curs 2+3 mef metode matriceale_2014.pdf

Capitolul III

METODE MATRICEALE PENTRU CALCULUL STRUCTURILOR MECANICE

3.1 Consideraţii introductive

În contextul tehnologic actual caracterizat de dezvoltarea continuă a performanţelor sistemelor de calcul, formularea matricială a problemelor specifice mecanicii corpurilor

deformabile oferă multiple posibilităţi de programare numerică cu consecinţe practice evidente atât din punctul de vedere al vitezei de calcul cât şi al preciziei rezultatelor obţinute. Comparativ cu metodele de calcul cunoscute din rezistenţa materialelor, metodele matriceale au fost special dezvoltate pentru a permite atât exprimarea sintetică a unor modele matematice care în forma analitică obişnuită cuprind un număr mare de relaţii, cât şi organizarea sistematică a calculului în vederea întocmirii unor programe rezolvabile cu ajutorul calculatoarelor electronice.

După cum se știe metodele matriceale de analiză structurală se împart în două clase, de altfel, perfect duale, și anume; metoda eforturilor în care un număr de eforturi interioare sunt alese ca necunoscute în problemele static nedeterminate (metoda utilizează flrxibilitatea diferitelor elemente, astfel încât uneori este numită și metoda flexibilităţilor elastice), şi respectiv metoda deplasărilor (sau metoda rigidităţilor) în care deplasările nodurilor reprezintă necunoscutele problemei. În literatura de specialitate aceste metode sunt expuse pe larg arătându-se diferite căi de obţinere a matricelor de rigiditate sau de flexibilitate, astfel încât în cele ce urmează ne vom limita expunerea doar la a face legătura în modul cel mai intuitiv posibil, între domeniul rezistenţei materialelor şi domeniul competitiv și modern dar uneori atât de controversat al metodei elementelor finite.

În cadrul acestui capitol așadar, vor fi exemplificate și explicate detaliat noțiunile de rigiditate și flexibilitate pentru cazul simplu a unui resort elastic liniar și de asemenea vor fi introduse conceptele de matrice de rigiditate elementală, matrice de rigiditate globală și respectiv matrice de rigiditate redusă. Se va prezenta modul de deducere a matricei de rigiditate elementale pentru câteva elemente de bară dreaptă considerând diferite stări de solicitare. Interpretarea fizică a coeficienților matricelor de rigiditate elementale precum și principalele aspecte ale formulării metodei matriceale a deplasărilor pentru structuri din bare drepte plane și spațiale vor fi de asemenea expuse în cadrul acestui capitol.

Se va face aici observația că formularea matriceală a metodei deplasărilor prezintă atât interes practic cât şi metodologic deoarece aceasta este precursoarea metodei elementelor finite. Meritul îi revine lui Alfred Clebsch, profesor de fizică la Universitatea Tehnică din Göttingen, care în anul 1862 a prezentat în celebra sa carte ”Theorie der

Bazele metodei elementelor finite Marius N. Baba

Facultatea de Inginerie Mecanică, Universitatea Transilvania din Brasov

Elasticität fester Körper” un algoritm pentru calculul structurilor tridimensionale din bare drepte articulate la capete, folosind un principiu de lucru similar celui denumit în ziua de azi, metoda deplasărilor în formulare matriceală.

3.2 Rigiditate şi complianţă

Vom considera un resort elastic liniar fixat la unul din capete și solicitat la celălalt de o forță �, aşa cum se prezintă în Fig. 3.1. Este cunoscut faptul că alungirea acestuia, în ipoteza unui comportament liniar elastic, este direct proporţională cu încărcarea aplicată astfel încât relaţia de proporţionalitate forţă – deplasare poate fi exprimată de ecuaţia:

� � � ∙ �, (3.1)

în care � este deplasarea punctului de aplicaţie al forţei iar � este o mărime scalară denumită constantă elastică sau coeficient de rigiditate.

a) b)

Fig. 3.1

În general, coeficientul de rigiditate este definit ca fiind forţa fictivă ce produce în punctul de aplicaţie o deplasare (translaţie sau rotație) egală cu unitatea. În Sistemul Internaţional unitatea de măsură a rigidităţii este [N/m].

Rearanjând termenii în relaţia (3.1), se obţine:

� � 1� ∙ �, (3.2)

în care mărimea 1/k este cunoscută și sub denumirea de flexibilitate sau complianţă. În Sistemul Internaţional unitatea de măsură a complianţei este [m/N]. În calculele de proiectare specifice domeniului ingineriei mecanice ordinul de mărime al deplasărilor fiind relativ mic în comparație cu dimensiunile de gabarit ale structurii, unitatea de măsură folosită uzual pentru rigiditate este [N/mm] iar pentru complianță este [mm/N].

3.3 Matricea de rigiditate elementală

Vom generaliza în cele ce urmează expresia scalară (3.1), prin scrierea acesteia în formă matriceală, cu scopul de a descrie cât mai sintetic relația între forțele exterioare și deplasările punctelor de aplicație ale acestora, în cazul unui resort liniar elastic oarecare. Se va considera aşadar cazul general în care solicitarea este dată forţele exterioare � şi � aplicate la cele două capete ale resortului 1 și 2, cărora le corespund deplasările punctelor de aplicație � respectiv �, aşa cum se prezintă în Fig. 3.2.

