descrierea fenomenului de dispersie. modelul general al

8/14/2019 Descrierea Fenomenului de Dispersie. Modelul General Al

1/21

Descrierea fenomenului de dispersie. Modelul general al dispersiei. Anca Marina Marinov88

Capitolul 4

DESCRIEREA FENOMENULUIDE DISPERSIE

MODELUL GENERAL AL DISPERSIEI

4.1. DESCRIEREA FENOMENULUI DE DISPERSIE

Teoria dispersiei n mediu poros reprezint descrierea calitativ i estimareacantitativ a comportrii deplasrii fluidelor miscibile unul n cellalt, ntr-un mediu poros. Cnd dou fluide miscibile intr n contact, exist o interfa care deschide ozon de tranziie n care diferenele dintre proprietile fizice ale celor dou fluide tinds se niveleze, n timp. Acest efect global rezult din aciunea simultan a unorfenomene fizico-chimice (difuzia moleculr, diferenele de permeabilitate ale mediului

poros).Dezvoltarea istoric a teoriei dispersiei s-a fcut n trei etape:1. Experiene n laborator pentru investigarea deplasrii fluidelor miscibile n

mediu poros;2. Deducerea relaiilor matematice (ecuaii i formule) care descriu experienele

de laborator, dnd sintetic explicaia rezultatelor experimentale;3. Aplicarea formulelor i ecuaiilor dispersiei la probleme reale de poluare a

mediului.

Vom da un exemplu simplu de dispersie n mediu poros.Fie un mediu poros saturat cu ap curat coninut ntr-un tub cilindric. La timpul

t = 0 este injectat n tub un lichid format din ap amestecat cu un component chimiclichid, avnd concentraia C0.

Profilul concentraiei, la timpul t = 0, este o funcie treapt. Micarea esteunidimensional, viteza de injecie este constant i presupunem c nu existinteraciuni fizico-chimice (de exemplu adsorbia) ntre fluid i scheletul solid.


2/21

Dispersia poluanilor n apele subterane 89

Concentraia substanei chimice injectate variaz cu timpul. Profilulconcentraiei are aspectul tipic al unei curbe S.

Zona de tranziie este definit ca zona n care concentraia lichidului injectatvariaz de la 0 la C0. Lungimea acestei zone crete cu timpul. n figura 2.1 estereprezentat evoluia zonei de tranziie, n timp.

x

C0

t=t2t=t1t=0

Figura 4.1: Evoluia zonei de tranziie

Comportarea i evoluia zonei de tranziie poate fi interpretat ca o tendin spreuniformizare, a compoziiei chimice a amestecului. Mecanismul dispersiei este foartecomplicat.

Dispersia este rezultatul aciunii simultane a unui fenomen pur mecanic i aunui fenomen fizico-chimic.

a) Aciunea mecanic

Datorit influenei scheletului solid, distribuia vitezei unui fluid care curgeprintr-un mediu poros nu este uniform.

1. Faptul c fluidul este vscos implic apariia unui cmp de viteze variabil nseciunea tubului de curent. Astfel, datorit frecrilor vscoase, viteza este nul laperetele solid i are o valoare maxim n axa tubului (figura 4.2.a).


3/21


V

(c)(a) (b)

pozitia particulei de fluid la timpul tpozitia particulei de fluid la timpul t+dt

Figura 4.2: Dispersia mecanic

2. Variaia dimensiunilor porilor creeaz diferene ntre vitezele maxime nlungul axelor porilor (figura 4.2.b).

3. Liniile de curent variaz n raport cu direcia medie a curgerii (figura 4.2.c)Aceste trei tipuri de aciune mecanic au loc simultan i formeaz"dispersia

mecanic" (figura 4.3).

Figura 4.3: Dispersia mecanic


4/21


Observaii asupra fenomenului sugereaz aspectul geometric al dispersiei,respectiv existena a dou efecte de baz, unul n direcia a vitezei medii (datoratdiferenei dintre componentele vitezei n lungul direciei ) i altul n planul perpendicular pe (datorit diferenei ntre componentele vitezei n plan). Acesteefecte se numesc "dispersie longitudinal", respectiv "dispersie lateral".

b) Aciunea fizico-chimic

Dispersia fizico-chimic este difuzia molecular care rezult din gradientulpotenialului chimic. Potenialul chimic este corelat cu concentraia. Difuzia molecularapare chiar ntr-un fluid n repaus.

