POPOVICIU NICOLAE

C A P I T O L U L 7

Estimatori pentru valoare medie i dispersie.

Estimarea parametrilor.

Dispersie minim. Verosimilitate maxim

7.1 Formule de estimare a parametrilor. Cazul specificat. Cazul nespecificat. La nceput acest capitol prezint formule de estimare a parametrilor statistici, n cazul specificat i n cel nespecificat. Exist mai multe tipuri de estimare a parametrilor necunoscui. n unul din capitolele anterioare, pentru valoarea medie i dispersia am menionat dou tipuri de formule:1) formule teretice i 2) formule de calcul. Acum prezentm un nou tip de formule i anume 3) formule de estimare. Primele dou tipuri de formule cer s fie cunoscute probabilitile ale lui X , ceea ce nu este ntotdeauna comod. Formulele de estimare 3) nu cer aceste probabiliti, dar cer o selecie de valori asupra variabilei aleatoare X , ceea ce nu este greu de realizat. ntre formulele 1), 2) i formulele 3) trebuie s existe o anumit concordan, care s justifice posibilitatea de a nlocui o formula cu alta. Formulele de estimare conduc la mai multe tipuri de extimri: estimaie consistent, estimaie nedeplasat, estimaie absolut corect [19]. [21], [23]. Dup lmurirea acestor aspecte este prezentat un algoritm care asigur dispersia minim pentru o formul de estimare. Funcia de verosimilitate mpreun cu ecuaia sau sistemul verosimilitii maxime fac obiectul unei subseciuni a acestei seciuni. . Urmeaz metoda verosimilitii maxime i metoda momentelor. 7.1.1 Formularea problemei de estimare a parametrilor.

Foarte des legea de probabilitate i densitatea de probabilitate conine unul sau mai muli parametri, notai sau (s parametri). Astfel funciile f au formele , sau , etc. n capitolul anterior am folosit notaia simpl, fr a meniona i parametrii asociai funciei f .

Problema de estimare cere s se estimeze valoarea medie i dispersia , precum i parametrii necunoscui. Exemple. a) Repartiia Poisson discret: (are un parametru). b) Repartiia Bernoulli discret: ; ; , unde n este un numr natural dat, are un parametru. c) Repartiia normal continu: , ; are doi parametri. d) Repartiia exponenial contin: ; are un parametru. n viitor, pentru prezentarea teoriei estimaiei ne referim numai la un paramatru , adic funciile f au forma sau . Deseori vom face referire la dou tipuri se noiuni i anume cazul specificat i cazul nespecificat. Literatura de specialitate prezint dou versiuni de interpretare a acestor noiuni. Versiunea 1. Cazul specificat nseamn c este cunoscut forma funciei f (repartiie Poisson sau Bernoulli sau normal etc.). n cazul nespecificat nu este cunoscut forma funciei f . Pentru calcularea lui i trebuie s cunoatem forma repartiiei, adic s cunoatem forma lui f .

Versiunea 2. Forma funciei f este cunoscut. n cazul specificat valoarea parametrului este cunoscut. n cazul nespecificat valoarea parametrului nu este cunoscut.

n prezenta monografie vom preciza clar, de fiecare dat, n ce versiune ne situm. Cnd are valoare cunoscut suntem n cazul specificat. Cnd are valoare necunoscut sunten n cazul nespecificat. Repartiia variabilei aleatoare X este complet cunoscut numai n cazul spacificat. n cazul nespecificat, valoarea parametrului trebuie determinat. Detrenimarea se face prin formule de estimare. Totui noi vom gsi numai o valoare aproximativ a lui . se numete valoarea exact sau valoarea adevrat, iar se numete valoarea estimat sau valoarea aproximativ. Este evident c noi dorim s gsim cea mai bun aproximare a parametrului . Formula prin care gsim valoarea aproximativ pentru parametrul se numete formul de estimare. Exist multe tipuri de formule de estimare. 7.1.2 Cteva tipuri de formule de estimare. Fie X o variabil aleatoare (discret sau continu), cu lege de probabiliatate f sau densitate de probabilitate f cunoscut, care depinde de parametrul cu valoare necunoscut. Parametrul trebuie estimat prin . Pentru aceasta folosim o selecie discret asupra lui X , avnd volumul N. Notm prin o funcie de estimare a valorii adevrate (necunoscute) . Vrem s gsim cea mai bun aproximare , n raport cu un criteriu de aproximare sau cu o definiie de aproximare. Funcia este o variabil aleatoare. Definiia 1. irul de variabile aleatoare converge n probabilitate ctre variabila aleatoare dac pentru orice valoare dat. Din aceast definiie (adic din acest tip de convergen) noi nelegem c volumul de selecie N trebuie s fie un numr foarte mare, ceea ce n aplicaii nu este comod. Definition 2. Dac definiia 1 este satisfcut, atunci este o estimare consistent a valorii i scriem (convergen n probabilitatea P ). Definiia 3. Dac valoarea medie este , adic , atunci se numete estimaie nedeplasat (estimaie exact) a lui . Definiia 4. Dac i , arunci se numete estimaie absolut corect (estimaie absolut exact) a lui . Observm c definiia 4 genereaz cea mai bun idee de estimare. 7.1.3 Formule de estimare i proprietile lor. Reamintim c dorim s estimm valoarea medie , dispersia i dup caz, valoarea unor parametri. Formulele de estimare au notaii specifice, care difer fundamental de formulele teoretice sau formulele de calcul. De exemplu, n timp ce valoarea medie se noteaz sau sau m , valoarea medie estimat se noteaz prin .

