clasa a ix a fisa de lucru progresii aritmetice
TRANSCRIPT
1 | P a g e
CLASA A IX A
FISA DE LUCRU – Progresii aritmetice
6.
2 | P a g e
Monotonie si marginire
1.
2.
3.
4.
5.
Progresie geometrica
3 | P a g e
6.
Altele
4 | P a g e
43.) Să se afle primii cinci termeni ai unei progresii aritmetice dacă 51 =a , 3−=r .
44.) Să se afle termenul al şaselea al unei progresii geometrice dacă 31 =b , 2=q .
45.) Să se afle primul termen şi raţia unei progresii aritmetice dacă 425 =a , 9011 =a .
46.) Să se afle suma primilor 100 de termeni ai unei progresii aritmetice cu 21 =a , 82 =a .
47.) Să se determine 0x astfel încât numerele 73,5,1 +++ xxx să fie în progresie geometrică.
48.) Determinaţi numărul natural x din egalitatea 1+5+9+……+x= 231.
49.) Să se afle primii cinci termeni ai unei progresii geometrice dacă 21 =b , 4=q .
50.) Să se afle termenul al zecelea al unei progresii aritmetice dacă 121 =a , 10=r .
51.) Să se afle primul termen şi raţia unei progresii geometrice dacă 93 =a , 2436 =a .
52.) Să se afle suma primilor 200 de termeni ai unei progresii aritmetice cu 31 =a , .
53.) Să se determine x astfel încât numerele 6,,2 2 +− xxx să fie în progresie aritmetică.
54.) Determinaţi numărul natural x din egalitatea 1+3+5+……+x= 225.
55.) Să se afle primii cinci termeni ai unei progresii aritmetice dacă 21 =a , 15=r .
2=r
5 | P a g e
56.) Să se afle termenul al cincilea al unei progresii geometrice dacă 5761 =b , 4
1=q .
57.) Să se afle primul termen şi raţia unei progresii geometrice dacă 102 =a , 805 =a .
58.) Să se afle suma primilor 50 de termeni ai unei progresii aritmetice cu 51 =a , 82 =a .
59.) Să se determine 0x astfel încât numerele 63,2,2 ++− xxx să fie în progresie geometrică.
60.) Determinaţi numărul natural x din egalitatea 1+7+12+……+x= 1550.
61.) Să se afle primii cinci termeni ai unei progresii geometrice dacă 41 =b , 5=q .
62.) Să se afle termenul al optulea al unei progresii aritmetice dacă 121 =a , 3−=r .
63.) Să se afle primul termen şi raţia unei progresii aritmetice dacă 777 =a , 19818 =a .
64.) Să se afle suma primilor 10 de termeni ai unei progresii geometrice cu 121 =b , 2=q .
65.) Să se determine x astfel încât numerele 72,1,4 2 +++ xxx să fie în progresie aritmetică.
66.) Determinaţi numărul natural x din egalitatea 1+3+5+……+x= 225.
67.) Fie şirul )( na cu termenul general 2
1
+
+=
n
nan
.
a. Să se determine şirul )( nb cu proprietatea ;1 nnn aab −= + 1,4p
b. Să se calculeze suma: ;...21 nbbbS +++=
68.Să se arate că şirurile definite prin termenii generalin
n
n
n yx 3,2 == verifică relaţia de recurenţă nnn aaa 65 12 −= ++
69..Progresia aritmetică ( )1nna de raţie r este definită prin elementele date. Determinaţi, în fiecare caz, elementele cerute.
a) 991 ,3,2 SsiaCalculatira −==
b) ..7,7 17637 rsiaCalculatiaaaS =++=
70. Completați cu încă cinci termeni șirurile:
a) 13, 14, 15, ... ; b) 10, 12, 14, ... ; c) 1, 2
1,
3
2,
4
3, ... .
71. Se consideră șirul de numere naturale: 1, 5, 9, 13, ... .
a) Completați șirul cu încă cinci termeni.
b) Aflați termenii de rang 150, 505, 2004.
c) Verificați care dintre numerele: 491, 1012, 2003, 2006, 3007, 4008, 5009 aparțin șirului și precizați rangul lor ca termeni.
d) Calculați suma primilor 26 de termeni ai șirului dat.
