estimarea parametrilor sistemelor

8/19/2019 Estimarea parametrilor sistemelor

http://slidepdf.com/reader/full/estimarea-parametrilor-sistemelor 1/24

1

1. Obiectul identificării: Metode de identificare aSistemelor

Problema centrală aanalizei sistemelor o reprezintă studiul evoluției în timp asemnalului de ieșire, determinată atât de către variația semnalului de intrare (și/sau perturbație), cât și de pro priet ățile sistemului.

Problema dezvoltată de-a lungul întregului curs, deci problema IDENTIFICĂRII

poate fi privită ca problemă inversă analizei sistemelor, și anume, fiind cunoscută evoluția întimp a semnalelor de intrare și ieșire, să se determine MM care descrie comportareasistemului (poate fi ecuația diferențială, ecuație cu diferențe, funcția ponderesau secvența de pondere, funcția de transfer, etc).

DEF:(Zadeh): IDENTIFICAREA poate fi definită ca determinarea, pe baza intrării șiieșirii a unui sistem dintr- o clasă determinată de sisteme, față de care sistemul care seîncearcă este echivalent.

Definiția implică explicarea problemelor: -clasă de sisteme -echivalență

Sistemul care se analizează îl vom numisistem , proces tehnic sau simplu, proces, iarelementele clasei de sisteme se vor numi modele .

Echivalența se definește în funcție de un criteriu sau funcție de eroare, care estedependentă de ieșirea y a sistemului sau de ieșirea a modelului.

Notam: J=J(y, )- criteriul

Doua modele: , se spune că sunt echivalente dacă valoarea funcției criteriu

(funcției de eroare) este aceași pentru ambele modele. Deci: : J(y, =J(y, )Ex: de criteriu: e= y- - Criteriul erorii pătratice.

J=

J(y,ym)=

Comportarea MM comparativ sistemului det:

valorile numerice ale parametrilor MM



2

Valoril e numerice ale parametrilor modelului trebuiesc determinate astfel încâtcomportarea modelului să fie cat mai apropiată de comportarea sistemului.Măsurarea acestei proprietăți Model-Sistem o reprezintă tocmai Criteriul de Eroare, care exprimă cantitativ”distanța” dintre model și proces (sistem).

Definind spațiul parametric ca fiind spațiul parametrilor de determinat, Modeluleste reprezentat de un punct, iar sistemul de alt punct , Criteriul fiind construit din distanțacelor 2 puncte.

Procedur a de determinare a parametrilor este o procedură deMinimizare a acesteidistanțe.

Exista mai multe posibilități de a definii distanța:ex: Distanța de ieșire, bazată pe diferența ieșirii modelului și a sistemului.

N-numărul de puncte măsurate

Clasificarea Metodelor de IDENTIFICARE:- Identificarea Parțială : Structura modelului procesului se consideră cunoscută. Se

pune problema determin ării parametrilor lui.- Identificare Totală : Procesul se consideră total necunoscut urmand să se determine

atât structura, cât și parametrii. În acest caz, procesul este denumit BLACKBOX(cutie neagra).

Identificarea ca procedură (tehnică) de determinare a modelului presupune posibilitaeaabord ării pe cele 2 cai cunoscute deja:

- Ientificarea analitică. - Ientificarea experimentală - care presupune determinarea Modelului pe baza unor

măsurătorii ale intrarii și ieșirii, cu alte cuvinte pe baza unui experiment.

În general se merge pe ideea unei identificări mixte, care prsupune urmatoarea idee: dacădin cunoșterea parțială a funcționării procesului se poate dispune de o anumită cantitate decunoștințe care să facilitezefixarea Structurii modelului, ce ea ce mai rămâne de facut estedeterminarea valorilor numerice ale parametrilor, deci practic problema identificării se r educela Problema estim ării parametilor.

Pp. Că se dispune de:-secvența de intrare u(t) -secvența de ieșire y(t)

criteriul

„Spațiul parametrilor de determinat” =

„Spațiul parametric”

Considerând eroarea sau distanță

e(i)= (i)-y(i)=>

cu parametri e(i))=



3

Mai cunoaștem relația: y(t)= (1) (Integrala de CONVOLUȚIE)

Deci problema este că, din datele de intrare și ieșire masurate în intervalul de timp[ , ] se dorește determinarea funcției pondere: OBS:{ t< cu cât ( - ) este mai mare ....

Funcția pondere determinată cu rel.(1), aduce o serie de informații privindcomporta rea dinamică a procesului respectiv, dar, este funcția pondere oare modelul necesarîntr -o problemă de reglare optimală ?

Întrebarea sugerează faptul că identificarea trebuie abordată întotdeauna în raport cuscopul final, care ar putea fi:

a) analiza comportării dinamice a sistemului; b)conectarea unei bucle de reglare clasice;c)determinarea unei comenzi optimale (obținută prin exprimarea unui criteriu).

Este evident că în parcurgerea de la a) la c) modelul necesar este altul și alta este și prec izia cerută asupra modelului.Cunoașterea scopului final i se adaugă întotdeauna oinformație apriorică întodeauna disponibilă.

