cartografie_matematica

8/12/2019 Cartografie_matematica

1/98

1

Universitatea Politehnica din TimioaraFacultatea de ConstruciiSpecializarea: Msurtori Terestre i CadastruAnul: III

Curs: Cartografie 1

Cursul nr. 1

Noiunigenerale de cartografie matematic

1.1IntroducereObiectul de studiu al cartografiei l constituie pe de o partereprezentarea suprafeei curbe

a Pmntului pe o suprafa plan (harta), iar pe de alt parte modalitile de utilizare a hrilor n diferite scopuri tiinifice i practice.

Cartografia este tiina care se ocup cu studiul hrilor privind coninutul, metodele i

procesele tehnologice de redactare, ntocmire i reproducere n tiraj.La nceputurile sale, cartografia fcea parte integral din geografie, deoarece aceasta se

ocupa nu numai cu descrierea suprafeei Pmntului, ci i cu reprezentarea ei n plan. Cutimpul a devenit o tiin aparte cu mai multe ramuri:

cartografia matematic - studiaz baza matematic a hrilor. Prin intermediulcartografiei matematice se stabilesc relaiile funcionale ntre coordonatele punctelor de pesuprafaa terestr i coordonatele punctelor corespunztoare din plan sau hart ;

cartologia se ocup cu studiul metodelor de reprezentare a elementelor de pesuprafaa terestr pe hri;

ntocmirea hrilor este ramura care studiaz metodele necesare pentruconfecionarea originalului hrii;

editarea hrilor studiaz metodele i procedeele tehnice de editare a originaluluihrii i de multiplicarea acestuia;

cartometria se ocup cu studiul instrumentelor i metodelor necesare diferitelormsurtori ce se pot efectua pe planuri i hri.

Reprezentarea n plan a unei poriuni din suprafaa terestr se efectueaz prin alegereaunui sistem de proiecie adecvat scopului i destinaiei hrii sau planului topografic ceurmeaz a se ntocmi.

Realizarea acestor lucruri necesit executarea unor msurtori terestre, lucru care aduce lainterdisciplinarea ei cu alte tiine cum ar fi:

geodeziatiina ce se ocup cu studiul formei i dimensiunii Pmntului; topografia

o ramur a geodeziei care se ocup cu studiul msurtorilor terestre

;

tiinele matematicematematica i fizica.Proiectarea unei hri necesit cunoaterea unor elemente specifice proieciilor i anume: planul de proieciereprezint suprafaa pe care se face proiectarea unei poriuni de

teren pe elipsoidul de referin. Aceste planuri sunt suprafee plane tangente sau secante lasuprafaa de reprezentat sau sunt suprafee desfurabile, n cazul cilindrului i conului;

punctul central al proieciei este punctul care se afl n centrul suprafeei dereprezentat. Acest punct poate s fie materializat pe teren i determinat prin msurtorigeodezice sau poate s fie fictiv;

reeaua geograficeste constituit dintr-un ansamblu de paralele i meridiane; reeaua cartografic este reeaua format din linii curbe sau drepte, rezultate din

proiecia n plan a meridianelor i paralelelor. Cu ajutorul acestei reele se pot efectuadiferitemsurtori pe hart, se pot determina coordonatele geografice ale unor puncte geodezice;


2/98

2

reeaua (kilometric) rectangular este format din linii drepte i paralele cusistemul de axe rectangulare din proiecia aleas.

Utiliznd msurtorile terestre, cartografia reprezint n plan elementele suprafeei terestrepentru ca n final s rezulte harta utilizat n majoritatea cercetrilor topografice, geografice igeologice.

1.2Parametrii de baz ai elipsoidului de rotaieElipsoidul pmntesc afost considerat ca un elipsoid de rotaie a crei suprafa rezult

prin rotaia unei elipse n jurul axei mici a acesteia, care sepresupune c este comun cu axaPP' a Pmntului.

Ecuaia elipsoidului de rotaie n coordonate rectangulare, raportat la centrul su este deforma:

2 2 2

2 2

X +Y Z

+ =1a b

unde axa z coincide cu axa de rotaiePentru determinarea unui elipsoid este suficient s cunoatem elementele elipsei meridiane

prin rotirea creia s-a format elipsoidul.

Fig.1.1. Elipsa meridian raportat la un sistem de axede coordonate carteziene xOy

Ecuaia elipsei meridiane este :

2 2

2 2 1 0

x y

a b

unde : - a este semiaxa mare a elipsoidului (ecuatorial)-b este semiaxa mic a elipsoidului (polar)

Ali parametrii care definesc elipsa meridian sunt:

C

Y

P

P'

EE

O

x

r

C' X

+90


3/98

3

a

ba - turtirea elipsoidului

2

2

2

222

1a

b

a

bae

- prima excentricitate a elipsei meridiane

1'2

2

2

222

b

a

b

bae - a doua excentricitate a elipsei meridiane

Pentru determinarea elipsei meridiane este necesar s se cunoasc doar doi dintre cei cinciparametrii, iar unul dintre ei trebuie s fie liniar.

Legtura dintre coordonatele X,Y ,Z i x, y este dat de relaiile: cos

sin

X x

Y x

Z z

Pentru diferii elipsoizi de referin utilizai n Romnia sunt date n tabelul de mai josvalorile parametrilor a i :Tabelul 1.1

Elipsoidul

de referinAnul

determinriiSemiaxa marea[m]

urtirea

Perioada de

utilizare nRomnia

Bessel 1841 6377397.115 1:299.1528 1873-1916

Clarke 1881 6378243.000 1:293.5 1916-1930Hayford 1909 6378388.000 1:297.0 1930-1951

Krasovski 1940 6378245.000 1:298.3 1951 -prezent

WGS-84 1984 6378137.000 1:298.257223563Parametri elipsoidului Krasovski 1940:

a = 6378245.00000w 6 = 6356863.01877

= 1/298.3= 0.003352329869e

2=0.006693421623 e'

2=0.006738525415

1.3Coordonatele hrilorPe hrile topografice gsim dou sisteme de coordonate, un sistem rectangular i un

sistem de coordonate geografice.Coordonatele geografice sunt latitudinea i longitudinea.Latitudinea () este unghiul format de normala dus n punctul dat, cu planul ecuatorului

i se msoar de la ecuator spre nord avnd valori pozitive sau spre sud avnd valori negative.La ecuator avem = 00, iar la poli = 900.

Longitudinea () este unghiul diedru format de planul ce trece prin meridianul punctuluidat. Longitudinea se msoar de la meridianul origine spre est avnd valori pozitive sau sprevest avnd valori negative.

Pe plan internaional se consider ca meridian origine, meridianul Greenwich. Latitudinea i longitudinea determin poziia unui punct pe suprafaa elipsoidului sau

sferei.


4/98

4

Fig. 1.2. Coordonate geografice pe elipsoid (,)

Colatitudinea ()este complementul latitudinii. Se definete ca fiind unghiul format deaxa polilor cu verticala locului n punctul considerat.Valoarea ei se calculeaza n funcie delatitudine = 90- .Sistemului de coordonate geografice (,) i se asociaz o reea de linii de coordonate formatdintr-o familie de paralele obinute pentru = const. i o familie de meridiane pentru= const.Pe elipsoid, paralelele sunt cercuri ale cror plane sunt perpendiculare pe axa polilor PP', iarmeridianele sunt jumti de elips care trec prin polii P i P'.

Fig. 1.3. Reea de meridiane i paralele pe elipsoid

Coordonatele rectangulare sunt valori ce stabilesc poziiile pe hart ale unor detalii dinteren. Aceste coordonate se noteaz cu X i Y i reprezint deprtarea punctului dat fa de unsistem de axe. Axa XX se numete abcis, iar YY se numete ordonat; punctul deintersecie O se numete originea sistemului de coordonate.

n topografie axa abciselor coincide cu linia meridianului care trece prin punctul deorigine al sistemului, iar drept direcie a acestei axe se ia direcia nord.

Y

X

P

P

E EO

O

r

A

B

C


5/98

5

Fig. 1.4. Coordonate rectangulare

Pe hrilr topografice coordonatele rectangulare ale oricrui punct pot fi determinate cuajutorul reelei kilometrice.


6/98

6

Cursul nr.2

SISTEME DE COORDONATE

1.4. Sisteme de coordonate utilizate pe sfer

Sferaeste corpul mrginit de o suprafa curb nchis ale crei puncte sunt egal deprtate deun punct interior numit centru.Zona sfericeste poriunea din suprafaa sferei cuprins ntre dou seciuni plane.Calota sfericeste partea din suprafaa sferei rezultat din intersecia unui plan cu sfera. Trapezul sferic este poriunea de pe sfera terestr delimitat de dou meridiane i dou

paralele.

Fusul sfericeste poriunea de pe sfera terestr cuprins ntre dou meridiane.

1.4.1 Coordonate geografice

Exist situaii, n cartografia matematic, cnd suprafaa terestr este considerat sfer de raz

R. Aceast variant presupune utilizarea unor formule de calcul simplificate deoarecesuprafaa sferei este mai simpl dect cea a elipsoidului.

Fig.1.5 Coordonate geografice pe sfer

Latitudinea este unghiul format de normala AA la sfer n punctul dat cu planulecuatorului.

Latitudinea se msoar de laecuator spre nord sau spre sud i ia valori cuprinse ntre [-900,+900]. Pentru emisfera sudic valorile latitudinilor sunt cuprinse n intervalul [-900, 00], iar

pentru emisfera nordic ntre [00, +900]. La polul nord (PN) latitudinea are valoarea = +900,la Ecuator = 00iar la polul sud (PS) = -900.

Longitudinea este unghiul diedru format de planul ce trece prin meridianul origine cuplanul ce trece prin meridianul punctului dat.


7/98

7

Ca meridian origine ales n accepiune internaional se folosete meridianul Greenwich.Longitudinile se msoar de la meridianul origine spre vest i spre est i au valori cuprinse nintervalul [-1800, +1800]. Pentru partea vestic valorile sunt cuprinse n intervalul [-1800,00]iar pentru partea estic ntre [00, +1800].Sistemului de coordonate geografice i se asociaz o reea de linii de coordonate format dintr-o familie de paralele obinute pentru = const. i o familie de meridiane pentru = const.

Fig.1.6 Reeaua de meridiane i paralele pe sfer

1.4.2 Coordonate sferice polare

Dac se consider punctul Q de coordonate 0i 0ca pol al sistemului de coordonate sferice,poziia unui punct oarecare de pe suprafaa sferei se determin cu ajutorul distanei zenitale zsi a unghiului azimutal A.

n cazul suprafeei sferice a Pmntului meridianele i paralelele sunt nlocuite de verticalurii almucantarate.n acest caz meridianelor le vor corespunde cercuri mari de pe suprafaa sferei. Planele

corespunztore acestora nu vor trece prin diametrul ce reprezint axa polilor ci printr-un altdiametru. Aceste cercuri i corespondentele lor de pe hart se numesc verticaluri.Paralelelor le corespund cercuri mici iar planele lor sunt perpendiculare pe diametrul

corespunztor verticalurilor. Aceste cercuri i corespondentele lor de pe hart se numescalmucantarate.

Verticalurile i almucantaratele sunt linii de coordonate ale sistemelor de coordonate sfericepolare.


