4. OPTIC ONDULATORIE 4.1. Teoria cmpului electromagnetic a lui Maxwell 4.1.1. Vectorii cmpului electromagnetic

Cmpul electromagnetic reprezint o form de existen a materiei ntr-un domeniu din spaiu caracterizat de patru vectori: intensitatea cmpului electric, ( )tzyxE ,,,r , (unde

zyx ,, reprezint coordonatele carteziene, iar t este timpul), inducia electric, ( )tzyxD ,,,r , intensitatea cmpului magnetic, ( )tzyxH ,,,r i inducia magnetic, ( )tzyxB ,,,r . Acesta este format, ca ansamblu indisolubil, din cmpul electric i cmpul

magnetic, poate exista att n interiorul corpurilor ct i n vid i poate fi generat att de corpurile care se gsesc n anumite stri sau poate avea o existen independent. Vectorii prezentai mai sus sunt continui n funcie de coordonatele carteziene i de timp n orice punct al spaiului, iar derivatele acestora sunt de asemenea continue. Relaiile matematice pe care le satisfac aceti vectori nu pot fi deduse, aceste trebuind s fie obinute din experien. Vectorii ( )tzyxE ,,,r i ( )tzyxB ,,,r sunt considerai vectori de cmp fundamnetali, iar vectorii ( )tzyxD ,,,r i ( )tzyxH ,,,r se pot obine din primii, mpreun cu proprietile electrice i magnetice care caracterizeaz mediul n care se manifest cmpul. Relaiile fundamentale dintre vectorii de mai sus sunt reprezentate de ecuaiile Maxwell i de legile de material. 4.1.2. Bazele experimentale ale teoriei cmpului electromagnetic

Din punct de vedere al teoriei macroscopice cmpul electromagnetic este generat de o distribuie de sarcini i de cureni electrici. n electromagnetism sarcina electric este o mrime fundamental la fel ca masa, lungimea i timpul din mecanic. Sarcinile electrice aflate n repaus i (sau) n micare exercit fore asupra altor sarcini electrice aflate n micare i (sau) repaus. Aceste fore se numesc fore electromagnetice, iar cmpurile corespunztoare, cmpuri electromagnetice. Din punct de vedere experimental se demonstreaz c: 1) exist dou tipuri de sarcini electrice, (pozitive i negative), 2) orice sarcin este un multiplu ntreg al sarcinii electrice elementare care are valoarea C 1910602,1 =e i 3) sarcina electric se conserv i este un invariant scalar. Sarcina electricnet, q coninut ntr-un volum V poate fi exprimat funcie de densitatea de sarcin volumic ( )tzyx ,,,= sub forma:

=V

Vq d . (4.1)

Sarcinile electrice aflate n micare genereaz cureni electrici. Intensitatea curentului electric reprezint cantitatea de sarcin net (pozitiv sau negativ) care traverseaz o suprafa n unitatea de timp i este definit de relaia:

tqI

dd= . (4.2)

FIZIC

145

Intensitatea curentului electric poate fi exprimat funcie de densitatea de curent electric, J (care specific n fiecare punct att intensitatea fluxului de sarcini prin suprafaa S ct i direcia micrii acestora) sub forma:

=S

n SuJI drr

. (4.3)

innd seama de teorema Gauss n cazul unei suprafee nchise care determin un volum V , (curentul fiind un flux de sarcini care traverseaz suprafaa) din relaiile (4.1) i (4.3), rezult:

=

Vn Vt

SuJ ddddr

r (4.4)

sau

0=

+

VV

tJ ddivr

. (4.5)

ntruct volumul V este arbitrar relaia

0=+t

Jr

div (4.6)

reprezint ecuaie de continuitate pentru sarcina electric (conservarea sarcinii electrice ntr-un punct al spaiului). Dac .const= , rezult:

0=Jrdiv . (4.7) La baza teoriei cmpului electromagnetic stau nou experiene care au fost sintetizate de ctre James Clark Maxwell n 1873. n continuare sunt prezentate cele nou experiene n ordine logic. Experiena I (legea Coulomb). Din studiul experimental efectuat cu ajutorul unei balane de torsiune Coulomb a stabilit c fora de interaciune dintre dou particule ncrcate electric, F este direct proporional cu produsul sarcinilor electrice, q1, q2 cu care sunt ncrcate corpurile (prima etap) i respectiv invers proporional cu ptratul distanei, r dintre corpuri (etapa a doua). n vid expresia matematic a acestei legi este:

rr

qqrr

rqqF r

rr3

0

212

0

210 44 == (4.8)

unde 0 =8,856 10-12 F/m reprezint permitivitatea absolut a vidului, iar rrr

este un

vector cu modulul egal cu unitatea i se numete versor al direciei r. Legea Coulomb (4.8) este valabil numai pentru corpuri a cror dimensiuni sunt

mici (neglijabile) n raport cu distana dintre acestea. Forele de interacie sunt orientate dup direcia care unete cele dou corpuri, iar sensul acestora depinde de semnul ambelor sarcini. Dac sarcinile particulelor au acelai semn (ambele pozitive sau ambele negative) fora este de respingere (fig. 4. 1 a), iar dac au semne contrare, fora este de atracie (fig. 2. 1 b). n cazul cnd cele dou sarcini se afl ntr-un mediu omogen oarecare, legea Coulomb n SI se scrie sub forma:

rr

qqrr

rqqF r

rr3

212

21

44 == (4.9)

OPTIC ONDULATORIE

146

unde reprezint permitivitatea absolut a mediului. Fcnd raportul ntre modulele forelor date de relaiile (4.8) i (4.9) se obine:

r==

=0

221

20

21

0

4

4

rqq

rqq

FF

, (4.10)

unde r este permitivitatea relativ a mediului, aceasta indicnd de cte ori fora de interaciune dintre dou corpuri ncrcate electric este mai mare n vid dect ntr-un mediul respectiv.

Fig. 4. 1 a), b). Orientarea forelor de interaciune electric. Experiena II (lucrul mecanic al forelor electrice). Lucrul mecanic, L efectuat la deplasarea unei sarcini de prob (mic), q ntre dou puncte 1P i 2P pe un drum finit ( )C n cmpul creat de sarcina Q (fig. 4. 2) este:

= 12 44 rQ

rQqL . (4.11)

Din relaia (4.11) rezult c lucrul mecanic al forelor electrice nu depinde dect de poziiile iniial i final ntre care are loc deplasarea sarcinii de prob i nu depinde de forma drumului.

Fig. 4. 2. Reprezentarea drumului (C) parcurs de sarcina de prob. Dac sarcina de prob se ntoarce n punctul iniial (parcurgnd o curb nchis ) lucrul efectuat de sarcina mpotriva cmpului este recuperat prin ntoarcerea n punctul iniial, iar

FIZIC

147

0=

rF rr

d . (4.12)

innd seama c intensitatea cmpului electric este dat de relaia

qFErr = , (4.13)

rezult: 0=

rE r

rd . (4.14)

Pe baza teoremei Stokes SuErE n

Sdrotd r

rrr =

, (4.15)

se obine 0=Errot . (4.16)

Din relaia (4.16) rezult c n cazul unei sarcini punctiforme fixe cmpul electrostatic este irotaional i poate fi scris sub forma:

VE grad=r , (4.17) unde scalarul V reprezint potenialul electric corespunztor cmpului electric E

r, care

este un cmp potenial. Experiena III (fluxul intensitii cmpului electric printr-o suprafa nchis). Pe baza acestei experiene s-a stabilit c sarcina electric total q coninut ntr-un volum V , nchis de suprafaa poate fi msurat, deci pe baza relaiilor de mai sus:

= Vn

VSuE dd0

1rr. (4.18)

innd seama de teorema Gauss, rezult:

=

Vn VESuE ddivd

rrr, (4.19)

sau

0=Erdiv . (4.20)

Verificarea acestei experiene se face msurnd sarcinile electrice cu un cilindru Faraday i cmpurile cu un corp de prob. Experiena IV (inducia electric). Dac o sarcin electric q este nchis de o suprafa care conine medii diferite, efectul substanelor dielectrice asupra cmpurilor electrostatice poate fi exprimat cu ajutorul relaiei:

EDrr = , (4.21)

unde Dr

este inducia electric. Pe baza celor prezentate mai sus, rezult:

==

Vn VqSuD ddrr

, (4.22)

de unde se obine: =Drdiv . (4.23)

OPTIC ONDULATORIE

148

Experiena V (legea Ohm). Pentru o poriune de circuit cu rezistana R conectat la o tensiune U , Ohm a demonstrat experimental c intensitatea curentului, I verific relaia:

RUI = . (4.24)

innd seama de expresia rezistenei electrice:

Sl

SlR == , (4.25)

(unde l este lungimea conductorului, S este aria seciunii transversale a conductorului, este rezistivitatea materialului, iar este conductivitatea), de relaia (4.3) i de faptul c rEU dd = , legea Ohm mai poate fi scris sub forma:

Ejrr = . (4.26)

Experiena VI (legea Ampre). Studiind experimental interaciunea dintre un conductor cu lungimea l parcurs de curentul cu intensitatea I situat ntr-un cmp magnetic cu inducia magnetic B

r, Ampre a stabilit c fora electromagnetic, F

r exercitat asupra

conductorului este: ( )BuIlF l rrr = . Considernd c vr este viteza fiecrei sarcini care trece prin conductor i innd seama de definiia intensitii curentului, relaia ( )BuIlF l rrr = mai poate fi scris i sub forma:

( )BvqF rrr = . (4.27) Experiena VII (legea Faraday). n anul 1831 Faraday a stabilit o relaie ntre ntre cmpul electric i magnetic:

trEU minem d

dd == rr , (4.28) unde emU este tensiunea electromotoare, iar

SBmrr = (4.29)

este fluxul magnetic. n cazul unui circuit nchis

SuBtt

rEUS

nm

em ddd

ddd

===

rrrr

, (4.30)

Aplicnd teorema Stokes (4.15) relaiei (4.30), rezult:

tBE =rr

rot . (4.31)

Experiena VIII. Utiliznd un fluxmetru pentru a suma inducia magnetic normal pe o suprafa nchis se poate demonstra c suma rezultant este ntotdeauna nul de unde se poate trage concluzia c liniile de flux magnetic nu au nceput i sfrit, formnd curbe nchise. Astfel, din punct de vedere matematic se poate scrie c 0=

SuB nd

rr.

Aplicnd teorema Gauss (4.19) relaiei 0=

SuB ndrr

se obine:

0=Brdiv . (4.32)

FIZIC

149

Relaia (4.32) evideniaz faptul c un cmp magnetostatic este un cmp fr surse (fr divergen) sau solenoidal. Experiena IX. Pe baza acestei experiene s-a stabilit o relaie ntre curent i cmpul de inducie magnetic cruia aceasta i d natere sub forma:

=

Sn SuJrH dd rrrr

, (4.33)

unde

BHrr

=1

(4.34)

reprezint intensitatea cmpului magnetic, iar r= 0 (4.35)

este permeabilitatea magnetic absolut a mediului, H/m70 104= fiind

permeabilitatea absolut a vidului, iar r , permeabilitatea magnetic relativ a mediului. Aplicnd teorema Stokes (4.15) relaiei (4.34), rezult:

JHrr =rot . (4.36)

4.1.3. Ecuaiile Maxwell pentru cmpul electromagnetic

Teoria cmpului electromagnetic se bazeaz pe relaiile care se pot stabili ntre cmpurile surs i Jr , pe de o parte i cmpurile, ( )tzyxE ,,,r , ( )tzyxD ,,,r , ( )tzyxH ,,,r i ( )tzyxB ,,,r , pe de alt parte i a fost elaborat pentru prima dat de ctre

J. C. Maxwell. Maxwell a fcut urmtoarele ipoteze: a) inducia electric, Dr

are divergena proporional cu densitatea de sarcin i n regim dinamic pe baza generalizrii rezultatelor experienei IV, b) inducia magnetic, B

r are divergena nul i n regim

dinamic pe baza generalizrii rezultatelor experienei VIII, c) prin analogie cu legea induciei electromagnetice unde variaia n timp a fluxului magnetic genereaz tensiunea electromotoare indus, se consider c n cazul dinamic general i variaia induciei electrice D

r genereaz un curent electric pe baza generalizrii rezultatelor experienei IX.