Folosim selecia de volum N . Atunci este formula de estimare a valorii medii a lui X ; ; este prima formul de estimare a dispersiei ; ; este a doua formul de estimare a dispersiei; . Propoziia 1. Valoarea este o estimare absolut corect a valorii medii . De asemenea este o estimare nedeplasat a valorii medii. Propoziia 2. Varoarea este o estimare consistent a dispersiei . Propoziia 3. Valoarea este o estimare absolut corect a dispersiei .

Valoarea este o estimare nedeplasat a dispersiei .

Formula lui se folosete atunci cnd volumul de selecie N este mic n raport cu numrul total de date ale variabilei X . Observaia 1. A) Formulele teoretice pentru i folosesc probabilitile

. Formulele de estimare nu folosesc aceste probabiliti deoarece valorile de selecie

sunt independente i identic repartizate.

B) Dac variabila aleatoare discret X este definit prin selecia

, unde sunt frecvene absolute (numere naturale), atunci formula de calculare a lui are forma = . Cu ajutorul frecvenelor absolute i a legii de probabilitate se calculeaz frecvenele relative. C) La foarte multe repartiii statistice exist o legtur direct ntre valoarea medie i parametrul (sau parametri) care definesc funcia de repartiie. De aceea estimatorul lui se folosete la estimarea parametrilor, cu ajutorul unei selecii asupra valorilor lui X .

Exemple. Repartiia discret Poisson. = ; ; . = ; (estimator) ; . Repartiia continu exponenial. = ; ; . = ; (estimator) ; . Repartiia continu normal. = ; . = ; (estimator) ; . 7.1.4 Formule de estimare care genereaz estimri cu diepersia minim. Pentru un parametru putem gsi o mulime de estimatori nedeplasai , aa nct . De aceea cutm estimatorul care asigur dispersia minim. n acest caz valorile sunt bine grupate n jurul lui . Definiia 5. Fie X o variabil aleatoare cu densitatea . Fie o estimaie nedeplasat a lui . Dac urmtoarea egalitate este satisfcut

(1)

atunci estimaia este numit estimaie eficient i aceasta are dispersia minim. Egalitatea (1) provine din teorema Rao-Cramer i este condiia necesar i suficient ca o estimaie s fie eficient. Algoritmul dispersiei minmime. 1) Folosim variabila aleatoare X cu densitatea . Funcia f este cunoscut, iar parametrul este necunoscut. 2) Folosim selecia asupra variabilei X . 3) Alegem estimarorul nedeplasat al lui . 4) Calculm partea stng din egalitatea (1) . 5) Calculm partea dreapt din egalitatea (1), dup cum urmraz: ; ; ; . A este o notaie pentru uurarea redactrii. Apoi calculm i (* este nmulirea din real). 6) Comparm membrul stng cu membrul drept din (1). Dac egaliatatea (1) este satisfcut, atunci are dispersia minim. Deci este estimator efficient pentru parametrul . Observaia 2. Facem o recapitulare a tipurilor de estimaii pe care le-am ntlnit pn acum:

estimaie consistent, estimaie nedeplasat, estimaie absolut corect, estimaie eficient. 7.1.5 Funcia de verosimilitate. Ecuaia de verosimilitate maxim. Sistemul de verosimiliate maxim. a) Cazul cu parametrul unidimensional . Fie X o variabil aleatoare cu densitatea de probabilitate sau , cu . Tratm cazul cu parametrul unidimensional.

