77 sinteza curs matematici aplicate in economie 2592

1

MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE – SINTEZĂ CURS

Conf. Univ.dr. Sandra Teodorescu

PARTEA I. ALGEBRĂ LINIARĂ

Curs 1

SISTEME DE ECUAŢII LINEARE. METODA GAUSS-JORDAN

Acest capitol este destinat introducerii unor noţiuni de bază din

matematica lineară. Matematica lineară este importantă din mai multe motive. Multe fenomene din lumea reală care trebuie studiate matematic sunt lineare sau pot fi aproximate ca fiind lineare. Deci, matematica lineară se aplică în multe domenii. În plus, analiza şi manipularea relaţiilor lineare este mai uşoară decât a relaţiilor nelineare. Mai mult, unele dintre metodele utilizate în matematica nelineară sunt similare cu cele din matematica lineară sau sunt extensii ale acestora.

Metoda Gauss-Jordan pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii algebrice

lineare

Metoda lui Gauss-Jordan (metoda eliminării complete) este o metodă directă de rezolvare a sistemelor de ecuaţii lineare, adică după un număr finit de operaţii logice şi aritmetice, metoda dă soluţia exactă a sistemului. Avantajele acestei metode sunt: se pot afla soluţiile unui sistem de ecuaţii lineare de dimensiuni mari, se poate programa, se foloseşte la calculul inversei unei matrici, calculul rangului etc.

BIBLIOGRAFIE

1. Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti; Bucureşti, Editura CISON, 2000

2. Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti. Culegere de probleme; Bucureşti, Editura CISON, 2001

3. Fătu, I., Dinescu, C. - Matematici pentru economişti; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1995

4. Matei, P., -Algebră lineară, Geometrie analitică şi diferenţială, Editura Agir, Bucureşti, 2000

5. Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplicate în economie; Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993

6. Teodorescu, S., -Matematici economice, Editura Bren, 2005

2

Curs 2

SPAŢII VECTORIALE

2.1. NOŢIUNILE DE SPAŢIU VECTORIAL ŞI SUBSPAŢIU VECTORIAL.

Fie V o mulţime nevidă şi K un corp nevid (de exemplu, mulţimea

numerelor reale sau complexe) cu K0 şi K1 elementul zero şi respectiv elementul

unitate din K. Definim următoarele operaţii: a) adunarea "" a două elemente din V astfel: dacă VyxVyx ,

(operaţie internă) b) înmulţirea cu un scalar " " a unui element din V astfel: fiecărui element

Vx şi K i se poate asocia un element din V notat cu ,Vx sau simplu,

x . (operaţie externă)

Definiţia 2.1.1.

Cvartetul ),,,( KV se numeşte spaţiu vectorial dacă cele două operaţii de la

a) şi b) sunt definite şi satisfac următoarele axiome:

)1v Vzyxzyxzyx ,,,)()(

)2v VV 0 astfel încât Vxx VK ,00

)3v VxxxK ,1

)4v VxKxx ,,,)()(

)5v VyxKyxyx ,,,)(

)6v VxKxxx ,,,)(

Definiţia 2.1.2. O submulţime VW nevidă, se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă

i) WyxWyx , şi

ii) WxKWx ,

Definiţia 2.1.3.

Fie ),,,( KV un spaţiu vectorial. Aplicaţia KVV :, se numeşte produs

scalar, dacă sunt îndeplinite următoarele axiome:

)1p KVzyxzyzxzyx ,,,,,,,,

)2p Vyxxyyx ,,,,

)3p VxVxxx 0,,0,

3

2.2. COMBINAŢII LINEARE. DEPENDENŢĂ ŞI INDEPENDENŢĂ LINEARĂ. Definiţia 2.2.1. Fie ),,,( KV un spaţiu vectorial.

i) Dacă n ,...,, 21 sunt n scalari din K, şi nvvv ,...,, 21 sunt n vectori din V

atunci vectorul nnvvv ...2211 se numeşte combinaţie lineară a vectorilor

nvvv ,...,, 21 cu scalarii n ,...,, 21 .

ii) Dacă Vv şi există Kn ,...,, 21 astfel încât nnvvvv ...2211

se spune că v este combinaţie lineară de vectorii nvvv ,...,, 21 .

Fie ),,,( KV un spaţiu vectorial şi nvvvS ,...,, 21 un sistem de vectori din V.

