CAPITOLUL 3

CAPITOLUL VCARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECIUNILOR PLANE CARE INTERVIN N CALCULELE DE REZISTENn calculul de rezisten se folosesc formule reprezentnd legtura dintre tensiunile ( i ( dintr-un anumit punct al unei seciuni transversale ale unei bare, solicitarea din acea seciune i unele caracteristici geometrice ale seciunii. Dup cum se va vedea n continuare, forma acestor relaii va fi urmtoarea:

(5.1)

n funcie de efortul rezultat din solicitare (N, T, Mi, Mr), pentru care se determin tensiunea, caracteristica geometric coninut n formulele de tipul (5.1) poate fi: aria seciunii (A); momentul static (S); momentul de inerie (I); modulul de rezisten (W); raza de inerie (i).5.1. Caracteristici geometrice. Relaii de definiie. Proprieti1. Aria seciunii planeAria seciunii unei bare ce intervine n calcul, se determin simplu, conturul corpurilor avnd o form geometric simpl. Ariile seciunilor mai complicate, dar la care se cunosc ecuaiile curbei conturului, se afl aplicnd integrala simpl definit, integrala curbilinie sau integrala dubl. Dac conturul nu este definit analitic, se recurge la metode teoretice aproximative sau determinarea ariei se face cu ajutorul planimetrelor.

2. Momentul staticMomentul static al unei seciuni plane oarecare, n raport cu axele z sau y (fig.5.1), prin definiie se determin din relaiile:

(5.2)Dac se cunosc coordonatele zc i yc ale centrului geometric al seciunii, momentele statice devin:

(5.3)

Coordonatele centrului geometric al unei seciunii plane se pot determina cu formulele:

(5.4)n relaiile (5.2), (5.3) i (5.4) s-a notat: z i y coordonatele unui punct curent de pe seciune, dA un element de arie considerat n jurul punctului P, zc i yc coordonatele centrului geometric C al seciunii; A aria total a seciunii.

Se observ c momentul static fa de o ax ce trece prin centrul geometric al seciunii este nul. Semnul momentului static (+) sau () este determinat de semnul coordonatei zc sau yc. Ecuaia dimensional este o lungime la puterea a treia , uzual se folosete (mm3(.3. Momentul de ineriePrin definiie, momentele de inerie axiale ale unei suprafee n raport cu axele centrale z, respectiv y (fig.5.2), sunt date de expresiile:

,

(5.5)

care sunt diferite de zero i pozitive.

Prin definiie, momentul de inerie centrifugal Izy, n raport cu dou axe centrale z i y, perpendiculare ntre ele se definete prin integrala:

,

(5.6)

care poate fi pozitiv, negativ (n funcie de semnul coordonatelor z i y), sau nul.

Prin definiie, momentul de inerie polar al unei suprafee n raport cu un pol este dat de relaia:

,

(5.7)

care este ntotdeauna pozitiv i diferit de zero.

n relaia (5.7), r este distana de la un element de suprafa dA, pn la punctul 0 (pol), iar A este aria ntregii seciuni. Cum , rezult:

,

(5.8)

adic momentul de inerie polar (momentul de inerie al unei suprafee fa de un punct), este egal cu suma momentelor de inerie fa de dou axe perpendiculare oarecare trecnd prin punctul considerat.

Dac axele fa de care se calculeaz momentele de inerie trec prin centrul geometric al seciunii, momentele de inerie calculate se numesc momente de inerie centrale.Pentru momentele de inerie Iz, Iy, Izy i Ip, ecuaia dimensional este o lungime la puterea a patra L4, uzual utilizndu-se (mm4(.

4. Modulul de rezistenSe consider aria A, centrul geometric C al ariei i axele centrale z i y (fig.5.2). Se mai noteaz cu ymax i zmax distanele maxime de la axele centrale pn la punctele cele mai ndeprtate ale seciunii.

Prin definiie modulele de rezisten axiale, n raport cu axele centrale sunt date de relaiile:

(5.9)

Modulul de rezisten polar, tot prin definiie se obine din relaia:

,

(5.10)

n care R este raza seciunii circulare (acest modul de rezisten determinndu-se numai pentru astfel de seciuni).