72. Aflați suma tuturor cifrelor numerelor naturale de la 1 la 1000 000 000.
73. Determinați progresia aritmetică ( )1nna știind că .6321321 ==++ aaaaaa
74. Determinați progresia geometrică ( )1nnb știind că .71321321 =−=++ bbbbbb
75. Se consideră șirul măsurilor de unghiuri: 101 =u , ,302
=u ,903
=u .2704
=u
76*. Arătați că numerele a, b, c sunt în progresie geometrică dacă și numai dacă numerele
cbbab −−
1,
2
1,
1 sunt în progresie aritmetică.
6 | P a g e
37. Completați cu încă cinci termeni șirurile:
a) ,4
3,
3
2,
2
1...
b) 1, 3, 5, 7, ...
c) 2, 22 ,
32 , ...
38. Stabiliți ce tip de progresie este fiecare dintre șirurile de mai jos, precizați primul termen, rația, formula termenului general
și formula de calcul a sumei primilor n termeni:
a) 1, 5, 9, 13, ...
b) 1, 3, 9, 27, ...
39. Este 10 termen al șirului 2
1, 1,
2
3, 2, ... ?
40. Determinați numărul real x pentru care x – 4, x + 2, x + 4 sunt, în această ordine, numere în progresie geometrică.
41. Completați cu încă cinci termeni șirurile:
a) ,3
4,
2
3,
1
2...
b) 2, 4, 6, 8, ...
c) 3, 23 ,
33 , ...
42. Stabiliți ce tip de progresie este fiecare dintre șirurile de mai jos, precizați primul termen, rația, formula termenului general
și formula de calcul a sumei primilor n termeni:
a) 1, 4, 7, 10, ...
b) 2, 6, 18, 54, ...
43. Este -46 termen al șirului 10, 6, 2, -2, ... ?
44. Determinați numărul real x pentru care x – 1, x + 1, x + 5 sunt, în această ordine, numere în progresie geometrică.
45. Determinati urmatorul termen al sirului definit descriptiv astfel:1 1 1
; ;1 2 2 3 3 4
.
46. Aflati termenul de rang 2018 al unei progresii artmetice, stiind ca 1 100a = − si ratia este 2r = .
47. Se consideră şirul ( )1n n
a
cu *2 3
,4 1
n
na n
n
+=
−. Să se determine rangul termenului egal cu
11
15.
48. Sa se gaseasca primul termen al progresiei geometrice cu termenii pozitivi 1 3, 4, ,64b b .
49. Sa se arate ca sirul ( )1n n
a
, de termen general 23 ,na n n= − este strict crescator.
50. Sa se calculeze suma 2 3 4 5
1 1 1 1 11
2 2 2 2 2S = + + + + + .
51. Determinati urmatorul termen al sirului definit descriptiv astfel:1 1 1
; ;1 2 2 3 3 4
.
52. Aflati termenul de rang 2018 al unei progresii artmetice, stiind ca 1 100a = − si ratia este 2r = .
53. Se consideră şirul ( )1n n
a
cu *2 3
,4 1
n
na n
n
+=
−. Să se determine rangul termenului egal cu
11
15.
54. Sa se gaseasca primul termen al progresiei geometrice cu termenii pozitivi 1 3, 4, ,64b b .
7 | P a g e
55. Sa se arate ca sirul ( )1n n
a
, de termen general 23 ,na n n= − este strict crescator.
56. Sa se calculeze suma 2 3 4 5
1 1 1 1 11
2 2 2 2 2S = + + + + + .
57. Fie ( )1n n
a
o progresie aritmetică astfel încât 1 7
6 3
42
9
a a
a a
+ =
− =.
58. Aratati ca 1 12a = şi raţia 3r = .
59. Determinaţi suma primilor 10 de termeni ai progresiei.
60. Calculaţi 1 2 3
1 3 5 2 1... , 0n n
nS a a a a r
r r r r
− = − + − + − + + −
67) Fie sirul ( )1n n
u
cu termenul general ( )3 2 ; 1n
nu n= .
a) Verificati daca sirul este o progresie geometrica.
b) Stabiliti daca numarul 192 se gaseste printre termenii sirului ( )1n n
u
.
c) Aratati ca numarul 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6N u u u u u u u u u u= + + + + este mai mic decat 837 .
68. Fie şirul de numere ( ) 0nan , unde:
20 =a , 31 =a şi 11 23 −+ −= kkk aaa , 1n
a) Calculaţi primii patru termeni ai şirului;
b) Să se găsească formula termenului general;
c) Demonstraţi prin inducţie matematică formula găsită;
d) Decideţi daca acest şir este o progresie aritmetică.