Ca i n cazul dispersiei mecanice aciunea difuziei moleculare poate ficlasificat n dou tipuri. Presupunem fluidul mprit n dou tuburi de curent.

t+dt

(a) (b) (c)

Figura 4.4. Dispersia fizico-chimic

1. n interiorul unui tub de curent diferenele de concentraie, n direcia medie atubului de curent, tind s dispar. Acesta este efectul longitudinal (figura 4.4.a).

2. ntre dou tuburi de curent adiacente exist un transfer de mas pentru a

uniformiza diferenele de concentraie. Acesta este efectul lateral (figura 4.4.b).Difuzia molecular este cea care determin dispersia lateral i face posibilanalogia matematic ntre dispersie i transferul de cldur.


5/21


4.2. PARAMETRII CARACTERISTICI DISPERSIEI

Parametrii caracteristici fenomenului de dispersie sunt de dou tipuri:a) parametrii ale cror valori numerice msoar dispersia;b) parametrii care influeneaz procesul de dispersie.Abordarea cantitativ a dispersiei necesit o definire a scrii la care este studiat

fenomenul (scara la care sunt fcute msurtorile). Acest concept al scrii este cel maiimportant n fizici n special n cazul curgerii prin mediu poros.

Teoria dispersiei este, de obicei, bazat pe folosirea a trei nivele principale:-un nivel local (microscopic);-un nivel al volumului porilor;

-un nivel macroscopic.n cazul nivelului local parametrii descriu o cantitate fizic, ntr-un punct (de

exemplu, ntr-un element de volum infinit mic).La nivlelul porilor, parametrii sunt definii ca medii (valori corespunztoare

unui proces mediu) corespunztoare unui volum finit de fluid.ntr-un mediu poros conceptul de " vitez n pori " se determin la acest nivel i

este media valorilor vitezelor n pori.Considerarea nivelului macroscopic se face prin luarea n considerare a

ntregului format din scheletul solid i apa din pori.

a) Dispersia este msuratprin trei cantiti fizice (de exemplu, cantitile care

au un neles fizic direct i ale cror valori numerice pot fi obinute direct) i printr-unset de mrimi matematice (de exemplu, mrimi rezultate dintr-o interpretarematematic a teoriei dispersiei).

Mrimile fizice ce msoar dispersia sunt densitatea,concentraia i viteza.Mrimile matematice care msoar dispersia sunt coeficienii dispersiei.Noi vom lucra, n special, cu concentraiile soluiei de amestec (ap + poluant)

i cu coeficienii de dispersie.b) Parametrii care influenteaz dispersia pot fi clasificai n trei grupe:1. Parametrii care descriu mediul poros;2. Caracteristicile fluidului;3. Caracteristicile deplasrilor.

Mediul poros influeneaz dispersia prin structura sa geometric. n generaleste posibil s se defineasc aceast structur prin consideraii teoretice de geometriediferenial, introducnd coordonatele i curbura n fiecare punct la interfaa solid-por.


6/21


O astfel de cunoatere complet nu poate fi fcut experimental i aceasta implicintroducerea parametrilor medii.

n mod uzual sunt folosite dou seturi de caracteristici geometrice.Primul set ia n considerare cifra porilor sau porozitatea sau permeabilitatea dat

de legea lui Darcy. Mediul este considerat continuu.Al doilea set ia n considerare parametrii ce pot msura urmtoarele

caracteristici ale porilor:-suprafaa specific (raportul dintre interfaa solid a porilor ntr-o prob i

volumul probei);-distribuia mrimii granulelor pentru un mediu neconsolidat ;-distribuia mrimii porilor;-gradul de consolidare.

Dac au loc aciuni chimice la interfaa solid-pori (ca adsorbia) este necesar sse ia n consideare constituenii chimici din scheletul solid.

Faza lichid, ca ntreg este caracterizat de viteza sa i de densitate, amndoufiind definite ca funcii de compoziia chimic.

Caracteristicile deplasrii care influeneaz dispersia sunt:-distribuia vitezei;-distana pe care se ntinde zona de tranziie.

