9. interacţiunea câmpului electromagnetic de înaltă...

Copyright Paul GASNER 1

9. Interacţiunea câmpului electromagnetic de înaltă frecvenţă cu substanţa.

Polarizarea dielectricilor


Cuprins

● Mecanisme de polarizare a dielectricilor● Polarizarea electronică şi ionică● Polarizarea orientaţională● Variaţia permitivităţii cu frecvenţa● Reprezentări grafice


9.1 Mecanisme de polarizare a dielectricilor● în teoria benzilor de energie, izolatorii sau dielectricii sunt consideraţi

substanţele a căror bandă interzisă are o lăţime mai mare de 3eV

● sub acţiunea unui câmp electric exterior ei prezintă un fenomen de polarizare datorat redistribuirii sarcinilor electrice în interiorul substanţei şi/sau reorientării momentelor de dipol

● mecansimele de polarizare:

– polarizarea electronică

– polarizarea ionică

– polarizarea orientaţională (dipolară)

– polarizarea interfacială● polarizabilitatea unui material va fi dată de:

(9.1.1) T=oieif


9.1 Mecanisme de polarizare a dielectricilor● vectorul polarizare sau intensitate de polarizare este definit prin

momentul dipolar al unităţii de volum şi, la un dielectric liniar, este proporţional cu câmpul electric extern aplicat

unde χ este susceptibilitatea electrică

● câmpul electric din interiorul dielectricului este

● vectorul inducţie electrică sau deplasare va fi

● la nivel atomic sau molecular apare noţiunea de polarizabilitate atomică sau moleculară , iar momentul dipolar al atomului este

(9.1.2) P=0E0

P

E0

(9.1.3) E=E0E0

0

(9.1.4) D=0E0P=0 1 E0=0r

E0

(9.1.5) p=0E0


9.1 Momentul atomic dipolar● la moleculele simetrice este o constantă, iar pentru cele asimetrice un

tensor de ordinul II

● Legătura dintre polarizabilitate şi polarizare – adică dintre mărimile macroscopice şi microscopice – este dată de

unde Nv este densitatea volumică a atomilor (moleculelor) substanţei respective iar câmpul electric local rezultant, precum şi de relaţia Clausius-Mosotti ce dă legătura dintre polarizabilitate şi permitivitate relativă

● câmpul electric din interiorul dielectrcului este

unde câmpul de polarizare datorat redistribuirii momentelor dipolare este

(9.1.6) P=N v p=N v0 E

(9.1.7) E=E0E pol

(9.1.8) E pol=P

30

E


9.1 Momentul atomic dipolar● atunci câmpul electric va fi

iar polarizarea

● comparând cu (9.1.2) se ajunge la cunoscuta relaţie Clausius-Mosotti

(9.1.9) E=r2

3E0

(9.1.11)r−1

r2=

N v3

(9.1.10) P=N v0r2

3E0


● într-un dielectric nepolar pot lua naştere dipoli induşi sub acţiunea unui câmp electric extern

● câmpul electric rezultant este

● forţa cu care câmpul electromagnetic acţionează asupra electronului este

● forţa elastică

● forţa de atenuare

9.2 Polarizarea electronică şi ionică

(9.2.1) E= E0 e j t

(9.2.3) F=−q E r v×B≈0

(9.2.2) E r=E r 0 e j t

(9.2.4) F el=−m0 e0 e2 r

(9.2.5) F at=−m0 eed rdt


● ecuaţia de mişcare va fi

● având în vedere că

soluţia ecuaţiei (9.2.6) este

şi se poate scrie

● pe de altă parte


(9.2.6) d 2

dt 2eddt0 e

2 r=−q E r

m0 e

(9.2.8) Pe= P0 e e j t

(9.2.7) Pe=−q N vr

(9.2.9) −2 je0 e2 r=−N v q2

m0 e

E r

(9.2.10) Pe=N veE r


● în final polarizabilitatea electronică va avea forma

● pentru un ansamblu de ioni, polarizabilitatea ionică va fi în mod analog


(9.2.11) e=q2

0 m0 e −2 je0 e2

(9.2.12) i=q2

0 m0 i −2 ji0 i2


● asupra dielectricului acţionează un câmp electric treaptă

● polarizarea ionică şi electronică Pie se

obţine relativ repede, polarizarea totală fiind

● ecuaţia care descrie acest proces de relaxare este

unde o este timpul de relaxare macroscopic şi

9.3 Polarizarea orientaţională 9.3.1 Regim tranzitoriu

P t = P ie Pot (9.3.1)

d Po

dt= 10

[ P− P ie− Pot ](9.3.2)