8/98

8

Fig. 1.7 Reeaua de verticalurii almucantarate pe sfer

Poziia unui punct de pe suprafaa Pmntului e determinat dac se cunosc coordonatelegeografice i .Poziia aceluiai punct poate fi determinat i cu ajutorul altor elemente: distana zenital iunghiul azimutal.

Fig. 1.8 Coordonate sferice polareUnghiul azimutul (azimutul) A este este unghiul format de meridianul polului Q0i

cercul mare care trece prin punctele Q0i B.Azimutul variaz de la 0 la 360.

Distana zenitalz este mrimea in grade a arcului de cerc mare Q0B, sau este egal cumrimea unghiului cu vrful in centrul sferei fcut de razele care trec prin punctele Q0i B.Distana zenital variaz de la 0 la 180.n funcie de valoarea o a polului Q0 al proieciei, se obin trei tipuri de sisteme decoordonate sferice polare:

- o=90o polul Q0 corespunde cu unul din polii geografici i se va obine un sistem de

coordonate normale;


9/98

9

- o=0 ne aflm pe ecuator, polul Q0se va afla pe un punct oarecare de pe ecuator i se vaobine un sistem de coordonate transversal; - o=0-90

oQ0se afl ntre ecuator i pol i se va obine un sistem de coordonate oblic.

1.5 Raze de curbur ale elipsoidului terestru. lungimi de arce de meridian i paralel

1.5.1 Raze de curbura ale elipsoidului terestru

Prin orice punct de pe elipsoid se pot duce mai multe plane secante. Toate se numesc

seciuni normale. n cartografie se folosesc razele de curbur ale seciunilor normale. Fie M raza de curbur a elipsei meridiane ntr-un punct A de latitudine .

Fig.1.12

n funcie de elementele elipsoidului i de latitudinea punctului A considerat, raza decurbur M se calculeaz cu formula:

3

2 )1(

w

eaM

unde )sin1(22 ew

Se consider normala AB la elipsoid n punctul A. Fie paralelul ce trece prin punctul A,care are mpreun cu seciunea primului vertical o tangent comun pe care o notm cu T.Raza de curbur a paralelului ce trece prin punctul A este dat de relaia :

cosNr ,unde N este raza de curbur a primului vertical n punctual A, este latitudinea punctului A.

A

Y

O

ds

X

d

A'

dx

M


10/98

10

Fig.1.13

Darw

aN

w

axr cos

Facem raportulM

Ni obinem :

2

22

2

222

2

22

2

2

2

3

1

cos1

1

cos1

1

sin1

1)1( e

e

e

ee

e

e

e

w

ea

w

w

a

M

N

Deci MN

La poli unde 090 avem21 e

aMN

, iar la ecuator unde 00 rezult

)1( 2eaM i aN .Raza medie de curbur Gauss se noteaz cu R i se determin cu relaia :

NMR

1.5.2 Lungimi de arce de meridian i paralel

Arce de meridian

Arcul de meridian infinit mic este dat de:

dsm= Md 1.18

A

Y

P

P'

E'EO

N

r

X

B

A'

T


11/98

11

Fig.1.14 Arc de meridian

Arcul de meridian de lungime finit se calculeaz cu relaia:(sm)1,2= (sm)0,2- (sm)0,1 1.19

unde:

(sm)1,2arcul de meridian ntre latitudinile 1 si 2;(sm)0,2arcul de meridian de la Ecuator la latitudinea 1;(sm)0,1arcul de meridian de la Ecuator la latitudinea2.

Arce de paralel

Lungimea arcului de paralel infinit mic dspdintre dou puncte se calculeaz cu relaia:

dsp= rd

Fig. 1.15 Arce de paralel

Arcul de paralel finit se calculeaza cu relatia:


12/98

12

(sP)1,2= r(2- 1)rad

(sP)01,2= r(2- 1)0/0

(sP)1,2= r(2- 1)/

(sP)1,2= r(2- 1)/

unde:0= 570,29578= 3 437,7468= 206 264,806

NotNoiuni importante:

Elipsoidul de referin, adic elipsoidul folosit la un moment dat, ntr-o ar sau nmai multe ri, pentru rezolvarea problemelor geodezice este un elipsoid de rotaie cu turtiremic la poli.

Pentru determinarea unui elipsoid este suficient s cunoatem elementele elipseimeridiane prin rotirea creia s-a format elipsoidul.

Parametrii care definesc elipsa meridian sunt:- semiaxa mare

- semiaxa mic- turtirea

- prima excentricitate

- a doua excentricitate

Coordonate geografice pe elipsoid

Coordonate rectangulare

Coordonate geografice (, ) Coordonate sferice polare Raze de curbur ale elipsoidului terestru Lungimile arcelor de meridian i de paralel ale elipsoidului


13/98

13

Cursul nr. 3

2 . NOIUNI PRIVIND REPREZENTAREA ELIPSOIDULUI IA SFEREI PE PLAN

2.1 Ecuaiile hrii

Pentru ntocmirea hrilor, suprafaa elipsoidului terestru sau a sferei se reprezint pe plan cuajutorul proieciilor cartografice. Acesat reprezentare se face pe baza reelei de meridiane iparalele (sau a altor linii).

Reprezentarea pe plan trebuie s fie continu sau nentrerupt, adic oricrui punctA((p,X) de pe suprafaa elipsoidului sau a sferei, trebuie s-i corespund n plan un punctA'(x,y), determinat de exemplu n sistemul xOy.Reprezentarea pe plan a unei poriuni sau a ntregii suprafee terestre se exprim prin ecuaiilehrii:

x = f1(,) (2.1)y = f2(,)undefi if2 sunt dou funcii finite i continue ntr-un domeniu de variaie al argumentelor cp i

X. Funciile fi i f2 pot fi determinate concret din condiiile puse reprezentrii, astfel nctfiecrui sistem de proiecie i sunt proprii ecuaiile hrii.La reprezentarea suprafeei terestre pe plan, n orice proiecie, liniile, ariile i unghiurile, ngeneral vor suferi unele modificri, adic se vor deforma. Mrimile deformaiilor servesc caindice principal al calitii proieciilor.2.2 Deformaii i scri2.2. l Scara general i scara local a unei hri

Atunci cnd se reprezint o suprafa mic de teren aceasta poate fi considerat ca fiindplan, n acest caz, ntlnit la topografie, toate poriunile reprezentrii au aceeai scar. Lareprezentarea suprafeelor mari de teren pe un plan de proiecie, unde trebuie s se in seama decurbura Pmntului, scara nu mai are o valoare constant, ci variaz de la un punct la altul, fiinddiferit chiar n acelai punct pe diferite direcii. Astfel exist dou tipuri de scri i anume:

scara general sauprincipal ( care se trece pe hri) iscara local sauparticular.Scara general, s0 reprezint raportul dintre un element liniar de pe elipsoidul

pmntesc micorat de "n" ori, ds i corespondentul su de pe elipsoidul neredus, ds0..

(2.2)

Scara local, s este raportul dintre un element liniar de pe hart, ds' i corespondentulsu de pe elipsoid dso.


14/98

14

(2.3)

ntr-un plan de proiecie, deformaiile variaz de la un punct la altul. Din acest motiv, studiullor se va face pe domenii infinit mici.

2.2.2 Deformaiile liniareRaportul dintre distana infinit mic (elementul liniar) ds' din planul de proiecie idistana infinit mic ds care i corespunde pe suprafaa elipsoidului terestru sau a sferei, poartdenumirea de modul de deformaie liniar n sau scar liniar.

(2.4)

Interpretarea valorilor numerice ale modulului de deformaie liniar : >l => ds'>ds => se produce o alungire a imaginii din planul de proiecie,

deci o deformaie pozitiv a lungimii =l=>ds =>lungimea nu se deformeaz ds'se produce o micorare a lungimii n planul de proiecie,

deci o deformaie negativDeformaiile relative ale distanelor din planul de proieciePentru stabilirea relaiilor matematice avem n vedere domenii infinit mici. Concluziile leextindem apoi la domenii finite, dar destul de restrnse, astfel nct s folosim aproximaia cdeformaiile sunt egale cu cele din punctul aflat n centrul domeniului . Dac ds este distana infinit mic de pe suprafaa elipsoidului sau a sferei, iar ds' este imagineaei din planul de proiecie, atunci deformaia absolut a distanei n urma reprezentrii pe planeste: (ds'- ds).

Fie D deformaia relativ a distanei care reprezint raportul dintre deformaia absolut idistana nedeformat:

D = ds'-ds (2.5)ds

(2.6)

D = -1 (2.7)

(2.8)

2.2.3 Elipsa deformailorn orice proiecie care nu pstreaz asemnarea n domeniile infinit mici, modulul dedeformaie liniar variaz ntr-un punct oarecare A(,) n funcie de azimutul .


15/98

15

Fig. 2.1. Elipsa deformaiilor in punctul A '(x,y)

Astfel pentru azimute diferite i, 1, 2, 3.... corespund valori diferite ale modulului dedeformaie liniar 1, 2, 3.... Punctului A(,) de pe elipsoid i corespunde n planul de

proiecie un punct A'(x, y), iar azimutelor1, 2, 3....le corespund unghiurile 1, 2, 3.... Dac

se reprezint pe plan direciile 1, 2, 3.... din punctul A'(x, y) i pe acestea se msoarsegmente de lungimi 1, 2, 3...., iar apoi se unesc capetele segmentelor rezultate se obine oelips. Aceasta se numete elipsa deformaiilor sau indicatricea lui Tissot. Semiaxele elipsei dedeformaie, notate a i b, corespund valorilor maxim, respectiv minim a modulilor dedeformaie liniar n punctul considerat. Se numesc direcii principale ntr-un punct dat alsuprafeei, dou direcii reciproc perpendiculare, care rmn reciproc perpendiculare i nreprezentarea pe plan, iar modulii de deformaie au valori extreme pe aceste direcii.

Fg. 2.2. Cercul infinit mic de pe elipsoid, raportat la direciile principale i elipsa corespunztoare dinplan, raportat la axele sale

2.2.4 Deformrile areolareFie pe suprafaa elipsoidului un dreptunghi infinit mic avnd laturile dsm i dsp. Acestui

dreptunghi i corespunde n planul de proiecie un paralelogram.


16/98

16

Pe elipsoid n planul de proiecie

Fig. 2.3. Aria infinit mic dTdepe elipsoid i corespondenta sa dT'din planul de proiecie

Modulul de deformaie areolar reprezint raportul dintre aria paralelogramului infinit mic iaria dreptunghiului infinit mic care i corespunde pe elipsoid sau sfer.

(2.9)

dar:

dT = dsm.dsp

dT = ds'm-ds'p-sin i (2.10)

unde i este unghiul din plan format de imaginile meridianului dsmi paralelului. dsp.Din relaiile de mai susrezult:

p = m*n * sin i (2.11)

unde m este modulul de deformaie liniar pe direcia meridianului, iar n este modulul de

deformaie liniar pe direcia paralelului.n cazul proieciilor conforme i = 90, m = a i n = b, relaia de mai sus devine:

p = a * b (2.12)

Interpretarea valorilor numerice ale modulului de deformaie areolar p: Dac p = 1, nseamn c nu exist deformaii, deci ariile din planul de proiecie sunt

egale cu ariile corespunztoare de pe suprafaa elipsoidului, respectiv a sferei. Dac p< 1, ariile din planul de proiecie sunt mai mici dect ariile corespunztoare de

pe suprafaa elipsoidului, respectiv a sferei i spunem c n acest caz deformaiile areolaresunt negative.