4.3. MODELAREA MATEMATIC A FENOMENULUI DE DISPERSIE

n literatura de specialitate sunt prezentate trei categorii de modele matematiceale fenomenului de dispersie a dou fluide miscibile ntr-un mediu poros:

-modele geometrice;-modele geometrice -statistice;-modele probabiliste.Modelele geometrice i modelele geometrice -statistice au la baz reprezentarea

mediului poros printr-o reea geometric, care s permit exprimarea matematic afenomenului.

Astfel de modele necesit un numr mare de parametrii, caracteristicigeometriei date.

Reprezentarea mediului poros printr-o reea geometric constituie o idealizare a

condiiilor reale. Folosirea modelelor geometice nu a dat rezultate mulumitoare.Pentru a face numrul cel mai mic de presupuneri cu privire la geometria

mediului poros s-a cutat un model general, o reprezentare general a dispersiei.Aceasta a condus la realizarea unor modele probabilistice (Scheidegger, 1963), bazate pe ideea c datele privitoare la mediul poros sunt aleatoare i c cea mai potrivit


7/21


reprezentare a unei situaii este aceea de a reprezenta mediul printr-un set de variabilealeatoare.

Ecuaia care descrie fenomenul de transfer de mas, ntr-o form general[Fried, 1971] este:

( ) ( )[ ]

( ) ( )( )( )

T.D.

S+ty,z,x,

ty,z,x,Cgradty,z,x,ty,z,x,Ddiv

T.C.

ty,z,x,Cty,z,x,vdivt

t)y,z,C(x,

r

+

+=

(4.1)

undeC(x, y, z, t) este concentraia poluantului;T.D. reprezinttransportul difuzionali se realizeaz prin micarea nencetat

a moleculelor care se ciocnesc i schimb astfel, ntre ele, energia sau momentul;T.C. este transportul convectiv (advectiv)i corespunde deplasrii particulelor

antrenate de micarea general a fluidului. n acest caz deplasrile au un caracterdeterminist;

Srreprezint o surs de substan (sau poate reprezenta adsorbia).

Din analiza fenomenului de dispersie a unui poluant ntr-un mediu poros rezultexistena a trei mecanisme principale, de migraie, a substanelor poluante: Convecia (advecia); Difuzia molecular; Dispersia mecanic sau cinematic.

Vom ncerca, pornind de la definirea fenomenului, s exprimm matematicfiecare din cele trei mecanisme.

Prin convecie (advecie) vom nelege antrenarea elementelor n soluie, nmicarea fluidului care se deplaseaz.

ntr-un mediu poros saturat, apa se gsete sub dou forme: apa legat i apaliber (care poate circula sub aciunea unor gradieni de sarcin hidraulic). n realitate,n special pentru mediile puin permeabile, fraciunea de ap liber depinde de mrimeagradienilor de sarcin (este cazul argilelor, n zona de valabiltate a legii lui Darcy).


8/21


Am definit, anterior, porozitatea cinematic, ca fiind:

totalvolumul

apacirculacareprinporilorvolumul=nc

Vom presupune c transportul particulelor poluante este fcut doar n fraciuneafluid n micare, datorit fenomenului de convecie.

Ecuaia de transport, la scara unui volum elementar, se obine prin aplicareaprincipiului conservrii masei de ap coninute n acest volum.

Fie un volum elementar, V, limitat de suprafaa curb nchis S. Conservareamasei elementului transportat, n volumul V, se scrie:

timp)deunitateainV,volumuldinielementulumasei(Variatia=

V)volumuluiperetiiprinttransportaielementulualmasic(Fluxul

S

=(4.2)

Fluxul masic care intr n Veste

S

dSnUC

(4.3)

unde n este normala exterioar la suprafaa S;

U este viteza Darcy, prin suprfaa S(fluxul volumic prin unitatea de suprafa)Ceste concentraia volumic (mg/l) a elementului transportatUC este fluxul masic al elementului transportat prin unitatea de suprafa S.