4.1.4. Forma integral a ecuaiilor Maxwell Legea induciei electromagnetice (legea Faraday). Pe baza experienei II prima ecuaie Maxwell poate fi scris sub form integral:

SuBt

rES

ndddd

=

rrrr

. (4.37)

Pe baza acestei legi tensiunea electromotoare instantanee de-a lungul oricrei curbe nchise este egal cu viteza instantanee a fluxului magnetic care strbate orice suprafa deschis S , limitat de curba , cu condiia ca n decursul timpului conturul s rmn acelai i suprafaa S s fie simplu conex. Legea circuitului magnetic sau legea curentului total (legea Ampre). innd seama de experiena IX i de prima ecuaie Maxwell, rezult:

OPTIC ONDULATORIE

150

+= S S

nn SuDtSuJrH d

dddd r

rrrrr. (4.38)

Pe baza ecuaiei (4.38) tensiunea magnetomotoare instantanee de-a lungul oricrei curbe nchise este egal cu suma dintre intensitile instantanee ale curenilor de conducie i de deplasare (hertzian) care trec prin orice suprafa S , limitat de curba , cu condiia ca n decursul timpului conturul s rmn acelai i suprafaa S s fie simplu conex. Legea fluxului inducie magnetice (legea Gauss pentru cmpul magnetic). Generaliznd rezultatul experienei VII i n cazul dinamic se poate scrie a treia ecuaie Maxwell sub forma:

0=

SuB ndrr

. (4.39)

Din relaia (4.39), rezult c fluxul magnetic instantaneu care trece prin orice suprafa nchis este nul. Legea fluxului inducie electrice (legea Gauss pentru cmpul electric). Considernd c experienele III i IV sunt valabile i n cazul dinamic se poate scrie c:

=

Vn VSuD ddrr

. (4.40)

Pe baza relaiei (4.40), rezult c fluxul induciei electrice instantaneu care trece prin orice suprafa nchis este egal cu sarcina electric total aflat n interiorul suprafeei . Dac sarcina electric 0>q , fluxul lui Dr este spre exteriorul suprafeei , iar dac 0

FIZIC

151

tDJH +=rrr

rot , (4.44)

0div =Br , (4.45) =Drdiv . (4.46)

Pentru scrierea ecuaiilor cmpului electromagnetic sub form diferenial, este necesar ca vectorii de cmp s fie funcii de poziie i timp, cu o singur valoare, mrginite, continue i cu derivate continue. n general, vectorii cmpului electromagnetic au aceste proprieti n tot spaiul, cu excepia punctelor n care exist schimbri brusce n distribuiile de curent i/sau de sarcin. Relaiile ntre discontinuitile vectorilor de cmp i variaiile abrupte n distribuia curenilor i/sau sarcinilor sunt cunoscute ca fiind condiii la limit. Discontinuitile vectorilor de cmp apar la interfaa dintre medii cu proprieti fizice diferite. n cazul unei anumite probleme de electromagnetism, soluia se obine utiliznd legile sub forma diferenial i conduce la rezolvarea de sisteme de ecuaii difereniale. Soluia general a fiecrei ecuaii difereniale conine termeni (constante sau funcii) care pot fi evaluai numai din cunoaterea comportrii variabilelor la condiiile la limit spaiale i/sau la condiiile iniiale. Teorema de conservare a sarcinii electrice. n ecuaiile Maxwell teorema de conservare a sarcinii electrice este coninut n mod implicit, aceasta rezultnd n urma aplicrii divergenei ecuaiei (4.44) sub forma:

tDJH +=rrr

divdivrotdiv (4.47)

sau

( )Dt

Jrr

divdiv0 += . (4.48)

innd seama de ecuaia (4.46), relaia (4.48) devine:

0div =+t

Jr

, (4.49)

aceasta evideniind faptul c sarcina electrica i curentul electric nu pot fi specificate independent unul de cellalt i exprim matematic conservarea sarcinii electrice n vecintatea unui punct. n urma integrrii ecuaiei (4.49) pe un volum V , nchis de o suprafa neted , rezult:

=

VV

Vt

VJ ddr

, (4.50)

sau

Vt

SuJV

n =

d

dddr

r. (4.51)

Forma integral a ecuaiei de continuitate se obine innd seama de definiia densitii de sarcin volumic (4.1) i de relaia (4.51):

t

SuJ n ddd =

rr, (4.52)

Considernd legea conservrii sarcinii exprimat prin (4.51), atunci din relaiile (4.43) i (4.44) se obin ecuaiile (4.45) i (4.46). Astfel, aplicnd divergena ecuaiei (4.43), rezult:

OPTIC ONDULATORIE

152

0divrotdiv == Bt

Err

, (4.53)

sau 0== const.Brdiv (4.54)

ntruct cmpul magnetic de inducie Br

nu a fost niciodat nenul n trecut. Aplicnd divergena ecuaiei (4.44) i integrnd, rezult:

const.D =rdiv (4.55) Considernd ca i n cazul precedent, c n trecut, cmpul electric de inducie B

r a

fost sau va fi nul la un moment oarecare, se obine ecuaia (4.46). Pe baza celor prezentate mai sus ca legi generale ale cmpului electromagnetic pot

fi considerate fie ecuaiile (4.37)-(4.40) fie ecuaiile (4.43),(4.44) i (4.49). 4.1.6. Definiia vectorilor fundamentali ai cmpului electromagnetic E

r i B

r.

Cuplajul dintre cmpul electromagnetic i lumea mecanic poate fi caracterizat de

legea forei Lorentz care se obine din prima exprerien i experiena a asea, presupunnd c asupra unei sarcini n micare se exercit n acelai timp o for electric i o for magnetic, adic:

BulIEqFFF lmerrrrrr +=+= . (4.56)

ntruct intensitatea curentului electric I se datorete sarcinii electrice q care este n micare n direcia lu

r cu viteza vr , se poate scrie:

vqulI lrr = , (4.57)

iar legea forei Lorentz are expresia: ( )BvEqF rrrr += . (4.58) Considernd c sarcina este distribuit ntr-un volum cu o densitate macroscopic

continu Er

, poate fi definit prin fora mecanic care acioneaz asupra unei sarcini, adic:

=V

e VEF drr

, (4.59)

aceast for fiind distribuit cu densitatea volumic: Efe

rr = . (4.60) De asemenea, fora magnetic, mF

r, se poate scrie sub forma:

( ) =V

m VBJF drrr

, (4.61)

aceast for fiind distribuit cu densitatea volumic: BJfm

rrr = . (4.62) Pe baza relaiilor (4.60) i (4.62), forma diferenial a legii forei Lorentz este:

BJEfff merrrrrr +=+= . (4.63)

innd seama de relaiile (4.1) i (4.58) forma diferenial a legii Lorentz se poate exprima i prin relaia:

( )BvEf rrrr += . (4.64)

FIZIC

153

Pe baza celor prezentate mai sus rezult c definiia arbitrar a vectorilor Er

i Br

prin relaiile (4.59) i (4.61) este inevital ntruct dac forele mutuale care se exercit ntre sarcini sau ntre cureni sunt msurabile, vectorii cmpului nu sunt accesibili observaiei directe.

4.1.7. Legile de material n spaiul vid. n spaiul vid, D

r nu difer de E

r, respectiv H

r de B

r, dect printr-un factor

constant, deci se poate scrie c: ED

rr0= , (4.65)

respectiv,

BHrr

0

1= , (4.66)

valorile i dimensiunile constantelor 0 i 0 depinznd de sistemul de uniti adoptat. Considernd c E

r i B

r sunt vectorii principali ai cmpului electromagnetic,

ecuaiile Maxwell (4.43)-(4.46) n spaiul vid se scriu sub forma:

0rot =+

tBErr

, (4.67)

JtEB

rrr000rot =

, (4.68) 0div =Br , (4.69)

= 01div E

r. (4.70)

n substan. Starea electromagnetic a unui eantion de substan (un corp n cmpul electromagnetic) poate fi descri cu vectorii polarizaie electric, P

r i magnetizaie, M

r,

definii prin ecuaiile: EDP

rrr0= (4.71)

i respectiv

HBMrrr = 0

1. (4.72)

Pe baza celor prezentate mai sus se observ c definindu-i n acest mod, vectorii Pr

i M

r sunt legai de substan i se anuleaz n spaiul liber, conform relaiilor (4.65) i

(4.66). Exprimnd vectorii Dr

i Hr

funcie de Er

i Pr

, respectiv Br

i Mr

, ecuaiile Maxwell (4.43)-(4.46), n substan, devin:

0rot =+

tBErr

, (4.73)

+

+= M

tPJ

tEB

rrrrrrotrot 000 , (4.74)

0div =Br , (4.75)

OPTIC ONDULATORIE

154

( )PE rr div1div0

= . (4.76) Pe baza ecuaiilor (4.73)-(4.76) rezult c prezena substanei ntr-un cmp

electromagnetic este echivalent cu o distribuie de sarcini electrice avnd densitatea

Pr

div , plus o distribuie de cureni electrici avnd densitatea MtP rr

rot+

. Dac se

cunosc vectorii Pr

i Mr

, se poate studia structura cmpului electromagnetic n prezena substanei. Vectorii P

r i M

r, respectiv J

r, sunt exprimai prin legile de material: legea

polarizaiei electrice, legea magnetizaiei i legea conduciei electrice. Legea polarizaiei electrice. Din teoria macroscopic rezult c se pot distinge dou tipuri de polarizaie electric: polarizaie electric permanent, cnd un dielectric este polarizat intrinsec, indiferent de plasarea sa n cmp electric i polarizaie electric temporar, cnd dielectricul este polarizat sub efectul cmpului electric. Polarizaia electric permanent este condiionat de cauze neelectrice, este msurabil direct i n cazul cmpului n dielectrici, intervine ca o constant cunoscut a materialului n condiiile date. Polarizaia electric temporar depinde de intensitatea cmpului electric. Pentru rezolvarea problemelor de cmp n dielectrici, este necesar cunoaterea explicit a acestei dependene.