Definiţia 2.2.2. Se spune că sistemul de vectori S este linear dependent dacă există n scalari

Kn ,...,, 21 , nu toţi nuli, astfel încât

Vnnvvv 0...2211 (2.1)

Definiţia 2.2.3. Se spune că sistemul de vectori S este linear independent dacă din orice

combinaţie lineară de forma (2.1) rezultă că toţi scalarii Kn ,...,, 21 sunt nuli.

2.3. SISTEM DE GENERATORI

Fie ,V K un spaţiu vectorial.

Definiţia 2.3.1. Sistemul de vectori nvvvS ,...,, 21 constituie un sistem de

generatori pentru V dacă orice vector din V este o combinaţie liniară de aceştia,

adică:

pentru orice v V există Kn ,...,, 21 astfel încât 1 1 2 2 ... n nv v v v S .

2.4. BAZĂ A UNUI SPAŢIU VECTORIAL. DIMENSIUNEA UNUI SPAŢIU VECTORIAL

Fie ),,,( KV un spaţiu vectorial şi },...,,{ 21 nvvvB o mulţime de vectori din V.

Definiţia 2.4.1. Spunem că mulţimea B este o bază a spaţiului vectorial V dacă: B constituie un sistem liniar independent în V; B constituie un sistem de generatori pentru V.

4

Teorema 1. Orice spaţiu vectorial V are cel puţin o bază; mai mult, orice două baze ale aceluiaşi spaţiu vectorial au acelaşi număr de elemente. Definiţia 2.4.2. Numărul vectorilor dintr-o bază a unui spaţiu vectorial se numeşte dimensiunea spaţiului vectorial V şi se notează cu Vdim :

cardB

V

ncardBn

V V

,

0,0

,

dim

2.5. COORDONATELE UNUI VECTOR ÎNTR-O BAZĂ DATĂ Teorema 2. Fie ),,,( KV un spaţiu vectorial de dimensiune n şi o bază a sa

},...,,{ 21 nvvvB . Atunci, pentru orice vector v din V există şi sunt unici scalarii

Kn ,...,, 21 astel încât

n

i

iivv1

.

Observaţie:

Scalarii n ,...,, 21 se numesc coordonatele vectorului v în baza B.

BIBLIOGRAFIE




10. Matei, P., -Algebră lineară, Geometrie analitică şi diferenţială, Editura Agir, Bucureşti, 2000



5

Curs 3

APLICAŢII LINEARE

3.1. APLICAŢII LINEARE - DEFINIŢII

Definiţia 3.1.1. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste acelaşi corp K .

Aplicaţia :A V W se numeşte aplicaţie (transformare) lineară sunt îndeplinite condiţiile: 1) ( ) ( ) ( ), ,A x y A x A y x y V (aditivitate)

2) ( ) ( ), ,A x A x x V K (omogenitate)

sau 3) ( ) ( ) ( ), , , , .A x y A x A y x y V K

3.2. MATRICEA ATAŞATĂ UNEI APLICAŢII LINEARE

Fie ,n mV W două spaţii vectoriale peste corpul K de dimensiuni n şi

respectiv m, şi 1 2{ , ... }nB e e e şi 1 2{ , ... }mB w w w câte o bază în fiecare din

spaţiile date. Atunci, se poate dovedi că există şi este unică o aplicaţie liniară

definită pe nV cu valori în mW dată de relaţia:

1

( ) , 1,m

i ij j

j

A e a w i n

(3.1)

unde ija sunt coordonatele vectorilor ( )iA e în baza B . Matricea 1,

1,

i nij

j m

a

A se

numeşte matricea ataşată aplicaţiei liniare A .

Dacă notăm cu

1( )

( )

( )n

A e

A e

A e

şi

1

m

w

W

w

relaţia (3.1) se va transcrie matriceal astfel:

( ) tA e W A (3.2)

Dacă : n mA V W este o aplicaţie liniară şi nx V care se scrie

1

ni

i

i

x x e

,

6

unde ix sunt coordonatele lui V în baza B , şi dacă my W admite scrierea

1

mj

j

j

y y w

în baza B

atunci avem următoarea corespondenţă:

1

, 1,n

j i

ij

i

y a x j m

. (3.3)

Relaţia (3.3) exprimă legătura dintre coordonatele vectorului x şi imaginea

acestui vector prin aplicaţia A.

