TIMUR CHIŞ

Curs de Fizica generala

1

Prefata

Prezenta lucrare este destinată studenţilor din anul II Navigaţie de la Universitatea

Andrei Saguna Constanta, pentru disciplina de Fizică. Ea conţine teme legate de

programa de fizică şi este dezvoltată în toate compartimentele: terotetic, aplicaţii de

calcul, aplicaţii practice de laborator.

Un curs de Fizica ar trebui să cuprindă capitolele legate de mecanică, fizica

moleculară şi termodinamică, electricitate şi magnetism, optică, fizica atomică şi

nucleară, fizica cuantică şi fizica solidului. Dintre aceste capitole, în acest curs

universitar ne vom rezuma la studiul pe scurt al legilor mecanicii, incluzând studiul

oscilaţiilor şi undelor elastice. Vom aborda de asemeni şi fenomenele

electromagnetice. Aceste capitole ale fizicii clasice sunt urmate apoi de scurte

introduceri în fizica cuantică şi în fizica solidului, deoarece acestea din urma constituie

capitole ale fizicii moderne, cu aplicaţii în tehnica navală.

Notiţele de curs au fost elaborate dupa ce acest material a fost parcurs, în ultimii ani

universitari, împreună cu studenţii de la Univrsitatea Petrol-Gaze Ploieşti şi cu cei de la

Facultatea de Navigatie, Transport Maritim şi Fluvial, din cadrul Universităţii

"Andrei Şaguna" din Constanţa. Considerăm, de aceea, că temele alese cuprind

noţiunile elementare de fizică necesare viitorilor navigatori.

De asemeni cursul a fost recenzat şi de lectori de la Universităti care instruiesc

studenţi în Navigaţie costieră şi marină, deoarece materia trebuie sa respecte STCW

Cod:A-III/1 şi A-III/2 pentru STCW Functions:Marine engineering at the management

level.

Primul capitol cuprinde o introducere în Fizica, având scopul de a pregati studentii

cu limbajul, marimile fizice fundamentale si unitatile lor de masura, precum si cu unele

operatii vectoriale.

Capitolul al doilea se refera la teme specifice ale mecanicii clasice,

prezentând principiile fundamentale si teoremele generale din dinamica punctului

material.

În capitolul trei se prezinta diverse tipuri de oscilatii armonice, diferitele metode de

compunere ale oscilatiilor, urmate apoi de o introducere în teoria undelor elastice.

Capitolul al patrulea este dedicat electromagnetismului, prezentând într-o forma

concentrata si câteva teme principiale din teoria macroscopica a undelor

2

electromagnetice (lumina).

În capitolul cinci se realizeaza o trecere în revista a bazelor fizice ale mecanicii

cuantice, adica a acelor experiente ce au condus la formularea mecanicii cuantelor de

energie.

Capitolul sase prezinta teme din fizica solidului, incluzând cateva elemente ale

teoriei benzilor de energie din semiconductori.

3

CUPRINS

1.Introducere in Fizica

1.1.Notiuni fundamentale ale Fizicii

1.2. Operatii vectoriale

2. Mecanica clasica

2.1. Notiumi generale

2.2. Principiile fundamentale ale dinamicii

2.3. Teoreme generale în dinamica punctului material

3. Oscilatii si unde

3.1. Notiuni generale

3.2. Micarea oscilatorie armonica ideala

3.3. Compunerea micarilor oscilatorii armonice

3.3.1. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de aceeiasi pulsatie

3.3.2. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de frecventa diferita

3.3.3. Compunerea oscilatiilor perpendiculare

3.4.Miscarea oscilatorie amortizata

3.5. Analogie între oscilatiile mecanice si cele electromagnetice

3.6. Oscilatii fortate. Rezonanta

3.6.1. Rezonanta

3.6.2.Consideratii energetice ale oscilatiilor fortate

3.7. Unde elastice

3.7.1. Unde armonice unidimensionale

3.7.2. Consideratii energetice asupra propagarii undei

3.7.3. Reflexia si refractia undelor elastice

3.7.4. Unde stationare

3.7.5. Interferenta undelor

3.7.6. Difractia undelor

3.7.7. Polarizarea undelor elastice transversale

4

4. Introducere în electromagnetism

4.1. Câmpul electromagnetic

4.1.1. Actiunea câmpului electromagnetic asupra sarcinilor electrice

4.1.2. Legea conservarii sarcinii electrice

4.2. Electrostatica

4.2.1. Câmpul electric

4.2.2. Fluxul electric

4.2.3. Legea Gauss pentru câmpul electric

4.2.4. Forma locala diferentiala a legii lui Gauss. Prima ecuatie

Maxwell

4.2.5. Caracterul potential al câmpului electric. Potentialul electric

4.3. Magnetostatica

4.3.1. Câmpul magnetic

4.3.2. Actiunea câmpului magnetic asupra sarcinilor electrice în

miscare

4.3.3. Actiunea câmpului magnetic asupra unui conductor parcurs de

curent electric

4.3.4. Câmpul magnetic creat de curenti electrici

4.3.5. Legea lui Gauss pentru magnetism

4.3.6. Interactiunea dintre doi curentii paraleli

4.3.7. Legea circuitului magnetic

4.3.8.Inductia electromagnetica.Legea Faraday

4.3.9.Energia câmpului magnetic

4.3.10. Curenti de conductie si curenti de deplasare

4.4. Unde electromagnetice

4.4.1. Unde armnonice progresive

4.4.2. Energia undelor electromagnetice

4.4.3. Unde sferice

4.4.4. Teoria electromagnetica macroscopica a luminii

5. Bazele fizice ale mecanicii cuantice

5.1. Efectul fotoelectric

5.2. Efectul Compton

5.3. Radiatia termica

5

5.3.1. Marimi radiante

5.3.2. Legile radiatiei termice

5.4. Experienta Franck-Hertz

5.5. Relatiile de nedeterminare ale lui Heisenberg

5.6. Ipoteza lui Louis de Broglie

6.Elemente de fizica starii solide

6.1. Generalitati

6.2. Semiconductori

6.3. Dispozitive cu semiconductori

Bibliografie

6

Cuvânt de multumire

Ma simt onorat pentru posibilitatea de a le multumi studentilor din anul II

Facultatea de navigatie si Transport Maritim si Fluvial pentru vizualizarea si

intelegerea acestui curs.

Le multumesc tuturor acestor studenti, pentru rabdarea cu care au ascultat acest

curs de Fizica generala si pentru ajutorul acordat întru cizelarea notitelor de curs, pâna

la forma lor actuala.

În fapt, putem conchide ca un curs universitar ideal nu exista. Din fericire, ar zice

stramosii, dar si urmasii, nostri.

Recunostinta mea sincera se adreseaza, de asemenea, doameni profesoare

Barvinski precum si domnului Conf.Univ. Mosescu Nicolae, sub a carui supervizare

apare acest curs universitar de Fizica generala în format electronic. Este o premiera

pentru Catedra de navigatie a Universitatii “Andrei Saguna” din Constanta, desi ea va fi

urmata de multi alti colegi.

Acest curs reprezinta in primul rand o analiza a naturii din punct de vedere fizic

desi in scrierea acestuia am uitat sa specific intotdeauna sursa bibliografica a unor

figuri si formule. Dar nu este prea grav, deoarece venim la Universitate ca sa învatam.

Mii de scuze autorilor acestor figuri minunate, care nu sunt însa citati.

7

1. Introducere in Fizica

Fizica, fiind una din stiintele fundamentale ale naturii, care studiaza cele mai

simple dar, în acelasi timp, si cele mai generale forme de micare sau de

transformare ale materiei. În acest sens, fizica studiaza toate procesele mecanice,

termice, electromagnetice, etc. Scopul fizicii este acela de a descoperi si aplica legile

care guverneaza interactiunile dintre corpurile materiale sau dintre corpurile materiale

si diferite câmpuri de forte.

Observatia, ratiunea si experienta formeaza metoda stiintifica de studiere a

naturii, scopul acestui demers stiintific fiind întelegerea fenomenelor ce se desfasoara

în universul cunsocut de om pâna în prezent. Cea mai importanta misiune a fizicii este

stabilirea legilor generale care pot explica modul în care se defasoara fenomenele fizice

observate în natura. Întelegerea legilor fizice ale universului nostru a devenit din ce în

ce mai profunda de-a lungul veacurilor, de aceea multe legi ale fizicii au suferit

modificari, completari sau generalizari, pe masura ce oamenii de stiinta au realizat

descrieri tot mai complexe ale naturii.

În mod traditional, fizica se împarte în mai multe domenii: mecanica,

termodinamica, electromagnetismul, optica, fizica solidului, fizica nucleara. În secolul

trecut au fost introduse noi capitole ale fizicii, cum ar fi: fizica plasmei, fizica

semiconductorilor, fizica supraconductorilor, biofizica, fizica particulelor elementare,

etc. Din acest punct de vedere, putem vorbi de caracterul pluridisciplinar al stiintei în

general, deoarece multe din fenomenele studiate se situeaza deseori la granita dintre

mai multe domenii stintifice.

1.1. Notiuni fundamentale ale Fizicii

Fenomen fizic. Fenomenul fizic (procesul sau transformarea) reprezinta o

succesiune de modificari ale unui anumit corp, sau sistem de corpuri, care evolueaza

în timp, dupa o anumita lege. Toate schimbarile de acest fel formeaza obiectul de

studiu al fizicii si sunt evaluate calitativ si cantitativ prin observatii.

8

Marime fizica si masurare. Marimile fizice definesc proprietati ale corpurilor

sau caracterizeaza procese în care schimbarile ce survin pot fi descrise cantitativ.

Exemple de marimi fizice sunt: masa, temperatura, viteza, sarcina electrica. Fizica a

fost numita mult timp stiinta masurarii, deoarece studiul fenomenelor fizice implica

masurarea marimilor ce le caracterizeaza. Masurarea este un proces prin care se

compara marimea fizica respectiva cu o marime bine definita, de aceeai natura, ce a

fost aleasa ca unitate de masura. Aceasta comparare (sau masurare) se realizeaza cu

ajutorul unui instrument de masura. Iata cîteva exemple de unitati de masura: 1metru

pentru lungimi, 1 secunda pentru durate, 1 kg pentru mase.

Unele marimi fizice sunt marimi fundamentale, ele fiind definite numai

prin descrierea procedeului de masurare. De exemplu, distanta se determina prin

masurare cu o rigla, iar timpul prin masurare cu un ceas. Alte marimi fizice sunt

marimi derivate, ele fiind definite prin formule de calcul ce utilizeaza marimile

fundamentale. De exemplu, viteza reprezinta raportul dintre distanta parcursa si durata

deplasarii corpului.

De-a lungul timpului s-au utilizat diferite sisteme de unitati de masura, adica

seturi de marimi fizice fundamentale si de unitati de masura corespunzatoare acestora.

În zilele noastre se utilizeaza cel mai frecvent Sistemul International de Masura,

cunoscut sub sigla SI, care utilizeaza urmatoarele marimi si unitati fundamentale:

Mărime Unităţi de măsură fundamentale

Denumire Simbol

Lungime metrul m

Masa kilogram kg

Timp secunda s

Intensitatea

curentului electric

amper A

Temperatura

termodinamică

kelvin K

Cantitatea de

substanţă

mol mol

Intensitatea

luminoasă

candela cd

Doua unitati suplimentare se adauga celor de mai sus, si anume pentru unghiul

9

plan, radianul (rad) si pentru unghiul solid, steradianul (sterad). Toate celelalte marimi

fizice si unitatile lor se exprima cu ajutorul marimilor fizice si al unitatilor lor

fundamentale. În ceea ce privete multiplii si submultiplii unitatilor de masura, pentru a

le exprima, se utilizeaza urmatoarele prefixe:

Pentru multipli: 101 deca-; 102 hecto-; 103 kilo-; 106 mega-; 109 giga-; 1012

tera-.

Pentru submultipli: 10-1 deci-; 10-2 centi-; 10-3 mili-; 10-6 micro-; 10-9 nano-;

10-12 pico- .

Alte Sisteme de Unitati. Dintotdeauna, oamenii au avut libertate în alegerea

marimilor fizice si a unitatilor lor de masura. De aici a rezultat un anumit grad de

arbitrar în exprimarea marimilor fizice. De exemplu, în locul masei se poate alege ca

marime fundamentala forta. Cele mai frecvente sisteme de unitati întâlnite în practica,

în afara de SI, sunt: CGS (centimetru-gram-secunda) si MKfS (metru- kilogram-

forta-secunda). O parte a literaturii de fizica este scrisa în sistemul CGS, deoarece era

sistemul cel mai raspândit în secolele XVIII si XIX. Dar legile fizicii, care exprima

relatii între marimi fizice masurabile, sunt aceleai indiferentr de sistemul de unitati

utilizat pentru a le exprima.

Marimile fizice pot fi marimi scalare sau marimi vectoriale. Marimile

fizice scalare sunt determinate numai prin valoarea lor numerica. Un exemplu de

marime scalara este masa unui corp, m =2 kg. Marimile vectoriale sunt determinate prin

valoarea lor numerica (numita marimea vectorului sau modulul vectorului), prin directia

si sensul vectorului.

Câmp fizic. Se numeste câmp fizic regiunea din spatiu unde se manifesta o

anumita marime fizica si unde, în fiecare punct din regiune, marimea fizica are o

anumita valoare. Câmpurile fizice pot fi câmpuri scalare sau câmpuri vectoriale, în

functie de marimea fizica ce le caracterizeaza. Exemple de câmpuri fizice sunt: (i)

temperatura dintr-o camera, care formeaza un câmp scalar; (ii)vectorii câmp electric

dintr-un nor de ploaie, care genereaza un câmp vectorial.

Lege fizica. Anumite fenomene sau procese fizice pot avea legaturi cauzale bine

definite. Prin observatii sau prin determinari experimentale, oamenii descopera aceste

legaturi si stabilesc relatiile cauzale între schimbarile diferitelor marimi fizice ce

caracterizeaza fenomenele respective. Legile generale care guverneaza fenomenele

fizice se numesc legi fizice. Pe baza legilor fizice se poate analiza un anumit fenomen

care este observat în natura sau în laborator. De asemenea, aplicând legi fizice 10

specifice, se poate prevedea starea viitoare a unui sistem fizic.