Dac p>1, ariile din planul de proiecie sunt mai mari dect ariile corespunztoare depe suprafaa elipsoidului, respectiv a sferei i n acest caz deformaiile areolare sunt pozitive.

2.2.5 Deformaiile unghiurilorFie pe suprafaa elipsoidului sau a sferei un cerc infinit mic cu centrul n punctul A i

de raz r. Raza OA formeaz cu direcia principal n punctul O, (pe care modulul dedeformaie liniar ia valoarea maxim), un unghi , cruia i corespunde n reprezentarea pe

plan unghiul . Din figura 2.4. se observ c:

(2.13)

unde a i b sunt seraiaxelei elipsei deformaiilor.


17/98

17

Fig. 2.4 Deformaia maxim n plan a unghiului u de pe elipsoid sau sferNotm cu , unghiul format pe elipsoid de razele O A i OB. Acestui unghi i

corespunde n planul de proiecie unghiul '=


18/98

18

Cursul nr.4

3. CLASIFICAREA PROIECIILOR CARTOGRAFICE

3.1 Clasificarea proieciilor cartografice dup natura elementelor care nu se deformeazn funcie de natura elementelor care nu se deformeaz exist:

proiecii conforme proiecii echivalente proiecii echidistante

3.1.1 Proieciile conforme (care pstreaz unghiurile)Sunt acele proiecii n care figurile infinit mici de pe elipsoid sau de pe sfera terestr se reprezintn plan prin figuri asemenea.In proieciile conforme modulul de deformaie al lungimilor, u, n orice punct al proieciei, nudepinde de azimutul direciei considerate, deci:a = b = m = n = (3.1)

Aceasta nseamn c elipsa deformaiilor se transform n "cercul deformaiilor". Unghiurile se reprezint nedeformate n proieciile conforme, ceea ce nseamn c deformaiaunghiular maxim este egal cu zero: = 0 (3.2)iar modulul de deformaie areolar este egal cu: P = 2 (3.3)deoarece:

p = m n sin im = n = ,unde i este unghiul format de imaginile meridianului ii = 90 paralelului n proieciile conformese deformeaz n general ariile i distanele.Concluzie:

Proieciile conforme sunt acele proiecii n care unghiurile nu se deformeaz, adic unghiurilemsurate n teren au aceeai valoare cu cele din planul deproiecie.Figurile din planul de proiecie sunt asemenea cu cele de pe teren, dar cu ariile neegale, ceea ceduce la concluzia c n proieciile conforme forma figurilor se pstreaz, dar se modific

suprafeele acestora.innd seama de faptulc prin natura lor proieciile conforme conserv unghiurile, ele i gsesco larg aplicare la ntocmirea hrilor topografice . n literatura de specialitate proieciilorconforme li se mai spune proiecii echiunghiulare, autogonale sau ortomorfe.

3.1.2 Proieciile echivalente (proieciile care pstreaz ariile)Se caracterizeaz prin faptul c pstreaz constant raportul dintre ariile din planul de proiecie icele corespunztoare de pe elipsoid sau sfera terestr. De obicei acest raport se ia egal cu unitatea. n proieciile echivalente, modulul de deformaie areolar este:

p = a*b = m*n* sin i (3.4)

n aceste proiecii, n general se deformeaz unghiurile i distanele.Concluzie:


19/98

19

Proieciile echivalente sunt proieciile n care se pstreaz egalitatea dintre suprafeele de peelipsoid i cele reprezentate n planul de proiecie. Rezult c cele dou figuri, oricare ar fi

forma lor, sunt echivalente, adic au aceei arie.

3.1.3 Proieciile arbitrareDin clasa proieciilor arbitrare fac parte proieciile echidistante,n aceste proiecii se pune condiiaca modulul de deformaie liniar s fie constant pe una dintre direciile principale, de exemplu pemeridiane sau paralele.

Concluzie:

Proieciile arbitrare sunt acele proiecii care, dup natura deformrilor, nu aparin nici celorconforme, nici celor echivalente, ntruct acestea deformeaz att unghiurile, ct i suprafeele.

Aceste proiecii au o larg aplicare la ntocmirea hrilor geografice generale, mai ales cnd seurmrete ca destinaia acestora s satisfacelaborarea hrilor tematice.

3.2 Clasificarea proieciilor cartografice dup latitudinea poluluiQo (0, 0) al sistemului de coordonate sferice polare

Reprezentarea suprafeei terestre se poate face fie direct n planul de proiecie, fie pe o suprafaintermediar, care se desfoar apoi pe un plan, de exemplu pe suprafaa unui con, sau a unuicilindru.

Poziia reciproc dintre elipsoidul sau sfera terestr i suprafaa pe care se face reprezentarea estedefinit prin coordonatele o, 0 proieciei Q0. n funcie de latitudinea polului Q0, proieciilecartografice se clasific astfel: proiecii drepte, numite i normale sau polare, n care:

o=90 (3.5)

Fig. 3.1.Proiecii drepte

proiecii oblice, n care:0


20/98

20

Fig. 3.2.Proiecii oblice

proiecii transversale, sau ecuatoriale, n care:o = 0 (3.7)

Fig. 3.3.Proiecii transversale

3.3 Clasificarea proieciilor cartografice dup aspectul reelei demeridiane i paralele

Dup aspectul reelei de meridiane i paralele, proieciile se mpart n: azimutale, cilindrice,

conice, pseudoconice, pseudocilindrice, policonice i circulare.

3.3.1 Proieciile azimutale

Proieciile azimutale (zenitale) sunt proieciile n care meridianele se reprezint prin liniidrepte, convergente ntr-un punct, intersectndu-se sub unghiuri egale cu diferenelelongitudinilor corespunztoare, iar paralelele se reprezint prin cercuri concentrice, cu centruln punctul de convergen al meridianelor.


21/98

21

Fig. 3.4. Aspectul reelei cartografice intr-o proiecie azimutal dreapt

n afar de proiecii azimutale drepte mai ntlnim i proiecii azimutale oblice sau orizontale itransversale sau ecuatoriale. De obicei n aceste proiecii, suprafaa terestr se consider sfer.n practic , peoieciile azimutale se fpolosescla ntocmirea hrilor la scri mici.

3.3.2 Proieciile cilindrice

n proieciile cilindrice drepte, reeaua normal se reprezint prin dou familii de drepte paraleleastfel:

meridianele se reprezint printr-o familie de drepte paralele, situate ladistane proporionale cu diferenele de longitudine corespunztoare;

paralelele se reprezint printr-o familie de drepte paralele, perpendiculare peimaginile meridianelor.

Fig. 3.5. Aspectul reelei cartografice intr-o proiecie cilindric dreapt

n funciede orientarea cilindrului fa de elipsoid sau sfer, proieciile cilindrice se mpart n : - drepte cnd axa coincide cu axa polar a elipsoidului sau sferei ;- oblice cnd axele formeaz un unghi ascuit sau obtuz;- transversale cnd axele se interesecteaz sub un unghi drept.Proieciile cilindrice se pot considera un caz particular al celor conice, i anume atunci cndcentrul comun al cercurilor prin care se reprezint paralelele este la infinit.Proieciile cilindrice auo larg aplicabilitate la ntocmirea hrilor de navigaie maritim i aerian.


22/98

22

3.3.3 Proieciile conice

n proieciile conice drepte, reeaua cartografic de meridiane i paralele are urmtorul aspect: paralelele se reprezint prin arce de cercuri concentrice; meridianele se reprezint prin drepte concurente n centrul cercurilor, care

fac ntre ele unghiuri proporionale cu diferenele de longitudine corespunztoare.

paralele

Fig. 3.6.Aspectul reelei cartografice intr-o proiecie conicdreapt

n aceste proiecii suprafaa terestr se consider elipsoid sau sfer. n funcie de orientareaconului fa de elipsoid sau sfer, proieciile conice se mpart n :- drepte cnd axa conului coincide cu axa polar a elipsoidului sau sferei;- oblice cnd axele se intersectaz sub un unghi ascuit sau obtuz;- transversale cnd axele se intersecteaz sub un unghi drept.O larg utilizare la ntocmirea hrilor o au proieciile conice drepte.

3.3.4 Proieciile pseudoconice

Se aseamn cu proieciile conice (drepte) doar prin reprezentarea paralelelor ca arce de cercuriconcentrice, cu centrul situat pe o dreapt care este imaginea meridianului axial. Celelaltemeridiane se reprezint prin linii curbe, simetrice fa de meridianul axialCele mai rspndite proiecii pseudoconice sunt cele echivalente, dintre care cea mai cunoscut

este proiecia pseudoconic Bonn, care a fost utilizat n Romnia.

Fig. 3.7.Aspectul reelei cartografice in proiecia pseudoconic Bonn

meridiane


23/98

23

3.3.5 Proieciile pseudocilindrice

n aceste proiecii, ca i n cazul proieciilor cilindrice, paralelele se reprezint prin drepte paralelentre ele i perpendiculare pe dreapta care este imaginea meridianului axial al zonei cartografiate.

Celelalte meridiane se reprezint prin linii curbe simetrice fa de meridianul axial. n aceast proiecie se menin lingimile pe toate paralelele i pe meridianul mijlociu.Din clasa acestor proiecii face parte proiecia pseudocilindric a lui Sanson, n care meridianelesunt sinusoide, iar pe meridianul axial i pe toate paralelele nu se deformeaz lungimile.

Fig. 3.8. Aspectul reelei cartografice n proiecia pseudocilindric Sanson

3.3.6 Proieciile policonice

n aceste proiecii reeaua normal se reprezint astfel:-paralelele se reprezint prin arce de cercuri excentrice, centrele lor fiind situate pe o dreapt care

reprezint imaginea meridianului axial;-meridianele se reprezint prin curbe simetrice fa de meridianul axial.Din clasa acestor proiecii, cea mai cunoscut este proiecia policonic simpl american, n carelungimile pe meridianul mediu i pe toate paralelele se menin nedeformate.

Fig. 3.9. Aspectul reelei cartografice in proiecia policonic simpl american


24/98

24

3.3.7 Proieciile circulare

Sunt acele proiecii n care imaginile meridianelor i paralelelor sunt cercuri. Dintre proieciilecirculare trebuie amintit proiecia circular conform Lagrange, n care meridianul axial i un

paralel se reprezint prin linii drepte, iar restul meridianelor i paralelelor se reprezint prin

cercuri. Meridianele sunt simetrice fa de meridianul mijlociu.

Fig. 3.10. Aspectul reelei cartografice in proiecia circular Lagrange

iw


25/98

25

Cursul nr.5

PROIECII AZIMUTALE

4.1 Principii de baz i formule generaleProieciile azimutale, numite i zenitale se caracterizeaz printr-un aspect al reelei demeridiane i paralele ca cel prezentat n fig. 4.1.