Pentru X folosim selecia . Definiia 6. Funcia de verosimilitate (unidimensional) se noteaz cu i are forma de produs ;

(2) Proprietate important. Punctele staionare (relative la ) ale funciei coincid cu punctele staionare ale funciei . Ecuaia verosimilitii maxime are forma

(3) Definiia 7. Notm cu o soluie a ecuaiei (3). Valoarea se numete estimaie cu verosimilitate maxim pentru parametrul . b) Cazul cu parametrul multidimensional . Fie r variabile aleatoare , care depind de parametrii . Parametrul are dimensiunea k . Folosim o selecie de volum N de forma ; ; , , unde semnul T reprezint operaia de transpunere. Definiia 8. Funcia de verosimilitate (multidimensional) are forma ;

(4) Sistemul (de ecuaii) de verosimilitate maxim are forma , , ,

(5)

Definiia 9. Soluia a sistemului (5) se numete estimare cu verosimilitate maxim pentru parametri . Definiia 10. O estimare care are verosimilitate maxim se numete estimare eficient sau estimare exhaustiv. 7.1.6 Metode de estimare a parametrilor. Metoda verosimilitii maxime. Metoda momentelor. Parametrii necunoscui ai unei densiti de probabil;itate se estimeaz cu ajutorul unei selecii

. Exist dou metode principale de estimare a parametrilor.

Metoda 1. Metoda verosimilitii maxime. Algoritmul 1. a) Alegem cazul sau . Forma funciei f este cunoscut, dar parametrul / parametri sunt necunoscui. Tratm cazul . b) Lum o selecie de forma . c) Scriem funcia de verosimilitate (2) i calculm . d) Scriem i rezolvm ecuaia (3) . Obinem soluia . e) Lum estimarea . Observaia 3. n cazul se urmeaz aceeai cale, dar se rezolv sistemul de ecuaii (5). Metoda 2. Metoda momentelor. Algoritmul 2. Reamintim cteva idei i formule legate de variabilele aleatoare unidimensionale, discrete sau continue.

, ,

(n cazul discret; , (n cazul continuu) ,

; (momente necentrate) ; (momente necentrate). a) Alegem cazul sau i socotim numrul de parametri ai funciei cunoscute (ca form) f . Numrul de momente , pe care se bazeaz matoda 2 este egal cu numrul de parametri care trebuie estimai. b) Scriem formulele pentru toate momentele necesare. ; etc. c) Lum o selecie de volum N , de forma . Scriem formulele pentru valorile momentelor de selecie ; etc. d) Scriem sistemul de ecuaii cu parametrul sau parametri necunoscui. ; etc. e) Se rezolv ecuaia de la d) sau sistemul de la d). Observaia 4. Exixt o anumit frumoas i interesant dualitate de exprimare:

dispersie minim; verosimilitate maxim.

7.1.7 Probleme rezolvate. Estimri cu diepersia minim. Verosimilitate maxim. Problema 1. Estimare eficient. Dispersie minim. Repartiia normal. Un singur parametru. Fie X o variabil aleatoare normal ; ; . S se demonstreze c este o estimare eficient a valorii medii . Soluie. Densitatea de probabilitate are doi parametri and . n aceast problem parametrul din expunerea teoretic este parametrul m .

Trebuie s artm c are loc egalitatea (1) din 7.1.4 . Din membrul stng obinem succesiv =

EMBED Equation.3 = = . Din membrul drept obinem succesiv = = . Calculm separat integrala notat A A= ; artificiul 1: dedublarea lui

A= ; artificiul 2: A= ; artificiul 3: A= ; artificiul 4: A= ; artificiul 5: ; A= ; Cei doi membri ai egalitii (1) aunt egali cu . Deci, este o estimare eficient a parametrului valoarea medie m , adic estimarea are dispersie mimim. Problema 2. Repartiie Poisson discret. Verosimilitate maxim. Un parametru. Fie X o variabil aleatoare Poisson discret ; ; . Folosind selecia asupra lui X , s se determine pentru parametrul o estimaie cu verosimitate maxim. Soluie. Aplicm metoda verosimilitii maxime, prin algoritmul 1. Construim fruncia de verosimilitate (2) i obinem succesiv: =

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 = unde, pentru o redactare mai clar, sus la putere am folosit notaia , etc, iar

; . Cu aceste notaii rezult ; ; rezolvm aceast ecuaie n

; ; .