Experiment fizic. Observatiile dirijate efectuate în laborator, în scopul întelegerii

unor fenomene fizice, se numesc experimente. Pentru a fi considerate valabile,

experimentele trebuie sa îndeplineasca unele conditii. Trebuie sa existe o concordanta

între: (i) rezultatele analizei stiintifice a unui anumit fenomen (exprimate printr-o

lege), (ii) observatiile dirijate din laborator (experiment) si (iii) observarea fenomenului

în natura.

Timp. Timpul reprezinta o masura a duratei proceselor fizice, el fiind masurat

prin durata unui anumit proces. Masurarea timpului se poate face cu ajutorul unor

miscari periodice (oscilatii mecanice, vibratii atomice sau moleculare). Unitatile si

etaloanele de timp au evoluat de-a lungul timpului, ele stabilindu-se în functie de

durata unui anumit fenomen fizic periodic uniform. În prezent, unitatea de timp este

secunda. Secunda este definita pe baza perioadei, TCs, a radiatiilor emise de atomii

izotopilor de Cesiu-133, în urma unor anumite tranzitii între doua stari energetice.

Spatiul si lungimea. Corpurile fizice ocupa un anumit loc în spatiu, având anumite

dimensiuni (lungime, latime, grosime, volum, arie, etc.). De asemenea, locul lor în

spatiu se modifica în functie de miscarea pe care o efectueaza. Dimensiunea unui corp

se stabilete prin compararea sa cu un alt corp, considerat etalon de lungime. Etalonul

de lungime actual este metrul, care reprezinta 1650763,73 lungimi de unda ale

radiatiei portocalii a atomului de Kripton-86 la tranzitia 2p10→5d5 în vid. În mod

formal, standardul pentru unitatea de masura a lungimii este distanta dintre doua linii

paralele trasate pe o bara de platina-iridiu, pastrata în conditii de presiune si temperatura

constante, la Sévres (lânga Paris). Toate celelalte lungimi se exprima prin compararea

cu acest metru-standard.

Spatiul constituie o notiune filozofica, el fiind "locul" în care se desfasoara

fenomenele fizice. Spatiul fizic conventional este spatiul euclidian, care este

tridimensional. În spatiul tridimensional sunt suficiente trei numere care sa descrie

pozitia unui corp în spatiu. Aceste numere sunt determinate prin alegerea Sistemului de

referinta fata de care se raporteaza corpul. Sistemul de referinta este format dintr- un

sistem de trei axe perpendiculare între ele în spatiul tridimensinal si un ceasornic, în aa

fel încât sa se poata determina distante si durate de timp. Axele sistemului de referinta

au câte un vector unitate, numit versor, de modul unitate, si a carui directie da sensul

pozitiv al axei respective. În fig.1.1 se prezinta un sistem de referinta, în care axele de

coordonate sunt Ox, Oy si Oz. Versorii axelor sunt vectorii

.11

Modul în care se exprima pozitia corpului în spatiu depinde de sistemul de

coordonate. De regula, cele trei numere care descriu pozitia corpului sunt proiectiile,

pe cele trei axe ale sistemului de referinta, ale punctului care constituie centrul de

masa al corpului. Acestea se numesc coordonatele carteziene ale corpului. Alte

sisteme de coordonate utilizeaza o distanta si doua unghiuri (coordonate sferice), sau

doua distante si un unghi (coordonate cilindrice).

Punct material. Un corp fizic cu dimensiuni neglijabile si având masa

concentrata într-un punct, numit centru de masa, se numeste punct material.

Aproximatia de punct material constituie cel mai simplu model fizic. Pe durata

deplasarii sale, punctul material se numeste mobil. Pozitia mobilului P din fig.1.1 este

data de vectorul de pozitie, exprimat în functie de coordonatele carteziene sub forma :

Numerele x, y, si z se numesc coordonatele carteziene ale punctului M.

Modulul vectorului de pozitie este dat de relatia:

(1.2)

12

Relatia a fost introdusa si în geometria analitica, pentru a exprima distanta dintre

doua puncte în spatiu.

1.2. Operatii vectoriale

Într-un sistem cartezian de coordonate în care versorii definesc sistemul

ortogonal drept, un vector se scrie , unde sunt

componentele vectorului pe axele de coordonate. Modulul vectorului:

.

Exemplu: ; .

Produsul scalar a doi vectori: , sau folosind componentele

vectorilor pe axele de coordonate:

.

Observaţie: Dacă doi vectori sunt perpendiculari ; (exemplu , ,

);

Dacă doi vectori sunt paraleli ; (exemplu , , ).

Exemplu: đ - lucrul mecanic elementar.

Produsul vectorial a doi vectori este vectorul normal la planul determinat de

şi , al cărui sens se determină cu regula burghiului drept. Modulul său este:

. Folosind componentele vectorilor produsul vectorial este:

.

Observaţie: Dacă doi vectori sunt paraleli ; (exemplu , ,

);

Dacă doi vectori sunt perpendiculari ; (exemplu şi ).

Exemplu: - momentul cinetic.

13

2. Mecanica clasica

Mecanica clasica se bazeaza pe legi ale naturii ce au fost formulate de Isaac

Newton în anul 1686 în lucrarea sa, devenita celebra, "Principiile fundamentale ale

stiintelor naturii". Mai precis, mecanica este acea parte a fizicii care studiaza

miscarea mecanica a corpurilor si conditiile de echilibru ale acestora. Problema

mecanicii este stabilirea ecuatiilor de miscare ale corpurilor.

Ecuatiile de miscare dau forma traiectoriei micarii corpului. Traiectoria

indica pozitiile succesive în spatiu pe care le va ocupa corpul de-a lungul miscarii sale.

2.1. Notiumi generale

Cunoaterea miscarii unui corp presupune stabilirea localizarii lui în spatiu si în

timp. Fie un punct material M, aflat în micare pe o traiectorie în spatiu, ca în fig.2.1.

Fig. 2.1. Traiectoria punctului material într-un sistem de referinta cartezian.

Poziţia unei particule la orice moment de timp t este specificată de vectorul de

poziţie a cărui expresie reprezintă legea de mişcare:

14

.

Prin eliminarea timpului din ecuaţiile parametrice ale traiectoriei x=x(t),

y=y(t), z=z(t) se obţin ecuaţiile traiectoriei.

Vectorul viteză momentană este derivata vectorului de poziţie în raport cu

timpul, iar prin derivarea legii de mişcare se obţine legea vitezei:

, .

Vectorul acceleraţie momentană este derivata întâi a vectorului viteză în

raport cu timpul, sau derivata a doua a vectorului de poziţie în raport cu timpul:

, .

Impulsul este: .

Principiul fundamental al mecanicii: ;

Pentru masă constantă, principiul fundamental al mecanicii se scrie: .

Legea de mişcare, legea vitezei, acceleraţia ca funcţii de timp, ecuaţiile

traiectoriei descriu, ceea ce se numeşte, mişcarea unui mobil. Aceste relaţii nu sunt

independente. Cunoscându-se condiţiile iniţiale (poziţia şi viteza la momentul iniţial),

prin calcule matematice se obţine una din aceste legi din alta, adică se cunoaşte

mişcarea mobilului.

Cunoscând legea de mişcare a unui corp , prin operaţia de derivare se află legea

vitezei , iar apoi derivând legea vitezei se află acceleraţia ca funcţie de timp ,

respectiv forţa ce acţionează asupra corpului dacă acesta are masă con

. Vectorul viteza momentana este tangent la traiectorie, aa cum se vede în fig.2.2.

15

-legea de mişcare -legea vitezei -acceleraţie

Fig. 2.2. Vectorul viteza momentana.

Din legea de mişcare eliminând timpul se pot scrie ecuaţiile explicite ale traiectoriei.

1. Aflaţi viteza şi acceleraţia punctelor materiale descrise de următorii vectori de poziţie:

a) (m);

b) (m);

c) (m);

d) (m).

2. Ecuaţiile mişcării unui mobil sunt următoarele:

x = r cos ωt (m), y = r sin ωt (m), z = α t (m), unde r, ω, α sunt constante pozitive. Să se afle:

a) vectorul viteză, modulul vitezei;

b) vectorul acceleraţie, modulul acceleraţiei.

R: a) m/s; b) m/s2.

3. O particulă de masă m se mişcă după legea:

x = α cos ωt (m), y = β sin ωt (m), unde α, β, ω sunt constante pozitive.

a) Precizaţi unităţile de măsură ale constantelor α, β şi ω;

b) Determinaţi forţa care acţionează asupra particulei în funcţie de poziţia particulei.

R:

16

- legea de mişcare ec. traiectoriei

4. Mişcarea unui punct material în planul xOy este descrisă de legea:

x = α sin ωt (m), y = α (1 - cos ωt) (m), unde α şi ω sunt constante pozitive. Determinaţi unghiul

dintre vectorul viteză şi vectorul acceleraţie al punctului material.

R: π/2.

Din legea de mişcare eliminând timpul se pot scrie ecuaţiile explicite ale traiectoriei.

5. Vectorul de poziţie al unui punct material A variază după legea:

(m), unde α, β sunt constante pozitive. Determinaţi:

a) ecuaţia traiectoriei punctului; reprezentaţi grafic;

b) vectorii viteză şi acceleraţie şi modulele acestora;

c) unghiul θ între vectorii acceleraţie şi viteză în funcţie de timp.

Rezolvare:

a) - ecuaţia traiectoriei;

Traiectoria este o parabolă cu vârful V(0,0), iar punctul A se mişcă pe jumătate din această

parabolă ( x 0).

b) , vectorul viteză este tangent la traiectorie în fiecare punct al acesteia;

, în acest caz vectorul acceleraţie este paralel cu direcţia axei Oy şi în sens opus

acesteia în fiecare punct al traiectoriei;

c) Unghiul pe care vectorul viteză îl face cu axa Oy este (π – θ),

sau dacă se calculează cu ajutorul produsului scalar dintre vectorii şi :

.

6. Mişcarea unei particule în plan este descrisă de legea:

x = β t (m), y = α t (1- β t) (m), unde α, β sunt constante pozitive. Determinaţi:

a) ecuaţia traiectoriei particulei; reprezentaţi grafic;

b) vectorii viteză şi acceleraţie şi modulele acestora;

c) momentul t0 la care vectorul viteză face un unghi de π/4 cu vectorul acceleraţie.

17

- legea de mişcare ec. traiectoriei

R: a) ; c) .

7. Să se scrie ecuaţia traiectoriei, precizând forma acesteia pentru particula care se mişcă după

legea:

a) problemei 5;

b) problemei 6.

8. Două particule se deplasează cu vitezele m/s, respectiv m/s. La

momentul t0=0 particulele se găsesc în poziţiile m, respectiv m. Să se

determine momentul la care distanţa dintre particule este minimă.

R: t = 0,6 s.

9. Două particule se deplasează cu vitezele m/s, respectiv m/s. La

momentul t0 =0 particulele se găsesc în poziţiile m, respectiv m. Să se

determine momentul la care distanţa dintre particule este minimă.

Rezolvare:

,

, ,

,

;

şi ;

t=1 s.

Operaţia inversă derivării fiind integrarea, din legea vitezei se

obţine prin integrare legea de mişcare . Cunoscându-se acceleraţia (sau

forţa) ca funcţie de viteză (de obicei forţele rezistente depind de

viteză), prin integrare se poate afla legea vitezei şi, mai departe, printr-

o nouă integrare, se poate descrie mişcarea prin legea de mişcare .

18

10. Un corp de masă m porneşte la momentul t0 = 0 de la x0 = 0 cu viteza v0 într-un mediu

vîscos de-a lungul axei Ox. Corpul întâmpină din partea mediului o forţă de rezistenţă proporţională

cu viteza (F = - α v). Să se determine:

a) legea vitezei;

b) legea de mişcare;

c) după cât timp viteza iniţială a corpului, v0, se micşorează de n ori.

Rezolvare:

a)

;

b) ;

c) Se înlocuieşte v cu în legea vitezei şi se obţine: .

11. Un corp de masă m întâmpină, din partea mediului în care se mişcă de-a lungul axei Ox, o

forţă de rezistenţă proporţională cu pătratul vitezei; constanta de proporţionalitate este α (F = - α

v2). Presupunând că la momentul t0 = 0 corpul se găseşte la x0 = 0 şi are viteza v0 să se determine:

a) legea vitezei;

b) legea de mişcare;

c) după cât timp viteza iniţială a corpului, v0, se micşorează de n ori.

R: a) ; b) ; c) .

12. Un corp de masă m, care se mişcă în lungul axei Ox, întâmpină din partea mediului în care

se mişcă o forţă de rezistenţă proporţională cu cubul vitezei (F = - α v3). Presupunând că la

momentul t0 = 0 corpul pleacă de la x0=0 şi are viteza v0 şi neglijând restul interacţiunilor, să se

determine:

19

-legea de mişcare -legea vitezei-acceleraţie

a) legea vitezei;

b) legea de mişcare;

c) după cât timp viteza iniţială a corpului, v0, se micşorează de n ori.

R: a) ; b) ; c) .

.

13. O particulă se mişcă încetinit în sensul pozitiv al axei Ox cu acceleraţia , unde α

constantă pozitivă. Ştiind că la momentul t0 = 0, x0 = 0, iar viteza este v0, determinaţi:

a) legea vitezei;

b) legea de mişcare;

c) drumul parcurs până la oprire şi intervalul de timp corespunzător.

R: a) ; b) ;

c) , .

Cunoscându-se viteza ca funcţie de poziţie , prin integrare se poate afla legea de mişcare

şi, mai departe, se poate descrie mişcarea prin legea dorită, folosind operaţiile matematice

amintite mai sus.

14. O particulă se deplasează în planul xOy cu viteza , unde α, β sunt

constante. La momentul iniţial t0 = 0 particula se găseşte în punctul x0 = y0 = 0. Determinaţi:

a) legea de mişcare;

b) legea vitezei;

c) ecuaţia traiectoriei;

d) acceleraţia.

R: a) .

