Principiul compensaiei dac se consider TA 0

112 utilizarea convertoarelor statice in procesul de conversie a energiei1114. Principiul Compensa|iei

4

PRINCIPIUL COMPENSA|IEI {N CONDUCEREA PROCESULUI DE CONVERSIE ELECTROMAGNETIC~.

4.1 Problema sintezei legii de comand` optimal` n bucl` deschis`.

Ma]ina de c.c. este comandat` fie prin tensiune la flux constant pn` la tura\ia de baz`, fie prin diminuarea fluxului de excita\ie la tensiune constant` peste tura\ia de baz`. Ma]inile de c.a. au n general o comand` vectorial` n sensul c` se pot comanda simultan prin tensiune, frecven\` ]i faz`. Legea de comand` uzual` este generat` prin intermediul buclelor de reglare n cascad`. Regulatoarele din cadrul acestor bucle sunt proiectate conform criteriului erorii medii p`tratice minime.

Problema comenzii optimale a sistemelor liniare, urm`re]te generarea unei legi de comand` prin reac\ie dup` stare astfel nct un indice de calitate sub forma unei func\ionale p`tratice de st`ri ]i comenzi s` fie minimizat.

Se consider` ecua\ia de stare ]i de ie]ire a unui sistem liniar

(4.1)

unde x(t)((n este starea sistemului, u(t)((n este vectorul m`rimilor de comand` ]i y(t)((l reprezint` m`rimile de ie]ire ale sistemului. Matricile A, B, C sunt matrici de dimensiuni corespunz`toare, care sunt variabile n timp.

Starea ini\ial` este fixat`, adic` x(t0)=x0, iar obiectivul conducerii l reprezint` transferul sistemului din starea ini\ial` n starea final` impus` n intervalul de timp t0 ( t ( tf cu minimizarea indicatorului de calitate

(4.2)

unde Q, R ]i Pf sunt matrici de ponderare care satisfac condi\iile de pozitivitate.

Problema comenzii optimale liniar-p`tratic` const` n g`sirea m`rimilor de comand` u(t), t([t0, tf ] n condi\iile de mai sus.

Pentru a ob\ine solu\ia problemei de comand` optimal` se aplic` metoda multiplicatorilor Lagrange. Lagrangeanul problemei este

(4.3)

unde ((t) ( (n sunt multiplicatorii Lagrange, iar condi\iile necesare de optim sunt

(4.4)

{n aceste condi\ii ecua\iile (4.4) se scriu astfel

(4.5)

Deaorece prin ipotez`, matricea R este pozitiv definit`, deci inversabil`, comanda optimal` rezult` din (4.5)

(4.6)

Substituind (4.6) n ecua\ia (4.1) ]i \innd cont de (4.5) rezult` sistemul canonic

(4.7a)

(4.7b)

A rezultat un sistem de 2n ecua\ii diferen\iale liniare cu necunoscutele x(t) ( (n ]i ((t) ( (n care trebuie integrat, \innd cont de condi\iile terminale.

(4.8)

Legea de comand` rezult` n final conform (4.6).

4.2 Problema sintezei legii de comand` optimal` [n bucl` [nchis`

Sistemul de ecua\ii (4.7) ofer` solu\ia problemei de comand` n circuit deschis, n sensul c` determin` modul de evolu\ie al comenzii u(t), n func\ie de timp ]i de starea ini\ial` x0.

Solu\ia n circuit nchis a acelea]i probleme presupune determinarea comenzii u(t) n func\ie de starea curent` x(t) a sistemului condus.

Pentru a ob\ine aceast` solu\ie se vor determina multiplicatorii Lagrange sub forma

(4.9)

unde P(t) este o matrice simetric` care trebuie calculat`.

Din (4.6) rezult`

(4.10)

sau

(4.11)

unde F(t) este matricea de reac\ie

(4.12)

Se pune condi\ia ca multiplicatorii ((t) s` satisfac` condi\ia (4.7b) ]i derivnd rezult`

(4.13)

Dar

unde u(t) este dat de rela\ia (4.11).

Rezult` nlocuind n (4.13)

(4.14)

Tinnd cont de condi\ia final` (4.8) rezult` c` trebuie s` avem

(4.15)

unde Pf este matricea de pondere din indicatorul de performan\` (4.2).

Ecua\ia diferen\ial` (4.14) este ecua\ia matriceal` Riccati asociate problemei de comand` optimal`. {n condi\iile de pozitivitate ale matricilor de ponderare din expresia indicatorului (4.2) ]i condi\iei finale (4.15) ecua\ia (4.14) are o solu\ie unic` P(t) simetric` pozitiv semidefinit`. Integrarea ecua\iei Riccati ]i deci calculul metricii P(t), ofer` posibilitatea de a se calcula matricea de reac\ie F(t) conform (4.12) ob\inndu-se urm`toarele ecua\ii pentru sistemul de conducere n circuit nchis

(4.16)

unde

(4.17)

Prin integrarea ecua\iei (4.16) rezult` x(t), iar comanda optimal` u(t) se ob\ine din (4.6).

