cap. 5. ecuatiile circuitelor electrice in regim stationar

Prof.dr.ing. Silviu Darie Ecuaţiile Circuitelor Electrice

1

5. ECUAŢIILE CIRCUITELOR ELECTRICE ÎN REGIM STAŢIONAR

Formularea unui model matematic adecvat este primul pas, în analiza reţelelor electrice. Modelul

trebuie să descrie particularităţile şi caracteristicile elementelor componente de sistem şi relaţiile care

guvernează interconectarea acestor elemente. Ecuaţiile matriceale constituie un model matematic

adecvat pentru soluţionarea pe calculator. Avantajele acestei metode nu se referă numai la stabilirea

într-un mod elegant, organizat, a ecuaţiilor, sau la scrierea simbolică, condensată a acestora ci şi la

posibilităţile abordării în mod general a problemei analizei şi sintezei reţelelor.

ELEMENTELE COMPONENTE ALE MATRICII REŢELEI DEPIND DE ALEGEREA

VARIABILELOR INDEPENDENTE

care pot fi curenţii sau tensiunile; corespunzător, elementele matricei reţelei, sunt impedanţe sau

admitanţe.

Forma matricii reţelei folosită în ecuaţia de funcţionare depinde de sistemul de referinţă şi anume:

nodal sau ciclic (al buclelor).

În sistemul de referinţă nodal (al nodurilor) variabilele sunt tensiunile nodale (ale nodurilor).

În sistemul de referinţă al buclelor, variabilele sunt curenţii şi tensiunile ochiurilor (buclelor).

Formarea matricei reţelei în mod adecvat este o parte integrală a programului pe calculator

pentru soluţionarea problemelor de sistem.

5.1. TOPOLOGIA REŢELELOR ELECTRICE

Înainte de a începe calculul reţelelor electrice, trebuiesc elucidate unele probleme de

structură ale acesteia. În acest scop se vor considera reţelele formate din dipoli. Pentru a se elucida

problemele de structură (de topologie) se va face abstracţie de toate relaţiile de măsură (valoarea

impedanţelor, curenţilor, tensiunilor etc.)

Topologia este o ramură a geometriei, în care valorile măsurate nu joacă un rol; se pun în

evidenţă numai probleme structurale.

Graful este ansamblul format din două mulţimi disjuncte N şi L, între care s-a stabilit o

corespondenţă, astfel încât fiecărui element din L îi corespunde o pereche unică de elemente din N

G = G(N,L) (5.1)

Se mai poate spune că graful este o configuraţie unitară constând din ramuri şi noduri. De la fiecare


2

nod la altul al grafului există cel puţin o cale care cuprinde numai ramuri ale grafului – figura 5.1.

1 3

24

0

1 3

24

0

C13

C14 C03

b.a.

1 3

24

0

S01

S04

S23

S02

c

1 3

24

0

d

C4 C2

C1C3

Figura 5.1

Graful se numeşte conex atunci când există o cale oarecare care parcurge numai laturi şi

include toate nodurile. În figura 5.1 se dă un graf conex. La studiul reţelelor electrice intervin în

special grafuri conexe.

Elementele de bază ale grafului sunt nodurile şi arcele. Nodurile asociate cu una sau două laturi se

numesc noduri neesenţiale; nodurile asociate cu trei sau mai multe laturi se numesc noduri esenţiale.

Nodul 4 din figura 5.1 este un nod neesenţial, iar nodurile 0,1,3,… etc, sunt esenţiale.

Arcele sunt elemente reprezentative ale aplicaţiei Γ, sau componentele mulţimii L. Un arc care se

asociază cu un singur nod se numeşte buclă.

Latura este elementul asociat la o pereche de noduri. Latura este simplă dacă este formată dintr-un

singur arc, sau multiplă dacă dacă este formată din mai multe arce în paralel.


3

Laturile şi arcurile se orientează cu ajutorul unei convenţii, obţinând astfel un graf orientat. Se va

admite următoarea convenţie pentru orientarea laturilor: laturile Lhi sunt orientate de la nodurile cu

numărul de ordine mai mic h la nodurile cu număr de ordine mai mare, I>h. Nodul cu numărul de

ordine mai mic reprezintă extremitatea iniţială a laturii, iar nodul cu numărul de ordine mai mare

reprezintă extremitatea finală, figura 5.1,a.