15. O particulă de masă m se deplasează în sensul pozitiv al axei Ox cu o viteză , unde

α constantă pozitivă. Ştiind că la momentul t0 = 0 particula se găseşte în punctul x0 = 0 determinaţi:

a) legea de mişcare;

20

b) legea vitezei;

c) acceleraţia;

d) lucrul mecanic al tuturor forţelor ce acţionează asupra particulei în primele t secunde ale

mişcării.

R: a) ; d) .

16. Aceeaşi problemă pentru .

R: a) ; d) .

Atunci când se cunosc ecuaţiile traiectoriei, prin derivări succesive ale

acestora, şi folosind condiţiile iniţiale se poate deduce acceleraţia ca funcţie

de poziţie .

17. O particulă de masă m se mişcă pe traiectoria cu o

acceleraţie paralelă cu axa Oy. La t0 = 0 particula se găseşte în punctul

de coordonate x0 = 0, y0 = şi are viteza v0. Determinaţi forţa care

acţionează asupra particulei în fiecare punct al traiectoriei.

Rezolvare:

- ecuaţia traiectoriei;

Derivând ecuaţia traiectoriei în raport cu timpul se obţine:

sau

Condiţiile iniţiale:

t0 = 0, x0 = 0, y0 = , v0 ,

ay , ax = 0 vx = const.

se înlocuiesc în (1) şi

v0y = 0 şi deci v0x = v0 vx = const = v0

Derivând (1) încă o dată în raport cu timpul şi utilizând, din nou,

condiţiile iniţiale, se obţine:

21

ec. traiectoriei

Înlocuind vy din (1) şi folosind ecuaţia traiectoriei se obţine:

ay = ay =

Astfel Fy = , iar .

18. O particulă se deplasează pe o traiectorie plană cu viteza constantă în modul (v).

Determinaţi acceleraţia particulei în punctul x0 = 0 pentru o traiectorie descrisă de ecuaţia:

a) ;

b) .

Rezolvare:

a) vy = 2α x vx (1)

Dar vx2+ vy

2 = v2 = const. vx2 ( 1+4 α2x2 ) = v2 (2)

;

ay = 2 α vx2+2 α x ax ;

Pentru x0 = 0 y0 =0 ;

b) R: .

19.Un corp

de masă m se află

în repaus pe un plan orizontal. La momentul t0 = 0 asupra lui începe să acţioneze o forţă dată de

legea F = α t, unde α este o constantă. Forţa face un unghi θ cu orizontala. Neglijînd frecarea să se

determine:

a) legea vitezei, până la părăsirea planului orizontal;

b) viteza v1 a corpului în momentul în care acesta părăseşte planul;22

-legea de mişcare -legea vitezei -acceleraţie -forţă

c) legea de mişcare, până la părăsirea planului;

d) drumul parcurs de corp din momentul iniţial până la părăsirea planului.

Rezolvare:

a) Până la părăsirea planului orizontal acceleraţia corpului este:

F cos θ = m a ,

;

b) În momentul desprinderii componenta verticală a forţei este egală cu greutatea, astfel încât:

F sin θ =G α t1 sin θ = mg ,

;

c) R: ; d) R: .

20. Un corp de masă m se află în repaus pe un plan orizontal. La momentul t0 = 0 asupra lui

începe să acţioneze o forţă dată de legea F = α , unde α este o constantă. Forţa face un unghi θ cu

orizontala. Neglijînd frecarea, să se determine:

a) viteza v1 a corpului în momentul în care acesta părăseşte planul;

b) drumul parcurs de corp din momentul iniţial până la părăsirea planului.

R: a) ; b) .

2.2. Principiile fundamentale ale dinamicii

Rezolvarea problemelor de mecanica clasica se bazeaza pe câteva principii

fundamentale, obtinute prin generalizarea observatiilor experimentale. Cele trei

23

principii, ce au fost formulate de Galilei si de Newton, sunt suficiente pentru a explica

toate miscarile mecanice clasice, adica miscarile ce se desfasoara cu viteze mult mai

mici decât viteza luminii în vid, c = 3 108 m/s. Daca vitezele punctelor materiale se

apropie de viteza luminii în vid, atunci micarile lor se supun principiilor relativitatii

restrânse ale lui Einstein.

Principiul inertiei

Principiul inertiei a fost formulat prima data de Galilei si este cunoscut sub forma

urmatoare:

"Un corp îi pastreaza starea de repaus sau de micare rectilinie si uniforma atâta timp

cât asuprea lui nu se exercita nici o forta, sau daca rezultanta tuturor fortelor este zero".

Principiul inertiei introduce notiunea de forta. Forta este o marime vectoriala,

având ca unitate de masura în SI 1 newton, [F]SI = 1 N. Prin intermediul fortelor,

corpurile actioneaza unele asupra altora, transmitând micarea mecanica. Câmpurile

de forte sunt si ele raspunzatoare de transmiterea interactiunilor mecanice.

Conform acestui principiu, rezultanta egala cu zero a unui numar oarecare

de forte este echivalenta cu inexistenta fortei. Miscarea unui corp asupra caruia

actioneaza mai multe forte a caror rezultanta este nula sau asupra caruia nu actioneaza

nici o forta se numeste micare inertiala.

Asa cum stim, micarea este caracterizata în raport cu un sistem de referinta ales

arbitrar, de aceea micarea are caracter relativ. În acest sens, Galilei a formulat

principiul relativitatii miscarii mecanice. Sa consideram un calator aezat într-un vagon

de tren, ce se deplaseaza rectiliniu si uniform. Calatorul se poate gasi într-una din

starile mecanice urmatoare: (i) este în repaus, în raport cu sistemul de referinta legat

de tren, (ii) este în miscare rectilinie uniforma cu o viteza egala cu viteza trenului fata

de un sistem de referinta legat de Pamânt, (iii) este în miscare accelerata, în raport cu

un sistem de referinta legat de Soare, deoarece Pamântul este în micare accelerata fata

de Soare. Toate sistemele de referinta ce se misca rectiliniu si uniform se numesc

sisteme de referinta inertiale. In aceste sisteme de referinta este valabil principiul

inertiei.

Principiul fortei sau a doua lege a dinamicii.

24

Newton a descoperit faptul ca o forta care actioneaza asupra unui corp îi

imprima acestuia o acceleratie, proportionala cu forta si invers proportionala cu masa

corpului.

Derivata impulsului al unui punct material in raport cu timpul ,

reprezintă rezultanta F a forţelor care acţionează asupra punctului vectorial ca

urmare a interacţiunilor cu alte corpuri. Forţa este direct proporţională cu produsul

dintre masa şi acceleraţia corpului.

sau

constanta de integrare

25

aria suprafetei masurate este egala cu variatia

componentei impulsului pe axa Ox Δt= t- t0

Masa este o masura a cantitatii de materie continuta în corp. Cantitatea de micare

sau impulsul unui corp se definete ca produsul dintre masa si vectorul viteza al corpului:

Unitatea de masura pentru impulsul mecanic este [p]SI =1 kg m s-1.

Principiul actiunii si reactiunii.

" Oricarei actiuni i se opune întotdeauna o reactiune egala în modul si de sens

contrar." Cele doua forte, actiunea si reactiunea, sunt aplicate simultan si la corpuri

diferite, de-a lungul dreptei care unete cele doua corpuri. În acest caz este vorba de

interactiunea mutuala simultana si nu de o cauza si un efect.

Principiul independentei actiunii fortelor

Experimental, se constata ca fiecare dintre fortele la care este supus un corp

actioneaza independent de celelalte forte aplicate corpului. Din acest principiu rezulta

posibilitatea înlocuirii unui ansamblu de forte, F1 , F2 , ..., Fn , prin rezultanta lor,

egala cu suma vectoriala a acestora.

Principiul relativitatii din mecanica clasica.

Micarea mecanica este raportata la sisteme de referinta. Din acest punct de

vedere, micarea este relativa. Sistemele de referinta pot fi în repaus, în micare

rectilinie si uniforma (sisteme de referinta inertiale), sau în micare accelerata

(sisteme de referinta neinertiale). În anul 1632 Galilei enunta principiul relativitatii

în mecanica clasica, afirmând ca toate legile mecanicii ramân neschimbate fata de orice

sistem de referinta inertial. Din punct de vedere mecanic, toate sistemele de referinta

inertiale sunt absolut echivalente. Nici un sistem de referinta inertial nu poate fi

considerat absolut, toate fiind egal îndreptatite. Prin urmare, nici o experienta

mecanica efectuata în interiorul unui sistem de referinta inertial nu ne permite sa

determinam miscarea rectilinie si uniforma sau starea de repaus a sistemului de

26

referinta fata de stelele fixe (adica fata de alte sisteme de referinta inertiale). Din

interiorul vagonului de tren din exemplul anterior nu ne putem da seama daca acesta

merge uniform si rectiliniu sau sta pe loc, deoarece orice experienta mecanica da acelai

rezultat în ambele cazuri.Lucrurile se schimba radical atunci când avem de-a face cu

sisteme de referinta neinertiale, adica aflate în micare accelerata. În acest caz legile

lui Newton nu mai sunt valabile si cu ajutorul experientelor mecanice efectuate

în interiorul sistemului putem determina acceleratia acestuia. În sistemele de

referinta neinertiale se excercita fortele de inertie. Cel mai simplu exemplu de forta

de inertie este forta centrifuga din micarea circulara.

2.3. Teoreme generale în dinamica punctului material

Ca o consecinta a principiilor fundamentale ale dinamicii, se obtin legile ce

guverneaza unele marimi fizice ale punctului material (impuls mecanic, energie,

moment cinetic). Aceste legi se mai numesc si teoremele generale în dinamica

punctului material.

Energia

Lucrul mecanic elementar, respectiv lucrul mecanic total la trecerea din starea

1 în starea 2 sunt:

đ , .

Observaţie: đL reprezintă lucrul mecanic elementar şi nu diferenţiala lucrului

mecanic.

Dacă forţa este constantă pe tot parcursul deplasării: .

- puterea mecanică; .

đL = dEc - teorema variaţiei energiei cinetice;

Lucrul mecanic al forţelor care derivă din potenţial este: đL= - dU, iar forţele câmpului

potenţial se exprimă:

= - grad U,

27

unde U = U( x, y, z ) – potenţialul sau energia potenţială este funcţie de poziţie;

- operatorul nabla.

E = Ec + U – energia totală.

21. Forţele constante (N) şi (N) acţionează

simultan asupra unei particule în timpul deplasării acesteia din punctul A(4, 7, 5) (m) în

punctul B(9, 0, 8) (m). Care este lucrul mecanic efectuat asupra particulei?

R: 30 J

22. O particulă se deplasează pe o traiectorie în planul xOy din punctul de vector

de poziţie m, în punctul de vector de poziţie m. Ea se

deplasează sub acţiunea unei forţe N. Calculaţi lucrul mecanic efectuat de

forţa .

R: - 40 J.

23. Un corp de masă m = 4 kg se mişcă după legea m. Să se

calculeze lucrul mecanic efectuat asupra corpului în intervalul de timp t0 = 0, t1 = 2 s.

Rezolvare:

,

, ;

;

J.

24. Un corp de masă m = 1 kg se mişcă după legea m. Să se

calculeze lucrul mecanic efectuat asupra corpului în intervalul de timp t0 = 0, t1 = 1 s.

R: L = 20 J.

25. Asupra unui corp de masă m aflat pe un plan orizontal acţionează o forţă

constantă în modul F = mg/2. Pe parcursul deplasării forţa face cu orizontala un unghi

care variază după legea θ = α x, unde α este o constantă, iar x este drumul parcurs (x0 =

0). Să se calculeze viteza v1 a corpului în momentul în care unghiul θ = π/2.

28

Rezolvare:

F sin θ < G , pentru orice x pe tot parcursul deplasării corpul rămâne pe planul

orizontal;

Lucrul mecanic, al forţelor care acţionează asupra corpului, se reduce la lucrul

mecanic al componentei forţei de-a lungul planului orizontal :

;

Folosind teorema variaţiei energiei cinetice:

L = ∆Ec .

Dacă se cunoaşte forţa, sau acceleraţia, ca funcţii de poziţie, legea vitezei

se poate obţine folosind teorema variaţiei energiei cinetice şi definiţia lucrului mecanic,

iar legea de mişcare rezultă prin integrarea legii vitezei. O altă modalitate de a obţine

legea de mişcare este rezolvarea ecuaţiei diferenţiale la care conduce principiul

fundamental al mecanicii.

26. Un corp de masă m se mişcă în lungul axei Ox sub acţiunea unei forţe care

variază după legea F = α x, unde α este o constantă pozitivă. Ştiind că, la momentul t0 =

0, corpul se găseşte în x0 şi are viteza v0 = 0, să se determine:

a) legea de mişcare;

b) legea vitezei.

R: a) ; b) .

27. Un corp de masă m se mişcă în lungul axei Ox sub acţiunea unei forţe care

variază după legea F = α x, unde α este o constantă pozitivă. Ştiind că, la momentul t0 =

0, corpul se găseşte în x0 = 0 şi are viteza v0 , să se determine:

a) legea de mişcare;

b) legea vitezei.

Rezolvare:

29

-legea de mişcare -legea vitezei -acceleraţie -forţă

a) Folosind teorema variaţiei energiei cinetice: L = ∆Ec şi definiţia lucrului mecanic:

,

se obţine lucrul mecanic şi deci ;

Prin integrare se obţine legea de mişcare implicită:

,

care, prin câteva artificii matematice duce la legea de mişcare explicită.

Dacă se abordează problema rezolvând ecuaţia diferenţială ce rezultă în urma aplicării

principiului fundamental al mecanicii:

,

atunci legea de mişcare rezultă în mod explicit şi este:

;

b) R: .

28. Un corp de masă m este ridicat de la suprafaţa Pământului cu ajutorul unei

forţe care depinde de altitudinea y după legea , unde α este o

constantă pozitivă. Calculaţi lucrul mecanic al acestei forţe şi variaţia energiei potenţiale

a corpului pe porţiunea y = 0, y = 1/2α.

R: ; .

29. Un resort special are legea forţei F = - α x3. Care este energia potenţială în

punctul x, presupunând Ep = 0 la x0 = 0.

R: Ep = α x4 / 4.

30. Ştiind că potenţialul forţei este dat de expresia , unde α este o

constantă pozitivă, să se determine expresia forţei ce derivă din acesta.