Rezolvarea celor dou` probleme: sinteza legii de comand` n bucl` deschis` conform ecua\iilor diferen\iale (4.7,ab) ]i respectiv n bucl` nchis` conform ecua\iei diferen\iale Riccati (4.14), implic` dificult`\i n raport cu problema Cauchy, deoarece condi\iile ini\iale sau finale nu sunt complet precizate.

{ntr-adev`r dac` ne referim la ecua\iile (4.7a,b) se cunoa]te numai starea ini\ial` x(0)=x0, dar nu se cunoa]te multiplicatorul corespunz`tor ((0). Nici starea final` nu este complet cunoscut`. Deci condi\iile terminale nefiind complet cunoscute la niciunul din cele dou` capete ale intervalului de conducere problema Cauchy nu este satisf`cut`. Pentru a rezolva problema este necesar` determinarea prealabil` a condi\iilor necunoscute de la un cap`t al intervalului, utiliznd condi\iile cunoscute de la cel`lalt cap`t. Din acest motiv ob\inerea legii optime de comand` n aceast` abordare comport` dificult`\i sporite n raport cu conducerea dup` un model de referin\` ale c`rui ecua\ii de stare indeplinesc condi\iile Cauchy.

Metodele de rezolvare a ecua\iei Riccati pe orizont infinit sau finit pentru sistemele electromecanice sunt prezentate n [ 5].

{n mediul de programare Matlab rezolvarea ecua\iei Riccati se poate efectua apelnd func\ia lqr sau dlqr (n cazul discret).

{n aceast` lucrare se abordeaz` problema determin`rii legii optime de comand` [n bucl` deschis`, utiliznd un indicator energetic mai simplu dect indicatorul general (4.2). {n acest mod rezult` solu\ii analitice care corespund principiului general al compens`rii.

4.3 Evaluarea indicatorului energetic Ie pentru ma]inile electrice.

Procesul electromagnetic de conversie se caracterizeaz` prin ciclicitate. Din acest punct de vedere este perfect identic cu procesele terminodinamice care guverneaz` func\ionarea motoarelor termice.

Pentru caracterizarea procesului electromagnetic de conversie este convenabil s` se evaluieze integrala puterii care face obiectul unei conversii ireversibile prin efect Joule.

(4.18)

Minimizarea acestui indicator are efecte favorabile asupra ma]inii electrice, asupra echipamentului asociat (echipamentului electronic de putere, aparatajului de conectare-deconectare) cablurilor de alimentare ]i asupra consumurilor specifice de energie electric`.

Din motive didactice se prezint` mai nti metoda de evaluare a acestui indicator pentru ma]ina de curent continuu (c.c).

Se consider` o ma]in` cu magne\i permanen\i conform fig.4.1

{n aceast` figur` tensiunea de alimentare u(t) reprezint` m`rimea de comand`, m`rimile controlate fiind viteza ( ]i cuplul electromagnetic m, cuplul rezistent mr fiind m`rime perturbatoare.

Pentru evaluarea integralei Ie se utilizeaz` ecua\iile ma]inii

(4.19a)

(4.19b)

rezultnd

(4.20)

referitor la ultima integral` din ecua\ia (4.20), aceasta reprezint` integrala unei diferen\iale exacte

Procesul dinamic descris de ecua\iile (4.19) reprezint` cicluri succesive, ]i deci la fiecare ciclu energiile magnetice Wm ini\ial` ]i final` coincid. Acest fapt justific` rela\ia

rezultnd

(4.21)

unde

(4.22)

reprezint` viteza ideal` la mersul n gol.

Din rela\iile (4.19b, 4.21) rezult`

(4.23)

Aplica\ia 1. S` se calculeze randamentul dinamic (d la pornirea ma]inii de c.c. prin conectarea direct` la tensiunea de alimentare u(t) = U = const, dac` mr = 0. Conform rela\iei (4.23)

(4.24)

Energia util` ob\inut` n urma pornirii motorului este chiar energia cinetic` acumulat` de c`tre masele rotorului n mi]carea de rota\ie

Aceast` energie util` s-a ob\inut cu pre\ul unei energii consumate egal` cu

unde pc reprezint` puterea cvasiconstant` corespunz`toare frec`rilor mecanice ]i pierderilor n fierul rotorului. Rezult`

(4.25)

Aplica\ia 2. {n condi\iile aplica\iei 1 s` se recalculeze Ie2 dac` pentru pornire se utilizeaz` un variator de tensiune n dou` trepte egale, conform fig.4.2. Calculnd iar`]i integrale (4.23) rezult`

(4.26)

n acest caz randamentul dinamic este

Este evident faptul c` aplicarea n ramp` a tensiunii u(t) mic]oreaz` ]i mai mult indicatorul energetic Ie, ns` ncep deja s` conteze restric\iile.

Prima restric\ie care intervine este timpul de pornire, deoarece m`rirea timpului de pornire conduce la mic]orarea indicatorului Ie , dar practic acest timp nu poate fi m`rit orict de mult. A doua restric\ie important` este legat` de cuplul maxim admisibil. Pentru motoarele de c.c.

O alt` restric\ie este legat` de regimul dinamic pentru viteza (. Dac` de exemplu n timpul pornirii suprareglajul este mare, se poate dep`]i valoarea maxim` admisibil` a vitezei. {n aceste cazuri apar eforturi mecanice suplimentare care pot genera defec\iuni n exploatarea ma]inii.

