1

Vladimir Kotelnikov John Wozencraft Irwin Jacobs

Simon Haykin

2

Detecția mai multor semnale din zgomot.Abordarea detecției de până acum este cea a unui operator de RADAR sau SONAR. În ipoteza H0 se presupunea că doar zgomotul este prezent, nu și semnalul util (cel căutat).

În ipoteza H1 se presupunea că este prezent semnalul util, dar afectat de zgomot.

În cazul sistemelor de telecomunicații abordarea detecției este diferită. În mod uzual se transmite unul din cele M semnale, corespunzătoare celor M simboluri cu care se fac

transmisiile. La recepție nu se pune problema să decidem dacă este prezent un semnal util sau numai zgomotul. Trebuie să detectăm care dintre cele M semnale este prezent,

evident, însoțit de zgomot aditiv. Deși ceeace descriem este o problemă de clasificare, o vom numi tot detecție. Vom discuta cazul detecției a M=2 semnale și vom trece apoi,

prin generalizare, la cazul M>2.

Detecția unui semnal dintre două semnale posibile.Definim problema de detecție, sau, dacă doriți, de testare a ipotezelor

( )

0

1

0

12

: [ ] [ ] [ ]; n=0, 1, ..., N-1: [ ] [ ] [ ]; n=0, 1, ..., N-1

, u

x n s n w nx n s n w n

σ

= +

= +

w 0 I∼

HH

NCele două semnale utile se consideră a fi deterministe, și pe deplin cunoscute, iar

zgomotul este alb, gaussian.

Dacă cele două simboluri utilizate în transmisie sunt echiprobabile, tot așa este șiapariția celor două semnale utile, așa că

{ } { }0 1 1 2P P= =H H

{ }{ }

{ }{ }

11 0

0 11

p Pp P

=>xx

HH HH H

Detecția bayesiană se face conform valorii raportului de plauzibilitate condiționată, adică conform relației (1)

ceeace înseamnă că detectorul este de tip ML.Cu datele x recepționate, se calculează valorile

( ) ( ){ }0 1;p px xH H

Decizia se ia în funcție de care dintre aceste două valori este mai mare.

În telecomunicații erorile de orice tip sunt la fel de indezirabile, motiv pentru care vom face detecția recurgând la criteriul bayesian al probabilității de eroare minime.

Repartițiile datelor în cele două ipoteze se deduc ușor și sunt

( )2, ; 0, 1i u iσ =x s I∼Nadică

( )( )

( )1 2

2 22 0

1 1exp [ ] [ ] ; 0, 122

N

iNn

ip x n s n iσπσ

−

=

⎧ ⎫= − − =⎨ ⎬

⎩ ⎭∑x H

3

Maximizarea expresiei

( ); 0, 1ip i =x Heste echivalentă cu minimizarea exponentului, mai precis a sumei

( )21 2

0[ ] [ ] ; 0, 1 (16)

N

i in

D x n s n i−

== − =∑

Cu datele x[n] “măsurate”, adică recepționate, și cu cele două semnale utile păstrate în copie (replică), se calculează, aplicând relația (16), valorile

{ }2 20 1;D D

și se alege acea ipoteză care corespunde valorii minime.

Reamintim că, dacă u este un vector în spațiul real N dimensional, pătratul normei sale este

12 2

0

TN

kk

u−

== =∑u u u

În spațiile cu dimensiune N cel mult 3, norma vectorului este egală cu lungimea sa (euclidiană). Vom păstra pentru normă denumirea de “lungime”, deși ea poate fi

improprie. Distanța dintre punctele definite de doi vectori, u și v,se calculează cu relația

( ) ( ) ( ) ( )1 22

0, T

N

k kk

d u v−

== − − = −∑u v u v u v

Vom privi vectorii

0 1, , , x w s sca fiind din spațiul real, N dimensional. După cum se vede dintr-un exemplu prezentat în figură, pentru un spațiu bidimensional, D1<D0, fapt ce implică selectarea ipotezei H1.

( ) ( ) ( )T21 22

0[ ] [ ] = = ; 0, 1

N

i i i i in

D x n s n i−

== − − − − =∑ x s x s x s

Se poate vedea din relația

că Di este distanța dintre punctul x ce reprezintă datele recepționate și cele două puncte ce reprezintă semnalele si. Se calculează distanțele la cele două puncte de

semnal, iar decizia se ia după distanța minimă

4

Locul geometric al punctelor de date, x, egal depărtate de cele două puncte de semnal este mediatoare segmentului ce le unește, așa cum se vede și din figură.