Ecuaia dimensional a modulelor de rezisten este o lungime la puterea a treia, L3, uzual folosindu-se (mm3(.

5. Raza de inerieRaza de inerie a unei seciuni fa de o ax (, care este o mrime cu dimensiunea unei lungimi, reprezentnd distana de la o ax pn la un punct al planului seciunii, n care dac se concentreaz ntreaga seciune A, se obine din relaia:

,

(5.11)

n care I este momentul de inerie al seciunii A n raport cu axa .

Razele de inerie iz i iy n raport cu axele centrale z i y se scriu deci sub forma:

(5.12)

Ecuaia dimensional este dat de o lungime L, uzual folosindu-se (mm(.

5.2. Variaia momentelor de inerie fa de axe paralele. Formulele lui Steiner

Se consider o suprafa plan (fig.5.3), de arie A i un sistem de axe zOy prin centrul ei geometric. Se presupune c se cunosc momentele de inerie axiale i centrifugale fa de axele z i y (Iz, Iy i Izy) i se cer momentele de inerie fa de un nou sistem de axe z, y, paralele cu primele.

Distanele dintre axele celor dou sisteme se noteaz cu a respectiv b. Conform cu figura 5.3 i formulele de definiie ale momentelor de inerie se pot scrie:

,

(5.13)

,

(5.14)

,

(5.15)

n care i .n relaiile (5.13), (5.14) i (5.15) se remarc c: i , deoarece axele y i z sunt axe centrale i ; ; ; .S-au obinut astfel formulele de variaie a momentelor de inerie fa de axe, deplasate, ntlnite sub denumirea de formulele lui Steiner.

O proprietate important a momentului de inerie centrifugal este reprezentat de faptul c dac cel puin una din axele sistemului de referin este i ax de simetrie a seciunii, momentul de inerie centrifugal este nul.

Astfel, dac se consider o seciune sub form de T (fig.5.4) i sistemul de axe central z, y, rezult c y este i ax de simetrie a seciunii. Se consider dou elemente de arie simetric dispuse fa de axa y i avnd aceiai cot y.

Momentul de inerie centrifugal pentru aceste dou elemente este zero.

.

Acest lucru se poate raporta pentru ntreaga suprafa, de unde rezult c n cazul seciunilor la care cel puin una dintre axele centrale este i ax de simetrie, momentul de inerie centrifugal este nul (Izy = 0).

5.3. Variaia momentelor de inerie n raport cu axe concurente. Direcii principale. Momente de inerie principaleSe consider o suprafa plan de arie A i dou sisteme de axe rectangulare zy i zy, avnd ca origine comun centrul geometric al seciunii i fcnd ntre ele unghiul ( (fig.5.5). Se presupune c se cunosc momentele de inerie fa de sistemul de axe central zOy i se cer momentele de inerie fa de axele sistemului zOy, rotit cu unghiul ( fa de primul.

Se consider un element de arie dA n jurul unui punct P de coordonate z i y. n noul sistem zOy, coordonatele punctului D sunt z i y. ntre z, y i z, y se pot scrie relaiile:

(5.16)

Momentele de inerie fa de axele rotite zOy vor fi:

(5.17)

(5.18)

(5.19)

Expresiile momentelor de inerie n raport cu axele zOy, n funcie de arcul dublu sunt:

EMBED Equation.3

(5.20)

nsumnd Iz, cu Iy, rezult:

,

(5.21)

care arat c suma momentelor de inerie n raport cu dou axe rectangulare trecnd prin centrul geometric al seciunii este un invariant. Acest lucru poate fi privit ca o consecin a faptului c distana elementului de arie dA, pn la centrul axelor nu se schimb.

Prin rotirea sistemului de axe zOy, momentele de inerie Iz, Iy i Izy vor varia n funcie de unghiul (, trecnd prin valori maxime i minime.Unghiurile pentru care Iz are valori de extrem, se obin prin anularea primei derivate a relaiei (5.20), care reprezint pe Iz,y, luat cu semn schimbat.