Rezolvare:

30

;

Pentru a lucra în coordonate carteziene se foloseşte expresia potenţialului scrisă cu

aceste coordonate:

,

,

,

.

31. Potenţialul unui câmp are expresia , unde α şi β sunt constante

pozitive, iar r este distanţa faţă de centrul câmpului. Să se determine:

a) expresia forţei ce derivă din acest potenţial;

b) valoarea maximă a forţei de atracţie pe care acest câmp o exercită asupra unei particule.

R: a) ; b) .

Momentul forţei şi momentul cinetic

- momentul forţei;

- momentul cinetic;

- teorema mometului cinetic;

Pentru forţe centrale momentul forţei este nul în raport cu centrul câmpului şi momentul

cinetic se conservă.

31

32. O planetă de masă m evoluează în jurul Soarelui, de masă M, pe o elipsă.

Distanţa minimă (periheliu) şi maximă (afeliu) faţă de Soare este r1, respectiv r2.

Calculaţi momentul cinetic al acestei planete în raport cu centrul Soarelui.

Rezolvare:

Forţa de interacţiune gravitaţională între planetă şi Soare este:

,

iar energia potenţială a planetei în câmpul gravitaţional al Soarelui este:

;

Mişcarea planetei fiind în câmp central, energia totală şi momentul cinetic se conservă.

În punctele în care distanţa planetei faţă de Soare este minimă, respectiv maximă,

aceste legi de conservare se scriu:

,

.

Rezolvând sistemul format din aceste două ecuaţii care au necunoscutele v1 şi v2 se

obţine:

.

33. Să se exprime, în funcţie de momentul cinetic J, energia cinetică, energia

potenţială şi energia totală a unui satelit de masă m pe o orbită circulară.

R: ; ; .

32

O deplasare infinit mica a punctului material pe traiectorie.

Traiectorii ale punctului material între doua puncte în spatiu.

33

3. Oscilatii si unde

3.1. Notiuni generale

Se numeste oscilatie fenomenul fizic în decursul caruia o anumita marime fizica a

procesului prezinta o variatie periodica sau pseudo-periodica. Un sistem fizic izolat, care

este pus în oscilatie printr- un impuls, efectueaza oscilatii libere sau proprii, cu o

frecventa numita frecventa proprie a sistemului oscilant. Oscilatiile pot fi clasificate în

functie de mai multe criterii.

Din punct de vedere al formei de energie dezvoltata în timpul oscilatiei, putem

întâlni: (i) oscilatii elastice, mecanice (au loc prin transformarea reciproca a energiei

cinetice în energie potentiala); (ii) oscilatii electromagnetice (au loc prin transformarea

reciproca a energiei electrice în energie magnetica);

(iii) oscilatii electromecanice (au loc prin transformarea reciproca a energiei

mecanice în energie electromagnetica).

Din punct de vedere al conservarii energiei sistemului oscilant, putem clasifica

oscilatiile în: (i) oscilatii nedisipative, ideale sau neamortizate (energia totala se

conserva); (ii) oscilatii disipative sau amortizate (energia se consuma în timp); (iii)

oscilatii fortate sau întretinute (se furnizeaza energie din afara sistemului, pentru

compensarea pierderilor).

Marimi caracteristice oscilatiilor periodice.

Sa notam cu S(t) marimea fizica ce caracterizeaza o oscilatie. Atunci, daca T

este perioada oscilatiei, marimea S are aceai valoare la momentul t si la un moment

ulterior, t + T:

S(t) = S(t+T )

Oscilatiile armonice reprezinta acel tip de oscilatii în care marimile caracteristice

se pot exprima prin functii trigonometrice (sinus, cosinus ) sau prin functii

exponentiale de argument complex. Acele oscilatii care nu sunt armonice, se pot

descompune în serii Fourier de functii. Reamintim, de asemenea, formulele lui Euler,

care vor fi utile în calculele urmatoare:

Miscarea oscilatorie armonica apare foarte des în situatiile practice. Un

exemplu foarte la îndemâna îl constituie bataile inimii. Se spune ca Galilei folosea

bataile inimii sale pentru a cronometra miscarile pe care le studia.

3.2. Micarea oscilatorie armonica ideala34

În absenta unor forte de frecare sau de disipare a energiei, miscarea oscilatorie

este o miscare ideala, deoarece energia totala a oscilatorului ramâne constanta în timp.

Micarea este reversibila, astfel ca dupa o perioada oscilatorul revine în pozitia initiala si

procesul se reia. Forta care determina revenirea oscilatorului în pozitia initiala si care

permite continuarea oscilatiei se numete forta de revenire. Aceasta forta de revenire

poate fi forta elastica dint-o lama metalica, presiunea dintr-un tub si, în general, orice

forta care produce o deformare elastica.

Sa consideram un oscilator mecanic format dintr-un resort elastic si un corp

punctiform, de masa m, legat la capatul liber al resortului, ca în fig.3.1.a. Daca se pune

corpul în miscare prin intermediul unei forte si daca nu exista frecari, sistemul va

efectua o micare periodica în jurul pozitiei de echilibru, numita oscilatie ideala.

Forta elastica din resort, eF , este singura forta din sistemul mecanic, aa ca

putem scrie formula fudamentala a dinamicii sub forma:

ma = - k y

unde k este constanta elastica a resortului, iar y este alungirea acestuia (y se numete

elongatia miscarii) .

Ecuatia de micare a corpului devine:

m a + k y = 0

Fig. 3.1. Oscilator mecanic ideal: a) momentul initial; b) alungirea y produce forta de

revenire eF ;

c) amplitudinea micarii oscilatorii.

35

Acceleratia corpului reprezinta derivata de ordinul doi la timp a vectorului

deplasare, de aceea ecuatia de micare devine:

Reprezentarea marimilor vectoriale periodice se poate realiza si prin

intermediul fazorilor. Fazorul este un vector rotitor în sens trigonometric pozitiv într-un

plan Oxy, care are vitexa unghiulara

0 . Lungimea fazorului este egala cu modulul vectorului pe care îl reprezinta, adica

fazorul este egal cu amplitudimea micarii oscilatorii. Faza vectorului reprezentat este

egala cu unghiul format de fazor cu axa orizontala, Ox. Vectorul reprezentat este egal cu

proiectia fazorului pe axa verticala Oy. Fazorul din fig. 3.2 reprezinta elongatia

oscilatorului ideal, în diferite momente de timp.

Fig. 3.2. Reprezentarea fazoriala a oscilatiei.

Marimile fizice caracteristice ale oscilatorului ideal pot fi reprezentate grafic în

functie de timp. Daca faza initiala este nula, se obtin graficele functiilor y = f(t), v = f(t)

si a = f(t) din fig.3.3.

Fig. 3.3. Elongatia, viteza si acceleratia oscilatorului ideal în functie de timp.

36

Energia mecanica a oscilatorului ideal este constanta, ceea ce constitue legea

conservarii energiei mecanice a oscilatorului ideal.

În decursul oscilatiei ideale, energiile cinetica si potentiala elastica ale oscilatorului

ideal sunt variabile în timp, transformându-se una în alta, în aa fel încât suma lor

sa ramâna constanta. În fig.3.4 sunt reprezentate energiile cinetica, potentiala si

totala în functie de elongatia y. Se poate observa ca desi energia potentiala este

variabila, fiind reprezentata de parabola din figura, totusi energia mecanica a

oscilatorului ideal este constanta.

Fig.3.4. Energiile cinetica, potentiala si totala în functie de elongatia oscilatorului

ideal.

Conservarea energiei mecanice a oscilatorului constituie efectul direct al

faptului ca fortele elastice sunt forte conservative. Caracterul oscilant al miscarii se

poate constata si din transformarea periodica a energiei cinetice în energie potentiala si

reciproc.

3.3. Compunerea miscarilor oscilatorii armonice

Pe baza legilor micarii oscilatorii armonice ideale se pot studia miscari oscilatorii

mai complexe, care rezulta din compunerea a doua sau mai multe oscilatii armonice,

care se desfasoara pe directii paralele sau pe directii perpendiculare.

37

3.3.1. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de aceeasi pulsatie

Sa presupunem ca un punct material de masa m este legat de doua resorturi

elastice, aa cum se vede în fig.3.5, fiind supus simultan la doua forte elastice pe aceeai

directie dar în sensuri diferite. Cele doua resorturi elastice sunt identice, adica au aceeai

constanta elastica, k 1 = k 2 = k.

Fig.3.5. Oscilatie armonica sub actiunea a doua forte elastice paralele.

Fig. 3.6. Reprezentarea fazoriala a compunerii oscilatiilor paralele.

38

3.3.2. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de frecventa diferita

Consideram doua oscilatii armonice individuale ale punctului material de masa

m. Una dintre oscilatii are pulsatia proprie 1 iar cealalta are pulsatia proprie 2. Diferenta

dintre cele doua frecvente de oscilatie nu este însa prea mare. Elongatiile celor doua

oscilatii armonice independente sunt de forma:

Punctul material este supus simultan ambelor oscilatii, asa cum se poate vedea în

fig. 3.7, si ne propunem sa determinam ecuatia oscilatiei rezultante.

Fig. 3.7. Compunerea a doua oscilatii paralele de frecvente diferite.

Tb mai este numita si perioada batailor.

39

Fig. 3.8. Fenomenul de batai.

Faza oscilatiei are perioada T, mult mai mica decât Tb:

Oscilatia rezultanta este reprezentata, în fig.3.7, cu linie continua.

Perioada batailor este intervalul de timp între doua treceri succesive ale

amplitudinii rezultante prin valoarea minima sau maxima.

3.3.3. Compunerea oscilatiilor perpendiculare

Consideram un punct material de masa m, care care este solicitat simultan sa

oscileze armonic sub actiunea a doua resorturi elastice identice legate pe doua directii

perpendiculare, ca în fig. 3.9.

Fig. 3.9. Compunerea oscilatiilor perpendiculare

Cele doua miscari oscilatorii armonice sunt perpendiculare, având ecuatiile

elongatiilor pe cele doua directii de forma:

40

Fig. 3.10. Traiectorie eliptica rotita fata de axe.

Fig. 3.11. Traiectorie particulara în cazul compunerii oscilatiilor perpendiculare în

faza,

Elipsa care descrie traiectoria particulei nu mai este rotita fata de axele de

coordonate (vezi fig.3.12).

Fig.3.12. Traiectoria rezultata din compunerea a doua oscilatii perpendiculare în

cuadratura de faza,

Micarea punctului material se defasoara pe elipsa, într-un sens sau în altul.

3.4. Miscarea oscilatorie amortizata

Sistemele oscilante reale sunt supuse unor forte de frânare, sau de disipare a

41

energiei pe care-o au la începutul miscarii. Acea parte a energiei ce se pierde prin

frecare se transforma în caldura. Ampltudinea micarii oscilatorii amortizate este

scazatoare în timp. Un caz interesant de forte de frânare îl constituie fortele

proportionale cu viteza de oscilatie. Micarea este neperiodica, aa cum se vede în fig.

3.13. Elongatia tinde la zero când timpul tinde la infinit, fara ca punctul material sa

oscileze.

Fig. 3.13. Elongatia micarii cu forta de amortizare mare, 0 .

Fig. 3.14. Elongatia si amplitudinea oscilatorului armonic amortizat în functie de

timp.

Observam ca oscilatia amortizata este modulata în amplitudine. Elongatia tinde la

zero când timpul tinde la infinit, punctul material oscilând în jurul pozitiei de echilibru

cu o amplitudine din ce în ce mai mica.

Descreterea amplitudinii micarii oscilatorii amortizate este caracterizata de

marimea numita decrement logaritmic. Decrementul logaritmic este egal cu logaritmul

42

natural al raportului dintre doua amplitudini succesive:

Fig.3.15. Dependenta de timp a energiei mecanice si a amplitudinii oscilatorului

amortizat.

3.5. Analogie între oscilatiile mecanice si cele electromagnetice

Examinând oscilatiile elastice (ale unui sistem format dintr-un resort elastic

si un corp punctiform) si oscilatiile electromagnetice (dintr-un circuit serie RLC de

curent alternativ), constatam o serie de asemanari (similitudini). Aceste asemanari au

condus la stabilirea unor corespondente între marimile electrice si cele mecanice,

adica la stabilirea unor analogii între aceste marimi. Cunoaterea analogiilor dintre

marimile electrictromagnetice si cele mecanice permite transpunerea rezultatelor

obtinute pentru oscilatiile elastice armonice (ideale sau amortizate) la cazul

oscilatiilor electrice. Consideram un circuit serie RLC, format dintr-un rezistor cu

rezistenta electrica R, o bobina ideala cu inductanta L, si un condensator de capacitate

electrica C (vezi fig. 3.16).

Fig. 3.16. Circuit RLC parcurs de un curent electric variabil în timp.

43

Consideram ca bobina constituie secundarul unui transformator. În bobina se

induce o tensiune electromotoare, uL, prin inductie electromagnetica între primarul si

secundarul transformatorului. Similitudinile dintre cele doua tipuri de oscilatii sunt

prezentate în Tabelul 3.1. Astfel, putem observa ca toate marimile fizice

corespunzatoare oscilatiei electromagnetice au un corespondent în marimi

corespunzatoare oscilatiei elastice. Folosind analogia dintre oscilatiile amortizate ale

resortului elastic si oscilatiile electromagnetice amortizate din circuitul RLC, se poate

scrie intensitatea instantanee a curentului electric din circuit, care este data de relatia:

În fig. 3.17 se prezinta intensitatea instantanee a curentului electric din circuit si

amplitudinea oscilatiilor sale în functie de timp.

Fig. 3.17. Intensitatea instantanee a curentului electric din circuitul oscilant

amortizat.

44

3.6. Oscilatii fortate. Rezonanta

Sa consideram un oscilator mecanic format dintr-un resort elastic si un corp de

dimensiuni neglijabile. Datorita fortei de frecare, energia mecanica a oscilatorului se

consuma în timp, astfel încât oscilatia este amortizata, aa cum am vazut în paragraful

3.4. Pentru a întretine miscarea oscilatorie,trebuie sa se aplice forte exterioare (numite

forte de fortare), care sa compenseze pierderile de energie din sistem. În acest caz,

punctul material va efectua o miscare oscilatorie fortata. Dintre tipurile de forte de

fortare (sau perturbatoare) ce se pot aplica sistemului oscilant, un caz interesant

pentru aplicatiilepractice este cel în care fortele perturbatoare sunt periodice.