1

2

3

Z3

Z2

Z1A3A7

-3

-2

-3 3

1

0

P=Q0

A6

A8

A1

A2

A4

A5

Q0

+x

+y

a)

Aspectul general al retelei de meridiane si

paralele intr-o proiectia azimutala dreapta

b)

Aspectul general al retelei de verticaluri si

almucantarate intr-o proiectie azimutala

oblica sau transversala

2

Fig. 4.1. Aspectul general al reelei normale n proieciile azimtale

n proieciile azimutale, Pmntul, considerat de obicei sfer, se reprezint pe un plancare poate fi tangent sau secant la sfer. Poziia planului tangent se stabilete prin

coordonatele o i o ale polului proieciei Q0. Poziia planului secant se stabilete princoordonatele 0, 0 i prin distana zk, a almucantaratului de secionare (fig. 4.2).

Fig. 4.2. Poziia planului de proiecie

Exist situaii, n cartografia matematic, cnd suprafaa terestr este considerat sfer de razR. Aceast variant presupune utilizarea unor formule de calcul simplificate deoarecesuprafaa sferei este mai simpl dect cea a elipsoidului.n particular, dac planul desecionare este paralel cu planul ecuatorului, poziia lui se determin prin latitudinea k, a

paralelului de secionare.Clasificarea proieciilor azimutale :

-n funcie de latitudinea 0a polului Q0proieciileazimutale pot fi: drepte (normale sau polare):0= 90


26/98

26

oblice: 0


27/98


28/98

28

AB - element de arc de meridian pe sfer;BC - element de arc de paralel pe sfer;A, B, C - imaginile plane ale punctelor A, B, C de pe sfer

Modulul de deformaie liniar pe meridian (m):

m =' ' 'm

m

ds A B d d

ds AB Rd d

(4.3)

unde semnul minus de la numrtorse datoreaz faptului c atunci cnd se mrete, semicoreaz.Dac se consider colatitudinea =(90 - ) relaia (4.3) se scrie sub forma :

m ='m

m

ds d

ds Rd

(4.4)

Modulul de deformaie liniar pe paralele(n):

n =' ' '

cos

p

p

ds B C d

ds BC rd r R

(4.5)

unde =

Modulul de deformaie areolar(p):

p = sin sin90m n i m n p m n (4.6)

Deformaiile unghiularemaxime (w):

sin

2

a b

a b sau tg(45

0+

4)

a

b (4.7)

unde a,b sunt semiaxele elipsei de deformaie.

Formulele generale ale proieciilor azimutale drepte pentru reprezentarea elipsoidului derotaie:

Pentru reprezentarea elipsoidului de rotaie terestru n proieciile azimutale drepte, formulelegenerale difer de cele ale sferei doar prin expresia modulilor de deformaie liniar, i anume:

m =

d

Md

d

Md

(4.8)

n =

r N

cos (4.9)

4.3. PROIECII AZIMUTALE OBLICE I TRANSVERSALE


29/98

29

n cazul proieciilor oblice, care reprezint cazul general al proieciilor azimutale,succesiunea calculelor este urmtoarea:

1. suprafaa elipsoidului de rotaie se reprezint pe suprafaa unei sfere;2. coordonatele geografice de pe sfera terestrse transform n coordonate sferice polare

(A, Z);3. se determincoordonatele plane polare (, ) n funcie de coordonatele sferice polare

(A, Z) ;4. se determin coordonatele plane rectangulare (x,y) n funcie de coordonatele plane

polare (, ) ;5. se determinmodulii de deformare i deformaia unghiularmaxim (w).

Formulele generale ale proieciilor azimutale oblice i ale celor transversale n cazulreprezentrii sferei terestre de raz Rsunt:

1

2

1 2 1 2

(90 ) ( )

sin

sin90

A

f Z F Zd

RdZ

R z

p

cos

sin

sin2

454

x

ya b

a b

atg

b

(4.10)

unde se fac urmtoarele nlocuiri :- longitudinea cu azimutul (A);- latitudinea cu diferena (90-Z);

- colatitudinea cu distana zenital (Z);- modulul de deformare liniar pe meridiane (m) cu cu modulul de deformareliniar pe

verticaluri (1);- modulul de deformare liniar pe paralele (n) cu cu modulul de deformare liniar pe

almucantarate (2).Din formule se observ c deformaiile depind numai de latitudine i respectiv numai dedistana zenital (Z), adic de deprtarea fa depolul Q0al proieciei

4.4. PROIECII AZIMUTALE NEPERSPECTIVE

n proieciile azimutaleneperspective pentru determinarea ecuaiilor proieciilor i a reelei

cartografice se ine seama de condiiile de conformitate, echivalen sau echidistan. Laproieciile azimutale neperspectivedrepte sau polarereeaua de meridiane se reprezint

prin drepte convergente ntr-un punct ce reprezint imaginea polului geografic i care seintersecteaz sub unghiuri egale cu diferena longitudinilor meridianelor corespunztoare.Reeaua de paralele este reprezentat de cercuri concentrice cu centrul n punctul deconvergen al meridianelor i pot s fie echidistanate sau nu n funcie de condiiile impuse

proieciei.n cazul acestor proiecii neperspective reeaua principal (reeaua cartografic de meridianei paralele) coincide cu reeaua normal.Ecuaiile generale ale proieciilor azimutale neperspective drepte sau polare n coordonate

polare sunt :

= (4.11)


30/98

30

= f()unde

este unghiul polareste raza vectoare.Polul sistemului de coordonate polare plane este consideratpunctul de convergenal

meridianelor, iar axa polar este chiar meridianul mediu al zonei de reprezentat de la care semsoar longitudinea .Unghiul polar este egal cu longitudinea pentru c prin proiecie s-a stability cmeridianele se intersecteaz sub unghiuri egale cu diferenele de longitudine ale meridianelorcorespunztoare. De aici se trage concluzia c proieciile neperspective azimutale sunt cazuri

particulare ale proieciilor conice n care =1.Funcia = f() se determin pe baza condiiilor de conformitate, echidistan sauechivalen care se impun.Deoarece direciile principale coincid cu meridianele i paralelele, modulii de deformareliniar m i n de pe aceste direcii au valori extreme, adic valoarea maxim este egal cu a iarvaloarea minim cu b (a i b sunt semiaxele elipsei deformaiilor) .n aceste proiecii se mai folosete i sistemul de coordonate rectangulare n care axaabciselor coincide cu axa polar iar originea sistemului este considerat polul sistemului decoordonate sferice polare.

x = cosy = sin (4.12)

Formulele generale ale proieciilor azimutale neperspective drepte n cazulreprezentriisferei terestre de raz R sunt:

( )

cos

sin

cos

f

x

y

dm

Rd

nR

sin2

454

p m n

a b

a b

atg

b

(4.13)

Deformaiile liniare, areolare i unghiulare depind numai de latitudine.Laproieciile azimutale oblice i transversalereeaua normalconine imagineaalmucantaratelor i verticalelor. Imaginea almucantaratelor este format din cercuri rezultatedin intersecia sferei terestre cu plane paralele la planul orizontului locului, iar verticalele sunt

cercuri mari obinute prin intersecia sferei terestre cu plane ce trec prin axa polar, respectiv axa ce trece prin punctul considerat centrul zonei de reprezentat i centrul sferei. n aceste proiecii avem:

verticale reprezentate prin linii convergente ntr-un punct (polul proieciei) i seintersecteaz sub unghiri egale cu diferena azimutelor verticalelor corespunztoare;

almucantarate reprezentate prin cercuri concentrice cu centrul n punctul deconvergen al verticalelor, respectiv polul sistemului oblic sau transversal. Meridianul polului corespunztor sistemului oblic sau transversal este reprezentat printr-olinie dreapt care este axa de simetrie pentru celelalte meridiane. n concluzien proieciile azimutale oblice sau transversale reeaua normal nu coincide cu

reeaua principal i n consecin meridianele i paralelele se reprezintprin curbe oarecare.Formulele generale ale proieciilor azimutale oblicesau transversale sunt:


31/98

31

1

2

1 2

( )

sin

A

f z

d

Rdz

R z

p

cos

sin

sin

2

454

x

y

a b

a ba

tgb

(4.14)


32/98

32

Cursul nr.6 si 7

PROIECII AZIMUTALE PERSPECTIVE

1. Caracteristici generale

Proprietile generale ale proieciilor azimutale sunt valabile i n cazul proieciilor azimutaleperspective.

Caracteristica de baz a acestor proiecii este faptul c utilizeaz legile perspectivei liniare. nlegtur cu acestea se fac urmtoarele precizri:

Pmntul se consider n general sfer de raz R; planul de proiecie, pe care se face reprezentarea, se mai numete iplanul tabloului; diametrul care trece prin polul Q0(0,0), pol ales aproximativ n mijlocul teritoriului

de reprezentat, se numete diametru principal;

pe diametrul principal sau pe prelungirea lui se alege unpunct de vedere(V), a cruidistan fa de centrul sferei se noteaz prinD;

planul de proiecie (planul tabloului) este perpendicular pe diametrul principal, iardistana dintre punctul de vedere i planul de poiecie se noteaz prin K;

dreptele care pornesc din punctul de vedere i trec prin punctele de pe suprafaa sfereiterestre, se numesc drepte proiectante;

imaginea plan a unui punct oarecare B de pe suprafaa terestr este un punct B ncare dreapta proiectant care trece prin B nteap planul tabloului.

OQo

O1

B

B

V

D

K

Fig.6.1 Semnificaia parametrilor D si K

2. Clasificarea proieciilor azimutale perspective

1. Dup valoarea latitudinii 0a polului Q0: drepte;


33/98

33

oblice; transversale.

2. Dup caracterul deformaiilor: conforme;

echivalente; echidistante.

3. Dup poziia planului de proiecie fa de suprafaa sferei terestre:

pe plan tangent; pe plan secant.

4. Dup distana D, dintre punctul de vedere V i centrul O1al sferei terestre: centrale (V1), cnd D = 0;

interioare (V2), cnd 0 D R; stereografice (V3), cnd D = R; exterioare (V4), cnd R D ortografice (V5), cnd D =

n figura de mai jos se arat poziiile punctului de vedere V n aceste cinci categorii deproiectii azimutale perspective i poziiile imaginilor B1

, B2... B5

ale aceluia punct B de pesfera terestr, utiliznd legile perspectivei liniare i lund planul de proiecie tangent la sfer.

O

Q0

V1= O1

V2

V

V4V5

B

R

B

Fig. 6.2 Imaginile plane ale aceluiai punct de pe sfer, n diverse proiecii azimutale perspective

n proiectiile azimutale perspective, poziia reciproc dintre punctul de vedere V, sferaterestr i planul de proiecie (planul tabloului) se definete prin:

coordonatele geografice 0,0 ale polului Q0prin care trece diametrul principal;


34/98

34

distana D dintre punctul de vedere i centrul O1al sferei terestre;

distana K dintre punctul de vedere V i planul de proiecie (planul tabloului). Aceti parametrii odat stabilii, devin constantele proieciei i deosebesc ntre ele diversele

proiecii azimutale perspective.

3. Formule generale pentru calculul coordonatelor plane polare i al celor planerectangulare n proieciile azimutale perspective

Se consider cazul general al unei proiecii azimutale oblice perspective. Dac se secioneaz sfera terestr de raza R cu planul verticalului unui punct oarecare B de pesfer,va rezulta situatia din figura de mai jos, n care:

V este o poziie oarecare pe care o are punctul de vedere pe dreapta care coninediametrul principal Q0Q;

O i B sunt imaginile plane ale punctelor Q0i respectiv B n planul de proiecie; OB

= , reprezint raza vectoare a punctului Bdin plan; Pe sfer, punctul B are distana zenitala Z; MB = RsinZ, reprezint raza almucantaratului care trece prin punctul B; D = VO1, reprezint distana dintre punctul de vedere i centrul sferei; K = VO, reprezintdistana dintre punctul de vedere i plan.

