

F2 = ∇ F1 sau F2 = ∇ (∇ ∗ F)

Daca construim produsele obtinem urmatorul tablou cuprinzand noua combinatiidin care numai cinci pot exista:

∇(∇u) ∇ · (∇u) ∇× (∇u)

∇(∇ · −→V ) ∇ · (∇ · −→V ) ∇× (∇ · −→V )

∇(∇×−→V ) ∇ · (∇×−→V ) ∇× (∇×−→V )

Cele dublu subliniate nu au sens, pentru cele ce au sens vom face evaluari:1. ∇ · (∇u) = div grad u = div (∂u

∂x

−→i + ∂u

∂y

−→j + ∂u

∂z

−→k ) = ∂2u

∂x2 + ∂2u∂y2 +

∂2u∂z2 = 4u. Expresia:

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2


se noteaza 4 (laplacian) si se numeste operatorul lui Laplace. Ecuatia4u = 0 se numeste ecuatia lui Laplace.

2. ∇× (∇u) = rot grad u = rot (∂u∂x

−→i + ∂u

∂y

−→j + ∂u

∂z

−→k ) =

=

∣∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

∂u∂x

∂u∂y

∂u∂z

∣∣∣∣∣∣∣=

=−→i (

∂2u

∂y∂z− ∂2u

∂z∂y) +

−→j (

∂2u

∂x∂z− ∂2u

∂z∂x) +

−→k (

∂2u

∂x∂y− ∂2u

∂y∂x) = 0

3. ∇(∇·−→V ) = grad div−→V = ∂

∂x(∂P∂x +∂Q

∂y +∂R∂z )

−→i + ∂

∂y (∂P∂x +∂Q

∂y +∂R∂z )

−→j +

+ ∂∂z (∂P

∂x + ∂Q∂y + ∂R

∂z )−→k =

−→i ( ∂2Q

∂y∂x − ∂2P∂y2 − ∂2P

∂z2 + ∂2R∂x∂z )+

−→i (∂2P

∂x2 + ∂2P∂y2 + ∂2P

∂z2 )+−→j ( ∂2R

∂z∂y − ∂2Q∂z2 − ∂2Q

∂x2 + ∂2P∂x∂y ) +

−→j (∂2Q

∂x2 + ∂2Q∂y2 + ∂2Q

∂z2 )+−→k ( ∂2P

∂x∂z − ∂2R∂x2 − ∂2R

∂y2 +∂2Q∂y∂z ) +

−→k (∂2R

∂x2 + ∂2R∂y2 + ∂2R

∂z2 ) =

=

∣∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

∂R∂y − ∂Q

∂z∂P∂z − ∂R

∂x∂Q∂x − ∂P

∂y

∣∣∣∣∣∣∣+4−→V = ∇× (∇×−→V ) +4−→V .

4. ∇ · (∇×−→V ) = div rot−→V = 0

Intr-adevar,

div

∣∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣∣=

∂

∂x(∂R

∂y− ∂Q

∂z) +

∂

∂y(∂P

∂z− ∂R

∂x) +

∂

∂z(∂Q

∂x− ∂P

∂y) =

=∂2R

∂x∂y− ∂2Q

∂x∂z+

∂2P

∂y∂z− ∂2R

∂y∂x+

∂2Q

∂z∂x− ∂2P

∂z∂y= 0

5. ∇× (∇×−→V ) = rot rot−→V = ∇(∇·−→V )− (∇·∇)

−→V = ∇(∇·−→V )−4−→V

4.2 Formule integrale.

4.2. FORMULE INTEGRALE. 161

4.2.1 Calculul integral ın teoria campurilor.

1) Fie vectorul−→A = ϕ grad ψ unde ϕ si ψ sunt doua functii scalare cu

derivatele partiale de ordinul al doilea continuie pe S ∪ Ω unde suprafata Seste ınchisa si sa aplicam formula flux-divergentei sau (4.20):

∫∫

S

−→n · −→Adσ =∫∫∫

Ωdiv

−→Adω.

Dar−→n · −→A = −→n · (ϕ grad ψ) = ϕ−→n · ∇ψ = ϕ(−→n · ∇)ψ = ϕ

dψ

dn

div−→A = ∇ · (ϕ grad ψ) = ∇ · (ϕ∇ψ) +∇ · (ϕ∇ψ) = ∇ψ · ∇ϕ + ϕ4ψ

Rezulta ∫∫

Sϕ

dψ

dndσ =

∫∫∫

Ω[∇ψ · ∇ϕ + ϕ4ψ]dω (4.21)

numita prima formula a lui Green.2) Fie ϕ = 1 obtinem din relatia (4.21):

∫∫

S

dψ

dndσ =

∫∫∫

Ω4ψdω (4.22)

3) In (4.21) vom schimba ϕ cu ψ si obtinem:∫∫

Sψ

dϕ

dndσ =

∫∫∫

Ω[∇ϕ · ∇ψ + ψ4ϕ]dω (4.23)

Scazand (4.21) si (4.23) avem:∫∫

S(ϕ

dψ

dn− ψ

dϕ

dn)dσ =

∫∫∫

Ω[ϕ4ψ − ψ4ϕ]dω (4.24)

a doua formula a lui Green.4) Daca ın (4.20) ınlocuim functia vectoriala

−→V (M) prin ϕ(M)−→a , unde

ϕ(M) este o functie scalara de punctul M , cu derivate partiale de ordinul ıntaicontinuie pe S ∪ Ω unde S este suprafata ınchisa iar −→a versorul unui vectorconstant oarecare, avem:

∫∫

Sϕ(M)−→a · −→n dσ =

∫∫∫

Ωdiv (ϕ−→a )dω

Dar

div (ϕ−→a ) = ∇ · (ϕ−→a ) = ∇ · (ϕ−→a ) +∇ · (ϕ−→a ) = −→a · ∇ϕ + ϕ∇ · −→a︸︷︷︸=0

= −→a · ∇ϕ


adica−→a ·

∫∫

Sϕ(M)−→n dσ = −→a ·

∫∫∫

Ωgrad ϕdω

cum −→a este versorul unui vector constant oarecare si cele doua integrale dinmembrul stang si membrul drept, reprezinta vectori care au proiectii egale peorice directie, ınseamna ca sunt egali, adica:

∫∫

Sϕ(M)−→n dσ =

∫∫∫

Ωgrad ϕdω (4.25)

care se numeste formula gradientului.5) Daca ın formula (4.20) ınlocuim

−→V cu

−→V × −→a , unde −→a este versorul

unui vector constant oarecare avem:∫∫

S(−→V ×−→a ) · −→n dσ =

∫∫∫

Ωdiv (

−→V ×−→a )dω

−→a ·∫∫

S(−→n ×−→V )dσ =

∫∫∫

Ωdiv (

−→V ×−→a )dω

dar:div (

−→V ×−→a ) = ∇ · (−→V ×−→a ) = (5×−→V ) · −→a

prin urmare:−→a ·

∫∫

S(−→n ×−→V )dσ = −→a ·

∫∫∫

Ω(∇×−→V )dω

si cum −→a este versorul unui vector constant oarecare si cele doua integralereprezinta vectori care au proiectii egale pe orice directie, ınseamna ca suntegali, adica: ∫∫

S(−→n ×−→V )dσ =

∫∫∫

Ω(∇×−→V )dω (4.26)

formula care se numeste formula rotorului.

4.3 Clasificarea campurilor vectoriale.

Aceasta clasificare se face dupa modelul cum este conditionat campulvectorial

−→V .

Campurile actioneaza ıntr-un domeniu D cuprins ın regiunea <(mono, bisau tridimensional) pe care-l vom considera simplu conex sau multiplu conex,deoarece vom utiliza functii uniforme respectiv multiforme.

Definitia 1 Domeniul simplu conex este domeniul ın care orice curba Cse poate strange ın jurul unui punct interior domeniului ın mod continuu.

Exemplu:Interiorul unei sfere.

4.3. CLASIFICAREA CAMPURILOR VECTORIALE. 163

Definitia 2 Domeniul multiplu conex este domeniul ın care exista curbeC care nu se pot strange ın jurul unui punct interior ın mod continuu.

Exemple:Interiorul unei tor, cilindru infinit.

4.3.1 Categoriile principale de campuri vectoriale.

I. Campul uniform(constant) este campul vectorial−→V constant ın marime,

directie si sens ın domeniul D ⊂ <. Ecuatia de definitie:

−−−→V (M) =

−→V 0, (∀)M ∈ D

II. Campul lamelar sau potential ıntr-un domeniu D, un camp de vectoride forma:

−→V (M) = grad ϕ(M), ϕ(M) este definita tot pe D

III. Campul irotational ıntr-un domeniu D este campul vectorial−→V (M)

care are rot−→V = 0 ın toate punctele lui D.

Proprietati ale campului irotational ıntr-un domeniu simplu conexD.

Propozitia 1 Circulatia campul irotational−→V (M) de-a lungul oricarei curbe

ınchise C continuta ıntr-un domeniu D este nula

c =∫

C

−→V · d−→r =

∫∫

Srot

−→V −→n dσ = 0

Propozitia 2 Circulatia campul irotational−→V (M) de-a lungul oricarui arc de

curba cu aceleasi extremitati ın D, continut ın intregime ın D, nu depinde dearcul de curba, depinde numai de extremitati.

Fig. 4.20:

Demonstratie:


Intr-adevar, fie doua arce de curba continute in domeniul D, arcul AMBsi arcul ANB. fie curba ınchisa Γ = AMBNA

∫

Γ

−→V ·d−→r =

∫

AMB

−→V ·d−→r +

∫

BNA

−→V ·d−→r = 0;

∫

AMB

−→V ·d−→r =

∫

ANB

−→V ·d−→r

Propozitia 3 Orice camp irotational este un camp potential adica este gra-dientul unui camp scalar.

Demonstratie:Intr-adevar, dintr-o proprietate a campurilor irotationale, rezulta ca inte-

grala curbilinie din vector nu depinde de drum. Fie M0(x0, y0, z0) fixat ın Dsi M(x, y, z) variabil ın D. Avem:

∫

M0M

−→V · d−→r =

∫

M0MPdx + Qdy + Rdz = ϕ(M0,M) = Φ(x, y, z)

se stie ca:

dΦ =∂Φ∂x

dx +∂Φ∂y

dy +∂Φ∂z

dz

prin urmare:

P =∂Φ∂x

; Q =∂Φ∂y

; R =∂Φ∂z

si deci−→V = grad Φ adica

−→V este camp potential.

Propozitia 4 Orice camp potential este irotational.Demonstratie:Campul

−→V potential ınseamna:

−→V = grad ϕ urmeaza ca: rot

−→V =

rot gradϕ = 0. Dar rot−→V = 0 ınseamna ca

−→V este irotational.

Exemple de campuri irotationale:• Campul gravitational newtonian ın regiuni ın care se afla mase atractive.• Campul electrostatic

−→E ın regiuni care contin sarcini electrice(ın teoria

campului electromagnetic).

Proprietati ale campului irotational ıntr-un domeniu multiplu conexD.

Fie un camp irotational−→V (M) ıntr-un domeniu multiplu conex D. Intr-un

domeniu multiplu conex se por considera doua tipuri de curbe ınchise.a) Curbe C, cu proprietatea ca exista o suprafata S, marginita de curba

C, continuta ın domeniul D.b) Curbe Γ, care nu au aceasta proprietate. Curbele Γ sunt curbe care

traverseaza cel putin una din taieturile pe care le putem face ın domeniulmultiplu conex D, pentru a obtine un domeniu simplu conex D′.Definitia 3 Se numesc echivalente ıntr-un domeniu multiplu conex D, doua


curbe ınchise sau doua arce de curba, continute ın acel domeniu, daca fiecaretaietura este traversata de cele doua curbe, sau arce de curba, de acelas numarde ori si ın acelas sens. L2 este echivalent cu L3 pentru ca intersecteaza taietura

Fig. 4.21:

T o singura data si ın acelasi sens. L2 nu este echivalent cu L4 pentru ca nuintersecteaza taietura T de acelasi numar de ori. L2 intersecteaza taietura To data si L4 intersecteaza taietura T de doua ori.

Propozitia 5. Circulatia campului irotational−→V (M) pe doua curbe echiva-

lente este aceeasi.Demonstratie:Cazul I Presupunem ca avem doua curbe C1 si C2 din prima categorie

adica exista o suprafata marginita de aceste curbe S1 si S2, continute ınıntrgime ın domeniul D. Pentru determinarea circulatiei pe aceste curbeputem aplica formula Stokes, deoarece campul este definit ın toate punctelesuprafetelor S1 si S2 si avem:

c1 =∫

C1

−→V · d−→r =

∫∫

S1

rot−→V · −→n dσ = 0

c2 =∫

C2

−→V · d−→r =

∫∫

S2

rot−→V · −→n dσ = 0

=⇒ c1 = c2

Cazul II Sa presupunem ca avem doua curbe L1 si L2 din categoria adoua, care traverseaza o singura data o taietura T si numai una. Fie M1 siM2 punctele ın care L1 si L2 intersecteaza suprafata T si M2M3 arc de curbaapartinand taieturii T .

Putem considera curba ınchisa:

C = L+2 ∪M2M3 ∪ L−2 ∪M3M2


care este o curba de categoria ıntai, care nu traverseaza nici o taietura si dacacurba L2 este parcursa ın sens direct curba L3 este parcursa ın sens invers.Pentru aceasta curba vom avea:

∫

C

−→V · d−→r =

∫∫

Srot

−→V · −→n dσ = 0

dar∫

C

−→V · d−→r =

∫

L+2

−→V · d−→r +

∫

M2M3

−→V · d−→r +

∫

L−3

−→V · d−→r +

∫

M3M2

−→V · d−→r

Cum:∫

M2M3

−→V · d−→r = −

∫

M3M2

−→V · d−→r si

∫

L−3

−→V · d−→r = −

∫

L+3

−→V · d−→r

=⇒∫

L+2

−→V · d−→r =

∫

L+3

−→V · d−→r

Asadar daca curbele L1 si L2 traverseaza o taietura T o singura data ın sensdirect circulatia este aceeasi.Demonstratia se extinde si la cazul cand cele doua curbe echivalente tra-verseaza de mai multe ori una sau mai multe taieturi ın acelasi sens.

Definitia 4 Valoarea comuna a circulatiei pe curbe echivalente ınchise cetraverseaza taietura T o singura data poarta numele de constanta ciclica kasociata taieturii T .

Propozitia 6 Daca o curba ınchisa Γ, continuta ın domeniul D ın care−→V (M) este irotational, traverseaza o singura taietura T de n ori ın sens di-rect, atunci circulatia lui

−→V (M) pe Γ este egala cu de n ori constanta ciclica

corespunzatoare acestei taieturi adica:∫

Γ

−→V · d−→r = nk

Demonstratie: Sa consideram, pentru ınceput, o curba Γ care traverseazade doua ori taietura T ın sens direct. Fie A si B punctele sale de intersectiecu T . Circulatia pe Γ este:

cAPBQRA = cAPB + cBQRA = cBA + cAPB + cBQRA + cAB = cBAPB + cBQRAB

Curbele C1 : BAPB si C2 : BQRAB sunt ınchise, traverseaza o singura datataietura T si circulatia pe aceste curbe are aceeasi valoare k deci:

∫

Γ

−→V · d−→r =

∫

APBQRA

−→V · d−→r =

∫

C1

−→V · d−→r +

∫

C2

−→V · d−→r = 2k


Fig. 4.22:

Fig. 4.23:


In cazul ın care curba Γ traverseaza taietura T de n ori (n > 2) ın sensdirect, adaugand arce trasate pe taietura se obtine o curba care se descompuneın n curbe echivalente si atunci pentru n = 4 avem:

cAPBQCRDSA = cBA + cAPB + cCB + cBQC + cDC + cCRD + cAB + cCD+

cDSA = cBAPB + cCBQC + cDRCD + cABCDSA

Rezulta ca: ∫

Γ

−→V · d−→r = 4k

Daca curba Γ traverseaza de n ori ın sens invers, atunci circulatia Γ va fi −nk.Fie doua curbe L1 si L2 ce unesc punctele A si B cu deosebirea ca L1

nu traverseaza nici o taietura iar L2 traverseaza taieturile T1, T2, ..., Tp den1, n2, ..., np ori.