Experienta arata ca o miscare periodica întretinuta prezinta un regim tranzitoriu,

dupa trecerea caruia se instaleaza regimul permanent. Regimul tranzitoriu este de scurta

durata, iar regimul permanent se manifesta prin oscilatii întretinute.

3.6.1. Rezonanta

Aa cum am vazut în paragraful anterior, dupa stabilirea regimului permanent

al oscilatiei întretinute, frecventa de oscilatie este egala cu frecventa fortei

45

perturbatoare. Sistemul oscilant adopta pulsatia fortei perturbatoare, care este diferita

de pulsatia sa proprie de oscilatie ca sistem

Rezonanta este fenomenul fizic de aparitie a maximului amplitudinii oscilatiei

întretinute. Sistemul fizic aflat la rezonanta oscileaza cu amplitudine maxima. Deci,din

punct de vedere fizic, este ideal sa amplificam la maxim o oscilatie armonica, totusi

în practica trebuie evitate situatiile în care frecventa fortei de întretinere coincide cu

frecventa proprie a oscilatorului,deoarece în acest caz amplitudinea tinde la infinit.

Rezonanta mecanica are multiple aplicatii în tehnica.

Fig. 3.18. Curbe de rezonanta pentru diferite valori ale coeficientului de amortizare:

Astfel, în acest paragraf am constatat ca în cazul oscilatiilor întretinute, sau

fortate, forta exterioara produce un lucru mecanic ce compenseaza pierderile de

energie din sistemul oscilant. În paragraful urmator vom vedea cum se caracterizeaza

din punct de vedere energetic oscilatiile întretinute.

46

Fig. 3.19. Variatia modulului fazei intiale a oscilatiei permanente în

3.6.2. Consideratii energetice ale oscilatiilor fortate

În continuare vom defini câteva marimi fizice care caracterizeaza transferul

energiei mecanice în sistemul ce efectueaza oscilatii fortate, sau întretinute.

1. Puterea instantanee absorbita de sistemul oscilant întretinut reprezinta derivata la

timp a lucrului mecanic efectuat de forta de fortare.

2. Puterea medie absorbita în decursul unei perioade reprezinta integrala pe o

perioada a puterii instantanee absorbite Pa (t).

3. Puterea instantanee disipata sub forma de caldura de catre forta de frecare

reprezinta derivata la timp a lucrului mecanic efectuat de forta de frecare.

4.Puterea medie disipata într-o perioada reprezinta integrala pe o perioda a

puterii instantanee disipate.

47

Fig. 3.20. Puterile medii absorbita si disipata

Oscilaţii mecanice ,aplicatii

Oscilaţii armonice:

Un corp efectuează oscilaţii armonice atunci când asupra lui acţionează o forţă de tip

elastic:

F = - k x,

k –constanta elastică; x –elongaţie; m –masa;

, ω0 – pulsaţie proprie; , T0 –perioadă proprie;

x(t) = A sin (ω0 t + φ);

Oscilaţii amortizate:

Oscilaţiile unui corp sunt amortizate atunci cănd asupra lui acţionează, pe lângă forţa de

tip elastic (- k x) şi o forţă rezistentă proporţională cu viteza (– α v):

F = - k x – α v, α –coeficient de rezistenţă;

, , ω –pulsaţia oscilaţiei amortizate;

β –factor de amortizare;

Observaţie: Avem de-a face cu mişcare de oscilaţie numai dacă .

x(t) = A e - β t sin (ω t + φ);

- decrement logaritmic;

T – perioada mişcării oscilatorii amortizate.

48

Oscilaţii forţate:

Forţa care întreţine oscilaţia este sinusoidală de amplitudine F0 şi pulsaţie ω1:

F = - k x – α v + F0 sin (ω1 t);

x(t) = A1 sin (ω1 t - φ1 ) ,

, ;

A1 (ω1) = maximă ω1= ωrez = .

34. O particulă efectuează oscilaţii sinusoidale de-a lungul axei Ox în jurul poziţiei

de echilibru. Pulsaţia oscilaţiilor este ω = 5 rad/s. La momentul t0=0 particula se

găseşte în poziţia x0 = 12 cm şi are viteza =0,6 m/s. Determinaţi legea de mişcare şi

legea vitezei.

R: cm; m/s.

35. Determinaţi pulsaţia şi amplitudinea oscilaţiilor sinusoidale efectuate de o

particulă dacă la distanţele x1 şi x2 de la poziţia de echilibru viteza particulei are valorile

v1 şi v2.

R: , .

36. Un corp de masă m = 0,05 kg fixat de capătul unui resort de constantă elastică

k = 20 N/m execută o mişcare oscilatorie armonică de-a lungul axei Ox. Ştiind că la

momentul t0 = 0 corpul are doar energie cinetică, iar energia cinetică maximă a corpului

este de 9·10 -3 J, să se determine:

a) legea de mişcare;

b) energia totală a corpului.

R: a) x(t) = 0,03 sin(20 t) m; b) Et = 9·10 -3 J.

37. Un corp de masă m = 0,05 kg fixat de capătul unui resort execută o mişcare

oscilatorie armonică de-a lungul axei Ox după legea:

m. Să se determine:

49

a) constanta elastică a resortului şi perioada oscilaţiilor;

b) energia totală a corpului;

c) momentele de timp la care energia cinetică este egală cu energia potenţială.

R: a) k = 5 N/m, s; b) Et = 6.25·10 -3 J; c) s, unde n=număr

natural.

38. Un punct material efectuează o mişcare oscilatorie amortizată de-a lungul axei

Ox. Perioada mişcării este T=3 s, iar decrementul logaritmic δ=0,6. Să se scrie legea de

mişcare, ştiind că la momentul iniţial t0 = 0, x0 = 0, v0 = 0,5 m/s.

R: .

39. Să se scrie expresia vitezei oscilaţiilor amortizate.

Rezolvare:

x(t) = A0 e - β t sin (ω t + φ),

,

;

,

.

40. Un punct material execută oscilaţii amortizate cu pulsaţia ω. Să se determine

coeficientul de amortizare β dacă la momentul t0 = 0 viteza punctului material este nulă,

iar elongaţia este de n ori mai mică decât amplitudinea.

R: .

41. Un corp oscilează într-un mediu cu decrementul logaritmic δ1. Care este

decrementul logaritmic δ2 dacă coeficientul de rezistenţă al mediului creşte de n ori?

Rezolvare:

;

50

, ,

;

,

.

42. Un corp oscilează într-un mediu cu decrementul logaritmic δ1. De câte ori

trebuie să crească rezistenţa mediului pentru ca oscilaţia amortizată să devină mişcare

amortizată aperiodică (β2 = ω0).

R: .

43. Un corp de masă m=250 g execută o mişcare de oscilaţie amortizată cu factorul de

amortizare β = π/4 s – 1, perioada oscilaţiilor proprii fiind s. Oscilaţiile corpului

devin forţate în urma acţiunii unei forţe exterioare periodice N. Să se

scrie elongaţia oscilaţiilor forţate.

R: m.

44. Amplitudinea oscilaţiilor forţate este aceeaşi pentru două frecvenţe ν1 şi ν2. Să

se afle frecvenţa de rezonanţă a oscilaţiilor.

R: .

45. Asupra unui corp, care efectuează o mişcare oscilatorie amortizată cu perioada

oscilaţiilor proprii T0, acţionează o forţă exterioară sinusoidală de amplitudine F0. La

rezonanţa vitezelor, amplitudinea oscilaţiilor este A0. Să se afle coeficientul de

rezistenţă.

Rezolvare:

x(t)=A1 sin (ω1 t - φ1 ) - legea de oscilaţie în cazul oscilaţiilor forţate;

51

,

v(t)=A1 ω1 cos (ω1 t - φ1 )

Rezonanţa vitezelor se realizează atunci când :

ω1 A1= maximă ω1 = ω0

;

Dar , iar .

46. Un corp care efectuează o mişcare oscilatorie forţată are amplitudinea vitezei

egală cu 1/3 din amplitudinea vitezei la rezonanţa vitezelor, pentru două pulsaţii ω1 şi

ω2. Să se afle:

a) pulsaţia proprie a oscilatorului ω0;

b) factorul de amortizare β.

R: a) ; b) .

Compunerea oscilaţiilor armonice paralele

a) Oscilaţii cu aceeaşi pulsaţie

x1 (t) = A1 sin (ω t + φ1),

x2 (t) = A2 sin (ω t + φ2);

Rezultatul compunerii a două oscilaţii armonice paralele de aceeaşi pulsaţie este

tot o oscilaţie armonică de aceeaşi pulsaţie pe aceeaşi direcţie.

x (t) = x1 (t) + x2 (t) x (t) = A sin (ω t + φ)

, .

b) Oscilaţii cu pulsaţii puţin diferite

Rezultatul compunerii a două oscilaţii armonice paralele de pulsaţii diferite nu

mai este o oscilaţie armonică.

52

x1 (t) = A sin (ω1 t + φ1),

x2 (t) = A sin (ω2 t + φ2),

x (t) = x1 (t) + x2 (t) ;

Dacă pulsaţiile sunt foarte apropiate între ele, iar amplitudinile oscilaţiilor care se

compun sunt egale, oscilaţia rezultantă este aproape sinusoidală:

.

În cazul frecvenţelor acustice sunetul de pulsaţie se aude succesiv,

întărindu-se şi slăbindu-se cu pulsaţia şi perioada bătăilor: .

Compunerea oscilaţiilor armonice perpendiculare

a) Oscilaţii cu aceeaşi pulsaţie

x (t) = A1 sin (ω t + φ1),

y (t) = A2 sin (ω t + φ2);

Traiectoria unui punct material supus simultan la două oscilaţii armonice

perpendiculare de aceeaşi pulsaţie este o elipsă a cărei formă depinde de :

.

b) Oscilaţii cu pulsaţii diferite

Un punct material supus simultan la două oscilaţii armonice perpendiculare de

pulsaţii diferite are o traiectorie complicată. Dacă raportul pulsaţiilor este un număr

raţional traiectoria este una din figurile Lissajous, forma traiectoriei depinzând şi de

diferenţa de fază .

47. Un punct material este supus simultan la două mişcări oscilatorii armonice

descrise de legile:

x1 (t) = 1,2 sin m, respectiv x2 (t) = 1,6 sin m.

Să se scrie legea de mişcare rezultantă.

53

R: x (t) = 2 sin ( t + 0,37 π) m.

48. Un punct material este supus simultan la două mişcări oscilatorii armonice

descrise de legile:

a) m, m;

b) m, m;

c) m, m.

Să se determine ecuaţia traiectoriei punctului material, precizându-se forma acesteia.

R: a) , traiectoria este o dreaptă; b) , traiectoria este o elipsă

având drept axe chiar axele de coordonate; c) , traiectoria este un cerc.

49. Să se determine ecuaţia traiectoriei unui punct material supus simultan la două

mişcări oscilatorii:

a) x (t) = A sin (ω t), y (t) = A sin (2ω t);

b) x (t) = A sin (ω t), y (t) = A cos (2ω t).

Rezolvare:

a) x = A sin (ω t) ;

y = Asin(2ωt) y = 2A sin (ω t) cos (ω t),

- traiectoria este una din figurile Lissajous:

b) Cele două oscilaţii care se compun au acelaşi raport al pulsaţiilor ca şi la punctul

a), dar defazajul este altul şi deci forma traiectoriei este alta.

.

54

3.7. Unde elastice

Mediile continue, cum sunt solidele, lichidele si gazele, sunt medii formate din

particule (atomi, molecule sau ioni) care interactioneaza între ele. De aceea, daca una

dintre particule oscileaza (vibreaza), atunci vor oscila (vor vibra) si particulele vecine;

în felul acesta oscilatiile (perturbatiile) se propaga prin mediu de la o particula la alta.

Prin propagarea oscilatiilor se genereaza undele.

Unda reprezinta fenomenul de extindere si propagare din aproape în aproape a

unei perturbatii periodice produse într-un anumit punct din mediul de propagare.

Propagarea undei se face cu o viteza finita, numita viteza undei. Unda nu reprezinta

transport de materie, ci numai transport de energie.

Dupa tipul de energie pe care-l transporta unda, putem deosebi: (i) unde

elastice (se transporta energie mecanica, undele fiind generate de perturbatiile

mecanice ale mediilor elastice), (ii) unde electromagnetice (se transporta energie

electromagnetica) (ii) unde magneto-hidrodinamice (sunt generate prin perturbatii

electromagnetice si elastice ale mediului de propagare).

Dupa natura perturbatiei si modul de propagare al acesteia, putem clasifica

undele în: (1) unde

longitudinale (directia de propagare a undei coincide cu directia de oscilatie); (2)

unde transversale

(directia de propagare a undei este perpendiculara pe directia de oscilatie).

O marime deosebit de importanta pentru descrierea undei este functia de unda,

pe care o putem nota în mod generic cu (x,y,z,t). Functia de unda reprezina functia

matematica ce descrie marimea perturbata.

Suprafata de unda reprezinta multimea punctelor din spatiu ce oscileaza având

la un moment dat aceeai valoare a functiei de unda, (x,y,z,t) = constant = a. Dupa

forma suprafetelor de unda, putem întâlni unde plane, unde sferice, unde cilindrice, etc.

Frontul de unda reprezinta suprafata de unda cea mai avansata la un moment dat.

3.7.1. Unde armonice unidimensionale

55

Fig. 3.21. Oscilatia generata în originea axei Ox se propaga pâna în punctul M.

Constam ca ecuatia elongatiei yM(x, t) a oscilatiei dintr-un punct oarecare M, aflat

pe directia de propagare a undei, are o întârziere de faza, dependenta de pozitia sa fata

de sursa undei. Cu cât punctul M se afla mai departe de originea undei, cu atât mai

târziu va intra în oscilatie; oscilatia din punctul considerat va avea o întârziere de faza

mai mare, daca punctul este mai departe de sursa undei.