Punctele aflate mai aproape de s1 formează regiunea de decizie R1, în timp ce punctele aflate mai aproape de s0 formează regiunea de decizie R0.

Receptorul (detectorul) ce lucrează conform relației (16), se numește și receptor de distanță minimă.

Relația de funcționare a receptorului de distanță poate fi simplificată ca formă. Dezvoltăm pătratul și obținem

( ) ( ) ( )21 1 12 2

0 0

1 2

0 0[ ] [ ] 2 [[ ] ] [ ] [ ] ; 0, 1

N N N

i i i in n

N

nnD x n s n x n s n s ix n n

− − −

= = =

−

== − = − + =∑ ∑∑ ∑

Termenul marcat (cu albastru), depinde de date, dar nu depinde de ipoteză. Ambele distanțe se calculează cu același termen “albastru”. Vom introduce statistica dependentă

de date și de ipoteze, T(x) cu relația

( ) ( )1 1 2

0 01

0

1[ ] [ ] [ ] 21 = [ ] [ ] ; 0, 12

N N

i i in nN

i in

T x n s n s n

x n s n i

− −

= =−

=

= −

− =

∑ ∑

∑

x

εPentru pătratul distanței rezultă expresia

( ) ( )21 2

02 ; , 1[ ] 0

N

i in

D x n T i−

== − =∑ x

Distanța este minimă atunci când statistica T(x) este maximă. Cu datele x recepționate, se calculează valorile celor două statistici, ce “măsoară gradul de potrivire” între date și

replicile memorate ale celor două semnale utile.

( ) ( ){ }0 1;T Tx xSelecția ipotezelor se face în conformitate cu statistica de valoare mai mare.

5

Structura receptorului cu probabilitate de eroare medie minimă este arătată în figură. Se remarcă prezența a două corelatoare de replică, câte unul pentru fiecare semnal utilizat

în transmisie. Din rezultatul corelării datelor cu semnalele de replică, se scade câte jumătate din energia semnalului replică. Urmează un bloc ce selectează cea mai mare

valoare dintre cele două statistici, luând decizia în conformitate cu această valoare.

Dacă cele două semnale au aceleași energii, statisticile testului devin

( )1

0[ ] [ ]; 0, 1

N

i in

T x n s n i−

== =∑x

și nu mai este necesară corecția cu jumătate din energia replicilor.

Performanțele statistice ale detectorului unui semnal, din două posibile.

Probabilitatea medie de eroare, așa cum am văzut, se calculează cu relația

{ } { } { } { }0 1 1 1 0 0eP P P P P= +H H H H H H

Cum cele două semnale posibile au probabilități apriorice egale{ } { }0 1 1 2P P= =H H

{ } { }( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

0 1 1 0

1 0 0 0 1 1

e 1 2 1 2

1 2 1 2

P P P

P T T P T T

= ⋅ + ⋅

= > ⋅ + > ⋅x x x x

H H H H

H H

așa că probabilitatea de eroare devine

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0

1

1 0 1 00

1[ ] [ ] [ ] (1 ) 2

7 N

nT T T x n s n s n

−

== − = − − −∑x x x ε ε

Se introduce o nouă statistică, T(x), ca diferență a celor două statistici utilizate

( )2, ; 0, 1i u iσ =x s I∼NDatele x au, în ambele ipoteze, o repartiție gaussiană

iar statistica T(x) are o dependență liniară de aceste date, așa că, în ambele ipoteze și T este gaussiană. Este suficient, deci, să determinăm mediile și dispersiile ei, în ambele

ipoteze, pentru a scrie expresiile plauzibilităților. Pentru calculul mediilor avem

6

{ } ( ) ( )

{ }( ) ( )

{ }( ) ( )

( ) ( )

1 0

1 0

1 0

1 0

1

0 1 0 00

1

0 1 001

0 1 001

0 1 00

1[ ] [ ] [ ]2

1 = [ ] [ ] [ ]2

1 [ ] [ ] [ ] [ ]2

1 [ ] [ ] [ ]2

N

nN

nN

nN

n

E T E x n s n s n

E x n s n s n

E s n w n s n s n

s n s n s n

−

=

−

=−

=−

=

⎧ ⎫= − − −⎨ ⎬

⎩ ⎭

− − −

= + − − −

= − − −

∑

∑

∑

∑

H H

H

ε ε

ε ε

ε ε

ε ε

( ) ( )