(9.3.3) P= P ie Po∞


este valoarea maximă a polarizării după un timp suficient de mare

● impunând condiţia la limită

se obţine soluţia

9.3.1 Regim tranzitoriu

Po0=0(9.3.4)

Pot = P− P ie 1−e−t /0 (9.3.5)


● dacă asupra dielectricului se aplică un câmp electric variabil, atunci

fiind acum o mărime complexă. Ţinând seama de faptul că la frecvenţe foarte mari se manifestă doar polarizaţia ionică şi electronică, se poate scrie

● ecuaţia care descrie variaţia în timp a polarizării este

cu soluţia generală

9.3.2 Regim sinusoidal

(9.3.6)

(9.3.7)

P t =0 E0 e j t

P ie=0ieE=0 r∞−1 E

d Po

dt= 1 [0 r0−r∞ E0 e j t− Po ](9.3.8)

(9.3.9) Po=0 [r∞−1r0−r∞

122− jr0−r∞

122 ] E0 e j t


● ţinându-se seama de aceste relaţii în (9.3.6) se poate deduce expresia polarizabilităţii orientaţionale

unde

9.3.2 Regim sinusoidal

(9.3.10)

(9.3.11)

o=o0

1 jo

o0=00

N v


9.4 Variaţia permitivităţii electrice cu frecvenţa

(9.4.1) ro=1

2 N v

3o

1−N v

3o

(9.4.2) ro' =

12 K 1/3 K 22o

2

K 222o

2

(9.4.4) x=o

K 2

, K 0=K 1

K 2

● ţinând seama de ecuaţia Clausius-Mosotti, permitivitatea relativă complexă specifică proceselor de polarizare orientaţională este

● dacă se notează prin K1= Nv o K v / 3)o(0) se obţine

● pentru uşurinţă se notează

(9.4.3) ro' =

K 1o

K 222o

2


9.4.1 Spectrul de rezonanţă a permitivităţii orientaţionale

(9.4.5) ro' −1=K 0

1

1x2 , ro' '=K 0

x

1x2

şi atunci

ln 1

’r0

tg ’’r0


● analog celor de mai sus, din expresiile polarizabilităţilor electronice şi ionice şi ecuaţia Clausius-Mosotti, permitivităţile electronice şi ionice vor avea forma:

respectiv

9.4.2 Spectrul de rezonanţă a permitivităţilor electronice şi ionice

(9.4.6) re' −1=

K e 0 e2 −2

0 e2 −2 20 e

2 2

(9.4.7) re' '=

K e0 e

0 e2 −2 20 e

2 2

(9.4.8) ri' −1=

K i 0 i2 −2

0 i2 −2 20 i

2 2

(9.4.9) ri' '=

K i0 i

0 i2 −2 20 i

2 2


unde:

● relaţiile de mai sus sunt dificil de urmărit şi se impune analiza lor pe benzi de frecvenţă. Datorită similarităţii relaţiilor se va discuta doar cazul polarizării ionice

– frecvenţe mici şi

– frecvenţe apropiate de : , , unde au loc fenomene de rezonanţă pronunţate:


(9.4.10) K e=N v q2

0 m0 e

, 0 e2 =0 e

2 −K e

3

(9.4.12)

≪0 i

(9.4.13)

ri' ≈1

K i

0 i2 , ri

' '≈0

(9.4.11) K i=N v q2

0 m0 i

, 0 i2 =0 i

2 −K i

3

0 i2 2≪ 0 i

2 −2 2

0 i ≈0 i =0 i−≪

ri , res' =1

K i

2 0 i

20 i

2 /4


● prin substituţia

relaţiile de mai sus devin


(9.4.14)

(9.4.16)