69. Să se determine valorile reale pozitive ale numărului x, ştiind că xlg , 2
3 şi xlg sunt trei termeni consecutivi ai unei
progresii aritmetice. 70. Să se determine al zecelea termen al şirului 1, 7, 13, 19, ... .
71. Să se calculeze suma primilor 5 termeni ai unei progresii aritmetice ,)( 1nna ştiind că 11 =a şi .32 =a
72. Să se demonstreze că pentru orice Rx numerele 13,13 +− xx
şi 135 + x sunt termeni consecutivi într-o progresie
aritmetică. 73. Să se calculeze suma 1+5+9+13+...+25.
74. Să se determine al nouălea termen al unei progresii geometrice, ştiind că raţia este egală cu 3
1 şi primul termen este 243.
75. Să se calculeze suma .3
1
3
1
3
1
3
11
432++++
76. Să se determine numărul real x, ştiind că 12 −x,
x4 şi 32 1 ++xsunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
77. Să se determine numărul real x, ştiind că 3−x , 4, 3+x sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
78. Să se calculeze suma 1+3+5+...+21.
79. Se consideră progresia aritmetică 1)( nna în care 53 =a şi 116 =a . Să se calculeze 9a .
80. Să se calculeze suma .2..2221 732 +++++
81. Se consideră progresia aritmetică 1)( nna în care 11 =a şi 135 =a . Să se calculeze 2008a .
82. Să se determine raţia unei progresii aritmetice 1)( nna , ştiind că 16210 =− aa .
83. Se consideră progresia aritmetică 1)( nna în care 21 =a şi 42 =a . Să se calculeze suma primilor 10 termeni ai
progresiei.
84. Se consideră progresia geometică 1)( nnb în care 21 =b şi 62 =b . Să se calculeze .5b
8 | P a g e
85. Să se determine numărul real x, ştiind că şirul ,...13,9,12,1 +x este progresie aritmetică.
86. Se consideră progresia aritmetică 1)( nna în care 61 =a şi 52 =a . Să se calculeze 7a .
87. Se consideră progresia aritmetică 1)( nna în care 52 =a şi 3=r . Să se calculeze 8a .
88. Se consideră progresia geometrică 1)( nnb în care 11 =b şi 32 =b . Să se calculeze .4b
89. Se consideră progresia aritmetică 1)( nna în care 71 =a şi 372 =a . Să se calculeze suma primilor 10 termeni ai
progresiei.
90. Se consideră progresia aritmetică 1)( nna în care 31 =a şi 73 =a . Să se calculeze suma primilor 10 termeni ai
progresiei. 91. Să se calculeze suma 1 + 11 + 21 + 31 +...+ 111. 92. Să se determine numărul real x ştiind că numerele x+1, 2x – 3 şi x – 3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 93. Să se determine numărul real pozitiv x ştiind că şirul 1, x, x+2, 8, ... este progresie geometrică.
94. Să se determine suma primilor 6 termeni ai progresiei aritmetice 1)( nna , în care 21 =a şi .52 =a
95. Să se determine numărul real x ştiind că numerele 5 – x, x +7 şi 3x +11 sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice.
96. Să se arate că numerele ,2log2 1
3C şi 5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
97. Să se determine suma primilor trei termeni ai unei progresii geometrice, ştiind că suma primilor doi termeni ai progresiei este egală cu 8, iar diferenţa dintre al doilea termen şi primul termen este egală cu 4.
98. Să se calculeze al cincilea termen al unei progresii aritmetice ştiind că primul termen al progresiei este 7 şi al doilea termen este 9.
99. Să se determine raţia progresiei geometrice 1)( nnb ştiind că 31 =b şi .312 =−bb
100. Să se demonstreze că şirul cu termenul general ,32 += nan verifică relaţia ,21 =−+ nn aa pentru orice *Nn .
101. Să se arate că numerele 1, 9log3 şi 3 64 sunt termeni consecutivi dintr-o progresie geometrică.
102. Să se determine numărul real x, ştiind că numerele x – 1, 2x – 2 şi x + 3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 103. Să se determine numărul real x, ştiind că numerele x – 1, x+1 şi 2x + 5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
104. Să se determine produsul primilor trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice 1)( nnb ştiind că primul termen
este egal cu 1 şi raţia este q= – 2.