O

B

B

M RM

Q0

z

O1

K

D

V

Fig. 6.3 Seciune prin sfera cu planul verticalului unui punct oarecare

Din triunghiurile asemenea OBV i MBV rezult:

OBMB

OVMV

'

5.10


35/98

35

Adic,

R Z

K

D R Zsin cos

5.11

i n cazul proieciilor azimutale perspective se pastreaz formulele generale pentru calcululcoordonatelor plane i a modulilor de deformaie pentru proieciile azimutale. innd cont deacestea, se obin urmtoarele formule generalepentru calculul coordonatelor plane polare:

= A

=KR Z

D R Z

sin

cos

innd cont de aceste formule de calcul precum i de legtura dintre coordonatele plane

polare i coordonatele plane rectangulare, se obin urmtoarele formule generale pentrucalculul coordonatelor rectangulare plane n orice proiecie azimutal perspectiv:

x = cos =KR Z

D R ZZ A

sin

cossin cos

y = sin =KR Z

D R ZZ A

sin

cossin sin

Unde, D i K sunt constante care caracterizeaz natura proieciei perspective, iarA si Z suntcoordonate sferice polare care definesc pe sfera terestr poziia punctului considerat, n raportcu polul Q(0,0) al proieciei.

4. PROIECIA STEREOGRAFIC 1930 (1933) PE PLANUNIC SECANT BRASOV

Caracteristici generale

n anul 1930 s-a hotrt adoptarea, pentru ara noastr, a unei proiecii stereografice pe planunic secant denumit i pe planul secant Braov, avnd ca pol Q 0(punct central) un punctfictiv (nematerializat n teren), situat aproximativ la 30 km nord-vest de Braov.Coordonatele geografice ale punctului central au valorile:

0= 51G00c00cc,000 (4505400,0000)0= 28G21c00cc,510 est Gr. (2502332,8722)Precizarea plan unic secant Braov se face deoarece, nainte de data introducerii acestei

proiecii, n anumite zone ale rii se lucra pe plan tangent Budapesta (n vestul rii) sau nproiecie stereografic Trgu Mure.

Harta rii, n aceast proiecie stereografic, urma s se sprijine pe o triangulaie nou, motivpentru care s-a adoptat elipsoidul de referin Hayford orientat pe Observatorul Astronomic


36/98

36

Militar din Bucureti. n punctul astronomic fundamental s-au facut murtori astronomicepentru determinarea latitudinii, longitudinii i azimutului care au fost transmise n reeauageodezic de stat.Proiecia fiind stereografic rezult c, din punct de vedere al deformaiilor, se nscrie n seria

proieciilor conforme ceea ce permite ca msurtorilegeodezice efectuate s poat fi

prelucrate direct n planul de proieci, dup aplicarea prealabila unor corecii de reducere lapalnSistemul de axe de coordonate plane stereografic a fost astfel ales nct originea s reprezinteimaginea plan a polului Q0(0, 0), axa Oy s se gaseasc pe direcia nord-sud, cu sensul

pozitiv spre nord, iar axa Ox pe direcia est-vest, cu sensul pozitiv spre est.

Fig.6.4 Sistemul de axe de coordonate n proiecia Stereografic 1930 i sistemul de mprirepe foi

Pentru unele nevoi practice, n scopul de a nu se lucra cu coordonat negative, s -a adoptat otranslaie a sistemului de axe de coordonate cu 500 000 m spre vest i respectiv cu 500 000 mspre sud, astfel c, pentru teritoriul ntregii ri coordonatele plane deveneau positive (fig.5.8).De subliniat faptul c aceste coordonate care au suferit translaii nu se puteau utiliza pentru

orice calcul. De exemplu, nu se puteau utiliza pentru calculul coreciei de reducere la coarda,calculul coreciei de reducere a distanelor la planul de proiecie, calculul deformaiilor etc.Sunt folosite dou plane de proiecie: un plan secant i unul tangent. Pentru un teritoriureprezentat n cele doua plane se obin imagini asemenea, imaginea din planul secant fiindmai mic decat cea din planul tangent.


37/98

37

Fig. 6.5. Utilizarea celor dou planen proiecia Stereografic 1930

Transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent n planul unic secant Braov serealizeaz prin nmulirea coordonatelor din planul tangent cu coeficientul c de reducere ascrii, avnd valoarea:

c = 1 - 1/3000 = 0. 999 666 67

Transformarea coordonatelor stereografice din planul unic secant n planul tangent se faceprin nmulirea celor din planul secant cu coeficientul ccare are valoarea:

c

= 1/c = 1.000 333 44

Deformaii n proiecia Steraografic 1930

n planul tangent deformaiile liniare i areolare din polul Q0sunt nule, iar n toate celelaltepuncte ale planului se produc deformaii pozitive care cresc direct proporional cu ptratuldistanei fa de polul Q0 (punctul central). De exemplu, la distana de 330km fa de polul

proieciei, deformaia relativ este de 67 cm/km.n scopul micorrii deformaiilor s-a adoptatatunci un plan secant n locul celui tangent. n acest caz apare un cerc de deformaie nul cu

raza de 233 km. n planul secant al proieciei stereograficedeformaiile liniare i cele areolaresunt negative pentru zonele situate deasupra planului secant (n interiorul cercului dedeformaie nul) i pozitive pentru zonele situate sub planul secant (n afara cercului dedeformaie nul). Deformaiile cresc n valoare absolut pe masur ce se mrete distana fade cercul de secionare.Deformaiile negative maxime sunt n polul Q0(n originea axelor) i ating valoarea - 33,33cm/km.

Spre zonele limitrofe ale rii, de exemplul la distana de 330 km fa de originea axelor (fade polul Q0), deformaiile din proiecia stereografic pe planul secant Braov au valoarea de+33,56cm/km, iar la distana de 380 km ele ating valori de +55,39cm/km.

Seciuni geodezice i seciunile topografice (cadastrale) n proiecia Stereografic 1930


38/98

38

O hart a rii la scara 1:20 000 realizat pe o foaie unic ar avea dimensiunile de aproximativ40x30 m (Fig.5.8). Din aceast cauz, ar fi foarte greu de lucrat cu ea i atunci s -a recurs lamprirea ntregii suprafee a riin seciuni-prin ducerea de drepte paralele la cele dou axede coordonateXi Y.

Trasndu-se paralele la axele de coordonate pe direcia abscisei din 75 n 75 km, iar pedirecia ordonatei din 50 n 50 km, s-a obinut scheletul hrii rii la scara 1:100 000. Undreptunghi rezultat din aceast trasare a paralelelor reprezint o hart topografic la scara1:100 000. Dac se traseaz paralele pe direcia absciselor din 15 n 15 km, iar pe direciaordonatei din 10 n 10 km, se obine scheletul hrii de baz a Romniei la scara 1:20 000. n harta topografic la scara 1:100 000 se includ deci 25 de hri la scara1:20 000.

n cazul n care se traseaz paralelele din 8 n 8 km pe direcia Xi din 10 n 10 km pe direciaY , se obine scheletul hrii rii n seciuni geodezice sau foile fundamentale ale planurilorcadastrale de dimensiunile 8x10 km.

Prin mprirea seciunii geodezice n 5 pri egale pe orizontal i 8 pri pe vertical se obin

40 de seciuni cadastrale.

O seciune geodezic = 8 km x 10 km = 80 km2= 8 000 haO seciune geodezic = 10 seciuni cadastrale O seciune cadastral = 1 600 m x 1 250 m = 20 ha.

Formatul hrilor n aceast proiecie este dreptunghiular.

ELEMENTELE CARACTERISTICE PROIECIEI STEREO1970

1 Caracteristici generale

n septembrie 1970, prin decretul nr.305 cu privire la activitatea geodezic, topo-fotogrametricsi cartografic, precum i la procurarea, deinerea i folosirea datelor idocumentelor rezultate din aceast activitate se prevedea ca:Lucrrile geodezice, topo-fotogrametrice i cartografice necesare economiei naionale seexecut n proieie stereografic 1970 i sistem de cote de referi Marea Neagr.Pentru nevoile de aprare i securitate, precum i pentru cele necesare activitilor

tiiifice, nvmntului, uzului public i propagandei, aceste lucrri vor fi executate i n

alte sisteme de proiecie.

Conform prevederilor decretului menionat, obligaia de a stabili parametrii care scaracterizeze noul sistem de proiecie stereografic 1970 i-a revenit Direciei de geodezie icadastru din Ministerul Agriculturii, Industriei Alimentare i Apelor. n 1972, au fot stabilite urmtoarele elemente care s caracterizeze proiecia stereografic1970:

Se menine elipsoidul de referin Krasovski (1940), orientat la Pulkovo ca i n cazulproieciei Gauss-Kruger;

2) Polul Q0al proieciei, denumit i centrul proieciei are coordonatele geografice:


39/98

39

0= 46oLat. N0= 25oest Greenwich

Fig. 6.6. Cercul de deformaie nul n proiecia Stereografic 1970

Aceste coordonate difer puin de cele ale polului vechiului sistem de proiecie stereografic(1933) utilizat n trecut n ara noatr.Noul pol este deplasat spre nord-vest fa de cel vechi.

ntreaga ar se reprezint pe un singur plan de proiecie, n care exist un cerc dedeformaie nul cu raza 0 = 201,718 m ceea ce corespunde unui sistem secant, n careexist deformaii pozitive i negative, avnd cele mai mari deformaii negative, de -25 cm/km,n punctul central.

Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane are ca origine imaginea plan apunctului central (fig. 5.10). Astfel:

Axa Ox este o dreapt reprezentnd imaginea meridianului 0, ea fiind i ax de simetrie. Aresensul pozitiv spre nord.

Axa Oy este perpendicular pe axa Ox i are sensul pozitiv spre est.Sistemul de coordonate plane xOy folosit de proiecia stereografic 1970 este inversat fa desistemul de axe din vechea proiecie sterografic 1930-1933.

Paralel cu planul secant se utilizeaz i un plantangent la ellipsoid, acesta constituindo suprafa auxiliar. Imaginile din cele doua planesunt asemenea, cea din planul secant fiind mai mic (avnd scara micorat). Pentru trecereade la coordonatele din planul tangent la cele din planul secant se folosete un coeficient dereducere la scar:

c = 1 -1

40000 99975 ,

Relaiile dintre coordonatele aceluiai punct din cele dou plane de proiecie se exprimastfel:

xsec= xtgc

ysec= ytgc


40/98

40

6) Transformarea coordonatelor stereografice din planul secant n cel tangent se facenmulind aceste coordonate cu coeficientul:

c=1

c 1, 000 250 063

Sistemul de proiecie stereografic 1970 a nceput s fie utilizat n lucrrile de produciecurent, din ara noastr, din anul 1973.