Masa M, a elementului transportat, coninut n domeniul V, se obine nsumndvolumele elementare de fluid (nc dV) coninute n mediul poros, nmulite cuconcentraia volumic, C, a elementului considerat:

(4.4)V

cCdVn=M

unde nc este porozitatea cinematic (corespunztoare fraciunii de fluid care circul)Presupunem c elementul transportat este coninut doar n fraciunea mobil (nu

i n apa legat). n condiiile n care nc = cti Veste fix putem spune c variaia ntimp a masei coninute n volumul Veste:

V

c

V

c dVt

Cn=CdVn

t. (4.5)


9/21


Conservarea masei elementului transportat, n volumul V, (4.2), se scrie:

S V

c dVt

Cn=dSnUC

(4.6)

Vom transforma integrala din partea stnga ntr-o integral de volum. Aplicnd relaiaGauss - Ostrogradsky,

( ) S V

dVUCdiv-=dSnUC

, (4.7)

ecuaia (4.6) devine:

( ) dVt

Cn=dVUCdiv

V

c

V

(4.8)

Volumul Vfiind arbitrar, ecuaia de transport corespunztor conveciei va fi:

( )t

Cn=UCdiv- c

(4.9)

Difuzia moleculareste un fenomen fizic legat de agitaia molecular. ntr- un

fluid n repaus, micarea brownian provoac deplasarea particulelor n toate direciilespaiului. Dac concentraia fluidului este omogen n spaiu, dou puncte vecine trimit,n medie, acelai numr de particule unul spre cealalt, iar agitaia molecular numodific concentraia soluiei. Dac exist un gradient de concentraie ntre dou puncte vecine, punctul cu concentraie mai ridicat va trimite, n medie, mai multe particule n toate direciile, dect punctele cu concentraie slab . Rezultatul acesteiagitaii moleculare va fi un transfer de particule dinspre zona cu concentra ie mairidicat spre cea cu concentraie mai sczut.

Prima lege a lui Fickarat c fluxul masic , al particulelor, ntr-un fluid nrepaus, este proporional cu gradientul de concentraie:

. (4.10)gradCd-= 0

d0 este numit coeficient de difuzie moleculari are formula dimensional [L

2T-1]. Oexprimare analitic a coeficientului de difuzie molecular este urmtoarea:


10/21


r6N

RT=d0

1 (m2/s) (4.11)

unde:R = 8314 J/kmol K este constanta gazelor perfecte;N= 6, 023 1023 este numrul lui Avogadro;Teste temperatura absolut (K); este vscuzitatea dinamic a fluidului (Pa s);r este raza medie a agregatelor moleculare care difuzeaz (m);

Pentru NaCl n ap, la 20 C, d0 = 1, 3 10-9 m2/s.

Dac transportul elementelor, ntr-un fluid n repaus se datoreaz doar difuzieimoleculare, legea de micare (confornm principiului conservrii masei) va fi

VS

dVCt

=dSn

, (4.12)

respectiv, dup transformarea Gauss,

( )

VV

dVt

C=dVdiv

(4.13)

nlocuind n (4.13) fluxul datorat difuziei moleculare cu cel dat de prima lege alui Fick, i innd seama de faptul c volumul V este fix, oarecare, rezult:

( )t

C=gradCddiv 0

(4.14)

cunoscut sub numele de a doua lege a lui Fick i reprezint ecuaia de transportcorespunztor difuziei moleculare.

ntr-un mediu poros, difuzia molecular se produce n toat faza fluid (apalegat + apa liber). Existena solidului ncetinete puternic micarea brownian a particulelor transportate n fluid. n concluzie coeficientul de difuzie molecularefectiv, d(m2/s), ntr-un fluid n repaus, aflat n porii unui mediu poros, este mai micdect d0 (coeficientul de difuzie molecular n fluidul respectiv). Raportul celor doicoeficieni poart numele de tortuozitate (Bear 1972):


11/21


=nF

1=d

d

0tortuozitatea mediului (4.15)

undeFeste numit factor de formaie (al geofizicienilor) i este definit prin raportul

dintre rezistivitatea electrice a rocii i rezistivitatea apei coninute,n este porozitatea total.

Dac notm cu L distana, msurat n linie dreapt, dintre capetele unei traiectorii afluidului n mediul poros i cu Lr lungimea real a traiectoriei, atunci tortuozitateamediului poros poate fi interpretat ca raportulL/Lr, ntotdeauna mai mic dect unitatea.n practictortuozitatea d/d0variaz ntre 0,1 pentru argile i 0,7 pentru nisip.