Capitolul 2. Metode matriceale pentru calculul structurilor mecanice


Fig. 3.2

Ecuaţiile care descriu dependenţa funcțională între forțele exterioare şi deplasările punctelor de aplicație ale acestora se vor determina pe baza principiului suprapunerii de efecte, examinând pe rând două stări succesive de solicitare.

Într-o primă stare de solicitare se va considera că deplasarea nodului 1 este liberă în timp ce deplasarea nodului 2 este blocată, astfel încât � � � şi � � 0. În acest caz ecuaţia

de echilibru elastic se exprimă sub forma:

� � � ∙ �, (3.3)

care înlocuită în ecuaţia de echilibru static:

� � � � 0, (3.4)

conduce la:

� � � � � ∙ �, (3.5)

în care se observă că sensul reacțiuii � se opune sensului de acţiune a forţei �. Într-o a doua stare de solicitare vom considera că deplasarea nodului 1 este blocată

în timp ce deplasarea nodului 2 este liberă, astfel încât � � 0 şi � � �. Combinând şi în acest caz ecuaţiile de echilibru elastic şi static, se va obţine:

� � � ∙ � � �, (3.6)

observându-se că sensul reacţiunii � se opune sensului de acţiune a forţei �. Folosind principiului suprapunerii de efecte, relaţiile (3.5) şi (3.6) pot fi rescrise sub

forma sistemului de ecuaţii:

�� ;� � �� , (3.7)

care exprimă legătura între forţele aplicate şi deplasările nodale corespunzătoare pentru cazul general în care � � � şi respectiv � � �. Sistemul de ecuații (3.7) poate fi scris matriceal sub forma:

�� , (3.8)

sau condensat:



�� , (3.9)

în care �� reprezintă vectorul forţelor nodale elementale, �� este vectorul deplasărilor nodale elementale, iar �� este matricea de rigiditate a resortului liniar elastic considerat, denumită şi matrice de rigiditate elementală:

�� . (3.10)

Analizând matricea de rigiditate elementală (3.10) obţinută asa cum s-a aratat mai sus pentru cazul unui resort liniar elastic, se pot formula câteva proprietăţi generale ale acesteia, și anume:

� Matricea de rigiditate elementală este singulară (deci neinversabilă), astfel încât deplasările nodale ale elementului nu pot fi obţinute din ecuaţia (3.8) în funcţie de forţele nodale �� şi ��. Aceasta înseamnă că în absenţa forţelor inerţiale este posibil ca elementul să realizeze doar o deplasare de solid rigid, fără apariţia unui efort interior rezultant (tensiunile sunt nule în cazul în care deplasările nodale � şi � sunt egale).

� Matricea de rigiditate elementală este simetrică (consecinţă a teoremei reciprocităţii deplasărilor, Betti – Maxwell) şi pozitiv definită (toţi termenii de pe diagonala principală sunt pozitivi).

� Matricea de rigiditate elementală asigură dependenţa funcţională între sarcinile aplicate în nodurile elementului şi deplasările corespunzătoare, componentele acesteia fiind formate pe baza dimensiunilor geometrice ale elementului şi caracteristicilor mecanice ale materialului din care acesta este confecţionat. În ipoteza unui comportament liniar elastic această dependenţă este liniară.

3.4 Matricea de rigiditate globală

Pentru o înțelegere cât mai facilă a noţiunii de matrice de rigiditate globală, fără a reduce însă din caracterul de generalitate al formulării vom lua un exemplu simplu şi anume un ansamblu format din două resorturi liniar elastice legate în serie, având rigidităţile �� şi ��, aşa cum se prezintă în Fig. 3.3. Vom considera de asemenea că încărcarea exterioară este dată de forţele cunoscute � şi �� aplicate de-a lungul direcţiei sistemului de resorturi în nodurile de capăt 1 şi respectiv 3.

Fig. 3.3

În raport cu un sistem de referinţă global al cărui axă coincide cu direcţia sistemului

de resorturi, se observă că fiecare nod are câte un singur grad de libertate, şi anume deplasarea de-a lungul axei �. Se poate spune astfel că există un singur parametru

independent care defineşte unic deplasarea fiecărui nod.



În Fig. 3.3 se observă că întregul ansamblu conţine trei noduri ceea ce înseamnă că numărul total de necunoscute este trei, adică produsul dintre numărul total de noduri şi numărul gradelor de libertate ale unui nod. Acestea sunt reprezentate de deplasările nodale �, � şi �� denumite și deplasări generalizate sau necunoscute primare care formează așanumitul vector al deplasărilor globale:

�∆� � �� . (3.11)

Noţiunea de deplasare generalizată stă la baza metodei matriceale a deplasărilor şi prin urmare necesită câteva explicaţii suplimentare. Aşadar dacă pentru o structură spaţială oarecare, fiecare nod poate avea şase componente posibile ale deplasării (trei liniare şi trei unghiulare), deplasările generalizate ale unui nod sunt acelea care se pot efectua independent de deplasările celorlalte noduri. Conform principiilor mecanicii analitice fiecărei deplasări generalizate a unui nod îi corespunde o forţă generalizată reprezentată de suma forțelor interioare care acționează asupra nodului respectiv. Astfel fiecare nod este supus acțiunii forțelor interioare provenite din elementele pe care le conectează, precum și acțiunii eventualelor forțe exterioare.