Calea: este un şir de arce cu capetele fixate în două noduri distincte.

Lanţul : este un şir care parcurge numai laturi şi are capetele fixate în două noduri distincte.

Calea şi lanţul sunt simple şi elementare dacă nu utilizează de două ori acelaşi arc sau latură şi dacă

nu întâlnesc de două ori acelaşi nod.

Ciclul este o cale finită a cărei extremitate iniţială coincide cu extremitatea finală. În figura 5.1,a

ciclurile: 0-1-4-0; 0-1-3-2-0 etc.

Secţionarea este un grup de laturi a căror eliminare duce la separarea nodurilor în două grupuri.

Secţionarea se reprezintă grafic printr-un arc de cerc ce taie laturile.

Arborele unui graf este un subgraf fără cicluri. Dacă arborele conţine toate nodurile grafului, atunci

el se numeşte arbore complet. Numărul de laturi al arborelui (numite ramuri) complet este:

r = n – 1, (5.2)

unde n este numărul de noduri ale grafului.

Coarborele unui graf este un subgraf complementar unui arbore complet. Laturile coarborelui se

numesc laturi coarde, sau coarde; numărul de laturi coarde C este:

C = l – r = l – n + 1, (5.3)

Unde l este numărul de noduri al grafului.

Dacă coordonatele sunt adăugate la arborele reţelei rezultă ciclurile (ochiurile) reţelei.

La studiul proprietăţilor topologice ale unui graf se operează cu sisteme de cicluri şi secţionări

independente.

Sistemul de cicluri independente corespunzător unui arbore complet este format din ciclurile

închise de laturi coarde care se sprijină pe extremităţile unor lanţuri de laturi arbore. Ciclul

independent conţine o singură coardă; orientarea laturii coarde dă orientarea ciclului, figura 5.1,b.

Numărul de cicluri independente pentru un graf este dat de relaţia:


4

0 = l – n + 1 = C

Sistemul de secţionări independente, corespunzător unui arbore complet este format din

secţionările care elimină o singură latură arbore şi laturile corespunzătoare coarborelui. Orientarea

laturii arbore dă orientarea secţionării, figura 5.1, c.

5.1.1 MATRICILE DE INCIDENŢĂ

Incidenţa este o noţiune care înlocuieşte şi precizează noţiunea de asociere dintre elementele de bază

ale grafului, noduri şi laturi.

Incidenţa în teoria grafului are următoarele semnificaţii:

1. latură este incidentă la un nod atunci când nodul este o extremitate a laturii;

2. latură este incidentă la un ciclu atunci când latura face parte din ciclu;

3. latură este incidentă la o secţionare atunci când latura face parte din secţionare.

Incidenţa unei laturi cu un nod este pozitivă sau negativă, după cum nodul este extremitatea iniţială

sau finală a laturii. Incidenţa unei laturi cu un ciclu sau cu o secţionare este pozitivă sau negativă,

după cum orientarea laturii corespunde sau nu cu orientarea ciclului sau secţionării.

Incidenţa laturilor cu nodurile, cu ciclurile şi cu secţionările se studiază cu ajutorul matricilor de

incidenţă.

Matricea de incidenţă noduri – laturi sau matricea de incidenţă a nodurilor, [A0]

Este matricea de bază, care conţine toate informaţiile referitoare la caracteristicile topologice ale

grafului.

Nodurile grafului se asociază cu liniile matricii, iar laturile grafului cu coloanele matricii. Termenii

matricei sunt +1, -1, sau 0, după cum latura de pe coloană şi nodul de pe linie sunt incidente pozitiv,

negativ sau nu sunt incidente.

Această matrice se numeşte matrice de incidenţă nodală completă şi se notează cu [A0]. Ea are

proprietatea că suma termenilor de pe fiecare coloană este egală cu zero. În consecinţă, graful este

complet determinat şi atunci când se elimină un nod; nodul eliminat se numeşte nod de referinţă şi se

notează de obicei cu zero. Celelalte noduri se numesc noduri independente. Matricea de incidenţă


redusă obţinută din [A0] prin eliminarea unui nod se numeşte matricea de incidenţă a laturilor cu

nodurile independente şi se notează cu [A]. Dimensiunea acestei matrici este (n – 1)× l, unde l este

numărul de laturi al grafului.

