POPOVICIU NICOLAE
C A P I T O L U L 7
Estimatori pentru valoare medie i dispersie.
Estimarea parametrilor.
Dispersie minim. Verosimilitate maxim
7.1 Formule de estimare a parametrilor. Cazul specificat. Cazul nespecificat. La nceput acest capitol prezint formule de estimare a parametrilor statistici, n cazul specificat i n cel nespecificat. Exist mai multe tipuri de estimare a parametrilor necunoscui. n unul din capitolele anterioare, pentru valoarea medie i dispersia am menionat dou tipuri de formule:1) formule teretice i 2) formule de calcul. Acum prezentm un nou tip de formule i anume 3) formule de estimare. Primele dou tipuri de formule cer s fie cunoscute probabilitile ale lui X , ceea ce nu este ntotdeauna comod. Formulele de estimare 3) nu cer aceste probabiliti, dar cer o selecie de valori asupra variabilei aleatoare X , ceea ce nu este greu de realizat. ntre formulele 1), 2) i formulele 3) trebuie s existe o anumit concordan, care s justifice posibilitatea de a nlocui o formula cu alta. Formulele de estimare conduc la mai multe tipuri de extimri: estimaie consistent, estimaie nedeplasat, estimaie absolut corect [19]. [21], [23]. Dup lmurirea acestor aspecte este prezentat un algoritm care asigur dispersia minim pentru o formul de estimare. Funcia de verosimilitate mpreun cu ecuaia sau sistemul verosimilitii maxime fac obiectul unei subseciuni a acestei seciuni. . Urmeaz metoda verosimilitii maxime i metoda momentelor. 7.1.1 Formularea problemei de estimare a parametrilor.
Foarte des legea de probabilitate i densitatea de probabilitate conine unul sau mai muli parametri, notai sau (s parametri). Astfel funciile f au formele , sau , etc. n capitolul anterior am folosit notaia simpl, fr a meniona i parametrii asociai funciei f .
Problema de estimare cere s se estimeze valoarea medie i dispersia , precum i parametrii necunoscui. Exemple. a) Repartiia Poisson discret: (are un parametru). b) Repartiia Bernoulli discret: ; ; , unde n este un numr natural dat, are un parametru. c) Repartiia normal continu: , ; are doi parametri. d) Repartiia exponenial contin: ; are un parametru. n viitor, pentru prezentarea teoriei estimaiei ne referim numai la un paramatru , adic funciile f au forma sau . Deseori vom face referire la dou tipuri se noiuni i anume cazul specificat i cazul nespecificat. Literatura de specialitate prezint dou versiuni de interpretare a acestor noiuni. Versiunea 1. Cazul specificat nseamn c este cunoscut forma funciei f (repartiie Poisson sau Bernoulli sau normal etc.). n cazul nespecificat nu este cunoscut forma funciei f . Pentru calcularea lui i trebuie s cunoatem forma repartiiei, adic s cunoatem forma lui f .
Versiunea 2. Forma funciei f este cunoscut. n cazul specificat valoarea parametrului este cunoscut. n cazul nespecificat valoarea parametrului nu este cunoscut.
n prezenta monografie vom preciza clar, de fiecare dat, n ce versiune ne situm. Cnd are valoare cunoscut suntem n cazul specificat. Cnd are valoare necunoscut sunten n cazul nespecificat. Repartiia variabilei aleatoare X este complet cunoscut numai n cazul spacificat. n cazul nespecificat, valoarea parametrului trebuie determinat. Detrenimarea se face prin formule de estimare. Totui noi vom gsi numai o valoare aproximativ a lui . se numete valoarea exact sau valoarea adevrat, iar se numete valoarea estimat sau valoarea aproximativ. Este evident c noi dorim s gsim cea mai bun aproximare a parametrului . Formula prin care gsim valoarea aproximativ pentru parametrul se numete formul de estimare. Exist multe tipuri de formule de estimare. 7.1.2 Cteva tipuri de formule de estimare. Fie X o variabil aleatoare (discret sau continu), cu lege de probabiliatate f sau densitate de probabilitate f cunoscut, care depinde de parametrul cu valoare necunoscut. Parametrul trebuie estimat prin . Pentru aceasta folosim o selecie discret asupra lui X , avnd volumul N. Notm prin o funcie de estimare a valorii adevrate (necunoscute) . Vrem s gsim cea mai bun aproximare , n raport cu un criteriu de aproximare sau cu o definiie de aproximare. Funcia este o variabil aleatoare. Definiia 1. irul de variabile aleatoare converge n probabilitate ctre variabila aleatoare dac pentru orice valoare dat. Din aceast definiie (adic din acest tip de convergen) noi nelegem c volumul de selecie N trebuie s fie un numr foarte mare, ceea ce n aplicaii nu este comod. Definition 2. Dac definiia 1 este satisfcut, atunci este o estimare consistent a valorii i scriem (convergen n probabilitatea P ). Definiia 3. Dac valoarea medie este , adic , atunci se numete estimaie nedeplasat (estimaie exact) a lui . Definiia 4. Dac i , arunci se numete estimaie absolut corect (estimaie absolut exact) a lui . Observm c definiia 4 genereaz cea mai bun idee de estimare. 7.1.3 Formule de estimare i proprietile lor. Reamintim c dorim s estimm valoarea medie , dispersia i dup caz, valoarea unor parametri. Formulele de estimare au notaii specifice, care difer fundamental de formulele teoretice sau formulele de calcul. De exemplu, n timp ce valoarea medie se noteaz sau sau m , valoarea medie estimat se noteaz prin .