Din considerente de sistematizare a calculelor şi pentru facilitarea înţelegerii unor concepte care vor fi folosite frecvent în următoarele capitolele, vom folosii în continuare

notaţiile din Fig. 3.4, şi anume !"#�$ reprezintă forța elementală interioară exercitată de

elementul % asupra nodului &. În reprezentarea grafică din Fig. 3.4 se ţine seama că forţele nodale exterioare care acţionează asupra elementelor şi cele elementale interioare care acţionează asupra nodurilor au sensuri opuse conform principiului al treilea al mecanicii.

Fig. 3.4

În ipoteza în care sunt satisfăcute condiţiile de continuitate, și anume toate capetele

elementelor care se conectează într-un anumit nod au aceleaşi deplasări ca şi nodul respectiv; în cele ce urmează deplasările nodale vor fi notate fără indicele superior, acestea reprezentând dealtfel parametrii independenţi ai structurii discrete considerate:

�#�$ � � ; �#�$ � �#�$ � �; ��#�$ � ��. (3.12)

Ecuaţiile algebrice care descriu dependenţa între sarcinile exterioare aplicate şi deplasările nodurilor, se vor determina aplicând principiul suprapunerii de efecte. Astfel se va examina pe rând efectul fiecarei deplasări nodale asupra forțelor elementale interioare în trei stări succesive de solicitare.

Într-o primă stare de solicitare se va considera că deplasarea nodului 1 este liberă în timp ce deplasările nodurilor 2 și 3 sunt blocate, astfel încât � � � şi � � �� 0. În acest caz echilibrul elastic se poate scrie doar la nivelul primului resort:

!#�$ � �� ∙ �. (3.13)



Întrucât nodurile 2 și 3 sunt blocate astfel încăt !#�$ � !�#�$ � 0, echilibrul static se exprimă

sub forma:

!(�) + !(�) = 0, (3.14)

care conduce la:

!(�) = −!(�) = −�� ∙ �. (3.15)

Într-o a doua stare de solicitare se consideră că deplasarea nodului 2 este liberă în timp ce deplasările nodurilor 1 și 2 sunt blocate, astfel încât � = � şi � = �� = 0. În acest caz ambele resorturi deformându-se, ecuațiile de echilibrul elastic al celor două resorturi sunt:

!(�) = �� ∙ �; (3.16) !(�) = �� ∙ �, (3.17)

în timp ce ecuațiile de echilibru static se scriu sub forma:

!(�) + !(�) = 0; (3.18) !(�) + !�(�) = 0. (3.19)

Combinând ecuaţiile de echilibru elastic şi static, se obţine:

!(�) = −!(�) = −�� ∙ �; (3.20) !�(�) = −!(�) = −�� ∙ �. (3.21)

Într-o a treia stare de solicitare se va considera că deplasarea nodului 3 este liberă în timp ce deplasările nodurilor 1 și 2 sunt blocate, astfel încât �� = �� şi � = � = 0. În acest caz echilibrul elastic se poate scrie doar la nivelul celui de-al treilea element:

!�(�) = �� ∙ ��. (3.22)

Întrucât nodurile 1 și 2 sunt blocate astfel încăt !(�) = !(�) = 0, echilibrul static se exprimă sub forma:

!(�) + !�(�) = 0, (3.23)

din care rezultă:



!(�) = −!�(�) = −�� ∙ ��. (3.24)

Aplicând principiul suprapunerii de efecte, prin însumarea termenilor de același fel din relațiile (3.13), (3.15), (3.16), (3.17), (3.20), (3.21), (3.22) și (3.24), se obțin expresiile globale ale forțelor elementale interioare în funcție de deplasările nodale necunoscute:

!#�$ � �� ∙ � �� ∙ �; (3.25)

!#�$ � �� ∙ � � �� ∙ �; (3.26)

!#�$ � �� ∙ � �� ∙ ��; (3.27)

!�#�$ � �� ∙ � � �� ∙ ��. (3.28)

Ecuațiile (3.25), (3.26), (3.27) și (3.28) pot fi grupate pentru fiecare element în parte și scrise apoi matriceal, obținându-se astfel așanumitele ecuații constitutive elementale:

(!#�$!#�$) � �� , (3.29)

(!#�$!�#�$) � �� . (3.30)

Pentru ca întregul sistem să fie în echilibru este necesar ca rezultantele forţelor din nodurile de legătură să fie zero. Dacă un nod oarecare nu este supus niciunei încărcări exterioare, suma eforturilor interioare trebuie să fie evident nulă. În schimb dacă asupra nodului acţionează o încărcare exterioară, condiţia de echilibru impune ca aceasta să fie egală cu suma forțelor interioare asociate.

Fig. 3.5

Aşadar conform Fig. 3.5 și ținând cont de relațiile (3.25), (3.26), (3.27) și (3.28), ecuaţiile de echilibru în nodurile de legătură sunt:

� Nodul 1: � � !#�$ � �� ∙ � �� ∙ �; (3.31)

� Nodul 2: 0 � !#�$ +!#�$ � �� ∙ � � #�� $ ∙ � �� ∙ ��; (3.32)



� Nodul 3: �� = !�(�) = −�� ∙ � + �� ∙ ��.