Schematic, considerațile anterioare privind modul general de desfașurare adeterminarii modelului unui proces pot fi surprinse de urmatoarea diag ramă:

În diversele etape de succesiune ale acestui algoritm general de identificare de tipulcelui din figură, pot să apară o serie de întrebări de tipul: 1)Se poate aplica un semnal de test(de probă) sau este necesară observarea în funcționareanormală a procesului ? 2)Dacă este posibilă(admisă) aplicarea semnalului de test care trebuie să fie amptitudineamaximă a acestui semnal, pentru a nu pertutrba prea mult procesul și/sau pentru a nu-l scoatedin zona de funcționare liniară ? 3)C e semnal de test trebuie considerat pentru a obține o informație cât mai bogată despre

proces?4)Procesul trebuie identificat în buclă închisă, sau o identificare în bucla deschisă esuficientă?



4

5)Care clasa de modele care trebuie considerată în încercarea de a aproxima procesul? Secaută întotdeauna un compromis simplitate – precizie.6)în funcție de răspunsurile la întrebările de mai sus și de disponibilitațile hard-soft, care estemetoda cea mai indicată? 7)Este suficientă o variantă OFF-LINE sau se impu ne o variantă ON-LINE ?

Diferite M etode de I DEN TI F I CARE se pot clasifica după: - Tipul de semnal de intrare- Clasa de modele- Indicele de performanță privind aproximarea procesuluide către model- Caracterul calculelor OFF sau ON LINE- Identificare:

Parametrica Neparametrica

- Identificare: static ă:

Se urmarește determinarea unui model static (un model care să descrie funcționarea sistemului presupus stabil pentru intrări constante)

dinamică : Presupune determinarea unui model dinamic (relații dintre

evoluția în timp a ieșirilor și respectiv intrărilor). Evoluția în timp se consideră în jurul unui anumit punct de funcționare.

- Identificarea: staționară - în cazul sistemelor invariante adaptivă - în cazul sistemelor variante

- Identificarea:

în timp diferit=OFF -LINE dacă prelucratea datelor se face în timp deconectat față de funcționarea procesului

în timp real=ON -LINE dacă prelucratea datelor se face în timpconectat față de funcționarea

procesului- Metode active de identificare

presupune aplicarea unor semnale de t est(probă) urmărindu-sedeterminarea(obținerea) unor informații care fară un efort de calcul deosebit săfurnizeze modelul căutat.

În general, printr -o metodă activă se determină un model Neparametric. Schema ar fi:

Model neparametric: - funcția pondere -răspuns indicial -caracteristica de frecvență

Model parametric (f.d.t. de ex).



5

O serie de probleme apar în acestcaz, legate de ge nerarea și caracteristicilesemnalelor de probă.

Restricțile cele mai importante sunt legate de: - amptitudine

identificare bună solicită o putere mare pentru semnalul de test, dar procesulnu poate fi perturbat oricât.

- durată identifica re bună solicitătimp de experimentare lung, dar din considerente

funcționale sau datorită variației lente în timp ale unor parametri, timpul deexperiment este limitat.

Avantaj :-Efortul de calcul este mic. Metodele active permit obținerea lejeră a modelelor neparametrice.

Alternativa o oferăMetodele pasive – ce utilizează variații aleatoare de număr de I și E ale procesului în funcționarea lui normală.

Metodele pasive nu mai sunt legate de metodele de generare ale semnalului de test.Metodele pasive co nduc aproape întotdeauna la Modelele parametrice.

Identificarea Neparametrică

Aceste metode se caracterizează prin faptul că modelele rezultate sunt curbe saufuncții pentru care nu este necesară o parametrizare printr -un vector finit dimensional al

parametrilor.

Dintre aceste metode se disting ca fiind reprezentative urmatoarele:- Metode de analiză tranzitorie :

pentru care semnalul de test este de tipul treaptă sau impuls modelul este constituit de înregistrarea ieșirii, deci de forma funcției indiciale

sau funcția pondere. - Metodele analizei de frecvență

deci intrarea este una sinusoidală(o funcție armonică) MM=caracteristici defrecvență

-

Metode de corelație

Model parametric (f.d.t.).

-Funcția pondere h(t)-Răspuns indicial -Caracteristica de frecvență



6

Metode de analiză tranzitorie:

I denti fi carea grafo- analitică din răspunsul indicia l

Pentru sisteme PT1:- proporțional temporizarea de ord.I

În domeniul timp este o ecuație: Tẏ(t)+y(t)=K u(t) F.d.t. corespunzătoare:H(s)=K/(Ts+1) Răspuns indicial:y(t)= = (1) Graficul r ăspuns indicial:

OBS : În figură, raspunsul indicial experimental se reprezintă în forma normală: y(t)/y(ts) =>dispare influența factorului K de amplificare (transfer)

y(ts)=K dacă: {y(0)=u(0)=0.