Difuzia molecular va provoca o mprtiere a poluantului n jurul punctului deinjecie, chiar n absena curgerii fluidului prin mediul poros. Figura (4.5) aratdistribuia n timp i spaiu, a unei soluii, avnd o concentraie C0, injectat lamomentul t0, pe distana cuprins n intervalul (x-a), (x+a). Dup un interval de timpsoluia se mprtie pe o distan mai mare dect intervalul de spaiu iniial, iar valoareamaxim scade n timp. Concentraia soluiei are o distribuie Gaussian sau altfel spus odistribuie normal

C x t

x

t=0t=t1

t=t2

x+ax-a

Figura 4.5. Variaiaconcentraiei n timp i spaiu, datorat difuziei, n cazul unei


12/21


injectii de poluant de tip treapt.

Dac se consider fenomenul format din nsumarea celor dou componente,convecia (advecia)i difuzia molecular, cele dou fluxuri de materie care ptrundprin frontiera domeniului V, sunt, nsumate:

( )dVUC+ndiv-=dSnUC-dSnVSS

, (4.16)

unde:n este versorul normalei exterioare la S, iar

n reprezint porozitatea total.n relaia (4.16) s-a aplicat transfrmarea Gauss i s-a inut seama de faptul c difuzia

molecular se face prin toat suprafaa porilor. Astfel, n tenmenul ( )UC+n apare porozitatea total pentru c integrala fluxului difuziv , pe suprafaa S, este nul prin

suprafaa solid a particulelor (1-n), iar viteza U (Darcy) este definit n funcie desuprafaa totalS(U = Q/S).

Vom exprima variaia n timp a masei de poluant, coninut n apa din pori:

( )

V

'c

V

c dVCn-n

t

+dVCn

t

, (4.17)

considernd c apa care circul are concentraia Cn volumul corespunztor porozitiicinematice nc, iar apa legat (aflat n volumul corespunztor unei poroziti (n - nc) areo concentraie C' C. Elementele transportate de apa mobil ajung n apa imobildatorit difuziei moleculere. Astfel, n cazul n care se ine seama att de transportuladvectiv ct i de cel difuziv, ecuaia conservrii masei devine:

( )[ ] ( )

V V

'

c

V

c dVt

Cn-n+dV

t

Cn=dVUC+gradCd-ndiv

. (4.18)

Volumul Vne fiind specificat se poate deduce:


13/21


( ) ( ) tCn-n+tCn=UC-gradCdndiv'

cc

(4.19)

Riguros, termenul difuziv ar trebui s se scrie:

, (4.20)( ) )) '2c1c gradC(ddivn-(n+gradC)(ddivngradCdndiv =n care

ncreprezint fraciunea din suprafaa Socupat de fluidul mobil, care difuzeazcu un coeficient de difuzie d1, iar

n - nc este fraciunea imobil din S, la a crei traversare, difuzia se face (datorit

gradientului concentraiei C' ) cu un coeficient de difuzie d2 d1 d;Acest efect se poate neglija datorit existenei dispersiei cinematice. Aceasta

face difuzia aproape neglijabil.Dac n ecuaia (4.19) se nlocuiete efectul difuziei moleculare cu cel al

dispersiei se va folosi n locul coeficientului de difuzie molecular efectiv, uncoeficient de dispersie ( ndse inlocuiete cu D), iar ecuaia care descrie transferul demas datorit adveciei i dispersiei devine:

( )t

Cn-n+

t

Cn=)UC-gradCD(div

'

cc

(4.21)

Dispersia cinematic (mecanic) este un fenomen de amestec, legat deeterogenitatea vitezelor microscopice. Acest aspect al dispersiei a fost descris nparagraful (4.1).

Dispersia cinematic ar putea fi rezumat prin urmtoarele aspecte: o propagare mai rapid a elementelor transportate n axa porilor; o diferen a vitezelor medii ntre pori diferii; liniile de curent se ntreptrund, provocnd o diluie neuniform a concentraiei.

Deci, dispersia cinematic este rezultatul existenei unui cmp de viteze real,complex i necunoscut, pe care l neglijm n fenomenul de convecie cnd utilizmviteza medie, fictiv, Darcy.

Numeroi cercettori (Taylor, Schedegger, Bear, Bachmat, Fried) au dezvoltatteoria stohastic a dispersiei, pornind de la o distribuie aleatoare a porilor careformeaz mediul poros. Dm n continuare o demonstraie pentru un caz simplu,unidimensional.