Fig. 4.24:

Din proprietatile precedente rezulta: L = L1 ∪ L2

∫

L

−→V · d−→r =

∫

L−1

−→V · d−→r +

∫

L+2

−→V · d−→r

dar:∫

L

−→V · d−→r = ±n1k1 ± n2k2 ± ...± npkp, adica:

∫

L+2

−→V · d−→r =

∫

L+1

−→V · d−→r ± n1k1 ± n2k2 ± ...± npkp

Semnul + sau semnul − se alege ın functie de sensul ın care este traversatataietura.


Propozitia 7. Un camp irotational−→V (M) ıntr-un domeniu multiplu

conex este un camp potential adica este gradientul unui camp scalar.Demonstratie:

Fie A(x0, y0, z0) fixat ın D si B(x, y, z) variabil ın D atunci:∫

L2

−→V · d−→r =

∫

AB

−→V · d−→r =

∫

ABPdx + Qdy + Rdz = ϕ(A,B) = ϕ(x, y, z)

(4.27)Dar stim ca:

∫

L2

−→V · d−→r =

∫

L1

−→V · d−→r ± n1k1 ± n2k2 ± ...± npkp (4.28)

Din relatiile (4.27) si (4.28) rezulta:∫

L1

−→V · d−→r +

p∑

i=1

±niki = ϕ(x, y, z)

Notam ϕ0(x, y, z) =∫

L1

−→V · d−→r numita determinare principala a functiei

ϕ(x, y, z). Prin urmare ϕ(x, y, z) = ϕ0(x, y, z) +p∑

i=1

±niki. Cum:

dϕ =∂ϕ

∂xdx +

∂ϕ

∂ydy +

∂ϕ

∂zdz

rezulta ca: P = ∂ϕ∂x ; Q = ∂ϕ

∂y ; R = ∂ϕ∂z ; si deci

−→V = grad ϕ(x, y, z) adica

gradientul functiei ϕ(x, y, z) este egal cu−→V (M) ın tot domeniul D′ obtinut

din D prin introducerea celor p taieturi.

4.3.2 Camp solenoidal.

Definitia 5 Numim camp solenoidal ıntr-un domeniu D campul vectorial−→V (M) care are divergenta nula ın toate punctele domeniului D adica:

div−→V = 0

Propozitia 8 Daca campul−→V (M) este contnuu ın domeniul D si pe

suprafata S care margineste acest domeniu si solenoidal ın domeniul D, atuncifluxul lui

−→V (M) prin orice surafata ınchisa Σ continuta ın domeniul D este

nul.Demonstratie:−→

V (M) este solenoidal adica div−→V (M) = 0 si deci:

∫∫

S

−→V · dσ =

∫∫∫

Ωdiv

−→V (M)dω = 0


S-a aplicat formula flux-divergenta. Rezulta ca ın interiorul unui domeniu Ωmarginit de suprafata ınchisa S pentru care

−→V este solenoidal nu pot fi izvoare

sau puturi.Propozitia 9 Fluxul unui camp

−→V (M) solenoidal este acelasi prin orice

suprafata S sbıntinsa de o curba C

Demonstratie:

Fig. 4.25:

S = S1 ∪ S2;∫∫

S

−→V · −→n dσ =

∫∫

S1

−→V · −→n dσ +

∫∫

S2

−→V · −→n dσ

Dar: ∫∫

S

−→V · −→n dσ =

∫∫∫

Ωdiv

−→V (M)dω = 0

cum: −→n S1 = −−→n S2 avem∫∫

S1

−→V · −→n dσ = −

∫∫

S2

−→V · −→n dσ = 0

Dar Pe suprafata S2 vedem ınsa sensul de parcurs pe curba C invers decatdupa S1. Folosind sensul direct de parcurgere avem:

∫∫

S1

−→V · −→n dσ =

∫∫

S2

−→V · −→n dσ

Propozitia 10 Fluxul unui camp−→V (M) solenoidal prin orice sectiune

transversala ıntr-un tub de vectori (sau tub de curent) este acelasi: ΦS1 = ΦS2 .Demonstratie:Sa consideram suprafata S marginita de curba C. Prin fiecare punct al

suprafetei S trece o linie de camp L cu proprietatea:

−→V × d−→r = 0 sau

−→V · −→n = 0.


Fig. 4.26:

Liniile L genereaza un domeniu D marginit de o suprafata Σ1, D este numittub de vectori iar Σ1 suprafata tubului de vectori.

Fie S1 si S2 doua sectiuni ın tubul de vectori si S` portiunea din Σ` cuprinsaıntre cele doua sectiuni. Σ = S1∪S2∪S` este suprafata ınchisa care marginesteun domeniu Ω ınchis.Cu formula flux-divergenta:

∫∫

Σ

−→V · −→n dσ =

∫∫∫

Ωdiv

−→V (M)dω = 0

dar:∫∫

Σ

−→V · −→n dσ =

∫∫

S1

−→V · −→n dσ +

∫∫

S2

−→V · −→n dσ +

∫∫

S`

−→V · −→n dσ = 0

Dar pe suprafata S` avem:−→V · −→n = 0, pe suprafata S1 : −→n S1 = +−→n 1 pe

suprafata S2 : −→n S2 = −−→n 2. Rezulta:∫∫

S2

−→V · −→n2dσ =

∫∫

S1

−→V · −→n1dσ = I

Definitia 6 Fluxul printr-o sectiune ın tub notat I se numeste intensitateatubului de vectori.

Propozitia 11 Conditia necesara si suficienta ca un camp vectorial−→V (M)

definit ın D sa fie solenoidal este ca ın orice punct din D sa existe campulvectorial

−→W (M) astfel ıncat sa fie satisfacuta relatia:

−→V (M) = rot

−→W (M)

−→W (M) se numeste potential vector al campului solenoidal

−→V (M).


Demonstratie:Suficienta: Daca exista

−→W (M) satisfacand relatia:

−→V = rot

−→W atunci:

div−→V = ∇ · −→V = ∇ · ∇ ×−→W = 0

Necesitatea: Ipoteza problemei este div−→V = 0 si trebuie gasit vectorul

−→W (M)

ce satisface ecuatia: −→V = rot

−→W (4.29)

Construim o solutie particulara a ecuatiei. Pentru aceasta raportam campurilevectoriale

−→V si

−→W la triedrul

−→i ,−→j ,

−→k si avem:

−→V = V1

−→i + V2

−→j + V3

−→k

−→W = W1

−→i + W2

−→j + W3

−→k

Dar:

V =

∣∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

W1 W2 W3

∣∣∣∣∣∣∣adica:

∂W3∂y − ∂W2

∂z = V1∂W1∂z − ∂W3

∂x = V2∂W2∂x − ∂W1

∂y = V3

(4.30)

unde V1, V2, V3 sunt functii cunoscute si W1,W2,W3 sunt functii necunoscute.Vrem sa determinam numai o solutie particulara a acestui sistem, de aceeaputem particulariza problema cat este posibil ca sa integram mai usor.

Cautam solutii cu W3(x, y, z) = 0 si sistemul de mai sus devine:

∂W2∂z = −V1∂W1∂z = V2

∂W2∂x − ∂W1

∂y = V3

(4.31)

Din prima relatie a sistemului:

W2 = −∫ z

z0

V1(x, y, t)dt + f(x, y)

Din a doua relatie a sistemului:

W1 =∫ z

z0

V2(x, y, t)dt + g(x, y)


cu f(x, y) si g(x, y) functii arbitrare. Cu functiile W1(x, y, z) si W2(x, y, z)astfel determinate se verifica cea de-a treia ecuatie a sistemului:

∂W2

∂x= −

∫ z

z0

∂V1(x, y, t)∂x

dt +∂f(x, y)

∂x

∂W1

∂y=

∫ z

z0

∂V2(x, y, t)∂y

dt +∂g(x, y)

∂y

Inlocuind avem:

−∫ z

z0

(∂V1(x, y, t)

∂x+

∂V2(x, y, t)∂y

)dt +∂f(x, y)

∂x− ∂g(x, y)

∂y= V3

Cum−→V (M) este solenoidal adica div

−→V = 0 avem:

∂V1(x, y, t)∂x

+∂V2(x, y, t)

∂y= −∂V3(x, y, t)

∂z

avem: ∫ z

z0

∂V3(x, y, t)∂t

dt +∂f(x, y)

∂x− ∂g(x, y)

∂y= V3

V3(x, y, z)− V3(x, y, z0) +∂f(x, y)

∂x− ∂g(x, y)

∂y= V3(x, y, z)

∂f(x, y)∂x

− ∂g(x, y)∂y

= V3(x, y, z0)

Particularizand functia g(x, y) = 0 obtinem: ∂f(x,y)∂x = V3(x, y, z0) adica:

f(x, y) =∫ x

x0

V3(t, y, z0)dt + ϕ(y)

Pentru ϕ(y) = 0 am determinat o solutie particulara a sistemului (4.31), deciun vector

−→W 0 care verifica ecuatia: rot

−→W 0 =

−→V vectorul

−→W 0 este un potential

vector al campului−→V si este dat de:

−→W 0 =

−→i

∫ z

z0

V2(x, y, t)dt +−→j [−

∫ z

z0

V1(x, y, t)dt +∫ x

x0

V3(t, y, z0)dt]

Daca vectorului−→W 0 ıi adaugam gradientul unei functii scalare ϕ arbitrare,

obtinem tot o solutie a sistemului (4.31) deci tot un potential vector:

−→W =

−→W 0 + grad ϕ (4.32)

unde rot−→W = rot

−→W 0 + rot grad ϕ. Dar rot grad ϕ = 0 deci: rot

−→W =

rot−→W 0 =

−→V .


Propozitia 12: Doua solutii−→W si

−→C ale ecuatiei (4.30) difera prin gradi-

entul unei functii scalare.Demonstratie:−→

W si−→C solutii ale ecuatiei (4.30) ınseamna: rot

−→W =

−→V si rot

−→C =

−→V . Prin

scaderea acestora avem: rot (−→W − −→C ) = 0. Deoarece orice camp irotational

este un camp potential avem:−→W −−→C = grad ϕ =⇒ −→

W =−→C + grad ϕ. Deci−→

W se exprima sub forma (4.32).

4.3.3 Camp laplacian.

Numim camp laplacian sau armonic campul−→V (M) care este simultan irotational

si solenoidal ıntr-un domeniu D din R, adica:

rot−→V (M) = 0; div

−→V (M) = 0

Daca campul este irotational:−→V (x, y, z) = grad f(x, y, z) deci ∇·−→V = ∇·∇f

cum ∇ · −→V = 0 =⇒ ∇ · −→V = 4f = 0 adica:

∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2= 0

Prin urmare un camp vectorial armonic este un:• camp vectorial potential• al carui potential satisface ecuatia lui Laplace.Solutiile ecuatiei lui Laplace se mai numesc si functii armonice.Presupunem ın continuare ca functiile armonice sunt definite ıntr-un dome-

niu D marginit de suprafata S.Teorema 1 Pentru functia armonica ψ avem:

∫∫

S

dψ

dndσ = 0

Demonstratie: Utilizand prima formula a lui Green obtinem:∫∫

Sϕ

dψ

dndσ =

∫∫∫

Ω(∇ϕ · ∇ψ + ϕ4ψ)dω

Pentru ϕ = 1 si ψ armonica adica 4ψ = 0∫∫

S

dψ

dndσ = 0

Teorema 2 Daca ϕ si ψ sunt armonice are loc relatia:∫∫

S(ϕ

dψ

dn− ψ

dϕ

dn)dσ = 0


Demonstratie: Utilizand a doua formula a lui Green obtinem:∫∫

S(ϕ

dψ

dn− ψ

dϕ

dn)dσ =

∫∫∫

Ω(ϕ4ψ − ψ4ϕ)dω

Dar 4ϕ = 0 si 4ψ = 0 prin urmare:∫∫

S(ϕ

dψ

dn− ψ

dϕ

dn)dσ = 0

Teorema 3 O functie F (M) armonica, diferita de o constanta, nu poateavea un maxim sau un minim ın D.

Demonstratie: Daca functia f(M) ar avea un maxim ın punctul M0(x0, y0, z0)din D, atunci ın M0(x0, y0, z0) ar trebui sa fie satisfacuta conditia:

∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2= 4f < 0

ın contradictie cu ipoteza 4f = 0. Daca functia f(M) ar avea un minim ınpunctul M0(x0, y0, z0) din D, atunci ın M0(x0, y0, z0) ar trebui sa fie satisfacutaconditia:

∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2= 4f > 0

ın contradictie cu ipoteza 4f = 0. Din teorema de mai sus rezulta ca o functiearmonica ın D ısi atinge valorile maxima si minima pe frontiera S a lui D.

4.3.4 Camp biscalar.

Definitia 7: Camp biscalar este camp vectorial−→V care satisface ecuatia:

−→V = λ grad u

unde λ si u sunt functii scalare nenule.Propozitia 13: In fiecare punct din domeniul D ın care campul biscalar−→

V (M) este definit,−→V (M) este perpendicular pe rotorul sau:

−→V rot

−→V = 0

Demonstratie:

rot−→V = rot (λ grad u)+ rot (λ∇u) = ∇λ×∇u+λ∇× (∇u) = −∇u×∇λ;

−→V rot

−→V = −λ∇u · (∇u×∇λ) = 0

Propozitia 14: Campul biscalar−→V nu admite un potential scalar din

care sa derive, adica nu exista o functie ϕ asa fel ıncat−→V sa poata fi scris−→

V = grad ϕ.Demonstratie: Intr-adevar, daca

−→V ar deriva dintr-un potential ϕ, atunci

el ar trebui sa fie irotational, adica: rot−→V = 0. Dar rot

−→V = − gradu ×

gradλ 6= 0 pentru orice λ si u.


4.3.5 Camp general (oarecare).

Definitia 8: Campul general este campul vectorial−→V (M) care nu este supus

nici uneia din conditiile indicate la tipurile precedente, dar care poate fi supusaltor conditii.

Propozitia 15: Campul general−→V poate fi descompus ıntr-un camp

irotational si un camp solenoidal−→V =

−→V i +

−→V s cu conditiile ca:

rot−→V = rot

−→V s si div

−→V = div

−→V i

Demonstratie:

div−→V = div

−→V i + div

−→V s = div

−→V i

rot−→V = rot

−→V i + rot

−→V s = rot

−→V s

pentru ca div−→V s = 0 si rot

−→V i = 0.

4.4 Determinari de campuri .

4.4.1 Determinarea unui camp scalar de gradient dat.

Fie campul vectorial −→V = grad ϕ

cunoscut, se cere sa determinam functia ϕ(x, y, z).Problema este posibila daca rot

−→V = 0 adica:

∣∣∣∣∣∣∣

−→i

−→j

−→k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣∣= 0 ⇐⇒

∂R∂y = ∂Q

∂z∂P∂z = ∂R

∂x∂Q∂x = ∂P

∂y

In aceste ipoteze, functia ϕ va fi determinata de sistemul:

∂ϕ∂x = P (x, y, z)∂ϕ∂y = Q(x, y, z)∂ϕ∂z = R(x, y, z)

Rezulta:dϕ = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

si:

ϕ(x, y, z) =∫

M0MP (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

4.4. DETERMINARI DE CAMPURI . 177

Fig. 4.27:

unde M0(x0, y0, z0) este un punct fix si M(x, y, z) un punct arbitrar din dome-niul D.

Functia ϕ(x, y, z) este determinata ın afara de o constanta arbitrara si estedupa cum am definit-o potentialul scalar al campului

−→V (M).