Legea polarizaiei electrice temporare stabilete relaia de dependen dintre polarizaia electric temporar i intensitatea cmpului electric:

( )EPP tt rr = (4.77) Pe baza relaiei (4.77) se poate face o clasificare a dielectricilor.

a) Medii dielectrice liniare. Experimental, se poate arata c n cazul mediilor dielectrice (medii care nu sunt parcurse de curent continuu), ntre polarizaia electric temporar i intensitatea cmpului electric exist o relaie de proporionalitate:

( ) EEPP ett rrr == 0 , (4.78) unde e este susceptivitatea electric. b) Medii dielectrice liniare i izotrope. n cazul mediilor dielectrice liniare i izotrope, susceptivitatea electric este un scalar adimensional, caracteristic materialului considerat. Vectorul polarizaie electric P

r este:

pt PPPrrr += , (4.79)

unde pPr

este polarizaia electric permanent. Din relaiile (4.71) i (4.78), rezult:

( ) prpe PEPEPED rrrrrrr +=++=+= 000 1 , (4.80) unde r este permitivatea relativ a materialului considerat. innd seama c

er += 1 , (4.81) se poate defini permitivitatea absolut a dielectricului

r= 0 , (4.82) iar relaia (4.80) devine:

pPEDrrr += . (4.83)

94

CAPITOLUL 2

Unde electromagnetice

2.1 Unde electromagnetice plane

n prima parte a Cursului de Fizica au fost prezentate unele propri-etati gene-rale ale undelor, care nu depind de tipul de unda; cele maimulte s-au referit la undele mecanice care au ca origine o perturbatie lo-cala ntr-un mediu material si care se propaga n virtutea proprietatilorelastice ale mediului sau, n cazul undelor de pe suprafata unui lichid, aproprietatilor mecanice tipice ale mediului.Existenta undelor electromagnetice a fost deja mentionata, la fel ca

si unele proprietati caracteristice acestora: proprietatea de a se propagan vid, caracterul transversal n anumite conditii precum si faptul casunt produse de sarcini electrice n miscare cu acceleratie foarte mare;de asemenea, undele electromagnetice pot puse n evidenta la distantamare de sursa, de exemplu analiznd interactia cmpului electric si alcmpului magnetic ce compun undele, cu sarcini electrice libere prezententr-un conductor.n cele ce urmeaza, ncercam sa demostram modul n care n ecuatiile

Maxwell sunt continute fenomene ondulatorii si sa denim undele elec-tromagnetice n cazul cel mai simplu, acela al undei plane.Consideram un mediu innit si omogen, de permitivitate dielectrica "

si permeabilitate magnetica , n care nu se aa sarcini libere sau curentide conductie, adica = 0 si

!j =0: n aceste ipoteze, ecuatiile Maxwell

au forma:

r !!E=0 (a) r !B=0 (b)

r!E= @!B

@t(c) r!B="@

!E

@t(d)

(2.1)

n loc de a cauta solutia generala, ne vom limita la cautarea unei solutiiparticulare n care cmpul electric

!E si cmpul magnetic

!B depind, ntr-

un sistem de referita cartezian, numai de timp si de coordonata x, avnd

95

aceeasi valoare n punctele continute ntr-un plan perpendicular pe axax (solutia unda plana).Tinnd cont ca n ipoteza facuta mai sus toate derivatele partiale n

raport cu y si z sunt nule, din (2.1) obtinem:

r !E=@Ex@x

+@Ey@y

+@Ez@z

= 0;@Ex@x

= 0

r !B=@Bx@x

+@By@y

+@Bz@z

= 0;@Bx@x

= 0

(r!E )x=@Ez@y

@Ey@z

= @Bx@t;@Bx@t

= 0

(r!E )y=@Ex@z

@Ez@x

= @By@t;@By@t

=@Ez@x

(r!E )z=@Ey@x

@Ex@y

= @Bz@t;@Bz@t

= @Ey@x

(r!B )x=@Bz@y

@By@z

= "@Ex@t;@Ex@t

= 0

(r!B )y=@Bx@z

@Bz@x

= "@Ey@t;@Ey@t

= 1"

@Bz@x

(r!B )z=@By@x

@Bx@y

= "@Ez@t;@Ez@t

=1

"

@By@x

:

Relatiile @Ex=@x = 0 si @Ex=@t = 0 conduc la concluzia ca componentaEx(x; t) a cmpului electric este constanta. Un astfel de cmp poate produs de o distributie statica de sarcini. Deoarece analizam cmpurilevariabile n timp, vom exclude existenta unor surse de acest fel si, deci,Ex(x; t) = 0. Similar, din relatiile @Bx=@x = 0 si @Bx=@t = 0; excluzndcurentii stationari, rezulta ca Bx(x; t) = 0.Acesta este un prim rezultat foarte important: daca demonstram ca

celelalte componente verica ecuatia undelor n z si y, aceste unde sunttransversale. Pentru demostratie folosim relatiile urmatoare:

@Ez@x

=@By@t

(a)@Ey@x

= @Bz@t

(c)@Ez@t

=1

"

@By@x

(b)@Ey@t

= 1"

@Bz@x

(d)(2.2)

Aceste relatii stabilesc o legatura ntre Ey si Bz si ntre Ez si By, adicantre componente perpendiculare. Derivam (2.2a) n raport cu x si (2.2b)n raport cu t si obtinem:

@2Ez@x2

=@2By@x@t

;@2Ez@t2

=1

"

@2By@t@x

:

96

Cele doua derivate mixte ale lui By sunt egale si rezulta egalitatea

@2Ez@x2

= "@2Ez@t2

:

Similar, daca derivam (2.2a) n raport cu t si (2.2b) n raport cu x seobtine relatia

@2By@x2

= "@2By@t2

:

Din ecuatiile (2.2c) si (2.2d) rezulta egalitatile

@2Ey@x2

= "@2Ey@t2

;@2Bz@x2

= "@2Bz@t2

:

Asadar, oricare dintre componentele cmpului electric!E sau ale cmpu-

lui!B verica ecuatia diferentiala a undelor plane

@2

@x2=1

v2@2

@2t= "

@2

@t2; ( = Ey, Ez, By, Bz) (2.3)

Cmpurile!E si

!B se propaga de-a lungul axei x sub forma unei unde

plane avnd viteza

v =1p"=

1p"00

1p"rr

=cp"rr

; (2.4)

undec =

1p"00

= 2:99792458 108m=s (2.5)

este viteza perturbatiei electromagnetice n vid ("r = 1).Deci, ecuatiile Maxwell contin ca solutii particulare, cmpuri elec-

trice si magnetice care se propaga avnd caracteristicile undelor planetransversale. Viteza de propagare are o valoare bine denita n vid iarntr-un dielectric aceasta depinde de caracteristicile electrice si magnet-ice ale mediului, avnd ntotdeauna o valoare mai mica dect n vid.Deoarece c coincide cu valoarea masurata a vitezei luminii n vid, Maxwella emis ipoteza ca lumina este ea nsasi o unda compusa dintr-un cmpelectric si dintr-un cmp magnetic.Sa deducem acum relatiile care exista ntre

!E si

!B n orice punct si

la orice moment de timp. Ne reamintim faptul ca, n ipoteza propagariiperturbatiei n sensul pozitiv al axei x, solutiile ecuatiilor (2.3) sunt detipul

Ey = Ey(x vt), Ez = Ez(x vt), By = By(x vt), Bz = Bz(x vt),

97

sau, sub forma vectoriala

!E = Ey(xvt)!u y+ Ez(xvt)!u z, !B = By(xvt)!u y+Bz(xvt)!u z:u = x vt este argumentul functiilor de mai sus, iar @u=@x = 1 si@u=@t = v; din (2.2a) rezulta

@By@t

=@Ez@x

=@Ez@u

@u

@x=@Ez@u

;

By =

Z@By@t

dt =

Z@Ez@u

dt = 1v

Z@Ez@u

du = Ezv+ const:

Alegem constanta egala cu zero si obtinem

By(x vt) = 1vEz(x vt):

Procedam analog pornind de la (2.2c) si rezulta

Bz(x vt) = 1vEy(x vt):

Componentele cmpului!B depind, asadar, de componentele cmpului!

E iar cei doi vectori se pot scrie sub forma

!E = Ey(x vt)!u y + Ez(x vt)!u z,

v!B = Ez(x vt)!u y + Ey(x vt)!u z,

(2.6)

din care se pot deduce toate relatiile dintre!E si

!B n unda electro-

magnetica plana:Din cea de-a doua relatie (2.6) se obtine legatura dintre modulele

cmpurilor, valabila n orice punct si la orice moment de timp:

B2 = B2y +B2z =

1

v2(E2y + E

2z ) =

E2

v2

) B = Ev; E = vB,

E

B= v:

(2.7)

Din produsul scalar se obtine

!E !B = EyBy + EzBz = 1

v(EyEz + EzEy) = 0

) !E !B = 0 :(2.8)

98

cei doi vectori sunt ntotdeauna perpendiculari ntre ei.Produsul vectorial are valoarea

!E!B =

!u x !u y !u z0 Ey Ez

0 Ezv

Eyv

= 1v (E2y + E2z )!u x) !E!B = E

2

v!u x = vB2!u x = EB!u x;

(2.9)

acesta exprima directia si sensul de propagare a undei, de-a lungul axeix.

Fig.2.1

Sa rezumam proprietatile gasite pentru propagarea undei electromag-netice plane, adica ale unui cmp electric si ale unui cmp magnetic ntr-un mediu omogen si izotrop, fara curenti si sarcini libere (la limita, nvid):a)!E si

!B se propaga cu aceeasi viteza v, care are valoarea c =

1=p"00 = 3 108m=s , n vid;b) modulele cmpurilor sunt legate prin relatia de proportionalitate

B = E=v (n vid, B = E=c);c)!E si

!B sunt perpendiculari ntre ei si pe directia de propagare

(gura 2.1); n acest caz, undele electromagnetice sunt unde transversaleiar pentru acest tip de unde este important conceptul de polarizare;d) produsul vectorial

!E !B deneste directia de propagare a undei,

iar modulul sau este proportional cu produsul modulelor lui!E si

!B .

Toate aceste proprietati ale cmpurilor, chiar daca au fost dedusefolosind un sistem de coordonate carteziene, ramn valabile n orice altsistem de coordonate.

99

Subliniem faptul ca, ntr-un fenomen ca cel al propagarii undelor,cmpurile

!E si

!B nu pot separate: prezenta unuia comporta si prezenta

celuilalt. Aceasta este motivul pentru care nu se vorbeste de o unda decmp electric sau de o unda de cmp magnetic, ci de o unda electromag-netica. n teoria lui Maxwell cele doua cmpuri sunt unicate ntr-unsingur cmp, cmpul electromagnetic.n Fig.2.2 sunt reprezentate cmpurile

!E si

!B pentru unda armonica;

maximele si minimele sunt n acealasi puncte, asa cum reiese din relatia(2.6).

Fig.2.2

n cele mai multe dintre mediile obisnuite, susceptibilitatea magneticaare o astfel de valoare nct jr 1j < 105 si deci, putem considerar = 1; relatia (2.4) devine

n =c

v=p"r (2.10)

si deneste raportul dintre viteza undei electromagnetice n vid si vitezaundei ntr-un mediu n care aceasta se poate propaga, adica transparentla undele electromagnetice. n studiul propagarii luminii, n este numitindice de refractie absolut al mediului; acesta poate masurat indepen-dent de relatia care l leaga de "r.Atunci cnd se poate scrie B = H, relatia (2.7) are forma

E

H= v =

r

"= Z: (2.11)

Marimea Z care are dimensiunile unei impedante, se numeste impedantacaracteristica a mediului. n vid, impedanta caracteristica este

Z0 =

r0"0= 377: (2.12)

100

n medii transparente cu r = 1 exista relatia

Z =Z0p"r=Z0n; (2.13)

care devine utila atunci cnd analizam energia asociata cmpului elec-tromagnetic.nainte de a continua studiul undelor electromagnetice este important

sa ne reamintim ca, n procedeul urmat pna acum, un mediu dielectricomogen a fost tratat ca si vidul, n afara nlocuirii lui "0 si 0 cu " si. n realitate, ar necesar sa se studieze caracteristicile mediului prinintermediul vectorului polarizatie

!P , sa se stabileasca relatiile dintre

!P

si!E si sa se demonstreze existenta solutiei ondulatorii pentru ecuatiile

Maxwell ntr-un mediu material cu viteza undei data de (2.4). Cumn majoritatea cazurilor de interes conditia este satisfacuta, n cele ceurmeaza vom considera ca general valabile relatiile (2.4) si (2.10)

2.2 Polarizarea undelor electromagnetice plane

Sursele electromagnetice de interes emit pachete de unde armonicede durata nita. Daca durata t a pachetului este astfel nct banda defrecvente = 1=t este foarte mica fata de frecventa medie , putemtrata pachetul de unde ca o unda armonica de lungime de unda si defrecventa .Pentru o unda electromagnetica plana, asa cum este cea descrisa n

paragraful 2.1, se poate deni fenomenul de polarizare; n acest scop estesucient sa specicam comportamentul cmpului electric

!E din moment

ce cmpul magnetic!B este ntotdeauna perpendicular pe

!E : Vom de-

scrie, asadar, o unda armonica plana prin intermediul ecuatiilor:

Ey(x; t) = E0y sin(kx !t) , Ez(x; t) = E0z sin(kx !t+ ) (2.14)Sunt valabile si relatiile deja cunoscute

! = kv = 2, = v, k =2

(2.15)

A. Polarizarea liniara, = 0; = (Fig.2.3)Componentele cmpului electric au expresiile

Ey = E0y sin(kx !t) , Ez = E0z sin(kx !t) (2.16)

101

iar raportul lor este constant

EzEy

= E0zE0y

= tg

Fig.2.3

Cmpul electric!E se aa ntotdeauna n planul de polarizare care

trece prin axa x si face unghiul cu planul xy. n acest plan cmpuloscileaza cu amplitudinea

E0 =qE20y + E

20z ) E0y = E0 cos ; E0z = E0 sin : (2.17)

B. Polarizarea eliptica, = =2, = 3=2 (Fig.2.4)

Componentele cmpului electric sunt

Ey = E0y sin(kx !t), Ez = E0z cos(kx !t); (2.18)

modulul cmpului este E =pE2y + E

2z si variaza ntre valorile E0y si E0z.