Factorul de transfer K reprezintă raportul dintre valoarea staționară a ieșirii șirespectiv amptitudinea treptei de intrare:

K=

Problema se pune de a determina coeficientul de transfer K din răspunsul indicial. Aceastaeste o problemă directă.

Mai rămâne de determinat valoarea constanteide timp T.În expresia (1) facem: t=T

y(T)=K[1- ]=0,63·K => răspunsul indicial

Constanta de timp al unui sistem PT1 reprezintă timpul pentru care răspunsul indicialatinge 63% din valoarea lui staționară. În expresia(1): = =

Constanta de timp T poate fi obținută grafic și ca abscisă corespunzătoare punctului deintersecție dintre tangenta în origine și asimptota la caracteristica de răspuns(pt·t=).

Procesul pe care se merge este 63%.

SISTEME CU TIMP MORTH(s) =

} amptitudinea treptei de intrare

Interpretarea: tangenta în 0.

Tm=timp mort

Apare din teoria deplasării interpretată ca întârziere

0,37

L=separatorul Laplace=transformata Laplace



7

Expresia analitică a răspunsului la semnalul treaptă în acest caz este: y(t)= 0 , pentru t≤Tm

k{ /T]} , pentru oricare t Tm

Reprezentăm grafic forma unui raspuns indicial:

Factorul de transfer K și respectiv constanta de timp T se determină analog cazului precedent. În determinarea timpului mortTm este important să se țină cont de zona deinsensibilitate și clasa de precizie a aparatelor de măsurat.

Valoarea Tm se determină ca fiind intervalul de timp măsurat din momentul aplicăriisemnalului de probă până când funcția indicială rămâne inferioră unei valoriԐ, calculată înraport cu clasa de precizie a aparatului.

Y(Tm)= Ԑ

IDENTIFICAREA GRAFICĂ DIN FUNCȚIA PONDERE

Expresia analitică a funcției pondere pentru sistemele de ordinul I se calculează:

y(t)= K/(Ts+1)=k 1/(Ts+1)= k = =

h(t)= =

Reprezentând grafic funcția pondere, vom obține:

Determinarea parametrilor K și respectiv T ai funcției de transfer se face grafic imediat. - amptitudinea inițială a funcției pondere: h(0)=K/T - constanta de timp T= reprezintă timpul pentru care funcția pondere ajunge la valorea

de 0,37 din valoarea inițială. h(T)=K/T =0,37·K/T

Problema ? Cum demonstrăm că valoarea funcției pondere poate fi obținută și caabscisă între dreapta de pantă inițială și axa absciselor?

Răspunsul la impuls real al unui sistem este for ma (vezi graficul de mai sus)

K=factor de amplificare=coeficient de transfer

Tm=timp mort

-pt cazul sistemelor stabile:(lucram în reprezentarenormalizată)



8

Timpul mort , în cazul în care (dacă există), se pune în evidență în mod similar cazului precedent.

În cazul sustemelor periodice deord II sunt descrise de PT2 :

H(s)= =

Răspunsul indicial este reprezentat în acest caz de o familie de curbe dupăfactorul deamortizare ξ. Forma răspunsului indicial:

-Se pune problema determinării {K; ; ξ.

F actoru l de amorti zare ξ se obține direct din suprareglajul σ al răspunsului indicial, avându-se în vedere că suprareglajul este determinat numai de ξ.

Dependența dintre ca procentaj din răspunsul indicial

staționar este dată de grafice experimentale.

-Determinanta pulsației naturale: =

, unde:{ω=2

Unde: {Tp=perioada oscilaților amortizatesau nu din răspunsul indicial.

F actorul de ampli fi care K se deduce direct din valoarea mărimii de ieșire în reglaj staționar.

Pentr u sistemele de ordin superi or :

H(s)= ≈ Metoda lui Strejh !

unde: ξ=Factorul de amortizare=1/T=Pulsația naturală a sistemuluineamortizat

K=coeficient de transfer.ξ=factor de amortizare.

=pulsația naturală a sistenului neamortizat.

suprareglajul σ factorul de amortizare ξ

suprareglajul în %



9

DETERMINAREA UNEI CARACTERISTICI DE FRECVENȚĂPORNIN D DE LA FUNCȚIA PONDERE. METODE

1.Aproximarea răspunsului în frecvență printr-o sumă fintă:

Răspunsul în frecvență , notat: H(jω) se obține în general substituind în f.d.t. H(s) pe s cu jω

H(jω)=Y(jω)/U(jω)=

{s=σ+ jω}-variabilă complexă, care duce la transformata Laplace.

Este vorba de Transformata Fourier, care se obține din Transformata Laplace, înlocuinds-

> jω. Integrlala Fourier:

H(jω) = (1), unde:{ h=funcția pondere.

Pp. că se dispune de funcția pondere obținută experimental, se consideră secvențareprezentată de valorile h(τ) obținută pentru abscisele: τ =iΔt , cu{i=0,1,...,∞ (la valoridiscrete) în care {Δt=interval de eșantionare

În acest caz, rel(1) poate fi rescrisă în varianta ei discretă, corespunzător secvenței pondere.