Condiii impuse reprezentrii n proiecia stereografic 1970:Ecuaiile hrii au fost stabilite astfel ncat reprezentarea s satisfac urmtoarele condiii de

baz:

1. S fie conform;

2. Meridianul ocare trece prin punctul central se reprezint printr-o dreapt care este i axde simetrie i ax Ox, iar originea O este imaginea plan a polului Q0;

3. Orice punct situat pe meridianul central o are abscisa:

xm= sR0tg

20

R

m

O

V

B

B

O1

R0

/R0

/2R0

Fig.6.7. Seciune meridian prin sfera de raz R0

n figura de mai sus este reprezentat seciunea meridian printr-o sfer de raz R0 luat lalatitudinea 0 = 46oN.B - este un punct oarecare pe sfer;R0- raza sferei la latitudinea 0 = 46oN;


41/98

41

B- imaginea lui B n planul tangent de proiecie;

- lungimea arcului de meridian msurat pe elipsoid ntre paralelul de latitudine 46 0 iparalelul de latitudine a punctului considerat.Relaia (5.15) mpreun cu figura (5.11) amintesc de expresia razei vectoare din proieciaazimutal stereografic pe plan tangent.

Coordonatele stereografice 1970 calculate n sistemul de axe de coordonate cu originea ncentrul rii sunt modificate cu + 500 000 m att pe x ct i pe y, ceea ce corespunde uneitranslaii a axelor spre sud i vest. Acest lucru se face pentru a avea coordonate pozitive.

y

y

x x

O

O

500 000

500 000

Fig. 6.8. Translaia sistemului de axe de coordonate rectangulare plane n proieciaSterografic 1970

Coordonatele x

,y

afectate de translaii potfi utilizate pentru o serie de calcule cum sunt: calculul distanei funcie de coordonate;

calculul orientrilor funcie de coordonate;

calculul ariei unei parcele n funcie de coordonatele plane ale colurilor ei.

Este complet interzis s se foloseasc coordonatele x, ycare au translaii pentru o serie decalcule cum sunt:

transformarea coordonatelor plane stereografice n coordonate geografice;

transcalcularea coordonatelor din proiecie stereografic n proiecie Gauss-Kruger saun alte proiecii;

reducerea direciilor sau distanelor la planul de proiecie .

2 Transformri de coordonate n proiecia Stereografic 1970

A. Transformarea coordonatelor geografice ( ,) de pe elipsoidulde referin n coordonate plane Stereografice 1970 (x, y):


42/98

42

Aceast transformare se face cu ajutorul unor formule cu coeficieni constani, n funcie delatitudinea i de longitudinea l dintre punctul considerat (,) i punctul central al

proieciei (polul Q0cu coordonatele geografice 0,0).n acest calcul se pot deosebi dou etape:

transformarea coordonatelor geografice n coordonate stereografice pe planul tangent

n Q0( acest calcul este cel mai laborios); transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent n planul secant, paralel

cu planul tangent; aceast a doua etap, extrem de simpl, se realizeaz prin nmulireacoordonatelor din planul tangent cu un coeficient de reducere a scrii, care este subunitar idepinde de distana dintre planul tangent i cel secant.Formulele de calcul s-au stabilit dup o metod propus de academicianul bulgarV.K.HRISTOV, metoda care, n esen, const n dezvoltarea n serie Taylor, n jurul

punctului central (0, 0), a elementelor care depind de latitudine. Derivatele respective,calculate n punctul central (0, 0) apar sub forma unor constante, care se grupeazconvenabil sub form de coeficieni constani.Reprezentarea trebuie s satisfac urmatoarele condiii:

s fie conform; meridinul 0care trece prin polul Q0(centrul proieciei) s se reprezinte printr-o dreapt care

se ia ca ax xx, cu sensul pozitiv spre nord, fiind i ax de simetrie; originea O a sistemului de coordonate stereografice este imaginea plan a punctului central,

iar un punct oarecare B (,) situat pe meridianul central 0are coordonata xm dat de relaia:

xm= 2R0tg/2R0

unde,

R0- este raza sferei Gauss la latitudinea 0;

- este un arc de meridian, a crui lungime este egal cu cea a arcului de meridian de peelipsoid,cuprins ntre paralele 0 i .Prin urmare, pentru un elipsoid dat i o latitudine 0 stabilit pentru centru de proiecie,coeficienii utilizai n formulele pentru calculul coordonatelor plane stereografice 1970, auvalori constante. n cazul de fa, pentru elipsoidul Krasovski i latitudinea 0 = 460 s-aucalculat urmatoarele valori numerice pentru coeficientii constani prezentate n foia de calcul,n coloanele 2, 3, 4, 5 din tabelul 1 i n coloanele 2, 3, 4 din tabelul doi.Pentru ara noastr, i mai ales (- 0)pot atinge valori mai mari dect 10 000. Astfelde numere ridicate la puterile 5 i 6 devin incomode, din cauza mrimii lor, n timp cecoeficienii constani sunt foarte mici. nscopul evitrii acestui inconvenient, n formule s-a

considerat:

f = 10-4

l = 10-4(- 0)

Aceste valori ale coeficienilor constani, pentru transformarea coordonatelor geografice (,)n coordonate plane stereografice pe un plan tangent,la latitudinea 0= 460, au fost calculatela I.G.F.C.O.T. (Bucureti).Practic, procedeul de calcul pentru x este urmtorul: Elementele coloanei 1 se nmulesc cu elementele corespunztoare (de pe aceeai linie) dincoloana 2, se nsumeaz algebric obinndu-se valoarea S0, care se nmulete cu primul

element din coloana 6, obinndu-se primul rezultat partal r0. Asemntor, din coloanele 1 i


43/98

43

3, 1 i 4, 1 i 5, 1 i 6 se obin S 2, S4, S6care se nmulesc cu elementele coloanei 6 rezultndr2, r4, r6.

nsumnd algebric rezultatele din coloana 7, se obine valoarea lui x tg, din planul tangent deproiecie stereografic apoi, prin nmulirea acestuia cu coeficientul c = 0, 999 750 000, seobine valoarea lui x n planul secant de proiecie stereografic 1970.

Calculul lui y se face asemntor cu cel a lui x. Procedeul asigur o precizie de ordinul a 1 cm pentru orice punct din ara noastr.

B. Transformarea coordonatelor rectangulare plane Stereografice 1970 (x,y) ncoordonate geografice ( ,), pe elipsoidul de referin:Acest calcul presupune dou etape:

etapa nti, de transformare a coordonatelor stereografice din planul secant n planultangent, paralel cu cel secant, prin nmultirea cu un coeficient supraunitar:

c= 1, 000 250 063

etapa a doua, mai laborioas, const n transformarea coordonatelor stereografice dinplanul tangent, n coordonate geografice (,) pe elipsoidul de referin; aceast problem serezolv cu ajutorul unor formule cu coeficieni constani, stabilite ntr-un mod asemntor, n

principiu, cu formulele pentru calculul coordonatelor plane stereografice.

Se calculeaz nti diferena de coordonate i l fa de centrul proieciei (0,0), apoicoordonatele geografice:

= 0+ = 0+ l 5.19

Pentru elipsoidul Krasovski i 0= 460, coeficienii constani sunt prezentai n tabelele 2, 3, 4din foaia de calcul de mai jos.

Valorile pentru coeficienii constani au fost calculate la I.G.F.C.O.T. (Bucureti).Procedeul de calcul pentru i este acelai ca n cazul calcului coordonatelor planerectangulare.

C. Transcalcularea coordonatelor plane Gauss n coordonate planestereografice 1970 i invers:

Transformarea coordonatelor plane Gauss n oordinate plane stereografice 1970 se face prinintermediul coordonatelor geografice.Metoda presupune dou etape:a) n prima etap, se transform coordonatele plane Gauss n oordinate pe elipsoidul dereferin;

b) n a doua etap, coordonatele geografice de pe oordinat se transform n oordinateplane stereografice 1970.

Pentru transcalcularea coordonatelor plane stereografice 1970 n oordinate plane Gauss seprocedeaz n acelai fel ca i n primul caz.Calculul este oordi i omogen pentru toat ara deoarece ambele proiecii folosesc acelai

oordinatKrasovski 1940cu aceeai orientare.n producie, pentru unele lucrri mai puin pretenioase sub aspectul preciziei, se aplicformulele de transcalculare din topografie, folosind drept puncte cu oordinate i ambele


44/98

44

sisteme de proiecie colurile trapezelor, pentru care att coordonatele plane Gauss, ct i celeplane stereogarfice 1970 se extrag din tabele.

Aceast metod este mai rapid, ns cea mai riguroas este metoda prin intermediulcoordonatelor geografice.

3 Reducerea direciilor la planul de proiecie Stereografic 1970

Reducerea direciilor la planul de proiecie este operaia de corectare a direciilor msurate nreeaua geodezic de stat prin aplicarea unor corecii unghiulare numite corecii dereducere la coard. Aceast operaie este necesar deoarece, n planul de proiecte, imaginile

plane ale laturilor triunghiurilor geodezice nu sunt linii ci sunt curbe.

Pentru stabilirea formulei de calcul a acestei corecii, se consider pe sfera de raz medie R0triunghiul sferic B1B2Q0, n care B1i B2sunt extremitile unei direcii msurate (capeteleunei laturi de triangulaie), iar Q0(0,0) este polul proieciei.

Fig. 6.9 Reprezentarea liniilor geodezice (pe elipsoid i n planul de proiecie)

Pentru reprezentarea n plan a acestui triunghi sferic se au n vedere urmatoarele proprietiale proieciei stereografice:

proiecia este conform; cercurile mari care trec prin Q0(verticaluri) se reprezint prin segmente de dreapt care trec

prin originea O;

un arc de cerc se va reprezenta tot printr-un arc de cerc (excepie fac verticalurile).Imaginile plane ale vrfurilor triunghiului sferic sunt punctele B1

, B2 i O. Arcele de cerc

B1Q0i B2Q0, aparinnd unor verticaluri ale polului Q0, se reprezint prin dreptele B1O i

B2

O, care fac ntre ele un unghi , egal cu cel corespunztor de pe sfer, iar linia geodezic

Q0(0, 0)

0

0

B

B2

a e eli soid sfer

1221

B

B

b) n planul de proiecie

O

+x

+y


45/98

45

B1B2de pe sfera, fiind un arc mare care nu trece prin polul Q0, se reprezint n plan prin arculde cerc B1

B2cu concavitatea spre interiorul triunghiului.

n punctele B1i B2

el face cu coarda sa unghiurile:

1,2= 2,1

egale n valoare absolut cu coreciile de reducere la coarda ale directiilor B1B2i respectivB2B1.

Suma unghiurilor triunghiului sferic B1B2Q0este egal cu 200G+ , unde este excesul sferic.

Proiectia fiind conform, ungiurile imaginii plane a acestui triunghi sferic trebuie s fienedeformate, adic :

200G+ 1,2+ 2,1= 200G+

1,2= 2,1= /2

=s

R0

2, =

s

R0

2

n care, S este suprafaa triunghiului sferic B1B2Q0.Corecia de reducere la coard avnd valori relativi mici, s-a nlocuit suprafaa triunghiuluisferic cu suprafaa triunghiului plan B1

B2O.