Deci parametrul este estimat prin media de selecie , care este o estimaie nedeplasat pentru a repatiiei Poisson. Problema 3. Repartiie normal continu. Verosimilitate maxim. Doi parametri. Fie X o variabil aleatoare cu repatiie normal, continu

; ; . Folosind selecia asupra lui X s se gseasc o estimare cu verosimilitate maxim pentru cei doi parametri a i b . Soluie. Aplicm metoda verosimilitii maxime, prin algoritmul 1. Construim fruncia de verosimilitate (4) i obinem succesiv: = , unde folosim notaiile ; . Aplicm logaritmul natural . Folosim metoda verosimilitii maxime pentru 2 parametii a b , folosim un system de dou ecuaii ; ; ; ; . Rezult ; ; a este media de selecie pentru X ; media de selecie este o estimaie cu verosimilitate maxim. Pentru parametrul obinem ;

EMBED Equation.3 +=

EMBED Equation.3 , deorece

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 . Deci, n parametrul recunoatem dispersia variabilei aleatoare X.

Rezultatele finale sunt

EMBED Equation.3 ; . Problema 4. Repartiie Bernoulli discret. Verosimilitate maxim. Un parametru. . Fie X variabil aleatoare discret cu repartiie binomial ; ; ; . Funcia este o funcie nemonoton, cu parametrul p . Folosind o selecie de valori ale lui X s se estimeze parametrul p nct s aib verosimilitate maxim. ntre numerele naturale n i N nu exist nici o relaie. Soluie. Folosim algoritmul 1, cu funcia de verosimilitate (2) ; , unde pentru claritatea formulei am notat , etc. Rezult =

EMBED Equation.3 , unde ; . Logaritmm ; derivm i rezolvm ecuaia

; ; ; ; . Parametrul p astfel estimat are verosimilitate maxim. El genereaz valoarea medie a variabilei Bernoulli. Problema 5. Repartiie discret. Verosimilitate maxim. Un parametru. Fie X variabil aleatoare discret cu repartiia ; . Folosind o selecie de valori ale lui X s se estimeze parametrul p nct s aib verosimilitate maxim; . Soluie. Aplicm algoritmul 1. Funcia de verosimilitate are forma , deoarece din cele N extracii de k ori a ieit 1 i de a ieit valoarea 0. Logaritmm i obinem succesiv ; ; ; . Estimarea parametrului p are verosimilitate maxim i recunoatem n aceast estimare chiar valoarea medie a variabilei X . Problema 6. Repartiie normal continu. Estimare prin metoda momentelor. Doi parametri. Fie variabila aleatoare normal

, cu densitatea .

Folosind o selecie de valori ale lui X s se estimeze parametrii necunoecui i . Soluie. Folosim metoda momentelor. Deoarece exist doi parametri, folosim primele dou momente (necentrate) ale variabilei aleatoare normale X . Avem ; . Momentele de selecie au forma

; .

Construim sistemul liniar cu dou ecuaii i dou necunoscute ; ;

EMBED Equation.3 ; . Rezolvm sistemul i notm soluiile prin i . Rezult = ; , deoarece totdeauna are loc egalitatea = . Deci, am gsit estimrile ; .

Recunoatem formule cunoscute, pe care le-am ntlnit la nceputul seciunii 7.1.3, care trateaz estimarea nedeplasat a valorii medii i estimarea consistent a dispersiei.

Problema 7. Repartiie beta continu. Estimare prin metoda momentelor. Doi parametri. Fie variabila aleatoare beta

; . Folosind o selecie de valori ale lui X s se estimeze parametrii a i b . Soluie. Folosim metoda momentelor. Deoarece exist doi parametri, folosim primele dou momente (necentrate) ale variabilei aleatoare normale X . Reamintim cteva formule ; pentru ramura principal a funciei multiforme ; ; . Folosim momentele = . Deci ;

EMBED Equation.3 ; . Construim sistemul ; = ;

EMBED Equation.3 = Rezolvm sistemul neliniar i obinem succesiv , = ; = (notaie)

= . Deci, sistemul devine =,

, ;

, ; .

Soluia final este ; , unde

; . Totul este exprimat cu date (rezultate) cunoscute.