Integrala se transformă într - o sumă:

H(jω)≈Δt (2) =relație discretă =aproximarea relației continue.-vine de la dτ

Cf. Relației lui Euler, exprimăm o funcție exponențială cu ajutorul funcților trigonometrice: =cos( )-j sin( ) (3)

H(jω)=Δt (4)

Dacă sistemuleste asimptotic stabil , h(t) 0 (t ∞), h(iΔt)=0, (i≥T) În acest cazrel(4 ) poate fi trunchiată: H(jω)=Δt -Relația de calcul arăspunsului la frecvență.



10

Precizări referitoare la respectarea Teoremei eșantionării: Pentru a se obține o bună concordanță cu răspunsul în frecvență real, perioada de eșantionaretrebuie să satisfacăTeorema eșantionării a lui SHANON :”Perioada de eșantionare trebuie săfie ≤ cu ½ din perioada coresp. frecvenței celei mai înalte conținute în spectrul semnalului”.

Pp. astfel, dacă frecvența de interes este rad/sec, atunci cea mai mare perioadă deeșantionare care să asigure o concordanță satisfăcătoare este: Δ=π/

Având în vedere că timpul(T=timpul de stabilizare) este cunoscut din relația: h(iΔt) =0=h(T) , valoarea minimă admisă pentru numărul de termeni din cadrul sumei este:

=T·

O altă posibilitate de a obține reprezentarea răspunsului în frecvență se poate facerescriind rel(2) în forma vectorială: => Se va face o construcție grafică. Elementul ce se poate interpreta acolo, orientându-l într -o altă direcție de dezvoltare este:

Fiecare termen al sumei din rel(2) este produsul dintre o mărime și o funcțieexponențială. Una din formele de reprezentare a vectorilor este produsul dintre A· faza

Deci:{H(jω)=Δt =Δt[h(Δt) – +h(2Δt) – +h(3Δt) – +...]

2.Aproximarea răspunsului în frecvență printr-o serie infinită

Metoda se bazează pe experimentarea funcției exponențiale printr -o Serie infinită.

=1-(jωiΔt)+ ·1/2!- ·1/3!+... și înlocuirea acestei exponențiale înrel(2) , Rezultă:

{H(jω)≈Δt [1- jω(iΔt)- + j +...] =-1, j=i IH(jω)=Δt - jωΔt - +...} (5)

Dacă este suficient de mic, astfel încât termenii de rang superior lui H(de ex.) pot fineglijați, rel(5) poate fi trunchiată corespunzător putându-se rescrie în forma real-imaginar.H(jω)=Re+j Im

Dezavantajul metodei constă în faptul că singura zonă din spectrul care poate fiaudiată cu succes este zona de joasă frecvență.Metoda este o alternativă de exploatare a unorartificii matematice, care poate fi aplicată pentru obținerea unor performanțe.

amptitudine(modul)fază(defazaj)



11

Determinarea (identificarea) f.d.t. din caracteristicile defrecvență, în speță diagramele BODE.

Din reprezentările diagramelor Bode determinate experimental, se poate obține direct

modelul matematic parametric, sub forma f.d.t.(funcției de transfer) parcurgând procedurainversă de construcție a acestor diagrame.

Se dispune doar de ipoteza stabilității sistemului considerat (liniar), această ipotezăfiind nu numai una teoretică, ci și practică, având în vedere că practic nu poate fi determinatrăspunsul în frecvență a unui sistem instabil.

Această procedură inversă construcției diagramelor BODE constă în 2 pași: 1.Aproximarea caracteristicii model- pulsație printr -o succesiune de linii drepte carereprezintă asimptotele la linile respective, aceste asimptote au pante standard. 2.Localizar ea frecvențelor de frângere corespunzătoare punctelor de intersecție între drepteletrasate.

y = u Y =

( )Y =( )U(s)H(s)=Y(s)/U(s)=>

H(s)= , cu:{m n

H(s)= K

cu:{α>0Integrator, α<0Derivator

K-semnalul inițial de 10 => 20·lg(10)=20 D-daca prima procedură crește cu 20 db/dec I- daca prima procedură reduce cu 20 db/dec PT1- dacă procedura reduce semnalul cu 20 db/dec PD1- dacă procedura crește semnalul cu 20 db/dec PT2- dacă procedura reduce semnalul cu 40 db/dec PD2- dacă procedura crește semnalul cu 40 db/dec

ex:

PT1 PT2

PD1 PD2



12

T1 > T2 > T3 > T4 > T5 > T6

ω = < ω = <...

2 IDENTIFICAREA SISTEMELOR UTILIZÂNDMETODE DE CORELAȚIE

Identificarea utilizând semnale de probă periodice

Avantajele prezentate de semnalele de probă periodice, față de cele aperiodice:- Sistemul supus identificării, fiind adus în regim de oscilații forțate, permitefiltrarea

mai lejeră a influenței zgomotelor interne sau a diverselor perturbații, care sesuprapun ca efect peste semnalul util din ieșire. - Utilizarea unor semnale de test periodice de medie nulă permit utilizarea unor

semnale cu amptitudini mari, comparativ cu cele ale semnalelor neperiodice.- Permit obținerea direcă a răspunsului în frecvența:H(jω)

Demonstrație (Nu interesează) Morala Lucrurilor(Interesează) -Problema ar fi, ce formă are ieșirea unui proces în intrarea căruia se aplică un semnalsinusoidal ?