Dacă notăm cu

1

m

y

y

y

şi

1

n

x

x

x

, relaţia (3.3) are următoarea transcriere

matriceală:

y x A (3.4)

3.3. MATRICEA ATAŞATĂ UNEI TRANSFORMĂRI LINIARE ÎN BAZE

DIFERITE

Fie : n nA V V un operator linear şi considerăm două baze definite în spaţiul nV :

1 2{ , ... }nB e e e şi 1 2{ , ... }nB e e e . Fie BA şi B

A matricele ataşate acestui operator

în cele 2 baze. Fie de asemenea, relaţia de legătură între cele două baze:

TE C E

unde

1

2

n

e

eE

e

şi

1

2

n

e

eE

e

, C = matricea de trecere dintre cele 2 baze.

În condiţiile prezentate mai sus, are loc următoarea relaţie:

1

BBC C A A

care stabileşte legatura între elementele definite mai sus.

7

3.4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII AI UNUI ENDOMORFISM

Fie V spaţiu vectorial peste K , VK R C şi :A V V un endomorfism (aplicaţie liniară şi injectivă). Definiţia 3.3.1.

Un scalar K se numeşte valoare proprie a endomorfismului A dacă există cel

puţin un vector \ 0vv V a.î. ( ) ( )A v v .

Definiţia 3.3.2.

Orice vector \ 0vv V care satisface relaţia de mai sus se numeşte vector

propriu al endomorfismului A . Definiţia 3.3.3. Mulţimea valorilor proprii ale unui endomorfism A se numeşte spectrul

endomorfismului A .

PARTEA A II-A PROGRAMARE LINEARĂ

Curs 4

PROGRAMARE LINEARĂ

4.1. MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMELOR DE PROGRAMARE LINEARĂ. RESTRICŢII. VARIABILE DE DECIZIE. FUNCŢIE OBIECTIV.

Se consideră m resurse materiale (materii prime, materiale, forţă de

muncă, investiţii de capital) notate prin mRRR ...,,, 21 ce se utilizează pentru a

produce n produse notate prin .,...,, 21 nCCC

Se cunosc cantităţile disponibile de resurse, notate prin mbbb ,...,, 21 ;

beneficiile unitare obţinute prin realizarea produselor, notate prin nccc ,...,, 21 ;

coeficienţii tehnologici, notaţi prin ija , ce reprezintă cantitatea din resursa

miRi ,1, , ce se consumă (utilizează) pentru a se realiza unitatea de produs

.,1, njC j

Scopul acestui proces economic constă în determinarea cantităţii din fiecare produs, ce trebuie produsă pentru a se obţine beneficiul total maxim. În vederea construirii modelului matematic datele problemei se reprezintă în următorul tabel:

8

Obiective

Resurse

nj CCCC .......21

Disponibil

1

.

.

.

.

i

m

R

R

R

11 12 1 1

1 2

1 2

.... ...

. . .... . ... .

. . .... . ... .

.... ...

. . .... . ... .

. . .... . ... .

.... ...

j n

i i ij in

m m mj mn

a a a a

a a a a

a a a a

1

.

.

.

.

i

m

B

B

B

Beneficii nj cccc .......21

Tabel 1.

Fie njx j ,1, cantitatea ce trebuie realizată din produsul njC j ,1, .

Problema de programare lineară (pe care o vom nota prescurtat cu p.p.l.)

optimizează (maximizează sau minimizează) o funcţională lineară, numită “funcţie obiectiv” şi o mulţime de egalităţi şi/sau inegalităţi lineare numite “restricţii”.

Definiţia 4.1.1. În general p.p.l. este definită astfel:

njx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcfsauf

j

mnmnmm

nn

nn

nn

,1,0

),,(...

.....................................................

),,(...

),,(...

...)max()min(

2211

22222121

11212111

2211

(4.1)

unde njmiabc ijij ,1,,1,,, , sunt constante care se determină din datele

problemei iar jx sunt variabilele de decizie.

Pentru fiecare restricţie este valabilă doar una din inegalităţile: ,, .

