Reducerea sistemelor de forţe

Mecanica I 1

CURS 4

REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE

CUPRINS

4. Reducerea sistemelor de forţe…...………………………………………………………1

Cuprins……………………………………………………………………………………..1

Introducere modul………………………………………………………………………….1

Obiective modul...………………………………………………………………………….2

4.1. Reducerea unei forţe într-un punct ………..…………………………………....2

4.2. Reducerea unui sistem de forţe într-un punct......................................................3

Test de autoevaluare 1...................................................................................................5

4.3. Invarianţii sistemelor de forţe. Moment minim. Axă centrală ..........................5

Test de autoevaluare 2...................................................................................................8

4.4. Cazuri de reducere .................................................................................................8

Test de autoevaluare 3.................................................................................................11

Bibliografie modul……………………………………………………………………………11

Rezumat modul……………………………………………………………………………….11

Rezolvarea testelor de autoevaluare…………………………………………………………..12

4. Reducerea sistemelor de forţe

Introducere

modul

În acest modul se va defini şi determina efectul produs de o forţă şi

de un sistem de forţe într-un punct.

Se vor identifica invarianţii sistemelor de forţe, noţiunile de moment

minim şi axă centrală şi, în funcţie de efectul sistemului de forţe în

raport cu un punct oarecare se va identifica, pentru sistemul de forţe

dat, sistemul echivalent cel mai simplu.

Reducerea sistemelor de forţe

Mecanica I 2

Obiective modul

După parcurgerea acestui modul cursantul va şti:

- noţiunea de torsor al forţei în raport cu un punct;

- noţiunea de torsor al unui sistem de forţe în raport cu un

punct;

- invarianţii unui sistem de forţe;

- să determine sistemul echivalent cel mai simplu pentru un

sistem de forţe oarecare.

Durata medie de

studiu individual

2 ore

Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în

acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare.

4.1. Reducerea unei forţe într-un punct

Dacă o forţă acţionează asupra unui corp, aceasta produce un efect mecanic. Acesta se

manifestă, în general, prin modificarea (sau tendinţa de modificare) stării de mişcare sau

repaus a corpului. Acest efect mecanic poate fi cuantificat utilizând noţiunile de forţă şi de

moment al forţei în raport cu un punct.

Determinarea efectului forţei într-un punct al corpului pe care acţionează se numeşte

reducerea forţei în acel punct.

Fig. 4.1. Reducerea unei forţe într-un punct

Fie forţa ce acţionează în punctul A al unui solid rigid (figura 4.1). Se va determina efectul

mecanic al acestei forţe în punctul O. Pentru aceasta se introduce în punctul O sistemul de

forţe echivalent nul (efectul mecanic asupra corpului este nul) alcătuit din două forţe egale cu

forţa şi având sensuri opuse.

A

O

A

O

A

O

Reducerea sistemelor de forţe

Mecanica I 3

Se observă că forţa acţionând în punctul A şi forţa acţionând în punctul O formează un

cuplu de forţe ce are ca efect momentul acestui cuplu. Cum momentul cuplului de forţe este

un vector liber, se poate considera că acţionează în punctul O. Acest moment al cuplului se

poate calcula ca moment al forţei acţionând în punctul A în raport cu punctul O, .

Se observă că am transformat corpul acţionat de forţa în punctul A în corpul acţionat de o

forţă în punctul O şi de un moment egal cu momentul forţei în raport cu punctul O, fără

ca starea mecanică a corpului să se modifice. Rezultă că efectul mecanic al forţei în punctul

O este reprezentat de ansamblul format din forţa acţionând în punctul O şi momentul forţei

în raport cu punctul O, ansamblu ce se numeşte torsorul forţei în punctul O, notat :

Deoarece produc acelaşi efect mecanic într-un punct al corpului pe care acţionează, forţa şi

torsorul forţei în punctul considerat sunt sisteme echivalente.

4.2. Reducerea unui sistem de forţe într-un punct

Fie un corp acţionat de un sistem de forţe oarecare (figura 4.2). Se va determina efectul

mecanic al sistemului de forţe în punctul O.

Fig. 4.2. Reducerea unui sistem de forţe oarecare într-un punct

Pentru aceasta, se înlocuieşte fiecare forţă din sistem cu torsorul corespunzător forţei în

punctul O (starea mecanică a corpului rămâne aceeaşi, fiind vorba despre sisteme

echivalente). Se obţine corpul încărcat cu două sisteme de vectori concurenţi: un sistem

A1

O

Ai

An

O

O

Reducerea sistemelor de forţe

Mecanica I 4

alcătuit din forţele iniţiale aplicate în punctul O şi un sistem de momente ale forţelor din

sistem în raport cu punctul O. Cum pentru un sistem de vectori concurenţi sistemul echivalent

cel mai simplu este vectorul rezultant aplicat în punctul de concurenţă (vector rezultant

obţinut prin adunare vectorială) rezultă că putem înlocui cele două sisteme de vectori

concurenţi cu rezultanta forţelor (forţele fiind aplicate toate în punctul O) şi cu momentul

rezultant în raport cu punctul O. Ansamblul celor doi vectori se numeşte torsorul sistemului

de forţe în raport cu punctul O, notat :

Se observă că un sistem de forţe este echivalent cu torsorul său în raport cu un punct.