(3.33)

Ecuațiile (3.31), (3.32) și (3.33) pot fi scrise și matriceal sub forma:

*�0��+ = , �� −�� 0−�� (�� + ��) −��0 −�� -*��+ , (3.34)

sau condensat: �.� = �/��∆�, (3.35)

în care �∆� reprezintă vectorul funcțiilor necunoscute denumit și vectorul deplasărilor

globale, �.� este vectorul forţelor exterioare, iar �/� este matricea de rigiditate globală a structurii discrete considerate. Matricea de rigiditate globală �/� și implicit ecuațiile (3.34) sau (3.35) se pot obține și prin expandarea și asamblarea ecuațiilor constitutive elementale (3.29) și (3.30). Pentru a descrie cât mai sintetic operațiile de expandare și asamblare, vom definii în cele ce urmează

o matrice de extracţie 01(�)2, astfel încât:

3�(�)4 = 01(�)2�∆� ; (3.36)

având rolul de extrage subvectorul deplasărilor elementale corespunzătoare elementului (%), din vectorul deplasărilor globale al structurii. Ecuația (3.17) exprimă dealtfel continuitatea sau compatibilitatea deplasărilor nodale ale unui element cu deplasările

nodale ale întregii structuri, 3�(�)4 fiind vectorul deplasărilor nodale ale elementlui în timp ce �∆� este vectorul deplasărilor globale ale ansamblului de resorturi studiat. Matricea de

extracţie este o matrice pătrată având numărul de linii egal cu numărul gradelor de libertate al elementului, iar numărul de coloane egal cu numărul global al gradelor de libertate geometrică. Această matrice este compusă aproape în întregime din zerouri, fiecare linie având doar un singur element egal cu unitatea, poziţia acestuia pe coloană fiind corespunzătoare indicilor deplasărilor necunoscute care sunt extrase din vectorul deplasărilor globale al structurii. În cazul exemplului considerat, făcând referire la vectorii deplasărilor elementale din ecuaţiile constitutive (3.29) și (3.30), matricele de extracţie au forma din Tabelul 3.1.

Identificatorul de element Elementul a Elementul b

Vectorul deplasărilor

nodale elementale ��

Matricea de extracţie �1 0 00 1 0� �0 1 00 0 1� Tabelul 3.1



Ținând cont de relația (3.9), ecuațiile constitutive (3.29) și (3.30) pot fi scrise sub forma generală condensată:

3�(�)4 = ��3�(�)4 , e = 1, 2 , 3; (3.37)

în care înlocuind 3�(�)4 din relația (3.36), se obține:

3�(�)4 = ��01(�)2�∆� . (3.38)

Expandarea ecuațiilor constitutive elementale se face înmulțind la dreapta ecuația

(3.38) cu 01(�)2 :

01(�)2 3�(�)4 = 01(�)2 ��01(�)2�∆� , 3.(�)4 0/(�)2 (3.39)

în care 3.(�)4 este vectorul forțelor nodale elementale expandat la dimensiunile vectorului

global al forțelor exterioare, iar 0/(�)2 reprezintă matricea de rigiditate elementală

expandată. În cazul particular al ansamblului format din două resorturi liniar elasice,

expresiile vectorului 3.(�)4 și a matricei 0/(�)2 sunt redate în Tabelul 3.2.

Identificatorul de

element 35(6)4 07(6)2

Elementul a *!(�)!(�)0 + ,�� −�� 0−�� 00 0 0-

Elementul b * 0!(�)!�(�)+ ,0 0 00 �� −��0 −�� -

Tabelul 3.2

Asamblarea ecuațiilor elementale constă de fapt în adunarea membru cu membru a ecuațiilor elementale expandate la dimensiunile numărului global de grade de libertate a structurii, astfel:

83.(�)4�"9 = :807(�)2�

"9 ; �∆� (3.40)

în care așa cum se poate observa, se adună matricele de rigiditate ale elementelor 07(�)2 în matricea de rigiditate �/� a structurii, și respectiv vectorii elementali expandați ai

forțelor nodale elementale 3.(�)4 în vectorul forțelor generalizate pentru întreaga structură:



∑ 07(�)2�"9 = ,�� −�� 0−�� (�� + ��) −��0 −�� - = �/�, (3.41)

83.(�)4 =�"9 =>

? !(�)!(�) + !(�)!�(�) @AB. (3.42)

Înlocuind în relația (3.42), ecuațiile de echilibru (3.31), (3.32) și (3.33), rezultă:

83.(�)4 =�"9 �.� = *�0��+, (2.43)

astfel încât în urma operației de asamblare și ținând cont de (3.11), (3.40), (3.41), (3.42) și (2.43) se va obține același sistem de ecuații (3.34). Se observă că proprietăţile matricei de rigiditate globale, [/], sunt în general aceleaşi cu cele ale matricei de rigiditate elementale, şi anume:

� Elementele componente ale matricei [/] sunt formate pe baza dimensiunilor geometrice ale sistemului structural analizat şi caracteristicilor mecanice ale materialului elementelor din care este confecţionată structura.