Restrâns, problema se poate scrie astfel:

njx

mibxa

xcfopt

j

i

n

j

jij

n

j

jj

,1,0

,1,),,(

)(

1

1

(4.2)

9

unde - prima relaţie opt(f) reprezintă max(f) sau min(f); - a doua relaţie reprezintă sistemul de restricţii; - a treia relaţie reprezintă condiţiile de nenegativitate (pozitivitate)

impuse variabilelor modelului matematic.

4.2. FORMA CANONICĂ ŞI FORMA STANDARD A UNEI P.P.L.

Următorul pas după formularea problemei constă în determinarea metodei pentru obţinerea soluţiei. P.p.l. poate fi prezentată într-o multitudine de forme

(max sau min pentru funcţia obiectiv, ,, pentru restricţii). În consecinţă, este

necesar să vedem cum aceste forme diferite pot fi modificate pentru a-i determina soluţia. Astfel, există două forme pentru p.p.l.: forma canonică şi forma standard.

Soluţia unei p.p.l.

Definiţia 4.2.1.

Oricare ar fi forma p.p.l. numim soluţie admisibilă (posibilă) a p.p.l. orice X care satisface restricţiile sistemului şi condiţiile nenegative.

Vom nota cu :

0,, XbXIAXP m

mnR mulţimea soluţiilor admisibile (posibile).

Definiţia 4.2.2.

Se numeşte soluţie optimă, soluţia admisibilă care optimizează (minimizează sau maximizează) funcţia obiectiv.

Vom nota cu :

)( foptXcPXO T soluţia optimă (mulţimea soluţiilor optime), dacă

există.

BIBLIOGRAFIE

1. Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti;

Bucureşti, Editura CISON, 2000 2. Cenuşă, Gh. şi colectiv - Matematici pentru economişti. Culegere

de probleme; Bucureşti, Editura CISON, 2001 3. Fătu, I., Dinescu, C. - Matematici pentru economişti; Bucureşti,

Editura Didactică şi Pedagogică, 1995 4. Popescu, O. şi colectiv - Matematici aplicate în economie;

Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1993 5. Teodorescu, S., -Matematici economice, Editura Bren, 2005

10

Curs 5 și 6

METODA SIMPLEX

5.1. METODA SIMPLEX - PREZENTARE Problemele de programare lineară al căror model matematic au mai mult

de trei necunoscute nu se pot rezolva cu metoda grafică. Astfel de probleme se rezolvă cu algoritmul simplex primal, creat de D.G. Dantzig (1947).

Este o tehnică iterativă care pleacă de la o soluţie admisibilă şi prin calcule algebrice această soluţie se îmbunătăţeşte succesiv, în mai mulţi paşi. Metoda simplex investighează toate soluţiile de bază posibile. Astfel, există două condiţii numite condiţia de admisibilitate şi condiţia de optimalitate, care selectează soluţia optimă. Numărul maxim de iteraţii din rezolvarea unei p.p.l. prin metoda simplex nu poate depăşi numărul soluţiilor de bază. O simplă greşeală de calcul într-o iteraţie oarecare poate duce la un rezultat eronat, deşi studentul respectiv a înţeles corect mecanismul algoritmului.

5.2. ALGORITMUL SIMPLEX PRIMAL

Aplicarea algoritmului simplex primal se poate face dacă sunt îndeplinite următoarele ipoteze:

1I - modelul matematic este la forma standard;

2I - nb 0 ;

3I - printre naaa ...,,, 21 , coloanele matricei A, se află exact m vectori unitari

miii aaa ,...,,21

care formează baza iniţială cu care se începe aplicarea algoritmului

şi care este de fapt baza canonică a lui mR .

Algoritmul conţine patru paşi sau patru reguli care se aplică iterativ: Pas 1. (Testul de optim) Pas 2. (Testul de intrare în bază) Pas 3. (Testul de ieşire din bază) Pas 4. (Determinarea pivotului)

Aplicarea algoritmului simplex primal se face în cadrul tabelului simplex.

BIBLIOGRAFIE






11

Curs 7

PROBLEMA TRANSPORTURILOR (A DISTRIBUIRILOR)

6.1. MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMEI DE TRANSPORT Problemele de transporturi (distribuire) constituie cazuri particulare de

probleme de programare liniară. Enunţul general al unei probleme de transport: un produs care se află

depozitat în m centre furnizoare sau depozite 1 2 mD ,D ,...,D şi în cantităţile

1 2 md ,d ,...,d urmează a fi transportate (distribuite) la n beneficiari sau consumatori

1 2 nB ,B ,...,B al căror necesar este 1 2 nb ,b ,...,b .