0

1 0

1 1 20 1 0

0 0

1 [ ] [ ] [ ]2

N N

n ns n s n s n

− −

= == − − −∑ ∑

ε

ε ε

și rezultă media condiționată a statisticii T

{ } ( )1 0

1

0 1 00

1[ ] [ ]2

N

nE T s n s n

−

== − +∑H ε ε

Această formă mai poate fi rescrisă astfel

{ } ( )

( ) ( )

( )

1 0

2

1

0 1 00

1 1 1 21 1 0 0

0 0 01 2

1 00

21 0

1[ ] [ ]2

1 [ ] 2 [ ] [ ] [ ]21 [ ] [ ]21 2

N

nN N N

n n nN

n

E T s n s n

s n s n s n s n

s n s n

−

=

− − −

= = =

−

=

= − +

⎧ ⎫= − − +⎨ ⎬

⎩ ⎭

= − −

= − −

∑

∑ ∑ ∑

∑

s s

H ε ε

În mod asemănător se arată că

{ } 21 1 0

12

E T = −s sH

{ } ( ) ( )

{ }( ) ( )

1 0

1

0 1 0 00

1 12 220 1 0 1 0

0 022

1 0

1[ ] [ ] [ ]2

= [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

N

nN N

n n

Disp T Disp x n s n s n

Disp x n s n s n s n s nσ

σ

−

=

− −

= =

⎧ ⎫= − − −⎨ ⎬

⎩ ⎭

− = −

= −

∑

∑ ∑s s

H H

H

ε εDispersiile se calculează cu

Dispersia în cealaltă ipoteză este aceeași

{ } 221 1 0Disp T σ= −s sH

7

Am ajuns în etapa în care putem descrie repartițiile statisticii T, în cele două ipoteze2 22

1 0 1 0 0

2 221 0 1 0 1

1 , , în ipoteza 21 , , în ipoteza 2

Tσ

σ

⎧ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞⎪ + − −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

s s s s

s s s s∼N H

N H

În figură se arată repartițiile statisticii T, în cele două ipoteze. Densitățile de probabilitate diferă doar prin medie, dispersia fiind aceeași. Analizând simetria figurii, se remarcă ușor

că cele două tipuri de erori ce apar în cursul luării deciziilor, sunt egale, adică{ } { }0 10 0P T P T> = <H H

Dar

{ }2 2

1 0 1 00 222

1 0

0 1 2 102

P T Q Qσσ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟> = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠

s s s s

s sH

și

{ }2

1 01 2

102

P T Qσ

⎛ ⎞−⎜ ⎟< =⎜ ⎟⎝ ⎠

s sH

{ } { }( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( )

{ } { }

0 1 1 0

1 0 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

0 1

21 0

2

e 1 2 1 2

1 2 1 2

0 1 2 0 1 2

0 1 2 0 1 2

1 2

T T

P P P

P T T P T T

P T T P T T

P T P T

Qσ

= ⋅ + ⋅

= > ⋅ + > ⋅

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − > ⋅ + − < ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

= > ⋅ + < ⋅

⎛ ⎞−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

x x x x

x x x x

s s

H H H H

H H

H H

H H

(18)

Probabilitatea medie minimă de eroare se calculează cu relația

Este evident că, pentru a reduce acest minim al erorii, trebuie crescută distanța dintre cele două semnale cu care se face transmisia, dar respectând constrângerile energetice

ce apar în telecomunicații în general și în cele mobile în special.

8

Energia medie (statistic) utilizată într-o transmisie binară, cum este cazul analizat, se calculează cu relația

{ } { } 0 10 10 1 2P P +

+ == H Hε εε εε

Pătratul normei diferenței vectorilor de semnal se poate pune și sub forma( ) ( )

( ) ( )

( )1 0

21 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0

1 01 1 0 0

1 1 0 0

1 0

2

11 2

1

T T T

TT T

T T

T

T− = − − = + −

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞

= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

s s s s s s s s s s s s

s ss s s ss s s s

s sε ε εSe definește coeficientul de corelare al celor două semnale cu care se transmite, cu

relația

( )1 0 1 0

1 1 0 0

; 1 12

T T

T Ts s= = − ≤ ≤+s s s s

s s s sρ ρε

Relația anterioară devine

( )21 0 2 1 sρ− = −s s ε

Dacă cei doi vectori de semnal sunt ortogonali, coeficientul lor de corelare este nul; dacă vectorii de semnal sunt coliniari, dar au sensuri opuse, valoarea coeficientului de

corelare este -1.

