breviar teoretic -...

INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

Învățământ Preuniversitar

1

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere” Domeniul major de intervenţie 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate”

Titlul proiectului: „TEEN PERFORM - Program inovator de îmbunătăţire a rezultatelor şcolare în învăţământul liceal” Contract număr: POSDRU/153/1.1/S/136612 Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Suceava

Disciplina MATEMATICĂ FIŞĂ DE LUCRU

Tema/Unitatea: Mulțimea numerelor reale. Progresii aritmetice.

Progresii geometrice

Expert educaţie: prof. Monoranu Mihaela Doina, Colegiul Tehnic „Mihai Băcescu” Fălticeni

Breviar teoretic

Mulţimea numerelor reale 1. Intervale de numere reale

a) Intervale mărginite

Fie a,b , a < b [ ] { } interval închis de extremităţi a,b

{ } interval deschis

[ { } interval închis la stânga şi deschis la dreapta

] { } interval deschis la stânga şi închis la dreapta

b) Intervale nemărginite

[ { } interval închis la stânga şi nemărginit la dreapta

{ } interval deschis la stânga şi nemărginit la dreapta

] { } interval închis la dreapta şi nemărginit la stânga

{ } interval deschis la dreapta şi nemărginit la stânga

Observaţie : ,a a a , , , ,a a a a a a

2. Modulul unui număr real se defineşte astfel: , 0

, 0

x xx

x x

Proprietăţi:

1. ≥0, 2. 0 0x x

3. , 0x a a x a sau x a 4. , 0x a a a x a

5. , 0x a a x a 6. |x|=|−x|,

7. 8.

9.

| =

,

10.

3. Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real




2

Definiţie: Se numeşte partea întreagă a unui număr real x cel mai mare număr întreg mai mic

sau egal cu x. Notaţie : x

Definiţie: Se numeşte partea fracţionară a numărului real x numărul x- x Notaţie: x

Observaţie: x x x

Proprietăţi:

1. [ ] 2. 0,1x

3. [ ] [ ] , 4. [ ]

5. { } 6. [ ] [ ]

7. { } { } 8.{ } { }

9.Identitatea lui Hermite: [ ] [

] [

] [

] [ ],

4. Identităţi fundamentale Oricare ar fi a,b,c au loc egalităţile:

2 2a b a b a b

2 2 22a b a ab b

2 2 22a b a ab b

2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc

3 3 3 3a b a b ab a b

3 3 3 3a b a b ab a b

3 3 2 2a b a b a ab b

3 3 2 2a b a b a ab b

5. Inegalităţi:

1

2, 0a aa

şi 1

2, 0a aa

Inegalitatea mediilor

≥ √

≥

,

Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwartz:

Șiruri. Progresii aritmetice

Fie Nn , 1n ; *)(Nnna

un șir de numere naturale cu termenii ,...,...,, 21 naaa și

nn aaaS ...21 suma primilor n termeni ai șirului.

Șiruri mărginite:

*)(Nnna

este mărginit dacă există intervalul Rba ],[ astfel încât

*],,[ Nnbaan ș

*)(Nnna

este mărginit dacă 0M astfel încât

*, NnMan ș

Șiruri monotone:

*)(Nnna

este monoton crescător dacă

*

1 , Nnaa nn ;

*)(Nnna

este monoton descrescător dacă

*

1 , Nnaa nn ;




3

*)(Nnna

este monoton dacă este monoton crescător și monoton descrescător;

Progresii aritmetice:

Def: Șirul *)(Nnna

este o progresie aritmetică de rație ;, *

1 Nnraar nn .1 nn aar

Proprietăți:

i. 1,)1(1 nrnaan

ii. 2,2

11

naa

a nnn

iii.

2,;1,2

)(1

1

nSSanaan

S nnnn

n

2,;1,2

)(1

1

nSSanaan

S nnnn

n


Def. Şirul (bn ) 1n de numere reale se numeşte progresie geometrică de raţie q 0 şi se

notează (bn ) 1n sau .... b1, b2 , b3 , … ; dacă b

1n= b n ∙ q, ( ) n1.