Exemplu: Sa se determine potentialul scalar al campului:

−→V = (yz + 4z)

−→i + (xz + 4y)

−→j + (xy + 4x)

−→k

Conditia ca−→V sa admita un potential scalar rot

−→V = 0 este ındeplinita,

rezulta ca:−→V = grad ϕ adica:

∂ϕ∂x = yz + 4z∂ϕ∂y = zx + 4y∂ϕ∂z = xy + 4x

Functia:

ϕ =∫

M0M(yz + 4z)dx + (zx + 4y)dy + (xy + 4x)dz =

=∫ x

x0

(y0z0 + 4z0)dx +∫ y

y0

(xz0 + 4y)dy +∫ z

z0

(xy + 4x)dz

Dupa integrari si simplificari se obtine:

ϕ(x, y, z) = xyz + 4xz + 2y2 − (x0y0z0 + 4x0z0 + 2y20)

adica:ϕ(x, y, z) = xyz + 4xz + 2y2 + C


4.4.2 Determinarea unui camp vectorial de rotor si divergentadate.

Se defineste ıntr-un domeniu D functia ρ(x, y, z) si vectorul−→U (x, y, z). Se

cere sa se determine campul vectorial−→V care sa aibe rotorul egal cu

−→U si

divergenta egala cu ρ, deci:

rot−→V =

−→U (x, y, z)

div−→V = ρ(x, y, z)

Problema este posibila daca:

div−→U = 0

Se vor rezolva cateva cazuri particulare:

I. Determinarea unui camp irotational si solenoidal.

(S1)

rot

−→V =

−→0

div−→V = 0

Din rot−→V =

−→0 rezulta

−→V = grad ϕ si div

−→V = ∇ ·∇ϕ = 4ϕ = 0 Solutia

sistemului este: −→V = grad ϕ, unde 4ϕ = 0

adica ϕ este armonica.Ecuatia 4ϕ = 0 se numeste ecuatia lui Laplace.

II. Determinarea unui camp irotational de divergenta data.

(S2)

rot

−→V =

−→0


Din rot−→V =

−→0 rezulta

−→V = grad ϕ si div

−→V = ∇ · ∇ϕ = 4ϕ = ρ(x, y, z)

Solutia sistemului este:

−→V = grad ϕ, unde 4ϕ = ρ(x, y, z)

Ecuatia 4ϕ = ρ(x, y, z) se numeste ecuatia lui Poisson.

4.4. DETERMINARI DE CAMPURI . 179

III. Determinarea unui camp solenoidal de rotor dat.

(S3)

rot

−→V =

−→U

div−→V = 0

Din div−→U = 0 rezulta

∂u1

∂x+

∂u2

∂y+

∂u3

∂z= 0

Din ecuatia rot−→V =

−→U se construieste o solutie particulara

−→V 0 (ca la pro-

prietatile campurilor irotationale). Solutia ecuatiei este:−→V = grad ϕ +

−→V 0

unde ϕ este o functie arbitrara. Dar div−→V = 0 ⇐⇒ div

−→V 0 +∇ · ∇ϕ = 0

4ϕ = − div−→V 0

este ecuatia Poisson.Solutia sistemului este:

−→V = grad ϕ +

−→V 0

unde ϕ este potentialul scalar ce verifica:

4ϕ = − div−→V 0

IV. Determinarea unui camp de rotor dat si de divergenta data.

(S4)

rot

−→V =

−→U


Vom cauta solutia sistemului (S4) ca suma de doi vectori:−→V =

−→V 1 +

−→V 2

unde−→V 1 si

−→V 2 satisfac conditiile:

rot−→V1 =

−→U

div−→V1 = 0

rot

−→V2 =

−→0

div−→V2 = ρ(x, y, z)

−→V 1 este solutie a sistemului (S3) si

−→V 2 este solutie a sistemului (S2). Rezulta

ca solutia sistemului (S4) este:−→V =

−→V 1 +

−→V 2 unde: rot

−→V = rot

−→V1 + rot

−→V2 =

−→U

div−→V = div

−→V1 + div

−→V2 = ρ(x, y.z)

Capitolul 5

Principalele ecuatii ale fiziciimatematice.

5.1 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I.

5.1.1 Integrale prime.

Fie sistemul de ecuatii diferentiale:

y′1 = f1(x, y1, y2, ..., yn)y′2 = f2(x, y1, y2, ..., yn)

.............................y′n = fn(x, y1, y2, ..., yn)

(5.1)

sau vectorial:(y)′ = f(x, y), (5.2)

unde fj : D ⊂ Rn+1 → R, continui la fel ∂fj

∂yk, iar f = (f1, f2, ..., fn), vector

linie, j, k = 1, ..., n.Definitie: O functie F : D ⊂ Rn+1 → R, se numeste integrala prima asistemului (1) daca pentru orice solutie:

y1 = y1(x), y2 = y2(x), ..., yn = yn(x),

func tia compusa: Φ(x) = F (x, y1(x), y2(x), ..., yn(x)), este o constanta, adicaΦ(x) = C.

Vom face observatia ca valoarea constantei depinde de solutie.Teorema 1: Conditia necesara si suficienta ca functia F din definitia data maisus sa fie integrala prima a sistemului (1) este ca ın orice punct (x, y1(x), y2(x), ..., yn(x)) ∈D sa aiba loc egalitatea:

∂F

∂x+

∂F

∂y1f1 +

∂F

∂y2f2 + ... +

∂F

∂ynfn = 0, (5.3)

181

182CAPITOLUL 5. PRINCIPALELE ECUATII ALE FIZICII MATEMATICE.

d Fie (x0, y01(x), y0

2(x), ..., y0n(x)) ∈ D un punct oarecare fixat. Din teorema

de existenta si unicitate a solutiei sistemului (1), exista si este unica solutia:(x, y1(x), y2(x), ..., yn(x)) ∈ D care satisface conditia:

y1(x0) = y01, y2(x0) = y0

2, ..., yn(x0) = y0n

si deoarece F este integrala prima atunci:

F (x, y1(x), y2(x), ..., yn(x)) = C = constant,

pentru orice x ∈ D, diferentiind obtinem:

∂F

∂x+

∂F

∂y1y′1 +

∂F

∂y2y′2 + ... +

∂F

∂yny′n = 0,

Reciproc, presupunem ca F satisface (3), atunci:

∂F

∂x+

∂F

∂y1y′1 +

∂F

∂y2y′2 + ... +

∂F

∂yny′n = 0

Prin urmare dF = 0, si atunci F = C.cTeorema 2: Daca cunoastem n integrale prime F1, F2, ..., Fn pentru sistemul(1) astfel ıncat:i) Fj(j = 1, ..., n) admite derivate partiale de ordinul I continuie pe D.ii) Determinantul matricii lui Jacobi |∂(F1,F2,...,Fn)

∂(y1,y2,...,yn) | 6= 0 pentru orice(x, y1(x), y2(x), ..., yn(x)) ∈ D , atunci problema lui Cauchy atasata ecuatiei(1) se reduce la o problema de functii implicite.Justificarea se face ın baza teoremei functiilor implicite, ın cazul sistemelor.

5.1.2 Sisteme simetrice.

Vom numi sistem simetric de ecuatii diferentiale, o expresie diferentiala deforma:

dx1

P1(x1, x2, ..., xn+1)=

dx2

P2(x1, x2, ..., xn+1)= ... =

dxn+1

Pn+1(x1, x2, ..., xn+1),

(5.4)unde Pj(j = 1, ..., n + 1) sunt functii reale Pj : D ⊂ Rn+1 → R, ce admit

derivate partiale de ordin I continuie pe D si ın plusn+1∑

j=1

P 2j 6= 0, oricare ar fi

(x1, x2, ..., xn+1) ∈ D.Propozitie. Orice sistem (1) se poate scrie sub forma (4) si anume:

dy1

f1(x, y1, ..., yn)=

dy2

f2(x, y1, ..., yn)= ... =

dyn

fn(x, y1, ..., yn)=

dx

1, (5.5)

5.1. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE DE ORDINUL I. 183

si reciproc orice sistem simetric poate fi scris sub forma normala (1) si anumedaca Pn+1 6= 0

dx1dxn+1

= P1Pn+1

dx2dxn+1

= P2Pn+1

..........................................dxn

dxn+1= Pn

Pn+1

(5.6)

si deci rezolvarea unui sistem de forma (1) se face rezolvand un sistem deforma (4) si reciproc rezolvarea unui sistem de forma (6) se va reduce la re-zolvarea unei probleme de functii implicite. In acest caz este utila teoremacare urmeaza:Teorema 3. Daca µ1, µ2, ..., µn+1 sunt n+1 functii reale definite si continuiepe D ⊂ Rn+1 cu urmatoarele proprietati:i) µ1P1 + µ2P2 + ... + µnPn + µn+1Pn+1 = 0, pe D.ii) µ1dx1+µ2dx2+...+µn+1dxn+1 = dF , pe D, atunci functia F : D ⊂ Rn+1 →R, este o integrala prima a sistemului (4).Daca x1(xn+1), x2(xn+1), ..., xn(xn+1) este o solutie a sistemului (4) echivalentcu (6) atunci:

dx1 =P1

Pn+1dxn+1, ..., dxn =

Pn

Pn+1dxn+1

si ınlocuind ın ii), (Teorema 3), vom avea:

dF (x1(xn+1), x2(xn+1), ..., xn(xn+1), xn+1) =

= (P1

Pn+1µ1 +

P2

Pn+1µ2 + ... +

Pn

Pn+1µn + µn+1)dxn+1 = 0

De aici rezulta F = C= constant si deci F este integrala prima.Vom face observatia ca µ1, µ2, ..., µn+1 se gasesc cu ajutorul sistemului (4)folosind proprietatile proportiilor si anume:

dx1

P1=

dx2

P2= ...

dxn+1

Pn+1=

µ1dx1

µ1P1= ... =

µn+11dxn+1

µn+1Pn+1=

µ1dx1 + ...µn+1dxn+1

µ1P1 + ... + µn+1Pn+1

si alegem µ1, µ2, ..., µn+1 astfel ıncat:

µ1P1 + µ2P2 + ... + µn+1Pn+1 = 0

siµ1dx1 + µ2dx2 + ... + µn+1dxn+1 = dF

sa fie diferentiala totala exacta.Exemplu 1:

dx1dx3

= x2−x3x1−x2

dx2dx3

= x3−x1x1−x2


unde x1 = x1(x3), x2 = x2(x3).Scriem sistemul sub forma simetrica:

dx1

x2 − x3=

dx2

x3 − x1=

dx3

x1 − x2.

Daca luam µ1 = µ2 = µ3 = 1, rezulta:dx1 + dx2 + dx3

0=

00

si deci x1 + x2 + x3 = C1. Functia F1(x1, x2, x2) = x1 + x2 + x3 ne furnizeazao integrala prima.Daca luam µ1 = x1, µ2 = x2, µ3 = x2, rezulta:

x1dx1

x1(x2 − x3=

x2dx2

x2(x3 − x1=

x3dx3x3(x1−x2

= x1dx1 + x2dx2 + x3dx3

0

si deci x21 + x2

2 + x23 = C2. Functia F2(x1, x2, x3) = x2

1 + x22 + x2

3 ne furnizeazaınca o integrala prima.Rezolvarea sistemului dat se reduce la rezolvarea sistemului de functii im-plicite:

x1 + x2 + x3 = C1

x21 + x2

2 + x23 = C2

Exemplu 2: Fie sistemul sub forma simetrica:dx

x2 − y2 − z2=

dy

2xy=

dz

2zx,

am notat x1 cu x, x2 cu y iar x3 cu z. Daca luam µ1 = 0, µ2 = z, µ3 = −y,rezulta:

zdy = ydz

0=

00,

din care rezulta: dyy = dz

z si deci F1(x, y, z) = yz = C1. Daca luam µ1 = x, µ2 =

y, µ3 = z, rezulta:xdx + ydy + zdz

x(x2 − y2 − z2) + 2xy2 + 2xz2=

dy

2xy, sau

xdx + ydy + zdz

x(x2 + y2 + z2)=

dy

2xy

sau ınca:

2xdx + 2ydy + 2zdz

x2 + y2 + z2=

dy

yde unde rezulta

d(x2 + y2 + z2)x2 + y2 + z2

=dy

y

si deci F2(x, y, z) = x2+y2+z2

y = C2

Rezolvarea sistemului dat se reduce la rezolvarea sistemului de functii im-plicite:

yz = C1x2+y2+z2

y = C2


5.1.3 Ecuatii cu derivate partiale de ordin I liniare si omogene.

Sunt de forma:

P1(x1, x2, ..., xn)∂u

∂x1+ P2(x1, x2, ..., xn)

∂u

∂x2+ ... + Pn(x1, x2, ..., xn)

∂u

∂xn= 0

(5.7)

unde u(x1, x2, ..., xn) este functia necunoscuta si ın plusn∑

j=1

P 2j 6= 0, unde

Pj(j = 1, ..., n) sunt functii reale Pj : D ⊂ Rn → R, ce admit derivate partialede ordin I continuie pe D, oricare ar fi (x1, x1, ..., xn) ∈ D.Definitie: Spunem ca functia F : D1 ⊂ D → R, este solutie a ecuatiei (7)daca F admite derivate partiale pe D1 si verifica identitatea:

n∑

j=1

Pj(x1, x2, ..., xn)∂F

∂xj(x1, x2, ..., xn) = 0 (5.8)

Vom arata ca problema gasirii solutiilor ecuatiei (7) se reduce la problemarezolvarii unui sistem de ecuatii diferentiale simetric, de forma (4):

dx1

P1(x1, x2, ..., xn)=

dx2

P2(x1, x2, ..., xn)= ... =

dxn

Pn(x1, x2, ..., xn),

care se numeste sistemul caracteristic al ecuatiei (7), iar curbele integrale alesistemului se numesc curbe caracteristice.Avem urmatoarea teorema:Teorema 1: O functie F : D1 ⊂ D → R, este o solutie a ecuatiei cu derivatepartiale (7) daca F este o integrala prima a sistemului sau caracteristic.d Daca F este integrala prima atunci:

∂F

∂xn+

P1

Pn

∂F

∂x1+

P2

Pn

∂F

∂x2+ ... +

Pn−1

Pn

∂F

∂xn−1= 0,

prin ınmultire cu Pn vom obtine:

Pn∂F

∂xn+ P1

∂F

∂x1+ P2

∂F

∂x2+ ... + Pn−1

∂F

∂xn−1= 0,

adica F este solutie a ecuatiei (7). Reciproca este evidenta.cTeorema 2: Daca F : D ⊂ Rk → R, are derivate partiale continuie si dacaF1, F2, ..., Fk sunt k integrale prime ale sistemului caracteristic atunci: u =Φ(F1, F2, ..., Fk) este o solutie a ecuatiei , cu derivate partiale (7). d Intr-adevar, avem:

∂u

∂x1=

∂Φ∂F1

∂F1

∂x1+

∂Φ∂F2

∂F2

∂x1+ ... +

∂Φ∂Fk

∂Fk

∂x1


∂u

∂x2=

∂Φ∂F1

∂F1

∂x2+

∂Φ∂F2

∂F2

∂x2+ ... +

∂Φ∂Fk

∂Fk

∂x2

............................................................

∂u

∂xn=

∂Φ∂F1

∂F1

∂xn+

∂Φ∂F2

∂F2

∂xn+ ... +

∂Φ∂Fk

∂Fk

∂xn

Inmultim prima relatie cu P1, a doua relatie cu P2, ın continuare la fel siın sfrsit ultima relatie cu Pn si adunand termen cu termen obtinem:

P1∂u

∂x1+ P2

∂u

∂x2+ ... + Pn

∂u

∂xn=

=∂Φ∂F1

(P1∂F1

∂x1+ P2

∂F1

∂x2+ ... + Pn

∂F1

∂xn)+

+∂Φ∂F2

(P1∂F2

∂x1+ P2

∂F2

∂x2+ ... + Pn

∂F2

∂xn) + ...