4.4 Principiul compensa\iei n conducerea regimurilor dinamice pentru ma]ini de c.c.

Procesele fizice respect` principiul universal al ac\iunii ]i reac\iunii. {n cazul ma]inilor electrice, reac\iunea se exprim` n final prin tensiunea electromotoare (t.e.m), care reprezint` o reac\ie negativ` n interiorul ma]inii. Principiul compensa\iei presupune compensarea t.e.m. printr-o reac\ie exterioar` pozitiv`. Primul efect al compens`rii const` in simplificarea modelului ma]inii. In acest mod conducerea regimurilor dinamice se poate face mai eficient.

Principiul compensa\iei poate fi ilustrat prin aplicarea metodei multiplicatorilor Lagrange. Conform acestei metode sunt necesare ecua\iile procesului, indicatorul de performant` ]i restric\iile.

Drept indicator de performan\` se va considera indicatorul energetic (4.18). Ecua\iile procesului se vor utiliza n dou` situa\ii, cu ]i f`r` considerarea constantei electrice de timp TA. Aceste ecua\ii rezult` prin calcule simple din modelul general (fig.4.3)

(4.27)

sau

(4.28)

Indicatorul de performan\` (4.23) devine

(4.29)

Substituind n (4.29) pe din (4.28) rezult`

respectiv

(4.30)

Din expresia indicatorului (4.30) rezult` c` la mr=const. ]i =const. Integrala este minim` dac`

Rezult` deasemenea de exemplu c` profilul parabolic de vitez`

este avantajos deoarece n acest caz ]i al doilea termen integral din expresia (4.30) diminueaz` indicatorul Ie2.

Principiul compensa\iei dac` se consider` TA = 0

Din ecua\iile (4.28) ]i (4.30) rezult` func\ionala

(4.31)

iar din condi\ia de minim (4.4) rezult` ecua\iile

(4.32a)

(4.32b)

Din ecua\iile (4.32a) ]i (4.32b) rezult`

EMBED Equation.3 unde C este o constant` oarecare.

Revenind la ecua\ia (4.32a) rezult`

(4.33a)

respectiv

(4.33b)

Constanta C se determin` din condi\ia de pornire a motorului: la t = 0, ( = 0, u(t) = (u > 0, rezultnd

(4.34)

Conform rela\iei (4.34) comanda prin tensiune u(t) trebuie s` urm`reasc` evolu\ia vitezei ((t) cu o marj` (u mrAceste condi\ii sunt asigurate [n mod implicit de c`tre regulatorul de vitez` (fig. 4.5) care introduce corec\ia corespunz`toare constantei de integrare H.Aplica\ia 3 S` se arate c` utiliznd indicatorul (4.30) n locul inducatorului (4.29) rezult` urm`toarea lege de comand`

(4.46)

Legea de comand` (4.45) nu respect` condi\iile de pornire

(4.47)

Punnd aceste condi\ii rezult`:

(4.48)

unde , ( este un coeficient subunitar iar ((t) este impulsul unitar. Implementarea comenzii (4.48) nu conduce la un sistem strict cauzal din cauza derivatelor vitezei ]i cuplului.

Din acest motiv expresia (4.48) se ajusteaz` astfel:

(4.49)

(4.50)

unde , T(1 ]i T(2 sunt constantele filtrelor, iar factorul de amortizare este ( = 0,71.

Comanda trecerii din regimul dinamic n regimul sta\ionar nu este rezolvat`. {n consecin\` corec\ia ((0 va fi generat` de un regulator numeric de vitez` conform schemei din fig.4.5.

Schema de reglare care a rezultat este cu predic\ie dup` cuplul rezistent estimat ]i compensare dup` viteza ( la arbore. {n acest mod rezult` o corec\ie ((0 mic` care joac` un rol important n condi\iile ini\iale de pornire ]i finale de intrare n regimul sta\ionar. Cnd abaterea (*- ( este suficient de mare comanda motorului se face prin autopilotare pe canal de comand` dup` ( ]i prin predic\ie prin canal de comand` dup` cuplul rezistent ]i respectiv accelera\ie.

{n fig.4.5. Kch este factorul de amplificare al convertorului c.c. c.c. care alimenteaz` motorul de c.c.

4.5 Comanda numeric` prin autopilotare a motorului sincron cu magne\i permanen\i

Motoarele sincrone cu magne\i permanen\i asociate cu convertoare statice de frecven\` ]i bucle de reglare automat` se comport` asem`n`tor cu motorul de c.c. Din aceste considerente, principiul compens`rii se aplic` n acela]i mod.

Schema general` de comand` este dat` n fig.4.6.

Pentru detectarea pozi\iei polului nord de referin\` al

rotorului se utilizeaz` rezolverul R. Procesarea semnelor furnizate de c`tre rezolver se face prin intermediul modulului specializat AD2S90 (Analog Device). Implementarea algoritmului de reglare pentru cuplu, flux, vitez` ]i pozi\ie se realizeaz` prin intermediul unui procesor de semnal din seria DSP.