Folosim selecia de volum N . Atunci este formula de estimare a valorii medii a lui X ; ; este prima formul de estimare a dispersiei ; ; este a doua formul de estimare a dispersiei; . Propoziia 1. Valoarea este o estimare absolut corect a valorii medii . De asemenea este o estimare nedeplasat a valorii medii. Propoziia 2. Varoarea este o estimare consistent a dispersiei . Propoziia 3. Valoarea este o estimare absolut corect a dispersiei .
Valoarea este o estimare nedeplasat a dispersiei .
Formula lui se folosete atunci cnd volumul de selecie N este mic n raport cu numrul total de date ale variabilei X . Observaia 1. A) Formulele teoretice pentru i folosesc probabilitile
. Formulele de estimare nu folosesc aceste probabiliti deoarece valorile de selecie
sunt independente i identic repartizate.
B) Dac variabila aleatoare discret X este definit prin selecia
, unde sunt frecvene absolute (numere naturale), atunci formula de calculare a lui are forma = . Cu ajutorul frecvenelor absolute i a legii de probabilitate se calculeaz frecvenele relative. C) La foarte multe repartiii statistice exist o legtur direct ntre valoarea medie i parametrul (sau parametri) care definesc funcia de repartiie. De aceea estimatorul lui se folosete la estimarea parametrilor, cu ajutorul unei selecii asupra valorilor lui X .
Exemple. Repartiia discret Poisson. = ; ; . = ; (estimator) ; . Repartiia continu exponenial. = ; ; . = ; (estimator) ; . Repartiia continu normal. = ; . = ; (estimator) ; . 7.1.4 Formule de estimare care genereaz estimri cu diepersia minim. Pentru un parametru putem gsi o mulime de estimatori nedeplasai , aa nct . De aceea cutm estimatorul care asigur dispersia minim. n acest caz valorile sunt bine grupate n jurul lui . Definiia 5. Fie X o variabil aleatoare cu densitatea . Fie o estimaie nedeplasat a lui . Dac urmtoarea egalitate este satisfcut
(1)
atunci estimaia este numit estimaie eficient i aceasta are dispersia minim. Egalitatea (1) provine din teorema Rao-Cramer i este condiia necesar i suficient ca o estimaie s fie eficient. Algoritmul dispersiei minmime. 1) Folosim variabila aleatoare X cu densitatea . Funcia f este cunoscut, iar parametrul este necunoscut. 2) Folosim selecia asupra variabilei X . 3) Alegem estimarorul nedeplasat al lui . 4) Calculm partea stng din egalitatea (1) . 5) Calculm partea dreapt din egalitatea (1), dup cum urmraz: ; ; ; . A este o notaie pentru uurarea redactrii. Apoi calculm i (* este nmulirea din real). 6) Comparm membrul stng cu membrul drept din (1). Dac egaliatatea (1) este satisfcut, atunci are dispersia minim. Deci este estimator efficient pentru parametrul . Observaia 2. Facem o recapitulare a tipurilor de estimaii pe care le-am ntlnit pn acum:
estimaie consistent, estimaie nedeplasat, estimaie absolut corect, estimaie eficient. 7.1.5 Funcia de verosimilitate. Ecuaia de verosimilitate maxim. Sistemul de verosimiliate maxim. a) Cazul cu parametrul unidimensional . Fie X o variabil aleatoare cu densitatea de probabilitate sau , cu . Tratm cazul cu parametrul unidimensional.