+∂Φ∂Fk

(P1∂Fk

∂x1+ P2

∂Fk

∂x2+ ... + Pn

∂Fk

∂xn) = 0

deoarece Fj(j = 1, ...k) sunt integrale prime c.Teorema 3: Orice solutie a ecuatiei cu derivate partiale (7) este de forma:

u = Φ(F1, F2, ..., Fn−1)

unde F1, F2, ..., Fn−1 sunt n-1 integrale prime ale sistemului sau caracteristic.Din rezultatele de mai sus se poate spune ca:

Pentru a rezolva o ecuatie cu derivate partiale liniara si omogena de ordinulI, procedam ın felul urmator:a) Scriem sistemul caracteristic al ecuatiei (7):

dx1

P1(x1, x2, ..., xn)=

dx2

P2(x1, x2, ..., xn)= ... =

dxn

Pn(x1, x2, ..., xn),

b) Determinam n-1 integrale prime independente functional, F1, F2, ..., Fn−1

c) Solutia generala a ecuatiei cu derivate partiale (7) este: u = Φ(F1, F2, ..., Fn−1),F1, F2, ..., Fn−1 sunt cele n-1 integrale prime determinate la punctul b).Exemplu 1: Sa se integreze

y∂u

∂x− x

∂u

∂y= 0

In acest exemplu u = u(x, y) este functia necunoscuta, x1 = x, x2 = y. Sis-temul caracteristic este:

dx

y=

dy

−x,


din care rezulta integrala prima: x2 + y2 = C si solutia: u(x, y) = Φ(x2 + y2).Exemplu 2: Sa se integreze

x∂u

∂x− 2y

∂u

∂y− z

∂u

∂z= 0

In acest exemplu u = u(x, y, z), x1 = x, x2 = y, x3 = z. Sistemul caracteristiceste:

dx

x=

dy

−2y=

dz

−z,

din care rezulta: xy2 = C1; xz = C2

Soluaia generala este: u(x, y, z) = Φ(xy2, xz).Problema lui Cauchy pentru ecuatia cu derivate partiale liniara si omogena(7) cere determinarea lui u = u(x1,x2, ..., xn), care pentru xn = x0

n, satisfaceegalitatea:

u(x1, x2, ..., xn−1, x0n) = ϕ(x1, x2, ..., xn−1)

Facem observatia importanta: In locul lui xn putem lua orice variabila xj

(avem astfel u(x1, ..., xj−1, x0j , x

j+1, ..., xn) = ϕ(x1, ..., xj−1, xj+1, ..., xn), j =

1, ..., n).Exemplu 3:

√x

∂u

∂x+√

y∂u

∂y+√

z∂u

∂z= 0, u(x, y, 1) = x− y.

Sistemul caracteristic este:

dx√x

=dy√

y=

dz√z,

din care rezulta: √x−√y = C1;

√x−√z = C2

Solutia generala este:

u(x, y, z) = Φ(√

x−√y,√

x−√z).

Conditia Cauchy ne da:

u(x, y, 1) = F (√

x−√y,√

x− 1),

adica x− y = Φ(√

x−√y,√

x− 1).Determinam functia Φ astfel: √

x−√y = α√x− 1 = β

; √

x = 1 + β√y = 1 + β − α

;

x = 1 + 2β + β2

y = 1 + α2 + β2 − 2α + 2β − 2αβ


Φ(α, β) = x − y = 2αβ − α2 + 2α. Luand acum α =√

x −√y, β =√

x −√zrezulta:

u(x, y, z) = 2(√

x−√y)(√

x−√z)− (√

x−√y)2 + 2(√

x−√y))

si dupa calcule si simplificari:

u(x, y, z) = x− y − 2√

xy + 2√

yz + 2√

x− 2√

y.

5.1.4 Ecuatii cu derivate partiale de ordin I (cvasiliniare).

Sunt de forma:

P1(x1, ..., xn, u)∂u

∂x1+ ... + Pn(x1, ..., xn, u)

∂u

∂xn= Pn+1(x1, ..., xn, u) (5.9)

unde u = u(x1, x2, ..., xn) este functia necunoscuta si ın plusn+1∑

j=1

P 2j 6= 0, unde

Pj(j = 1, ..., n + 1) sunt functii reale Pj : D ⊂ Rn → R, ce admit derivatepartiale de ordin I.Studiul unei ecuatii cvasiliniare se reduce la studiul unei ecuatii liniare siomogene cu o necunoscuta v = v(x1, ..., xn, u).Teorema 4. Integrarea ecuatiei cvasiliniare se reduce la integrarea unei ecuatiicu derivate partiale liniara si omogena:

P1(x1, ..., xn, u)∂v

∂x1+ ... + Pn(x1, ..., xn, u)

∂v

∂xn+ Pn+1(x1, ..., xn, u)

∂v

∂u= 0

(5.10)unde v este o solutie ce trebuie determinata. d Fie u(x1, x2, ..., xn) o solutiea ecuatiei cuasiliniara data implicit prin relatia: v(x1, x2, ..., xn, u) = 0, iar vsolutia de gasit, atunci, din teorema functiilor implicite, daca ∂v

∂u 6= 0 avem:

∂v

∂xj+

∂v

∂u

∂u

∂xj= 0, sau

∂u

∂xj= −

∂v∂xj

∂v∂u

, j = 1, ..., n.

Daca ınlocuim ın ecuatia cvasiliniara, vom avea:

P1(x1, ..., xn, u)(−∂v∂x1

∂v∂u

) + ... + Pn(x1, ..., xn, u)(−∂v

∂xn

∂v∂u

) = Pn+1(x1, ..., xn, u)

sau, dupa ordonare, relatia (10), deci v este solutie a unei ecuatii cu derivatepartiale liniare si omogene.Solutia v a acestei ecuatii este:

v = Φ(F1, F2, ..., Fn)


unde F1, F2, ..., Fn sunt n integrale prime ale sistemului caracteristic:

dx1

P1(x1, ..., xn, u)= ... =

dxn

Pn(x1, ..., xn, u)=

du

Pn+1(x1, ..., xn, u),

si deci din Φ(F1(x1, ..., xn, u), F2(x1, ..., xn, u), ..., Fn(x1, ..., xn, u)) = 0, vomscoate pe uc.Exemplu: Sa se integreze

−xy∂u

∂x+ y2 ∂u

∂y= x(1 + x2)

In acest exemplu u = u(x, y), x1 = x, x2 = y. Sistemul caracteristic este:

dx

−xy=

dy

y2=

dz

x(1 + x2,

Din prima egalitate rezulta integrala prima: xy = C1 Din primul si ultimulraport dupa ce ınlocuim ın prima fractie xy = C1 obtinem:

dx

C1=

du

x(1 + x2)

si solutia:

x2

2+

x4

4+ C1u = C2, sau sau

x2

2+

x4

4+ xyu = C2,

care reprezinta cea de-a doua integrala prima. Conform cu cele stabiliteΦ(xy, x2

2 + x4

4 + xyu) = 0, ne da solutia ın mod implicit. Daca se poateaplica teorema functiilor implicite putem da solutia sub forma:

x2

2+

x4

4+ xyu = ϕ(xy)

si deci se poate explicita u (n czul acesta):

u =ϕ(xy)

xy− x

2y− x3

4y,

cu ϕ o functie arbitrara de xy.Problema lui Cauchy se pune la fel ca ın cazul ecuatiilor liniare omogene. Incazul a doua variabile independente problema lui Cauchy are o interpretaregeometrica simpla:Daca z = z(x, y) este o solutie a ecuatiei:

P (x, y, z)∂z

∂x+ Q(x, y, z)

∂z

∂y= R(x, y, z),


atunci suprafata de ecuatie z = z(x, y) se numeste surafata integrala a acesteiecuatii. Problema lui Cauchy revine la a determina suprafata integrala caretrece prin curba definita de ecuatiile:

z = z0, y = y(x),

Daca F1, F2 sunt doua integrale prime independente functional ele sunt dateprin rezolvarea sistemului:

dx

P (x, y, z)=

dy

Q(x, y, z)=

dz

R(x, y, z),

si problema lui Cauchy se reduce la gasirea legaturii ıntre C1 si C2 din sistemul:

F1(x, y, z) = C1

F2(x, y, z) = C2

z = z0

y = y(x)

Rezultatul este o relatie de forma Φ(C1, C2) = 0, ın care daca ınlocuim C1 siC2 obtinem solutia problemei Cauchy data.Exemplu: Sa se integreze

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= z; z = 2, x2 + y2 = 1.

In acest exemplu z = z(x, y) este ın rolul lui u, x1 = x, x2 = y.Sistemul caracteristic este:

dx

x=

dy

y=

dz

z,

Din prima egalitate rezulta integrala prima: F1(x, y, z) = xy = C1. Din primul

si ultimul raport rezulta a doua integrala prima: F2(x, y, z) = xz = C2

xy = C1xz = C2

z = 2x2 + y2 = 1

;

xy = C1

x = 2C2

x2 + y2 = 1;

y = 2C2C1

4C22 + y2 = 1

4C22 +

4C22

C21

= 1

sau 4C22 (C2

1 + 1) = C21

Ultima relatie a fost obtinuta prin eliminari succesive si aceasta se numesterelatia de compatibilitate a problemei lui Cauchy corespunzatoare ecuatieidate. Inlocuind ın relatia de compatibilitate respectiv pe C1 si C2 prin expre-siile lor obtinem:

4x2

z2(x2

y2+ 1) =

x2

y2sau 4(x2 + y2) = z2.

Suprafata obtinuta reprezinta conul circular drept cu varful ın origine si cuaxa Oz.


5.1.5 Probleme rezolvate.

1) Sa se determine integrala generala a ecuatiei:

zx∂z

∂x− zy

∂z

∂y= x2 + y2

precum si suprafata integrala ce trece prin curba:

Γ :

z = 1x2 − y2 − 2xy = 1

Rezolvare: Sistemul diferential al caracteristicilor este:

dx

zx=

dy

−zy=

dz

x2 + y2

care poate fi scris sub forma mai convenabila:

dx

x=

dy

−y=

zdz

x2 + y2

Din egalitatea primelor doua se obtine:: xy = C1

Amplificand cele trei rapoarte cu x; −y; −1 si facand raportul dintre sumanumitorilor, noul numitor trebuie sa fie nul, adica:

xdx− ydy − zdz = 0

Integrand se obtine: x2 − y2 − z2 = C2, de unde se obtine solutia generala aecuatiei de forma:

Φ(xy, x2 − y2 − z2) = 0

Suprafata integrala care trece prin curba data poate fi obtinuta din integralagenerala, punand conditia ca hiperbola Γ sa se afle pe aceasta suprafata; seobtine conul cu varful ın origine:

z2 = x2 − y2 − 2xy.


xy2 ∂z

∂x+ x2y

∂z

∂y= z(x2 + y2)


dx

xy2=

dy

x2y=

dz

z(x2 + y2)


Din xdy = ydy rezulta x2 − y2 = C1.O combinatie integrabila este:

ydx + xdy

xy(x2 + y2)=

dz

z(x2 + y2)sau

ydx + xdy

xy=

dz

z,

iar integrala edte:ln(xy) + lnC2 = ln z

Suprafata generala este:z = xyϕ(x2 − y2).


x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= z + a

√x2 + y2 + z2


dx

x=

dy

y=

dz

z + a√

x2 + y2 + z2

Din acest sistem se deduce:

xdx

x2=

ydy

y2=

zdz

z2 + az√

x2 + y2 + z2

sauxdx + ydy + zdz

x2 + y2 + z2 + az√

x2 + y2 + z2=

dz

z + a√

x2 + y2 + z2

sauxdx + ydy + zdz√

x2 + y2 + z2(az +√

x2 + y2 + z2)=

dz

z + a√

x2 + y2 + z2

sauxdx+ydy+zdz√

x2+y2+z2√x2 + y2 + z2 + az

=dz

z + a√

x2 + y2 + z2

sau:

xdx+ydy+zdz√x2+y2+z2

+ dz√

x2 + y2 + z2 + az + z + a√

x2 + y2 + z2=

dz

z + a√

x2 + y2 + z2=

dx

x

Din primul si ultimul raport rezulta:

xdx+ydy+zdz√x2+y2+z2

+ dz

(a + 1)(z +√

x2 + y2 + z2)=

dx

x


de unde, prin integrare se obtine ca:

ln(z +√

x2 + y2 + z2) = (a + 1) lnx + ln C2

sauz +

√x2 + y2 + z2 = C2x

a+1.

Din primele rapoarte ale sistemului caracteristicilor rezulta: y = C1x. Ecuatiasuprafetelor integrale este:

z +√

x2 + y2 + z2 = xa+1f(y

x).


(y2 − x2 + 2xy)∂z

∂x+ 2y(z − x)

∂z

∂y= 0

precum si suprafata integrala vare contine elipsa:

Γ :

x = 0y2 + 4z2 = 4a2


dx

y2 − x2 + 2xz=

dy

2y(z − x)=

dz

0;

se observa imediat ca z = C.Din primele doua rapoarte avem:

2ydy

2y2=

2(x− C)dx

x2 − 2Cx− y2=

2(x− C)dx + 2ydy

x2 − 2xC − y2

de unde:lny = ln(x2 + y2 − 2Cx)− lnC1.

Prin urmare, suprafetele integrale x2 + y2− 2yf(z), sunt generate de cercurileal caror plan ramane paralel cu planul xOy si al caroe centru ın x = y =C, y = f(z), descriu o curba ın planul x = z.Suprafata care contine elipsa Γ este:

(x− z)2 = (y ±√

a2 − z2)2 = a2.


x(x2 + y2)∂z

∂x+ 2y2(x

∂z

∂x+ y

∂z

∂y− z) = 0


si apoi sa se determine o suprafata integrala care contine cercul x2 + y2 =R2; z = a.


dx

x(x2 + 3y2)=

dy

2y3=

dz

2zy2;

Primele doua rapoarte dau o ecuatie omogena; punand y = tx se obtine:

dy

2y3=

ydx− xdy

xy(x2 + y2)=

−tdt

y2(1 + t2)

De unde ecuatiile caracteristice sunt:

z = C1y; (x2 + y2)y = Cx3,

iar integrala generala este z = yf(y x2+y2

x2 ).Curbele caracteristice ıntalnesc cercul: x2 + y2 = R2, z = a daca:

y =a

C1R2aC1 = C(R2C2

1 − a2).

Locul geometric al curbelor caracteristice este suprafata:

aR2x2z = (x2 + y2)(R2z2 − a2y2).

6) Sa se determine solutia generala a ecuatiei:

2 coshx∂z

∂x+ 2y sinhx

∂z

∂y− z sinhx = 0

si apoi suprafata integrala care contine dreapta: x = y − z.Rezolvare: Sistemul diferential al caracteristicilor este:

dx

2 coshx=

dy

2y sinhx=

dz

z sinhx

Din acest sistem se deduc ecuatiile curbelor caracteristice:

z2 = Cy; y = b coshx,

de unde suprafetele integrale: z2 = yf( ycosh x).

Curbele caracteristice ıntalnesc dreapta x = y = z daca:

C = x, b =x

coshx=

C

coshC,

de unde se obtine suprafata integrala:

y2 = cosh(z2

y) = z2 coshx.

5.2. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE DE ORDINUL AL DOILEA.195

5.2 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul al doilea.

5.2.1 Generalitati.

Definitia 1:Numim ecuatie cu derivate partiale de ordin II orice expresie de forma:

E(x1, ..., xn, u,∂u

∂x1, ...,

∂u

∂xn,∂2u

∂x21

,∂2u

∂x1∂x2, ...,

∂2u

∂xn1

) = 0 (5.11)

cu solutia:u = u(x1, x2, ..., xn

Definitia 2:Se numeste problema Cauchy atasata unei ecuatii cu derivate partiale de

ordin II determinarea solutiilor u, ce satisface ecuatia data si verifica:

u|S = f(x1, x2, ..., xn)∂u∂` |S = g(x1, x2, ..., xn)

(5.12)

unde S este o suprafata iar−→

este versorul unui vector cu originea pe suprafataS.

Pentru n=2, S reprezinta o curba, iar pentru n=3 S este o suprafatatridimensionala.Definitia 3:

Se numeste problema Cauchy restransa atasata unei ecuatii cu derivatepartiale de ordin II determinarea solutiilor u, ce satisface:

u|xn=x0

n= f(x1, x2, ..., xn−1)

∂u∂xn

|xn=x0n

= g(x1, x2, ..., xn−1)(5.13)

Observatie:In locul variabilei xn puatem lua oricare din celelalte variabile, variabila

fixata nemaiaparand ın functiile date f si g.Vom evidentia cateva probleme:

1. ρ(x)∂2u∂t2

=n∑

j=1

[∂

∂xj(p(x)

∂u

∂xj)] + q(x)u(x) + F (x, t)

unde:ρ(x) = ρ(x1, x2, ..., xn)p(x) = p(x1, x2, ..., xn)q(x) = q(x1, x2, ..., xn)F (x, t) = F (x1, x2, ..., xn, t)


se numeste ecuatia oscilatiilorDaca:

ρ(x) = 1p(x) = a2 functie constantaq(x) = 0F (x, t) = p(x1, x2, ..., xn, t)

Vom avea:∂2u∂t2

= a24u + F (x, t)

care se numeste ecuatia undelor ın Rn, t ∈ [0,∞] simbolizeaza timpul.Cand n = 1 vom avea:

∂2u∂t2

= a2 ∂2u∂x2 + F (x, t)

care reprezinta ecuatia coardei vibrante.Cand n = 2 vom avea:

∂2u∂t2

= a2(∂2u∂x2 + ∂2u

∂y2 ) + F (x, y, t)

care reprezinta ecuatia membranei vibrante.Cand n = 3 vom avea:

∂2u∂t2

= a2(∂2u∂x2 + ∂2u

∂y2 ) + ∂2u∂z2 ) + F (x, y, z, t)

care reprezinta ecuatia undelor sferice.