Ecua\iile func\ionale ale blocurilor care efectueaz` transform`rile de coordonate direct` ]i invers` se pot deduce utiliznd reprezent`rile din fig.4.7.

Dac` se cunosc componentele ud ]i uq, pentru calculul m`rimilor trifazate uA, uB, uC se determin` mai nti componentele u( , u(

(4.51)

Apoi se calculeaz` uA, uB, uC

(4.52)

rela\ii deduse direct din fig.4.7.

Pentru transformare invers` se calculeaz` mai nti componentele (, ( ]i apoi aplicnd operatorul de rota\ie cu unghiul ( se ob\in componentele d,q. Acelea]i rezultate se pot ob\ine direct prin aplicarea matricelor de transformare T sau T-1

(4.53)

unde matricea T este de forma

(4.54)

respectiv

(4.55)

Adoptarea primei metode de calcul n dou` etape conduce la un efort de calcul diminuat.

Algoritmul general de reglare numeric` a cuplului ]i fluxului se deduce pornind de la schema de principiu din fig.(4.8) unde invertorul s-a considerat un element cu constanta mic` de timp Tinv ]i amplificarea Kinv

Func\iile de transfer care intervin n figura (4.8) corespund ecua\iilor motorului sincron n regimul sta\ionar

sau

(4.56)

Tensiunea impus` invertorului este

(4.57)

unde reprezint` corec\ia introdus` de c`tre regulator, corec\ie care este diferit` de zero numai n regimurile dinamice. Acest sistem care folose]te o reac\ie pozitiv` de tensiune, de vitez` sau de unghi este denumit sistem cu autopilotare, ]i respect` principiul compens`rii (4.34).

M`rimea impus` pentru cuplu este ]i se ob\ine de la regulatorul de vitez`. M`rimea impus` pentru reglarea fluxului este

(4.58)

condi\ii realizate prin intermediul blocului pentru impunerea lui din fig.4.6.

Problema conducerii numerice conform schemei de principiu din fig.4.6 comport` dou` aspecte legate de resursele hardware ]i de tehnicile softwere utilizate pentru implementarea n timp real a algoritmilor de conducere. Cele dou` bucle interioare de reglare, bucla de cuplu cu regulatorul RM ]i bucla de flux cu regulatorul R( necesit` perioade de e]antionare minime pentru a se ob\ine viteze mari de r`spuns. Buclele exterioare de vitez` ]i de pozi\ie cu regulatoarele R( ]i R( lucreaz` cu perioade de e]antionare mai mari, conform vitezelor de r`spuns sensibil mic]orate n compara\ie cu buclele interioare.

Puterea de calcul a proceselor de semnal actuale (DSP) perimite s` se implementeze bucla de cuplu cu o perioad` de e]antionare de 100(s. Buclele exterioare de vitez` ]i de pozi\ie vor avea perioadele de e]antionare de dou` respectiv de patru ori mai mare.

Opera\iile care se efectueaz` n cadrul unei perioade T=100(s pentru bucla de cuplu sunt urm`toarele.

Ini\ializarea ]i activarea buclei de curent. Convertorul analog numeric (AD) genereaz` o ntrerupere la fiecare ciclu de 100(s. Aceast` ntrerupere activeaz` bucla de curent.

Se citesc valorile curen\ilor m`sura\i de convertorul AD. Aceast` opera\iune dureaz` 1,1(s.

Se ncarc` registrele convertorului 3/2, DSP a]teptnd apoi semnalul de ntrerupere al convertorului 3/2. In acest timp se verific` dac` curentul dep`]e]te valoarea maxim` impus`. Opera\iunea dureaz` 5,1(s.

Se citesc registrele convertorului 3/2, fiind astfel disponibile valorile actuale ale componentelor d,q pentru curen\i. Opera\iunea dureaz` 5,9(s.

Executarea calculelor conform algoritmului de rglare pentru cuplu ]i flux. Timpul de calcul depinde de num`rul de opera\ii aritmetice necesare pentru elaborarea comenzilor uq ]i ud.

Se ncearc` registrele convertorului 2/3 cu valorile calculate uq ]i ud ]i ce cite]te valoarea unghiului ( disponibil` la modulul AD2S90 (blocul de conversie a celor dou` semnale sinusoidale modulate primite de la rezolver). Opera\iunea dureaz` 9,9(s.

Se a]teapt` executarea transform`rii 2/3. In acest timp se pot executa opera\ii auxiliare (filtrarea semnalului de vitez`).

Dup` primirea semnalului de ntrerupere de la convertorul 2/3 se preiau valorile tensiunilor .

Procesorul de semnal (DSP) scaleaz` valorile tensiunilor impuse n func\ie de valoarea tensiunii intermediare a convertizorului ]i apoi calculeaz` func\iile de comuta\ie, transferndu-le n registrul modului PWM.

{n timpul disponibil pn` la durata de 100(s a ciclului DSP execut` opera\iuni din cadrul buclelor de reglare a vitezei ]i pozi\iei. Aceste opera\iuni sunt repartizate n cadrul timpilor disponibili nsuma\i pe parcursul a patru cicluri de 100(s.