S S1=1001

1

2

122

11

yx

yx

=22

11

2

1

yx

yx

=

1

2 (x1y2- x2y1)

Avnd n vedere faptul c orientrile i gradaiile cercurilor orizontale ale teodolitelor cresc nsensul micrii acelor de ceasornic, rezult c pentru direcia B1B2semnul corectei trebuie sfie pozitiv n B1

i negativ n B2

:

1,2= - 2,1="

40

2R

(x1y2- x2y1)

Prin analiza unui caz concret, se vede c formula de calcul a coreciei de reducere la coardasigur i semnul coreciei.O examinare a diverselor situaii din ara noatr indic folosirea razei R0la latitudinea de 46

0:

R0(460) = 6 378 956m.

Termenul din faa parantezei fiind constant rezult:

pentru gradaia centesimal:

1,2= - 2,1= 10-1039,113(x1y2- x2y1)

pentru gradaia sexagesimal:


46/98

46

1,2= - 2,1= 10-1012,673(x1y2- x2y1)

Calculul coreciilor de reducere la coard impune cunoaterea unor coordonate aproximative(cu aproximaia de ordinul metrilor) att ale punctului de staie, ct i ale punctului vizat. n

cazul punctelor noi, procesul este iterativ n sensul c: se calculeaz ntr-o prim etapcoordonatele provizorii cu ajutorul diretiilor nereduse, cu ajutorul acestora se calculeazcoreciile de reducere la coard, direciile reduse vor folosi apoi la c alculul unui nou set decoordonate.

Procedeul si formulele de calcul ale corectiei de reducere la coarda asigura o precizie de0,01.

Corectitudinea coreciilor se poate verifica pe triunghiuri, cu ajutorul triunghiului sferic.

Fig.7.1 Verificarea coreciilor de reducere la coard

(i,j)r= (i,j)m+ i,j

unde,

(i,j)r- este direcia redus la coard;(i,j)m- este direcia msurat, neredus la coard.

1+ 2+ 3=1800+

1+ 2+ 3=1800

unde,

1

2

3

1

2

31

3

2+x

+yO


47/98

47

- este unghiul obinut din direciile reduse la coard; - este unghiul obinut din direciile msurate.

Va rezulta relaia:(13- 12) + (21- 23) +(32- 31) = -Regul practic de verificare: n orice triunghi geodezic, suma coreciilor de reducere adireciilor la planul de proiecie pentru cele trei unghiuri trebuie s fie egal cu excesul sferical triunghiului respectiv luat cu semn schimbat.

4. Reducerea distanelor la planul de proiecie Stereografic 1970

Calculul respectiv se poate separa n dou etape:

1. reducerea unei distane de pe elipsoid (sfera terestr) la planul tangent n Q0(0,0);2. reducerea distanei din planul tangent n Q0la planul secant, paralel cu cel tangent.

Fig. 7.2. Imaginea plan a linie geodezice de pe elipsoid

Curba 1-2 are lungimea i reprezint imaginea plan a liniei geodezice. Coarda 1-2 arelungimea S. Pe elipsoid (sfera terestr) linia geodezic are lungimea s.In aproximaia = S, se pune problema gsirii unei legturi ntre s i S. Plecnd de la expresia modulului de deformaie liniar din proiecia stereografic pe plantangent se va ajunge la expresia:

s

S Rx y

Sm m

1

1

4 120

2

2 22

( )

Dezvoltnd paranteza dup binomul lui Newton la puterea -1 i nlocuind S2 = x2 + y2,distana S redus la planul tangent se calculeaz cu formula:

S

1 x

2 (x2;y2)

O +y

+x


48/98

48

s

S

x y

R

x y

R

m m

1

4 48

2 2

0

2

2 2

0

2

unde,xm, ymsunt coordonatele medii ale unui punct situat la mijlocul segmentului 1-2

x, y sunt diferenele de coordonate ntre punctele 1i 2.

Distana S0redus la planul secant se calculeaz cu relaia:

S0= Sc

n care c este coeficientul subunitar utilizat pentru transformarea coordonatelor stereograficedin planul tangent n cel secant (c = 0,999 750 000).Coordonatele plane xm, ymi diferenele de coordonate

x = x2- x1y = y2- y1este suficient s se cunoasc cu o aproximaie de ordinul metrilor.Valoarea

S2= x2+ y2

necesar pentru calculul ultimului termen corectiv poate fi nlocuit cu valoarea s2 de peelipsoid sau sfer.

5. Deformaii n proiecia Stereografic 1970

Proiecia stereografic 1970, fiind o proiecie conform, nu deformeaz unghiurile. Sedeformeaz, n schimb, lungimile i ariile.

Deformaiile distanelor

Pornind de la formulele stabilite la prezentarea unei proiecii stereografice a unei sfere pe unplan tangent va rezulta:

= A

= 2R0tgL

R20

tg x = x + 1/3 x3+ 2/15 x5+.........

tg L

R

L

R

L

R

L

R2 2

1

3 8

2

15 2160 0

3

0

3

5

0

5 .........

tg

L

R R L

L

R

L

R2

1

2 12 1200 0

3

0

2

5

0

4 ( )


49/98

49

= 2R01

2 12 1200

3

0

2

5

0

4R

L L

R

L

R( )

= L

L

R

L

R

3

0

2

5

0

412 120

Deformaia total va fi:

-L LR

L

R

3

0

2

5

0

412 120

Dac notm deformaia liniar din planul tangent cu Ti pe cea din planul secant cu Sseobine:

T=d

dL

dL L

RdL L

RdL

dL

2

0

2

4

0

24 24

T= 14 24

2

0

2

4

0

4

L

R

L

R,

ultimul termen din relatia de mai sus poate fi neglijat deoarece:

L = 400km

R0= 6 000km

Dac pentru calculul termenului L2/4R02se face aproximarea:

L22= x2+ y2,

atunci se obine :

T= 14 24

14

2

0

2

4

0

4

2 2

0

2

R R

x y

R

n care x i y sunt coordonatele rectangulare plane stereografice ale punctului n care secalculeaz valoarea lui .Calculul deformaiei liniare n plan secant se face folosind coeficientul de reducere la scar c= 0,99975:

S = T cxtg= xsec/c

S= c x y

cR

( )sec

2 2

0

24


50/98

50

ytg= ysec/c

Pentru latitudinea medie a rii noastre, 0= 460

S= 0,99975 + 6,145 388 10 -15(x2+ y2)sec

Deformaiile liniare relative se calculeaz cu formulele:

n plan tangent:

Dt= T - 1 =

( )x y

R R

tg tg

2 2

0

2

2

0

24 4

n plan secant

Ds= S - 1 = ( )( )

secc x y

cR

1

4

2 2

0

2

Ds= -0,000 25 + 6,145 388 10

-15(x

2+ y

2)

sec

Deformaiile ariilor:

Deformaiile areolare au acelai semn cu cele liniare, iar valoarea modulului de deformaieareolar poate fi calculat cu ajutorul relaiei:

p = 2

Concluzii privind deformaiile n proiecia Stereografic 1970

n planul tangent, toate deformaiile sunt oordina i sunt direct proporionale cu ptratuldistanei de la oordina considerat la originea axelor.n planul secant, exist att deformaii pozitive ct i deformaii negative. Fiind vorba de un

plan secant, exist un cerc de deformaie nul, cu raza de aproximativ 201,7km. n oricare alt punct din interiorul cercului de deformaie nul deformaiile liniare i areolaresunt negative. Cele mai mari deformaii negative sunt n polul Q0 (originea axelor de

oordinate plane) i au valoarea de -25 cm/km.n oricare alt punct oordin n afara cercului de deformaie nul deformaiile sunt oordina icresc pe msur ce se mrete distana fa de acest cerc. Pe o mare parte din regiunea defrontier a rii deformaiile au valori n jurul a 20 cm/km. n extremitatea vestic a rii, sprelocalitatea Beba Veche i n estul Dobrogei (teritorii situate la circa 375 km fade oordina

central) deformaiile au valori de aproximativ 63,7 cm/km.Izoliniile referitoare la deformaii au aspectul unor cercuri concentrice cu centrul n origineaaxelor de oordinate plane.

6. Cadrul i nomenclatura foilor planurilor i hrilor topografice n proieciaStereografic 1970

n vederea simplificrii racordrii ntre vechile foi de plan executate n proiecia Gauss i celenoi, care se execut n proiecie stereografic, s-au pastrat cadrul geografic i nomenclaturatrapezelor la fel ca i n proiecia Gauss.


51/98

51

Hrile i planurile topografice au, n general, un cadru geografic format din imaginile planeale unor arce de meridiane i paralele, care. pe elipsoidul de rotaie, delimiteaz trapezecurbilinii, denumite n mod curent trapeze.Fiecare trapez are o anumit nomenclatur i se reprezint pe o foaie de hart separat. Cunoscnd regulile dup care se face nomenclatura trapezelor, dac se d nomenclatura unui

trapez se pot deduce, fara dificulti: scara hrii (planului) coordonatele geografice ale colurilor nomenclatura trapezelor vecine

Pentru c dimensiunile i nomenclatura trapezelor sunt strns legate de scar, a fost necesar sse standardizeze valorile scrilor asfel c, se folosesc urmatoarele scri standard:1:1 000 000, 1:500 000, 1:200 000, 1;100 000, 1:50 000, 1;25 000, 1:10 000, 1:5 000, 1:2 000,

ultimele trei sunt scrile planurlor topografice de baz ale rii.


52/98

52

Cursul nr.6 si 7

PROIECII AZIMUTALE PERSPECTIVE

1. Caracteristici generale

Proprietile generale ale proieciilor azimutale sunt valabile i n cazul proieciilor azimutaleperspective.

Caracteristica de baz a acestor proiecii este faptul c utilizeaz legile perspectivei liniare. nlegtur cu acestea se fac urmtoarele precizri:

Pmntul se consider n general sfer de raz R; planul de proiecie, pe care se face reprezentarea, se mai numete iplanul tabloului; diametrul care trece prin polul Q0(0,0), pol ales aproximativ n mijlocul teritoriului

de reprezentat, se numete diametru principal;

pe diametrul principal sau pe prelungirea lui se alege unpunct de vedere(V), a cruidistan fa de centrul sferei se noteaz prinD;

planul de proiecie (planul tabloului) este perpendicular pe diametrul principal, iardistana dintre punctul de vedere i planul de poiecie se noteaz prin K;

dreptele care pornesc din punctul de vedere i trec prin punctele de pe suprafaa sfereiterestre, se numesc drepte proiectante;

imaginea plan a unui punct oarecare B de pe suprafaa terestr este un punct B ncare dreapta proiectant care trece prin B nteap planul tabloului.

OQo

O1

B

B

V

D

K

Fig.6.1 Semnificaia parametrilor D si K

2. Clasificarea proieciilor azimutale perspective

1. Dup valoarea latitudinii 0a polului Q0: drepte;


53/98

53

oblice; transversale.

2. Dup caracterul deformaiilor: conforme;

echivalente; echidistante.

3. Dup poziia planului de proiecie fa de suprafaa sferei terestre:

pe plan tangent; pe plan secant.

4. Dup distana D, dintre punctul de vedere V i centrul O1al sferei terestre: centrale (V1), cnd D = 0;

interioare (V2), cnd 0 D R; stereografice (V3), cnd D = R; exterioare (V4), cnd R D ortografice (V5), cnd D =

n figura de mai jos se arat poziiile punctului de vedere V n aceste cinci categorii deproiectii azimutale perspective i poziiile imaginilor B1

, B2... B5

ale aceluia punct B de pesfera terestr, utiliznd legile perspectivei liniare i lund planul de proiecie tangent la sfer.