Pentru reţeaua din figura 5.1,a se obţine:

Matricea de incidenţă a

Matricea A se poate p

laturi arbore şi laturi co

Matricea de incidenţă Ciclurile independente

Termenii matricei sunt:

bij = 1, dacă latu

bij = -1, dacă lat

bij = 0, dacă latu

0-1 0-2 0-4 2-3 1-4 1-3 0-3

0 1 1 1 1

1 -1 1 1

2 -1 1

3 -1 -1 -1

4 -1 -1

0-1 0-2 0-4 2-3 1-4 1-3 0-3

[A0] =

ară.

ării laturilor în

laturilor cu nodurile estedreptunghiulară, şi deci ea este singul

artiţiona în două submatrice A1 şi A2 corespunzător partiţion

1 -1 1 1

2 -1 1

3 -1 -1 -1

4 -1 -1

[A] =

5

arde:

A1 A2=[ A ]

ramuri coarde

a laturilor cu ciclurile independente, [B]

se asociază cu liniile matriceiu, iar laturile grafului cu coloanele matricei.

ra de pe coloană şi ciclul de pe linie sunt incidente pozitiv;

ura de pe coloană şi ciclul de pe linie sunt incidente negativ;

ra de pe coloană şi ciclul de pe linie nu sunt incidente.


6

Matricea de incidenţă a laturilor cu ciclurile independente este de dimensiunea c × 1; pentru scrierea

acestei matrici este absolut necesar să se aleagă arborele grafului, dar nu este necesar să se precizeze

nodul de referinţă.

Pentru graful din figura 5.1, b se obţine

1 -1

1 -1 -1

-1 -1

1

1

1

0-1 0-2 0-4 2-3 1-4 1-3 0-3

C1-4

C1-3

C0-3

=[ B ]

Matricea [B] se poate partiţiona în două submatrici [B1] şi [U2], corespunzător partiţionării laturilor

în laturi arbore r şi laturi coarde c.

Matricea [B] partiţionată este

Matricea B este o matrice singulară.

Submatricea B1 este în general singulară de dimensiunea C × r; U2 este o matrice unitate de

dimensiunea C × C.

Matricea de incidenţă a laturilor cu secţionările independente, C

Secţionările independente se asociază cu liniile matricei, iar laturile grafului cu coloanele matricei.

Termenii matricei sunt:

Cij = +1 dacă latura de pe coloană şi secţionarea de pe linie sunt incidente pozitiv;

Cij = -1 dacă latura de pe coloană şi secţionarea de pe linie sunt incidente negativ;

Cij = 0 dacă latura de pe coloană şi secţionarea de pe linie nu sunt incidente.

Matricea C este singulară şi are dimensiunea r × 1. Pentru scrierea acestei matrici este absolut

necesar să se aleagă arborele grafului, dar nu este necesar să se aleagă nodul de referinţă.

Pentru graful din figura 5.1,c se obţine:

ramuri coarde

[B]= B1 U2 (5.7)


Matricea [C] se tor partiţionării

laturilor în laturi arbore

Matricea [C] partiţiona

Matricea C este singula

C2 este singulară de dim

RELAŢII ÎNTRE MA

Matricile de incidenţ

ortogonalitate:

CACBBA

t

t

t

=⋅=⋅=⋅

sau sub formă algebrică

∑∑∑

kik

kkj

kkik

Ca

Cb

ba

În relaţiile (5.10) se int

CB

BA

21

t11

++

din care rezultă:

t1B −=

(5.8)

poate partiţiona în două submatrici [U1] şi [C2], corespunză

r, şi laturi coarde C.

0-1 0-2 0-4 2-3 1-4 1-3 0-3

S01 1 -1 -1

S02 1 1 1

S04 1 1

S23 1 1 1

C=

tă este:

ră. Su

ensiu

TRIC

ă ale

000

:

=

=

=

ks

ks

j

0

0

0

roduc

0A

t

2

==

11 AA ⋅−

(5.9)

R C

[C]= U1 C2

7

bmatricea [U1] este o matrice unitate de dimensiunea r × r.; submatricea

nea r × c.