Se precizează că două sisteme de forţe care au acelaşi torsor în raport cu acelaşi punct sunt

echivalente.

Se consideră punctul A şi se va determina expresia torsorului unui sistem de forţe oarecare în

raport cu acest punct, cunoscând torsorul sistemului de forţe în raport cu alt punct, O.

Reducerea sistemelor de forţe

Mecanica I 5

Test de

autoevaluare 1

1. Efectul mecanic al unei forţe asupra unui corp este reprezentat de:

a) torsorul forţei în raport cu un punct al corpului;

b) rezultanta sistemului de forţe;

c) ansamblul format din forţa acţionând în acel punct şi momentul

forţei în raport cu punctul considerat.

2. Scrieţi expresia torsorului unui sistem de forţe oarecare în raport

cu un punct, O.

3. Enunţul ,, un sistem de forţe este echivalent cu torsorul său în

raport cu un punct” este:

a) adevărat;

b) fals.

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

4.3. Invarianţii sistemelor de forţe. Moment minim. Axă centrală

Atunci când se reduce un sistem de forţe în raport cu două puncte diferite se observă că unele

elemente ale torsorului sistemului de forţe variază, iar unele rămân constante (de exemplu,

după cum a rezultat din paragraful anterior, rezultanta sistemului de forţe). Elementele

torsorului care nu variază atunci când se schimbă punctul în raport cu care se reduce sistemul

de forţe considerat se numesc invarianţii sistemului de forţe la reducerea lor într-un punct.

Primul invariant este rezultanta sistemului de forţe, , numit şi invariantul vectorial.

Din paragraful anterior considerăm relaţia de variaţie a momentului rezultant o înmulţim

scalar cu rezultanta sistemului de forţe:

sau:

Produsul mixt este egal cu zero deorece doi vectori sunt coliniari. Rezultă

,

Reducerea sistemelor de forţe

Mecanica I 6

adică produsul scalar dintre rezultantă şi momentul rezultant în raport cu un punct este un

invariant al sistemului de forţe la reducerea acestuia într-un punct. Acest invariant se numeşte

al doilea invariant sau invariantul scalar al sistemului de forţe la reducerea într-un punct.

Dacă vectorul rezultantă şi produsul scalar sunt invarianţi la reducerea unui sistem

de forţe oarecare, atunci şi raportul va fi un invariant (raport a doi invarianţi). Dar, dacă

notăm cu versorul rezultantei, atunci:

unde cu MR s-a notat proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei.

Se consideră torsorul unui sistem de forţe într-un punct

oarecare al unui corp acţionat de acel sistem de forţe (figura

4.3). Se descompune momentul rezultant în raport cu

punctul O în două componente: una pe direcţia rezultantei,

notată şi una normală la direcţia rezultantei, notată .

Mărimea componentei este chiar mărimea proiecţiei

momentului rezultant în raport cu punctul O pe direcţia rezultantei, care este constantă.

Este evident că momentul rezultant al sistemului de forţe variază prin variaţia componentei

sale normale la direcţia rezultantei. Dacă această componentă normală este nulă, rezultă că

momentul rezultant va fi egal cu componenta sa pe direcţia rezultantei şi va fi minim:

Problema ce se ridică este determinarea punctelor în

raport cu care momentul rezultant al sistemului de

forţe este minim. Pentru aceasta, presupunem că se

determină elementele torsorului în raport cu originea

sistemului de referinţă (figura 4.4):

O

Fig. 4.3.

O y

z

x

A(x, y, z)

Fig. 4.4

Reducerea sistemelor de forţe

Mecanica I 7

Pentru determinarea poziţiei punctelor în care momentul rezultant este minim, considerăm

punctul A(x, y, z) cu această proprietate şi exprimăm momentul rezultant în raport cu punctul

A în funcţie de elementele torsorului în raport cu punctul O:

Înlocuind în această relaţie expresiile elementelor torsorului sistemului de forţe în raport cu

punctul O şi exprimând vectorul , rezultă:

Condiţia de coliniaritate dintre rezultantă şi momentul rezultant se poate exprima:

sau, scalar:

Înlocuind, se obţin egalităţile:

ce reprezintă ecuaţiile unei drepte. Această dreaptă se numeşte axă centrală şi se defineşte ca

locul geometric al punctelor în care momentul rezultant este coliniar cu rezultanta sau ca loc

geometric al punctelor în raport cu care momentul rezultant este minim.

Reducerea sistemelor de forţe

Mecanica I 8

Test de

autoevaluare 2

1. Invarianţii sistemelor de forţe la reducerea într-un punct sunt:

a) Rezultanta sistemului de forţe;

b) Momentul rezultant al sistemului de forţe într-un punct;

c) Produsul scalar dintre rezultantă şi momentul rezultant al

sistemului de forţe într-un punct.

2. Enunţul ,,momentul minim are direcţia rezultantei” este:

a) adevărat;

b) fals.