Algoritmul de comand` genereaz` m`rimile de comand` care reprezint` valorile impuse pentru componentele d,q ale tensiunii invertorului conform rela\iilor (4.59). Ecua\iile n diferen\e finite pentru reglarea cuplului prin intermediul componentei iq a curentului rezult` din modelul matematic fazorial (fig.4.8) identificnd p`r\ile imaginare ale componentelor

(4.59)

{n aceste ecua\ii APq ]i AIq sunt coeficien\ii de amplificare propor\ional ]i integral pentru regulatorul numeric. Este important de observat c` algoritmul de conducere folose]te valorile parametrilor R ]i Ls (rezisten\` ]i inductivitate sincron`) ai ma]inii, parametri care sunt variabili n timp ]i n diferite regimuri de lucru. Algoritmul de reglare a fluxului prin intermediul componentei id a curentului este principial identic cu 4.59. {n conformitate cu 4.56, 4.57, considernd p`r\ile reale ale ecua\iilor rezult`

(4.60)

celelalte rela\ii fiind identice cu (4.59) ns` sunt raportate la axa d.

Sistemul de conducere numeric` prezentat reprezint` un sistem de referint`, din care deriv` o serie de sisteme alternative, care se bazeaz` n special pe tehnici de estimare a parametrilor ]i a m`rimilor mecanice ale ma]inii electrice (R, Ls, (, () ob\inndu-se astfel a]a numitele modele adaptive.

4.6 Principiul compensa\iei [n cazul ma]inii asincrone

Metoda aplicat` pentru g`sirea comenzii care minimizeaz` indicatorul energetic n cazul ma]inii de c.c. este valabil` ]i n cazul m.a. Mai nti se determin` expresia indicatorului energetic pentru m.a.

(4.61)

Acest indicator exprim` perfect eficien\a procesului de conversie n regimul dinamic. Exist` o serie ntreag` de procedee de comand` a regimurilor dinamice pentru m.a. procedee care depind de m`rimile fizice sau parametrii care se pot modifica: tensiunea de alimentare, frecven\a acestei tensiuni, rezisten\a statorului sau rotorului, num`rul de perechi de poli. Dintre toate aceste metode, metoda modific`rii simultane a tensiunii ]i frecven\ei asigur` un indicator Ie3 minim. Metoda comut`rii num`rului de perechi de poli conduce la rezultatele analizate n aplica\ia 2, iar respectiv metoda pornirii directe corespunde aplica\iei 1. {n cazul pornirii directe a m.a. cu rotorul n s.c. n primele momente dup` aplicarea tensiunii de alimentare, diagrama de bilan\ a puterilor are configura\ia defavorabil` din fig.4.9

{n acest caz U1 ]i sunt constan\i, deci diferen\a dintre (1 ]i ( este mare, fapt care explic` ntr-un mod simplu de ce puterea Pcu2 corespunz`toare efectului Joule din rotor este mare. In cazul modific`rii simultane a m`rimilor U1 ]i (1 , diferen\a (1(( este n permanent` men\inut` la o valoare mic`, deci Pcu2 este n consecin\` mic.

Acest mod de func\ionare se realizeaz` n prezent prin utilizarea convertoarelor statice de frecven\` asociate ma]inii asincrone. Sistemul men\ine frecven\a tensiunilor electromotoare (t.e.m.) induse n circuitele rotorului n permanen\` la o valoare mic`. Drept urmare, formele constructive cu dubl` colivie sau bare nalte nu mai sunt actuale, dac` alimentarea se face la U ]i f variabili.

Calculul indicatorului (4.61) se va face cu urm`toarele ipoteze simplificatoare: rezisten\a nf`]ur`rii statorului R1 neglijabil`, respectiv inductivit`\ile de sc`p`ri neglijabile. In aceste condi\ii, n regim permanent sta\ionar.

(4.62)

Din punctul de vedere energetic neglijarea inductivit`\ilor de sc`p`ri este lipsit` de consecin\e, deoarece n cadrul ciclurilor de conversie succesive energia magnetic` implicat` reprezint` o diferen\ial` exact`.

Conform diagramei de bilan\ din fig.4.9, cuplul electromagnetic este

(4.63)

Substituind I2 din (4.62) rezult`

(4.64)

{n ipotezele adoptate, ecua\ia de tensiuni pentru stator este

(4.65)

Rezult` c` impunnd raportul U1/(1 = constant, fluxul util ( este de asemenea constant. Introducnd nota\ia

ecua\ia (4.64) se scrie astfel

(4.66)

Indicatorul Ie3 se poate calcula utiliznd (4.63), (4.66)

(4.67)

rela\ia care este asem`n`toare cu expresia indicatorului calculat pentru ma]ina de c.c. {n ecua\ia (4.67) influen\a cuplului rezistent mr este implicit`. Pentru a scoate n eviden\a aceast` influen\` se utilizeaz` expresia (4.62) rezultnd

(4.68)

iar din ecua\ia (4.66) ]i din ecua\ia de mi]care se ob\ine

(4.69)

(4.70)

Din ecua\ia (4.68) rezult`

(4.71)

{nmul\ind ecua\ia (4.70) cu i2 se ob\ine

(4.72)

Se ob\ine direct din ecua\ia 2.14 b

(4.73)

Expresia indicatorului Ie3 pentru m.a. este identic` cu expresia (4.23) ob\inut` pentru motorul de c.c. Expresia (4.23) este exact`, n timp ce expresia (4.73) s-a ob\inut prin neglijarea rezisten\ei R1 ]i reactan\elor de sc`p`ri. Deoarece m.a. orientat` dup` cmp realizeaz` procesul de conversie la fel ca ma]ina de c.c., rezult` c` asem`narea expresiilor indicatorilor energetici este absolut normal`.

