CAP.V FORŢE, MOMENTE ŞI DEFORMATII 1 Forţe 1.1. Noţiuni generale. Forţa – mărime vectorială care măsoară interacţiunea între două corpuri sau între un corp şi un câmp de forţe. Forţele se pot clasifica după numeroase criterii, cele mai importante fiind: - natura lor; forţe exterioare; forţe de legătura (legături cu mediul); forţe interioare (legături între componentele ansamblului); - modul de aplicare; forţe concentrate; forţe uniform distribuite; liniare; de suprafaţa; forţe neuniform distribuite; liniare; de suprafaţa; forţe masice; - valoarea intensităţii; forţe constante - statice; forţe variabile – dinamice. Forţele sunt mărimi vectoriale, deci vor fi caracterizate prin:

– mărime (modul sau intensitate);

– punct de aplicare;

– direcţie;

– sens.

Conform Principiului II al Mecanicii formulat de Newton – Forţă este proporţională cu produsul dintre masă şi vectorul acceleraţie.

am.ctF

SISISI amF = 2s1

m1kg1 = 1N.

Newton - unitatea de măsură a forţei, în sistemul internaţional, ce reprezintă forţa care produce o acceleraţie de 1m/s2 unui corp aflat în repaus.

*1daN=10N

*1kgf = 1daN = 10N

*1Tf = 1000kgf

*1kN = 100daN = 1000N

*1Tf = 10kN = 1000daN = 10000N

*Forţe distribuite pe elemente de tip bară q N/ml, daN/ml, kgf/ml, etc.

*Forţe distribuite pe elemente de tip placa q N/m2, daN/m2, kgf/m2, etc.

FORŢA PRODUCE DEPLASAREA

1.2. Rezultanta forţelor Rezultanta forţelor reprezintă suma vectorială a forţelor care acţionează simultan asupra unui corp. Însumarea vectorială se poate face grafic, prin metoda paralelogramului sau metoda poligonului închis sau analitic.

21 FFR

Din teorema lui Pitagora generalizată

Adunarea a doi vectori

R2 = + 2F21F + 2

2F 1F2 cos φ

Compunerea forţelor

F1 = F sin φ F2 = F cos φ

1.3. Descompunerea forţelor după două direcţii date Pe fiecare faţă a secţiunii, efortul total poate fi descompus în patru componente în planul secţiunii transversale sau normale pe acest plan, două date de rezultanta R şi două date de momentul rezultant M. Aceste componente, numite eforturi secţionale sau simplu eforturi, sunt: Forţă axială N, vector normal pe planul secţiunii; Forţă tăietoare T, vector situat în planul secţiunii; Moment încovoietor Mî, vector situat în planul secţiunii; Moment de torsiune Mt, vector normal pe planul secţiunii. 2 Momente – noţiuni generale

2.1. Pârghia Pârghia este o bară rigidă care se sprijină pe un punct de articulaţie fix si asupra căreia se exercită o forţă activă si o forţă rezistentă; bară (de lemn sau de fier) care serveşte la ridicarea sau la mişcarea unei greutăţi.

a) Pârghiile: sunt de două feluri: De gradul I: cu axul de oscilaţie la mijloc, forţele (activă

şi rezistentă) fiind aplicate în acelaşi sens, la dreapta şi la stânga axului de oscilaţie. Foarfecele, Balansoarele

De gradul II: cu axul de oscilaţie la o extremitate, iar forţele, de sensuri opuse, aplicate de aceeaşi parte a axului (la celalalt capăt se află punctul de aplicaţie al forţei active). Cleştele de spart nuci, Roaba, Pedala de frână

De gradul III: cu axul de oscilaţie la o extremitate, iar forţele, de sensuri opuse, aplicate de aceeaşi parte a axului (la celalalt capăt se află punctul de aplicaţie al forţei rezistente). Capsatorul, Penseta

În timpuri străvechi oameni au descoperit ca pot muta, mai uşor, anumite greutăţi cu ajutorul unei prăjini, în modul prezentat în figurile următoare: Prin folosirea unui reazem sub prăjină (conform figurii de mai jos), omul a observat că poate ridica sarcini mai mari. Astfel, a luat naştere pârghia de ordinul I. Explicaţia constă în sensul favorabil de aplicare a forţei omului (alături de forţa musculară intervine în sens favorabil şi masa).