Directia lui!E se schimba de-a lungul axei x si descrie un cerc complet

pe distanta . n timp, n planul zy, vrful lui!E descrie o elipsa de

semiaxe E0y; E0z. Daca este constant dar are o valoare oarecare, elipsaare axele nclinate fata de axele de coordonate.

102

Fig.2.4

C. Polarizarea circulara (Fig.2.5)Componentele cmpului electric au expresiile

Ey = E0 sin(kx !t), Ez = E0 cos(kx !t): (2.19)Cmpul electric are amplitudinea constanta E0; variatia lui n functie dex si t este similara celei descrisa pentru polarizarea eliptica, cu elipsa cedegenereaza ntr-un cerc.

Fig.2.5

D. Unda electromagnetica plana nepolarizataDaca diferenta de faza variaza n mod ntmplator, nu se poate

stabili o lege de variatie pentru!E : starea de polarizare, chiar daca se

poate deni n orice moment de timp si n orice pozitie, nu mai existaatunci cnd se efectueaza media n timp. Deoarece, n general, masurareastarii de polarizare a undei ntr-o anumita pozitie, se face ntr-un intervalde timp care este mult mai mare dect timpul n care au loc variatiile lui; rezultatul este ca unda apare nepolarizata.

103

Fig.2.6

Undele electromagnetice nepolarizate sunt cele ce constituie radiatiasolara sau lumina emisa de o sursa normala cu incandescenta. n acestecazuri, directia lui

!E este legata de mecanismele de emisie ale undelor.

n concluzie, putem spune ca polarizarea undelor electromagneticeeste creata prin suprapunerea a doua unde coerente care se propaga ndoua plane ortogonale, daca prin coerente ntelegem doua unde pentrucare diferenta de faza ramne constanta n timp.

2.3 Energia undei electromagnetice plane. VectorulPoynting.

Prezenta unui cmp electric!E si a unui cmp magnetic

!B ntr-o

regiune din spatiu presupune si prezenta unei anumite energii distribuiten spatiu cu densitatea u.ntr-un mediu omogen, densitatile de energie ale cmpului electric,

respectiv cmpului magnetic sunt date de expresiile

ue =1

2"E2 , um =

B2

2;

iar densitatea de energie electromagnetica este

u =1

2"E2 +

B2

2:

Pentru unda electromagnetica plana, tinnd cont de relatiile (2.7) si (2.4),rezulta ca

um =B2

2=

E2

2v2=1

2"E2 = ue;

adicau = 2ue = "E

2: (2.20)

104

Energia electromagnetica este, asadar, datorita pe jumatate cmpuluielectric si pe jumatate cmpului magnetic. Rezultatul este valabil, ngeneral, si pentru unde care nu sunt plane.Sa consideram un element de suprafata d a carui normala!n formeaza

unghiul cu directia de propagare a undei denita de !v sau de vectorul!k :

Fig.2.7

n timpul dt prin d trece toata energia continuta n volumul prismeielementare de baza d si de naltime vdt; adica

dU = ud = udcos vdt = "E2v cos ddt;

unde d reprezinta elementul de volum.Puterea prin suprafata d este

dP =dU

dt= "E2v cos d:

Aceasta relatie permite denirea vectorului

!S = "E2!v ; (2.21)

care are proprietatea ca, uxul sau prin suprafata d exprima putereainstantanee prin aceasta suprafata

dP =!S !u nd = "E2v cosd = "E2vd0 = Sd0;

unde d0 este suprafata innitezimala ortogonala pe!v ; egala cu dcos:

Folosind relatia (2:9) ; se poate rescrie denitia (2.21) sub forma

!S =

1

!E!B ; (2.22)

si, deci

dP =1

!E!B

!u nd:

105

Prin integrarea pe o suprafata nita ; puterea instantanee prin aceastasuprafata este data de uxul lui

!S

P =

Z

!S !u nd =

Z

1

!E!B

!u nd: (2.23)

Vectorul!S denit n acest mod se numeste vector Poynting. Directia

si sensul lui coincid cu acelea ale vitezei de propagare, iar modulul saureprezinta energia electromagnetica care, n unitatea de timp, traverseazaunitatea de suprafata perpendiculara pe directia de propagare. S semasoara n aceleasi unitati ca si intensitatea undei, adica W=m2:Sa aplicam aceste rezultate, valabile pentru orice unda electromagnet-

ica plana, undei plane armonice, polarizate liniar, reprezentata n planulde polarizare de

E = E0 sin (kx !t) :Modulul vectorului Poynting este

S = "E2v = "vE20 sin2 (kx !t) :

n practica, xnd o suprafata ortogonala pe x; este important sa cal-culam nu att uxul instantaneu de energie, ct uxul mediu. Motivul lconstituie faptul ca pulsatia undelor electromagnetice are, n general, ovaloare foarte mare (pentru radiatia luminoasa vizibila ! ' 1015 rad=s)si instrumentele de masura nu pot determina dect valoarea medie aenergiei, neind sensibile la variatii att de rapide.Valoarea medie a vectorului Poynting este

Sm = "vE2m= "v

1

t

tZ0

E20 sin2 (kx !t) dt = 1

2"vE20 ;

unde timpul t corespunde unui numar mare de perioade ale undei; rezul-tatul nu depinde de valoarea unei eventuale faze initiale 0 care se adaugavalorii kx !t:Asadar, intensitatea undei electromagnetice plane armonice polar-

izate liniar este

I = Sm = "vE2m=1

2"vE20 = "vE

2ef : (2.24)

Deoarece cmpul electric al undei plane polarizate poate privit, conformrelatiei (2:14) ; ca o suma vectoriala de doua cmpuri defazate, ortogonale

106

ntre ele si pe directia de propagare, putem aplica (2:24) ecareia dintrecomponente

Iy =1

2"vE20y , Iz =

1

2"vE20z:

Intensitatea totala, egala cu suma intensitatilor ecarei componente,

I = Iy + Iz =1

2"vE20y + E

20z

; (2.25)

nu depinde de defazajul dintre componente si, deci, de starea de po-larizare (liniara, eliptica sau circulara).Daca unda nu este polarizata, n medie, componentele Ey si Ez sunt

egale ntre ele; relatia (2:25) ramne valabila numai daca se consideravalorile medii ale patratelor amplitudinilor cmpului.Din (2:11) ; (2:10), (2:4) obtinem

"v = "1p"=

r"

=1

Z=

n

Z0;

iar relatia (2:24) se poate scrie sub forma

I =1

2

n

Z0E20 =

n

Z0E2ef (2.26)

si reprezinta intensitatea undei plane polarizata liniar.

2.4 Unde electromagnetice plane, sferice si cilindrice.

Asa cum s-a vazut, o unda electromagnetica plana armonica ce sepropaga ntr-o directie oarecare se poate scrie sub forma

E = E0 sin!k !r !t

;

!r este raza vectoare care uneste punctul O cu un punct P de pe frontulde unda,

!k este vectorul de propagare, cu modul k = 2=, iar directia

si sensul coincid cu acelea ale propagarii undei (Fig.2.8).

107

Fig.2.8

ntr-un sistem de referinta cartezian,

E (x; y; z; t) = E0 sin (kxx+ kyy + kzz !t) ; (2.27)

k =qk2x + k

2y + k

2z =

2

=!

v: (2.28)

ntr-un mediu omogen si izotrop, ecuatiile Maxwell au ca solutii siundele sferice de forma

E =E0rsin (kr !t) ; (2.29)

unde E0 este numeric egal cu amplitudinea cmpului electric pentru r = 1m:Cmpul electric si cmpul magnetic se propaga cu viteza v de-a lungul

razelor vectoare !r care ies din punctul O n care se aa sursa puncti-forma.

108

Fig.2.9

Sa consideram un plan perpendicular pe raza vectoare !r , cmpurile!E si

!B apartin acestui plan (unda este transversala) (Fig.2.9) si la orice

moment de timp sunt valabile relatiile

E = Bv ,!E !B=0 , !E!B=E

2

v!u r:

Vectorul Poynting este ntotdeauna denit de relatia

!S=

1

!E!B ;

iar intensitatea medie are forma

I =1

2"vE20r2=

n

2Z0

E20r2; (2.30)

invers proportionala cu patratul distantei r pna la sursa.O sursa liniara, lunga si subtire, poate genera o unda cilindrica pentru

care sunt valabile relatiile

E =E0prsin (kr !t) ; I = 1

2"vE20r=

n

2Z0

E20r; (2.31)

cu E0 amplitudinea cmpului electric pentru r = 1 m iar r distanta pnala axa pe care se aa sursa.Subliniem faptul ca directiile de-a lungul carora se propaga undele

sunt raze ortogonale n ecare punct al frontului de unda.

Aplicatii

P.2.1. O unda electromagnetica plana de frecventa = 7:5 1014 Hzse propaga n vid de-a lungul axei x. Cmpul sau electric

!E formeaza

unghiul = 300 cu planul x; y si are amplitudinea E0 = 103 V=m: Scrietiecuatia acestei unde si calculati amplitudinea cmpului magnetic.

Solutie: Parametrii caracteristici undei sunt:

=c

=

3 1087:5 1014 = 0:4 10

6 m; k =2

= 1:57 107 rad=m

! = 2 = 4:71 1015 rad=s

Constanta DascaluText BoxFara problema 2.7

109

Amplitudinea componentelor cmpului electric sunt:

E0y = E0 cos =

p3

2103 V=m

E0z = E0 sin =1

2103 V=m

si, deci,

E0y =

p3

2103 sin(1:57 107x 4:71 1015t) V=m

E0z =1

2103 sin(1:57 107x 4:71 1015t) V=m

Amplitudinile pe componente ale cmpului magnetic sunt:

B0y =E0zc= 1:67 106 T

B0z =E0yc= 2:89 106 T

iar B = 3:34 106 T:P.2.2. O unda electromagnetica plana, polarizata eliptic ce se propaga

n vid de-a lungul axei x, are semiaxele de valori E0y =p3E0 si respectiv

E0z =p2E0; cu E0 = 103 V=m: Frecventa este = 4:3 1014 Hz. Scrieti

ecuatia acestei unde si cmpul magnetic asociat acestei unde.

Solutie: Parametrii undei sunt:

= 0:7 106 m ; k = 0:9 107 rad=m ; ! = 2:7 1015 rad=sEy =

p3E0 sin(kx !t) = 1:73 103 sin(0:9 107x 2:7 1015t) V=m

Ez = p2E0 cos(kx !t) = 1:41 103 cos(0:9 107x 2:7 1015t) V=m

Ecuatia elipsei esteEy

1:75 1032+

Ez

1:41 1032= 1

Cmpul magnetic asociat undei este:

By = p2E0c

cos(kx !t) = 4:71 106 cos(kx !t) T

Bz =

p3E0c

sin(kx !t) = 5:77 106 sin(kx !t) T

110

P.2.3. O unda luminoasa plana, armonica, se propaga de-a lungulaxei x; cu E = E0 cos(kx !t): In calea undei se interpune o lama desticla de grosime x si indice de refractie n. Presupunem ca viteza defaza a undei n sticla este v = c=n: Scrieti ecuatia undei la iesirea dinlama de sticla.