Spre deosebire de ma]ina de c.c. cu magne\i permanen\i care are o m`rime de comand` scalar`, m.a. la flux constant are o m`rime de comand` vectorial` cu urm`toarele componente: modulul tensiunii de alimentare, frecven\a acestei tensiuni ]i respectiv faza acesteia. In cazul comenzii vectoriale complete se regleaz` toate cele trei componente ale comenzii, ob\inndu-se astfel o func\ionare cu orientare dup` cmp a ma]inii. Acest mod de func\ionare este utilizat n aplica\ii unde se cer performan\e dinamice remarcabile, de exemplu r`spuns n cuplu de 5ms. Exist` o mul\ime de aplica\ii care necesit` performan\e dinamice mai modeste, exemplul tipic fiind oferit de ac\ion`rile turboma]inilor. In acest caz este suficient s` se regleze tensiunea ]i frecven\a f, men\innd raportul acestora constant. {n acest caz problema comenzii optime se pune astfel: se caut` mai nti pulsa\ia (1(t) care minimizeaz` indicatorul (4.73), rezultnd apoi tensiunea corespunz`toare din ecua\ia de flux constant. Calculele se vor efectua pentru trei tipuri de caracteristici statice:

mr = constant (mecanisme de ridicare coborre);

mr = C1( (cuplu de frec`ri vscoase);

mr = C2(2 (cuplul rezistent al turboma]inilor)

Indicatorii energetici (4.67) ]i (4.73) sunt absolut identici cu cei g`si\i pentru ma]ina de c.c. Se va utiliza indicatorul (4.67) ]i ecua\ia de mi]care

(4.74)

{n cazul mr = const., func\ionala este de forma

(4.75)

(4.76a)

(4.76b)

Din (4.76a,b) rezult` ( = B unde B este o constant` oarecare. Din (4.76a) se ob\ine

sau

(4.77)

Constanta B se ob\ine din condi\ia de pornire

(4.78)

rezultnd n final

(4.79)

Practic ((1 este m`rimea de comand` generat` de regulator prin care se ob\ine timpul de pornire dorit. Tensiunea de alimentare se ob\ine din condi\ia

respectiv

(4.80)

{n cazul mr = C1( func\ionala este de forma

(4.81)

(4.82a)

(4.82b)

rezult`

respectiv

(4.83)

unde D1 este constant.

Ecua\ia (4.83) admite solu\ia

(4.84)

Din ecua\ia (4.82a) se ob\ine

(4.85)

Constanta de integrare D2 se ob\ine din condi\ia (4.78) rezultnd

(4.86)

{n cazul mr=C2 (2 func\ionala este

(4.87)

(4.88)

Din (4.82a) ]i (4.88) se ob\ine ecua\ia neliniar`

(4.89)

Deaorece n final implementarea solu\iei se face numeric se caut` direct solu\ia numeric` pentru ecua\ia (4.89)

(4.90)

T fiind perioada de e]antionare. Rezult`

(4.91)

Din (4.82a) rezult`

(4.92)

sau

(4.93)

La pornire, pentru k=0, cnd ((0) = 0 se pune .

Expresiile (4.79, 86, 93) stabilesc modurile de varia\ie ale frecven\ei respectiv tensiunii n regim dinamic pentru sisteme de ac\ionare la cuplu rezistent constant, cu varia\ie liniar` sau p`tratic` n func\ie de vitez`. Este evident c` aceste expresii reprezint` solu\ii suboptimale n raport cu solu\ia exact` (4.49 ) ob\inut` pentru ma]ina de c.c. deoarece n cazul m.a. s-a utilizat ecua\ia aproximativ` de mi]care (4.74).

Conform principiului compensa\iei, frecven\a ]i tensiunea de alimentare trebuie s` fie corelate cu viteza real` la arbore sau cu tensiunea electromotoare.

Dac` algoritmul de compensare se implementeaz` cu ajutorul vitezei m`surate sau estimate (4.79, 86, 93), [n principiu componentele comenzii sunt acelea]i ca cele deduse pentru ma]ina de c.c.

component` (1( dup` viteza ( care compenseaz` t.e.m.;

component` predictiv` (1mr dup` cuplul rezistent mr;

component` ((1 care asigur` condi\iile de pornire (cnd (=0 ]i

EMBED Equation.3 ), precum ]i condi\iile de trecere de la regimul dinamic la regimul sta\ionar.

Func\iile de transfer G1(s) ]i G2(s) (fig. 4.10) au aceea]i structur` ca H1(s) ]i H2(s) (4.50).

Implementarea sistemului de reglare prezentat n fig.4.10 ofer` posibilitatea realiz`rii unui echipament performant cu cost sc`zut dac` se utilizeaz` n locul traductorului de vitez` un estimator de vitez` sau de tensiune electromotaoare.