2. ρ(x)∂u∂t =

n∑

j=1

[∂

∂xj(p(x)

∂u

∂xj)] + q(x)u(x) + F (x, t)

se numeste ecuatia proceselor de difuzie.Daca:

ρ(x) = 1p(x) = a2 functie constantaq(x) = 0F (x, t) = F (x1, x2, ..., xn, t)

Vom avea:∂u∂t = a24u + F (x, t)

care se numeste ecuatia caldurii.Cand n = 1 vom avea:

∂u∂t = a2 ∂2u

∂x2 + F (x, t)

care reprezinta ecuatia propagarii caldurii ıntr-un fir.Cand n = 2 vom avea:

∂u∂t = a2(∂2u

∂x2 + ∂2u∂y2 ) + F (x, y, t)


care reprezinta ecuatia propagarii caldurii ıntr-un cilindru.

3.n∑

j=1

∂

∂xj(p(x)

∂u

∂xj) + q(x)u(x) = F (x)

se numeste ecuatia proceselor stationare.Daca:

p(x) = 1q(x) = 0F (x) = F (x1, x2, ..., xn)

Vom avea:4u = F (x)

care se numeste ecuatia lui Pisson.Pentru F = 0, vom avea:

4u = 0

care se numeste ecuatia lui Laplace.

Conditii care se pun ın legatura cu aceste probleme.

Pentru problema 1 solutia u(x, t) se determina punand conditiile:

u(x1, x2, ..., xn, t)|t=0 = u0(x1, x2, ..., xn)∂u∂t (x1, x2, ..., xn, t)|t=0 = u1(x1, x2, ..., xn)

numite conditii initiale, functiile u0, u1 considerate a fi condtii initiale date.Pentru problema 2 solutia u(x, t) se determina punand conditia:

u(x1, x2, ..., xn, t)|t=0 = u0(x1, x2, ..., xn)

numita conditie initiala, functia u0 considerata a fi condtia initiala data.Pentru problema 3 solutia u(x) se determina punand conditia:

a(x)u(x) + b(x) ∂u∂−→n |FrD = h(x)

numita conditie la limita, functiile a, b, h considerate a fi cunoscute. Pen-tru a = 1, b = 0 avem problema determinarii lui u, care satisface conditia:u(x)|FrD = h(x), numita problema Dirichlet.Pentru a = 0, b = 1 avem problema determinarii lui u, care satisface conditia:∂u(x)∂−→n |FrD = h(x), numita problema Neuman.

Pentru unele probleme se impun atat conditii initiale cat si conditii la limita.Problema rezolvata se va numi ın acest caz problema mixta.


5.2.2 Ecuatii liniare ın derivate partiale de ordin II.

O ecuatie cu derivate partiale de ordinul al doilea se numeste cvasiliniara, dacaeste liniara ın raport cu derivatele de ordinul al doilea.In cazul a doua variabile independente, forma generala a ecuatiilor cvasiliniareva fi:

A(x, y)∂2u

∂x2+ 2B(x, y)

∂2u

∂x∂y+ C(x, y)

∂2u

∂y2+ F (x, y, u,

∂u

∂x,∂u

∂y) = 0 (5.14)

unde A,B, C : D ⊂ R2 → RPentru rezolvarea ecuatiei (14) vom cauta o transformare punctuala regulatacu ajutorul careia ecuatia transformata sa fie cat mai simpla. Fie aceasta:

ξ = ξ(x, y)η = η(x, y)

Derivatele de ordinul I, ale lui u ın raport cu x si y vor fi calculate cu ajutorulurmatoarelor relatii:

∂u∂x = ∂u

∂ξ∂ξ∂x + ∂u

∂η∂η∂x = ∂ξ

∂x∂u∂ξ + ∂η

∂x∂u∂η

∂u∂y = ∂u

∂ξ∂ξ∂y + ∂u

∂η∂η∂y = ∂ξ

∂y∂u∂ξ + ∂η

∂y∂u∂η

Avem astfel evidentiati operatorii de derivare partiala:

∂·∂x = ∂ξ

∂x∂·∂ξ + ∂η

∂x∂·∂η = Dx·

∂·∂y = ∂ξ

∂y∂·∂ξ + ∂η

∂y∂·∂η = Dy·

sau: Dx· = ∂ξ

∂xDξ ·+∂η∂xDη·

Dy· = ∂ξ∂yDξ ·+∂η

∂yDη·Am notat cu ” · ” ceea ce se deriveaza.Derivatele de ordinul II, ale lui u ın raport cu x si y vor fi calculate cu ajutorulurmatoarelor relatii:

∂2u

∂x2=

∂

∂x(∂u

∂x) =

∂

∂x(∂ξ

∂x

∂u

∂ξ+

∂η

∂x

∂u

∂η) =

=∂2ξ

∂x2

∂u

∂ξ+

∂ξ

∂x

∂

∂x(∂u

∂ξ) +

∂2η

∂x2

∂u

∂ξ+

∂η

∂x

∂

∂x(∂u

∂η) =

=∂2ξ

∂x2

∂u

∂ξ+

∂ξ

∂x(∂ξ

∂x

∂2u

∂ξ2+

∂η

∂x

∂2u

∂∂η∂ξ) +

∂2η

∂x2

∂u

∂ξ+

∂η

∂x(∂ξ

∂x

∂2u

∂ξ∂η+

∂η

∂x

∂2u

∂η2)


Prin urmare, avem:

∂2u

∂x2= (

∂ξ

∂x)2

∂2u

∂ξ2+ 2

∂ξ

∂x

∂η

∂x

∂2u

∂ξ∂η+ (

∂η

∂x)2

∂2u

∂η2+

∂2ξ

∂x2

∂u

∂ξ+

∂2η

∂x2

∂u

∂η

Notam:

(Dx(u))2 = (∂ξ

∂x)2

∂2u

∂ξ2+ 2

∂ξ

∂x

∂η

∂x

∂2u

∂ξ∂η+ (

∂η

∂x)2

∂2u

∂η2,

care reprezinta ridicarea la patrat, formala, a lui Dx(u) = ∂ξ∂x · ∂u

∂ξ + ∂η∂x · ∂u

∂η sicu

Dx(Dx(u)) =∂2ξ

∂x2

∂u

∂ξ+

∂2η

∂x2

∂u

∂η

care reprezinta o expresie, obtinuta din Dx(u), prin derivarea termenilor ∂ξ∂x , ∂η

∂xın raport cu x. Astfel, puten scrie:

∂2u

∂x2= (Dx(u))2 + Dx(Dx(u)).

In mod asemanator, vom obtine:

∂2u

∂y2= (

∂ξ

∂y)2

∂2u

∂ξ2+ 2

∂ξ

∂y

∂η

∂y

∂2u

∂ξ∂η+ (

∂η

∂y)2

∂2u

∂η2+

∂2ξ

∂y2

∂u

∂ξ+

∂2η

∂y2

∂u

∂η

notand cu:

(Dy(u))2 = (∂ξ

∂y)2

∂2u

∂ξ2+2

∂ξ

∂y

∂η

∂y

∂2u

∂ξ∂η+(

∂η

∂y)2

∂2u

∂η2; Dy(Dy(u)) =

∂2ξ

∂y2

∂u

∂ξ+

∂2η

∂y2

∂u

∂η

si vom scrie:∂2u

∂y2= (Dy(u))2 + Dy(Dy(u)).

In cazul derivatei partiale mixte:

∂2u

∂x∂y=

∂

∂x(∂u

∂x) =

∂

∂x(∂ξ

∂y· ∂u

∂ξ+

∂η

∂y· ∂u

∂η) =

=∂2ξ

∂x∂y

∂u

∂ξ+

∂2η

∂x∂y

∂u

∂η+

∂ξ

∂y· ∂

∂x(∂u

∂ξ) +

∂η

∂y· ∂

∂x(∂u

∂η) =

=∂2ξ

∂x∂y

∂u

∂ξ+

∂2η

∂x∂y

∂u

∂η+

∂ξ

∂x

∂ξ

∂y

∂2u

∂ξ2+ (

∂ξ

∂y

∂η

∂x+

∂ξ

∂x

∂η

∂y)

∂2u

∂ξ∂η+

∂η

∂x

∂η

∂y

∂2u

∂η2

Notam:

Dx(u)Dy(u) =∂ξ

∂x· ∂ξ

∂y· ∂2u

∂ξ2+ (

∂ξ

∂y· ∂η

∂x+

∂ξ

∂x· ∂η

∂y)

∂2u

∂ξ∂η+

∂η

∂x· ∂η

∂y· ∂2u

∂η2


si cu:

Dx(Dy(u)) =∂2ξ

∂x∂y· ∂u

∂ξ+

∂2η

∂x∂y· ∂u

∂η

care reprezinta o expresie, obtinuta din Dy(u), prin derivarea termenilor ∂ξ∂y , ∂η

∂yın raport cu x.Observatie: Dx(Dy(u)) = Dy(Dx(u))Putem scrie, de asemeni:

∂2u

∂x∂y= Dx(u)Dy(u) + Dx(Dy(u))

Inlocuind ın (14) vom obtine:

A(x, y)(Dx(u))2 + 2B(x, y)Dx(u)Dy(u) + C(x, y)(Dy(u))2++A(x, y)Dx(Dx(u)) + 2B(x, y)Dx(Dy(u)) + C(x, y)Dy(Dy(u))F (x, y, u, ∂u

∂x , ∂u∂y ) = 0

Pentru a pune ın evidenta noua forma a ecuatiei (14), dupa schimbarea devariabile, vom introduce notatiile:

Q[ξ, η] = A∂ξ

∂x

∂η

∂x+ B(

∂ξ

∂x

∂η

∂y+

∂ξ

∂y

∂η

∂x) + C

∂ξ

∂y

∂η

∂y

L(ξ) = A∂2ξ

∂x2+ 2B

∂2ξ

∂x∂y+ C

∂2ξ

∂y2

Cu aceste notatii ecuatia (14) devine:

Q[ξ, ξ]∂2u

∂ξ2+ 2Q[ξ, η]

∂2u

∂ξ∂η+ Q[η, η]

∂2u

∂η2+ L[ξ]

∂u

∂ξ+ L[η]

∂u

∂η+ G = 0, (5.15)

cu G = G(ξ, η, u, ∂u∂ξ , ∂u

∂η ).Teorema: Q[ξ, ξ] = 0 admite ca solutie curba ξ = ϕ(x, y) = constant ,obtinuta din ecuatia diferentiala:

Ay′2 − 2By′ + C = 0 (5.16)

d Aplicand teorema functiilor implicite expresiei ϕ(x, y) = C1 vom avea:

y′ = dydx = −

∂ϕ∂x∂ϕ∂y

si ınlocuind y′ ın (16) obtinem:

A(∂ϕ

∂x )2

(∂ϕ∂y )2

+2B∂ϕ∂x∂ϕ∂y

+C = 0 sau A(∂ϕ

∂x)2+2B

∂ϕ

∂x· ∂ϕ

∂y+C(

∂ϕ

∂y)2 = Q[ϕ,ϕ] = 0.c


Bazandu-ne pe aceasta teorema vom fi ın masura sa aducem ecuatia (14)la o forma canonica, simplificata, ın functie de solutiile ecuatiei caracteristice(16). Astfel:

y′ =B(x, y)±

√B2(x, y)−A(x, y)C(x, y)

A(x, y)= m1,2(x, y)

Din y′ = m1(x, y) va rezulta solutia, scrisa implicit, ϕ1(x, y) = C1. La fel diny′ = m2(x, y) va rezulta solutia, scrisa implicit, ϕ2(x, y) = C2.Distingem trei situatii:I. B2(x, y)−A(x, y)C(x, y) > 0In acest caz ecuatia cu derivate partiale (14) este de tip hiperbolic, iar dome-niul plan:

DI = (x, y)| B2(x, y)−A(x, y)C(x, y) > 0se numeste domeniu de hiperbolicitate al ecuatiei (14).II. B2(x, y)−A(x, y)C(x, y) = 0In acest caz ecuatia cu derivate partiale (14) este de tip parabolic, iar dome-niul plan:

DII = (x, y)| B2(x, y)−A(x, y)C(x, y) = 0se numeste domeniu de parabolicitate al ecuatiei (14).III. B2(x, y)−A(x, y)C(x, y) < 0In acest caz ecuatia cu derivate partiale (14) este de tip eliptic, iar domeniulplan:

DIII = (x, y)| B2(x, y)−A(x, y)C(x, y) < 0se numeste domeniu de elipticitate al ecuatiei (14).Exemplu:

Fig. 5.1:

(1− x2)∂2u

∂x2− 2xy

∂2u

∂x∂y− (1 + y2)

∂2u

∂y2− 2x

∂u

∂x− 2y

∂u

∂y= 0


A = 1− x2; B = −xy; C = −(1 + y2); B2 −AC = 1− x2 + y2

Ecuatia: x2−y2 = 1, reprezinta o hiperbola echilatera, pe care am reprezent-oın figura (1) ınpreuna cu domeniile respective.

Forme canonice.

I Cazul hiperbolic: B2−AC > 0. In acest caz m1, m2 sunt reali. Prin urmareavem doua curbe caracteristice ϕ1(x, y) = C1, ϕ2(x, y) = C2. Acestea suntfolosite la schimbarea de variabile. Vom lua:

ξ = ϕ1(x, y)η = ϕ2(x, y)

Conform cu teorema de mai sus, avem: Q[ϕ1, ϕ1] = 0, Q[ϕ2, ϕ2] = 0, iarpentru Q[ϕ1, ϕ2] = Q[ξ, η] = A∂ϕ1

∂x∂ϕ2

∂x + B(∂ϕ1

∂x∂ϕ2

∂y + ∂ϕ1

∂y∂ϕ2

∂x ) + C ∂ϕ1

∂y∂ϕ2

∂y .