(9.4.15) x=20 i

ri , res' ' =

K i

4 0 i

0 i

20 i2 /4

ri , res' =1−

K i

0 i0 i

x

x21

(9.4.17) ri , res' ' =

K i

0 i 0 i

1

x21

1

0.5

i0~ 2/~

00 ii 2/~00 ii

i0

max,/ riri

max,/ riri


– frecvenţe mari şi

9.4.2 Spectrul permitivităţii

(9.4.18)

log

re

ri

ro

log o i0~ e0

~

r

r

≫0 i

0 i2 2≫ 0 i

2 −2 2

ri' ≈1−

K i

0 i2 , ri

' '≈0


● planul

● obţinerea unor relaţii analitice simple pentru domeniul microundelor se poate realiza prin considerarea valorilor limită: – permitivitatea totală statică şi

● permitivitatea relativă datorată polarizărilor ionice şi electronice pot fi considerate constante

● atunci permitivitatea relativă este

de unde

9.5 Reprezentări grafice 9.5.1 Semicercul Debye

(9.5.1)

(9.5.3)

(9.5.2)

r=r∞r0−r∞

1 jo

r' ;r

' '

r0=r 0r∞=r ∞

r∞=r∞' =ri

' re' ∈ℝ

r'=r∞

r0−r∞

12o2

r' '=r0−r∞

12o2o


r

r 0r r rr 02

1

1 ,

rr 021

● unghiul de pierderi este dat de

● Relaţiile (9.5.2)-(9.5.4) se numesc ecuaţii Debye pentru relaxarea dielectrică

9.5.1 Semicercul Debye

(9.5.4) tan=r

' '

r'


● Reprezentările acestor mărimi în planul complex se numesc mai general diagrame Argand. Eliminând în ecuaţiile (9.5.2)-(9.5.3) se obţine

● pornind de la (9.5.1) şi notând

se obţine

9.5.2 Diagrama Argand

(9.5.5) r'−r0r∞

2 2

r' '2= r0−r∞

2 2

(9.5.6) z1=r0−r∞

1 jo

, z2=z1 jo

(9.5.7) r=r∞z1 , r 0−r∞=z1 1 jo =z1z2

tan=∣z1∣∣z2∣=o

(9.5.8)


9.5.2 Diagrama Argand

r

r

r

0r

rr 0

1z 2z r


● unui dielectric îi sunt caracteristici mai mulţi timpi de relaxare formând o distribuţie de timpi de relaxare şi în plus pot interveni o serie întreagă de rezonanţe locale chiar ionice sau electronice

● polarizarea poate fi scrisă ca rezultatul unei combinaţii liniare de polarizări parţiale p

0(,t) specifice fiecărui

● unde g(i) este ponderea statistică şi satisface relaţia

● prin generalizare se ajunge la expresia

cu condiţia de normare

9.5.3 Diagrama Cole-Cole

(9.5.9) P0t =∑i

p0 i i , t g i

(9.5.10) ∑i

g i=1

(9.5.11) P0t =∫0

∞

p0 i , t g dt

(9.5.12) ∫0

∞

g dt=1


● ecuaţiile Debye devin

● se impune cunoaşterea funcţiei de distribuţie g() a timpilor de relaxare

● K. S. Cole şi R. H. Cole au propus o soluţie empirică pentru r:

unde h este o constantă de material, proporţională cu gradul de libertate internă a moleculelor; variază invers proporţional cu temperatura şi pentru h=0 (9.5.15) devine chiar ecuaţia Debye

● ultima relaţie poate fi scrisă sub forma


(9.5.15)

(9.5.14)

(9.5.13) r'=r∞r0−r∞ ∫

0

∞ g d 122

r' '=r0−r∞ ∫

0

∞ g d 122

r=r∞r0−r∞

1 j 1−h , 0≤h≤1


unde şi reprezintă ecuaţia unui cerc de rază

cu centrul în

● timpul de relaxare poate fi determinat din expresia

unde


(9.5.17)

(9.5.16) [ 12 r0r∞ −r' ]

2

[ 12 r0−r∞ tanr' ' ]

2

=14r0−r∞

2sec2

=h/2 12r0−r∞ sec

r0−r∞

2,−1

2r0−r∞ tan

0=v /u 1−h

uv 2

=[r0−r

' ]2r' ' 2

[r' −r∞ ]

2r

' ' 2(9.5.18)

9. interacţiunea câmpului electromagnetic de înaltă...

Documents