14/21


Fie C(t, x) probabilitatea ca o particul transportoare s se afle n poziiax, la

momentul t. Dacp este probabilitatea ca, n intervalul t, particula s efectueze odeplasare x n sens (+), iar q este probabilitatea ca, n intervalul t, particula sefectueze o deplasare x n sens (-), atunci, egalitatea

p + q = 1se poate exprima:

C(t, x) = p C(t - t, x - x) + q C(t - t, x + x), (4.22)

adic particulele aflate la momentul t n x provin fie dintre cele care la momentulanterior (t - t) se aflau n (x - x) i n intervalul (t - t, t) efectueaz o deplasare nsens pozitiv, fie dintre cele care se aflau n (x + x) i efectueaz un pas n sens negativ.

Din dezvoltarea n serie a lui C(x, t), rezult:

( ) ( )

...x

C

2!

x+

x

Cxt-tx,C=t-tx,xC

2

2

2

(4.23)

Introducem (4.23) n (4.22), neglijnd termenii de ordin superior:

( ) ( )( )

x

C

t2

x=

x

C

t

xq-p+

t

t-tx,C-tx,C

2

22

(4.24)

Prin trecerea la limit(x0, t0 )i innd seama de notaiile urmtoare:( )

D=t

x

v=t

xq-p

2

x

2

0

ot,x

t,x

lim

lim

rezult ecuaia:

( ) ( ) ( )

x

tx,CD=

x

tx,Cv+

t

tx,C2

2

x

(4.25)

care descrie un proces cunoscut n teoria proceselor stohastice sub numele de proces dedispersie.


15/21


n teoria stohastic se propune adoptarea unei legi de transfer prin dispersie,analog cu legea lui Fick.

Fluxul dispersiv gradCD-= va trece prin toat seciunea S (ca i viteza

Darcy). Coeficientul de dispersie D este un tensor, presupus simetric, de ordinul 2 (areca direcie principal direcia vectorului vitez de curgere). Valoarea coeficientului dedispersie este funcie de modulul vitezei de curgere.

Dac se exprim tensorul dispersiei n direciile principale de anizotropie, el sereduce la trei componente

T

T

L

D

D

D

D

00

00

00

= (4.26)

unde:DL este numit coeficient de dispersie longitudinal (n sensul curgerii)DT este numit coeficient de dispersie transversal (n dou direcii ortogonale

la direcia de curgere)

Fluxul dispersiv (- gradCD ) va nlocui fluxul difuziv (-n d grad C). n ecuaia

(4.19) se va nlocui (n d grad C) cu (D gradC), rezultnd:

( )t

Cn-n+

t

Cn=)UC-gradCD(div

'

cc

, (4.27)

cu observaia c, coeficienii de dispersie longitudinal i transversal din tensoruldispersiei, se exprim sub forma:

DL = n d + LU (m2/s) (4.28)

DT= n d + TU (m2/s) (4.29)

L se numete coeficient de dispersie intrinsec longitudinal saudispersivitatelongitudinal. n SI dimensiunea lui este o lungime, [L]SI= L;

T se numete coeficient de dispersie intrinsec transversal saudispersivitate transversal; [T]SI= Ln este porozitatea total;deste coeficientul de difuzie molecular a poluantului n mediul poros;Ureprezint viteza Darcy


16/21


Temenul (n d) nu este important dect pentru viteze foarte mici. n domeniul deviteze uzuale (Pe> 10), acest termen se neglijeaz, iar

DL = LU (4.30)

DT= TU (4.31)

n laborator, din msurtori fcute pe coloane de nisip, a rezultat ordinul demrime al coeficientului L, de ordinul centimetrilor. n teren se obin valori de ordinulmetrilor pn la sute de metri, funcie de gradul de eterogenitate al formaiunii

geologice.T =

1

5L

1

100L

Transferul dispersiv mecanic poart fraciunea mobil, avnd concentraia Cicoeficient de dispersie (LU) i nu fraciunea din apa legat, avnd concentraia C'.