Avantajul acestui sistem n compara\ie cu sistemele cu orientare dup` cmp, este acela c` erorile de estimare pentru vitez` ]i cuplu nu sunt esen\iale pentru minimizarea indicatorului energetic, ob\inndu-se astfel o solu\ie suboptimal` acceptabil`.

4.7 Aplica\ii propuse

Aplica\ia 1

S` se g`seasc` legea de comand` optimal` pentru sistemul

conform criteriului

rezultnd

Programul de calcul Matlab este

A = [0 1 0; 0 0 1; 0 4 5]; B = [0; 0; 1];

Q = [4 0 0; 0 3 0; 0 0 2]; R = .5;

[K, P] = l q r 2 (A, B, Q, R)

rezultnd

Legea de comand` este conform (4.10)

respectiv regulatorul cu reac\ie dup` stare este

deci

Aplica\ia 2

Pentru sistemul care a f`cut obiectul aplica\iei 1, s` se proiecteze regulatorul numeric optimal, care s` func\ioneze cu perioada de esantionare Ts.

{n acest scop se folose]te func\ia Matlab

Pentru ob\inerea matricei P ]i valorile proprii ale sistemului n bucla nchis` E, se poate utiliza func\ia

Aplica\ia 3

S` se determine comanda optimal` pentru servomotorul de c.c., unde m`rimea de ie]ire este unghiul de pozi\ie (.

{n acest caz ecua\ia servomotorului (mr=0) este

rezultnd

variabilele de stare fiind x1 = ( ]i iar rezult`

Se verific` mai nti dac` sistemul (A,B) este controlabil.

Aplica\ia 4.

Se consider` modelul servomotorului de curent continuu, pentru care TA ( 0. S` se g`seasc` legea de comand` optim` pentru modelul monovariabil cu intrarea u(t) ]i ie]irea (, dac` mr = 0. Se pleac` de la func\ia de transfer

rezultnd

f`cnd x1 = ( ]i x2 = rezult`

sau

rezultnd

Ecua\ia de stare, cnd ie]irea sistemului este (, este

unde

Aplica\ia 5

S` se deduc` ecua\iile de stare pentru servomotorul de c.c. din figura 4.11 n vederea proiect`rii regulatorului multivariabil cu reac\ie dup` stare.

{n fig.4.11, Um , Im ]i (m sunt m`rimile m`surate cu ajutorul traductoarelor.

Efectund calculele rezult`

Aplica\ia 6 . Utiliznd modelul matematic simplificat al unei ma]ini electrice, care func\ioneaz` la flux constant (c.c. sau c.a.), s` se estimeze energia n regimul dinamic, la mersul n gol.

Modelul matematic simplificat din fig.4.12 este asociat cu reac\ia pozitiv` dup` stare ( ]i cu valoarea impus`

( fiind un coeficient subunitar, (0 este viteza la mersul n gol n regimul sta\ionar, iar

Se introduce nota\ia

rezultnd pentru procesul de pornire de la zero la (0

sau

Determinarea r`spunsului [n vitez` ]i respectiv [n curent se face utiliznd schema bloc din fig.4.12, astfel

respectiv

{n fig.4.13 s-au reprezentat curbele valorii impuse (*, curentului ]i vitezei la pornire, cnd intervine limitarea pe calea de reac\ie dup` stare la valoarea (* = (0.

Pentru calculul timpului de pornire tp se utilizeaz` expresia vitezei ((t) punnd t = tp,

Aplica\ia 7. {n condi\iile aplica\iei 6, s` se determine parametrii ( ]i k optimi pentru un timp de pornire tp impus.

Indica\ii: fie

tp = ( Tmtimpul de pornire impus (( rezult` din tp ]i Tm da\i). {n acest caz, condi\ia de optim rezult` din expresia timpului de pornire astfel

func\ia de minimizat fiind

Ec fiind o constant` (indiferent de drum, dup` efectuarea pornirii Ec este acela]i), Lagrangeanul are forma

Parametrii k, (, ]i ( rezult` din ecua\iile

Aplica\ia 8. S` se calculeze expresia n cazul aplic`rii valorii impuse (* n ramp` cu ]i apoi s` se verifice rezultatul prin compara\ie cu pornirea direct`, [nlocuind ( = 0 (fig.4.14).

Indica\ii. Expresia func\iei ramp` (fig.4.14) este

rezult`

n final se ob\ine

verificndu-se c`

Fig. 4.1 Schema unei ma]ini de c.c. comandat` prin tensiune, M.L. fiind ma]ina de lucru ac\ionat`.

Fig.4.2 Diagramele de pornire ale motorului de c.c. cu dou` trepte de tensiune.

Fig.4.3 Modelul ma]inii de c.c.

Fig.4.4 Compensarea t.e.m. E printr-o reac\ie exterioar` pozitiv`.

Fig.4.5 Schema de reglare prin compensare dup` vitez` ]i predic\ie dup` cuplul rezistent.

Fig.4.6 Schema bloc de comand` pentru motorul sincron cu magne\i permanen\i.