(5.22)

Dac nmulim expresia de mai sus cu (-1), se observ c momentul de inerie centrifugal conform relaiei (5.22) este nul pentru axele dup care momentul de inerie axial Iz este extrem.

Unghiul care anuleaz prima derivat a momentului de inerie Iz, este dat de relaia:

(5.23)

Din anularea primei derivate a momentului Iy, se obine aceiai expresie pentru tg2(. Axele dup care momentele de inerie iau valori extreme se numesc axe de inerie principale (sau direcii principale), iar momentele de inerie respective se numesc momente de inerie principale.Ecuaia (5.23) definete direcia axelor principale cu dou valori pentru arcul dublu 2(, decalate ntre ele cu unghiul (, respectiv dou valori pentru arcul simplu (, decalate ntre ele cu , reprezentnd direciile principale care sunt perpendiculare ntre ele (fig.5.5).

(5.24)

Unghiurile (1 i (2 definesc axele de inerie principale, dup care se realizeaz momentele de inerie principale I1 i I2 (maxim, respectiv minim).

Pentru a afla valorile momentelor de inerie principale, se exprim sin2( i cos2( n funcie de tg2( din relaia (5.23) i se nlocuiesc n expresia lui Iz din relaiile (5.20), obinndu-se:

,

,

(5.25)

S-a obinut expresia momentelor de inerie principale n funcie de momentele de inerie axial i centrifugal, presupuse cunoscute.

(5.26)

Dac n relaia (5.26) se ia semnul (+) se obine momentul de inerie maxim , iar dac se ia semnul (-) rezult momentul de inerie minim .Dac se anuleaz derivata momentelor de inerie centrifugale (5.20) se obine:

,din care rezult:

(5.27)

Efectund produsul ntre relaiile (5.23) i (5.27) se obine:

,

(5.28)care reprezint condiia de ortogonalitate ntre funciile tg( i tg2( i respectiv ntre arcele 2( i 2(, adic sau .

Aceasta ne permite s spunem c momentele de inerie centrifugale sunt extreme pentru axe ce fac unghiuri de 45o cu axele dup care sunt extreme momentele de inerie axiale.Exprimnd i funcie de i nlocuind n relaia lui Izy din (5.20), se obin momentele de inerie centrifugale extreme:

(5.29)

nsumnd pe I1 cu I2 din (5.26) i innd seama de (5.21) se obine:

,

confirmndu-se faptul c suma momentelor de inerie axiale, calculate n raport cu dou axe rectangulare este un invariant.

Dac se efectueaz diferena I1 I2 rezult:

,

care se mai poate pune sub forma:

,

sau innd seama de (5.29) se obine:

(5.30)

Aceast relaie arat c momentele de inerie centrifugale extreme se pot obine i ca semidiferen a momentelor de inerie axiale principale.

Pentru suprafee simple, momentele de inerie se calculeaz aplicnd integrala de definiie. n cazul suprafeelor compuse, acestea se vor descompune n suprafee simple pentru care momentele de inerie se cunosc i se nsumeaz.

Se poate arta c momentul de inerie, n raport cu axa z al unei seciuni, este egal cu suma momentelor de inerie a prilor componente, n raport cu aceiai ax z:

,

(5.31)n care 1, 2, ..., n indic la care arie se refer momentul de inerie.

5.4 Caracteristicile geometrice ale seciunilor uzuale

a) Seciunea dreptunghiularS determinm momentele de inerie pentru o seciune dreptunghiular (fig.5.6) n raport cu nu sistem de axe central i n raport cu un sistem de axe constituit chiar din laturile dreptunghiului (sistem paralel cu primul). Dup aceea vom determina modulele de rezisten i razele de inerie corespunztoare.

Momentele de inerie axiale, n raport cu axele centrale (fig.5.6):

n mod asemntor gsim:

Momentul de inerie polar fa de centrul O va fi:

Momentul de inerie centrifugal fa de axele centrale:

Razele de inerie:

Modulele de rezisten fa de axele centrale z i y:

;

Pentru o seciune de form ptrat caracteristicile geometrice se obin fcnd (a latura ptratului):

;

;

;

;

.