Dam factor comun fortat ∂ϕ1

∂y∂ϕ2

∂y si obtinem:

Q[ξ, η] =∂ϕ1

∂y

∂ϕ2

∂y[A

∂ϕ1

∂x∂ϕ1

∂y

∂ϕ2

∂x∂ϕ2

∂y

+ B(∂ϕ1

∂x∂ϕ1

∂y

+∂ϕ2

∂x∂ϕ2

∂y

) + C] =

=∂ϕ1

∂y

∂ϕ2

∂y[Am1m2 −B(m1 + m2) + C] = 2

∂ϕ1

∂y

∂ϕ2

∂y(C − B2

A) 6= 0

Cu aceasta ecuatia (15) devine:

2Q[ξ, η]∂2u

∂ξ∂η+ H = 0

Normalizam ecuatia obtinuta (adica ınpartim prin 2∂ϕ1

∂y∂ϕ2

∂y )vom avea:

∂2u

∂ξ∂η+ H1(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η) = 0 (5.17)

numita prima forma canonica a ecuatei de tip hiperbolic.Daca se efectuiaza acum transformarea

ξ = α + β, η = α− β,

din ecuatia (17) se obtine ecuatia:

∂2u

∂α2− ∂2u

∂β2+ G∗

1(α, β, u,∂u

∂α,∂u

∂β) = 0 (5.18)

care este a doua forma canonica pentru ecuatia cvasiliniara de tip hiperbolic.Exemplu:

∂2u

∂x2− 2 sin x

∂2u

∂x∂y+ cos2 x

∂2u

∂y2− cosx

∂u

∂y= 0


Ecuatia caracteristica este:

y′2 + 2 sinxy′ − cos2 x = 0

B2 − AC = sin2 x + cos2 x = 1, ecuatia este de tip hiperbolic. Radacinileecuatiei caracteristice sunt:

y′ = − sinx + 1; y′ = − sinx− 1

Prin integrare obtinem:

y = cosx + x + C1

y = cosx− x + C2

Vom considera schimbarea de variabile data de:

ξ = x + y − cosxη = x− y + cosx

Inlocuind in ecuatia data vom obtine:

∂2u

∂ξ∂η= 0

Solutia acestei ecuatii(Vezi seminarul) este:

u = F (ξ) + G(η)

sauu(x, y) = F (x + y − cosx) + G(x− y + cos x)

II Cazul parabolic: B2 − AC = 0. In acest caz ecuatia caracteristica Am2 −2Bm + C = 0 are radacinile m1 = m2. Prin urmare 2(Am1 − B) = 0. Diny′ = m1 rezulta ϕ(x, y) = C1 si vom face schimbarea de variabile

ξ = ϕ(x, y)η = x

Vom avea in acest caz:Q[ξ, ξ] = 0

Q[ξ, η] = A∂ϕ

∂x+ B

∂ϕ

∂y=

∂ϕ

∂y(B −mA) = 0

Q[η, η] = A

Obtinem ın acest caz:

A∂2u

∂η2+ L[ξ]

∂u

∂ξ+ L[η]

∂u

∂η+ G = 0


Normalizam si obtnem:

∂2u

∂η2+ P (ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η) = 0 (5.19)

Observatie: Daca vom face schimbarea de variabile:

ξ = xη = ϕ(x, y)

Vom avea in acest caz:

∂2u

∂ξ2+ P (ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η) = 0

Exemplu:

x2 ∂2u

∂x2− 2xy

∂2u

∂x∂y+ y2 ∂2u

∂y2+ 2x

∂u

∂x= 0

B2 −AC = 0 ecuatia este de tip parabolic. Avem:

x2y′2 = 2xyy′ + y2 = 0

Din aceasta rezulta:xy′ + y = 0

care integrata ne daxy = C

Cu schimbarea de variabile: ξ = xyη = x

Vom avea in acest caz:

x2 ∂2u

∂η2+ 2x

∂u

∂η= 0 sau η2 ∂2u

∂η2+ 2η

∂u

∂η= 0

Ecuatia poate fi pusa sub forma:

∂

∂η(η2 ∂u

∂η) = 0

O prima integrare conduce la:

η2 ∂u

∂η= F (ξ) sau

∂u

∂η=

1η2

F (ξ)


O noua integrare conduce la:

u = −1ηF (ξ) + G(ξ)

Solutia generala este:

u(x, y) = −1x

F (xy) + G(xy)

III Cazul eliptic: B2−AC < 0. In acest caz m1, m2 sunt complex conjugate.Dupa ce integram vom avea:

ϕ1 = ϕ + iψϕ2 = ϕ− iψ

Vom face schimbarea de variabile:

ξ = Re ϕ1 = ϕη = Im ϕ1 = ψ

Q[ϕ1, ϕ1] = 0; Q[ϕ2, ϕ2] = 0

Q[ϕ1, ϕ1] = A(∂ϕ

∂x+ i

∂ψ

∂x)2 + 2B(

∂ϕ

∂x+ i

∂ψ

∂x)(

∂ϕ

∂y+ i

∂ψ

∂y) + C(

∂ϕ

∂y+ i

∂ψ

∂y)2 =

= Q[ϕ,ϕ]−Q[ψ, ψ] + 2iQ[ϕ, ψ] = 0

Q[ϕ2, ϕ2] = A(∂ϕ

∂x− i

∂ψ

∂x)2 + 2B(

∂ϕ

∂x− i

∂ψ

∂x)(

∂ϕ

∂y− i

∂ψ

∂y) + C(

∂ϕ

∂y− i

∂ψ

∂y)2 =

= Q[ϕ,ϕ]−Q[ψ, ψ]− 2iQ[ϕ, ψ] = 0

Din aceste relatii deducem ca prntru a avea

Q[ϕ1, ϕ1] = 0; Q[ϕ2, ϕ2] = 0

va trebui sa avem:Q[ϕ,ϕ] = Q[ψ, ψ]; Q[ϕ,ψ] = 0

Cu schimbarea de variabile

ξ = Re ϕ1 = ϕη = Im ϕ1 = ψ

vom avea

Q[ϕ,ϕ](∂2u

∂ξ2+

∂2u

∂η2) + +L[ξ]

∂u

∂ξ+ L[η]

∂u

∂η+ G = 0


si dupa normalizare avem forma finala

∂2u

∂ξ2+

∂2u

∂η2+ E(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η) = 0 (5.20)

Exemplu:∂2u

∂x2+ y

∂2u

∂x∂y+

12

∂u

∂y= 0

Ecuatia caracteristica este:

y′2 + y = 0, B2 −AC = −y, y > 0

y′ = ±√−y Integrand se obtine:

2√

y = ±ix + C1,2

Cu schimbarea de variabile ξ = 2

√y

η = x

vom avea∂2u

∂ξ2+

∂2u

∂η2= 0 (ecuatia lui Laplace)

Problema lui Cauchy pentru ecuatia coardei vibrante

Vom rezolva urmatoarea problema:Sa se determine functia u = u(x, t), care satisface ecuatia:

∂2u

∂t2− a2 ∂2u

∂x2= F (x, t) (5.21)

cu conditiile:u(x, 0) = f(x) (5.22)

∂u

∂t(x, 0) = g(x) (5.23)

Functiile F, f, g sunt date si ele sunt continuie ımpreuna cu derivatele lorpana la ordinul al doilea, a constanta data. Consideram de asemeni problemaomogena

∂2u

∂t2− a2 ∂2u

∂x2= 0 (5.24)

cu conditiile initiale omogene:

u(x, 0) = 0 (5.25)

∂u

∂t(x, 0) = 0 (5.26)


Pentru rezolvarea problemei coardei vibrante vom demonstra urmatoarea teo-rema:Teorema:1 Solutia problemei (4) ce satisface conditiile (1) si (2) este:

uo(x, t) =12[f(x− at) + f(x + at)] +

12a

∫ x+at

x−atg(y)dy

2 Solutia problemei (1) ce satisface conditiile (5) si (6) este:

v(x, t) =12a

∫ t

0(∫ x+a(t−τ)

x−a(t−τ)F (y, τ)dy)dτ

3 Solutia problemei (1) ce satisface conditiile (2) si (3) este:

u(x, t) = uo(x, t) + v(x, t)

Demonstratie:Ecuatia

∂2u

∂t2− a2 ∂2u

∂x2= 0

este de tip hiperbolic. Ecuatia sa caracteristica este:

x′2 − a2 = 0 cu x′ =dx

dt

Integram ın raport cu t:x = at + C1

x = −at + C2

Schimbarea de variabile va fi:

ξ = x− atη = x + at

va conduce la:∂2u

∂ξ∂η= 0,

cu solutia generala:u = ϕ(ξ) + ψ(η)

Prin urmare, revenind la variabilele x, t, avem:

u(x, t) = ϕ(x− at) + ψ(x + at)


Din conditia(2) rezulta:ϕ(x) + ψ(x) = f(x)

Derivam solutia u ın raport cu t:

∂u

∂t= −aϕ′(x− at) + aψ′(x + at)

si cu conditia (3) vom obtine:

−aϕ′(x) + aψ′(x) = g(x)

din sistemul: ϕ′(x) + ψ′(x) = f ′(x)

−aϕ′(x) + aψ′(x) = g(x)

rezulta: ϕ′(x) = 1

2f ′(x)− 12ag(x)

ψ′(x) = 12f ′(x) + 1

2ag(x)

Prin integrare, ın raport cu x, obtinem:

ϕ(x) = 12f(x)− 1

2a

∫ x

x0

g(y)dy + k

ψ(x) = 12f(x) + 1

2a

∫ x

x0

g(y)dy − k

Solutia cautata este:

uo(x, t) =12f(x−at)− 1

2a

∫ x−at

x0

g(y)dy+k+12f(x+at)+

12a

∫ x+at

x0

g(y)dy−k

Prin urmare avem:

uo(x, t) =12[f(x− at) + f(x + at)] +

12a

∫ x+at

x−atg(y)dy

Daca vom considera cazul particular, cand avem:

∂2u

∂t2− a2 ∂2u

∂x2= 0

cu conditiile:u(x, 0) = 0

∂u

∂t(x, 0) = F (x, τ) unde τ > 0 parametru

avem solutia:

u(x, t) = w(x, t, τ) =12a

∫ x+at

x−atF (y, τ)dy


w(x, t, τ) este solutia problemei:

∂2w∂t2

− a2 ∂2w∂x2 = 0

w(x, 0, τ) = 0∂w∂t (x, 0, τ) = F (x, τ)

2 Vom pune ın evidenta solutia v din teorema si vom lua:

v(x, t) =∫ t

0w(x, t− τ, τ)dτ

v(x, 0) = 0

∂v

∂t=

∫ t

0

∂w

∂t(x, t− τ, τ)dτ + w(x, 0, t) =

∫ t

0

∂w

∂t(x, t− τ, τ)dτ

deoarece w(x, 0, t) = 0.∂v

∂t(x, 0) = 0

∂2v

∂t2=

∫ t

0

∂2w

∂t2(x, t−τ, τ)dτ+

∂w

∂t(x, 0, t) =

∂2v

∂t2=

∫ t

0

∂2w

∂t2(x, t−τ, τ)dτ+F (x, t)

∂2v

∂x2=

∫ t

0

∂2w

∂x2(x, t− τ, τ)dτ

Rezulta:

∂2v

∂t2− a2 ∂2v

∂x2=

∫ t

0(∂2w

∂t2− a2 ∂2w

∂x2)dτ + F (x, t) = F (x, t)

3 este evidentaSolutia problemei lui Cauchy, pentru ecuatia Coardei vibrante este:

u(x, y) =12[f(x−at)+f(x+at)]+

12a

∫ x+at

x−atg(y)dy+

12a

∫ t

0[∫ x+a(t−τ)

x−a(t−τ)F (y, τ)dy]dτ

Exemplu:Sa se rezolve problema:

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= 6

cu conditiile initiale: u(x, 0) = x2

∂u∂t (x, o) = 4x


In acest caz a = 1, f(x) = x2, g(x) = 4x

uo(x, y) =12[(x− t)2 + (x + t)2] +

12

∫ x+t

x−t4ydy = x2 + t2 + 4xt

v(x, t) =12

∫ t

0[∫ x+(t−τ)

x−(t−τ)6dy]dτ = 3

∫ t

0[x + (t− τ)− x + (t− τ)] =

= 6∫ t

0(t− τ)dτ = 3t2

Prin urmare, solutia problemei puse este:

u(x, t) = x2 + t2 + 4xt + 3t2

Exemplu propus:Sa se rezolve problema:

∂2u

∂t2− 9

∂2u

∂x2= sin x

cu conditiile initiale: u(x, 0) = 1∂u∂t (x, o) = 1

Raspuns:

u(x, t) = 1 + t− 19

sinx cos 3t +19

sinx

Problema lui Cauchy pentru ecuatia caldurii

Vom rezolva urmatoarea problema:Sa se determine functia u = u(x, t), care satisface ecuatia:

∂u

∂t− a2 ∂2u

∂x2= F (x, t) (5.27)

cu conditia:u(x, 0) = f(x) (5.28)

Functiile F, f sunt date si ele sunt continuie ımpreuna cu derivatele lor panala ordinul al doilea, a constanta data. Consideram de asemeni problemaomogena:

∂u

∂t− a2 ∂2u

∂x2= 0 (5.29)

cu conditia initiala omogena:

u(x, 0) = 0 (5.30)


Pentru rezolvarea problemei caldurii vom demonstra urmatoarea teorema:Teorema:1 Solutia problemei (9) ce satisface conditia (8) este:

uo(x, t) =1

2a√

πt

∫ ∞

−∞f(y)e−

(x−y)2

4a2t dy

numita solutia omogena.2 Solutia problemei (7) ce satisface conditia (10) este de forma:

v(x, t) =12a

∫ t

0

1√π(t− τ)

(∫ ∞

−∞F (y, τ)e

− (x−y)2

4a2(t−τ) dy)dτ

3 Ansamblarea celor doua solutii:

u(x, t) = uo(x, t) + v(x, t)

Demonstratie:Vom utiliza transformata Fourier pentru rezolvarea problemei:

∂u∂t − a2 ∂2u

∂x2 = 0u(x, 0) = f(x)

Notam: u(s, t) = F(u(x, t)) =∫ ∞

−∞u(x, t)eisxdx transformata Fourier a lui u

relativ la variabila x.Avem:

F(∂u

∂t(x, t)) =

∫ ∞

−∞

∂u

∂t(x, t)eisxdx =

∂

∂tu(s, t)

F(∂2u

∂x2(x, t)) =

∫ ∞

−∞

∂2u

∂x2(x, t)eisxdx =

∂u

∂xeisx|∞−∞ −

∫ ∞

−∞(is)

∂u

∂xeisxdx =

eisx[∂u

∂x− (is)u]|∞−∞ + (is)2

∫ ∞

−∞ueisxdx = (is)2u(s, t)

in ipoteza ca limx→±∞u = lim

x→±∞∂u

∂x= 0. Notam u(s, t) = z(t), F(f(x)) = f(s)

avem problema: z′ + a2s2z = 0z(0) = f(s)

cu solutia:z = u(s, t) = f(s)e−a2s2t

Transformata Fourier inversa conduce la:

u(x, t) =12π

∫ ∞

−∞f(s)e−a2s2te−isxds =

12π

∫ ∞

−∞e−a2s2t−isx(

∫ ∞

−∞f(y)eisydy)ds


Inversand ordinea de integrare vom avea:

u(x, t) =12π

∫ ∞

−∞f(y)(

∫ ∞

−∞e−a2s2t−isx−isyds)dy

Folosim integrala lui Poisson:∫ ∞

−∞e−x2

dx =√

π;∫ ∞

−∞e−b2x2

dx =√

π

b

Notam

a2s2t + isx− isy = a2t[s2 +is(x− y)

a2t] = a2t[s +

i(x− y)2at

]2 +(x− y)2

4a2t

Cu schimbarea de variabila α = s + i(x−y)2at vom avea:

∫ ∞

−∞e−a2s2t−isx−isyds = e−

(x−y)2

4a2t

∫ ∞

−∞e−a2α2tdα = e−

(x−y)2

4a2t

√π

a√

t

prin urmare

uo(x, t) =1

2a√

πt

∫ ∞

−∞f(y)e−

(x−y)2

4a2t dy

2 La fel ca ın cazul precedent vom lua solutia particulara

v(x, t) =∫ t

0w(x, t− τ, τ)dτ

w(x, t, τ) este solutia problemei:

∂w∂t − a2 ∂2w

∂x2 = 0w(x, 0, τ) = F (x, τ)

3Ansamblarea este evidenta.Exemplu:Sa se rezolve urmatoarea problema de tip Cauchy:

∂u

∂t− 4

∂2u

∂x2= t + et

u(x, 0) = 2

Rezolvare:

uo(x, t) =1

4√

πt

∫ ∞

−∞2e−

(x−y)2

16t dy


Cu schimbarea de variabila y−x

4√

t, vom avea:

uo(x, t) =1

2√

πt

∫ ∞

−∞e−z2

4√

tdz = 2

v(x, t) =14

∫ t

0

1√π(t− τ)

[∫ ∞

−∞(τ + eτ )e−

(x−y)2

16(t−τ) dy]dτ =

=∫ t

0(τ + eτ )dτ =

t2

2+ et − 1

Solutia problemei date este:

u(x, t) =t2

2+ et + 1

Exemplu propus:Sa se rezolve urmatoarea problema de tip Cauchy:

∂u

∂t− ∂2u

∂x2= 3t2

u(x, 0) = sinx

Raspuns:

u(x, t) = e−tsinx + t3

Problema coardei vibrante finite.Metoda separarii variabilelor.