Solutie: Timpul necesar undei ca sa strabata lama de stica cu grosimeax este

t2 =x

v

n timp ce n vid, timpul necesar ar

t1 =x

c

La iesirea din lama, unda are ntrzierea

t = t2 t1 = x1

v 1c

=x

c(n 1)

fata de situatia n care s-ar propagat n vid.Intr-un punct generic situat la iesirea din lama ecuatia undei este:

E = E0 cos[kx !(t+t)] = E0 cos[kx !t !c(n 1)x]

Notam =

!

c(n 1)x = 2

(n 1)x

Daca este mic (n este putin diferit de 1) se poate scrie

E = E0 cos(kx !t ) = E0 cos(kx !t) cos +

+E0 sin(kx !t) sin '' E0 cos(kx !t) + E0 sin(kx !t) == E0 cos(kx !t) + E0 cos(kx !t

2):

P.2.4. Deduceti expresiile intensitatilor undei plane polarizate liniar,respectiv eliptic. Gasiti o expresie pentru intensitatea unei unde electro-magnetice plane, polarizata circular sau nepolarizata.

Solutie: Vectorul!S =

1

!E !B se numeste vector Poynting. Di-

rectia si sensul lui coincid cu acelea ale vitezei de propagare, iar modulul

111

sau reprezinta energia electromagnetica care, n unitatea de timp, tra-verseaza unitatea de suprafata, perpendiculara pe directia de propagare.S se masoara n aceleasi unitati ca si intensitatea undei, adica n W=m2:Modulul vectorului Poynting este

S = "E2v:

In practica, din cauza faptului ca pulsatia u.e.m. are, n general, o val-oare foarte mare (pentru radiatia luminoasa vizibila ! ' 1015 rad=s) siinstrumentele de masura nu pot determina dect valoarea medie a en-ergiei, este important sa calculam uxul mediu. Asadar, intensitateau.e.m. se scrie sub forma

I = Sm = "v(E2)m

a) unda e.m. plana polarizata liniar: = 0; Componentele cmpului electric sunt

Ey = E0y sin(kx !t); Ez = E0z sin(kx !t)

E0y = E0 cos ; E0z = E0 sin

E20 = E20y + E

20z

Sm = "v(E2)m = "v

1

t

tZ0

E20 sin2(kx !t)dt = 1

2"vE20

Intensitatea u.e.m. va

I =1

2"v[(E0 cos )

2 + (E0 sin )2] = Iy + Iz

sauIy = I cos

2 ; Iz = I sin2 :

b) unda e.m. plana polarizata eliptic, =

2; =

3

2Componentele cmpului electric se scriu sub forma

Ey = E0y sin(kx !t); Ez = E0z cos(kx !t);

modulul cmpului este E =pE2y + E

2z si variaza ntre valorile E0y si

E0z: In timp, n planul xy, vrful lui E descrie o elipsa de semiaxe Eoy siE0z.

112

Intensitatea undei este

I = Sm = "v(E2)m = "v(E

2y + E

2z )m =

= "v[E20y sin2(kx !t) + E20z cos2(kx !t)]m

respectiv

I = Iy + Iz =1

2"vE20y +

1

2"vE20z

c) u.e.m. plana polarizata circular;Componentele cmpului electric au expresiile

Ey = E0 sin(kx !t); Ez = E0 cos(kx !t):Cmpul electric are amplitudinea constanta E0; n timp, n planul xy,vrful lui E descrie un cerc de raza E0.

E0y = E0z = E0 =) I = "vE20Iy = Iz =

I

2=1

2"vE20 :

d) unda e.m. plana nepolarizata;Daca diferenta de faza variaza n mod ntmplator, nu se poate

stabili o lege de variatie pentru E: starea de polarizare, chiar daca sepoate deni n orice moment de timp si n orice pozitie, nu exista atuncicnd se efectueaza media n timp.

Ey = Ez =Ep2

=) (E2y)m = (E2z )m =1

2(E2)m

Rezulta

Iy = Iz =I

2="v(E2)m

2:

P.2.5. O unda electromagnetica plana descrisa de relatia!E = (!u x + 0:7!u y + 3!u z) exp i[(0:6x+ 0:8y) !t] (V=m)

se propaga n vid. Sa se determine intensitatea cmpului magnetic Hsi energia transferata de unda printr-o suprafata circulara de raza r =50cm, n timp de o secunda.

Solutie: Expresia generala a unei unde electromagnetice plane este!E =

!E 0 exp i[(

!k !r !t]: Scriem produsul scalar!k !r pe componente:

!k !r = kxx+ kyy + kzz

113

de unde rezulta ca:

kx = 0:6; ky = 0:8; kz = 0:

Modulul vectorului!k este

j !k j=qk2x + k

2y + k

2z =1

Intensitatea cmpului magnetic o determinam folosind relatia de legaturadintre vectorii

!H;!E si

!k :

!H =

r"00

!k !Ej !k j

:

Calculam produsul vectorial!k !E 0 :

!k !E 0 =

!u x !u y !u z0:6 0:8 01 0:7 3

= 2:4!u x + 1:8!u y 1:22!u zde unde rezulta ca

!H =

r"00(2:4!u x + 1:8!u y 1:22!u z) exp i[(0:6x+ 0:8y) !t] :

Energia transferata de unda printr-o suprafata de arie r2, n timp det = 1s este

W = r2It

unde I este intensitatea undei electromagnetice si care se calculeaza cuformula

I = "vE20 = "1p"E20 =

r"

E20 =) pentru vid I =

r"00E20 :

nlocuind pe I n expresia energiei W obtinem

W = r2t

r"00E20 = r

2tE201

Z0' 1:09 102J

unde Z0 =r0"0= 377 reprezinta impedanta vidului.

P.2.6. Fie doua unde electromagnetice!E 1 = E01

!u y exp i(kx !t)si!E 2 = E02

!u z exp i(kx !t+ '), unde E01 si E02 sunt marimi reale.

114

a) Care este gradul de polarizare a celor doua unde.b) Sa se stabileasca polarizarea undei rezultate prin suprapunerea

celor doua unde daca:(1). E01 6= E02 si ' = 0; (2). E01 = E02 si ' = =2; (3). E01 6= E02 si

' = =2;

Solutie:a) Unda electromagnetica

!E 1 = E01

!u y exp i(kx !t) se propagan directia x si cmpul electric

!E 1 se aa ntotdeauna n planul de

polarizare care coincide cu planul xy: Rezulta ca unda este polarizataliniar. Acelasi rationament se poate face si pentru unda electromagnet-ica!E 2 = E02

!u z exp i(kx!t+') cu deosebirea ca planul de polarizarecoincide cu planul zx:b) Daca:(1). E01 6= E02 si ' = 0, unda rezultanta este polarizata liniar si

cmpul electric rezultant!E se aa n planul de polarizare care trece prin

axa x si face unghiul cu planul xy: In acest plan, cmpul oscileaza cuamplitudinea

E0 =qE201 + E

202 =) E01 = E0 cos ; E02 = E0 sin :

(2). E01 = E02 = E0 si ' = =2, unda rezultanta este polarizatacircular si componentele cmpului vor

!E y = E0

!u y exp i(kx !t) si !E z = E0!u z exp i(kx !t+ =2):Cmpului electric are amplitudinea constanta E0: n timp, n planul yz,vrful lui

!E descrie un cerc de raza E0:

(3). E01 6= E02 si ' = =2;n acest caz, unda rezultanta este polarizataeliptic. Componentele cmpului sunt

!E y = E01

!u y exp i(kx !t) si !E z = E02!u z exp i(kx !t+ =2);modulul cmpului rezultant este E =

pE2y + E

2z si variaza ntre valorile

E01 si E02: Directia lui!E se schimba de-a lungul axei x si descrie un cerc

complet pe distanta : n timp, n planul yz, vrful lui!E descrie o elipsa

de semiaxe E01; E02.

P.2.7. Sa se calculeze densitatea volumica de energie w n cazul uneiunde electromagnetice plane care se propaga cu viteza v, n directia !n ,ntr-un mediu anizotrop. Sa se arate ca w este proportionala cu patratulindicelui de refractie absolut al mediului.

Constanta DascaluText BoxNU

115

Solutie:Scriem ecuatiile lui Maxwell pentru un mediu anizotrop:

r!H = @!D

@t; r!E = 0

@!H

@t: (1)

Daca admitem ca propagarea cmpului se face sub forma de unde armon-ice, vectorii

!E ;!D si

!H sunt toti proportionali cu factorul exp[i!(t

!k !nv)], unde v =

p" este viteza de propagare n directia considerata.

Datorita acestei dependente speciale, ecuatiile lui Maxwell capata oforma simpla provenind formal din nlocuirile

@

@t > i!; r > i!

!nv

Ecuatiile (1) conduc la

r!H = i!!D ; r!E = i!0!H

i!v!n !H = i!!D ; i!

v!n !E = i!0

!H:

respectiv, !H !n = v!D ; !E !n = 0v

!H

si eliminnd pe!H se obtine

!D = 1

0v2!n (!n !E ):

Pentru densitatea volumica de energie electrica avem expresia:

we =1

2

!E !D = 1

20v2[E2 (!n !E )2]

Pentru densitatea de energie magnetica wm rezulta folosind relatia (1)

wm =1

2

!B !H = 1

20H

2 =1

20v2(!E !n )2]

si tinnd seama de identitatea

(!a !b )2 = a2b2 (!a !b )2

obtinem

wm =1

20v2[E2 (!n !E )2]

116

adica o valoare egala cu densitatea electrica. Densitatea volumica totalaw = we + wm este

w =1

0v2[E2 (!n !E )2]:

Deoarece indicele de refractie n este invers proportional cu viteza v, esteevident ca densitatea de energie este direct proportionala cu patratulindicelui de refractie.

117

CAPITOLUL 3

Reexia si refractia undelor

3.1 Introducere

Viteza de propagare a undelor depinde de proprietatile zice ale medi-ului n care acesta se propaga. Ne asteptam ca la trecerea unei undedintr-un mediu n altul viteza sa de propagare sa se schimbe. Astfel,odata cu viteza se schimba directia de propagare a undei (fenomenul derefractie) si, mpreuna cu refractia, se verica fenomenul de reexie aundei electromagnetice.

La incidenta unei unde pe suprafata de separare dintre doua medii secreeaza o unda refractata care se va propaga n cel de-al doilea mediu.Acesta unda se mai numeste unda transmisa din primul n cel de-al doileamediu.

Relatiile care leaga directiile undei reectate, respectiv a celei trans-mise de directia undei incidente vor descrise n paragraful 3.3 si rezultaindependente de natura undei. n schimb, relatiile care leaga ampli-tudinea undei incidente i de amplitudinea undei reectate r , respectivde amplitudinea undei transmise t, depind de natura undei; acestea vor descrise n paragraful 3.4.

Reexia si refractia undelor se pun n evidenta pentru toate tipurilede unde. Noi ne vom ocupa nsa de cazul undelor electromagnetice lu-minoase unde reexia si refractia luminii stau la baza opticii geometrice.Aceasta reprezinta ramura zicii ce se ocupa de propagarea luminii nmedii transparente precum si de proprietatile instrumentelor optice.

n paragraful urmator vom enunta, fara demonstratie, teorema luiKirchho, care contine formularea matematica a unui postulat introdusde Huygens si modicat de Fresnel. Aceasta teorema poate consider-ata ca baza a tuturor fenomenelor care se ntlnesc n cazul propagariiundelor, fenomene care nu sunt reprezentate doar de reexie si refractie,ci si de interferenta si difractia undelor.

118

3.2 Teorema lui Kirchho. Principiul Huygens-Fresnel

Teorema lui Kirchho arma ca perturbatia p(t) produsa de maimulte surse ntr-un punct P din spatiu se poate calcula, neglijnd dis-tributia spatiala a surselor, atunci cnd, ind data o suprafata nchisa ;arbitrara care contine sursele, se cunosc valorile lui si ale derivatei salenormale @=@n n toate punctele suprafetei (prin derivata normala sentelege variatia lui pentru o deplasare normala la suprafata).