Se pot face dou ipoteze:

1. Concentraia C din fraciunea mobil se pune, instantaneu, n echilibru cuconcentraia C'din fraciunea imobil (prin difuzie molecular) C = C';

2. Poluantul nu ptrunde n zona apei legate (C' = 0).

1. n primul caz ecuaia (4.27) devine:

t

Cn=UC-gradCdiv

D (4.32)

Aceasta este forma obinuit a ecuaiei dispersiei. Dac mprim toi termenii din(4.32) prin n (porozitatea total) se obine o alt form (forma clasic n literatura despecialitate) a ecuaiei dispersiei

t

C

=uC-gradCDdiv

'

(4.33)unde

n

U=u

- viteza fictiv medie n pori (microscopic) (viteza real este

cn

U=v

)


17/21


nD=D'

u+d=n

U+d=D LLL

' (4.34)

u+d=n

U+d=D TT

'T

(4.35)

Fried (1971) propune urmtoarea form, pentru ecuaia dispersiei:

t

C=uC-

CgradDdiv

'

(4.36)

unde - densitatea fluidului, iar celelalte mrimi au semnificaia prezentat anterior.

2. Dac fraciunea imobil nu este invadat de elementele transportate, C' = 0, iarecuaia dispersiei devine

( )t

Cn=UC-gradCDdiv c

(4.37)

Dac notmcn

U=v

, viteza medie microscopic (convectiv), ecuaia (4.37) devine

t

C=vC-gradC

n

Ddiv

c

. (4.38)

4.4. SCHEMA DISPERSIEI

Fenomenul de dispersie a unui poluant n apa care circul printr-un mediu porospoate fi modelat matematic printr-un sistem de ecuaii difereniale cu derivate pariale

dup cum urmeaz:

1. Ecuaia dispersiei


18/21


( ) tC=S+Cvdiv-CgradDdiv r'

(4.39)

unde'D este coeficientul de dispersie (m2/s) i are forma prezentat anterior

(4.34),(4.35), este densitatea amestecului (kg/m3),C = C(x, y, z, t) este concentratia poluantului, o funcie de poziia punctului i

de timp,

cn

U=v

este viteza apei n pori (m/s),

teste timpul (s).

2. Ecuaia de continuitate

Diferitele forme ale ecuaiei de continuitate sunt prezentate n capitolul 3. Dacmediul poros este alimentat de o surs exterioar, debitul masic primit sau cedat dinexterior fiind ( q ), ecuaia de continuitate se scrie:

[ ] [ ] 0=

+ qnt

Udiv

(4.40)

3. Ecuaia lui Darcy

( gradzggradpk

U i +

=

) (4.41)

unde:ki este coeficientul de permeabilitate intrinsec (m

2), este coeficientul de vscozitate dinamic (Ns/m2),n este porozitatea (%),p reprezint presiunea din apa din pori (N/m2).

4. Ecuaiile de stare ale amestecului =f(C) (4.42) =g(C) (4.43)d0 = d0 (C) (4.44)


19/21


d0 este coeficientul de difuzie molecular.

Toate mrimile care intervin n aceste ecuaii sunt funcii dex, y, z, t.n forma general, coeficienii ecuaiei dispersiei depind de concentraia C.Pentru a obine soluii cu semnificaie fizic, ecuaiilor li se impun condiii

iniiale i condiii pe frontiere, numite condiii de unicitate. Nu exist metode directe care s permit rezolvarea sistemului de ecuaii

menionat.Este necesar introducerea unor ipoteze simplificatoare care s permit

rezolvarea practic a problemei.

4.5 METODOLOGIA GENERAL DE REZOLVARE A UNEI PROBLEME DEDISPERSIE

Exist dou cazuri de tratare a problemei:1. Densitatea i vscozitatea amestecului sunt constante n spaiu i timp (cazul

trasorilor).2. Densitatea i vscozitatea amestecului sunt variabile n timp i spaiu, fiind

funcii de concentraie.n primul caz ( = ct, = ct) ecuaiile hidrodinamice sunt independente de

ecuaia dispersiei, deoarece i nu depind de C.Modelul dispersiei devine un sistem de ecuaii cu derivate pariale. Paii de timp

vor fi:I. Se rezolv ecuaiile hidrodinamice (ecuaia lui Darcy i ecuaia continuitii),

inndu-se seama de condiiile pe frontieri de condiiile iniiale. Rezult distribuiavitezei n spaiu i timp pentru toi paii de timp ai experienei.