Substituim acest rezultat în forma (18) a probabilității de eroare, și obținem pentru ea( )

2e1

(19)2

sP Qρ

σ

⎛ ⎞−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

ε

În concluzie, pentru a obține cea mai redusă valoare a probabilității de eroare, la o energie medie dată și o putere a zgomotului dată, trebuie să semnalizăm cu semnale

coliniare, dar de sensuri opuse. Astfel de perechi de semnale se numesc semnale “antipodale”.

Exemplu. Sistem de transmisie binară, cu modulaţie coerentă de fază, PSK.

( ) ( )( ) ( )

0 0 0

1 0 0

1 0

[ ] cos 2 ; 0, 0.5

[ ] cos 2 cos 2 ; [ ] [ ] 1; s

s n A f n f

s n A f n A f ns n s n

π

π π πρ

= ∈

= + = −

= − = −⇒

Într-un sistem PSK binar se transmite unul dintre semnalele antipodale, avândcoeficientul de intercorelaţie −1

Pentru precizarea ideilor, vom considera o frecvenţă digitală de 0.25 cicli/eşantion, pentru care semnalele utilizate în transmisie devin

0

1

1 0

[ ] cos ; 0, 1 2

[ ] cos ; 0, 12

[ ] [ ] 1; s

s n A n n

s n A n n

s n s n

π

π

ρ

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − = −⇒

9

Cei doi vectori de semnal sunt acum

0 1; ;0 0A A−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

s s

şi sunt reprezentaţi în figură. Se vede că sunt vectori coliniari, dar de sensuri opuse.

Vom calcula în mod direct coeficientul de intercorelaţie, deşi cunoaştem valoarea sa

[ ]

[ ] [ ]

21 0

2 21 1 0 0

2 002 2 1

0 00 0

T

T Ts

AA

AA A A AA A

ρ

⎡ ⎤− ⎢ ⎥ −⎣ ⎦= = = = −−+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤

− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

s ss s s s

Probabilitatea minimă de eroare devine, conform relaţiei (19),

1 0

2e

unde este energia emisă pentru un simbol binar

; ) (20

,

P Qσ

= =

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ε ε ε ε

ε

Pentru un raport ENR de 15 dB (adică 31.6 în valoare absolută), rezultă o probabilitate medie de eroare de

( ) 8e 31.6 10P Q −≅ ≅

Curba probabilitate de eroare funcţie de ENR se dă în figură, împreună cu curba corespunzătoare sistemului FSK.

Exemplu. Sistem de transmisie binară, cu modulaţie coerentă de frecvenţă, FSK.***

Într-un sistem de transmisie binară, cu modulaţie FSK coerentă, se efectuează transmisia cu semnalele ortogonale

( ) ( )( ) ( )

0 0 0

1 1 1

0 0 1

[ ] cos 2 ; 0, 0.5 , n 0, 1, ..., -1

[ ] cos 2 ; 0, 0.5 , n 0, 1, ..., -11Pentru: [ ] [ ] 0 0;

2 s

s n A f n f N

s n A f n f N

f f s n s nN

π

π

ρ

= ∈ =

= ∈ =

− = =⇒ ⇒Cele două semnale au aceeaşi energie, energia emisă pentru un simbol binar, adică

1 0= = =ε ε ε εşi deci probabilitatea minimă de eroare este, conform relaţiei (19)

2e ; ) 2

(21P Qσ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

ε

10

Din (20) şi (21) vom deduce relaţia dintre puterile necesare pentru transmiterea unui simbol binar, cu aceeaşi probabilităţi de eroare, în sistemele PSK şi FSK

2 2

2 2 2

e = 22

sau 10log 10log 10log 2 10log 3

P Q Q

dB

σ σ

σ σ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + = +

PSK FSKFSK PSK

FSK PSK PSK

ε ε ε ε

ε ε ε

Ca să asigure aceeaşi probabilitate de eroare, un sistem FSK are nevoie de o putere emisă, pe simbol binar, dublă faţă de cea necesară unui sistem PSK. Curbele

probabilităţilor de eroare, ca funcţie de ENR, atât pentru sistemul PSK, cât şi pentru sistemul FSK, sunt arătate în figură. Se remarcă diferenţa de 3dB între cele două curbe.