Vectorul de unda este marimea fizica vectoriala orientata în sensul propagarii

undei. Vectorul de unda materializeaza directia în care se propaga energia undei.

Utilizând vectorul de unda, putem scrie ecuatia elongatiei oscilatiei din punctul M sub

forma:

3.7.2. Consideratii energetice asupra propagarii undei

Propagarea unei unde elastice într-un anumit mediu genereaza o serie de

miscari de oscilatie ale particulelor mediului; punctele materiale îi încep micarea

oscilatorie, în jurul pozitiiilor lor de echilibru, pe masura ce energia undei ajunge pâna

la ele.

56

Fig. 3.22. Densitatea volumica de energie într-un punct al mediului de propagare si densitatea

volumica medie de energie.

Alte marimi ce sunt utilizate pentru a descrie energia transportata de unda sunt

urmatoarele:

a). Fluxul de energie. Fluxul de energie reprezinta cantitatea de energie

transmisa printr-o suprafata în unitatea de timp, fiind dat de derivata energiei la timp.

b). Densitatea flluxului de energie reprezinta fluxul de energie transportat prin

unitatea de suprafata, în directie perpendiculara pe aceasta suprafata.

3.7.3. Reflexia si refractia undelor elastice

Când o unda întâlnete suprafata de separare dintre doua medii diferite se produc

simultan reflexia (întoarcerea undei în mediul din care a venit) si refractia

(transmisia undei în mediul al doilea). Se constata de asemenea ca prin reflexie si

refractie se schimba directia de propagare a undei.

Consideram o unda elastica longitudinala plana ce se propaga prin mediul (1), care

are densitatea d1 si unde viteza undei este u1 (vezi fig.3.23). La întâlnirea suprafetei

de separare, dintre mediul (1) si mediul (2) unda se va împarti într-o unda reflectata ce

se propaga în mediul (1) si o unda transmisa ce se propaga în mediul (2).

Definim impedanta mediului de propagare prin produsul dintre densitatea

mediului si viteza undei. Impedanta exprima viteza cu care se propaga energia undei

prin mediul repectiv.

57

Fig. 3.23. Reflexia si refractia unei unde plane.

Observam ca amplitudinea undei transmise, At are acelai semn cu amplitudinea

undei incidente, Ai, indiferent de impedantele celor doua medii. De aceea unda

transmisa este totdeauna în faza cu unda incidenta.

În ceea ce privete amplitudinea undei reflectate se pot întâlni doua cazuri:

a). Mediul (1) mai dens decât mediul (2), Z1>Z2. În acest caz amplitudinea

undei reflectate, Ar, are acelai semn cu amplitudinea undei incidente, Ai. Cele doua

unde sunt în faza, de asemenea.

b). Mediul (1) mai putin dens decât mediul (2), Z1<Z2. În acest caz

amplitudinea undei reflectate, Ar, are semn opus fata de amplitudinea undei incidente,

Ai. Cele doua unde sunt în opozitie de faza. Unda reflectata este defazata cu radiani

în urma undei incidente.

Definim coeficientii de reflexie si de transmisie ai mediilor de propagare.

Coeficientul de reflexie este raportul dintre intensitatea undei reflectate si cea a

undei incidente.

Coeficientul de transmisie este dintre intensitatea undei transmise si cea a undei

incidente:

3.7.4. Unde stationare

Daca în mediul de propagare al undei se suprapun unda incidenta si unda

reflectata, atunci se obtin unde stationare. Mai general, fenomenul de compunere

a doua unde coerente se numeste interferenta. Compunerea undei incidente si a

undei reflectate constituie un caz interesant de interferenta a undelor. Conform 58

rezultatelor obtinute la reflexia undelor, se pot întâlni doua cazuri, în functie de

impedantele celor doua medii.

I. Daca mediul al doilea este mai putin dens decât primul, Z2<Z1, atunci unda

reflectata este în faza cu unda incidenta. Sa consideram o unda liniara ce se

propaga în mediul (1), pe o directie perpendiculara pe suprafata de separare dintre

mediul (1)i mediul (2), ca în fig. 3.24. În punctul P se întâlnesc unda incidenta si unda

reflectata. Distanta dintre sursa undei si suprafata de separare dintre medii este l.

Fig. 3.24. Formarea undei stationare.

Fazele celor doua unde ce se întâlnesc în punctul P depind de distantele (l-x) si

reprectix (l+x) pe care le-a parcurs fiecare unda.

Fig. 3.25. Unda stationara obtinuta în cazul Z2<Z1.

59

Fig. 3.26. Unda stationara obtinuta în cazul Z2>Z1.

3.7.5. Interferenta undelor

Fenomenul general de compunere a undelor coerente se numeste interferenta.

Asa dupa cum stim, intensitatea undei reprezinta cantitatea de energie ce trece prin

unitatea de suprafata în unitatea de timp.

Conditia de coerenta este ca diferenta de faza dintre cele doua unde, ϕ∆ , sa

fie independenta de timp. Aceasta conditie este îndeplinita de unde care au pulsatii

egale si diferenta de faza constanta în timp:ϕ1 ϕ2 ≠f (t)

Interferenta undelor longitudinale. Cu ajutorul a doua difuzoare plasate pe

aceeai verticala si conectate la acelai amplificator se poate obtine un dispozitiv de

inteferenta a undelor longitudinale, aa cum se vede în fig.3.26. Distanta dintre cele

doua difuzoare (surse) este 2l. Presupunând ca ambele difuzoare emit simultan, ele se

comporta ca doua surse de unda, S1 si S2. De la ele se propaga doua unde coerente,

care parcurg drumuri diferite pâna în punctul P, aflat la distanta y de axa de simetrie

(vezi fig. 3.27). În punctul P cele doua unde se suprapun si, fiind coerente, produc o

figura de interferenta.

60

Fig. 3.27. Dispozitiv de interferenta a undelor longitudinale.

Fig. 3.28. Figura de interferenta obtinuta.

3.7.6. Difractia undelor

Consideram o unda plana care se propaga pe suprafata apei. Un obstacol de

forma unui perete vertical cu o fanta de largime L se afla în calea undei, aa cum se vede

în fig. 3.29.

61

Fig. 3.29. Un obstacol pe care se produce difractia undei plane.

Se constata ca unda care trece dincolo de obstacolul întâlnit are frontul de unda

de forma sferica, dei unda incidenta avea fronturi de unda plane. Spunem ca unda a

suferit fenomenul de difractie pe fanta de largime L.

Difractia este fenomenul de ocolire a obstacolelor de catre unde. Efectul

difractiei este cu atât mai evident cu cât dimensiunea fantei (sau a obstacolului din

calea undei) este de ordinul de marime al lungimii de unda a undei incidente.

În momentul când frontul plan o atinge, fanta devine sediul unei infinitati de

surse punctiforme infinitezimale, care genereaza la rândul lor unde sferice în spatele

fantei. Aceste unde se compun între ele si formeaza o unda sferica ce se propaga în

spatele obstacolului. Din punct de vedere fizic nu exista deosebiri între difractie si

interferenta. Ambele fenomene fizice presupun compunerea (adunarea) a doua sau mai

multor unde coerente (difractia consta din interferenta unei infinitati de unde

infinitezimale).

3.7.7. Polarizarea undelor elastice transversale

Consideram o unda elastica liniara transversala ce poate traversa spatiul dintre doi

pereti verticali ce formeaza o fanta, asa cum se poate vedea în fig. 3.30. Am notat

prin A i vectorul ce reprezinta amplitudinea oscilatiei din unda incidenta. Putem

constata ca amplitudinea undei ce trece dincolo de fanta depinde de unghiul pe care-l

formeaza vectorii A i cu directia fantei. Procesul prin care fanta filtreaza si lasa sa

treaca numai componenta vectorului amplitudine care este în planul fantei constituie

62

fenomenul de polarizare

Fig. 3.30. Trecerea unei unde tarnsversale printr-o fanta.

a). vedere generala; b) directia de vibratie paralela cu fanta.

a) Daca amplitudinea undei este paralela cu fanta, unda se transmite prin fanta, iar

unda transmisa are aceeai amplitudine ca cea incidenta (vezi fig. 3.30.b).

b) Daca directia de vibratie din unda incidenta este perpendiculara pe directia

fantei, dincolo de fanta nu se mai propaga nici un fel de vibratie (vezi fig. 3.31.a).

c) Daca directia de vibratie face un anumit unghi cu fanta, atunci vectorul

caracteristic al undei se decompune dupa doua directii perpendiculare, una din ele fiind

directia fantei (vezi fig. 3.31.b).

Fig. 3.31. Polarizarea la trecerea unei unde transversale printr-o fanta:

a) directia de vibratie este perpendiculara pe fanta;

b) descompunerea vectorului caracteristic pe doua directii.

63

Polarizarea este fenomenul prin care se poate filtra dintr-o unda numai

componenta într-un anumit plan a vectorului de vibratie caracteristic undei.

Dispozitivul prin care se realizeaza polarizarea se numete polarizor. Unda al carei

vector de vibratie pastreaza aceeai directie în spatiu se numete unda liniar polarizata.

În fig. 3.32.a) si b) se pot vedea doua exemple de unde liniar polarizate la ieirea din

polarizor.

b) Fig. 3.32. Unde liniar polarizate dupa trecerea prin polarizor.

64

Unde elastice-aplicatii

Mediile continue (gazele, lichidele, solidele) sunt medii de particule care

interacţionează între ele şi care, dacă una din particule oscilează, vor propaga oscilaţia

de la particulă la particulă sub formă de unde, numite unde elastice. Mediile de acest fel

se numesc medii elastice.

Atunci când oscilaţiile în fiecare punct sunt armonice de o anumită frecvenţă,

( -pulsaţia), unda este o undă monocromatică ce se propagă fără atenuare.

- elongaţia în cazul undei plane monocromatice care se

propagă (fără atenuare) pe direcţia axei Ox;

A0 – amplitudinea, care este constantă pentru unda plană; x – distanţa faţă de sursă;

k – număr de undă, adică numărul de unde, de lungime de undă λ, care se cuprind în

2π unităţi de lungime.

Elongaţia ψ este periodică în timp, cu perioada T, şi periodică în spaţiu (în raport cu

coordonata x), cu perioada λ:

, , ,

u –viteza de propagare a undei sau viteza de fază;

- faza undei care se propagă pe direcţia axei Ox;

Suprafeţele de undă sunt suprafeţe de fază constantă. Viteza de deplasare a fazei se

numeşte viteză de fază.

- ecuaţia diferenţială a undelor care se propagă pe direcţia axei

Ox;

- elongaţia în cazul undei plane monocromatice care se

propagă în spaţiu (fără atenuare) în direcţia şi sensul lui ;

65

-vector de undă care are modulul şi este orientat în direcţia şi sensul de

propagare a undei.

- elongaţia în cazul undei sferice monocromatice;

Observaţie: În cazul undei sferice amplitudinea de oscilaţie a punctelor mediului

depinde de distanţa faţă de sursă : , unde A0 este constantă.

- ecuaţia diferenţială a undelor care se propagă în spaţiu,

- operatorul lui Laplace (laplacean).

50. Într-un mediu elastic se propagă, de-a lungul axei Ox, undele longitudinale

descrise de legea: m. Să se determine:

a) frecvenţa oscilaţiilor punctelor mediului elastic;

b) viteza maximă de oscilaţie a punctelor mediului elastic;

c) viteza de propagare a undei.

R: a) ν = 50 Hz, b) , vmax.= 0,3π m/s, c) u = 500π m/s.

51. O undă plană sonoră se propagă de-a lungul axei Ox după legea:

m. Să se determine:

a) raportul dintre amplitudinea de vibraţie a particulelor mediului şi lungimea de undă;

b) raportul dintre amplitudinea vitezei de vibraţie a particulelor mediului şi viteza de

propagare a undei.

R: a) ; b) .

52. O sursă de oscilaţii armonice oscilează după legea: m.

Pentru unda plană care se propagă în lungul axei Ox, să se determine deplasarea faţă de

poziţia de echilibru a unui punct aflat la distanţa de x1 = 25 cm faţă de sursa de oscilaţii

la t1 =0,04 s după începerea oscilaţiei. Viteza cu care se propagă oscilaţiile este de 250

m/s.

66

R: cm.

53. Să se determine raportul amplitudinilor şi defazajul dintre oscilaţiile a două

puncte aflate la 10 m, respectiv 16 m faţă de o sursă punctiformă de oscilaţii, ştiind că

perioada oscilaţiilor este de 0,08 s, iar viteza de propagare a undei sferice este de 300

m/s.

R: ; .

54. Să se determine, în cazul undei plane, elongaţia unui punct aflat la distanţa de

λ/4 faţă de sursa de oscilaţii pentru momentul T/3. Amplitudinea oscilaţiilor este de 7

cm.

R: 3,5 cm.

55. Pentru o undă plană, la momentul T/3, distanţa faţă de poziţia de echilibru a

unui punct aflat la 5 cm faţă de sursa de oscilaţii este de din amplitudine. Să se

determine lungimea de undă.

R: 30 cm.

56. O undă plană descrisă de legea , unde A, γ, ω şi k

sunt constante, se propagă într-un mediu omogen. Să se calculeze defazajul dintre

punctele în care amplitudinile diferă de n=2,5 ori, ştiind γ =0,458 m– 1 şi λ = 50 cm.

R: .

57. O sursă punctiformă produce oscilaţii sonore de frecvenţă ν=1,4 kHz. Unda

sferică propagându-se cu atenuare, la distanţa r1 =3 m de la sursă amplitudinea de

oscilaţie a particulelor mediului este A1 = 30 μm, iar la distanţa r2 = 8 m amplitudinea

este de n = 4 ori mai mică. Să se determine:

a) coeficientul γ de amortizare al undei;

b) viteza maximă de oscilaţie a particulelor mediului la distanţa r2.

Rezolvare:

a) ;

67

m – 1;

b) ;

La distanţa r2 de sursa de oscilaţii m/s.

68

4. Introducere în electromagnetism

4.1. Câmpul electromagnetic

4.1.1. Actiunea câmpului electromagnetic asupra sarcinilor electrice

Fig. 4.1. Traiectoria unei sarcini electrice în câmp electric si magnetic.