_1473696252.unknown

_1473697128.unknown

_1473697459.unknown

_1473697556.unknown

_1473697640.unknown

_1473697755.unknown

_1473697759.unknown

_1473697761.unknown

_1473697762.unknown

_1473697760.unknown

_1473697757.unknown

_1473697758.unknown

_1473697756.unknown

_1473697655.unknown

_1473697751.unknown

_1473697753.unknown

_1473697754.unknown

_1473697752.unknown

_1473697663.unknown

_1473697671.unknown

_1473697750.unknown

_1473697659.unknown

_1473697647.unknown

_1473697651.unknown

_1473697643.unknown

_1473697600.unknown

_1473697620.unknown

_1473697629.unknown

_1473697634.unknown

_1473697625.unknown

_1473697608.unknown

_1473697613.unknown

_1473697604.unknown

_1473697575.unknown

_1473697587.unknown

_1473697595.unknown

_1473697582.unknown

_1473697567.unknown

_1473697571.unknown

_1473697562.unknown

_1473697507.unknown

_1473697523.unknown

_1473697547.unknown

_1473697551.unknown

_1473697528.unknown

_1473697514.unknown

_1473697519.unknown

_1473697510.unknown

_1473697484.unknown

_1473697497.unknown

_1473697501.unknown

_1473697491.unknown

_1473697472.unknown

_1473697476.unknown

_1473697468.unknown

_1473697302.unknown

_1473697363.unknown

_1473697405.unknown

_1473697418.unknown

_1473697453.unknown

_1473697409.unknown

_1473697381.unknown

_1473697401.unknown

_1473697377.unknown

_1473697324.unknown

_1473697335.unknown

_1473697339.unknown

_1473697328.unknown

_1473697312.unknown

_1473697319.unknown

_1473697307.unknown

_1473697173.unknown

_1473697284.unknown

_1473697293.unknown

_1473697296.unknown

_1473697288.unknown

_1473697214.unknown

_1473697258.unknown

_1473697211.unknown

_1473697154.unknown

_1473697163.unknown

_1473697167.unknown

_1473697158.unknown

_1473697144.unknown

_1473697149.unknown

_1473697140.unknown

_1473696724.unknown

_1473696851.unknown

_1473697062.unknown

_1473697117.unknown

_1473697124.unknown

_1473697065.unknown

_1473697048.unknown

_1473697058.unknown

_1473696993.unknown

_1473696753.unknown

_1473696794.unknown

_1473696842.unknown

_1473696759.unknown

_1473696732.unknown

_1473696741.unknown

_1473696746.unknown

_1473696735.unknown

_1473696728.unknown

_1473696545.unknown

_1473696662.unknown

_1473696676.unknown

_1473696715.unknown

_1473696667.unknown

_1473696606.unknown

_1473696612.unknown

_1473696601.unknown

_1473696296.unknown

_1473696487.unknown

_1473696510.unknown

_1473696478.unknown

_1473696271.unknown

_1473696279.unknown

_1473696259.unknown

_1460446962.unknown

_1462110503.unknown

_1466612159.unknown

_1466612357.unknown

_1466612478.unknown

_1466612555.unknown

_1466612566.unknown

_1466612707.unknown

_1466612733.unknown

_1473696210.unknown

_1466612725.unknown

_1466612689.unknown

_1466612703.unknown

_1466612559.unknown

_1466612489.unknown

_1466612511.unknown

_1466612481.unknown

_1466612453.unknown

_1466612470.unknown

_1466612474.unknown

_1466612456.unknown

_1466612389.unknown

_1466612439.unknown

_1466612362.unknown

_1466612386.unknown

_1466612276.unknown

_1466612316.unknown

_1466612322.unknown

_1466612327.unknown

_1466612319.unknown

_1466612309.unknown

_1466612312.unknown

_1466612287.unknown

_1466612186.unknown

_1466612215.unknown

_1466612237.unknown

_1466612190.unknown

_1466612212.unknown

_1466612178.unknown

_1466612183.unknown

_1466612173.unknown

_1466612090.unknown

_1466612134.unknown

_1466612143.unknown

_1466612151.unknown

_1466612139.unknown

_1466612098.unknown

_1466612103.unknown

_1466612093.unknown

_1466612060.unknown

_1466612082.unknown

_1466612085.unknown

_1466612071.unknown

_1466612038.unknown

_1466612058.unknown

_1462198407.unknown