***

11

Receptoare M-areDacă avem de transmis nu două, ci M>2 simboluri, vom folosi pentru transmisie M

semnale, câte unul pentru fiecare simbol{ }0 1 1[ ], [ ], ..., [ ]Ms n s n s n−

În telecomunicaţii, cele M simboluri au probabilităţile apriorice egale între ele şi deci de valoare 1/M. Receptorul (detectorul) va fi deci unul de tip ML. Avem regula de decizie

Pentru

{ } 1 , 0, 1, ..., -1iP i MM

= =H

cu datele x recepţionate, se calculează cele M valori ale plauzibilităţilor condiţionate

{ }, 0, 1, ..., -1ip i M=x H

{ } { } este ipoteza adevărată, , 0, 1, ..., -1 (22)ik kp p i k i M= ⇒> ≠x xH H HDacă

***Receptorul ML ce funcţionează conform regulii (22) este un receptor optimal. El este tot

un receptor de distanţă minimă. Schema sa este prezentată în figură şi constă din M corelatoare de replică, ce generează M statistici şi dintr-un bloc de selectare a valorii

maxime.

Se calculează statisticile

( )1

0

1[ ] [ ] ; 0, 1, ..., -12

N

ni i iT x n s n i M

−

== − =∑x ε

şi se ia decizia în funcţie de care anume dintre valorile calculate este mai mare.

12

Determinarea probabilităţii de eroare este dificilă în acest caz, deoarece apare o eroare dacă oricare dintre cele M−1 statistici depăşeşte statistica asociată cu ipoteza

adevărată. Dacă semnalele cu care se efectuează transmisiile{ }0 1 1[ ], [ ], ..., [ ]Ms n s n s n−

sunt ortogonale între ele, atunci statisticile sunt şi ele ortogonale între ele, şi sunt şi necorelate.. Deoarece datele sunt gaussiene, şi statisticile, care sunt funcţii liniare de

date, sunt gaussiene iar necorelarea atrage după sine independenţa (statistică) a statisticilor. Pentru a verifica acest fapt calculăm covarianţa a două statistici. Mai întâi

{ }

( )

{ }

1

0

1

0

1 1

0 0

1

0

0

1[ ] [ ]2

1 [ ] [ ] [ ]2

1 [ ] [ ] [ ] [ ]2

1 [ ] [ ]

ll

N

i in

N

i iln

N N

i i iln n

N

in

i E x n s n

E s n w n s n

E s n s

E T

n E w n s n

E w n s n

−

=

−

=

− −

= =

−

=

=

⎧ ⎫−⎨ ⎬

⎩ ⎭⎧ ⎫

= + −⎨ ⎬⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎧ ⎫

= + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎪ ⎪

⎩ ⎭

= −

= ∑

∑

∑ ∑

∑

HH ε

ε

ε

2

1 ; , 0, 1, ..., 1; 2

i

i i l M i l= − = − ≠

ε

ε

Calculăm covarianţa, dacă i şi j diferă de l

{ } { } { }{ }

( ) ( )

1 1

0 0

1

0

1 1 1 1 [ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2 2

[ ] [ ] ] [ ] [ ]

,

[

lj ll j j l

l

i i

N N

i i i j j jn n

N

i jl l

i

n

E T E T T E T

E x n s n x n s n

E s n w n s n s n

Co

n s

v T T

w

− −

= =

−

=

⎡ ⎤⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑ ∑

∑

H

H

H H H

ε ε ε ε

{ }

1

0

1 1

0 0

1 1 1 1

0 0 0 0

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

N

n

N N

i jn n

N N N N

i j i jn m n m

n

E w n s n w n s n

E w n w m s n s m E w n w m s n s m

−

=

− −

= =

− − − −

= = = =

⎧ ⎫⎡ ⎤⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎧ ⎫

= =⎨ ⎬⎩ ⎭

∑

∑ ∑

∑∑ ∑∑1 1

2

0 01

2

0

[ ] [ ] [ ]

0; pentru , [ ] si [ ]

N N

i jn m

N

i jn

n m s n s m

s n s i j i ln l j

σ δ

σ

− −

= =−

=

= −

= ≠ ≠ ≠=

∑∑

∑

13

Vom mai simplifica prezentarea considerând că toate semnalele au aceeaşi energie (ceeace nu e întotdeauna adevărat, decât dacă punctele ce reprezintă semnalele se află

pe un cerc, cu centrul în origine)

; 0, 1, ..., -1i i M= =ε εReamintim că apare o eroare, dacă statistica ataşată ipotezei adevărate, este depăşită de oricare altă statistică. Probabilitatea de apariţie a unei astfel de erori se notează cu