Câmpurile electric si magnetic sunt forme de manifestare ale unui unic câmp

fizic, numit câmpul electromagnetic. Câmpul electromagnetic este forma de

existenta a materiei care se manifesta prin actiunea asupra sarcinilor electrice si

asupra curentilor electrici. Maxwell a demonstrat pentru prima data ca cele doua

câmpuri, electric si magnetic, formeaza un singur câmp, cel electromagnetic.În anul

1864 Maxwell scrie cele patru ecuatii ce-i poarta numele, prin unificarea legilor

cunoscute ale electricitatii si magnetismului, si afirma ca ansamblul celor doua

câmpuri (electric si magnetic) formeaza un unic câmp si numai în cazuri particulare se

manifesta numai una din componentele sale.De exemplu, sa consideram mai multe

sarcini electrice care sunt fixe. Atunci între ele se manifesta numai câmpul lor

electric, numit câmp electrostatic.Daca un magnet în forma de bara este fix, atunci

69

câmpul pe care îl genereaza este un câmp magnetic numit câmp magnetostatic.

Doua exemple semnificative de câmpuri create în jurul unor corpuri sunt redate

în fig. 4.2. Câmpurile vectoriale se pot reprezenta atât prin vectorii de câmp, E si B ,

cât si prin liniile de câmp. Liniile de câmp sunt curbe continue care au proprietatea ca

în orice punct al lor vectorii de câmp corespunzatori sunt tangenti la curba. Liniile de

câmp nu se intersecteaza între ele. Astfel, liniile de câmp din jurul unui corp punctiform

încarcat electric sunt radiale, aa cum se poate vedea în fig. 4.2.a). În fig.4.2.b) se pot

vedea linile de câmp magnetic din jurul unui magnet în forma de bara

a)

b)

Fig. 4.2. Vectori si linii de câmp:

a) liniile de câmp electric din jurul unei sarcini electrice;

b) liniile de câmp magnetic din jurul unui magnet în forma de bara.

70

4.1.2. Legea conservarii sarcinii electrice

Cauza atractiei gravitationale o reprezinta masa corpurilor. Analog, sarcina electrica

este cauza interactiunilor culombiene. Se noteaza cu q sau Q si este ireductibila la alte

marimi fizice, adica interactiile electromagnetice nu pot fi reduse la alte tipuri de

interactii. Fortele dintre corpurile incarcate cu sarcina electrica sunt de atractie sau de

respingere. Aceasta a condus la concluzia ca exista doua tipuri de sarcini: pozitive si

negative. Sarcina electrica este un numar intreg de sarcini elementare, .

Sarcina electrica macroscopica a unui corp este suma algebrica a sarcinilor electrice

pozitive si negative

Daca , corpul nu este incarcat cu sarcina electrica . Din experimente rezulta

ca sarcina negativa este egala in valoare absoluta cu sarcina pozitiva, eroarea relativa

fiind:

Legea conservarii sarcinii electrice

Intr-un sistem izolat de corpuri, suma algebrica a sarcinilor electrice ramane

constanta.

În conceptia moderna asupra materiei se considera ca substantele sunt alcatuite

din atomi. Atomul este format din electroni si nucleu. Electronii sunt încarcati electric

cu sarcina electrica si ocupa o regiune din spatiu în vecinatatea nucleului. Nucleul este

format din neutroni, neutri din punct de vedere electric, si din protoni, care sunt

sarcini electrice de semn opus celor ale electronilor. Prin conventie, sarcina electrica a

electronului se numete sarcina negativa, iar cea a protonului se numeste sarcina

pozitiva. Sarcina electrica a protonului este egala în modul cu sarcina electrica a

electronului, având valoarea e = 1,6 10 –19 C (unitatea de sarcina electrica este 1

71

Coulomb = 1 C).

În mod normal un atom este neutru din punct de vedere electric, adica numarul

electronilor este egal cu cel al protonilor. Daca un atom pierde unul sau mai multi

electroni, el devine ion pozitiv. Daca înveliul electronic al atomului contine mai multi

electroni decât numarul protonilor din nucleu, atomul este un ion negativ. Pentru un

corp fizic se generalizeaza aceasta conventie: Daca numarul protonilor este egal cu al

electronilor din corp, el este neutru din punct de vedere electric. Daca în corp numarul

electronilor este mai mare decât numarul protonilor, el este încarcat electric negativ.

Daca în corp numarul protonilor este mai mare decât numarul electronilor, el este

încarcat electric pozitiv.

Într-o aproximatie satisfacatoare pentru scopurile noastre, consideram

sarcinile electrice ale electronilor si protonilor ca fiind indivizibile. Astfel, un corp

poate fi încarcat electric cu un numar întreg de sarcini electrice elementare, e. Sarcinile

electrice nu se creaza si nu se distrug. Ele se transmit de la un corp la altul sau se

redistribuie în cadrul aceluiai corp. Starea de neutralitate electrica a unui corp

reprezinta numai faptul ca numarul protonilor sai este egal cu numarul electronilor sai.

Legea conservarii sarcinii electrice: într-un sistem izolat, suma algebrica a

sarcinilor electrice ramâne constanta.

Sa consideram, ca exemplu, un sistem format din doua sfere identice din sticla

care au fost electrizate astfel încât sarcina electrica de pe fiecare sfera este Q1 si

respectiv, Q2, unde Q1=7 e, Q2 = 5 e. Sarcina initiala din sistem este Q1+ Q2 = 7 e + 5

e= 12 e.Daca se ating cele doua sfere, ele vor face un schimb de sarcini electrice, dar

suma totala a sarcinii electrice este tot 12 e: Q1`= 6 e, Q2` = 6 e.Sa presupunem ca cele

doua sarcini electrice intiale sunt : Q1=7 e, Q2 = -5 e.În acest caz suma algebrica a

sarcinii electrice din sistem este: Q1+ Q2 = 7 e - 5 e = 2 e.De ce se întâmpla asa ?

Sarcina electrica de 7e reprezinta un deficit de 7 electroni pentru primul corp. Sarcina

electrica de -5e reprezinta un surplus de 5 electroni pentru al doilea corp. Când se

ating sferele ele vor efectua un schimb de electroni, în sensul ca cei 5e de pe al doilea

corp vor trece pe primul corp. Deficitul general de 2 e al sistemului se va pastra deci.

Cele doua sfere, fiind identice, vor avea în final sarcinile: Q1`= 1e, Q2` = 1e.

4.2. Electrostatica

În 1785 Coulomb deduce legea interactiunii dintre doua sarcini electrice fixe, aa

72

cum se vede în fig. 4.3. El deduce ca doua sarcini electrice interactioneaza cu o forta

direct proportionala cu produsul sarcinilor electrice si invers proportionala cu patratul

distantei dintre ele.

Fig. 4.3. Doua sarcini electrice stationare.

Se constata experimental ca doua sarcini electrice de acelasi semn se resping,

iar doua sarcini electrice de semn opus se atrag. În fig. 4.4 se pot vedea fortele de

interactiune pentru sarcini de acelai semn si pentru sarcini electrice de semn opus.

a)

b)

Fig. 4.4. Fortele de interactiune dintre sarcinile electrice :

a) sarcini electrice de acelai semn; b) sarcini electrie de semn opus.

4.2.1. Câmpul electric

Sarcinile electrice interactioneaza între ele. Forma prin care se transmite la

distanta interactiunea lor se numeste câmp electric. Daca un corp este încarcat electric,

în spatiul din jurul lui se manifesta un câmp electric pe care el l-a generat. Acest câmp

reprezinta capacitatea corpului electrizat de a atrage si de a respinge alte corpuri

electrizate. Experimental se arata ca sarcinile electrice de acelai semn se resping, iar

cele de semn contrar se atrag.Consideram un corp încarcat electric cu sarcina Q. În jurul

lui se manifesta un câmp electric. Dacaîn aceasta zona patrunde o sarcina q (corp de

proba), ea va fi actionata de forta coulombiana. Aceasta marime caracterizeaza taria

câmpului vectorial creat de sarcina electrica Q în punctul unde se afla q. Marimea

vectoriala se numete intensitatea câmpului electric,

73

Prin conventie, sensul liniilor de câmp electric este de la sarcinile pozitive catre

cele negative, aa cum se vede în fig. 4.5. Tot prin conventie, intensitatea câmpului

electric este orientata de la sarcinile pozitive catre cele negative.

Fig. 4.5. Liniile câmpului electric.

Prin generalizare se obtine ca rezultanta câmpurilor electrice produse de

sarcinile punctiforme q1, q2, q3, ..., qn într-un punct din spatiu este egala cu suma

vectoriala a vectorilor intensitate a câmpului electric, E1 , E 2 , E 3 ,, E n , al

fiecarei sarcini electrice în parte.

O marime frecvent utilizata în descrierea câmpului electric într-un mediu oarecare

este inductia electrica, D . Prin inductie electrica se întelege producerea unui câmp

electric stationar în interiorul unui mediu cu ajutorul unui alt câmp electric exterior, de

asemenea stationar.

Câmpul electric al Pamântului. În atmosfera terestra se manifesta un câmp

electric creat de ionii rezultati din fenomenul de ionizare a moleculelor de gaz

bombardate de radiatiile cosmice. Astfel se formeaza o patura sferica conductoare de

electricitate la altitudini înalte în jurul Pamântului. Chiar Pamântul contine o anumita

cantitate de sarcini electrice, fiind totodata si un destul de bun conducator de

electricitate. Ne putem imagina Pamântul si straturile joase ale atmosferei ca

formând o sfera conductoare. Între sfera conductoare formata de Pamânt si patura

sferica a ionilor de la altitudini înalte exista o patura sferica de circa 50 km grosime,

ce nu este un bun conductor electric. La suprafata Pamântului se poate masura un

câmp electrostatic având intensitatea de circa E= 100V/m. Considerând raza sferei

terestre de 5000 km, se poate determina sarcina electrica superficiala pe care o are

Pamântul, si anume aceasta sarcina electrica este de circa 3 105 C.

Daca se introduce un conductor într-un câmp electric stationar se produce,

prin influenta, o separare de sarcini electrice, iar la atingerea starii de echilibru

74

sarcinile se afla numai pe suprafata conductorului, aa cum se poate vedea în fig. 4.6.

a)

b)

Fig. 4.6. Conductor în câmp electric extern:

a) la început; b) dupa stabilirea echilibrului.

Daca se introduce un dielectric (izolator electric) în într-un câmp electric

acesta sufera o polarizare dielectrica. Inductia electrica reprezinta câmpul electric din

interiorul dielectricului si se poate caracteriza prin vectorul inductie electrica.

a)

b)

Fig. 4.7. Polarizarea dielectricului în câmp electric exterior:

75

a) izolatorul la început; b) dupa stabilirea echililbrului.

4.2.2. Fluxul electric

Prin conventie liniile de câmp electric se traseaza astfel încât numarul de linii

de câmp ce traverseaza unitatea de suprafata normala la liniile de câmp sa fie numeric

egal cu intensitatea câmpului electric în locul unde este situata suprafata. Un câmp ale

carui linii de câmp sunt paralele si echidistante este un câmp omogen, asa cum se vede

în fig.4.8.

Numarul liniilor de câmp ce strabat o suprafata oarecare, S, normala la liniile de

câmp se numeste flux electric..

Pentru un câmp electric omogen, ca acela din fig.4.8, fluxul electric este egal cu

produsul scalar al intensitatii câmpului electric.

Pentru un câmp neomogen, suprafata S se împarte în arii infinitezimale dS, astfel

încât, în limitele lui dS, câmpul electric poate fi considerat omogen, adica de valoare

constanta si pastrând aceeai directie (vezi fig. 4.9).

Fig. 4.8. Câmp electric omogen.

Fig. 4.9. Câmp electric neomogen.

Fig. 4.10 prezinta o suprafata închisa si liniile câmpului electric ce produce flux

electric prin acea suprafata.

76

Fig, 4.10. Fluxul electric printr-o suprafata închisa.

Intensitatea campului electric

F-forte

permitivitatea absoluta a mediului = permitivitatea relativa

Pentru vid

Forta cu care sarcina electrica q actioneaza asupra unei sarcini electrice de proba ,

este data de formula :

Intensitatea campului electric generat de o sarcina electrica punctiforma

Liniile de camp electric se definesc prin familia de curbe tangente in fiecare punct la

directia locala a vectorului .

Sensul liniilor de camp electric coincid cu sensul fortei care ar actiona, in punctul

respectiv, asupra unei sarcini electrice pozitive.

Numarul liniilor de camp care strapung unitatea de arie a unei suprafete

perpendiculara pe aceste linii este numeric egala cu intensitatea campului electric .

Liniile de camp electric pornesc de la sarcinile electrice pozitive si ajung pe sarcinile

electrice negative.

Principiul super pozitiei campurilor electrice

77

Daca intr-un punct din spatiu, campul electric este generat de un ansamblu de sarcini

electrice punctiforme , atunci intensitatea campului electric generat de

sarcina electrica , v-a fi :

Fluxul printr-o suprafata a unei sfere de raza r , in centrul careia se afla sarcina

electrica pozitiva , va fi .

4.2.3. Legea lui Gauss pentru câmpul electric

Consideram o sarcina electrica punctiforma Q ce se afla într-un punct P în interiorul

unei suprafete închise, S. Construim o sfera de raza r, cu centrul în P (vezi fig. 4.11).

Observam ca toate liniile de câmp ce trec prin suprafata S trec si prin suprafata sferei.

De aceea, fluxurile electrice prin cele doua suprafete sunt egale:

Daca ne referim la cele doua suprafete infinit mici aflate pe sfera si pe suprafata S,

numarul de linii de câmp ce strabat suprafata dS0 de pe sfera este egal cu numarul de

linii de câmp ce strabat suprafata dS de pe suprafata S:

Fig. 4.11. Fluxul electric creat de sarcina electrica din P prin doua suprafete închise.

Legea lui Gauss pentru câmpul electric: Fluxul ce strabate orice suprafata închisa

ce contine sarcina electrica Q este proportional cu sarcina electrica si invers

proportional cu permitivitatea dielectrica a mediului.