II. Se exprim coeficienii ecuaiei de dispersie n funcie de vitez, la fiecarepas de timp.

III. Se rezolv ecuaia dispersiei.Rezult distribuia concentraiei poluantului n spaiu i timp, la toi paii de

timp.n cazul general, = (C), = (C), viteza i coeficienii ecuaiei dispersiei vor

fi funcii de concentraie.Nu se pot obine simultan soluii ale tuturor ecuaiilor (4.39) (4.44).I. Se fac ipoteze simplificatoare:a) se cunoate distribuia concentraiei la timpul t, se calculeaz i

corespunzatoare;


20/21


b) se presupune c n perioada de timp dt, C,i sunt constante.II. Se calculeaz distribuia vitezelor la t + dt.III. Se calculeaz distribuia concentraiei la t + dt.IV. Se calculeaz toi parametrii n funcie de concentraia de la t + dt i se

continu ncepnd cu etapa II.Teoretic,tensorul coeficienilor dispersiei poate fi calculat fie prin experimentri

directe, fie din ceilali coeficieni determinai experimental, cu ajutorul unor formule.ntruct ecuaia general a dispersiei este dificil de integrat, se scrie ecua ia n

direciile principale ale tensorului dispersiei, introducand coeficienii principali dedispersieDL iDT .

O simplificare mai mare a schemei dispersiei poate fi obinut prindescompunerea schemei tridimensionale n dou scheme bidimensionale, fiecare fiindscris n planul a dou direcii principale ale dispersiei.

Stabilirea ipotezelor simplificatoare se face pe baza studiilor preliminareefectuate n cazul problemelor concrete de poluare.

4.6. CONCLUZII

Rezolvarea unei probleme de dispersie a unui poluant ntr-un mediu poros,presupune integrarea simultan a ecuaiilor ce descriu micarea apei n porii solului i aecuaiei dispersiei.

Integrarea analitic a ecuaiei dispersiei n forma sa general, cu condiii iniialei pe frontiere impuse de cazurile reale de poluare, este practic imposibil.

Coeficienii ecuaiei de dispersie sunt funcii neliniare, variabile n timp ispaiu.

Coeficientul de dispersie depinde de regimul de curgere i este, n limitele uneicurgeri laminare, o funcie liniar de vitez;

Coeficientul de conductivitate hidraulic (permeabilitate) este o funcieneliniar, iar densitatea i vscozitatea dinamic a soluiei (apa + poluant) suntdependente de concentraie.

Astfel, rezolvarea n scopuri practice a unor probleme de poluare, presupune nprimul rnd o simplificare a schemei dispersiei, n sensul pstrrii acelor elemente careinflueneaz cel mai puternic fenomenul. Aceasta rezolvare presupune:

1. Studiul preliminar al datelor existente pentru estimarea curgerii i a tipului de

poluare posibil (locala , global, orizontal, vertical). Se analizeaz permeabilitatea,parametrii morfologici ai solului, concentraia poluantului.

2. Formularea ipotezelor de lucru rezultate din studiul preliminar i alegereaunei reprezentri matematice n funcie de scara fenomenului (domeniu, poluant,


21/21


curgere). n mod uzual se alege fie un model hidroconvectiv, fie un modelhidrodispersiv.

Dac modelul ales este hidroconvectiv, problema de poluare devine o problemclasic hidrologici trebuie determinat numai micarea apei subterane.

Dac modelul ales este hidrodispersiv, rezolvarea presupune: Folosirea schemei dispersiei. Colectarea parametrior din teren pentru tararea modelului. Urmrirea modului n care se realizeaz prognoza.

Pentru a evita unele aproximari inerente metodelor numerice, uneori estepreferat abordarea analitic a unor probleme de tip dispersiv, ce permit o simplificare aecuaiei dispersiei la unul din cazurile:

dispersie permanent, dispersie unidimensional sau dispersie bidimensional.

Pentru problemele de poluare de tip hidroconvectiv, pornind de la ipoteza"efectului piston" al apei freatice asupra poluanilor, se pot obine simplificri aleschemei dispersiei.

Astfel, pentru realizarea unor prognoze, este suficient s se analizeze micareaapei din acvifer.

n acest sens se pot calcula prin metode analitice, numerice sau grafo - analitice,durata de parcurgere a acviferului de ctre poluant, variaia concentraiei poluanilor n

timp i spaiu.Scopul realizarii unor astfel de modele de prognoz este acela de a da soluii cuprivire la folosirea raional a apei din freatic sau la construirea optim a unor captri,n vederea evitrii sau dirijrii fenomenului de poluare.

descrierea fenomenului de dispersie. modelul general al

Documents