Pentru X folosim selecia . Definiia 6. Funcia de verosimilitate (unidimensional) se noteaz cu i are forma de produs ;
(2) Proprietate important. Punctele staionare (relative la ) ale funciei coincid cu punctele staionare ale funciei . Ecuaia verosimilitii maxime are forma
(3) Definiia 7. Notm cu o soluie a ecuaiei (3). Valoarea se numete estimaie cu verosimilitate maxim pentru parametrul . b) Cazul cu parametrul multidimensional . Fie r variabile aleatoare , care depind de parametrii . Parametrul are dimensiunea k . Folosim o selecie de volum N de forma ; ; , , unde semnul T reprezint operaia de transpunere. Definiia 8. Funcia de verosimilitate (multidimensional) are forma ;
(4) Sistemul (de ecuaii) de verosimilitate maxim are forma , , ,
(5)
Definiia 9. Soluia a sistemului (5) se numete estimare cu verosimilitate maxim pentru parametri . Definiia 10. O estimare care are verosimilitate maxim se numete estimare eficient sau estimare exhaustiv. 7.1.6 Metode de estimare a parametrilor. Metoda verosimilitii maxime. Metoda momentelor. Parametrii necunoscui ai unei densiti de probabil;itate se estimeaz cu ajutorul unei selecii
. Exist dou metode principale de estimare a parametrilor.
Metoda 1. Metoda verosimilitii maxime. Algoritmul 1. a) Alegem cazul sau . Forma funciei f este cunoscut, dar parametrul / parametri sunt necunoscui. Tratm cazul . b) Lum o selecie de forma . c) Scriem funcia de verosimilitate (2) i calculm . d) Scriem i rezolvm ecuaia (3) . Obinem soluia . e) Lum estimarea . Observaia 3. n cazul se urmeaz aceeai cale, dar se rezolv sistemul de ecuaii (5). Metoda 2. Metoda momentelor. Algoritmul 2. Reamintim cteva idei i formule legate de variabilele aleatoare unidimensionale, discrete sau continue.
, ,
(n cazul discret; , (n cazul continuu) ,
; (momente necentrate) ; (momente necentrate). a) Alegem cazul sau i socotim numrul de parametri ai funciei cunoscute (ca form) f . Numrul de momente , pe care se bazeaz matoda 2 este egal cu numrul de parametri care trebuie estimai. b) Scriem formulele pentru toate momentele necesare. ; etc. c) Lum o selecie de volum N , de forma . Scriem formulele pentru valorile momentelor de selecie ; etc. d) Scriem sistemul de ecuaii cu parametrul sau parametri necunoscui. ; etc. e) Se rezolv ecuaia de la d) sau sistemul de la d). Observaia 4. Exixt o anumit frumoas i interesant dualitate de exprimare:
dispersie minim; verosimilitate maxim.
7.1.7 Probleme rezolvate. Estimri cu diepersia minim. Verosimilitate maxim. Problema 1. Estimare eficient. Dispersie minim. Repartiia normal. Un singur parametru. Fie X o variabil aleatoare normal ; ; . S se demonstreze c este o estimare eficient a valorii medii . Soluie. Densitatea de probabilitate are doi parametri and . n aceast problem parametrul din expunerea teoretic este parametrul m .
Trebuie s artm c are loc egalitatea (1) din 7.1.4 . Din membrul stng obinem succesiv =
EMBED Equation.3 = = . Din membrul drept obinem succesiv = = . Calculm separat integrala notat A A= ; artificiul 1: dedublarea lui
A= ; artificiul 2: A= ; artificiul 3: A= ; artificiul 4: A= ; artificiul 5: ; A= ; Cei doi membri ai egalitii (1) aunt egali cu . Deci, este o estimare eficient a parametrului valoarea medie m , adic estimarea are dispersie mimim. Problema 2. Repartiie Poisson discret. Verosimilitate maxim. Un parametru. Fie X o variabil aleatoare Poisson discret ; ; . Folosind selecia asupra lui X , s se determine pentru parametrul o estimaie cu verosimitate maxim. Soluie. Aplicm metoda verosimilitii maxime, prin algoritmul 1. Construim fruncia de verosimilitate (2) i obinem succesiv: =
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = unde, pentru o redactare mai clar, sus la putere am folosit notaia , etc, iar
; . Cu aceste notaii rezult ; ; rezolvm aceast ecuaie n
; ; .