Costul unitar de transport de la furnizorul iD lsa consumatorul jB este

ijc ,i 1, , j 1, .m n

Se fac următoarele ipoteze:

1I Se pot face transporturi de la orice furnizor la orice beneficiar;

2I Se pot transporta orice cantităţi din produsul dat;

3I Suma totală a necesarului este mai mică sau egală cu suma totală a

disponibilului;

4I Costul unei cantităţi ce se transportă depinde liniar de costul unitar.

Se pune problema determinării unui plan de transport, astfel încât să fie satisfăcut necesarul fiecărui beneficiar şi care să corespundă cheltuielilor totale minime de transport. Pentru a construi modelul matematic al problemei de transport, datele iniţiale se dispun în următorul tabel:

jB

iD

1B ...........

nB Disponibil

1D 11c

11x

...........

1nc

1nx

1d

...........

mD m1c

m1x

...........

mnc

mnx

md

Necesar

1b

...........

nb

1

m

i

i

d

1

n

j

j

b

12

unde ijx este cantitatea ce se transportă de la iD la jB , i 1, , j 1,m n .

Fie Rm.nij McC matricea costurilor iniţiale, iar Rm.nij MxX

matricea necunoscutelor problemei. Modelul matematic al problemei de transport este:

1 1

1

1

min

, 1,

, 1,

0, 1, , 1,

m n

ij ij

i j

n

ij i

j

m

ij j

i

ij

f x c x

x d i m

x b j n

x i m j n

, (6.1)

cu condiţiile suplimentare:

1 1

0, ,

0,

0,

n m

j i

j i

ij

j

i

b d

c i j

b j

d i

6.2. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMEI DE TRANSPORT Metodele de rezolvare a problemei de transport vizează: Metoda de Nord-

Vest, metoda costului minim pe linie, metoda costului minim pe coloană şi metoda costului minim din matrice.

BIBLIOGRAFIE






13

PARTEA A III-A ANALIZĂ MATEMATICĂ

Curs 8

CALCUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE

7.1. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE

Funcţiile de mai multe variabile sunt întâlnite adesea în modelarea activităţilor economice. Definiţia 7.1.1.

Fie nRI . O funcţie nRIf : se numeşte funcţie reală de n variabile reale.

Valoarea funcţiei f într-un punct Ixxxx n ,...,, 21 se notează cu

),...,,( 21 nxxxf .

Definiţia 7.1.2.

Graficul unei funcţii reale de n variabile, ),...,,( 21 nxxxf , definită pe o mulţime nRI , este format din toate punctele din spaţiul 1nR de forma

)(,,...,, 21 xfxxx n , unde Ixxxx n ,...,, 21 .

Observaţie: Graficul unei funcţii de două variabile ),( yxf definită pe o mulţime I din plan,

2RI , este mulţimea din spaţiul tridimensional,

),(,,,, yxfzIyxzyx .

Acest grafic este o suprafaţă din 3R , având ecuaţia ),( yxfz

şi care se întinde deasupra domeniului I din plan dacă 0),( yxf şi respectiv

dedesubtul domeniului I dacă 0),( yxf .

14

7.2. DERIVATE PARŢIALE ŞI DIFERENŢIALELE FUNCŢIILOR DE MAI MULTE VARIABILE

Regulile de calcul pentru derivatele parţiale ale unei funcţii de două variabile sunt aceleaşi ca la derivarea unei funcţii de o singură variabilă. Trebuie precizată variabila în raport cu care se derivează, cealaltă variabilă comportându-se ca o constantă în raport cu derivarea;

Dacă o funcţie de două variabile admite derivate parţiale de ordinul n,

atunci acestea sunt în număr de 2n derivate parţiale. Regulile de calcul pentru derivatele parţiale ale unei funcţii de trei variabile

sunt asemănătoare cu cele de la derivarea unei funcţii de o două variabile. Trebuie precizată variabila în raport cu care se derivează, celelalte variabile comportându-se ca şi constante în raport cu derivarea;

Dacă o funcţie de trei variabile admite derivate parţiale de ordinul n, atunci

acestea sunt în număr de 3n derivate parţiale.