Momentele de inerie fa de axele z i y se determin aplicnd formulele lui Steiner:

b) Seciunea circular plinMomentele de inerie, razele de inerie i modulele de rezisten fa de un sistem de axe central pentru seciunea circular plin (fig.5.7) se determin dup cum urmeaz:

Momentul de inerie polar al seciunii se determin pornind de la relaia de definiie i nlocuind :

Deoarece seciunea prezint simetrie n raport cu axele z i y, i cum ntre momentul de inerie polar i cele axiale exist relaia ,se obine:

.Modulele de rezisten (axiale i polar) i razele de inerie ale seciunii vor fi:

c) Seciunea circular inelarSe consider o seciune inelar cu diametrul exterior D i diametrul interior d (fig.5.8).

Se noteaz cu 1 ntreaga seciune de diametru D i cu 2 seciunea care lipsete de diametru d. Folosind relaiile deduse la seciunea circular plin i relaia (5.31) att pentru momentul de inerie polar ct i pentru cel axial, cu specificaia c termenii ce se refer la seciunea care lipsete se afecteaz cu semnul () se obin succesiv:

;

d) Seciunea avnd forma unui triunghi dreptunghicSe consider suprafaa triunghiular BCD, notat cu 1, reprezentnd jumtatea ariei dreptunghiului 2 de laturi (fig.5.9).

Se noteaz cu z1 i y1 axele centrale ale seciunii dreptunghiulare, cu z i y axele centrale ale seciunii triunghiulare i cu z i y axele ce cuprind laturile BC i BD. Pentru seciunea dreptunghiular 2, momentul de inerie n raport cu axa sa central este:

Pentru seciunea triunghiular 1 momentul de inerie n raport cu axa z1 este:

Analog, n raport cu axa y1, momentul de inerie a seciunii triunghiulare 1 este:

Pentru calculul momentului de inerie al seciunii triunghiulare n raport cu axa sa central z, se aplic formula lui Steiner:

,n care este distana dintre axele z i z1.

Se obine:

n mod analog se obine:

Momentul de inerie al seciunii triunghiulare n raport cu axa z ce cuprinde baza sa, se determin tot din formula lui Steiner i rezult:

n mod analog se obine:

e) Seciunea triunghiular de form oarecareSe consider suprafaa BCD (fig.5.10), n care ducnd o perpendicular din D pe baz, se obin triunghiurile dreptunghice 1 (BDE) i 2 (DEC).

Se noteaz: y axa ce cuprinde nlimea DE a triunghiului BCD, z axa ce cuprinde baza BC a triunghiului BCD dar i bazele BE i EC ale triunghiurilor 1 i 2.Momentul de inerie al ariei BCD, n raport cu axa z este:

Se determin poziia centrului geometric O al ariei BCD fa de y:

,

n care A1 i A2 sunt ariile celor dou triunghiuri, iar i ordonatele centrelor geometrice. Se obine:

Momentul de inerie al ntregii suprafee BCD, n raport cu axa y este:

,iar n raport cu axa central y va fi:

Momentul de inerie al suprafeei BCD, n raport cu axa sa central z este:

,deoarece z, z1 i z2 coincid.f) Momentul de inerie centrifugal pentru o seciune avnd forma unui sfert de cerc

Se consider o suprafa sub forma unui sfert de cerc de raz R (fig.5.11).

Din figura 5.11 se obine:

;

;

Aplicnd relaia de definiie a momentului de inerie centrifugal n raport cu axele z1 i y1 se obine:

Momentul de inerie centrifugal n raport cu axele centrale z i y se obine aplicnd formula lui Steiner:

Calculul se mai poate dezvolta i conform figurii 5.12, n care elementul de arie are valoarea .