ILE DE INCIDENŢĂ

unui graf A, B, C nu sunt independente ci satisfac relaţiile de

(5.10)

(5.11)

relaţiile (5.5), (5.7) şi (5.9) şi se obţine:

0 (5.12)

2 (5.13)


8

Relaţiile (5.12) şi (5.13) permit calculul submatricilor B1 şi C2 în funcţie de submatricile A1 şi

A2.

5.2. ECUAŢIILE REŢELELOR ELECTRICE

O reţea electrică este formată în general din elemente separate – laturi, active sau pasive, care sunt

conectate între ele conform unei scheme de conexiuni. Elementele reţelei – latura – se reprezintă prin

scheme echivalente care se conectează între ele conform schemei de conexiuni a elementelor şi se

obţine schema echivalentă a reţelei.

Elementele de reţea se reprezintă prin scheme echivalente cu două borne – dipoli.

Starea electrică a reţelei este determinată de mărimile de stare electrică de la bornele elementelor de

reţea: curenţi la borne, tensiuni la borne.

Ecuaţiile de funcţionare scrise cu ajutorul mărimilor de stare electrică ataşate reţelei – curenţii din

laturi, tensiuni la borne, impedanţele proprii şi mutuale ale laturilor se numesc ecuaţii de material

Informaţiile referitoare la caracteristicile topologice ale schemei de conexiuni se dau sub forma

matricilor de incidenţă.

Ecuaţiile de funcţionare scrise cu ajutorul mărimilor de stare electrică în care intervin matriciile de

incidenţă se numesc ecuaţii topologice.

5.2.1. ECUAŢIILE DE MATERIAL

Elementul component al reţelei – latura – poate fi reprezentat prin schema echivalentă a unui circuit

elementar, sau prin schema echivalentă a unui nod elementar, figura 5.2, a şi b.

Mărimile de stare electrică şi parametrii schemei echivalente sunt:

Vhi este tensiunea la bornele laturii h-i;

Ihi – curentul din latura h-i;

Ehi – tensiunea electromotoare din latură;

zhi – impedanţa proprie a laturii h-i;

yhi – admitanţa proprie a laturii h-i.


9

Curenţii din laturi şi tensiunile la bornele laturilor reprezintă variabilele ecuaţiilor de funcţionare.

Ecuaţiile de funcţionare ale unei laturi reprezentată sub forma impedanţă sunt:

zhi ihi = vhi + Ehi (5.14)

iar sub forma de admitanţă este:

yhi vhi = Ihi + jhi (5.15)

Ecuaţiile (5.14) şi (5.15) scrise pantru toate laturile reţelei se concentrează în ecuaţiile matriceale:

Z I = V + E, (5.16)

Y V = I + J (5.17)

În care:

Z este matricea de impedanţă a laturilor; este o matrice pătrată de dimensiunea l × l;

matricea Z nu depinde de schema de conexiuni, adică de proprietăţile topologice ale

schemei de conexiuni;

Y = Z-1 – matricea de admitanţă a laturilor;

I – matric e coloană l × 1 cu rândurile aranjate în ordinea laturilor. Termenii matricei

sunt curenţii din laturi;

V – matrice coloană, l × 1 cu rândurile aranjate în ordinea laturilor. Termenii matricii

sunt tensiunile de la bornele laturilor;

E – matrice coloană, l × 1 cu rândurile aranjate în ordinea laturilor. Termanii matricii

sunt tensiunile electromotoare din laturi, luate cu semnul + sau – după cum sensul

tensiunii corespunde sau nu cu sensul de orientare a laturii;

J – matrice coloană, l × 1 cu rândurile aranjate în ordinea laturilor. Termenii matricei

sunt curenţii de scurcircuit la bornele laturilor, luaţi cu semn schimbat:

J = -Z-1 ⋅ E

Pentru reţele electrice fără cuplaje mutuale matricile Y şi Z sunt diagonale.


10

5.2.2. ECUAŢIILE TOPOLOGICE ALE REŢELELOR ELECTRICE

ECUAŢIILE TOPOLOGICE SCRISE CU MATRICEA [A] Se asociază curenţii Ihi din laturile reţelei cu coloanele matriciei A, iar curenţii II = 0 de la nodurile

reţelei cu rândurile matricei (A).