Deci parametrul este estimat prin media de selecie , care este o estimaie nedeplasat pentru a repatiiei Poisson. Problema 3. Repartiie normal continu. Verosimilitate maxim. Doi parametri. Fie X o variabil aleatoare cu repatiie normal, continu
; ; . Folosind selecia asupra lui X s se gseasc o estimare cu verosimilitate maxim pentru cei doi parametri a i b . Soluie. Aplicm metoda verosimilitii maxime, prin algoritmul 1. Construim fruncia de verosimilitate (4) i obinem succesiv: = , unde folosim notaiile ; . Aplicm logaritmul natural . Folosim metoda verosimilitii maxime pentru 2 parametii a b , folosim un system de dou ecuaii ; ; ; ; . Rezult ; ; a este media de selecie pentru X ; media de selecie este o estimaie cu verosimilitate maxim. Pentru parametrul obinem ;
EMBED Equation.3 +=
EMBED Equation.3 , deorece
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . Deci, n parametrul recunoatem dispersia variabilei aleatoare X.
Rezultatele finale sunt
EMBED Equation.3 ; . Problema 4. Repartiie Bernoulli discret. Verosimilitate maxim. Un parametru. . Fie X variabil aleatoare discret cu repartiie binomial ; ; ; . Funcia este o funcie nemonoton, cu parametrul p . Folosind o selecie de valori ale lui X s se estimeze parametrul p nct s aib verosimilitate maxim. ntre numerele naturale n i N nu exist nici o relaie. Soluie. Folosim algoritmul 1, cu funcia de verosimilitate (2) ; , unde pentru claritatea formulei am notat , etc. Rezult =
EMBED Equation.3 , unde ; . Logaritmm ; derivm i rezolvm ecuaia
; ; ; ; . Parametrul p astfel estimat are verosimilitate maxim. El genereaz valoarea medie a variabilei Bernoulli. Problema 5. Repartiie discret. Verosimilitate maxim. Un parametru. Fie X variabil aleatoare discret cu repartiia ; . Folosind o selecie de valori ale lui X s se estimeze parametrul p nct s aib verosimilitate maxim; . Soluie. Aplicm algoritmul 1. Funcia de verosimilitate are forma , deoarece din cele N extracii de k ori a ieit 1 i de a ieit valoarea 0. Logaritmm i obinem succesiv ; ; ; . Estimarea parametrului p are verosimilitate maxim i recunoatem n aceast estimare chiar valoarea medie a variabilei X . Problema 6. Repartiie normal continu. Estimare prin metoda momentelor. Doi parametri. Fie variabila aleatoare normal
, cu densitatea .
Folosind o selecie de valori ale lui X s se estimeze parametrii necunoecui i . Soluie. Folosim metoda momentelor. Deoarece exist doi parametri, folosim primele dou momente (necentrate) ale variabilei aleatoare normale X . Avem ; . Momentele de selecie au forma
; .
Construim sistemul liniar cu dou ecuaii i dou necunoscute ; ;
EMBED Equation.3 ; . Rezolvm sistemul i notm soluiile prin i . Rezult = ; , deoarece totdeauna are loc egalitatea = . Deci, am gsit estimrile ; .
Recunoatem formule cunoscute, pe care le-am ntlnit la nceputul seciunii 7.1.3, care trateaz estimarea nedeplasat a valorii medii i estimarea consistent a dispersiei.
Problema 7. Repartiie beta continu. Estimare prin metoda momentelor. Doi parametri. Fie variabila aleatoare beta
; . Folosind o selecie de valori ale lui X s se estimeze parametrii a i b . Soluie. Folosim metoda momentelor. Deoarece exist doi parametri, folosim primele dou momente (necentrate) ale variabilei aleatoare normale X . Reamintim cteva formule ; pentru ramura principal a funciei multiforme ; ; . Folosim momentele = . Deci ;
EMBED Equation.3 ; . Construim sistemul ; = ;
EMBED Equation.3 = Rezolvm sistemul neliniar i obinem succesiv , = ; = (notaie)
= . Deci, sistemul devine =,
, ;
, ; .
Soluia final este ; , unde
; . Totul este exprimat cu date (rezultate) cunoscute.