� Matricea [/] este o matrice pătrată datorită faptului că vectorii coloană �∆� şi �.� au dimensiuni identice.

� Matricea de rigiditate globală este de tipul simetric, consecinţă a teoremei reciprocităţii deplasărilor, astfel încât elementele liniilor şi coloanelor ce intersectează un element matriceal comun, sunt identice: �"C = �C".

� Matricea [/] este pozitiv definită, deoarece toate elementele, �"C, de pe diagonala

principală sunt ”strict pozitive”, adică ele nu pot fi niciodată negative sau nule. Această proprietate este consecinţa faptului că generarea matricei se face şi trebuie făcută în mod consistent: deplasarea într-un anumit nod se produce pe direcţia şi în sensul de acţiune al sarcinii aplicate în acel nod, având deci acelaşi semn algebric.

� Se observă că în matricea �/� suma tuturor elementelor fiecărei coloane este egală cu zero. Aşadar determinantul matricei de rigiditate globală este egal cu zero, ceea ce înseamnă că matricea este singulară (deci neinversabilă), iar mărimile deplasărilor devin nedeterminate, ceea ce înseamnă că alături de efectul deformării structurii poate interveni şi deplasarea arbitrară de corp rigid a acesteia. Gradul de nedeterminare fiind egal cu numărul deplasărilor de corp rigid pe care le poate avea structura în ansamblu (în cazul de faţă doar una, iar în cazul cel mai general șase). Un alt mod de a privi această situaţie se referă la sistemul de ecuaţii (3.34), care, în aceste condiţii, nu poate fi rezolvat, fiind nedeterminat. Această nedeterminare poate fi ridicată prin introducerea condiţiilor de frontieră, adică prin precizarea legăturilor care fixează structura în spaţiu.



Trebuie subliniat că faţă de proprietăţile comune cu cele ale matricei de rigiditate elementale enumerate mai sus, se mai adaugă două specifice doar matricei de rigiditate

globale, şi anume: � Matricea [/] este rară, adică un număr relativ mare de elemente „rămân” nule (în

mod obişnuit între 60 şi 85 % din totalul elementelor matricei). � Matricea [/] este „bandă”, adică elementele nenule sunt grupate în jurul

diagonalei principale. Este de presupus că în cazul unor sisteme structurale complexe, matricea de rigiditate globală poate avea dimensiuni foarte mari, fapt pentru care operaţiile de generare a elementelor matriceale cât şi plasarea acestora în poziţia corectă din tabelul matriceal trebuie realizate astfel încât acestea să poată fi programate cu ajutorul calculatoarelor electronice.

3.5 Matricea de rigiditate redusă

În cele ce urmează pentru acelaşi ansamblu format din două elemente elastice liniare, vom analiza cazul în care se introduc condiţiile de frontieră

1 necesare fixării complete a structurii.

Fig. 3.6

Întregul ansamblul fiind articulat în nodul 1, aşa cum se prezintă în Fig. 3.6, deplasarea � este blocată aceasta devenind o mărime cunoscută (� = 0). În aceste condiţii reacţiunea D din nodul blocat devine necunoscută iar sistemul de ecuații (3.34) devine:

*D0��+ � , �� 0 �� #�� $ ��0 �� -*��+ , (3.44)

care poate fi partiționat în două seturi de ecuații scrise condensat sunt de forma:

��.�E�.�F� � ��/�EE �/�EF�/�FE �/�FF� ��∆�E�∆�F� , (3.45)

în care:

1 Cunoscute în literatura de specialitate şi sub denumirea de condiţii de rezemare, condiţii de limită, condiţii de margine sau

condiţii de legătură. În general prin condiţiile de frontieră se impun anumite valori unor grade de libertate în punctele de rezemare ale structurii. Se împiedică astfel deplasările de corp rigid ale ansamblului structurii. Dacă structura nu dispune de suficiente condiţii de rezemare, un anumit caz de încărcare poate genera deplasări cu valoare infinită.



�∆�E = �� = 0, (3.46)

reprezintă vectorul deplasărilor cunoscute, al cărui componente sunt zero în conformitate cu modul de rezemare a structurii, iar:

�.�F = �0 �� , (3.47)

reprezintă vectorul forțelor exterioare cunoscute aplicate în noduri. Izolând cel de-al doilea set de ecuații din (3.45):

�.�F = �/�FE�∆�E + �/�FF�∆�F , (3.48)

și ținând cont de (3.46), se obține:

�.�F = �/�FF�∆�F , (3.49)

în care �/�FF este matricea de rigiditate redusă a structurii discrete considerate. Se observă

că determinantul acesteia este diferit de zero, aceasta fiind nesingulară:

G%HI�/�FFJ = �� ≠ 0 , (3.50)

ceea ce înseamnă că matricea �/�FF este inversabilă. Așadar înmulțind la stânga ecuația

(3.49) cu �/�FFL, rezultă:

�∆�F = �/�FFL�.�F , (3.51)

obținându-se astfel componentele subvectorului deplasărilor nodale necunoscute:

�∆�F = �� . (3.52)

Izolând în continuare cel de-al doilea set de ecuații din (3.45):

�.�E = �/�EE�∆�E + �/�EF�∆�F , (3.53)

și ținând cont de (3.46), se obține:

�.�E = �/�EF�∆�F , (3.54)

din care având în vedere că �∆�F este deja cunoscut fiind determinat anterior, rezultă în final

reacțiunea din nodul 1:

�.�E = �D� . (3.55)



Exemplul simplu al ansamblului de resorturi liniar elastice nu reprezintă altceva decât o descriere simplificată a comportării structurilor mecanice deformabile sub acţiunea diverselor tipuri de sarcini exterioare aplicate. Se poate recunoaşte intuitiv că resorturile componente, ca părţi ale unui întreg, nu reprezintă altceva decât elementele finite ce rezultă în urma descompunerii imaginare a întregului. Fiecare resort este prin definiţie un corp solicitat la întindere sau compresiune, nodurile fiind articulaţii asupra cărora pot fi aplicate sarcini și în care pot interveni legături cu mediul exterior. Considerat separat, fiecare resort are proprietăţi individuale radical diferite de proprietăţile de interacţiune pe care le are când este integrat în ansamblu. Schimbarea poziţiei elementelor componente în cadrul ansamblului ca şi modificarea tipului de interacţiune dintre acestea, schimbă comportamentul sistemului luat ca întreg.

Aplicația 3.1. Pentru ansamblul de resorturi linear elastice din figura de mai jos, se

cere să se determine expresiile matricelor de rigiditate elementale, matricea de rigiditate

globală, vectorul deplasărilor globale și reacțiunile din nodurile 1 respectiv 4. Se consideră

cunoscute rigiditățile �� = 200N/PP, �� 400N/PP și respectiv forța exterioară � � 500N.

Fig. 3.7

Aplicația 3.2. Se cere să se determine componentele vectorului deplasărilor globale și

reacțiunile pentru ansamblul de resorturi liniar elastice din figura de mai jos. Se consideră

cunoscute rigiditățile �� 100N/PP, �� 300N/PP și respectiv forțele exterioare � � 200N, �T � 400N.

Fig. 3.8



3.6 Determinarea matricelor de rigiditate elementale la bare drepte

În cele ce urmează se vor determina expresiile matricelor de rigiditate pentru un element de bară dreaptă considerând pe rând diferite stări simple de solicitare. Așadar se va admite că elementul de bară poate prelua în cazul cel mai general forțe axiale și momente de

torsiune orientate în lungul axei sale longitudinale, respectiv forțe tăietoare și momente

încovoietoare orientate după cele două direcții principale de inerţie ale secţiunii sale transversale. Evident în acest caz nu se va considera posibilitatea apariției flambajului.

Așa cum se prezintă în figura 3.9, elementul de bară considerat are secţiunea transversală constantă fiind definit de cele două noduri de capăt numerotate cu 1 şi 2,

lungimea l, aria secțiunii transversale U, momentele de inerție în raport cu axele principale ale secțiunii, notate cu VW și VX, respectiv caracteristica geometrică de rigiditate la torsiune a

secțiunii transversale, notată cu VY. Se va considera un comportament liniar elastic al materialului barei, pentru care Z este modulul de elasticitate longitudinală şi [ este modulul de elasticitate transversală.

Fig. 3.9

Elementul de bară se raportează la un sistem de coordinate local (�\]̂), originea lui

fiind plasată prin convenție în nodul 1, axa �_ este paralelă cu axa longitudinală a barei în timp ce axele \_ și ]̂ sunt axe principale centrale de inerție ale secțiunii transversale a barei. În cazul cel mai general al unei stări de solicitare compuse, pentru reprezentarea eforturilor care se dezvoltă în secţiunea barei la nivelul fiecărui nod în raport cu sistemul de referință local, se vor folosii următoarele notații:

��_� = 3�a� �aX �aW bc� bcX bcW �a� �aX �aW bc� bcX bcW4 , (3.56)

În mod corespunzător, pentru deplasările nodurilor de capăt ale barei în raport cu sistemul de referinţă local, se vor folosii notațiile:

3�d4 = ��_ e_ fg h_� h_X h_W �_ e_ fg h_� h_X h_W� . (3.57)



În cadrul acestui subcapitol, determinarea matricelor de rigiditate elementale la bare drepte se va face pornind de la ecuațiile diferențiale care guvernează echilibrul elastic, convenția de semne folosită fiind cea învățată în cursul de Rezistența materialelor.

3.6.1 Bara dreapta solicitata axial

În figura 3.10 este prezentată geometria elementului de bară pentru care starea de solicitare axială este determinată de forţele exterioare �a� şi �a� aplicate în nodurile de capăt. Elementul fiind supus doar la tracţiune sau compresiune fiecare nod are câte un singur grad de libertate, şi anume deplasările în lungul axei barei �_1 şi respectiv �_2.

