COMPUNEREA VECTORILOR

VECTORUL• Definitie: Vectorul este un segment de

dreapta orientat.

• Elementele unui vector sunt:– Originea – punctul de aplicatie (O)– Directia – dreapta pe care se afla vectorul– Sensul – dat de varful sagetii (V)– Modulul – marimea segmentului (a)

aO V

a

Vectorii se pot compune folosind :

• Metode geometrice

• Metoda analitică

A) Metodele geometrice sunt :

Regula paralelogramului Regula triungiului Regula poligonului

REGULA PARALELOGRAMULUI

Regula paralelogramului este cea mai cunoscută metodă de compunere a doi vectori concurenţi.

A compune vectorii a şi b înseamnă a găsi modulul şi orientarea vectorului rezultant : c = a + b .

a

b

a

b

Regula paralelogramului are următoarele etape :

1. Se translatează (se deplasează paralel cu ei înşişi ) vectorii a şi b până au origine comună

2. Se construieşte paralelogramul care are ca laturi cei doi vectori :- prin vârful lui a se duce paralelă la b

- prin vârful lui b se duce paralelă la a3. Se construieşte vectorul sumă c ( este diagonala paralelogramului dusă

prin originea vectorilor )

c

Vectorul sumă c are următoarele caracteristici :

- originea comună cu originile celor doi vectori a şi b ;

- direcţia de-a lungul diagonalei paralelogramului ;

- sensul dat de săgeată ;

- modulul egal cu lungimea diagonalei paralelogramului.

Cei doi vectori au direcţii perpendiculare

În acest caz paralelogramul devine un dreptunghi şi putem calcula modulul c aplicând teorema lui Pitagora.

a

b

c² = a² + b²

Caz particular

ca

b

Regula triunghiului este o metodă de compunere a doi vectori.

Regula triunghiului are următoarele etape:

1. Se translatează un vector ( b ) până când originea lui va fi în vârful celuilalt vector ( a )

2. Se uneşte originea primului vector a cu vârful lui b şi se obţine vectorul sumă c

REGULA TRIUNGHIULUI

a

b

ab

c

Cazuri particulare

a) Cei doi vectori au direcţii perpendiculare

Se poate calcula modulul c cu terema lui Pitagora

a

b

a

b

c

c² = a² + b²

b) Vectorii au aceeaşi orientare (aceeaşi direcţie şi acelaşi sens)

Modulul c este egal cu suma modulelor a şi b.

a b a b

c = a + b

c

c) Vectorii au aceeşi direcţie şi au sensuri opuse

Modulul c este egal cu diferenţa dintre modulele a şi b.

a ab

bc

c = a - b

REGULA POLIGONULUI

Regula poligonului este folosită pentru a aduna 3 sau mai mulţi vectori.

Etapele sunt :1. Se translatează vectorul b cu originea în

vârful vectorului a , apoi se translatează vectorul c cu originea în vârful vectorului b şi mai departe

2. Vectorul sumă s uneşte originea primului vector cu vârful ultimului vector

aa

b b

c c

s

B) Metoda analitică

Metoda anlitică este folosită pentru a aduna doi sau mai mulţi vectori.

Etapele metodei sunt :

1. Se alege un sistem de două axe de coordonate xoy

2. Se proiectează vectorii pe axe şi se calculează componentele lor (folosind funcţiile trigonometrice )

3. Se calculează componentele vectorului sumă de pe cele două axe (sumă algebrică).

Proiecţiile din sensul pozitiv al axei se iau cu semnul “+”,celălalte se iau cu semnul “-”.

4. Se calculează modulul vectorului rezultant cu relaţia : R =

R² + R²

F1

F2

y

x

F1y

F1x

F2X

F2y

α

β

RX = F2X – F1X

y

xRX

RY = F1Y – F2Y

RY

R = R²X + R²Y

R