{ }{ }0 1 1 1 1max , ,..., , ,..., Mi i i iP T T T T T T+ −−< HPentru a obţine probabilitatea medie de eroare, însumăm aceste probabilităţi, ponderate

cu probabilitatea apriorică a ipotezelor, pentru toate valorile i posibile

{ }{ } { }

{ }{ }

1

0 1 1 1 10

1

0 1 1 1 10

e max

max

, ,..., , ,...,

1 , ,..., , ,...,

M

M

M

M

i i i i ii

i i i ii

P P T T T T T T P

P T T T T T TM

−

+ −=

−

+ −=

−

−

=

=

<

<

∑

∑

H H

H

Aşa cum am văzut în cazul M=2 şi ca urmare a simetriei, toate erorile condiţionate sunt egale între ele. Suma dă de M ori valoarea uneia dintre probabilităţile condiţionate şi,

după simplificare cu M rămâne că

{ }{ }1 2 1e 0 0max , ,..., MP P T T T T −= < HVom stabili acum media şi dispersia statisticii T0 condiţionată de ipoteza H0. Pentru

acest caz, dacă energiile tuturor semnalelor sunt egale, avem

( )0

0

1 1

0 01 1

0 0

0

1 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 2

1[ ] [ ] [ ] [ ]2

1 2

T T

N N

i i i in n

N N

i in n

i i

T x n s n s n w n s n

s n s n w n s n

− −

= =− −

= =

= − = + −

= + −

= + −

∑ ∑

∑ ∑

s s w s

ε ε

ε

εși

{ } { }0 0

0 0

0

0

0

1 12 2

1 1= , 02 2 =

1 1= , 02 2

T

T T T T

T

T

i i i i i

i

E T E E

i

i=

⎧ ⎫= + − = + −⎨ ⎬⎩ ⎭

⎧⎪ − =⎪⎨⎪ − − ≠⎪⎩

0

s s w s s s w s

s s

s s

ε

H ε ε

ε ε

ε ε

Mai rămâne să determinăm dispersiile statisticilor Ti, condiționate de ipoteza H0. Vom începe cu dispersia pentru statistica T0. Avem

14

{ }

( )

( )

0

0 0

0 0

21

0 0 00

21

0

21 12

0 0

1 1[ ] [ ]2 2

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

N

n

N

n

N N

n n

Disp T E x n s n

E s n w n s n

E s n w n s n

−

=

−

=

− −

= =

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= + −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= + −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∑

∑

∑ ∑

H Hε ε

ε

ε

{ }

( )

0 0 0 0

0 0 0

1 1 1 1

0 0 0 01 1 1 22 2 2

0 0 0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

N N N N

n m n mN N N

n m n

E w n w m s n s m E w n w m s n s m

n m s n s m s nσ δ σ σ

− − − −

= = = =

− − −

= = =

⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭

= − = =

∑∑ ∑∑

∑∑ ∑ ε

La fel vom proceda pentru statistica Ti

{ }

( )0

0

21

0 00

21

0

21 1

0 0

1 1[ ] [ ]2 2

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

N

in

N

in

N N

i i in n

iDisp T E x n s n

E s n w n s n

E s n s n w n s n E w n s n

−

=

−

=

− −

= =

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= − +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= + =⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∑

∑

∑ ∑

H Hε ε

{ }

( )

21

0

1 1 1 1

0 0 0 01 1 1 22 2 2

0 0 0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

N

n

N N N N

i i i in m n m

N N N

i i in m n

E w n w m s n s m E w n w m s n s m

n m s n s m s nσ δ σ σ

−

=

− − − −

= = = =

− − −

= = =

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭

= − = =

∑

∑∑ ∑∑

∑∑ ∑ ε

Am determinat repartițiile statisticilor T

2

2

1 , , pentru 0 21 , , pentru 0 2

i

iT

i

σ

σ

⎧ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞⎪ − ≠⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∼N

N

ε ε

ε ε

15

{ }, 0, pentru , si j liCov T T i j i l j l= ≠ ≠ ≠H

și, după cum am văzut deja

Vom determina mai întâi probabilitatea deciziei corecte, în ipoteza H0, adică{ }{ }

{ }

{ } ( )0

1 2 1

1 2 1

1 2 1

0 0

0 0 0 0

0 0

max , ,...,

...