Dacă RRAf 2: este diferenţiabilă în punctul ),( ba , interior lui A ,

atunci diferenţiala de ordinul I a funcţiei f în punctul ),( ba este funcţia liniară:

)(),(

)(),(

)),();,(( byy

bafax

x

bafbayxdf

iar diferenţiala de ordinul doi este:

))((),(

2)(),(

)(),(

)),();,((2

22

22

2 byaxyx

bafby

y

bafax

x

bafbayxfd

BIBLIOGRAFIE






15

Curs 9

PUNCTELE DE EXTREM ALE FUNCŢIILOR DE MAI MULTE VARIABILE

Noţiunea de extrem al unei funcţii de o variabilă, aşa cum a fost introdusă

în clasa a XI-a , se poate generaliza pentru funcţii de mai multe variabile. Ca şi în cazul unei funcţii de o singură variabilă, o funcţie de mai multe variabile poate avea sau nu puncte de extrem.

Pentru determinarea punctelor de extrem local se parcurg două etape: - Se determina punctele staţionare rezolvând sistemul :

nix

f

i

,1,0

;

- Se aleg punctele de extrem local cu ajutorul matricii hessiene:

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

12

2

1

2

21

2

2

1

2

.........

............................

.........

........

nnn

n

n

x

f

xx

f

xx

f

xx

f

x

f

xx

f

xx

f

xx

f

x

f

H

şi anume: daca determinantii principali sunt toţi strict mai mari ca 0, punctul este de minim, iar dacă semnele alternează incepând cu minus, punctul este de maxim.

Pentru determinarea punctelor de extrem condiţionat ale unei funcţii de două variabile se parcurg trei etape:

- Se construieşte funcţia ajutătoare, numită funcţie Lagrange: ),(),(),,( yxyxfyxF

- Se determina punctele staţionare rezolvând sistemul :

0),(

0),(

0),('

'

yx

yxF

yxF

y

x

- Se aleg punctele de extrem local cu ajutorul matricii hessiene:

),,(),,(

),,(),,(),,(

1

''

1

''

1

''

1

''

12

2

bafbaF

baFbaFbaHF

yyx

xyx

şi anume: daca determinantii principali sunt toţi strict mai mari ca 0, punctul este de minim condiţionat, iar dacă semnele alternează incepând cu minus, punctul este de maxim condiţionat.

16

BIBLIOGRAFIE






PARTEA A IV-A PROBABILITĂŢI ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ

Curs 10

VARIABILE ALEATOARE

Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate. O aplicaţie X : Ω → R se

numeşte variabilă aleatoare (v.a.) dacă pentru orice x R avem: { X () < x}

K. Variabila aleatoare X : Ω → R poate fi: a) discretă, dacă mulţimea valorilor v.a. (adică X (Ω) ) este finită sau numărabilă; b) continuă, dacă mulţimea valorilor v.a. este un interval sau o reuniune finită de intervale din R.

Se numeşte media (valoarea medie) variabilei aleatoare X numărul (dacă există):

Ii

ii pxXM )( , dacă X este o v.a. discretă;

Proprietăţile mediei sunt:

a) M (a) = a; b) M (aX ) = a M (X ); c) M (X +Y ) = M (X ) + M (Y );

d) dacă v.a. X, Y sunt independente, atunci M (X Y ) = M (X ) M (Y ),

Se numeşte dispersia variabilei aleatoare X numărul (dacă există):

22 )()( XMXMXD

Proprietăţile dispersiei sunt:

17

a) D 2(X) 0; b) D 2(X) = M (X 2) - M 2(X); c) D 2(a) = 0;

d) D 2(a X) = a2D 2(X);

e) dacă X, Y sunt v.a. independente, atunci D 2(X + Y) = D 2(X) + D 2(Y) ,

Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate. O aplicaţie (X, Y) : R 2 se numeşte variabilă aleatoare bidimensională (vector aleator) dacă oricare ar fi (x,

y) R 2 avem: { X () < x, Y() < y } K. Se numeşte coeficient de corelaţie al variabilelor aleatoare X şi Y

numărul:

)()(

)()()(

)()(

),cov(),(

YX

YMXMXYM

YX

YXYX

Proprietăţile coeficientului de corelaţiei sunt:

- ρ (X, Y) = 0 dacă şi numai dacă v.a. X şi Y sunt necorelate. - Dacă X, Y sunt v.a. independente, atunci ρ (X, Y) = 0.