Fig.3.1

Sa consideram situatia prezentata n Fig.3.1. n O se aa o sursapunctiforma care produce ntr-un punct oarecare Q de pe suprafata care l contine pe O perturbatia:

(q; t) =0qcos(kq !t) = 0

qcos!(

q

v t);

unde q reprezinta distanta de la Q la O. n punctul P aat la distanta rde O; respectiv la distanta s de Q, teorema lui Kirchho ne conduce laurmatoarea expresie pentru perturbatie:

P (r; t) =02

I1

qs(cos 0 + cos ) cos[k(q + s) !t

2]d (3.1)

n relatia (3.1) d reprezinta elementul de suprafata situat n jurul punc-tului Q, 0 si sunt unghiurile pe care OQ si QP le formeaza cu ver-sorul !u n normal la d si orientat spre exteriorul suprafetei iar estelungimea de unda.

119

Fig.3.2

Utilitatea calcului integralei din relatia (3.1) se observa foarte bine ncazurile de interes practic. De exemplu, sa presupunem ca suprafata coincide cu o suprafata de unda sferica de raza q emisa de sursa punc-tiforma aata n punctul O (deci, n centrul lui - Fig.3.2); n aceastaipoteza 0 = 0 si relatia (3.1) devine:

P (r; t) =

IA

sf() cos[k(q + s) !t

2]d

unde

A =0q

si f() =1 + cos

2:

Marimea

dP =A

sf()dcos[k(q + s) !t

2] (3.2)

reprezinta unda sferica innitezimala prin care se ntelege unda emisa deelementul innitezimal de suprafata d si avnd amplitudinea innitez-imala

dA =A

sf()d = 0

f()d

qs; (3.3)

cu dependenta de forma 1=s; specica undelor sferice.n expresia undei innitezimale, care are structura generala a unei

unde, termenul spatial k(q + s) corespunde unei propagari de la O la Q,

respectiv de la Q la P ; este de asemenea prezent un defazaj x de

2nainte fata de unda primara emisa de sursa.Functia f(), numita factor de oblicitate sau de nclinare, contine

dependenta amplitudinii undei innitezimale de directia de emisie. Am-plitudinea are valoarea maxima Ad=s pentru = 0 si scade monotoncu cresterea unghiului , anulndu-se pentru = .

120

Rezultatele prezentate mai sus permit formularea principiului Huygens-Fresnel : orice element d al unei suprafete de unda poate consid-erat formal ca o sursa de unde sferice secundare a caror amplitudine,proportionala cu amplitudinea undei primare si cu aria d, variaza cuunghiul conform functiei f(). Perturbatia produsa ntr-un punct P sepoate ntotdeauna obtine ca o suprapunere a tuturor undelor sferice ele-mentare care ajung n punctul P .

Acest enunt reprezinta formularea moderna a principiului Huygens-Fresnel, introdus empiric pentru interpretarea fenomenelor observate ncazul propagarii undelor elastice; justicarea formala precum si formaanalitica sunt date de teorema lui Kirchho.

Principiul Huygens-Fresnel este deosebit de util: el permite deter-minarea unui nou front de unda la un moment de timp t pornind de laun front anterior, atunci cnd unda se propaga liber sau este limitata deun obstacol impenetrabil.

Fig.3.3

Atunci cnd unda se propaga ntr-un spatiu liber, cunoscndu-se lamometul t frontul de unda , plan sau sferic (Fig. 3.3 si 3.4) pentru aconstitui frontul de unda

0la momentul t0 > t se considera punctele

suprafetei ca surse de unde sferice secundare, emise toate n acelasimoment de timp. Pentru ecare astfel de punct se traseaza o semicir-cumferinta de raza v(t0t) = v t si rezulta noul front de unda 0, loculgeometric al punctelor cu aceeasi diferenta de faza fata de punctele depe suprafata . Cu ajutorul unei astfel de constructii se regaseste rezul-tatul conform caruia perturbatia se propaga dupa raze rectilinii, normalela frontul de unda.

121

Fig.3.4

n cazul n care unda ntlneste un obstacol impenetrabil dar n careexista o apertura se poate calcula frontul de unda dincolo de aperturaprin eliminarea surselor care se aa n acea parte a frontului de undacare nu coincide cu apertura, ca n Fig.3.5. Daca apertura are largimead mult mai mare dect lungimea de unda , unda care trece dincolo deapertura pastreaza forma frontului de unda incident si se poate spune capropagarea este rectilinie.

Daca nsa largimea d a aperturii este de ordinul , unda care trecedincolo de apertura tinde sa se propage n toate directiile. Se spune caunda a fost difractata de apertura si, n acest caz, nu se poate vorbi depropagare rectilinie. Fenomenul de difractie va tratat ntr-un paragrafviitor si se va vedea cum teorema lui Kirchho permite calcularea am-plitudinii undei difractate n functie de directia de propagare (dincolo deapertura) si de raportul d=.

122

Fig.3.5

Atunci cnd de-a lungul directiei de propagare a unei unde se aaun ecran cu n aperturi, avnd toate aceeasi arie , se obtine, conformteoremei Kirchho, un sistem de n surse S1; :::Sn de unde sferice, ecareavnd amplitudinea data de relatia 3.3. Considernd un punct P aatla distanta si de sursa Si, respectiv sj de Sj, diferenta de faza a undeloremise de Si si Sj calculata n P este

i;j = [k(q + si) !t 2] [k(q + sj) !t

2] = k(si sj):

Se observa ca aceasta diferenta de faza este constanta n timp; ration-amentul este valabil pentru oricare doua surse. Deoarece undele a carordiferenta de faza n P este constanta n timp se numesc unde coerente,cele n aperturi vor constitui un sistem de surse coerente.

3.3 Legile reexiei si refractiei

Atunci cnd o unda traverseaza suprafata de separare dintre douamedii, viteza sa de propagare se modica. Daca unda este armonica, car-acterizata de frecventa ; pulsatia !, lungimea de unda si de numarulde unda k, prin traversarea suprafetei de separare dintre doua medii pul-satia si frecventa nu variaza, modicndu-se numai si k:

Constanta_PCTypewritten Text

123

Daca v1 si v2 sunt vitezele de propagare ale undei n cele doua medii,atunci putem scrie relatiile:

! = 2 ; 1 = v1 ; 2 = v2

k1 =!

v1=2

1; k2 =

!

v2=2

2(3.4)

=) 12=v1v2

;k1k2=v2v1

(3.5)

n cazul n care v1 este mai mare ca v2 atunci 1 > 2.Pentru unda armonica care se propaga din vid (v1 = c; 1 = 0;

k1 = k0) ntr-un mediu transparent (v2 = c=n; 2 = ; k2 = k), suntvalabile relatiile:

=0n; k =

2

=2

0n = k0n; (3.6)

unde n este indicele de refractie al mediului. Deci, lungimea de unda ntr-un anumit mediu este ntotdeauna mai mica dect lungimea de unda nvid.Consideram acum unda plana, reprezentata de relatia

i = 0i sin(!k i !r !t);

incidenta de-a lungul directiei vectorului!k i pe suprafata de separare

dintre doua medii n care vitezele de propagare sunt v1 respectiv v2.Unda reectata este de forma

r = 0r sin(!k r !r !t);

propagndu-se n primul mediu de-a lungul directiei!k r cu viteza v1, iar

unda refractatat = 0t sin(

!k t !r !t);

propagndu-se n cel de-al doilea mediu cu viteza v2 de-a lungul directiei!k t.Pe suprafata de separare a celor doua medii, fazele celor trei unde

trebuie sa e egale n orice moment de timp,

!k i !r !t = !k r !r !t = !k t !r !t

si, deci, !k i !r = !k r !r = !k t !r (3.7)

124

Relatia (3.7) stabileste o legatura ntre unda incidenta, unda reec-tata si cea transmisa, n orice moment de timp.Sa presupunem ca suprafata de separare dintre cele doua medii co-

incide cu planul xy, de ecuatie z = 0, punctul P (x; y) este punctul deincidenta iar vectorul

!k i apartine planului yz . n aceste conditii, se pot

scrie relatiile:!r = x!u x + y!u y; !k i = kiy!u y + kiz!u z;

!k r = krx

!u x + kry!u y + krz!u z; !k t = ktx!u x + kty!u y + ktz!u zsi, folosind (3.7), rezulta ca

kiy y = krx x+ kry y = ktx x+ kty y:Relatiile de mai sus trebuie sa e valabile pentru orice valori x; y, adicaoricare ar pozitia punctului P n planul de incidenta, adica

krx = ktx = 0 (3.8)

kiy = kry = kty (3.9)

Deoarece am denit ca plan de incidenta planul perpendicular pe suprafatade sepa-rare a celor doua medii, adica paralel cu yz (

!k i si

!u z suntcontinute n acest plan), din relatia (3.9) rezulta ca si vectorii

!k r si

!k t

se aa n planul de incidenta. Asadar, se poate formula prima lege areexiei si a refractiei:1) directiile de propagare ale undei incidente, undei reectate, respec-

tiv undei refractate se aa n planul de incidenta, denit de directia deincidenta si de normala la suprafata de separare a mediilor construita npunctul de incidenta.

125

Fig.3.6

n Fig. 3.6 sunt denite unghiurile de incidenta i, de reexie r si detransmisie t, formati de vectorii de propagare cu normala la suprafatade separare. Se observa ca aceste unghiuri sunt ntotdeauna mai micidect =2. Din relatia (3.4):

kiy = ki sin i =!

v1sin i; kry =

!

v1sin r; kty =

!

v2sin t:

Introducnd expresiile de mai sus n (3.9) se obtine:

sin i = sin r;1

v1sin i =

1

v2sin t:

Cum unghiurile sunt mai mici dect =2 , rezulta ca

i = r; (3.10)

sin isin t

=v1v2; (3.11)

relatii care constituie a doua si a treia lege a reexiei si a refractiei:2) unghiul de reexie este egal cu unghiul de incidenta;3) raportul dintre sinusul unghiului de incidenta si sinusul unghiului

de refractiei este constat si egal cu raportul dintre vitezele de propagare.Aceste trei legi, deduse din continuitatea fazei undei incidente, un-

dei reectate, respectiv celei transmise, sunt valabile pentru orice tip deunda. Daca suprafata de separare este curbilinie, constructia geometricaeste aceeasi considerndu-se ca plan xy planul tangent la suprafata npunctul de incidenta.Considernd o suprafata de separare plana si o unda incidenta plana

a carei propagare o putem reprezenta prin raze paralele, razele reec-tate sunt si ele paralele ntre ele, la fel si razele refractate. n con-cluzie, fronturile de unda reectate si refractate sunt paralele. Mentinereaformei frontului de unda nu se verica n cazul undei sferice incidentepe o suprafata plana; unda refractata nu ramne o unda sferica. Dacasuprafata de separare dintre medii nu este plana, forma undei incidenten general se modica, att n reexie ct si n transmisie.Pentru o unda luminoasa plana care traverseaza suprafata de separare

dintre doua medii transparente cu indicii de refractie n1 si n2 (3.11) sepoate scrie

sin isin t

=v1v2=

c

n1

n2c=n2n1:

126

Notnd 1 = i si 2 = t, rezulta ca

sin 1sin 2

=n2n1= n21 sau n1 sin 1 = n2 sin 2 (3.12)

Raportul n21 = n2=n1 se numeste indice de refractie relativ al mediuluial doilea fata de primul mediu. Legea de refractie a luminii exprimata nrelatia (2.12) este cunoscuta ca legea lui Snell si se enunta astfel: raportuldintre sinusul unghiului de incidenta si sinusul unghiului de refractie esteconstant si egal cu indicele de refractie relativ al celor doua medii.

3.3.1 Reexia totala

Atunci cnd o unda luminoasa plana se propaga dintr-un mediu cuindicele de refractie n1 ntr-un mediu cu indice de refractie n2 > n1, dinrelatia (3.12) rezulta:

sin 2 =n1n2sin 1 =) 2 < 1 daca n2 > n1: (3.13)

Prin traversarea suprafetei de separare dintre medii, directia de propagarea undei plane transmise se apropie de normala la suprafata (Fig.3.7,mediile sunt aerul n1 = 1, respectiv sticla n2 = n).