Tipuri de pârghii

Prăjina rezemată pe pământ şi greutatea sarcinii rezemată pe prăjină la o foarte mică distanţă de reazem(braţ de pârghie mic). Astfel, a luat naştere pârghia de ordinul II. Forţa utilă aplicată este numai o parte din forţa aplicată de om şi are sensul de jos în sus (sens defavorabil). Pârghia funcţionează conform legii pârghiei.

F

R

b

b

R

F

Pârghie. 2.2. Momentul forţei în raport cu un punct

Momentul forţei în raport cu un punct (pol) este definit prin produsul vectorial dintre vectorul de poziţie al forţei faţă de pol şi vectorul forţă. FrM

M = r F sinα = b F

b este braţul forţei faţă de punctul O şi reprezintă distanţa de la punct la dreapta suport a forţei. = N m SIM

Momentul forţei

Suma vectorială a momentelor forţelor concurente în raport cu un pol este egală cu momentul rezultantei acestor forţe în raport cu acelaşi pol (teorema lui Varignon). 2.3. Cuplu de forţe Cuplul de forţe este un sistem de două forţe paralele, de sens contrar, egale în modul şi de suporturi diferite, aplicate aceluiaşi corp.

Momentul cuplului de forţe

Momentul unui cuplu de forţe este acelaşi în raport cu orice punct din spaţiu, fiind o proprietate intrinsecă a cuplului de forţe.

2211 FrFrM

Cuplul de forţe

= F)rr( 21

= Fr0

M

Fr0

M = F r0 sinα = Fb

2.4. Momentul forţei în raport cu o axă Momentul unei forţe F în raport cu o axă este egal cu produsul dintre componenta transversala a forţei F┴ şi braţul său b până la axă, în planul per-pendicular pe axă ( Δ ), prevăzut cu semnul plus sau minus, după cum rotaţia produsă corespunde sau nu (după regula burghiului) sensului pozitiv al axei: Mi =±bF ┴

Momentul unei forţe oarecare

MOMENTUL PRODUCE ROTIRE 3.FORŢE Sarcinile exterioare aplicate structurilor se pot clasifica după mai multe criterii : •După mărimea suprafeţei pe care se aplică, sarcinile exterioare pot fi: sarcini concentrate, aplicate pe o suprafaţă foarte mică, punctual. Se notează cu litere mari (F, P, Q. etc.) şi se măsoară în newtoni (N şi multipli daN, kN, etc.; sarcini distribuite: liniar :j, p, q. etc., măsurate în (N/ml) sau pe suprafaţă, măsurate în (N/m2) • După modul de acţiune în timp: statice = aplicate lent, constante dinamice = aplicate cu variaţii de viteză şi acceleraţie • După locul de aplicare: de suprafaţă; de volum sau masice (de exemplu, greutatea proprie sau forţele inerţiale care apar în timpul solicitărilor dinamice); • După provenienţă: sarcini permanente de intensitate constantă (de exemplu, greutatea proprie)

sarcini utile variabile, pentru a căror preluare a fost realizată structura sarcini accesorii ca forţe de inerţie, de frecare, etc. sarcini accidentale care acţionează intermitent, cum sunt sarcinile din vânt, zăpadă, etc. sarcini extraordinare ce acţionează întâmplător şi pot avea efecte catastrofale, cum sunt cele seismice, sau date de inundaţii, explozii, tamponări etc. Pe fiecare faţă a secţiunii, efortul total poate fi descompus în patru componente în planul secţiunii transversale sau normale pe acest plan, două date de rezultanta R şi două date de momentul rezultant M. Aceste componente, numite eforturi secţionale sau simplu eforturi, sunt: Forţă axială N, vector normal pe planul secţiunii; Forţă tăietoare T, vector situat în planul secţiunii; Moment încovoietor Mî, vector situat în planul secţiunii; Moment de torsiune Mt, vector normal pe planul secţiunii. 4. Deformaţii Sub acţiunea forţelor exterioare corpurile se deformează, adică apar modificări ale distanţelor relative dintre unele puncte. Un cub elementar cu laturile dx, dy, dz, decupat dintr-un corp supus unui sistem oarecare de forţe exterioare, poate suferi două tipuri de deformaţii elementare: deformaţii liniare, caracterizate de alungirea specifică εi definită ca raportul dintre modificarea distanţei şi distanţa iniţială:

εx = dx

)dx( ; εy =

dy

)dy( ; εz =

dz

)dz(

deformaţii unghiulare, de formă, caracterizate de lunecarea specifică Ө definită de modificarea unghiurilor paralelipipedului :

Өxy= arctg AD

'AA=

AD'AA

4.1. Deformaţii elastice Elasticitatea apare la structurile cristaline şi este caracterizată de proporţionalitatea sa cu mărimea forţei care o produce. Deformaţia elastică este reversibilă, dispărând odată încetarea solicitării (forţei). În deformaţia elastică, lucrul mecanic se consumă, pentru modificarea distanţei dintre particulele componente, a unghiurilor dintre planurile reticulare din cristale şi a forţelor de coeziune. Sub acţiunea forţelor exterioare în material apar tensiuni interne (forţe de rezistenţă) ce se opun deformaţiilor. Comportarea elastică a unui material se manifestă până când efortul unitar atinge limita de elasticitate, care reprezintă tensiunea maximă la care nu se manifestă încă deformaţiile plastice (deformaţii remanente). Deformaţia elastică are un caracter temporar şi se manifestă prin modificarea dimensiunii şi/sau formei. 4.2. Deformaţii plastice Plasticitatea apare la solicitări ale căror valori se situează peste limite de elasticitate şi se caracterizează prin ireversibilitatea deformaţiilor. În deformaţia plastică, lucrul mecanic se consumă, prin alunecare sau prin maclare. Alunecarea are loc prin deplasarea relativa a unor zone una

faţă de alta. Maclarea este o deformaţie a unei părţi din material, parte ce capătă o altă orientare. Deformaţia plastică nu variază linear cu efortul unitar şi nu se supune legii lui Hooke. 5. Curbe caracteristice Curbe caracteristice reale şi schematizate Fiecărui material i se poate trasa o curbă caracteristică de variaţie a deformaţiei cu efortul. În funcţie de modul de deformare şi rupere sub solicitări, materialele se pot împărţi în: - Materiale casante sau fragile. Sunt materialele la care ruperea se produce brusc, fără avertizare, la solicitări puţin peste limita de proporţionalitate. Exemplu de materiale casante - oţeluri cu procent mare de carbon, betonul, piatra naturală, sticla.

Curba caracteristică pentru un material casant

- Materiale tenace sau ductile. Sunt materialele care prezintă palier de curgere, ruperea producându-se lent, cu avertizare. Curba caracteristică prezintă mai multe zone distincte. * OA - zona de proporţionalitate. În această zonă curba caracteristică este o linie dreaptă şi în această zonă se aplică legea lui Hooke. Zona de proporţionalitate se termină în punctul A la un efort unitar numit limită de proprietate.

* OB - zona de elasticitate. În această zonă deformaţiile sunt de tip elastic, adică elementul revine la dimensiunile iniţiale la încetarea solicitării. Zona de elasticitate se termină în punctul B la un efort unitar numit limită de elasticitate. * C - punct în care începe curgerea. În acest punct efortul unitar a ajuns la limita de curgere. * CD - palier de curgere. În această zonă elementul suferă deformaţii sub efort constant, deformaţii plastice, remanente. * DE - zonă de consolidare. În această zonă datorită blocării dislocaţiilor elementul suferă consolidare fiind capabil să preia eforturi mai mari decât efortul de curgere. * EF - zona de rupere. La atingerea rezistenţei de rupere, elementul suferă o reducere a secţiunii (gâtuire) ce se dezvoltă rapid ducând la rupere la efort mai mic decât efortul de rupere. Exemplu de materiale tenace - oţeluri cu procent mic de carbon, aluminiu, plumb, cauciuc, unele mase plastice.