Fig. 3.10

Forţele �a� şi �a� fiind aplicate doar în nodurile de capăt, efortul axial care se dezvoltă

în fiecare secţiune a elementului considerat este constant, astfel încât ecuația diferențială care guvernează echilibrul elastic pentru elementul de bară considerat este:

ZUG�_G� = 0, (3.58)

care prin intergrare, devine:

ZUG�_G� = i. (3.59)

Ținând cont de ecuaţia constitutivă care stabileşte legătura între tensiuni şi deformaţii în cazul solicitării uniaxiale:

G�_G� = N�ZU, (3.60)

ecuația (3.59) poate fi rescrisă sub forma:

ZUG�_G� = i = N�. (3.61)

Integrând în continuare ecuația (3.59), rezultă:

ZU ∙ �_ = i� + i, (3.62)

în care punând condițiile la limită, se va obține:



� Pentru � = 0:

ZU ∙ � = i. (3.63)

� Pentru � = ℓ:

ZU ∙ � = iℓ + i. (3.64)

Înlocuind în ecuația (3.64), constanta de integrare i conform relației (3.61), și ținând cont de convenția de semne, se obține:

ZU ∙ � = �a�ℓ + ZU ∙ �, (3.65)

care poate fi rescrisă sub forma:

�a� = ZUℓ (−� + �). (3.66)

Scriind ecuaţia de echilibru static al elementului de bară, se obţine:

�a� + �a� = 0, (3.67)

în care înlocuind (3.66), se obține:

�a� = −�a� = ZUℓ (� − �). (3.68)

Ecuaţiile (3.66) şi (3.68) furnizează toate informaţiile necesare pentru definirea

dependenţei funcţionale între sarcinile axiale aplicate în cele două noduri ale elementului şi deplasările corespunzătoare, acestea putând fi rescrise matriceal sub forma:

��a��a�� = ZUℓ k 1 −1−1 1 l ��_�_�. (3.69)

care poate fi scrisă condensat şi sub forma:

��_� = 0�a23�d4 , (3.70)

unde:

0�a2 = ZUℓ �1 −1−1 1�, (3.71)



este matricea de rigiditate a elementului de bară dreaptă articulată la capete şi solicitată axial, în raport cu sistemul de referinţă local,

3�d4 = ��_ �_� , (3.72)

este vectorul deplasărilor nodale în raport cu sistemul de referinţă local al elementului, iar:

��_� = ��a� �a�� , (3.73)

reprezintă vectorul forţelor nodale în raport cu sistemul de referinţă local.

3.6.2 Bara dreapta solicitata la torsiune

Pentru determinarea expresiei matricei de rigiditate a barei drepte solicitată la torsiune se va proceda în mod similar cazului barei drepte solicitate axial, prezentat în paragraful precedent. În figura 3.11 este prezentat elementul de bară dreaptă solicitat la

cele două capete de momentele de torsiune bc1x şi bc2x aplicate în plane perpendiculare pe axa barei. Fiecare nod are câte un singur grad de libertate, şi anume rotirile secţiunilor transversale de la extremităţi în jurul axei �_, notate cu h_1x şi respectiv h_2x.

Fig. 3.11

Starea de solicitare la torsiune a elementului de bară considerat este caracterizată atât de ecuaţia de echilibru static:

bc� +bc� = 0, (3.74)

cât şi de ecuația diferențială care guvernează echilibrul elastic al elementului de bară:

[VY Gh_G� � 0. (3.75)

Integrând odată ecuația diferențială (3.75), se obține:

[VY Gh_G� � i, (3.76)



și ținând cont de ecuaţia constitutivă care stabileşte legătura între tensiuni şi deformaţii în cazul solicitării la torsiune:

Gh_G� = bc�[VY, (3.77)

ecuația (3.76) poate fi rescrisă sub forma:

[VY Gh_G� = i = b�. (3.78)

Integrând în continuare ecuația (3.76), se va obține:

[VY ∙ h_ = i� + i, (3.79)

în care punând condițiile la limită rezultă:

� Pentru � = 0:

[VY ∙ h_ = i. (3.80)


[VY ∙ h_ = iℓ+ i. (3.81)

Înlocuind în ecuația (3.81), constanta de integrare i conform relației (3.78), și ținând cont de convenția de semne, se obține:

[VY ∙ h_ = b�ℓ+ [VY ∙ h_, (3.82)

care poate fi rescrisă sub forma:

bc� = [VYℓ (−h_ + h_). (3.83)

Scriind ecuaţia de echilibru static al elementului de bară, se obţine:

bc� +bc� = 0, (3.84)

în care înlocuind (3.83), se obține:

bc� = −bc� = [VYℓ (h_ − h_). (3.85)



Ecuaţiile (3.83) şi (3.85) furnizează toate informaţiile necesare pentru definirea dependenţei funcţionale între momentele de torsiune aplicate în cele două noduri ale elementului şi rotațiile corespunzătoare, acestea putând fi rescrise matriceal sub forma:

�bc�bc�� = [VYℓ k 1 −1−1 1 l �h_h_�. (3.86)

care poate fi scrisă condensat şi sub forma:

��_� = 0�a23�d4 , (3.87)

unde:

0�a2 = [VYℓ �1 −1−1 1�, (3.88)

este matricea de rigiditate a elementului de bară solicitată la torsiune, în raport cu sistemul de referinţă local,

3�d4 = �h_ h_� , (3.89)


��_� = �bc� bc�� , (3.90)




3.6.3 Bara dreapta solicitata la încovoiere plana

În figura 3.12 este prezentată geometria elementului pentru care starea de solicitare

plană la încovoiere simplă este determinată de forțele tăietoare �a1y şi �a2y, respectiv

momentele încovoietoare bc1z şi bc2z aplicate la cele două capete. Elementul fiind supus la încovoiere simplă plană, fiecare nod are câte două grade de libertate şi anume deplasările în lungul axei y a secţiunilor transversale de la extremităţi, notate cu e_ şi respectiv e_, respectiv rotirile în jurul axei z, notate cu h1z şi respectiv h2z.