Se scrie relaia de definiie a momentului de inerie centrifugal n raport cu axele z1y1:

,

n care , i .

g) Momentul de inerie centrifugal pentru o seciune avnd forma unui triunghi dreptunghicSe consider suprafaa din figura 5.13, avnd forma unui triunghi dreptunghic.

Considernd un element de arie ca n figura 5.13 se poate scrie expresia de definiie a momentului de inerie centrifugal n raport cu axele z1, y1:

.

Conform figurii se obine:

;

i

Momentul de inerie n raport cu axele z1 i y1 va fi:

Momentul de inerie centrifugal n raport cu axele centrale z i y este:

,n care i .

Exemple de calcul1. Pentru seciunea compus din figura 5.14 se cere s se determine: a) poziia centrului geometric i a sistemului de axe centrale; b) momentele de inerie axiale i centrifugal Iz, Iy i Izy, n raport cu axele centrale; c) modulele de rezisten; d) poziia direciilor principale i mrimea momentelor de inerie axiale principale; e) mrimea momentelor de inerie centrifugale extreme.

Rezolvarea) Se determin coordonatele centrului geometric al seciunii

,

,n care A1, A2 sunt mrimile ariilor componente, iar , , i sunt coordonatele centrelor C1 i C2 ale ariilor componente n raport cu sistemul de referin zOy.

Se reprezint pe figura 5.14 sistemul de axe central zCy.

Se determin distanele a1, a2 i b1, b2 dintre axele centrale z, y i axele ce trec prin centrul geometric al ariilor A1 = 8 cm2 i A2 = 6 cm2, rezultnd: a1 = 1,9 cm; a2 = 2,6 cm; b1 = 1,1 cm; b2 = 1,4 cm.

b) Momentele de inerie axiale i centrifugal au expresiile:

,

,

,

n care i sunt momentele de inerie axiale ale ariei Ai n raport cu axele sale centrale, iar sunt momentele de inerie centrifugale ale ariei Ai n raport cu axele sale centrale (pentru ariile dreptunghiulare A1 i A2, ).

Valorile momentelor Iz, Iy i Izy sunt:

c) Modulele de rezisten

;

d) Direciile principale i momentele de inerie principale

;

;

;

e) Valorile de extrem ale momentului de inerie centrifugal

;

Valorile de extrem ale momentului de inerie centrifugal se obine i din semidiferena momentelor de inerie principale:

2. S se calculeze direciile principale i momentele de inerie principale fa de axele centrale ce trec prin centrul geometric al seciunii compuse din figura 5.15.

Rezolvare

Pentru profilul cornier , din anexele manualelor de Rezistena materialelor se obine: ; ; ; ; ; .

Se determin poziia centrului geometric C fa de axele Oz i Oy:

;

Distanele dintre axa central z i axele z1, z2 ce trec prin centrele C1 i C2 sunt:

;

Distanele dintre axa central y i axele y1, y2 ce trec prin centrele C1 i C2 sunt:

;

Momentele de inerie n raport cu axele centrale z i y sunt:

Pentru a determina momentul de inerie centrifugal al ntregii suprafee n raport cu sistemul de axe central zCy, se determin mai nti momentul de inerie centrifugal al profilului cornier n raport cu axele sale centrale din relaia:

Momentul de inerie centrifugal al ntregii suprafee n raport cu sistemul central de axe este:

,n care .

Direciile principale i momentele de inerie principale vor fi:

;

;

;

;