13

Răspuns: y(t) are ca expresie analitică: y(t)= |H(j )|·sin[ t+φ ]= sin[ t+ ]

-semnalul de o anumită pulsație: =>Răspunsul sistemului la o excitație sinusoidală este tot un semnal sinusoidal, de aceeași

pu lsație ca și intrarea, dar defazat, cu defazajul

Procedeul clasic de determinare a modelului neparametric(caracteristica de frecvență) prin raportarea amplitudinii semnalului din ieșire și respectiv intrare și măsurarea defazjuluiîntre elenu este aplicabil decât în cazul restrictiv al desconsiderării influenței zgomotelor; încele mai multe situații practice însă, semnalele de ieire sunt contaminate de zgomot.

Acey(t)= sin( t+ )+z(t)

În acest caz, cel real, este:

O rezolvare eficientă a zgomotelor aditive din ieșire chiar în cazul unor nivele ridicate, ooferă tehnicile de corelație.

-amplitudini

… φ … φ

=A(ω)=

A(ω) =20lg A(ω)

Im[H(jω)]

Re[H(jω)]

=0

=∞

φ( )

H(j )

=[-∞,0)ramuranegativă

=[0,∞]ramura pozitivă Q( )

P( )

Hodograful

GS=generator de semnal.

osciloscop



14

Ne ocupăm de un sistem liniar perturbat, cu perturbția considerată aditivă în ieșire.

Avem acces numai la ieșirea perturbată .y(t)= |H(j )|sin[ t+ ]+z(t)

Metodele de corelație oferă posibilitatea filtrării eficiente a zgomotelor aditive în ieșire, chiarși în cazul unor nivele mai ridicate a zgomotului.

Identificarea cu Semnal de test Monofrecvențial

Metoda presupune aplicarea în intrare a unui semnal de test de formula:{u(t)= sin t}, a cărui pulsație o modificăm continu în domeniull de interes.

Zgomotul z(t) se consideră necorelat cu semnalul de test, aceasta fiind o situație realădin practică.

În aceste condiții, posibilitățile de a dezvolta pe y(t) în serie Fourier și a reținefundamentala (armonică) ca singur efect în ieșire a intrării (celălalte armonici fiind atribuiteefectului zgomotului) este preferat ă utilizrea tehnicilor de corelație deoarece acestea operează bine chiar și în cazul unor nivele ridicate ale zgomotelor.

Dezavantajul pe care- l conferă aceaste metode constituie faptul că pentru eliminuareacât mai eficientăa unor zgomote, timpul de corelare trebuie să fie cât mai mare, cea cemărește durata experimentului.

Considerând funcția de corelație între intrarea și ieșire pentru semnale periodice:

(0) == = ( )

( (τ)=E u(t)·y(t+τ)= τ )

OBS : =(u(t),y(t)) produsul scalar dintre u(t) și y(t), T=interval de corelare

(0)=

( sin( ),

sin[ +φ]+z(t))=

Datorită proprietății deliniaritate, putem defalca expresia în 2:

= ( sin( ), sin[ +φ])+ ( sin( ),z(t))=

Datorită ipotezei făcute și anume necorelarea semnalului de test => ( sin(ω ),z(t))

= = ω cos ( )

= sin( t)

= sin[ t+ ]+z(t)

Def

Δ

E

cosφ(ω ) =Re ω

φ( )



15

{ (0)= Re[H(j )] } (1)

În mod perfect similar se ajunge pentru corelația u,y pentru argumentul la :

{ ( )= Im[H(j )] } (2)

Rezultă că efectul aplicării Tehnicilor de corelație este obținerea caracteristicilor defrecvență în coordonate carteziene neafectate de zgomot.

Rel(1) și (2) stau la baza funcționării unui aparat specializat numitTRANSFEROMETRU , a cărui schemă de principiu este:

Dezavantajul Metodei prezentate este timpul de experimentare lung, având în vederecă este necesară prospectarea succesivă a întregii benzi de frecvență ale procesului respectiv pentru a obține caracteristicile lor de frecvență în zona de interes.

Dezavantajul menționat poate fi înlăturat utilizând un semnal de test multifrecvențialobținut fie printr -o mulțime de sinusoide distincte generate den generatoare distincte, fie

direct, utilizând un Generator de funcții.

