Econometrie Financiara

1. Modelul liniar simplu - Capital Asset Pricing Model Previziunea profitului alternativelor de aciune pe pia este de o importan deosebit pentru un investitor particular sau pentru un analist economic. Modelul CAPM - Capital Asset Pricing Model - de stabilire a preului aciunii de capital, poate fi estimat folosind cele mai simple tehnici econometrice, n special modelul liniar simplu, n care, o variabil dependent depinde de o constant i de o singur variabil independent.

Analiza empiric a pieelor bursiere a avut un rol foarte important n dezvoltarea econometriei. n 1932, Alfred Cowles III, un analist al investiiilor cantitative, a pus bazele Societii Econometrice i a iniiat finanarea Comisiei Cowles pentru Cercetri Economice. Membrii Comisiei Cowles au adus un important aport la dezvoltarea teoriei econometrice, inclusiv la estimarea i identificarea parametrilor ecuaiilor simultane.

1.1. Concepte de baz

Se presupune c atunci cnd investitorii acioneaz pe piaa de valori mobiliare, comportamentul lor este perfect raional n sensul c singurul lor scop este acela de a obine profituri din propriile investiii. Se definete rata profitului unei investiii sau rata rentabilitii, r, ca fiind:

, unde

(1)

= preul unei aciuni la sfritul perioadei de timp,

d = dividende (dac exist) pltite n timpul perioadei,

= preul unei aciuni la nceputul perioadei de timp.

Dei rata profitului, r este uor de calculat ex-post, o dat ce investiia a fost fcut, r este incert nainte de luarea deciziei de investiie. Astfel se interpreteaz r ca o valoare ateptat sau o rat ex-ante a profitului.

Investitorii nu sunt interesai numai de valoarea ateptat a profitului unei investiii, ci i de posibila distribuie a lui r, considerat ca o variabil aleatoare. Riscul ce nsoete o posibil investiie este caracterizat prin distribuia unor profituri posibile. Cel mai adesea se presupune c profitul se distribuie normal, i astfel distribuia se poate caracteriza prin doi parametri: valoarea ateptat i variana 2 (sau abaterea medie ptratic, , numit abaterea standard). Sub presupunerea de normalitate, n literatura empiric a finanelor, riscul este tipic msurat prin abaterea medie ptratic, .

Dac preferina investitorilor pentru profituri mai mari fa de cele mai mici, este unanim, celelalte condiii rmnnd neschimbate, nu acelai lucru se poate spune despre asumarea riscului. Exist cazul n care, cei mai muli investitori sunt mpotriva riscului, ei prefernd o abatere standard mai mic dect una mai mare, care conduce la aceeai valoare ateptat a profitului. Aceasta nseamn c dac riscul unei investiii sau al unui portofoliu de investiii pare a fi mare, investitorii sunt gata s accepte acel risc numai dac este nsoit de un profit ateptat mare; n mod similar o investiie cu un profit ateptat mic va fi acceptabil numai dac are un risc mic. Dar ct de mult din premiu vor cere investitorii astfel nct s i asume un risc mai mare?

Dac investitorii doresc s achiziioneze o aciune care are riscul zero, ei nc ar cere un profit ca o convingere de a amna consumul curent. Un astfel de profit este numit rat a profitului fr risc, i se noteaz cu rf. Analitii pieei de valori deseori utilizeaz ca mrime a rf , rata existent la Trezorerie.

Se pot utiliza aceste concepte la definirea compensaiei pentru risc sau premiul pentru risc pentru a j-a aciune, considerat ca fiind profitul n exces peste rata fr risc rf, adic:

Premiul de riscj = rj - rf

(2)

Dup prezentarea acestor concepte de baz, se poate trece la considerarea diversificrii i managementul riscului.

1.2. Diversificarea i optimalitatea portofoliului

Investitorii inteligeni fac un management al riscului investiiilor lor. Pentru a examina procesul de management al riscului, este util introducerea noiunii de diversificare, o combinaie de analiz relativ simpl i intuiie, bazat n mare parte pe contribuia de pionierat a lui Harry M. Markowitz, considerat printele teoriei portofoliului.

Dac un investitor are dou aciuni, profitul ateptat de la tot portofoliul, rp este o medie ponderat a valorilor ateptate ale profiturilor pentru fiecare din cele dou aciuni,

(3)

unde wj este proporia din totalul fondurilor investite n aciunea j, j=1, 2 sau probabilitile lor de apariie i .

Variana total a portofoliului, , este:

,(4)

unde:

= variana profitului aciunii j, j=1, 2;

= abaterea standard a profitului aciunii j, j=1, 2;

= covariana profiturilor aciunilor 1 i 2 sau cov(r1, r2), i

= coeficientul de corelaie simpl dintre profiturile aciunilor 1 i 2.