Proprietăţi ale progresiilor geometrice

Fie .... (bn ) 1n de raţie q. Avem : b n = b 1 ∙ q

1n, ( ) n1.

B 2

n = b 1n ∙ b 1n , ( ) n2.

B 1 ∙ b n = b k ∙ b 1kn , ( ) n1.

Se notează cu S n suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice, unde S n = b 1 + b 2

+ b 3 +…+ b n . Atunci S n = b 1 ∙ 1

1

q

q n

, q 1 şi S n = n ∙ b 1 , q = 1.

Exemple de itemi de tip examen de bacalaureat

Multimea numerelor reale

1. Să se determine a 2015-a zecimală a numărului a=1, (1234).

2. Se consideră numărul raţional 1 2

10, ... ...

21na a a .

a) Calculaţi 1 2 2015...a a a

b) De câte ori apare cifra 4 printre cifrele 1 2 2015, ,...a a a ?

c) Calculaţi S 1 2 2015...a a a .

3. Să se ordoneze crescător numerele a=3,120 ; b=3,1(20) ; c= 3,(120).

4. Determinaţi numărul elementelor mulţimii A {

} .

5. Calculaţi:

a)1

2015 33

b) 1 2 ... 100

6. Rezolvaţi în :

..

..




4

a) 2 5x b) 4 2 3 5x x c) 2 5 7x d) 2 3 3x

7. Să se determine elementele mulţimii A={ }.

8. Să se calculeze 2 2a b , ştiind că numerele a şi b au suma egală cu 7 şi produsul egal cu 12.

9. Ştiind că 1

3xx

să se calculeze 2

2

1x

x şi 3

3

1x

x .

Progresii aritmetice

1. Determinați termenul general al șirului definit prin relația de recurență 1,51 naa nn,

11 a .

2. Fie progresia aritmetică 1)( nna în care 53 a , 116 a . Calculați 9a si 14a

3. Fie progresia aritmetică 1)( nna în care 71 a , 377 a . Calculați suma primilor zece termini ai

progresiei.

4. Să se determine primul termen al unei progresii aritmetice 1)( nna dacă rația este egală cu 5, iar

suma primilor 10 termeni ai progresiei este egală cu 245.

5. Aflați Rx astfel încât numerele x5 , 7x și 113 x să fie termeni consecutivi ai unei

progresii aritmetice.

6. Calculați suma 110...3121111 .

7. Aflați progresia aritmetică 1)( nna , dacă 18410 SS și 41214 aa .

8. Să se verifice dacă 275 este termen al progresiei aritmetice )( na în care 93 a și 2712 a


1. Aflaţi primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi b 1 , b 2 , 27,81,…

2. Calculaţi raţia .... (bn ) 1n cu termeni pozitivi, dacă b 1 + b 2 = 6 şi b 3 + b 4 = 24.

3. Determinaţi al zecelea termen ai unei progresii geometrice cu primul termen 1024 şi cu raţia 2

1.

4. În progresia geometrică b n de raţie q se cunosc b 1 = 2 , b 2 = 8 . Se cere b10 şi b n .

5. Demonstraţi că următoarele numere nu pot fi termeni consecutivi ai unei progresii geometrice :

2

1,

4

1, -

8

1.

6. Să se determine x R pentru care numerele : 4

1x, x + 3, 4x – 1 sunt termeni consecutivi ai

unei progresii geometrice.

7. Să se determine suma primilor 100 de termeni ştiind : b 1 + b 2 + b 3 = 14 şi b 2 + b 3 + b 4 = 28.

8. Se consideră funcţia f (x) = x + 2. Să se calculeze suma : f (3) + f (32

) + f (33) +…+ f (3

15).

9. Calculaţi P = 1 + 5 + 52+ 5

3+ … + 5

n, nN

*, şi demonstraţi că numărul 5

1n-1 este divizibil

cu 4.

breviar teoretic -...

Documents