O

Q0

V1= O1

V2

V

V4V5

B

R

B

Fig. 6.2 Imaginile plane ale aceluiai punct de pe sfer, n diverse proiecii azimutale perspective

n proiectiile azimutale perspective, poziia reciproc dintre punctul de vedere V, sferaterestr i planul de proiecie (planul tabloului) se definete prin:

coordonatele geografice 0,0 ale polului Q0prin care trece diametrul principal;


54/98

54

distana D dintre punctul de vedere i centrul O1al sferei terestre;

distana K dintre punctul de vedere V i planul de proiecie (planul tabloului). Aceti parametrii odat stabilii, devin constantele proieciei i deosebesc ntre ele diversele

proiecii azimutale perspective.

3. Formule generale pentru calculul coordonatelor plane polare i al celor planerectangulare n proieciile azimutale perspective

Se consider cazul general al unei proiecii azimutale oblice perspective. Dac se secioneaz sfera terestr de raza R cu planul verticalului unui punct oarecare B de pesfer,va rezulta situatia din figura de mai jos, n care:

V este o poziie oarecare pe care o are punctul de vedere pe dreapta care coninediametrul principal Q0Q;

O i B sunt imaginile plane ale punctelor Q0i respectiv B n planul de proiecie; OB

= , reprezint raza vectoare a punctului Bdin plan; Pe sfer, punctul B are distana zenitala Z; MB = RsinZ, reprezint raza almucantaratului care trece prin punctul B; D = VO1, reprezint distana dintre punctul de vedere i centrul sferei; K = VO, reprezintdistana dintre punctul de vedere i plan.

O

B

B

M RM

Q0

z

O1

K

D

V

Fig. 6.3 Seciune prin sfera cu planul verticalului unui punct oarecare

Din triunghiurile asemenea OBV i MBV rezult:

OBMB

OVMV

'

5.10


55/98

55

Adic,

R Z

K

D R Zsin cos

5.11

i n cazul proieciilor azimutale perspective se pastreaz formulele generale pentru calcululcoordonatelor plane i a modulilor de deformaie pentru proieciile azimutale. innd cont deacestea, se obin urmtoarele formule generalepentru calculul coordonatelor plane polare:

= A

=KR Z

D R Z

sin

cos

innd cont de aceste formule de calcul precum i de legtura dintre coordonatele plane

polare i coordonatele plane rectangulare, se obin urmtoarele formule generale pentrucalculul coordonatelor rectangulare plane n orice proiecie azimutal perspectiv:

x = cos =KR Z

D R ZZ A

sin

cossin cos

y = sin =KR Z

D R ZZ A

sin

cossin sin

Unde, D i K sunt constante care caracterizeaz natura proieciei perspective, iarA si Z suntcoordonate sferice polare care definesc pe sfera terestr poziia punctului considerat, n raportcu polul Q(0,0) al proieciei.

4. PROIECIA STEREOGRAFIC 1930 (1933) PE PLANUNIC SECANT BRASOV

Caracteristici generale

n anul 1930 s-a hotrt adoptarea, pentru ara noastr, a unei proiecii stereografice pe planunic secant denumit i pe planul secant Braov, avnd ca pol Q 0(punct central) un punctfictiv (nematerializat n teren), situat aproximativ la 30 km nord-vest de Braov.Coordonatele geografice ale punctului central au valorile:

0= 51G00c00cc,000 (4505400,0000)0= 28G21c00cc,510 est Gr. (2502332,8722)Precizarea plan unic secant Braov se face deoarece, nainte de data introducerii acestei

proiecii, n anumite zone ale rii se lucra pe plan tangent Budapesta (n vestul rii) sau nproiecie stereografic Trgu Mure.

Harta rii, n aceast proiecie stereografic, urma s se sprijine pe o triangulaie nou, motivpentru care s-a adoptat elipsoidul de referin Hayford orientat pe Observatorul Astronomic


56/98

56

Militar din Bucureti. n punctul astronomic fundamental s-au facut murtori astronomicepentru determinarea latitudinii, longitudinii i azimutului care au fost transmise n reeauageodezic de stat.Proiecia fiind stereografic rezult c, din punct de vedere al deformaiilor, se nscrie n seria

proieciilor conforme ceea ce permite ca msurtorilegeodezice efectuate s poat fi

prelucrate direct n planul de proieci, dup aplicarea prealabila unor corecii de reducere lapalnSistemul de axe de coordonate plane stereografic a fost astfel ales nct originea s reprezinteimaginea plan a polului Q0(0, 0), axa Oy s se gaseasc pe direcia nord-sud, cu sensul

pozitiv spre nord, iar axa Ox pe direcia est-vest, cu sensul pozitiv spre est.

Fig.6.4 Sistemul de axe de coordonate n proiecia Stereografic 1930 i sistemul de mprirepe foi

Pentru unele nevoi practice, n scopul de a nu se lucra cu coordonat negative, s -a adoptat otranslaie a sistemului de axe de coordonate cu 500 000 m spre vest i respectiv cu 500 000 mspre sud, astfel c, pentru teritoriul ntregii ri coordonatele plane deveneau positive (fig.5.8).De subliniat faptul c aceste coordonate care au suferit translaii nu se puteau utiliza pentru

orice calcul. De exemplu, nu se puteau utiliza pentru calculul coreciei de reducere la coarda,calculul coreciei de reducere a distanelor la planul de proiecie, calculul deformaiilor etc.Sunt folosite dou plane de proiecie: un plan secant i unul tangent. Pentru un teritoriureprezentat n cele doua plane se obin imagini asemenea, imaginea din planul secant fiindmai mic decat cea din planul tangent.


57/98

57

Fig. 6.5. Utilizarea celor dou planen proiecia Stereografic 1930

Transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent n planul unic secant Braov serealizeaz prin nmulirea coordonatelor din planul tangent cu coeficientul c de reducere ascrii, avnd valoarea:

c = 1 - 1/3000 = 0. 999 666 67

Transformarea coordonatelor stereografice din planul unic secant n planul tangent se faceprin nmulirea celor din planul secant cu coeficientul ccare are valoarea:

c

= 1/c = 1.000 333 44

Deformaii n proiecia Steraografic 1930

n planul tangent deformaiile liniare i areolare din polul Q0sunt nule, iar n toate celelaltepuncte ale planului se produc deformaii pozitive care cresc direct proporional cu ptratuldistanei fa de polul Q0 (punctul central). De exemplu, la distana de 330km fa de polul

proieciei, deformaia relativ este de 67 cm/km.n scopul micorrii deformaiilor s-a adoptatatunci un plan secant n locul celui tangent. n acest caz apare un cerc de deformaie nul cu

raza de 233 km. n planul secant al proieciei stereograficedeformaiile liniare i cele areolaresunt negative pentru zonele situate deasupra planului secant (n interiorul cercului dedeformaie nul) i pozitive pentru zonele situate sub planul secant (n afara cercului dedeformaie nul). Deformaiile cresc n valoare absolut pe masur ce se mrete distana fade cercul de secionare.Deformaiile negative maxime sunt n polul Q0(n originea axelor) i ating valoarea - 33,33cm/km.

Spre zonele limitrofe ale rii, de exemplul la distana de 330 km fa de originea axelor (fade polul Q0), deformaiile din proiecia stereografic pe planul secant Braov au valoarea de+33,56cm/km, iar la distana de 380 km ele ating valori de +55,39cm/km.

Seciuni geodezice i seciunile topografice (cadastrale) n proiecia Stereografic 1930


58/98


59/98

59

0= 46oLat. N0= 25oest Greenwich

Fig. 6.6. Cercul de deformaie nul n proiecia Stereografic 1970

Aceste coordonate difer puin de cele ale polului vechiului sistem de proiecie stereografic(1933) utilizat n trecut n ara noatr.Noul pol este deplasat spre nord-vest fa de cel vechi.

ntreaga ar se reprezint pe un singur plan de proiecie, n care exist un cerc dedeformaie nul cu raza 0 = 201,718 m ceea ce corespunde unui sistem secant, n careexist deformaii pozitive i negative, avnd cele mai mari deformaii negative, de -25 cm/km,n punctul central.

Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane are ca origine imaginea plan apunctului central (fig. 5.10). Astfel:

Axa Ox este o dreapt reprezentnd imaginea meridianului 0, ea fiind i ax de simetrie. Aresensul pozitiv spre nord.

Axa Oy este perpendicular pe axa Ox i are sensul pozitiv spre est.Sistemul de coordonate plane xOy folosit de proiecia stereografic 1970 este inversat fa desistemul de axe din vechea proiecie sterografic 1930-1933.

Paralel cu planul secant se utilizeaz i un plantangent la ellipsoid, acesta constituindo suprafa auxiliar. Imaginile din cele doua planesunt asemenea, cea din planul secant fiind mai mic (avnd scara micorat). Pentru trecereade la coordonatele din planul tangent la cele din planul secant se folosete un coeficient dereducere la scar:

c = 1 -1

40000 99975 ,

Relaiile dintre coordonatele aceluiai punct din cele dou plane de proiecie se exprimastfel:

xsec= xtgc

ysec= ytgc


60/98

60

6) Transformarea coordonatelor stereografice din planul secant n cel tangent se facenmulind aceste coordonate cu coeficientul:

c=1

c 1, 000 250 063

Sistemul de proiecie stereografic 1970 a nceput s fie utilizat n lucrrile de produciecurent, din ara noastr, din anul 1973.

Condiii impuse reprezentrii n proiecia stereografic 1970:Ecuaiile hrii au fost stabilite astfel ncat reprezentarea s satisfac urmtoarele condiii de

baz:

1. S fie conform;

2. Meridianul ocare trece prin punctul central se reprezint printr-o dreapt care este i axde simetrie i ax Ox, iar originea O este imaginea plan a polului Q0;

3. Orice punct situat pe meridianul central o are abscisa:

xm= sR0tg

20

R

m

O

V

B

B

O1

R0

/R0

/2R0

Fig.6.7. Seciune meridian prin sfera de raz R0

n figura de mai sus este reprezentat seciunea meridian printr-o sfer de raz R0 luat lalatitudinea 0 = 46oN.B - este un punct oarecare pe sfer;R0- raza sferei la latitudinea 0 = 46oN;


61/98

61

B- imaginea lui B n planul tangent de proiecie;

- lungimea arcului de meridian msurat pe elipsoid ntre paralelul de latitudine 46 0 iparalelul de latitudine a punctului considerat.Relaia (5.15) mpreun cu figura (5.11) amintesc de expresia razei vectoare din proieciaazimutal stereografic pe plan tangent.

Coordonatele stereografice 1970 calculate n sistemul de axe de coordonate cu originea ncentrul rii sunt modificate cu + 500 000 m att pe x ct i pe y, ceea ce corespunde uneitranslaii a axelor spre sud i vest. Acest lucru se face pentru a avea coordonate pozitive.

y

y

x x

O

O

500 000

500 000

Fig. 6.8. Translaia sistemului de axe de coordonate rectangulare plane n proieciaSterografic 1970

Coordonatele x

,y

afectate de translaii potfi utilizate pentru o serie de calcule cum sunt: calculul distanei funcie de coordonate

cartografie_matematica

Documents