Prima teoremă a lui Khirchhoff se scrie sub forma:

A ⋅ I = In (5.19)

In = -A ⋅ js, (5.20)

Iar teorema potenţialului scalar în regim staţionar se scrie sub forma:

At ⋅ Vn = V (5.21)

Ecuaţiile (5.19) şi (5.21)sunt ecuaţiile topologice de bază ale reţelelor electrice. Ecuaţia (5.20)

permite transformarea unei reţele cu surse de curent în laturi într-o reţea echivalentă cu curenţi

injectaţi la noduri şi fără surse de curent în laturi.

Matricile [In] şi [Vn] sunt matrici coloană de dimensiunea (n-1) × 1. Rândurile matriciilor sunt ataşate

nodurilor independente. Termenii matricii [In] sunt curenţii injactaţi la nodurile independente, care se

presupun pozitivi. Curenţii ejectaţi la noduri se introduc în matricea [In] cu semnul minus.

Termenii matricei [Vn] sunt tensiunile nodurilor independente determinate faţă de potenţialul arbitrar

al nodului de referinţă. Aceste tensiuni sunt orientate de la nodurile independente la nodul de

referinţă.

Ecuaţiile topologice scrise cu matricea [B].

Se consideră ecuaţia (5.21), care se premultiplică cu [B]:

[B] [A]t [Vn] = [B] [U] (5.22)

sau

[B] [U] = 0 (5.23)

Se consideră ecuaţia (5.19) şi se partiţionează corespunzător arborelui şi coarborelui:


11

[A] [I] = [In]

[A1] [A2] [I1] = [In] (5.24)

[I2]

[ ][ ] [ ][ ] [ ]n2211 IIAIA =+ (5.25)

Se premultiplică ecuaţia (5.25) cu [A1]-1 şi se obţine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n1

12t11 I AIBI ⋅+= − (5.26)

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]n1

2 I AI BI ⋅+= − (5.27)

Ecuaţiile (5.23) şi (5.27) reprezintă ecuaţiile topologice scrise cu matricea [B].

5.3 TRANSFORMAREA TOPOLOGICĂ A ECUAŢIILOR DE MATERIAL

5.3.1 TRANSFORMAREA TOPOLOGICĂ A ECUAŢIILOR DE MATERIAL CU

MATRICEA [A]

SISTEMUL DE REFERINŢĂ NODAL. METODA POTENŢAILELOR DE NODURI.

Se consideră ecuaţia de material pentru forma admitanţă:

[y] [V] = [I] + [J] (5.28)

şi ecuaţiile topologice scrise cu matricea [A]:

[A] [I] = [In]

[A]t[Vn] = [V] (5.29)

Ecuaţia (5.28) se premultiplică cu [A] şi se elimină [I] şi [V] din ecuaţiile (5.28) şi (5.29):

[A][y][V] = [A][I] + [A][J]

[A][y][A]t [Vn] = [In] + [Jn]

[Ynn] = [In] + [Jn] (5.30)


12

cu

[Ynn] = [A][y][A]t

[Jn] = [A][J]. (5.31)

Ecuaţia (5.31) reprezintă metoda potenţialelor la noduri, în care necunoscutele sunt potenţialele

nodurilor independente în raport cu potenţialul nodului de referinţă.

[Ynn] este matricea de admitanţă nodală, de dimensiunea (n-1) × (n-1);

[Vn] – matricea coloană (n-1) × 1, a tensiunilor nodurilor independente în raport cu nodul de

referinţă;

[Jn] - matrice coloană, (n-1) × 1; termenii matricii jI sunt egali cu sumele curenţilor injectaţi

la fiecare din nodurile ni.

Din ecuaţia (5.30) se determină [Vn]⋅

[Vn] = [Ynn]-1{[In] + [Jn]} (5.32)

care necesită inversarea unei matrici de ordinul n-1 al nodurilor independente. După determinarea lui

[Vn] din ecuaţiile (5.29) se determină [I] şi [V].