Fig. 3.12

Forțele tăietoare �a1y şi �a2y, respectiv momentele încovoietoare bc1z şi bc2z fiind aplicate doar în nodurile de capăt, eforturile care se dezvoltă în fiecare secţiune a elementului considerat sunt constante, astfel încât ecuația diferențială care guvernează echilibrul elastic pentru elementul de bară considerat este:

ZVW Gme_G�m = 0, (3.91)

care integrată pe rând de patru ori conduce la următoarele expresii:

ZVW G�e_G�� i, (3.92)

ZVW Ge_G� � i� � i, (3.93)

ZVW Ge_G� � ZVWh_ � i �2 � i� � i�, (3.94)

ZVWe_ � i ��6 � i �2 � i�� im, (3.95)



Ținând cont de relațiile diferențiale între eforturi, ecuațiile (3.92) (3.93) devin:

ZVW G�e_G�� = i = o�, (3.96)

ZVW Ge_G� = i� + i = b�. (3.97)

Punând condițiile la limită în (3.95) și (3.94), rezultă:

� Pentru � = 0:

e_ = 1ZVW im, (3.98)

h_ = 1ZVW i�. (3.99)


e_ = 1ZVW pi ℓ�6 + i ℓ2 + i�ℓ + imq, (3.100)

h_ = 1ZVW pi ℓ2 + iℓ + i�q. (3.101)

Relațiile (3.98), (3.99), (3.100) și (3.101) pot fi rescrise matriceal sub forma:

=rrr>rrr?e_h_e_h_@rrrArrrB=stttttttu 0 0 0 1ZVW0 0 1ZVW 0ℓ�6ZVW ℓ2ZVW ℓZVW 1ZVWℓ2ZVW ℓZVW 1ZVW 0 vw

wwwwwwx

=rr>rr?iii�im@rrArrB, (3.102)

din care prin rearanjarea termenilor, se obține:



=rr>rr?iii�im@rrArrB =

stttttu 12ZVWℓ� 6ZVWℓ −12ZVWℓ� 6ZVWℓ−6ZVWℓ −4ZVWℓ 6ZVWℓ −2ZVWℓ0 ZVW 0 0ZVW 0 0 0 vww

wwwx

=rr>rr?e_h_e_h_@rrArrB. (3.103)

Punând condițiile la limită în ecuația matriceală (3.103), și ținând cont de relațiile (3.98) și (3.99), rezultă:

� Pentru � = 0:

i = �ay ; (3.104)

�ay = 12ZVWℓ� e_ + 6ZVWℓ h_ − 12ZVWℓ� e_ + 6ZVWℓ h_. (3.105)

i = −bcz ; (3.106) bcz = 6ZVWℓ e_ + 4ZVWℓ h_ − 6ZVWℓ e_ + 2ZVWℓ h_. (3.107)


i = −�ay ; (3.108)

�ay = −12ZVWℓ� e_ − 6ZVWℓ h_ + 12ZVWℓ� e_ − 6ZVWℓ h_. (3.109)

iℓ + i = bcz ; (3.110) bcz = 6ZVWℓ e_ + 2ZVWℓ h_ − 6ZVWℓ e_ + 4ZVWℓ h_. (3.111)

Ecuațiile (3.105) (3.107) (3.109) și (3.111) pot fi rescrise matriceal sub forma:

=rrr>rrr?�aybcz�aybcz@rr

rArrrB=sttttttu 12ZVWℓ� 6ZVWℓ −12ZVWℓ� 6ZVWℓ6ZVWℓ 4ZVWℓ −6ZVWℓ 2ZVWℓ−12ZVWℓ� −6ZVWℓ 12ZVWℓ� 6ZVWℓ6ZVWℓ 2ZVWℓ 6ZVWℓ 4ZVWℓ vw

wwwwwx

=rrr>rrr?e_h_e_h_@rrrArrrB, (3.112)



furnizând toate informaţiile necesare pentru definirea dependenţei funcţionale între forțele tăietoare și momentele încovoietoare aplicate în cele două noduri ale elementului şi deplasările liniare și unghiulare corespunzătoare. Ecuația (3.112) poate fi scrisă şi condensat sub forma:

��_� = 0�a23�d4 , (3.113)

în care:

0�a2 =sttttttu 12ZVWℓ� 6ZVWℓ −12ZVWℓ� 6ZVWℓ6ZVWℓ 4ZVWℓ −6ZVWℓ 2ZVWℓ−12ZVWℓ� −6ZVWℓ 12ZVWℓ� 6ZVWℓ6ZVWℓ 2ZVWℓ 6ZVWℓ 4ZVWℓ vw

wwwwwx, (3.114)

este matricea de rigiditate a elementului de bară solicitată la încovoiere simplă plană, în raport cu sistemul de referinţă local,

3�d4 = �e_ h_ e_ h_� , (3.115)


��_� = 3�ay bcz �ay bcz4 , (3.116)


curs 2+3 mef metode matriceale_2014.pdf

Documents