, , ... , t ,

M

M

M T

P P T T T T

P T T si T T si si T T

P t T t T T T t p t dt

−

−

∞

−−∞

=

=

= =

>

> > >

> > >∫

H

H

H

Deoarece statisticile sunt statistic independente, probabilitatea deciziei corecte devine

{ } ( )

{ } ( )

0

0

1 2 1

1

0 0

0 01

, , ... , t ,

,

M T

M

Tii

P P t T t T T T t p t dt

P t T T t p t dt

∞

−−∞

∞ −

−∞ =

= =

⎡ ⎤= > =⎢ ⎥⎣ ⎦

> > >∫

∏∫

H

H

în care

( ) ( )0

2

22

21 exp22

T

tp t

σπσ

⎧ ⎫−⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

εεε

Se știe că, pentru o variabilă aleatoare X, repartizată normal, adică( )2, X μ σ∼N

se poate scrie că

{ } ( )2

21 exp

22

t x tP X t dxμ μ

σ σπσ −∞

⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎛ ⎞< = − = Φ⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

∫în care Φ(x) este funcția lui Laplace. Avem deci

{ }0 02,i

tP T T ttσ+⎛ ⎞= = Φ⎜ ⎟

⎝ ⎠< H

εε

și, în final, probabilitatea deciziei corecte

{ }{ }( )

1 2 1

1

0 0

2

22

max , ,...,

1 22 1 exp22

M

M

P P T T T T

tt dtσσ πσ

−

−∞

−∞

=

⎧ ⎫−⎡ ⎤+ ⎪ ⎪⎛ ⎞= Φ −⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭

>

∫

H

εεεε ε

Dar probabilitatea de eroare adunată cu probabilitatea deciziei corecte dă unu, așa că

{ }{ }{ }{ }

( )

1 2 1

1 2 1

1

e 0 0

0 0

2

22

max

max

, ,...,

1 , ,...,

1 22 1 1 exp22

M

M

M

P P T T T T

P T T T T

tt dtσσ πσ

−

−

−∞

−∞

=

= −

⎧ ⎫−⎡ ⎤+ ⎪ ⎪⎛ ⎞= − Φ −⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭

<

>

∫

H

H

εεεε ε

16

Cu schimbarea de variabilă2t u

σ+

=εε

expresia probabilității de eroare devine

( )

( ) ( )

1

1

2

e 2

2

11 exp2

1 1 exp2

M

M

P u u du

u u ENR du

σ

−∞

−∞

−∞

−∞

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= − Φ − −⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎣ ⎦⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫= − Φ − −⎡ ⎤ ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎩ ⎭

∫

∫

ε

La un număr dat de simboluri transmise, M, de obicei o putere a lui doi, probabilitatea de eroare este o funcție descrescătoare de raportul ENR, definit prin

2ENRσ

=ε

Probabilitatea de eroare scade odată cu creșterea numărului M de simboluri, dacă ENR este același (vezi figura), deoarece trebuie să distingem între semnale a căror distanță

între ele nu crește.

17

Pentru transmisii se recurge, așa cum am mai afirmat, la semnale ortogonale. Este necesar să lucrăm cu

N M≥În figură se dau exemple de semnale ortogonale, în cazurile N=M=2 și N=M=3, ce au energia unitară. În cazul general, pătratul distanței (normei) de la punctul de semnal la

origine, este energia semnalului. Pentru cazul semnalelor de energie egală, punctele lor reprezentative trebuie să se afle pe un cerc, pe o sferă sau o hipersferă.

Cazul modelului liniar

În cadrul modelului liniar vectorul de date, x, poate fi pus sub forma

( ); , = + = +x Hθ w s w w 0 C∼ NDistincţia între două ipoteze se face prin valorile parametrului vector θ

0

1 1

: ; semnalul util este absent: ; semnalul util este prezent

==

θ 0θ θ

HH

Problema de detecţie constă în a decide dacă semnalul util s este prezent în datele x. Cele două ipoteze pot fi reformulate

0

1 1

: ; semnalul util este absent: ; semnalul util este prezent

== +x wx Hθ w

HH

( )1

11 1T TT γ− − ′= = >x x C s x C Hθ

HDetectorul NP ia decizii conform regulii

( )( )( )( )1 1

1 1

1 1

D FA

T TFA

TP Q Q P

Q Q P

− −

− −

= −

= −

s C s

θ H C Hθ

Asigurând, la o probabilitate impusă a alarmei false, o probabilitate de detecţie dată de

18

Exempu. Detecţia unei sinusoide din zgomot alb, gaussian.