Semnul fluxului electric. Datorita faptuului ca sarcina electrica poate fi pozitiva sau

negativa, fluxului electric i se asociaza un semn. Astfel, daca ne referim la fig. 4.12

putem vedea ca unghiul poate avea valori:

78

Fig. 4.12. Semnul fluxului electric: flux pozitiv;

Fluxul electric printr-o suprafata închisa datorat unei sarcinii q exterioare

suprafetei este nul, a a cum vom arata mai jos. Ne referim la fig. 4.13, unde sarcina

electrica din punctul P este exterioara suprafetei închise S.

Fig. 4.13. Fluxul electric al unei sarcini electrice exterioare suprafetei.

Observam ca toate liniile de câmp ce trec prin dS1 trec si prin dS2, deci fluxurile

prin cele doua suprafete elementare sunt egale, dar de semn opus.

Fig. 4.14. Sarcina electrica distribuita într-un volum V.

4.2.5. Caracterul potential al câmpului electric. Potentialul electric

Consideram o sarcina electrica Q fixa. În câmpul electric creat de aceasta se misca o 79

sarcina q, numita corp de proba. Sa presupunem ca sarcina q se deplaseaza pe traiectoria

ei din punctul A în punctul B, aa cum se poate vedea în fig. 4.16.

Fig. 4.16.Deplasarea sarcinii electrice q în câmpul creat de sarcina electrica Q.

Fig. 4.17. Suprafata sferica echipotentiala în jurul sarcinii electrice Q.

Lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea sarcinii electrice , din pozitia 1 in

pozitia 2 , in campul electric generat de sarcina electrica q, aflata in repaos:

Campul electrostatic este un camp de forte conservative ,deoarece lucrul mecanic nu

depinde de forma drumului intre pozitiile 1 si 2. Lucru mecanic efectuat de forte

conservative este diferenta dintre energia potentiala a sistemului in starea initiala si in

starea finala .

80

C = constanta arbitrara

Daca pt. , se considera Ep=0 atunci C=0

Potentialul al campului electric general de sarcina electrica , intr-un punct din

spatiu este energia potentiala a sistemului format din sarcina electrica q si sarcina ,

pozitiva si de valoare unitate aflata in punctul respectiv.

= daca pentru

deci potentialul intr-un punct din spatiu reprezinta lucrul mecanic necesar

deplasarii sarcinii electrice din punctul respectiv la infinit

Unitatea de masura pentru potentialul electric este voltul (V)

Legatura dintre potentialul si intensitatea a campului electric : E=-grad

Concluzii:

- Intensitatea campului electric , pe suprafetele echipotentiale

- Vectorul este orientat de la suprafata echipotentiala cu potential mai mare spre suprafata echipotentiala cu potential mai mic

Din teorema lui Gauss se obtine :

81

- potentialul electric intr-un punct de coordonate x, y,z generat de

sarcinile electrice cu intensitate volumica , aflata intr-un volum

Potentialul electric = functie scalara

Energia câmpului electric. La încarcarea unui condensator plan se consuma un

lucru mecanic pentru a transporta sarcinile electrice de pe o armatura pe alta.

4.3. Magnetostatica

4.3.1. Câmpul magnetic

În spatiul din jurul unui magnet în forma de bara sau în jurul unui conductor parcurs

de curent electric exista un câmp magnetic, care actioneaza asupra sarcinilor electrice

aflate în micare sau asupra curentilor electrici si asupara magnetilor. Vectorul care

descrie câmpul magnetic, în mod obisnuit, este

inductia magnetica, B . O marime vectoriala proportionala cu inductia magnetica B

este intensitatea câmpului magnetic H.

Liniile de câmp magnetic sunt linii de câmp închise, aa cum se poate vedea în fig.

4.18.a), pentru câmpul magnetic din jurul unui magnet în forma de bara, si în fig.

4.18.b) pentru un curent liniar. Observam ca liniile de câmp magnetic sunt orientate de

la polul Nord la polul Sud, ca si vectorii inductie magnetica B . Ne amintim ca liniile

de câmp electric sunt linii deschise. Acest fapt se datoreaza existentei sarcinilor

electrice pozitive si negative. Câmpul magnetic nu are sarcini ``monopolare``, de aceea

82

liniile ce câmp magnetic nu pot fi linii deschise. Asta arata experienta si teoria, la

nivelul actual al cunoaterii stiintifice.``Existenta monopolului magnetic``, adica a unui

corp cu un singur pol magnetic, este confirmata de teorii moderne, dar nu a fost înca

demonstrata experimental.

a)

b)

83

c)

Fig. 4.19. Traiectorii ale particulei în câmp magnetic:

a) viteza paralela cu B ; b) viteza perpendiculara pe B ; c) directie oarecare.

4.4. Unde electromagnetice

Analiza câmpurilor electrice si magnetice, efectuata în paragrafele anterioare ale

acestui capitol, a presupus ca acestea nu variaza în timp. Astfel, aceste câmpuri,

numite câmp electrostatic si magnetostatic, sunt variabile în spatiu, dar sunt

constante în timp. În cazul unor distributii de sarcini electrice variabile în timp si a

unor curenti electrici variabili în timp, nu mai este posibil sa tratam câmpurile

generate de sarcinile electrice si de curentii elecrici în mod independent. În

spatiul din vecinatatea unui câmp electric variabil în timp ia natere un câmp magnetic

variabil în timp, aa cum se întâmpla la încarcarea sau descarcarea unui condensator, de

exemplu. În mod similar, un câmp magnetic variabil în timp se comporta ca o sursa de

câmp electric, aa cum de întâmpla în fenomenul de inductie electromagnetica.

Ansamblul de câmpuri electrice si magnetice, ce se genereaza reciproc în timp se

numete câmp electromagnetic.Propagarea unui ansamblu de variatii ale câmpurilor

electric si magnetic genereaza o unda electromagnetica.

Unda electromagnetica transporta energia electromagnetica în spatiu cu viteza

finita si constanta.

84

Spectrul undelor electromagnetice. Undele electromagnetice se întind pe un

domeniu de lungimi de unda foarte extins, de la lungimi de unda mai mici decat 10-13

m, pâna la valori ale lungimii de unda de peste 105 m. În diagrama 4.1 sunt prezentate

domeniile de lungimi de unda ale undelor electromagnetice. În realitate spectrul

undelor electromagnetice nu are limite cunoscute, nici inferioare, nici superioare.

Asa cum se poate vedea în diagrama de mai jos, sectorul îngust de lungimi de unda

din10-9 m formeaza domeniul vizibil pentru ochiul uman. Acest sector al spectrului

undelor electromagnetice este reprezentativ pentru ceea ce numim lumina.

Toate corpurile emit radiatii electromagnetice, ca urmare a micarii termice a

moleculelor lor. Aceasta radiatie este numita radiatie termica. Un corp cu temperatura

de 300 K (0o C = 273 K) emite radiatie electromagnetica infraroie, invizibila pentru

ochiul uman. La temperaturi ridicate, corpurile emit radiatii ce au componente din

domeniul de lungimi de unda ale sectorului vizibil. Cu cât temperatura lor crete, cu atât

sursele de radiatie devin mai stralucitoare, emitând unde electromagnetice din domeniul

vizibil, catre ultraviolet.

4.4.3 .Unde sferice

În medii omogene si izotrope unda electromagnetica se propaga în toate

directiile în jurul sursei. Pentru distante mari fata de sursa se poate considera ca

dimensiunile sursei sunt neglijabile, deci ca sursa este punctiforma.

85

Undele ce se propaga din surse punctiforme sunt unde sferice, au suprafetele de

unda de forma sferica centrate în punctul unde este sursa, iar frontul undei este tot o

sfera.

4.4.4. Teoria electromagnetica macroscopica a luminii

Lumina vizibila este acel domeniu al spectrului undelor electromagnetice din

intervalul de nm. În fenomene precum interferenta, difractia, reflexia si refractia,

dispersia, absorbtia si polarizarea undelor luminoase se poate vorbi de caracterul

ondulatoriu al undelor electromagnetice. Aceste fenomene sunt descrise de teoria

macroscopica a luminii.

Undele electromagnetice formeaza numai una din formele de manifestare a

interactiunilor electromagnetice. La scara microscopica, între atomi de exemplu,

interactiunile electromagnetice se prezinta sub o forma speciala, corpusculara.

Numim fotoni particulele (corpusculii) care realizeaza interactiunile, la nivel

atomic sau subatomic. Fenomene precum sunt efectul fotoelectric, efectul

Compton, radiatia termica, interactiunile cu atomii, nucleele sau particulele

elementare vor fi analizate în capitolul urmator, utilizând ipoteza corpusculara asupra

luminii (Mecanica cuantica). În continuare vom analiza câteva aspecte relevante ale

teoriei macroscopice a luminii.

I. Interferenta luminii

Interferenta este fenomenul general al suprapunerii undelor în spatiu. În

anumite conditii rezultatul interferentei este o unda stationara, caracterizata de maxime

si minime de interferenta. Conditia necesara pentru interferenta este ca undele sa fie

coerente. Acest aspect se refera la diferenta de faza dintre undele care interfera:

pentru ca doua unde sa fie coerente, diferenta lor de faza trebuie sa fie independenta

de timp.

Dispozitivul lui Young. Într-un paravan vertical sunt practicate doua deschideri,

aezate simetric fata de o axa de simetrie, SO. S constituie sursa punctiforma a

unei unde electromagnetice monocromatice sferice, asa cum se poate vedea în fig.

4.35. Deschiderile din paravan formeaza doua surse secundare de lumina, ce se

propaga de partea cealalta a acestui paravan. Distanta dintre sursele S1 si S2 este 2l.

Deoarece apartin aceluiai front de unda, sursele S1 si S2 sunt surse coerente, de aceea 86

emit unde de aceeai amplitudine si care sunt în faza. Pe un ecran vertical, situat la

distanta D, se formeaza o unda stationara, ce se prezinta sub forma unei figuri de

interferenta. Undele emise de cele doua surse parcurg distante diferite, r1 si r2, pâna în

punctul P, de aceea ele vor avea faze diferite în P.

Fig. 4.35. Dispozitivul lui Young.

Pe ecran se obtine o succesiune de maxime si minime de interferenta,

numite franje de interferenta. Distanta dintre doua maximede interferenta se numeste

interfranja.

II . D i fr a c t ia lu mini i

Termenul de difractie se aplica fenomenelor în care ne intereseaza efectul

rezultant produs de o portiune limitata a frontului de unda. Din punct de vedere

fizic nu exista nici o deosebire între interferenta si difractie.

Principiul lui Huygens. Sursa punctiforma S produce în punctul M acelai efect

ca o repartitie uniforma de surse elementare, punctiforme, S1, S2, ..., Sn, .., dispuse pe

suprafata frontului de unda. Undele elementare sferice vor da prin interferenta o unda

rezultanta ce ajunge în punctul M. În fig. 4.36 se poate vedea frontul pe care se afla

sursele elementare si noul front al undei, în punctul M.

87

Fig. 4.36. Principiul lui Huygens.

Atunci când în calea undei luminoase se afla obstacole, deschideri sau

paravane, vorbim de fenomenul de difractie a luminii. Prin difractie se întelege

fenomenul de schimbare a directiei de propagare a undei la întâlnirea unor deschideri

de largime finita. De fapt, difractia se produce numai daca dimensiunea, L, a

obstacolului este de ordinul de marime al lungimii de unda a luminii.

Un sistem destul de simplu pe care se produce fenomenul de difractie este

reteaua de difractie, prezentata în fig. 4.37. Ea consta dintr-o succesiune de zone

opace si transparente practicate într-un paravan si aflate la distanta d una de alta. O

unda plana cade normal pe retea. Pe un ecran vertical se obtine figura de difractie, care

consta din maxime si minime de difractie. În fig.4.37 se poate vedea si intensitatea

undei difractate în functie de pozitia pe ecran.

Fig. 4.37. Reteaua de difractie.

88

Bibliografie

1. R.P.Feynman, Fizica Moderna, volumele I-III, Ed.Tehnica, Bucureti, 1969

2. F.W.Sears, M.W.Zemansky, H.D.Young, Fizica, Ed. Didactica si Pedagogica,

Bucureti,1983

3. Cursul de Fizica de la Berkeley, Volumele I-IV, Ed. Didactica si Pedagogica,

Bucureti,1983

4. D.Halliday si R.Resnick, Fizica, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucureti, 1975;

5. D.Popov si I.Damian, Elemente de fizica generala, Editura Politehnica, 2001

6. V.Dorobantu, Fizica, între teama si respect, Vol. I, Mecanica clasica, Editura

Politehnica,2003

7. U.Haber-Schaim, J.B.Cross, J.H.Dodge, J.A.Walter, Fizica, PSSC, Textul

elevului, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucureti, 1975

8. U.Haber-Schaim, J.B.Cross, J.H.Dodge, J.A.Walter, Fizica, PSSC, Supliment de

teme avansate, Ghidul profesorului, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucureti, 1974

9. C.Vrejoiu si colectiv, Fizica, Mecanica pentru perfectionarea profesorilor, Ed.

Didactica siPedagogica, Bucureti, 1983

10. Al.Necula, Electricitate si magnetism, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucureti,

1973

11. A.Hristev, Mecanica si acustica, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucureti, 1984

12. E.Nicolau, Radiatia electromagnetica, Ed.Academiei RSR, Bucureti, 1973

13. E.Nicolau, Radiatia si propagarea undelor electromagnetice, Ed.

Academiei RSR, Bucureti, 1989

14. S.E.Frisi A.V.Timoreva, Curs de Fizica generala, Editura Tehnica, Bucureti,

1973

14. C.Plavitu si co-autori, Probleme de mecanica fizica si acustica, Editia a II-a,

EdituraDidactica si Pedagogica, Bucureti, 1981

15. Compendiu de Fizica pentru admitere în învatamântul superior,

Prefata de C.Constantinescu, Ed. Stiintifica, Bucureti, 1971

16. A.S.Davîdov, Teoria corpului solid, Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucureti,

1982

17. Colectiv Catedra de Fizica, Univ.”Politehnica” din Timisoara, Teste grila de

Fizica pentru examenul de bacalaureat si admitere în învatamântul superior, Colectia

“LICEU”, Editura Politehnica, 2002

89

90