Fig.3.7

n cazul n care unda trece dintr-un mediu cu indice de refractie n1ntr-un mediu cu indice de refractie n2 < n1,

sin 2 =n1n2sin 1 =) 2 > 1 daca n2 < n1:

127

Directia de propagare a undei transmise se ndeparteaza de normala lasuprafata de separare a mediilor (Fig.3.8).

Fig.3.8

Cea de-a doua situatie (2 > 1) prezinta un caz limita, ilustrat nFig.3.9; la cresterea unghiului de incidenta 1, unghiul de transmisie 2(care creste mai rapid) va avea la un moment dat valoarea =2. Dacapentru valoarea =2 a unghiului de transmisie unghiul de incidenta este0, rezulta ca

sin 0 =n2n1: (3.14)

Pentru valori 1mai mari dect 0, 2 nu poate avea valori reale, adicaunda refractata nu se mai poate forma sau unda incidenta se reectatotal n primul mediu. Fenomenul se numeste reexie totala iar 0 senumeste unghi limita

128

Fig.3.9

Fenomenul de reexie totala se utilizeza n transportul unui fasciculluminos cu ajutorul ghidurilor de unda. Acestea sunt constituite, de ex-emplu, dintr-un cilindru plin de sticla sau de material plastic transparentintrodus ntr-un mediu cu indice de refractie mai mic. Lumina care intran cilindru, la incidenta pe peretii laterali ai acestuia formeaza un unghimai mare dect unghiul limita si se va reecta total de multe ori, farapierderi mari, pna la iesirea din ghidul de unda.

3.3.2 Dispersia luminii ntr-un mediu transparentn enuntul legii refractiei am subliniat faptul ca raportul sin i= sin t

este o marime constanta; acesta este un rezultat riguros valabil numaidaca lumina incidenta are o singura lungime de unda, adica este monocro-matica. Atunci cnd n fasciculul incident sunt continute mai multelungimi de unda, membrul al doilea al relatiei (3.12) poate lua valoridiferite pentru ecare lungime de unda: unui anumit unghi de incidentai corespund mai multe unghiuri de refractie.Daca un fascicul ngust de lumina alba, care contine toate lungimile

de unda din domeniul vizibil, cade pe o placa de sticla, atunci luminareectata ramne alba n timp ce fasciculul transmis prin sticla continemai multe raze de culori diferite, ecare avnd un unghi de refractiediferit. Indicele de refractie al luminii variaza cu lungimea de unda;

Constanta_PCTypewritten Text

Constanta_PCTypewritten Textaceasta scade cu cresterea lungimii de unda. Acest fenomen este cunoscut sub numele de dispersie aluminii.

Constanta_PCTypewritten Text

Constanta_PCTypewritten Text

Constanta_PCTypewritten Text

Constanta_PCTypewritten Text

137

Fig.3.14

Coecientii de reexie si de transmisie n conditiile incidentei normalesunt:

R =WrWi

=IrIi= r2 =

n1 n2n1 + n2

2;

T =WtWi

=ItIi=n2n1t2 =

4n1n2(n1 + n2)2

: (3.25)

Se poate verica imediat can1 n2n1 + n2

2+

4n1n2(n1 + n2)2

= R + T = 1:

Formulele (3.25) conduc la acelasi rezultat att n cazul propagariiundei din mediul n1 ct si n situatia inversa, din n2 n n1; procentele deenergie reectata, respectiv transmisa sunt aceleasi n cele doua cazuri,nu depind de diferenta de faza dintre cmpuri. Aceasta simetrie nu maieste valabila daca i 6= 0; rezultatul este n concordanta cu relatiile luiStokes discutate mai nainte.

3.5 Propagarea undei electromagnetice plane ntr-unmediu anizotrop. Birefringenta.

Dielectricii liniari, cei pentru care exista o relatie de proportionalitatentre vectorii polarizare si cmp electric, prezinta simetrie spatiala, adicasunt izotropi: oricare ar directia cmpului electric aplicat, proprietatileelectrice nu se modica.Exista si substante ale caror proprietati electrice depind de directia

lui!E : printre acestea se aa cea mai mare parte dintre cristale si un-

ele materiale plastice articiale, constituite din molecule lungi care auo orientare preferentiala dupa o anumita directie. n ceea ce privestecristalele care sunt dielectrici anizotropi naturali, vectorii !p ;!E si !D nusunt paraleli iar susceptibilitatea nu este un numar, ci un tensor si-metric cu sase componente; acelasi lucru este valabil si pentru constantadielectrica relativa "r = 1 + :n orice cristal exista trei directii ortogonale, numite axe cristalo-

grace sau axa optica ale cristalului. Daca aceste axe sunt chiar axele de

Constanta_PCTypewritten Text

Constanta_PCTypewritten Text

Constanta_PCTypewritten Text

Constanta_PCTypewritten TextFARA acest paragraf.

Constanta_PCTypewritten Text

Constanta_PCTypewritten TextSubiectrul 3.5 este cuprins in examenul final

Constanta_PCTypewritten Text

138

coordonate (x; y; z), tensorii si "r sunt diagonali iar relatia dintre!D si!

E esteDx = "0"r1Ex; Dy = "0"r2Ey; Dz = "0"r3Ez:

Cele trei constante dielectrice relative caracteristice axelor optice se numescconstante dielectrice relative principale.Se deneste, n sistemul de referinta al axelor optice, elipsoidul indi-

cilor de refractie ai materialului: cele trei semiaxe vor n1 =p"r1; n2 =p

"r2; n3 =p"r3 iar ecuatia elipsoidului este

x2

n21+y2

n22+z2

n23= 1 (3.26)

Notam faptul ca axele optice nu sunt localizate ntr-o anumita parte acristalului; xnd un punct al cristalului, acesta poate considerat cacentru al elipsoidului indicilor de refractie.Fresnel a demonstrat, nainte de formularea ecuatiilor lui Maxwell

ale teoriei electromagnetice a luminii, faptul ca proprietatile optice alecristalelor anizotrope se pot descrie cu ajutorul elipsoidului indicilor derefractie.Referindu-se la acest elipsoid, cristalele existente se pot mparti n

trei categorii:1) substante cu n1 = n2 = n3 = n : elipsoidul indicilor de refractie

este o sfera de raza n. Pentru aceste substante nu se pot deni axeleoptice. Intersectia frontului de unda cu sfera este ntotdeauna o circum-ferinta de raza n si nu pot individualizate axe particulare. Viteza depropagare a undei electromagnetice n cristal este v = c=n si nu existabirefringenta. Fac parte din aceasta categorie de cristale cele din sistemulcubic si se comporta, practic, ca substante izotrope (ex: diamantul)2) substante cu n1 6= n2 = n3: elipsoidul indicilor de refractie este

un elipsoid de rotatie n jurul axei principale caracterizate de indicele derefractie n1. Aceasta axa se numeste axa optica a cristalului si este oaxa de simetrie a acestuia. Cristalele avnd astfel de proprietati, numiteuniaxe, fac parte din sistemele romboedric, hexagonal, tetragonal (ex:cuartul, spatul de Islanda).3) substantele cu n1 6= n2 6= n3: elipsoidul indicilor de refractie nu are

o simetrie particulara. Din aceasta categorie fac parte cristalele rombice,monoclinice, triclinice (ex: topazul).n cele ce urmeaza vom analiza numai cristalele uniaxe care au apli-

catiile cele mai interesante. Pentru astfel de cristale, indicele de refractien1 relativ la axa optica se numeste indice de refractie extraordinar, ne;indicele de refractie n2 relativ la oricare axa ortogonala pe axa optica se

139

numeste indice de refractie ordinar, no. Folosind aceste notatii, ecuatiaelipsoidului indicilor de refractie devine:

x2

n2e+y2 + z2

n2o= 1 (3.27)

x ind directia axei optice.Se disting doua tipuri de cristale uniaxe:a) cristale pozitive pentru care ne > no; elipsoidul este alungit pe

directia axei optice;b) cristale negative pentru care ne < no; elipsoidul este turtit pe

directia axei optice.Sa analizam acum ecuatia elipsoidului (3.27). Construim frontul de

unda al unei unde plane care se propaga n cristalul uniax astfel nctacesta sa treaca prin centrul elipsoidului; intersectia lor va o elipsa deaxe AA si BB (Fig.3.15) iar valorile corespunzatoare semiaxelor sunt nlrespectiv no.

Fig.3.15

140

O semiaxa este ntotdeauna egala cu no, independent de orientareafrontului de unda, n timp ce lungimea nl a celeilalte semiaxe depinde dedirectia versorului !u n normal la frontul de unda si variaza ntre valorileno si ne. Se poate demonstra ca pot avea un astfel de front de unda douaunde polarizate rectiliniu cu vectorul

!D oscilnd de-a lungul directiei

AA (!D e) sau de-a lungul directiei BB (

!D o); nl si no sunt indicii de

refractie pentru aceste doua unde care se propaga n cristal cu vitezelevl = c=nl si v0 = c=no.

Unda asociata indicelui de refractie no se numeste unda ordinara iarviteza sa de propagare n cristal este ntotdeauna vo = c=no, oricare ar orientarea versorului !u n. Polarizarea este ortogonala pe axa optica,cmpurile

!E o si

!D o sunt paralele si se aa n planul frontului de unda

care este perpendicular pe directia de propagare.

Unda asociata indicelui de refractie nl se numeste unda extraordinaraiar viteza sa de propagare vl = c=nl depinde de orientarea lui

!u n, variindntre vo si ve = c=ne. Cmpul electric

!E e nu este paralel cu

!D e care se

aa n planul frontului de unda.!E e este nsa ntotdeauna ortogonal

pe directia de propagare iar frontul de unda si directia de propagare nusunt ortogonale ntre ele. n particular, atunci cnd !u n este paralel cuaxa optica intersectia eliptica degenereaza ntr-un cerc de raza no(nl esteegal cu no). Atunci cnd

!u n este perpendicular pe axa optica intersectiafrontului de unda cu elipsoidul este o elipsa care coincide cu sectiuneamaxima (semiaxele sunt no si ne ) (Fig.3.16).

Constanta_PCTypewritten Text

Constanta_PCTypewritten Text

141

Fig.3.16

Pentru un unghi oarecare dintre !u n si axa optica (axa x) punctulP al elipsoidului aat la distanta nl de centru va avea coordonatele astfelnct x2 = (nl sin )2 si y2 + z2 = (nl cos )2 iar (3.27) devine:

n2l sin2

n2e+n2l cos

2

n2o= 1) sin

2

n2e+cos2

n2o=1

n2l;

relatie care permite calcularea lui nl n functie de . Introducnd nexpresia de mai sus marimile ve; vo si vl se obtine relatia echivalenta

v2l = v2e sin

2 + v2o cos2 (3.28)

Deci, oricare ar orientarea frontului de unda fata de axa optica acristalului, se pot determina indicele de refractie si viteza de propagareatt pentru unda polarizata ortogonal pe axa optica (unda ordinara, in-dice de refractie x no) ct si pentru unda polarizata perpendicular peaceasta, adica polarizata n planul ce contine axa optica (unda extraor-dinara, indice de refractie variabil).ntreaga analiza de mai sus ne permite descrierea fenomenului de

birefringenta. Sa consideram un cristal uniax taiat sub forma unei placi

142

cu fetele plane paralele si o unda luminoasa plana nepolarizata incidentape una dintre fetele cristalului.

S-a observat ca, n general, din cristal ies doua unde polarizate liniarde-a lungul a doua directii perpendiculare ntre ele. Asadar, n interiorulcristalului unda incidenta se scindeaza n doua unde care se propaga ncristal cu viteze diferite si n directii diferite. O unda numita ordinara vaverica n orice situatie legea lui Snell (3.12) cu valoarea no a indiceluide refractie si va polarizata perpendicular pe axa optica a cristalului.Cealalta unda, nsa, numita unda extraordinara, nu verica legea lui Snelliar indicele de refractie variaza cu directia de propagare ntre limitele nosi ne; unda extraordinara este polarizata perpendicular pe cea ordinara.