Im[H]

Re[H]

0

φ( )

H(j )

|H(j )|

P( )= Re[H(j )]

Hodograful

= sin( t)

GS= generator de semnal

Re[H(j )]

Im[H(j )]

(0)

Multiplicator Integrator

Defazor

Corelator(0)

Corelator realizează ( )



16

Identificarea cu semnal de test Multifrecvențial

Metoda faciliteaza testarea caracteristicii de frecventa simultan, pe toate frecventelede interes. Componenta monofrecventiala a intrarii corespunzatoare relatiei este:

Ei ii va corespunde componenta k a iesirii:

Se mai presupune ca =k , unde = pulsatia de bazaIn aceste conditii, iesirea y corespunzatoare semnalului multifrecvential din intrare se va

putea scrie:

Considerand din nou ipoteza de lucru: zgomotul aditiv Z(t) nu este corelat cu niciuna

din componentele monofrecventiale ale intrarii,

Deci:Si in continuare se va calcula intercorelatia dintre iesire , si intrare , considerand ca

perioada de intercorelare un multiplu intreg al perioadei de baza care se vaconsidera c.m.m.d.c al perioadelor semnalului de baza considerate. Oricare dintre ele pot fiexprimate ca un multiplu intreg al perioadei de baza T=mT0.



17

Calculul Funcției de Corelație

În generalnu poate fi calculată din funcția dedensitate de probabilitate , avându-se învedere că aceste funcții sunt rareori cunoscute în practică.De asemenea, mediile pe ansamblunu pot fi realizate avându-se în vedere că, în general se dispune de 1 segment de realizare dinansamblul de r ealizări.

Singura alternativă practică este de a calcula funcția de corelație temporală pe uninterval de timp finit, în ipoteza că procesul este ERGOTIC.Presupunem că dispunem de orealizare a unui proces Stohastic x(t) pe un interval de T secunde.

În acest caz funcția de autocorelație poate fi estimată printr -o relație de forma:

(τ)= τ ττ (1) , 0 ≤ τ ≤T

Timpul de mediere este (T- τ) deoarece această porțiune de timp este singura în carex(t), respectiv x(t+τ)sunt disponibile simultan.

Expresile de calcul ale funcților de corelație conțin deci în toate cazurile3 operațiispecifice :

Dar în cele mai multe situații practice, integrala nu poate fi calculată, deoarece nudipunem de expresia analitică a lui x(t).

Alternativa practică oferă utilizarea variantei discrete arel.(1) utilizându-se în acestscop valorile eșantionate ale funcției x(t), care se introduc ca și date, deci în mod firesc sedispune de un sistem de achiziție.

Avem eșantioanele realizăr ii respective.Înainte de a se trece la calculul efectiv, se procedează la efectuarea centrării.

E

-deplasare-înmulțire -integrare



18

ẋ(n)=x(n)-

ẙ(n)=y(n)-

Funcția de covarianță va fi: (k)= (2)

Această relație se calculează pentru k=-m, ..., -1,0,1, ...mk - reprezintă decalajul dintre cele 2 secvențe în perioada de eșantionare m - valoarea maximă de decalaj

Dacă =m Te = decalajul (întârziere) max, se recomandă în practică (3)unde : { N=lungimea înregistrării Apoi se calculează corelația propriu zisă:

Pentru situția în carerel(3) este satisfăcută, se pot utiliza cu relații de calcul expresii :(k)=

aproximare, estimare, marcare:^

Deci, calculul propriu- zis al covarianțelor sau corelaților constă în calculul produselorde tip x(n)·y(n+k) pentru un k=dat și însumându-le pentru toate valorile lui n=ia valoriîntregi: n [1,N].

Efecuându-se calculele pentru toate valorile lui k se obțin covarianțele sub formatabelată după indicele k.

Variabila n=care reprezintă variabila temporală t, timp discret, va dispărea în procesulde sumare (respectiv integrare) astfel încât covarianțele vor fi expresii doar de indicele k.(care reprezintă τ).

Metoda:II Funcția de Corelție poate fi calculată din funcția de densitate spectrală de putere, utilizând relațile:WIENER-HINCIN.

funcția de corelație funcția densitate spectrală

Utilizarea algoritmilor transformatei Fourier rapidă TFR conduce la reducereaefortului de calcul a acestor funcții în raport cu procedurile clasice de calcul.

ETAPE:1.Se calculeazăTransformata Fourier X(k) a secvenței x(i) unde: {i,k=0,N-2

2.Se calculeazăspectrul brut al secvenței(serie)

Variabile centrale media

n Te = > perioada de eșiantionare tt

t t

t

t t

Funcția de covariație este defapt funcțiade corelație pentru mărimi centrate

t/n - timp discretizat

(k)= (k)+ (k)= (k)+

t

t t

=perechi Fourier.

F (τ)= (ω) F (τ)= (ω)

F (τ) (ω)

F (τ) (ω)

F

i=componenta discretă a timpului k= componenta discretă a pulsației

=densitatea spectrală de putere:



19

(k)=

3.Se calculează Transformata Fourier inversă pentru a obține funcția de corelație( sau de

covarianță). (i)= (k)

Calculul acestor transformate nu constituie nici un fel de probleme.

