cap7.pdf
TRANSCRIPT
117
CAPITOLUL VII
TESTE PENTRU VERIFICAREA CUNOŞTINŢELOR
Testul 1
1o Noţiunea de vecinătate a unui punct x=(x1,x2,…,xn)∈Rn.
2o Criterii suficiente de convergenţă pentru serii cu termeni pozitivi.
3o Să se determine punctele de discontinuitate ale funcţiilor:
1. f(x,y)= 22 yx1+
2. f(x,y)=yx1
x2+−
3. f(x,y)= 222 zyx1y2x3−−−
+
4o Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f:D⊂R2→R,
f(x,y)=yx +
xy +y2-4y+5
5o Determinaţi seriile numerice care aproximează pe e2 şi cos20π .
Testul 2
1o Definiţi limita unei funcţii reale de n variabile reale f:D⊂Rn→R într-un
punct xo∈Rn.
2o Condiţii suficiente de extrem pentru o funcţie f:D⊂Rn→R.
3o Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f:D⊂R2→R,
f(x,y)= p2
x2-
q2y2
, p,q>0
4o Să se calculeze limita globală a funcţiei f:D⊂R2→R,
f(x,y)= 22
33
yx)yxcos(1
++− ,
în punctul (0,0).
5o Să se dezvolte în serie MacLaurin funcţia f:D⊂R→R,
f(x)=eαx+β
118
Testul 3 1o Noţiunea de serie de puteri. Proprietăţi.
2o Criterii de convergenţă pentru serii cu termeni oarecare.
3o Să se studieze natura seriilor:
1. ∑∞
=
++
1n
na1n35n2 , a>0
2. ∑∞
=
⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
1nn2
1)3n5(...72)2n3(...41
3. ∑∞
=
− +−
1nn
nn1n
532)1(
4o Să se determine derivatele funcţiilor implicite y(x), z(x), u(x) definite
de sistemul de ecuaţii:
=+++
=+++
=+++
33333
22222
auzyx
auzyx
auzyx
5o Determinaţi seria numerică ce aproximează pe e .
Testul 4
1o Definiţi noţiunile de punct critic şi punct de extrem local pentru o
funcţie f:D⊂Rn→R.
2o Criterii de convergenţă pentru serii de funcţii.
3o Să se determine punctele de extrem legat ale funcţiei f:D⊂R2→R,
f(x,y)=x2+y2-4x-4y+5, 2x+y=3
4o Să se determine mulţimea de convergenţă şi suma seriei de puteri:
∑∞
=
−
1n
1nnx
5o Să se dezvolte în serie de puteri funcţia f:R→
−
2,
2ππ , f(x)= arctgx.
Să se determine domeniul de convergenţă al seriei obţinute.
119
Testul 5
1o Condiţii necesare de extrem pentru funcţii f:D⊂Rn→R.
2o Teorema de existenţă a funcţiilor implicite (cazul funcţiilor de două
variabile).
3oSă se determine punctele de extrem local ale funcţiei:
f(x,y)=x2+y2+axy-2x-2y, a∈R
4o Să se studieze natura seriilor:
1. ( )∑∞
=
+−+0n
33 2n3n
2. ∑∞
= ++
1n2 nn
1n2
3. ∑∞
=
+
1nn2
)1n(n
5o Să se determine intervalul de convergenţă pentru următoarea serie
de puteri:
∑∞
=
−
++
0n
nn
)2x(4n51n2
Testul 6
1o Noţiunea de rază şi interval de convergenţă pentru o serie de puteri.
2o Formularea problemei de extrem cu restricţii pentru o funcţie
f:D⊂Rn→R.
3o În spaţiul euclidian R3 se consideră punctele Mi(xi,yi,zi), i= n,1 . Să se
determine punctul M(x,y,z) cu proprietatea că suma pătratelor
distanţelor de la el la punctele Mi este minimă.
4o Să se determine punctele de discontinuitate ale funcţiilor:
1. f(x,y)= 22
22
yxyx
−+
2. f(x,y)= 1yx
122 −+
120
3. f(x,y)= 222 zyx1−+
5o Să se dezvolte în serie MacLaurin funcţia f(x)=ln(ax+b).
Testul 7 1o Criterii de convergenţă pentru serii alternante
2o Metode de determinare a punctelor de extrem local pentru o funcţie
f:D⊂Rn→R.
3o Să se studieze natura seriilor:
1. ∑∞
=
++++
1n
n
2
2
7n5n35n3n2
2. ∑∞
=
+−−++−
1n
22n 1nn1nn)1(
3. ∑∞
=
⋅
1nn
nn
753
4o Să se determine punctele de extrem legat ale funcţiei f:D⊂R3→R,
f(x,y,z)=x2+2y2+3z2+3xy+2yz+xz
=++=++
4zy2x4zyx2
5o Să se determine raza de convergenţă şi suma seriei de puteri:
∑∞
=
+
+1n
1n
)1n(nx
121
Testul 8
1o Limite de funcţii. Definiţie. Tipuri de continuitate.
2o Metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
3o Să se determine raza şi intervalul de convergenţă pentru
următoarele serii de puteri:
1. ( )∑∞
=
−+0n
nnxn1n
2. ( )∑∞
=
−
+
0n
nn
exn
1n2
4o Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f:D⊂R2→R,
f(x,y)=ax2+y2-2x-4y, a>0
5o Determinaţi seriile numerice care aproximează pe e1 şi ln2.
Testul 9
1o Criteriul general de convergenţă pentru serii numerice.
2o Metode de determinare a punctelor de extrem local pentru o funcţie
f:D⊂Rn→R.
3o Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f:D⊂R3→R,
f(x,y,z)=x2+y2+z2+2a(xy+yz+zx)-7x-8y-9z
4o Să se determine raza şi intervalul de convergenţă pentru seriile de
funcţii:
1. ∑∞
=
+
0n
nn
n
nnx
532
2. ∑∞
=
−
0n
n
21x
5o Determinaţi seria numerică ce aproximează pe 5 3ln .
122
Testul 10
1o Diferenţiala de ordinul întâi. Proprietăţi.
2o Seria lui Taylor. Definiţie. Proprietăţi.
3o Să se determine extremele funcţiei implicite y=f(x), definită de
relaţia:
F(x,y)=x3+y3-3axy=0, a>0.
4o Să se studieze natura seriilor:
1. ∑∞
=
+1n
n2
1nn
2. ∑∞
=
+
−1n
nn
n1n)1(
5o Să se determine mulţimea de convergenţă şi suma seriei:
∑∞
=
+
+−
0n
1n2n
1n2x)1(