_1462203277.unknown

_1462203870.unknown

_1462203912.unknown

_1462203975.unknown

_1462203810.unknown

_1462198523.unknown

_1462203146.unknown

_1462198440.unknown

_1462198137.unknown

_1462198296.unknown

_1462110531.unknown

_1462197693.unknown

_1460479730.unknown

_1460608947.unknown

_1460645462.unknown

_1460648691.unknown

_1460649533.unknown

_1460650675.unknown

_1460652879.unknown

_1460653463.unknown

_1460652077.unknown

_1460650266.unknown

_1460649512.unknown

_1460648058.unknown

_1460648390.unknown

_1460647440.unknown

_1460627214.unknown

_1460627264.unknown

_1460626957.unknown

_1460527645.unknown

_1460529743.unknown

_1460608909.unknown

_1460528880.unknown

_1460480342.unknown

_1460527516.unknown

_1460480295.unknown

_1460470473.unknown

_1460473449.unknown

_1460473600.unknown

_1460475208.unknown

_1460473517.unknown

_1460472799.unknown

_1460473109.unknown

_1460472560.unknown

_1460451788.unknown

_1460451901.unknown

_1460453677.unknown

_1460451811.unknown

_1460448567.unknown

_1460450560.unknown

_1460447253.unknown

_1411798943.unknown

_1412101571.unknown

_1412142234.unknown

_1412143959.unknown

_1460441380.unknown

_1460444158.unknown

_1460444199.unknown

_1460443048.unknown

_1412144965.unknown

_1412146217.unknown

_1412146379.unknown

_1460441078.unknown

_1460441107.unknown

_1412274530.unknown

_1412146269.unknown

_1412146186.unknown

_1412144493.unknown

_1412143411.unknown

_1412143465.unknown

_1412143590.unknown

_1412142584.unknown

_1412142700.unknown

_1412143128.unknown

_1412142599.unknown

_1412142516.unknown

_1412102213.unknown

_1412103041.unknown

_1412105084.unknown

_1412105083.unknown

_1412102244.unknown

_1412101851.unknown

_1412101945.unknown

_1412101770.unknown

_1412096278.unknown

_1412097365.unknown

_1412101315.unknown

_1412101502.unknown

_1412097434.unknown

_1412096455.unknown

_1411801498.unknown

_1411801883.unknown

_1411803138.unknown

_1411803507.unknown

_1412095957.unknown

_1411803905.unknown

_1411803236.unknown

_1411803444.unknown

_1411803051.unknown

_1411801705.unknown

_1411801532.unknown

_1411801590.unknown

_1411801167.unknown

_1411801241.unknown

_1411800107.unknown

_1411801055.unknown

_1411799275.unknown

_1411752374.unknown

_1411797754.unknown

_1411798250.unknown

_1411798387.unknown

_1411798443.unknown

_1411798313.unknown

_1411797949.unknown

_1411798081.unknown

_1411797911.unknown

_1411757693.unknown

_1411757880.unknown

_1411797101.unknown

_1411797708.unknown

_1411757832.unknown

_1411755639.unknown

_1411757344.unknown

_1411755213.unknown

_1411755475.unknown

_1409726579.unknown

_1411627553.unknown

_1411653828.unknown

_1411749986.unknown

_1411750109.unknown

_1411751214.unknown

_1411751950.unknown

_1411653899.unknown

_1411748223.unknown

_1411749947.unknown

_1411747604.unknown

_1411653850.unknown

_1411628664.unknown

_1411628863.unknown

_1411628406.unknown

_1411628601.unknown

_1411627739.unknown

_1411540938.unknown

_1411541208.unknown

_1411541351.unknown

_1411541025.unknown

_1410702863.unknown

_1411540214.unknown

_1409727562.unknown

_1409727235.unknown

_1409727516.unknown

_1409727149.unknown

_1409644481.unknown

_1409676395.unknown

_1409677228.unknown

_1409679930.unknown

_1409676699.unknown

_1409675812.unknown

_1409675857.unknown

_1409646587.unknown

_1409675701.unknown

_1409644737.unknown

_1409643301.unknown

_1409643338.unknown

_1409644111.unknown

_1409640858.unknown

_1409641059.unknown

_1409642137.unknown

_1409642161.unknown

_1409641133.unknown

_1409641030.unknown

_1409640685.unknown

_1409640710.unknown

_1409551563.unknown

_1409588784.unknown