Curba caracteristică pentru material ductil

- Materiale plastice. Sunt materialele care solicitate la un efort unitar mai mare decât o anumită valoare, deformaţiile cresc foarte mult la o creştere foarte mică a eforturilor, proces ce se desfăşoară până la rupere. Exemplul de materiale plastice – unele mase plastice, argila în anumite condiţii de umiditate.

Curba caracteristică pentru material plastic

Este prezentată curba tipică tensiune nominala σ – deformaţie

convenţionala ε observată printr-un test simplu la întindere a unui material. Relaţia tensiune-deformaţie încetează a mai fi liniară la o valoare certă. Aceasta stare limita se numeşte limita de proporţionalitate p . Caracterul de

deformare a materialelor până la limita de proporţionalitate este întotdeauna liniar, independent de condiţia de încărcare sau de descărcare. Limita la care deformaţia revine întotdeauna complet la starea iniţială, după o descărcare, se numeşte limită elastică e . Întrucât limita de proporţionalitate este în general foarte aproape de limita elastică, în dezvoltarea teoretică a plasticităţii metalelor este convenabil sa se trateze limita de proporţionalitate ca limită elastică.

Odată ce s-a efectuat o încărcare peste limita elastică, o parte din deformaţie rămâne, chiar şi după reducerea încărcării la zero. Deformaţia reversibilă se numeşte deformaţie elastică , în timp ce deformaţia ireversibilă sau permanentă se numeşte deformaţie inelastică. O parte din deformaţia inelastică se va restabili cu timpul. Acest fenomen este cunoscut sub numele de efect elastic întârziat. Partea rămasă din deformaţia inelastică se numeşte deformaţie permanentă sau deformaţie reziduală. În general, efectul elastic întârziat poate fi neglijat şi astfel deformaţia inelastică poate fi considerată permanentă şi se numeşte deformaţie plastică . Starea limită la care deformaţia plastică este vizibilă se numeşte punct de curgere.

e

p

Sunt foarte multe cazurile când elemente de construcţie sau chiar construcţii întregi, ajung sau sunt prevăzute să suporte solicitări ce depăşesc limita de elasticitate a materialului. Deformaţiile în acest caz intră în domeniul plastic şi cresc mult mai repede decât tensiunile. Ca să se poată studia deformarea structurilor dincolo de limita de elasticitate, este necesar

să se cunoască comportarea materialului în domeniul plastic. După cum se ştie, proprietăţile materialelor se definesc în primul rând cu ajutorul curbei caracteristice, al cărei aspect pentru oţel este în general de forma prezentată în figura III.5. Pentru uşurarea studiilor se admite însă uneori, că partea din curba caracteristică de după limita de curgere σc, să se asimileze cu o dreaptă. Până la limita de curgere, modulul de elasticitate longitudinală se consideră constant E = tgα, iar dincolo de σc modulul de elasticitate longitudinală se consideră constant Ep = tgαp. Noul modul de elasticitate Ep ar constitui prin analogie, un modul de plasticitate al materialului, mult mai mic decât modulul de elasticitate E. Urmând aceasta idee şi cum aproape întotdeauna Ep are valori foarte mici, s-a ajuns să se adopte, pentru studiile din zona plastică, o curbă caracteristică propusă de PRANDTL şi care-i poartă numele, ca în figura următoare3.1 Forte exterioare. După cum se vede în zona plastică prezintă o paralela la axa Oz şi corespunde unui material perfect plastic, care respecta legea lui Hooke până la limita de curgere iar după această valoare începe să capete deformaţii continue sub efort constant (Ep = 0) atât la întindere cât şi la compresiune. Curba lui PRANDTL este folosită în aplicaţii, pentru că simplifică multe calcule şi duce la rezultate satisfăcătoare în raport cu realităţile din construcţii.

Curba caracteristică simplificată