. De unde

Pentru o cantitate dat a fondurilor de investit, diversificarea, n general, reduce riscul. Pentru aceasta se presupune nti situaia neplcut n care profiturile aciunilor 1 i 2 sunt perfect corelate, adic, se presupune c , coeficientul de corelaie simpl dintre profiturile aciunilor 1 i 2 este egal cu 1. n acest caz, covariana profiturilor aciunilor 1 i 2 este , care este cea mai mare valoare posibil pe care o poate lua covariana . Din ecuaia (4) se poate observa c atunci cnd este la maxim pentru i date, i variana total a portofoliului este maxim. Pe msur ce covariana i prin urmare i coeficientul de corelaie dintre profiturile aciunilor 1 i 2 scade i devine mai puin perfect legtura dintre ele, termenul final din ecuaia (4) devine mai mic, i la fel i variana total a portofoliului se micoreaz. Intuitiv, aceasta nseamn c deinerea a dou tipuri de aciuni, ale cror profituri nu se modific mpreun n armonie perfect, profitul mai mic al uneia putnd fi parial compensat de profitul relativ mai mare al celeilalte aciuni, rezult un profit, n general, rezonabil, cu un risc redus al portofoliului.

Considernd cazul n care un investitor i diversific portofoliul de aciuni, la n titluri de valoare, cu n>2. Ca i mai sus, profitul ateptat al ntregului portofoliu este media aritmetic ponderat a profiturilor specifice fiecrui tip de aciune rj, unde ponderile wj sunt frecvenele relative (cote-pri) din fondul total investit n fiecare aciune.

(5)

Cu n aciuni, variana total a portofoliului depinde nu numai de varianele individuale ale celor n aciuni, dar i de covarianele lor. Variana portofoliului se calculeaz astfel:

,(6)

unde este covariana ntre profiturile a dou aciuni i i j, iar este variana aciunii i. Se poate spune c:

riscul total al portofoliului = riscul sistematic + riscul aleatoriu (specific, diversificabil)

= +

Se observ c variana total a portofoliului are n termeni de varian i n(n-1) termeni de covarian, cu n(n-1)/2 termeni diferii. Cu ct n este mai mare, celelalte condiii rmnnd constante, cu att mai mare este importana relativ a covarianelor aciunilor la variana total a portofoliului. De exemplu, cnd n este 5, exist cinci variane i 20 de covariane; cnd n este dublat la 10, numrul de variane se dubleaz la 10, dar numrul termenilor de covarian, conform ecuaiei (6), crete la 90. Pe msur ce n se mrete, variana portofoliului se apropie de o medie ponderat a covarianelor. De aici rezult rolul extrem de important al covarianelor n procesul de diversificare a portofoliului.

Teoria prezentat s-a bazat pe profitul mediu i variana unui portofoliu diversificat. n luarea deciziilor asupra portofoliului, profiturile marginale i varianele sunt de asemenea importante.

Se presupune c n portofoliul iniial de n aciuni ale unui investitor, nu exista nici o aciune de tip k, adic iniial . Apoi, se presupune c investitorul a decis s achiziioneze o mic cantitate din aciunile k, dar celelalte proprieti au rmas neschimbate. Se definete profitul marginal al aciunii de tip k asupra profitului total rp ca fiind schimbarea n rp, dat de o mic schimbare a ponderii wk. Din ecuaia (5) profitul marginal este simplu egal cu rk:

Profitul marginal k:

(7)

Aceast schimbare n deinerea de aciuni afecteaz deasemenea i variana portofoliului. Se definete variana marginal pentru aciunea k, schimbarea n la o mic schimbare dat n wk. Din ecuaia (6) i innd cont de faptul c o sum ponderat a covarianelor individuale cu aciunea k este covariana aciunii k cu portofoliul - el nsui o sum ponderat a celorlalte aciuni - urmeaz c variana marginal este:

Variana marginal k = , unde

(8)

este covariana ntre aciunea k i portofoliul p. Rezult c variana marginal - schimbarea n portofoliul total, ca rezultat al unei mici schimbri n proprietile aciunii k - depinde de covariana dintre profiturile aciunii k i portofoliu.

Conform acestor definiii se poate prezenta un principiu important al optimalitii portofoliului derivat din teoria finanelor.

Dac dou aciuni ntr-un portofoliu au aceeai varian marginal, dar profituri ateptate diferite, atunci acel portofoliu nu poate fi optimal n sensul furnizrii unui profit maxim pentru un risc dat. Motivul pentru care un astfel de portofoliu nu poate fi optimal este c ar fi posibil obinerea unui profit mai mare fr creterea riscului prin achiziionarea mai multor aciuni cu profit mai mare (varianele marginale ale celor dou aciuni se consider a fi identice). Astfel pentru ca un portofoliu s fie optimal, toate aciunile cu aceeai varian marginal trebuie s aib profituri ateptate identice.