Fig.4.7 Reprezent`rile( d,q), ((,( ) ]i (A, B, C).

Fig.4.8 Schema principial` de reglare a cuplului ]i fluxului pentru motorul sincron cu magne\i permanen\i.

Fig4.9 Diagrama de bilan\ a puterilor pentru m.a. n primele momente la pornirea direct` (( mic).

Fig.4.10 Schema de reglare a vitezei m.a. cu compensare dup` viteza ( ]i cu predic\ie dup` cuplul rezistent mr

Fig.4.11 Modelul matematic al motorului de c.c. care ia [n considera\ie constantele de timp ale traductoarelor.

Fig.4.12 Modelul matematic simplificat al ma]inii de c.c. ]i reac\ia pozitiv` de compensare dup` vitez`.

Fig.4.13 R`spunsurile [n curent ]i vitez` [n condi\iile aplica\iei 6.

Fig.4.14 Parametrii func\iei ramp` [n condi\iile aplica\iei 7.

EMBED PBrush

_990343092.unknown

_992244875.unknown

_1051597849.unknown

_1051602035.unknown

_1051689160.unknown

_1051689221.unknown

_1051689234.unknown

_1051690405.unknown

_1051690533.unknown

_1051689964.unknown

_1051689229.unknown

_1051689198.unknown

_1051689217.unknown

_1051689168.unknown

_1051602530.unknown

_1051689114.unknown

_1051689137.unknown

_1051639077.unknown

_1051688948.unknown

_1051638246.unknown

_1051602299.unknown

_1051602477.unknown

_1051602204.unknown

_1051600524.unknown

_1051601894.unknown

_1051601977.unknown

_1051601998.unknown

_1051601964.unknown

_1051601123.unknown

_1051601614.unknown

_1051600863.unknown

_1051598837.unknown

_1051599208.unknown

_1051600434.unknown

_1051598878.unknown

_1051598280.unknown

_1051598689.unknown

_1051598029.unknown

_992245180.unknown

_1051518622.unknown

_1051519085.unknown

_1051519212.unknown

_1051519252.unknown

_1051518931.unknown

_992245599.unknown

_993278998.unknown

_993279028.unknown

_993279202.unknown

_992245638.unknown

_993278321.unknown

_992245620.unknown

_992245517.unknown

_992245583.unknown

_992245458.unknown

_992244989.unknown

_992245046.unknown

_992245112.unknown

_992245016.unknown

_992244944.unknown

_992244972.unknown

_992244931.unknown

_991126675.unknown

_991126982.unknown

_992244470.unknown

_992244592.unknown

_992244862.unknown

_992244584.unknown

_991129321.unknown

_991129380.unknown

_991129730.unknown

_991127232.unknown

_991126762.unknown

_991126825.unknown

_991126858.unknown

_991126811.unknown

_991126696.unknown

_991126703.unknown

_991126693.unknown

_990343671.unknown

_990345069.unknown

_990345904.unknown

_990435507.unknown

_990435528.unknown

_991126609.unknown

_990435543.unknown

_990435517.unknown

_990347936.unknown

_990348047.unknown

_990348075.unknown

_990348424.unknown

_990348030.unknown

_990347461.unknown

_990347629.unknown

_990346100.unknown

_990345339.unknown

_990345507.unknown

_990345890.unknown

_990345320.unknown

_990345328.unknown

_990344211.unknown

_990344303.unknown

_990345040.unknown

_990344257.unknown

_990344144.unknown

_990344154.unknown

_990344118.unknown

_990343490.unknown

_990343583.unknown

_990343607.unknown

_990343552.unknown

_990343282.unknown

_990343485.unknown

_990343476.unknown

_990343166.unknown

_986970371.unknown

_989732248.unknown

_989735033.unknown

_989740840.unknown

_990342101.unknown

_990342232.unknown

_990342266.unknown

_990342214.unknown

_989744684.unknown

_989820647.unknown

_990341438.unknown

_990342075.unknown

_990341333.unknown

_989820866.unknown

_989819464.unknown

_989820158.unknown

_989816640.unknown

_989742174.unknown

_989744604.unknown

_989741125.unknown

_989740190.unknown

_989740434.unknown

_989740544.unknown

_989740306.unknown

_989739299.unknown

_989739610.unknown

_989735804.unknown

_989733533.unknown

_989734635.unknown

_989734978.unknown

_989733632.unknown

_989732417.unknown

_989732461.unknown

_989732296.unknown

_987327754.unknown

_987328137.unknown

_987328596.unknown

_989214808.unknown

_989217820.unknown

_987328840.unknown

_987331710.unknown

_987328309.unknown

_987328429.unknown

_987328255.unknown

_987327950.unknown

_987328052.unknown

_987327851.unknown

_987325392.unknown

_987327180.unknown

_987327360.unknown

_987325794.unknown

_986977132.unknown

_986977537.unknown

_986976852.unknown

_986274013.unknown

_986883764.unknown

_986885595.unknown

_986885858.unknown

_986885510.unknown

_986277749.unknown

_986278352.unknown

_986275306.unknown

_986193260.unknown

_986194693.unknown

_986194968.unknown

_986194313.unknown

_986192867.unknown

_986193018.unknown

_986192349.unknown