Vom avea de rezolvat problema:

∂2u

∂t2− a2 ∂2u

∂x2= F (x, t) (5.31)

ın D = (x, y)|0 < x < `, 0 < t < TConditii initiale:

u(x, 0) = f(x), (5.32)

∂u

∂t(x, 0) = g(x), (5.33)

Conditii la limita(capete):

u(0, t) = ϕ(x), (5.34)

u(`, t) = ψ(x), (5.35)


` este lungimea coardei.In paralel, vom considera problema omogena:

∂2u

∂t2− a2 ∂2u

∂x2= 0 (5.36)

ın D = (x, y)|0 < x < `, 0 < t < TConditii initiale omogene:

u(x, 0) = 0, (5.37)

∂u

∂t(x, 0) = 0, (5.38)

Conditii la limita(capete) omogene:

u(0, t) = 0, (5.39)

u(`, t) = 0, (5.40)

Problema vafi rezolvata ın patru etape:I) Vom rezolva ecuatia omogena (36), cu conditiile initiale neomogene (32) si(33), si conditiile la capete omogene (39) si (40) din care va rezulta solutiaomogena notata uh.II) Vom rezolva ecuatia neomogena (31), cu conditiile initiale (37) si (38), siconditiile la capete omogene (39) si (40) din care va rezulta solutia particularanotata up.III) Vom rezolva ecuatia neomogena (31), cu conditiile initiale (32) si (33), siconditiile la capete omogene (39) si (40) din care va rezulta solutia ansamblatanotata u∗.IV) Vom rezolva ecuatia neomogena (31), cu conditiile initiale (32) si (33), siconditiile la capete neomogene (34) si (35) din care va rezulta solutia finalanotata u.I: Vom folosi metoda separarii variabolelor. Cautam solutia sub forma:

u(x, t) = X(x)T (t)

Inlocuind ın (36) vom avea:

XT ′′ − a2X ′′T = 0 din care rezulta :T ′′

T= a2 X ′′

X

Deoarece avem egalitatea a doua expresii de variabile diferite , independente,vom lua:

T ′′

T= a2 X ′′

X= −λ2

Prin urmare, am obtinut, ecuatiile diferentiale:

X ′′(x) + λ2X(x) = 0 si T ′′(t) + λ2a2T (t) = 0


cu solutiile:

X(x) = C1 cosλx + C2 sinλx si respectiv: T (t) = C3 cosλat + C4 sinλat

Din conditia (39) rezulta:

X(0)T (t) = 0 (∀)t si deci: X(0) = 0


X(`)T (t) = 0 (∀)t si deci: X(`) = 0

Tinand cont de acestea, vom avea:

X(0) = C1 = 0 si X(`) = C2 sinλ` = 0

Prin urmare avem: λ` = kπDefinitie: λk = k π

` k ∈ Z se numesc valorile propprii ale problemei dateiar solutiile Xk(x) = Dk sin k π

` x se numesc solutii proprii.Avem de asemeni:

Tk(t) = Ak cos kπ

àt + Bk sin k

π

àt

Solutia uk(x, t) proprie corespunzatoare este:

uk(x, t) = [ak cos kπ

àt + bk sin k

π

àt] sin k

π

`x

unde: ak = DkAk

bk = Dkbk

Luam o suprapunere de solutii

u(x, t) =∞∑

k=0

[ak cos kπ

àt + bk sin k

π

àt] sin k

π

`x

Daca tinem cont de conditiile initiale: (32) si (33)vom avea:

f(x) =∞∑

k=0

ak sin kπ

`x

g(x) =∞∑

k=0

bkkπ

à sin k

π

`x

Cu ajutorul formulelor lui Fourier, vom determina coeficientii ak si bk

ak =1`

∫ `

0f(y) sin(k

π

`y)dy


bkkπ

à =

1`

∫ `

0g(y) sin(k

π

`y)dy sau bk =

1kπa

∫ `

0g(y) sin(k

π

`y)dy

Vom considera cazul particular:Rezolvarea problemei omogene (36) cu conditia neomogena (32) iar celelalteconditii (38), (39), (40) omogene. In acest caz (g = 0) bk = 0 (∀)k ∈ N.Solutia ın acest caz este:

u(x, y) =∞∑

k=1

[(1`

∫ `

0g(y) sin(k

π

`y)dy) cos(k

π

àt) sin(k

π

`x)]

Daca facem notatia:

G(x, y, t) =1`

∞∑

k=1

sin(kπ

`x) sin(k

π

`y) sin(k

π

àt) (5.41)

solutia problemei se pune sub forma:

uf (x, t) =∫ `

0G(x, y, t)f(y)dy

Definitie:Functia G(x, y, t) se numeste functia lui Green corespunzatoare problemeicoardei vibrante finite.Vom considera si cazul particular:Rezolvarea problemei omogene (36) cu conditia neomogena (33) iar celelalteconditii (37), (39), (40) omogene. In acest caz (f = 0) ak = 0 (∀)k ∈ N.Solutia ın acest caz este:

ug(x, t) =∫ `

0(∫ t

0G(x, y, s)ds)g(y)dy

Solutia problemei I esde:uh = uf + ug

Ca un caz particular vom considera problema:Sa se determine solutia v = v(x, t, τ), (τ un parametru) corespunzatoare prob-lemei:

∂2v∂t2

− a2 ∂2v∂x2 = 0

v(x, 0, τ) = 0∂v∂t (x, 0, τ) = F (x, τ)v(0, t, τ) = 0v(`, t, τ) = 0

Soluta acestei probleme este:

v(x, t, τ) =∫ `

0(∫ t

0G(x, y, s)ds)F (y, τ)dy


II. Solutia problemei neomogene (5.31), cu conditiile initiale omogene si conditiila limita omogene este:

up(x, t) =∫ t

0v(x, t− τ, τ)dτ

Intr-adevar:

∂up

∂t= v(x, 0, t) +

∫ t

0

∂v

∂t(x, t− τ, t)dτ =

∫ t

0

∂v

∂t(x, t− τ, t)dτ,

∂2up

∂t2=

∂v

∂t(x, 0, t) +

∫ t

0

∂2v

∂t2(x, t− τ, t)dτ = F (x, t) +

∫ t

0

∂2v

∂t2(x, t− τ, t)dτ,

∂2up

∂x2=

∫ t

0

∂2v

∂x2(x, t− τ, t)dτ,

∂2up

∂t2− a2 ∂2up

∂x2= F (x, t) +

∫ t

0(∂2v

∂t2− a2 ∂2v

∂x2)dτ = F (x, t)

Sunt de asemeni verificate conditiile initiale omogene, precum si conditiile lalimita omogene.Etapa a III-a de ansablare este evidenta:

u∗ = uf + ug + up

Etapa IV (rezolvarea finala)a problemei:Consideram functia:

w(x, t) = ϕ(t) +x

`(ψ(t)− ϕ(t)),

care satisface numai conditiile la capete:

w(0, t) = ϕ(t)w(`, t) = ψ(t)

Vom cauta functia:u(x, t) = u∗(x, t) + w(x, t)

u∗(x, t) = u(x, t)− w(x, t)

∂2u∗

∂t2− a2 ∂2u∗

∂x2= F ∗(x, t) =

∂2(u− w)∂t2

− a2 ∂2(u− w)∂x2

Prin urmare:

F ∗(x, t) = F (x, t)− [ϕ′′(t) +x

`(ψ′′(t)− ϕ′′(t))]


f∗(x) = u∗(x, 0) = u(x, 0)− w(x, 0) = f(x)− [ϕ(0) +x

`(ψ(0)− ϕ(0))]

g∗(x) =∂u∗

∂t(x, 0) =

∂u

∂t(x, 0)− ∂w

∂t(x, 0) = g(x)− [ϕ′(0) +

x

`(ψ′(0)− ϕ′(0))]

Exemplu:Se considera ecuatia cu dervate partiale:

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= x + t sin 2x

cu conditiile:

u(x, 0) = 3 sin 5x + 32π(x− π)

∂u∂t (x, 0) = 12 sin 3x− 2x + 3

2πu(0, t) = −3

2π(π − t)u(π, t) = π

2 t(t− 1)

w(x, t) = −32π(π − t) +

x

π[π

2t(t− 1) +

32π(π − t)] =

=x

2t2 − 2xt +

32πt +

32xπ − 3

2π2

Trebuieste construit

u∗ = u− w

Avem problema:

∂2u∗∂t2

− ∂2u∗∂x2 = t sin 2x

u∗(x, 0) = 3 sin 5x∂2u∗∂t (x, 0) = 12 sin 3x

u∗(0, t) = 0u∗(π, t) = 0

Aplicand prima etapa vom avea:

uh = 3 cos 5t sin 5x + 4 sin 3t sin 3x

v(x, t, τ) =τ

2sin 2t sin 2x

up(x, t) =∫ t

0[τ

2sin 2(t− τ) sin 2x] =

sin 2x

4t− 1

8sin 2x sin 2t


Problema propagarii caldurii ıntr-o bara cu lungime finita.Metoda separarii variabilelor.

Vom avea de rezolvat problema:

∂u

∂t− a2 ∂2u

∂x2= F (x, t) (5.42)

ın D = (x, y)|0 < x < `, 0 < t < TConditie initiala:

u(x, 0) = f(x), (5.43)

Conditii la limita(capete):

u(0, t) = ϕ(x), (5.44)

u(`, t) = ψ(x), (5.45)

` este lungimea barei.In paralel, vom considera problema omogena:

∂u

∂t− a2 ∂2u

∂x2= 0 (5.46)

ın D = (x, y)|0 < x < `, 0 < t < TConditia initiala omogena:

u(x, 0) = 0, (5.47)

Conditii la limita(capete) omogene:

u(0, t) = 0, (5.48)

u(`, t) = 0, (5.49)

Problema vafi rezolvata ın patru etape:I) Vom rezolva ecuatia omogena (46), cu conditia initiala neomogena (43), siconditiile la capete omogene (48) si (49) din care va rezulta solutia omogenanotata uh.II) Vom rezolva ecuatia neomogena (42), cu conditia initiala (47), si conditiilela capete omogene (48) si (49) din care va rezulta solutia particulara notata up.III) Vom rezolva ecuatia neomogena (42), cu conditiia initiala (43), si conditiilela capete omogene (48) si (49) din care va rezulta solutia ansamblata notatau∗.IV) Vom rezolva ecuatia neomogena (42), cu conditia initiala (43), si conditiilela capete neomogene (44) si (45) din care va rezulta solutia finala notata u.I: Vom folosi metoda separarii variabolelor. Cautam solutia sub forma:

u(x, t) = X(x)T (t)


Inlocuind ın (46) vom avea:

XT ′ − a2X ′′T = 0 din care rezulta :T ′

a2T=

X ′′

X

Deoarece avem egalitatea a doua expresii de variabile diferite , independente,vom lua:

T ′

a2T=

X ′′

X= −λ2

Prin urmare, am obtinut, ecuatiile diferentiale:

X ′′(x) + λ2X(x) = 0 si T ′(t) + λ2a2T (t) = 0

cu solutiile:

X(x) = C1 cosλx + C2 sinλx si respectiv: T (t) = C3e− λ2a2t


X(0)T (t) = 0 (∀)t si deci: X(0) = 0


X(`)T (t) = 0 (∀)t si deci: X(`) = 0

Tinand cont de acestea, vom avea:

X(0) = C1 = 0 si X(`) = C2 sinλ` = 0

Prin urmare avem: λ` = kπDefinitie: λk = k π

` k ∈ Z se numesc valorile propprii ale problemei dateiar solutiile Xk(x) = Ak sin k π

` x se numesc solutii proprii.Avem de asemeni:

Tk(t) = Dke− k2π2a2

`2t

Solutia uk(x, t) proprie corespunzatoare este:

uk(x, t) = ake− k2π2a2

`2t sin k

π

`x

unde:ak = AkDk

Luam o suprapunere de solutii

u(x, t) =∞∑

k=1

ake− k2π2a2

`2t sin k

π

`x


Daca tinem cont de conditia initiala: (43) vom avea:

f(x) =∞∑

k=0

ak sin kπ

`x

Cu ajutorul formulelor lui Fourier, vom determina coeficientii ak si bk

ak =2`

∫ `

0f(y) sin(k

π

`y)dy

Solutia ın acest caz este:

u(x, y) =∞∑

k=1

[(2`

∫ `

0f(y) sin(k

π

`y)dy)e−

k2π2a2t`2 sin(k

π

`x)]

Daca facem notatia:

G(x, y, t) =2`

∞∑

k=1

sin(kπ

`x) sin(k

π

`at)e−

k2π2a2t`2 (5.50)

solutia problemei se pune sub forma:

uf (x, t) =∫ `

0G(x, y, t)f(y)dy

Definitie:Functia G(x, y, t) se numeste functia lui Green corespunzatoare problemeicaldurii .Ca un caz particular vom considera problema:Sa se determine solutia v = v(x, t, τ), (τ un parametru) corespunzatoare prob-lemei:

∂v∂t − a2 ∂2v

∂x2 = 0v(x, 0, τ) = F (x, τ)v(0, t, τ) = 0v(`, t, τ) = 0

Soluta acestei probleme este:

v(x, t, τ) =∫ `

0G(x, y, t)F (y, τ)dy

II. Solutia problemei neomogene (5.42), cu conditia initiala omogena si conditiila limita omogene este:

up(x, t) =∫ t

0v(x, t− τ, τ)dτ


Intr-adevar:

∂up

∂t= v(x, 0, t) +

∫ t

0

∂v

∂t(x, t− τ, t)dτ = F (x, t) +

∫ t

0

∂v

∂t(x, t− τ, t)dτ,

∂2up

∂x2=

∫ t

0

∂2v

∂x2(x, t− τ, t)dτ,

∂2up

∂t2− a2 ∂2up

∂x2= F (x, t) +

∫ t

0(∂2v

∂t2− a2 ∂2v

∂x2)dτ = F (x, t)

Sunt de asemeni verificate conditiile initiale omogene, precum si conditiile lalimita omogene.Etapa a III-a de ansablare este evidenta:

u∗ = uf + up

Etapa IV (rezolvarea finala)a problemei:Consideram functia:

w(x, t) = ϕ(t) +x

`(ψ(t)− ϕ(t)),

care satisface numai conditiile la capete:

w(0, t) = ϕ(t)w(`, t) = ψ(t)

Vom cauta functia:u(x, t) = u∗(x, t) + w(x, t)

u∗(x, t) = u(x, t)− w(x, t)

∂u∗

∂t− a2 ∂2u∗

∂x2= F ∗(x, t) =

∂(u− w)∂t

− a2 ∂2(u− w)∂x2

Prin urmare:

F ∗(x, t) = F (x, t)− [ϕ′(t) +x

`(ψ′(t)− ϕ′(t))]

f∗(x) = u∗(x, 0) = u(x, 0)− w(x, 0) = f(x)− [ϕ(0) +x

`(ψ(0)− ϕ(0))]

Prin urmare u∗ poate fi exprimata cu ajutorul primelor trei etape. u(x, t) =u∗(x, t) + w(x, t)

Exemplu:Se considera ecuatia cu dervate partiale:

∂u

∂t− 9

∂2u

∂x2= 4t2 sinx + 12 cos 2t− x

π+

12π

x cos 2t


cu conditiile:

u(x, 0) = sin 15x− xu(0, t) = 6 sin 2tu(π, t) = t− π

w(x, t) = 2t +x

πt− x

In final se obtine:

u(x, t) = 4 sinx(t2

9− 2

81t+

2729

− 2729

e−9t)+e−2025t sin 15x+6(1−x

t) sin 2t+

x

πt−x.