105. Să se determine al şaselea termen al şirului 1,7,13,19,…..
106. Să se determine al şaselea termen al şirului 1,3,9,27, 81, …
107. Să se calculeze suma 1+11+21+31+…+111 .
108. Să se calculeze suma 1+ 1
3 +
1
32 + 1
33 +1
34 .
109. Se consideră funcţia f:R→R ,f(x)=x+2 .Să se calculeze f(0)+f(1)+…+f(2012) .
110. Să se verifice că numerele 𝑙𝑜𝑔55 ,𝐶31 şi 5 sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice .
111. Să se verifice că numerele 1, 𝑙𝑜𝑔39 şi √643
sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice .
112. Să se determine numărul real x,ştiind că x-3,4,x+3 sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice .
113. Să se determine numărul real x,ştiind că 1, x, x+2,7,… sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.
114. Să se determine numărul real x,ştiind că 5-x,x+7si 3x+11sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice.
115. Să se calculeze suma primilor 10 termeni ai unei progresii aritmetice (𝑎𝑛)𝑛≥1, ştiind că a1 =3 şi a2= 7.
116.Se consideră progresia aritmetică (𝑎𝑛)𝑛≥1 în care a3=5 şi a6=11.
Să se calculeze a9 .
117. Se consideră progresia aritmetica (𝑎𝑛)𝑛≥1 în care a1 =1 şi a5 =13.
Să se calculeze a2012 .
9 | P a g e
118. Să se determine ratia unei progresii aritmetice (𝑎𝑛)𝑛≥1 , ştiind că a10 - a2 = 16 .
119. Se consideră progresia aritmetică (𝑎𝑛)𝑛≥1 în care a2 =5 şi r=3.
Să se calculeze a8.
120. Se consideră progresia geometrică în care b1=3 şi b2 = 12 .
Să se calculeze b5 .
121. Să se determine al patrulea termen al unei pregresii geometrice ştiind că raţia este egală cu 1
2 şi primul termen este 8.
122. Să se determine raţia unei progresii geometrice (𝑏𝑛)𝑛≥1în care b1=3 şi b2- b1=3.
123. Să se calculeze produsul primilor 3 termeni ai unei progresii geometrice care are primul termen √2 şi raţia egală cu -√2.
124. Să se determine numărul elementelor mulţimii A={1,4,7, … ,40}.
125. Scrieţi primii cinci termeni pentru progresiile:
a) •
• : d1, 5, d3, 19, 26, … b)
••
••: c1, c2, 12, 8,
3
16, …
126. Să se afle suma primilor n termeni pentru progresiile:
a) ••
•• b1=2, q=
3
1−, n=6; b)
•
• : a1=4, r=2, n=12.
127. Să se demonstreze că şirul 1)( nna , dat prin formula termenului general : 6
37 nan
−= este o progresie aritmetică şi să
se calculeze raţia.
128. Aflaţi primul termen şi raţia pentru progresia aritmetica (an), dacă:
=−
=+
9
10
52
73
aa
aa
129. Calculaţi suma: 1432 2
1...
2
1
2
1
2
11 ++−+− .
130. Aflaţi x astfel încât numerele următoare să fie în progresie aritmetică: 2,125,103 2 −−− xxx .
131. Aflaţi x din ecuaţia 169...531 =++++ x .
132. Scrieţi primii cinci termeni pentru progresiile:
a) ••
••: c1, c2, 18, 27,
2
81, … b)
•
• : d1, 7, d3, 19, 25, …
133. Să se afle suma primilor n termeni pentru progresiile:
a) •
• : a1=2, r=4, n=12; b)
••
•• b1=1, q=
2
1−, n=6.
134. Să se demonstreze ca şirul 1)( nna , dat prin formula termenului general : 2
85 nan
−= este o progresie aritmetică şi să
se calculeze raţia.
10 | P a g e
135. Aflaţi primul termen şi raţia pentru progresia aritmetica (an), dacă:
−=−
=+
8
0
57
85
aa
aa.
136. Calculaţi suma: 1232 2
1...
2
1
2
1
2
11 ++−+− .
137. Aflaţi x astfel încât numerele următoare să fie în progresie aritmetică: 3,4,15 2 +− xx .
138. Aflaţi x din ecuaţia 588...21135 =++++ x .