( )

0 0 0

0 0 0

[ ] cos(2 ) cos cos2 sin sin 2

cos2 sin 2 ; 0, 0.5a b

s n A f n A f n A f n

a f n b f n f

π φ φ π φ π

π π

= + = −

= + ∈

Semnalul util este de forma

( )

0

1 0 0

2

: [ ] [ ]; 0, 1, ..., -1: [ ] cos2 sin 2 [ ]; 0, 1, ..., -1

[ ] 0,

x n w n n Nx n a f n b f n w n n N

w n

π π

σ

= == + + =

∼

HH

N

Cele două ipoteze se pot formula astfel

( ) ( ) 1

0 0

0 0

1

1 0[0] [0]cos2 sin 2[1] [1]

cos 1 2 sin 1 2[ 1] [ 1]

x wf fx a w

bN f N fx N w N

π π

π π

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

= +

θ

x wH

x Hθ w

Pentru ipoteza H1 putem scrie că

Pentru zgomotul alb gaussian, matricea de covarianţă şi inversa ei sunt12

21 u uσσ

−= =C I C I

Decidem că semnalul util este prezent, dacă

( )1

1 11

21T TT γσ

− ′= = >x x C Hθ x HθH

Statistica ce se utilizează în luarea deciziei se poate transforma

( ) ( )1

1

22 2 TT TN Nσ γ′ ′= = >x x x Hθ

H

Expresia acestei noi statistici este

( ) 1 12 2 T

TT

NT

N⎛ ⎞′ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

H H xx x θ θ

Expresia marcată cu roşu este estimatorul parametrului θ1

19

( )( )

0 0

0 0

1

0

11

0

0

0

[0]1 cos2 cos 1 2 [1]2 20 sin 2 sin 1 2

[ 1]

2 [ ]cos2 ˆ ˆ ˆ2 [ ]sin 2

T

N

Nn

n

xf N f xf N fN N

x N

x n f n aNbx n f n

N

π ππ π

π

π

−

−

=

=

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

∑

H x

θ

Noua statistică devine

( ) 1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ Ta

T a b aa bbb⎡ ⎤⎡ ⎤′ = = + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x θ θ

şi este o corelaţie între vectorul estimat din date, cu o replică păstrată la recepţie.

***

Pentru a generaliza rezultatul obţinut în exemplul prezentat, plecăm de la expresia estimatorului MVU pentru modelul liniar

( ) 11 1ˆ T T−− −=θ H C H H C xşi punem statistica detectorului NP pentru modelul liniar, sub forma

( ) ( )1 11 1 TTTT − −= =x x C Hθ H C x θ

Modificăm această formă a statisticii, prin introducerea a doi factori cu produsul unitar

( ) ( )

( ) ( )1

1 1

1

ˆ

1

1 1

1 11 T T

TT

T

T

TT

−−

− −

− −

= =

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦θ

x x C Hθ H C x θ

HH C H H C x θC H

şi rezultă

( ) 1 11ˆ T TT −=x θ H C Hθ

Matricea de covarinţă a estimatorului, şi inversa ei sunt

( ) 1 1ˆ ˆ

1 1; T Tθ θ

− −− −= =C H C H C H C H

20

Deciziile se iau conform regulii modificate

( )1

1ˆ1 1

ˆTθ

γ− ′= >x θ C θH

Statistica testului ia forma finală

( ) 1ˆ1 1

ˆTθ−=x θ C θ

Dacă analizăm comparativ statistica obţinută acum, cu cea din relaţia (14)

( ) ( )11

1ˆ1 1

1 ˆ ;; T TTθ

γγ −− ′== >′> x θ Cx θx C sHH

rezultă că se pot menţine cele stabilite pentru un semnal de replică cunoscut şi în cazul parametrului de replică cunoscut, făcând substituirile formale

ˆ 1 ˆ , ,θ

→ → →θ Cx s θC

0

1

0 0

1 1

0

1

: : ;: ;

;

: ; = = ⎫ = =⎧

→⎬ ⎨= ⎩⎭ =θ θ 0s 0

s θs θsH

HHH

Problema de detecţie se transformă

Probabilitatea de eroare este, tot ca urmare a celor remarcate

( )( ) ( )( )1ˆ1 1

1 11D AD FA F

TP Q Q P PP Q Qθ−−− −= =→ −− θ Cs C θs

Vom da un rezultat important, fără a-l justifica:

Pentru a testa ipoteze despre un parametru θ al unui model liniar, vom înlocui cele N eşantioane de date cu p valori estimate cu

( ) 11 1ˆ T T−− −=θ H C H H C xRepartiţia vectorului estimator este

( )( )11ˆ , ;T −−θ θ H C H∼NOrice problemă de decizie privind vectorul θ, se poate rezolva apelând la

estimatorul dat.

21