Ecuatia telegrafistilor

Se numeste asa ecuatia cu derivate partiale :

∂2v

∂x2− LC

∂2v

∂t2− (LG + RC)

∂v

∂t−RGv = 0 (5.51)

ın care functia necunoscuta v = v(x, t) este diferenta de potential ın raport cupamantul ın cazul vibratiilor electrice cvasistationare, iar L,C, G,R sunt con-stante cu semnificatie fizica bine precizata.//putem face sa dispara termenulce contine derivata ∂v

∂t , punand

v(x, t) = e−λtu(x, t), λ =(LG + RC)

2LC= constant

Se ajunge la ecuatia:∂2u

∂t2− a2 ∂2u

∂x2− b2u = 0

ın care

a2 =1

LC

′b =

(LG−RC)2LC

Se cauta solutia, cu conditiile initiale:

u(x, 0) = ϕ(x)∂u∂t (x, 0) = ψ(x)

Probleme rezolvate:Ecuatia omogena a coardei vibrante sau ecuatia undelor plane este:

∂2u

∂x2− 1

a2

∂2u

∂t2= 0; a2 =

ρ

T0(5.52)


Solutia ecuatiei (5.24) cu conditiile initiale:

u(x, 0) = f(x)∂u(x,t)

∂t |t=0 = g(x), x ∈ [0, `]

este data de formula lui D’Alambert:

u(x, t) =12[f(x− at) = f(x + at)] +

12a

∫ x+at

x−atg(τ)dτ (5.53)

Solutia lui Bernoulli si Fourier pentru ecuatia vibratiilor libere ale coardei(5.24), cu conditiile la limita:

u(0, t) = 0u(`, t) = 0

, t ≥ 0

si conditiile initiale:

u(x, 0) = f(x)∂u(x,t)

∂t |t=0 = g(x), x ∈ [0, `]

este:

u(x, t) =∞∑

n=1

(An cosnπ · a

`t + Bn sin

nπ · a`

t) sinnπ

`x

cu

An =2`

∫ `

0f(x) sin

nπ

`xdx; Bn =

2nπ · a

∫ `

0g(x) sin

nπ

`xdx

Solutia ecuatiei caldurii:

∂2u

∂x2− 1

a2

∂u

∂t= 0; a2 =

k

cρ(5.54)

care satisface conditia initiala:

u(x, 0) = f(x); x ∈ Reste data de relatia:

u(x, t) =1

2a√

π · t

∫ ∞

−∞f(τ) · e−

(x−τ)2

4a2t · dτ ; t > 0

Exemple:1) Sa se determine solutia ecuatiei:

(`2 − x2)∂2u

∂x2− x

∂u

∂x− ∂2u

∂y2= 0; 0 < x < `


care satisface:u(x, y)|y=0 = arcsin

x

`;

∂u

∂y|y=0 = 1

Rezolvare: In cazul acestei ecuatii avem: b2− 4ac = `2− x2 > 0 deci ecuatiaeste de tip hiperbolic.Ecuatia diferentiala a caracteristicilor este:

(`2 − x2)(dy

dx)2 − 1 = 0 cu

dy

dx= ± 1√

`2 − x2

Integrand aceste ecuatii, obtinem:

arcsinx

`+ y = C1, arcsin

x

`− y = C2

Cu schimbarea de variabile:

ξ = arcsinx

`+ y, η = arcsin

x

`− y,

ecuatia se reduce la forma:∂2u

∂ξ∂η= 0

cu solutia generala:u(ξ, η) = f(ξ) + g(η)

Solutia generala a ecuatiei date este:

u(x, y) = f(arcsinx

`+ y) + g(arcsin

x

`− y)

Pentru determinarea functiilor f si g vom utiliza conditiile initiale, obtinandu-se sistemul:

f(arcsin x` ) + g(arcsin x

` ) = arcsin x`

f ′(arcsin x` )− g′(arcsin x

` ) = 1

Rezolvand acest sistem, obtinem ın final solutia ecuatiei date:

u(x, y) = arcsinx

`+ y.

2) Sa se determine solutia ecuatiei:

∂2u

∂x2+ 2 cosx

∂2u

∂x∂y− sin2 x

∂2u

∂y2− sinx

∂u

∂y= 0

care satisface:u(x, y)|y=sin x = x4;

∂u

∂y|y=sin x = x


Rezolvare: Deoarece b2 − 4ac = 1 > 0, rezulta ca ecuatia este de tip hiper-bolic.Ecuatia diferentiala a caracteristicilor este:

(dy

dx)2 − 2 cos x

dy

dx− sin2 x = 0

care conduce la:dy

dx= cosx± 1.

Integrand aceste ecuatii, obtinem:

x + sinx− y = C1

x− sinx + y = C2

Facand schimbarea de variabile:

ξ = x + sin x− y, η = x− sinx + y,

obtinem forma canonica a ecuatiei date:

∂2u

∂ξ∂η= 0 cu solutia: u(ξ, η) = f(ξ) + g(η)

Deci solutia generala a ecuatiei date este:

u(x, y) = f(x + sinx− y) + g(x− sinx + y),

functiile f si g determinandu-se din conditiile initiale:

f(x) =x4

2− x2

4− C

2; g(x) =

x4

2+

x2

4+

C

2.

Solutia ecuatiei este:

u(x, y) =12(x+sin x−y)4−1

4(x+sin x−y)2+

12(x−sinx+y)4−1

4(x−sinx+y)2.

3) Sa se aduca la forma canonica si sa se determine solutia generala a ecuatiei:

x2 ∂2u

∂x2− 2xy

∂2u

∂x∂y+ y2 ∂2u

∂y2+ x

∂u

∂x+ y

∂u

∂y= 0

Rezovare: Deoarece b2 − ac = 0, rezulta ca ecuatia este de tip parabolic.Ecuatia diferentiala a caracteristicilor este:

x2(dy

dx)2 + 2xy(

dy

dx) + y2 = 0, cu

dy

dx= −y

x⇐⇒ xy = C


Facand schimbarea de variabile xy = ξ, x = η avem:

∂u∂x = y ∂u

∂ξ + ∂u∂η ;

∂u∂y = x∂u

∂ξ ;∂2u∂x2 = y2 ∂2u

∂ξ2 + 2y ∂2u∂ξ∂η + ∂2u

∂η2 ;∂2u∂x∂y = xy ∂2u

∂ξ2 + x ∂2u∂ξ∂η + ∂u

∂ξ ;∂2u∂y2 = x2 ∂2u

∂ξ2 .

Ecuatia data devine:

∂2u

∂η2+

1η

∂u

∂η= 0, care este echivalenta cu:

∂

∂η(η

∂u

∂η) = 0 sau η

∂u

∂η= f(ξ) avand solutia generala:

u = f(ξ) ln η + g(ξ).

Prin urmare solutia generala este:

u(x, y) = f(xy) lnx + g(xy).

4) Ecuatiile micilor oscilatii proprii de amplitudine u(x, t), ale unei coardeelastice perfect flexibile de la pozitia de echilibru, este data de ecuatia:

∂2u

∂t2= a2 ∂2u

∂x2.

Sa se arate, reducand la forma canonica aceasta ecuatie, ca integrala generalaeste data de relatia:

u(x, t) = F (x− at) + G(x + at),

unde F si G sunt doua functii arbitrare.Rezolvare:Se observa ca ecuatia din enunt se mai scrie:

∂2u

∂x2=

1a2

∂2u

∂t2si b2 − ac =

1a2

> 0

de unde rezulta ca este de tip hiperbolic. Ecuatia diferentiala a caracteristiciloreste:

(dt

dx)2 − 1

a2= 0; integrand-o, se obtine: x− at = C1; x + at = C2


Fig. 5.2:

Transformarea punctuala de variabile ξ = x − at; η = x + at ne conduce larelatiile:

∂u∂x = ∂u

∂ξ∂ξ∂x + ∂u

∂η∂η∂x = ∂u

∂ξ + ∂u∂η ;

∂u∂t = ∂u

∂ξ∂ξ∂y + ∂u

∂η∂η∂t = −a∂u

∂ξ + a∂u∂η ;

∂2u∂x2 = ∂

∂ξ [∂u∂ξ + ∂u

∂η ] ∂ξ∂x + ∂

∂η [∂u∂ξ + ∂u

∂η ]∂η∂x = ∂2u

∂ξ2 + 2 ∂2u∂ξ∂η + ∂2u

∂η2 ;∂2u∂t2

= ∂∂ξ [−a∂u

∂ξ + a∂u∂η ]∂ξ

∂t + ∂∂η [−a∂u

∂ξ + a∂u∂η ]∂η

∂t = a2(∂2u∂ξ2 − 2 ∂2u

∂ξ∂η + ∂2u∂η2 ).

Astfel ca ecuatia data se transforma ın ecuatia:

∂2u

∂ξ∂η= 0.

Avem:

∂2u

∂ξ∂η=

∂

∂ξ(∂u

∂η) = 0, de unde se obtine

∂u

∂η= f(η) si de aici:

u =∫

f(η)dη + F (ξ) si notand cu∫

f(η)dη = G(η) se obtine:

u(ξ, η) = F (ξ) + G(η);

Revenind la transformarea punctuala, avem:

u(x, t) = F (x− at) + G(x + at).

5) Sa se rezolve ecuatia:

∂2u

∂t2= a2 ∂2u

∂x2

cu conditiile initiale: u(x, 0) = f(x)∂u∂t (x, 0) = g(x)


si conditiile la limita: u(0, t) = 0u(`, t) = 0,

fofosind metoda lui Fourier.Rezolvare: Prima dintre conditiile initiale indica pozitia punctelor coardei

ın momentul t = 0. ın timp ce a doua conditie initiala da distributia vitezelorpunctelor coardei, ın acelasi moment. Conditiile la limita exprima matem-atic faptul ca, coarda este fixata ın punctele A si O (vezi figura din aplicatiaprecedenta)

Vom cauta solutii de forma:

un(x, t) = Un(x)Vn(t)

cate ınlocuite ın ecuatia din enunt, conduc la relatia:

Un(x)V ′′n (t) = a2U ′′

n(x)Vn(t) si de aici:

U ′′n(x)

Un(x)=

1a2

V ′′n (t)

Vn(t)= −λ2

n.

Constanta cu care s-au egalat rapoartele din ultima relatie a fost luata strictnegativa, pentru a asigura ecuatiei diferentiale pe care o satisface Vn(t), solutiimarginite.

In consecinta, determinarea functiei un(x, t), revine la rezolvarea ecuatiilordiferentiale:

U ′′n(x)+λ2

nUn(x) = 0; V ′′n (x)+a2λ2

nVn(x) = 0 a caror solutie este imediata:

Un(x) = C(1)n cos(λnx) + C(2)

n sin(λnx);

Vn(t) = K(1)n cos(aλnt) + K(2)

n sin(aλnt).

Din conditiile:Un(0) = 0, Un(`) = 0 rezulta:

C(1)n = 0; sin(λn`) = 0 si de aici λn =

nπ

`,

iar functiile propprii ale problemei la limita se deduc imediat: Un(x) = sin nπx` .

Solutia u(x, t) a ecuatiei din enunt, care satisface numai conditiile la limita,se va scrie ın continuare:

u(x, t) =∞∑

n=1

[K(1)n cos(aλnt) + K(2)

n sin(aλnt)] sinnπx

`


iar constantele K(1)n , K

(2)n se vor determina prin intermediul conditiilor initiale.

Sa observam ca sistemul de functii Un(x) = sin nπx` este ortogonal, de pondere

ρ(x) = 1 pe intervalul [0, `] si avem:∫ `

0sin2 nπx

`dx =

`

2.

Folosind ın continuare conditiile initiale, vom obtine:

f(x) =∞∑

n=1

K(1)n sin

nπx

`si de aici, K(1)

n =2`

∫ `

0f(x) sin

nπx

`dx

In mod analog, pentru K(2)n se obtine valoarea:

K(2)n =

2anπ

∫ `

0g(x) sin

nπx

`dx.

6) Sa se rezolve ecuatia:∂u

∂t= a2 ∂2u

∂x2

cu conditia initiala:u(x, 0) = f(x); x ∈ [0, `]

si conditiile la limita:u(0, t) = u(`, t) = 0

Rezolvare: Vom folosi metoda separarii variabilelor, deci vom cautasolutii de forma:

un(x, t) = Un(x)Vn(t); dupa ınlocuire ın ecuatia din enunt, se obtine:

Un(x)V ′n(t) = U ′′

n(x)Vn(t) si de aici:

U ′′n(x)

Un(x)=

1a2

V ′n(t)

Vn(t)= −λ2

n.

In acest mod, se obtin ecuatiile diferentiale:

U ′′n(x) + λ2

nUn(x) = 0V ′

n(t) + a2λ2nVn(t) = 0

Aceste ecuatii au solutiile:

Un(x) = C(1)n cos(λnx) + C

(2)n sin(λnx)

Vn(t) = Kn · e−(aλnx)2t

si deoarece, ın virtutea ecuatiei din enunt, putem lua Kn = 1, vom obtinepentru un(x, t) expresia:

un(x, t) = [C(1)n cos(λnx) + C(2)

n sin(λnx)]e−(aλn)2t.

5.3. EXERCITII SI PROBLEME PROPUSE 231

Deoarece un(0, t) = 0 rezulta C(1)n = 0, iar din un(`, t) = 0 rezulta sin(λn`) =

0. Valorile proprii ale problemei la limita vor fi date de sirul λn = nπ` , astfel

ca solutia capata forma:

un(x, t) = C(2)n e−(anπ

`)2t sin(

nπx

`),

ın timp ce, solutia generala se va scrie:

u(x, t) =∞∑

n=1

C(2)n e−(anπ

`)2t sin(

nπx

`)

Constantele C(2)n se determina prin intermediul conditiei initiale:

f(x) =∞∑

n=1

C(2)n sin(

nπx

`), de unde se obtine, cu usurinta:

C(2)n =

2`

∫ `

0f(ξ) sin

nπξ

`dξ.

Solutia se poate pune sub forma:

u(x, t) =2`

∫ `

0[∞∑

n=1

e−(anπ`

)2t sin(nπx

`) sin(

nπξ

`)]f(ξ)dξ.

5.3 Exercitii si probleme propuse

1) Sa se determine solutia generala si problema Cauchy pentru ecuatiile:i) x∂u

∂x + y ∂u∂y =

√x2 + y2; u|y=1 = x

R: u = x+(y−1)√

x2+y2

y

ii) 2xu∂u∂x + 2yu∂u

∂y = u2 − x2 − y2; u|y=1 = x

R: u =√

2x2 − 2y2 + 2y3 − x2yiii) 2x3 ∂u

∂x + (y2 + 3x2y)∂u∂y + 2x2z ∂u

∂z = 0

R: u = ϕ( zx , x + x3

y2 )

iv) (x−√

x2 + y2 + z2)∂u∂x + (u + ex)∂u

∂y = u2 − ex+y

R: u = ϕ( zx , x +

√x2 + y2 + z2)

2) Sa se determine solutia u = u(x, y) a ecuatiei:

∂2u

∂x2+ 3

∂2u

∂x∂y+ 2

∂2u

∂y2= 0 care satisface:

u(0, y) = y;∂u

∂x(0, y) = 3y2


R: u(x, y) = (y − x)3 + 2(y − x) + (2x− y)3 + 2x− y.3) Sa se determine solutia u = u(x, y) a ecuatiei:

x∂2u

∂x2− 4x3 ∂2u

∂y2− ∂u

∂x= 0 care satisface:

u(x, x2) = f(x); u(x,−x2) = g(x)

pentru x ≥ 0, unde f si g sunt doua functii date, cu f(0) = g(0) = 0.

R: u(x, y) = f(√

x2+y2 ) + g(

√x2+y

2 ).4) Sa se determine solutia u = u(x, y) a ecuatiei:

∂2u

∂x2− ∂2u

∂y2= 16(x2 − y2) care satisface:

u(x, x) = f(x); u(x,−x) = g(x)

pentru x ≥ 0, unde f si g sunt doua functii date, cu f(0) = g(0) = 0R: u(x, y) = (x2 − y2)2 + f(x+y

2 ) + g(x−y2 ).

5) Sa se determine solutia u = u(x, t) care verifica ecuatia:

∂2u

∂t2=

1x

∂u

∂x+ λ2u care satisface:

u(x, t + 2π) = u(x, t); u(0, t) = f(t)

unde f este o functie periodica de perioada 2π si satisface conditiile lui Dirich-let.

R: u(x, t) = e12λ2x2

+∞∑

n=0

(An cosnt + Bn sinnt)e12n2x2

.

6) Sa se determine solutia u = u(x, t) care verifica ecuatia:

∂2u

∂t2+ x2 ∂2u

∂x2+

∂u

∂x= 0 x ∈ [0, `] t ∈ (−∞,∞) si conditiile:

u(x, t + 2π) = u(x, t) x ∈ [0, `] t ∈ (−∞,∞)

u(0, t) = f(t); u(`, t) =sin t

5− 4 cos t; t ∈ (−∞,∞)

.

R: u(x, t) = 12

∞∑

n=0

(x

2`)n sinnt.

curs matematici speciale

Documents