_1473696252.unknown
_1473697128.unknown
_1473697459.unknown
_1473697556.unknown
_1473697640.unknown
_1473697755.unknown
_1473697759.unknown
_1473697761.unknown
_1473697762.unknown
_1473697760.unknown
_1473697757.unknown
_1473697758.unknown
_1473697756.unknown
_1473697655.unknown
_1473697751.unknown
_1473697753.unknown
_1473697754.unknown
_1473697752.unknown
_1473697663.unknown
_1473697671.unknown
_1473697750.unknown
_1473697659.unknown
_1473697647.unknown
_1473697651.unknown
_1473697643.unknown
_1473697600.unknown
_1473697620.unknown
_1473697629.unknown
_1473697634.unknown
_1473697625.unknown
_1473697608.unknown
_1473697613.unknown
_1473697604.unknown
_1473697575.unknown
_1473697587.unknown
_1473697595.unknown
_1473697582.unknown
_1473697567.unknown
_1473697571.unknown
_1473697562.unknown
_1473697507.unknown
_1473697523.unknown
_1473697547.unknown
_1473697551.unknown
_1473697528.unknown
_1473697514.unknown
_1473697519.unknown
_1473697510.unknown
_1473697484.unknown
_1473697497.unknown
_1473697501.unknown
_1473697491.unknown
_1473697472.unknown
_1473697476.unknown
_1473697468.unknown
_1473697302.unknown
_1473697363.unknown
_1473697405.unknown
_1473697418.unknown
_1473697453.unknown
_1473697409.unknown
_1473697381.unknown
_1473697401.unknown
_1473697377.unknown
_1473697324.unknown
_1473697335.unknown
_1473697339.unknown
_1473697328.unknown
_1473697312.unknown
_1473697319.unknown
_1473697307.unknown
_1473697173.unknown
_1473697284.unknown
_1473697293.unknown
_1473697296.unknown
_1473697288.unknown
_1473697214.unknown
_1473697258.unknown
_1473697211.unknown
_1473697154.unknown
_1473697163.unknown
_1473697167.unknown
_1473697158.unknown
_1473697144.unknown
_1473697149.unknown
_1473697140.unknown
_1473696724.unknown
_1473696851.unknown
_1473697062.unknown
_1473697117.unknown
_1473697124.unknown
_1473697065.unknown
_1473697048.unknown
_1473697058.unknown
_1473696993.unknown
_1473696753.unknown
_1473696794.unknown
_1473696842.unknown
_1473696759.unknown
_1473696732.unknown
_1473696741.unknown
_1473696746.unknown
_1473696735.unknown
_1473696728.unknown
_1473696545.unknown
_1473696662.unknown
_1473696676.unknown
_1473696715.unknown
_1473696667.unknown
_1473696606.unknown
_1473696612.unknown
_1473696601.unknown
_1473696296.unknown
_1473696487.unknown
_1473696510.unknown
_1473696478.unknown
_1473696271.unknown
_1473696279.unknown
_1473696259.unknown
_1460446962.unknown
_1462110503.unknown
_1466612159.unknown
_1466612357.unknown
_1466612478.unknown
_1466612555.unknown
_1466612566.unknown
_1466612707.unknown
_1466612733.unknown
_1473696210.unknown
_1466612725.unknown
_1466612689.unknown
_1466612703.unknown
_1466612559.unknown
_1466612489.unknown
_1466612511.unknown
_1466612481.unknown
_1466612453.unknown
_1466612470.unknown
_1466612474.unknown
_1466612456.unknown
_1466612389.unknown
_1466612439.unknown
_1466612362.unknown
_1466612386.unknown
_1466612276.unknown
_1466612316.unknown
_1466612322.unknown
_1466612327.unknown
_1466612319.unknown
_1466612309.unknown
_1466612312.unknown
_1466612287.unknown
_1466612186.unknown
_1466612215.unknown
_1466612237.unknown
_1466612190.unknown
_1466612212.unknown
_1466612178.unknown
_1466612183.unknown
_1466612173.unknown
_1466612090.unknown
_1466612134.unknown
_1466612143.unknown
_1466612151.unknown
_1466612139.unknown
_1466612098.unknown
_1466612103.unknown
_1466612093.unknown
_1466612060.unknown
_1466612082.unknown
_1466612085.unknown
_1466612071.unknown
_1466612038.unknown
_1466612058.unknown
_1462198407.unknown