Corelția și Convoluția Precizări facute în paralel. Ca expresii analitice, ele sunt extrem de asemănătoare

Convoluția a 2 semnale:

(τ)= (1) (=x(t)*y(t))

y(t)=

H(s)= Y(s)=H(s)·U(s) , y(t)= H(s)·U(s)=

Corelația intercorelația: (τ)= (2)

Corelația presupune ca etape de calcul care se impun:

Convoluția presupune:

Exemlu Justificativ:x(t)= , y(t)= Să evidențiem acesteSau succesiunea de operații pentru calculul pentru τ=0,4 Acest lucru se va face prin grafice:

Deplasarea:

N=N·Te) lungimea înregistrării

Produs de convoluție

τ t dt

-deplasare-înmulțire-integrare-deplasare

-inversare-înmulțire-integrare

Convoluții Corelații (τ)

(τ)

x(t) : y(t):x(t) y(t)

1

1

2

0,5

0,2 0,4 0,6 0,4 0,8 1,2t t

y(t+τ)



20

Înmulțirea+Integrarea

Intercorelația:

Inversarea

Convoluția:

Metode de identificare utilizând tehnici de corelație în cazulsemnalelor de test stohastice(aleatoare)

Utilizarea în scopul identificării asemnalelor stohastice se face posibilă prin utilizareatehnicilor de corelatie , prin eliminarea eficientă a efectului perturbților asupra rezultatelor,necesitânduse un timp mai scurt de experimentare și calcule relativ simple în vedereadeterminării modelelor neparametrice(în general: funcția pondere). h(t)

Mai mult, semnalele aleatoare de medie nulă pot fi aplicate prinsuprapunere pestemărimile curente care actionează asupra procesului, evitându-se necesitate a întreruperii dinfuncționarea normală a acestuia.

y(t+τ):y(t-τ)

0,4-0,4

(0,4)

y(t+τ)

x(t)

x(t) y(t+τ)

x(t) y(t+τ)

1

·

0,40,2t

0,2 0,4-0,4 -0,2τ

(τ)

grafic final

integrală

y(τ-t)

0,4

x(t) y(τ-t)

0,5

1 ·

0,2 0,4(τ)

0,2 0,4τ

Înmulțirea+Integrarea

tot spațiul reprezintă punctul

tot spațiul reprezintă punctul



21

Ele prezintă astfel proprietăți care le recomandă atât în cadrul modelelorOFF-LINE ,cât și în celeON-LINE.

Stabilirea unei legături directe între regulatoarele obținute și modelul neparametrich(t) es te posibilă numai prin considerarea unor anumite proprități statistice prestabilite

semnalelor de probă.

RELAȚII DE BAZĂ

Și în această situație, analiza îndomeniul timp sau frecvență va conduce tot la orelație unică între intrare și ieșire, dar care, din cauza naturii aleatoare a mărimilor careintervin, va fi în mod natural o relație între mărimile statstice care le descriu.

Modelul pe care dorim să-l determinăm estefuncția pondere: h(t) =MM-Neparametric. Ca mărimi cunoscute sunt măsurătorile semnalelor aleatoare din intrare și ieșire. u(t)

și y(t) Zgomotul este definit numai prin prisma proprietaților luistatistice. Se va lucra în ipotezele de lucru următoare: atâtu cât șiz sunt procese aleatoare

staționare, gausiene și ergotice. Se admite d e asemenea că marimile sunt centrate, deciE(.)=0 =>Media de ordin I.

ẋ(n)=x(n)-mx=0ẏ(n)=y(n)-my=0

Dacă această cerință nu este satisfăcută inițial, ea poate fi obținută prin extragereacomponentelor continue din semnalul respectiv. Se pleacă de la relația:{ y(t)= } (1) Integrala de convoluție

Integrala de convoluție (în care apare operația de inversare în plus.)

Marimea de ieșire va fi de asemenea un proces aleator , staționar și ergotic.=>Funcția de intercorelație intrare- ieșire este o medie:

{ τ τ = τ }

Înlocuind înrel(2) pe y dat de rel(1) se va obține: τ ∞ τ∞

+ ∞ τ

Mai introducem o ipoteză de lucru: Se acceptă ca zgomotul din ieșire și semnalul dinintrare nu sunt corelate sau sunt foarte slab corelate, ceea ce permite să acceptăm că cea de-aII-a reacție se poate neglija.

Apelăm la proprietățile de liniaritate ale integralelor: τ

∞d

funcția pondere

(2) Med. ansamblu

ergodicitatea τ= -

Med. temporală

τ ≈0

τ



22

Deci am obținut: Schimbarea de notație a variabilei =>

(3) =>Ecuația WIENER- HOPF în domeniul timp

AplicămTransformata Fourier acestei relații:

(4) =>Ecuația WIENER- HOPF în domeniul frecvenței

(5) => Relația între densitățile spectrale

Relația (3) și respectiv (4) sunt similare cu cele care stabilesc legătura între mărimeade ieșire și cea de intrare la sisteme liniare, însă aici rolul mărimilor de intrare și respectivieșire îl au în domeniul timp, funcția de autocorelație a intrării și respectiv intercorelațiaintrare/ ieșire, iar în domeniul frecvență funcția de densitate spectrală a intrării, respectivfuncția de densitate intraspectrală.