Varianele marginale, varianele i covarianele, toate depind de unitile de msur. Adoptarea mrimilor relative, precum noiunea de elasticitate, care nu depinde de unitatea de msur, a condus la cea mai cunoscut mrime relativ: valoarea beta a aciunii k, calculat astfel:

Beta k = .

(9)

Pentru c valoarea beta a aciunii depinde de covariana sa, care n schimb este strns corelat cu variana sa marginal, se pot combina ecuaiile (8) i (9) pentru a stabili un factor de proporionalitate ntre beta i variana marginal:

Variana marginal k = .

Dat fiind aceast relaie, discuia privitoare la optimalitatea portofoliului se poate exprima n mod echivalent n termeni de valori beta, mai degrab dect n termeni de variane marginale. n mod specific, dac un portofoliu este optimal, atunci toate aciunile cu aceeai valoare beta relativ la portofoliu trebuie s aib profituri ateptate identice.

1.3. Originea unei relaii liniare ntre risc i rentabilitate

Problema este cum ar putea investitorul s recurg la alegerea portofoliului i s stabileasc o relaie empiric implementabil ntre risc i profit? n continuare, se rezum contribuia important a modelului de pre a aciunii de capital, CAPM, la analiza i relaia liniar dintre risc i profit.

Se presupune c un investitor are un portofoliu, numit a, format dintr-o combinaie de dou aciuni. Combinaia celor dou aciuni genereaz un profit ateptat al portofoliului ra i are variana .

Se presupune c exist o aciune fr risc cu profitul rf, iar investitorul poate mprumuta sau poate lua cu mprumut, la o rat a profitului fr risc, rf. O posibilitate pentru investitor ar fi s combine portofoliul a cu aciunile fr risc ntr-un nou portofoliu. n acest caz profitul ateptat al noului portofoliu ar putea fi egal cu:

, unde

(10)

wa este proporia din fondul total investit n portofoliul a. Variana acestui nou portofoliu ar fi:

, unde

(11)

este covariana ntre profitul ateptat al portofoliului a i cel al aciunii fr risc. Prin definiie, aciunile fr risc au variana zero a profitului; acest profit fr risc este de asemenea necorelat cu cel al oricrei alte aciuni, implicnd . Ecuaia (11) se reduce la:

sau .

(12)

Rearanjnd a doua expresie din ecuaia (12), rezult:

i , care

prin substituire n ecuaia (10) i grupnd termenii se obine:

.

(13)

n ecuaia (13) se observ legtura liniar dintre profitul portofoliului rp i riscul acestuia . Profitul portofoliului rp este suma celor doi termeni: rata profitului fr risc, rf i de ori, riscul portofoliului, .

Legtura liniar poate fi pus n eviden n Figura 1.13, reprezentnd pe axa Ox, riscul, iar profitul ateptat pe Oy. Termenul constant este rf i coeficientul de regresie, termenul , este panta dreptei.

rp

ra

a

ra - rf rf

0

Figura 1.13. Legtura liniar dintre risc i profit

Interpretnd graficul din Figura 1.13, exist urmtoarele situaii:

1. Dac investitorul alege s investeasc numai n aciunea fr risc, astfel c , i n ecuaia (10), rp ar fi egal cu rf, iar n ecuaia (11), ar fi egal cu zero.

2. Dac investitorul alege investiia numai n portofoliul a i evit total aciunea fr risc (punctul a de pe grafic), atunci , rp = ra i .

3. Panta dreptei de regresie, coeficientul de regresie, reprezint rsplata investitorului de acceptare a unui risc mrit i a creterii proporiei fondurilor investite n portofoliul riscant a.

Portofoliul a este unul din posibilele portofolii riscante, aciunile 1 i 2 se pot combina diferit. Se presupune c exist dou aciuni pe o diagram a riscului, precum n Figura 1.14.

r

r

100%

( Aciunea 2 Aciunea 2

100%

( Aciunea 1

Aciunea 1

0

0

a)

b)

Figura 1.14. Diagrama riscului pentru dou tipuri de aciuni

Fie aciunea 1 cu un risc sczut i profit sczut, n timp ce aciunea 2 este de risc mare i profit mare. Considernd o corelaie mai puin perfect ntre profiturile celor dou aciuni, conform ecuaiei (5), profitul ateptat al combinaiei celor dou titluri de valori, este o medie aritmetic ponderat a profiturilor lor: .