Fig.5.1

Fig.5.2

Fig.5.3

Fig.5.4

Fig.5.5

Fig.5.6

Fig.5.7

Fig.5.8

Fig.5.9

Fig.5.10

Fig.5.11

Fig.5.12

Fig.5.13

Fig.5.14

Fig.5.15

PAGE 138

_1163502476.unknown

_1163573008.unknown

_1172563974.unknown

_1172565923.unknown

_1172565996.unknown

_1172566460.unknown

_1172567040.unknown

_1172567383.unknown

_1172567432.unknown

_1172566844.unknown

_1172566359.unknown

_1172566370.unknown

_1172566344.unknown

_1172565956.unknown

_1172565984.unknown

_1172565942.unknown

_1172565099.unknown

_1172565875.unknown

_1172565904.unknown

_1172565130.unknown

_1172564923.unknown

_1172564959.unknown

_1172563995.unknown

_1163573729.unknown

_1163574685.unknown

_1163575026.unknown

_1163575863.unknown

_1163576119.unknown

_1163576164.unknown

_1163576491.unknown

_1163576492.unknown

_1163576377.unknown

_1163576137.unknown

_1163576066.unknown

_1163575265.unknown

_1163575379.unknown

_1163575078.unknown

_1163574855.unknown

_1163574908.unknown

_1163574737.unknown

_1163574385.unknown

_1163574504.unknown

_1163574525.unknown

_1163574447.unknown

_1163574291.unknown

_1163574356.unknown

_1163573945.unknown

_1163573363.unknown

_1163573567.unknown

_1163573631.unknown

_1163573476.unknown

_1163573129.unknown

_1163573332.unknown

_1163573035.unknown

_1163571405.unknown

_1163572309.unknown

_1163572700.unknown

_1163572880.unknown

_1163572983.unknown

_1163572780.unknown

_1163572522.unknown

_1163572593.unknown

_1163572388.unknown

_1163572013.unknown

_1163572153.unknown

_1163572216.unknown

_1163572119.unknown

_1163571832.unknown

_1163571934.unknown

_1163571418.unknown

_1163505506.unknown

_1163570971.unknown

_1163571379.unknown

_1163571393.unknown

_1163571294.unknown

_1163505576.unknown

_1163506109.unknown

_1163505536.unknown

_1163504895.unknown

_1163505232.unknown

_1163505465.unknown

_1163504955.unknown

_1163503043.unknown

_1163503782.unknown

_1163502840.unknown

_1163484718.unknown

_1163500201.unknown

_1163501169.unknown

_1163502231.unknown

_1163502412.unknown

_1163502451.unknown

_1163502381.unknown

_1163501605.unknown

_1163502094.unknown

_1163501242.unknown

_1163500641.unknown

_1163500796.unknown

_1163500828.unknown

_1163500765.unknown

_1163500493.unknown

_1163500553.unknown

_1163500276.unknown

_1163485257.unknown

_1163499072.unknown

_1163499617.unknown

_1163500162.unknown

_1163499473.unknown

_1163498539.unknown

_1163498964.unknown

_1163497820.unknown

_1163484907.unknown

_1163485007.unknown

_1163485044.unknown

_1163484953.unknown

_1163484790.unknown

_1163484847.unknown

_1163484732.unknown

_1144406615.unknown

_1163482388.unknown

_1163483218.unknown

_1163483577.unknown

_1163484256.unknown

_1163483422.unknown

_1163482592.unknown

_1163483114.unknown

_1163482540.unknown

_1144411059.unknown

_1163481551.unknown

_1163482017.unknown

_1163482233.unknown

_1163481826.unknown

_1144412553.unknown

_1163481308.unknown

_1163481435.unknown

_1144413001.unknown

_1163480736.unknown

_1144412989.unknown

_1144411355.unknown

_1144412023.unknown

_1144411329.unknown

_1144407725.unknown

_1144410461.unknown

_1144410812.unknown

_1144409409.unknown

_1144407460.unknown

_1144407705.unknown

_1144406944.unknown

_1142502902.unknown

_1142503743.unknown

_1142503862.unknown

_1142504022.unknown

_1142504090.unknown

_1142504123.unknown

_1142504019.unknown

_1142503798.unknown

_1142503851.unknown

_1142503782.unknown

_1142503410.unknown

_1142503453.unknown

_1142503179.unknown

_1142335873.unknown

_1142340707.unknown

_1142502295.unknown

_1142502785.unknown

_1142344822.unknown

_1142345704.unknown

_1142502086.unknown

_1142345689.unknown

_1142341325.unknown

_1142336447.unknown

_1142338418.unknown

_1142338727.unknown

_1142337767.unknown

_1142336284.unknown

_1142174807.unknown

_1142174855.unknown

_1142073029.unknown