Ne intereseza să determinăm modelul neparametric:-funcția pondere-caracteristicile de frecvența

Cunoscând: -funcția de corelație -funcția de densitate spectrală

se poate rezolva Ecuațile WIENER -HOPF în domeniul timp sau frecvența, existând2direcții de abordare:

1.Pe baza masurătorilor intrării și ieșirii se determină funcțile de corelație(inter-șiauto- ) și se rezolvă ecuația(3) în sensul determinării necunoscutei: Funcția pondere

2.Consta în determinarea funcților de densitate spectrală și rezolvarea ecuației(4),obținând soluția în domeniul frecvențelor(caracteristica de frecvență) =>Din care se obținef.d.t., ș.a.m.d.

1METODA DE CONVOLUȚIE Schema de principiu a metodei este următoarea:

integrala de convoluție = transformata în domeniul timp a două funcții imagine

densitatea de putere interspectrală densitatea de putere spectrală

densitatea spectrală



23

{ (τ)= } (1) unde: Tr=durata regimului tranzitoriu al proce sului sups integrării.

Deci:{h(t) 0 pentru t>Tr} (*)

Discretizând cu pas constant (ales astfel încât să fie respectată teoria lui Schannon) (τ) (kΔ)

h(τ) (kΔ)

În aceste situații, rel(1) devine:{ (kΔ)= [(k- pentru k=0,N } (2) {NΔ=Tr} (**)

Consecința rel(*) și (**) este că h(iΔ)0 pentru i N.Vom avea un sistem de (n+1) ecuații cu (n+1) necunoscute. Secvența de pondere:[h(0)...h(NΔ)] Forma acestui sistem de ecuație:

Sistemul de ecuații reprezentat de rel(2) pote fi rescris înforma vectorial- matriceală:

Aducem la forma compactă { } (3) a formei matriciale-Dispunem de valorile funcților de-Necunoscut =H=?

(kΔ)= y[( , k=0,N

(kΔ)=

Relația de calcul ale funcților de corelație

Intervalul pe care se face corelarea >timpul de stabilizare al procesului(3) => (5) Soluția ecuației vectoriale-matriciale de la care am plecat

Soluția: Elementele matriciei =funcțile de autocorelație a intrării Alegerea unei intrărianume poate duce la o simplificare a situației.

După epuizarea regimuluitranzitoriu, sistemul revineîn regim staționar constant,după „timpul de stabilizare”

(revenire)

excitația

0Tr

funcția pondere

pentru kΔ t (k+1)Δ

=Δ

- - - -

· · ·

· · ·

· · ·

- - - -

- - - - · · ·

k=N

k=0

k=1

H

–autocorelație

– inter corelație

(4)

Calculul inversei acestei matrici complică foarte mult lucrurile



Utilizarea ca semnal de test (Semnal de intrare) a Zgomotului Alb

Evitarea complicților introduse de necesitatea inversării matricei din rel(5) pot fi multsimplificate dacă ca semnal de test se utilizează un zgomot alb.

În cazul zgomotului alb:- funcția de autocorelație: { ) }

aproximează un impuls Dirac aplicat în matricea τ

Dispersia: { u=E (t) } Media pătratică a lui u => Ecuația Wienner-Hopf în domeniul timp devine:

{ } (6) Exploatăm proprietatea de eșantionare a impulsului Dirac.

Deci: în cazul zgomotului alb aplicat în intrare, măsurarea funcției de intercorelație

intrare/ieșire duce la determinarea funcției pondere. În cazul discret: (k-i)=

Impulsul Dirac discret este de amptitudine 1.=> = ·I (7) Forma diagonal

h(i)= (i) ,i=0,N (8)

Schema de principiu care permite determinarea unui punct a funcției pondere (al unuielement al secvenței de ponderare) utilizând funcția de corelație este următoarea:

Filtru Trece Jos

Ipoteza de argodicitate : „Media în timp a unui semnal = intercorelația” Dacăzgomotul alb din intrare este zgomotul alb ideal deci { } atunci

componenta continuă a ieșirii filtrului trece jos este egală chiar cu funcția pondere evaluată pentru τ determinată de dispozitivul de întârziere.

-τ poate fi modificat într -un domeniu dorit, cea ce permite evaluarea funcției pondere pe acel domeniu.

Implicația zgomotului alb în domeniul frecvență:Aplicarea rel: }=>{ }Ecuația Wiener-Hopf în domeniul frecvență (jω)=H(jω)

dispersia impuls Dirac

σ u ,k=i0 ,k i

Autocorelația zgomotului alb discret.

z(t)

y(t)h(t)zgomot alb

Dispozitiv deîntârziere cuτ secunde

Multiplicator

u t-τ

u(t-τ)y(t) FiltruTrece

Jos

u·h(τ)

-are ca efect de mediere în timp -ieșirea lui = componenta continuă a intrării cu bandă

îngustă

(jω)=H(jω) (ω)

estimarea parametrilor sistemelor

Documents