Datorit diversificrii, riscul total al portofoliului va fi mai mic dect media aritmetic ponderat a abaterilor standard ale profiturilor, pentru c expresia este mai mic dect termenul din partea dreapt a ecuaiei (4), cnd coeficientul lor de corelaie < 1. Ca rezultat, al situaiei cnd < 1, limita profitului de risc pentru diverse combinaii ale aciunilor 1 i 2 va arta ca i curba concav, cazul b) din Figura 1.14.

.

Atunci cnd ( 1, curba concav converge spre o linie dreapt. Investitorul trebuie s aleag, dintre toate combinaiile posibile de aciuni, acea combinaie de aciuni riscante cu aciuni fr risc, care va conduce la profit maxim pentru orice risc dat al portofoliului?

1.4. Linia caracteristic a analizei investiiei financiare

Dreapta de regresie obinut cu modelul: , unde:

rata rentabilitii aciunii i pentru unitatea de timp t,

rentabilitatea global a pieei portofoliului pentru unitatea de timp t,

termenul stochastic al erorii,

se numete linia caracteristic a analizei moderne a investiiilor.

n acest model valorile cunoscute ca fiind coeficienii beta ai investiiei i, i=1,n, reprezint o msur a riscului sistematic pentru fiecare aciune i: . Coeficientul este panta dreptei de regresie i exprim sensibilitatea ratei rentabilitii aciunii i la fluctuaiile pieei, fiind numit i coeficient de volatilitate al aciunii i.

n funcie de valorile pe care le ia coeficientul , aciunile se grupeaz n:

aciuni puin volatile, cnd 0 < < 1, numite i aciuni defensive, care au o variaie mai mic dect variaia general a pieei (variaia cu 1% a pieei antreneaz o modificare mai mic dect 1% a rentabilitii aciunii);

aciuni foarte volatile, cnd > 1, numite i aciuni ofensive sau agresive, care au variaia mai accentuat dect cea a pieei (variaia cu 1% a pieei antreneaz o modificare mai mare de 1% a rentabilitii aciunii);

aciuni neutre, cnd = 1, a cror manifestare a variaiei coincide cu fluctuaiile pieei.

Cnd coeficientul < 0, aciunile evolueaz n sens contrar fa de tendina general a pieei, cazuri rar ntlnite. Aceste aciuni se clasific, n mod similar cu cele care au pozitiv, n: aciuni puin volatile (-1 < < 0), foarte volatile (< -1) i neutre ( = -1).

Ecuaia de regresie a modelului de pia:

explic dependena rentabilitii unei valori mobiliare de caracteristicile specifice pieei, i de caracteristicile specifice aciunii, ; acestea din urm, bazndu-se pe informaiile despre firm: privind managementul acesteia, structura organizatoric, activitatea de cercetare-dezvoltare, politici de personal, strategii de aprovizionare i desfacere, caracteristici sectoriale de activitate, regionale etc.

Riscul asociat valorii mobiliare se descompune, la rndul su, n: risc sistematic, datorat caracteristicilor pieei i risc specific, diversificabil, datorat caracteristicilor aciunii.

_1143481512.unknown

_1143483064.unknown

_1143534696.unknown

_1143540231.unknown

_1155026617.unknown

_1155027213.unknown

_1155028307.unknown

_1155028452.unknown

_1155028301.unknown

_1155026723.unknown

_1143540368.unknown

_1143541650.unknown

_1155026510.unknown

_1143541666.unknown

_1143541633.unknown

_1143540307.unknown

_1143539882.unknown

_1143539924.unknown

_1143540037.unknown

_1143539890.unknown

_1143535887.unknown

_1143539755.unknown

_1143534815.unknown

_1143483457.unknown

_1143483799.unknown

_1143484014.unknown

_1143484056.unknown

_1143484153.unknown

_1143484218.unknown

_1143484094.unknown

_1143484028.unknown

_1143483957.unknown

_1143483513.unknown

_1143483794.unknown

_1143483504.unknown

_1143483215.unknown

_1143483398.unknown

_1143483405.unknown

_1143483251.unknown

_1143483176.unknown

_1143483207.unknown

_1143483142.unknown

_1143482404.unknown

_1143482736.unknown

_1143482982.unknown

_1143483029.unknown

_1143482769.unknown

_1143482492.unknown

_1143482627.unknown

_1143482451.unknown

_1143481548.unknown

_1143482265.unknown

_1143482270.unknown

_1143481565.unknown

_1143481530.unknown

_1143481534.unknown

_1143481523.unknown

_1143481390.unknown

_1143481442.unknown

_1143481486.unknown

_1143481496.unknown

_1143481449.unknown

_1143481403.unknown

_1143481407.unknown

_1143481395.unknown

_1143481293.unknown

_1143481332.unknown

_1143481337.unknown

_1143481313.unknown

_1143480367.unknown

_1143480372.unknown

_1038257571.unknown

_1143480349.unknown

_1038257503.unknown