BIBLIOGRAFIE






Partea a V-a. MATEMATICI FINANCIARE

Curs 11 și 12

DOBÂNDA SIMPLĂ ŞI DOBÂNDA COMPUSĂ

Dobânda simplă se calculează după formula: tiSD 0 , atunci când

procentul anual nu se modifică şi după formula: nntititiSD ...22110 atunci

când el variază.

18

Dobânda compusă se calculează după formula: 00 1 SiSDn , atunci

când procentul anual nu se modifică şi după formula: 0210 1....11 SiiiSD n

atunci când el variază.

În cazul dobânzii simple, trecerea de la un tip de dobândă la altul se face prin proporţionalitate, folosind formulele:

1 2 1 4 1 12 4 12 2 122 ; 4 ; 12 ; 3 ; 6i i i i i i i i i i etc.

În cazul dobânzii compuse, trecerea de la un tip de dobândă la altul se

face prin echivalenţă, folosind formulele:

1 11 12

12 i i( ) , 1 11 2

2 i i( ) , 1 11 4

4 i i( ) , 1 14 12

3 i i( ) etc.

BIBLIOGRAFIE






Curs 13

PLASAMENTE ÎN CONDIŢII INFLAŢIONISTE

Din punct de vedere al semnificaţiei economice practice a dobânzii, procentul trebuie sa aibă, în componenţa sa, din punctul de vedere al celui care creditează următoarele:

- cheltuieli efectuate de creditor pentru acordarea împrumutului, -profitul pe care creditorul îl are de pe urma împrumutului, -suma care să acopere eventualele pierderi sau riscuri prevăzute sau

neprevăzute, pe durata rambursării împrumutului. Dacă rata anuală a inflaţiei este o funcţie de timp crescătoare atunci se

spune ca are loc o inflaţie crescătoare. Dacă în plus aceasta este foarte mare în raport cu rata anuală a dobânzii reale atunci se spune ca are loc o inflaţie galopantă.

Procentul anual aparent de plasament este procentul care are în componenţa sa, în afara ratei anuale a dobânzii (procentul real), alti coeficienti cum ar fi coeficientul anual de devalorizare a monedei şi/sau coeficientul anual de risc catastrofic.

19

BIBLIOGRAFIE






Curs 14

RAMBURSAREA ÎMPRUMUTURILOR

Definiţia 12.1.

În sens general, se numeşte împrumut o operaţiune financiară prin care un partener P1 plasează o sumă de bani , de care el dispune la un moment dat, pe o perioadă de timp şi în anumite condiţii , unui alt partener P2, de care acesta are nevoie. De regulă P1 se numeşte creditor iar P2 se numeşte debitor. Definiţia 12.2.

Operaţiunea prin care P2 restituie partenerului P1 suma de care a

beneficiat se numeşte rambursare sau amortizare a împrumutului.

Observaţii: Din modul de definire al împrumutului el apare ca o operaţiune financiară

compusă din două componente: creditare şi rambursare. Fiecare componentă reprezintă o operaţiune de plăţi eşalonate.

Clasificarea plăţilor eşalonate poate conduce la o anumită clasificare a împrumuturilor, atât după modul în care se face creditarea cât şi după modul în care se face rambursarea.

În general, cele două operaţiuni nu au loc în acelaşi timp şi ca urmare, valoarea finală corespunzătoare nu este aceeaşi. Ceea ce au în comun este valoarea actuală a rambursării, adică valoarea împrumutată, evaluată la începutul rambursării ei.

In cazul rambursării prin amortismente egale valoarea amortismentelor se

determină dupa formula: .

20

In cazul rambursării prin anuităţi egale valoarile amortismentelor se

determină după formula: 1

0 (1 ), 1,

(1 ) 1

k

k n

V i iQ k n

i

,

In cazul rambursării prin anuităţi egale posticipate, anuităţile se determină

după formula: 0 (1 ), 1,

(1 ) 1

n

k n

V i iS S k n

i

.

In cazul rambursării prin anuităţi egale anticipate, anuităţile se determină

după formula: 0 (1 ), 1,

(1 ) (1 ) 1

n

k n

V i iS S k n

i i

.

BIBLIOGRAFIE






77 sinteza curs matematici aplicate in economie 2592

Documents