_1462203277.unknown
_1462203870.unknown
_1462203912.unknown
_1462203975.unknown
_1462203810.unknown
_1462198523.unknown
_1462203146.unknown
_1462198440.unknown
_1462198137.unknown
_1462198296.unknown
_1462110531.unknown
_1462197693.unknown
_1460479730.unknown
_1460608947.unknown
_1460645462.unknown
_1460648691.unknown
_1460649533.unknown
_1460650675.unknown
_1460652879.unknown
_1460653463.unknown
_1460652077.unknown
_1460650266.unknown
_1460649512.unknown
_1460648058.unknown
_1460648390.unknown
_1460647440.unknown
_1460627214.unknown
_1460627264.unknown
_1460626957.unknown
_1460527645.unknown
_1460529743.unknown
_1460608909.unknown
_1460528880.unknown
_1460480342.unknown
_1460527516.unknown
_1460480295.unknown
_1460470473.unknown
_1460473449.unknown
_1460473600.unknown
_1460475208.unknown
_1460473517.unknown
_1460472799.unknown
_1460473109.unknown
_1460472560.unknown
_1460451788.unknown
_1460451901.unknown
_1460453677.unknown
_1460451811.unknown
_1460448567.unknown
_1460450560.unknown
_1460447253.unknown
_1411798943.unknown
_1412101571.unknown
_1412142234.unknown
_1412143959.unknown
_1460441380.unknown
_1460444158.unknown
_1460444199.unknown
_1460443048.unknown
_1412144965.unknown
_1412146217.unknown
_1412146379.unknown
_1460441078.unknown
_1460441107.unknown
_1412274530.unknown
_1412146269.unknown
_1412146186.unknown
_1412144493.unknown
_1412143411.unknown
_1412143465.unknown
_1412143590.unknown
_1412142584.unknown
_1412142700.unknown
_1412143128.unknown
_1412142599.unknown
_1412142516.unknown
_1412102213.unknown
_1412103041.unknown
_1412105084.unknown
_1412105083.unknown
_1412102244.unknown
_1412101851.unknown
_1412101945.unknown
_1412101770.unknown
_1412096278.unknown
_1412097365.unknown
_1412101315.unknown
_1412101502.unknown
_1412097434.unknown
_1412096455.unknown
_1411801498.unknown
_1411801883.unknown
_1411803138.unknown
_1411803507.unknown
_1412095957.unknown
_1411803905.unknown
_1411803236.unknown
_1411803444.unknown
_1411803051.unknown
_1411801705.unknown
_1411801532.unknown
_1411801590.unknown
_1411801167.unknown
_1411801241.unknown
_1411800107.unknown
_1411801055.unknown
_1411799275.unknown
_1411752374.unknown
_1411797754.unknown
_1411798250.unknown
_1411798387.unknown
_1411798443.unknown
_1411798313.unknown
_1411797949.unknown
_1411798081.unknown
_1411797911.unknown
_1411757693.unknown
_1411757880.unknown
_1411797101.unknown
_1411797708.unknown
_1411757832.unknown
_1411755639.unknown
_1411757344.unknown
_1411755213.unknown
_1411755475.unknown
_1409726579.unknown
_1411627553.unknown
_1411653828.unknown
_1411749986.unknown
_1411750109.unknown
_1411751214.unknown
_1411751950.unknown
_1411653899.unknown
_1411748223.unknown
_1411749947.unknown
_1411747604.unknown
_1411653850.unknown
_1411628664.unknown
_1411628863.unknown
_1411628406.unknown
_1411628601.unknown
_1411627739.unknown
_1411540938.unknown
_1411541208.unknown
_1411541351.unknown
_1411541025.unknown
_1410702863.unknown
_1411540214.unknown
_1409727562.unknown
_1409727235.unknown
_1409727516.unknown
_1409727149.unknown
_1409644481.unknown
_1409676395.unknown
_1409677228.unknown
_1409679930.unknown
_1409676699.unknown
_1409675812.unknown
_1409675857.unknown
_1409646587.unknown
_1409675701.unknown
_1409644737.unknown
_1409643301.unknown
_1409643338.unknown
_1409644111.unknown
_1409640858.unknown
_1409641059.unknown
_1409642137.unknown
_1409642161.unknown
_1409641133.unknown
_1409641030.unknown
_1409640685.unknown
_1409640710.unknown
_1409551563.unknown
_1409588784.unknown