Sa determinam, acum, directiile de propagare ale undelor ordinara,respectiv extraordinara, n interiorul cristalului. n acest scop, folosimprincipiul Huygens-Fresnel considernd ca orice punct de pe suprafatacristalului pe care a cazut unda plana incidenta devine o sursa de douaunde elementare, una ordinara si alta extraordinara.

Unda ordinara emisa ntr-un punct O oarecare are frontul de undasferic iar viteza de propagare este aceeasi n toate directiile (pentru undaordinara, cristalul este izotrop). Considernd t = 0 momentul incidenteiundei, la t punctele de faze egale se gasesc pe o suprafata sferica de razaOP = vot = ct=no, cu ecuatia:

x2 + y2 + z2 = v2ot2:

143

Fig.3.17

Acest rationament nu se poate face si n cazul undei extraordinareemise n puctul O: la t, spatiul parcurs este OQ si difera n functie de di-rectia considerata, viteza de propagare neind izotropa. Se demonstreazaca punctele Q se gasesc pe o suprafata a carei ecuatie este

x2

v2o+y2 + z2

v2e= t2 (3.29)

Este vorba, deci, de un elipsoid de rotatie n jurul axei optice (de fapt,de-a lungul oricarei directii ortogonale pe axa optica viteza undei extra-ordinare este ntotdeauna ve = c=ne). Frontul undei extraordinare este,asadar, un elipsoid. Cum de-a lungul directiei axei optice unda extraor-dinara are aceeasi viteza cu unda ordinara, suprafata de unda sferica si

Constanta_PCTypewritten Text

Constanta_PCTypewritten Text

144

cea elipsoidala sunt tangente n punctele de pe axa optica. n Fig.3.17sunt reprezentate cazurile n care ne > no si ne < no. n sectiuneamaxima ce contine axa optica a cristalului se pot observa unda ordinarasub forma circulara si cea extraordinara sub forma eliptica; n sectiuneaperpendiculara pe axa optica ambele unde au forma circulara.

3.5.1 Aplicatii ale birefringentei. Cristale dicroice. Polaroizisi analizori.

Sa consideram un cristal uniax (lama cu fete plan-paralele) si o undaplana nepolarizata incidenta normal pe o fata a cristalului. n lama aparo unda ordinara polarizata ortogonal pe axa optica, respectiv o undaextraordinara polarizata paralel cu axa optica (Fig.3.18). Ambele undese vor propaga n directia !u n a undei incidente, cu viteze diferite; ecareva avea jumatate din intensitatea undei incidente.n cele mai multe cristale, atenuarea undei este neglijabila. Exista,

nsa, substante care absorb n proportii diferite cele doua tipuri de unde,ordinara si extraordinara. Absorbtia n astfel de cristale depinde deunghiul pe care l face directia de oscilatie a cmpului electric cu o di-rectie particulara, specica substantei. Acest fenomen se poate explicaastfel: daca moleculele care alcatuiesc cristalul au o forma alungita, vaexista o absorbtie mai mare atunci cnd cmpul electric

!E al undei este

paralel cu axa lunga a moleculelor si o absorbtie mai mica atunci cnd!E

este perpendicular pe aceasta axa. Una dintre unde este absorbita pro-gresiv si, daca grosimea cristalului este sucient de mare, unda dispare.Fenomenul se numeste dicroism iar substantele cu astfel de proprietatise numesc dicroice.

Fig.3.18

145

Un cristal dicroic este o substanta care creeaza o unda polarizata de-alungul unei directii care se numeste axa optica a cristalului. n general,substantele care creeaza o unda polarizata liniar se numesc polarizori. ncele ce urmeaza vom presupune ca ntr-un polarizor unda emergenta nueste atenuata.

Sa ne imaginam acum ca unda incidenta normala pe polarizor esteliniar polarizata iar cmpul electric

!E face unghiul cu axa optica a po-

larizorului (ca n Fig.3.19, unde unda care se propaga de-a lungul axei xeste ndreptata spre cititor). Descompunem unda incidenta dupa directi-ile y si z; componenta E0y = E0 cos, care are cmpul electric paralelcu axa optica a polarizorului (P2) se propaga fara a absorbita, n timpce componenta E0z = E0 sin care are cmpul electric perpendicular peaxa optica este complet absorbita.

Fig.3.19

Daca I0 este intensitatea undei incidente, polarizate, proportionala cuE20 , intensitatea I1 a undei emergente, polarizata de-a lungul axei opticea polarizorului, este proportionala cu E20 cos

2 si putem scrie relatia

I1 = I0 cos2 (3.30)

care reprezinta legea lui Malus: intensitatea undei care iese dintr-un po-larizor pe care a fost trimisa o unda liniar polarizata variaza proportionalcu patratul cosinusului unghiului dintre directia de polarizare incidentasi axa optica a polarizorului.

146

Fig.3.20

Sa analizam n continuare schema din Fig.3.19 : o unda nepolarizataeste incidenta normal pe polarizorul P1, unda polarizata iese din P1 sicade normal pe un al doilea polarizor P2, numit analizor. Rotind axaanalizorului astfel nct unghiul dintre axele optice ale lui P1 , respectivP2 sa varieze de la 0 la 2, intensitatea transmisa va maxima pentru

= 0 si = , si nula pentru =

2si =

3

2. Asadar, atunci cnd

axele optice ale polarizorului si analizorului sunt paralele, transmisia estemaxima; pentru axele optice perpendiculare transmisia este nula.n Fig.3.20 sunt prezentate rezultatele care descriu, din punctul de

vedere al intensitatilor undei, diverse stari de polarizare ale unei unde

147

plane incidente si intensitatile undei transmise de un analizor. I esteintensitatea undei incidente, propagarea undei se face de-a lungul axei xsi este unghiul dintre axa optica a analizorului si axa y.

Aplicatii

P.3.1. Folosind legile reexiei si refractiei undelor electromagnetice,deduceti relatiile dintre modulele vectorilor

!k si dintre componentele lor

de-a lungul axei z:

Solutie:Presupunem ca suprafata de separare dintre cele doua medii coincide

cu planul xy, de ecuatie z = 0: Daca v1 si v2 sunt vitezele de propagareale undei n cele doua medii, atunci putem scrie relatiile

ki =!

v1; kr =

!

v1; kt =

!

v2:

Modulele ki si kr pentru unda incidenta si respectiv, pentru unda re-ectata sunt egale iar componentele lor de-a lungul directiei axei z suntkrz = kiz: Pentru unda transmisa vom avea:

kiv1 = ktv2 =) ...kikt=v2v1

Proiectiile pe directia axei Oz ale modulelor ki si kt sunt

kiz = ki cos i; ktz = kt cos tFolosind relatiile scrise mai sus si legea a treia a reexiei si refractiei,v2 sin i = v1 sin t; obtinem:

kizktz

=ki cos ikt cos t =

v2 cos iv1 cos t

=sin tsin i

cos icos t

=tan ttan i

:

P.3.2. Un fascicol ngust luminos, momocromatic, de lungime de unda0 = 0:598m cade sub un unghi de incidenta 1 = 300 pe o placa destica cu grosimea h = 2cm si n = 1:66. Determinati pozitia fascicoluluide lumina la iesirea din sticla.

Solutie:Aplicam legea lui Snell:

sin 1sin 2

=n2n1= n =) sin 2 = sin 1

n

148

sin 2sin 3

=n1n2=1

n=) sin 3 = n sin 2 =) 3 = 1

Sticla nu modica directia de propagare a fascicolului incident dar pro-duce o deplasare laterala d a acestuia

cos 2 =h

AC=) AC = h

cos 2

sin(1 2) = dAC

d = AC sin(1 2) = h sin(1 2)cos 2

:

Cum sin(12) = sin 1 cos 2cos 1 sin 2 si sin 2 = sin 1=n; rezulta:

d == h sin 1

1 cos l1p

n2 sin2 1

!:

P.3.3. O unda plana, incidenta sub un unghi i si refractata sub ununghi t fata de normala la suprafata plana de separatie a doua medii,este polarizata, vectorul electric n unda incidenta facnd un unghi icu planul de incidenta. Sa se gaseasca unghiurile formate de vectorulelectric cu planul de incidenta n una reectata si n cea refractata. Sase arate ca, nu are loc o schimbare a acestui unghi fata de situatia dinunda incidenta daca i = 0 sau =2:

Solutie:Vectorul electric poate descompus, att n unda incidenta ct si n

undele reectata si refractata, dupa o directie paralela si una perpendic-ulara pe planul de incidenta

tan i =Ei?Eiq

; tan r =Er?Erq, tan t =

Et?Etq

:

Pe de alta parte, conform formulelor lui Fresnel

Er?Ei?

= sin(i t)sin(i + t)

;ErqEiq=tan(i t)tan(i + t)

de unde prin mpartire rezulta

Er?Ei?

EiqErq

= cos(i t)cos(i + t)

adica

tan r = cos(i t)cos(i + t)

tan i

Constanta DascaluText BoxNU

149

Daca i = 0, atunci si r = 0; iar daca i = =2; atunci si i = =2,adica n aceste cazuri unda reectata si pastreaza polarizarea initiala.Pentru vectorul electric din unda refractata, conform formulelor lui

Fresnel, avem

Et?Ei?

=2 cos i sin tsin(i + t)

;EtqEiq=

2 cos i sin tsin(i + t) cos(i t) :

Prin mpartire se obtine

Et?Ei?

EiqEtq= cos(i t)

adica

tan t =cos(i t)cos(i + t)

tan i

si n acest caz polarizarea ramne neschimbata, daca i = 0 sau i = =2:

P.3.4. Sa se stabileasca amortizarea undelor electromagnetice ntr-unmediu dielectric pe care s-a realizat reexia totala.

Solutie:Folosim legile reexiei si refractiei.

sin isin t

=n2n1= n21 =

r"2"1

sin t =sin in21

(1)

unde i, t sunt unghiurile de incidenta si de refractie iar n1 si n2 suntindicii de refractie absoluti pentru mediul 1, respectiv 2.In cazul reexiei totale (adica unda refractata nu se mai poate forma

sau unda incidenta se reecta total n primul mediu) avem

t =

2si i = 0

unde 0 se numeste unghi limita.In aceasta situatie, n1 > n2 =) "1 > "1 si i > 0; ecuatia (1) va

satisfacuta de valori complexe ale lui t:

cos t = p1 sin2 t =

s1

n1n2sin i

2= i

sn1n2sin i

2 1

Constanta DascaluText BoxNU

155

Pentru a calcula valoarea indicelui de refractie pentru unda extraordinarace se propaga pe directia

!k trebuie sa gasim lungimea segmentului ON

care este perpendicular pe!k : Notam ON = no(). Punctul N are

coordonatele

yN = ne() cos si zN = ne() sin

unde \NOB = (ca unghiuri cu laturile perpendiculare). Punctul Napartine elipsei si deci, (yN ; zN) verica ecuatia acesteia. Se obtine:

n2e() cos2

n2o+n2e() sin

2

n2e= 1:

Inlocuind sin2 = 1 cos2 se obtine relatia

ne() =nenop

n2o + (n2e + n

2o) cos

2 = 1:55:

P.3.9. Pentru ce norii sunt albi, iar cerul albastru?

Raspuns:Moleculele de oxigen si azot din aer produc o difuzie puternica a

razelor cu lungimi de unda mici (albastre si violete) si de aceea cerulpare albastru. Cnd n aer se aa particule cu dimensiuni mai mari,asa cum este cazul picaturilor de apa care alcatuiesc norii, atunci suntmprastiate toate razele de lumina si norii apar albi.

P.3.10. Pentru ce att la rasarit ct si la apus soarele apare coloratn rosu?

Raspuns: Deoarece razele de lumina, ind mult mai nclinate (re-spectiv apropiate de suprafata pamntului), strabat un strat de aer maigros; vaporii de apa si praful, care predomina n aceasta parte a atmos-ferei, absorb si difuzeaza puternic razele de lumina albastre, lasnd satre