3. Scrieţi ecuaţiile axei centrale.

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

4.4. Cazuri de reducere

Cazurile de reducere sunt categorii în care pot fi clasificate sistemele de forţe în funcţie de

valorile particulare ale componentelor torsorului sistemului de forţe într-un punct. Dacă se

consideră torsorul unui sistem de forţe oarecare într-un punct O, se pot deosebi următoarele

cazuri de reducere:

1) , . În acest caz sistemul de forţe nu are nici un efect asupra corpului

pe care acţionează (sistem de forţe echivalent zero). Se spune că sistemul de forţe este în

echilibru. În orice punct s-ar face reducerea acestui sistem de forţe ar rezulta acelaşi efect

zero. Cele două relaţii vectoriale devin pentru un sistem de forţe oarecare condiţii de

echilibru. Astfel, se poate scrie:

- vectorial: ;

- scalar:

2) , . Sistemul de forţe este echivalent cu orice cuplu de forţe având

momentul egal cu . Rezultă că forţele ce alcătuiesc cuplul trebuie să fie într-un plan

perpendicular pe direcţia vectorului iar momentul cuplului să fie egal în mărime şi de

acelaşi sens cu (figura 4.5).

Reducerea sistemelor de forţe

Mecanica I 9

Figura 4.5. Reducerea unui sistem de forţe oarecare la un cuplu

3) , . Torsorul sistemului de forţe în O este alcătuit doar din vectorul

rezultantă. Acesta este sistemul echivalent cel mai simplu şi vom spune că sistemul de forţe se

reduce la o rezultantă unică ce trece prin punctul O. Locul geometric al punctelor în care

obţinem această rezultantă unică este dreapta suport a rezultantei ce trece prin punctul O.

4) , . Se disting două situaţii:

a) , adică vectorii şi sunt ortogonali. În acest caz, momentul

minim este zero. Locul geometric al punctelor în care momentul rezultant este minim este axa

centrală. Rezultă că sistemul echivalent cel mai simplu este tot o rezultantă unică (momentul

minim este zero), ce va avea ca dreaptă suport axa centrală ce nu trece prin punctul O. Poziţia

axei centrale se va determina utilizând ecuaţiile axei centrale (figura 4.7).

O

-

O

O

Figura 4.6. Reducerea unui sistem de forţe oarecare

la o rezultantă unică ce trece prin punctul O

Reducerea sistemelor de forţe

Mecanica I 10

b) , adică vectorii şi nu sunt ortogonali. În acest caz,

momentul minim este diferit de zero (având direcţia paralelă cu direcţia rezultantei) şi va

trebui determinat. Locul geometric al punctelor de moment minim este axa centrală, a cărei

poziţie se determină cu ajutorul ecuaţiilor axei centrale. În acest caz, spunem că sistemul de

forţe se reduce la o dinamă (figura 4.8).

O

O A

(A.C.)

Figura 4.7. Reducerea unui sistem de forţe oarecare la o dinamă

O

O A

(A.C.)

Figura 4.7. Reducerea unui sistem de forţe oarecare la o

rezultantă unică ce nu trece prin punctul O

Reducerea sistemelor de forţe

Mecanica I 11

Test de

autoevaluare 3

1. Enunţul ,,Cazurile de reducere sunt categorii în care pot fi

clasificate sistemele de forţe în funcţie de valorile particulare ale

componentelor torsorului sistemului de forţe într-un punct” este:

a) adevărat;

b) fals.

2. Scrieţi condiţiile scalare de echibru pentru un sistem de forţe

oarecare.

3. Dacă pentru un sistem de forţe redus în punctul O rezultă

şi , acesta se reduce la:

a) sistem de forţe în echilibru;

b) rezultantă unică ce trece prin punctul O;

c) rezultantă unică ce nu trece prin punctul O.

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

Bibliografie modul

[1]. Hangan, S., Slătineanu, I., ,,Mecanică”, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag. 43-48;

[2]. Szolga, V., Szolga, A. M., ,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi

îndrumător de seminar. Partea I”, Editura Conspress, Bucureşti,

2003, pag. 34-44;

[3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R., ,,Mecanica Teoretică”,

Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag. 55-59, 134-137.

Rezumat modul

În acest modul s-au introdus noţiunile de torsor al unei forţe,

respectiv al unui sistem de forţe, într-un punct, adică s-a definit

efectul mecanic produs de acestea într-un punct al corpului pe care

acţionează.

S-au definit invarianţii sistemelor de forţe, momentul minim şi s-a

determinat locul geometric al punctelor în care momentul este

Reducerea sistemelor de forţe

Mecanica I 12

minim.

La finalul modulului se cazurile de reducere pentru sistemele de

forţe oarecare, cu precizarea sistemului echivalent cel mai simplu

pentru fiecare caz de reducere.

Rezolvare

test de autoevaluare

1

1. a, c;

2. Consultare aspecte teoretice pag. 4;

3. a.

Rezolvare

test de autoevaluare

2

1. a, c;

2. a;

3. Consultare aspecte teoretice pag. 7.

Rezolvare

test de autoevaluare

3

1. a;

2. Consultare aspecte teoretice pag. 8;

3. b.