Matricea de admitanţă nodală Ynn

[Ynn] = [A][y][A]t (5.33)

Relaţia (5.33) permite determinarea matricei de admitanţă nodală, atunci când se cunoaşte [A] şi [y].

Matricea de incidenţă [A] este singulară şi deci [A][y][A]t este o transformare topologică singulară a

matricei [y].

Din relaţia (5.33) se obţine

,yY ijj

ii ∑=

temenul diagonal, egal cu suma admitanţelor laturilor incidente la nodul I;

Yik = -yik,

Termenul nediagonal, egal cu admitanţa dintre nodul I şi k luată cu semn schimbat.

Observaţii:

1. Matricea de admitanţă nodală scrisă pentru toate nodurile reţelei Ynn are aceeaşi proprietate

ca şi matricea A0 şi este singulară.


13

2. Din termenii matricei de admitanţă nodaşă se pot determina admitanţele laturilor reţelei cu

relaţiile:

,Yyj

ij0j ∑= (5.34)

în care yj0 este admitanţa laturii dintre nodul j şi nodul de referinţă O;

yik = -Yik. (5.35)

5.3.2. TRANSFORMAREA TOPOLOGICĂ A ECUAŢIILOR DE MATERIAL CU

MATRICEA [B]

SISTEMUL DE REFERINŢĂ AL OCHIURILOR INDEPENDENTE. METODA

CURENŢILOR CICLICI

Se consideră ecuaţiile de funcţionare a reţelei sub forma:

[Z][I] = [V] +[E]

[I] = [B]t[I2] + [A]-1 ⋅ [In] (5.36)

[B] ⋅ [V] = 0

şi se alege ca necunoscută de bază submatricea [I2] = [Ic]. Din sistemul de ecuaţii (5.36) se elimină

celelalte necunoscute.

Ecuaţia de material din (5.36) se premultiplică cu [B] şi se introduc ecuaţiile topologice, de unde

rezultă:

[Zcc][Ic] = [B][Z][B]t (5.37)

[Ec] = [B] ⋅ [E] (5.38)

[Vc] = -[B][Z][A]-1[In].

Ecuaţia (5.37) reprezintă metoda curenţilor ciclici, în care necunoscutele sunt curenţii din laturile

coardă.

[Zcc] este matricea impedanţelor ochiurilor independente, de dimensiunea 0 × 0; termenii Zii

de pe diagonala matricei sunt egali cu sumele impedanţelor laturilor incidente la ciclurile OI;

iar termenii Zik = Zik sunt egali cu sumele impedanţelor laturilor comune perechilor de cicluri


14

OI şi Ok; impedanţele Zik = Zki se introduc în matrice cu semnul + sau -, după cum corespund

sau nu sensurile curenţilor ciclici (de coardă) din laturile comune;

[Ic] – matrice coloană, 0 × 1, a curenţilor ochiurilor independente (curenţii din laturile

coardă);

[Ec] – matrice coloană, 0 × 1, a tensiunilor electromotoare de contur; termenii Eci din Ec sunt

egali cu suma algebrică a tensiunilor electromotoare din laturile fiecărui ciclu, parcurs în

sensul pozitiv al ciclului.

Ecuaţia (5.37) se rezolvă în raport cu [Ic]:

[Ic] = [Zcc]-1 ( [Ec] + [Vc] ), (5.39)

care necesită inversarea unei matrici de ordin egal cu numărul ochiurilor independente.

După determinarea necunoscutei [Ic] se determină I şi V din ecuaţiile (5.36).

5.3.3. RELAŢII ÎNTRE MATRICILE [YNN]-1 ŞI [ZCC]-1

Metoda potenţialelor la noduri şi metoda curenţilor ciclici reprezintă metodele de bază pentru

calculul reţelelor electrice complexe. Cele două metode necesită inversarea unor matrice de ordine

diferite, care se pot calcula una în funcţie de cealaltă.

Se consideră o reţea fără cuplaje mutuale şi se partiţionează matricile [z] şi [y] în corespondenţă cu

partiţionarea laturilor în laturi arbore şi laturi coarde.

Din relaţiile (5.31), (5.38) şi (5.40), (5.41) se obţine:

[ ] [ ] [ ]t222ann AyAYY +=

[Zcc] = [Z2] + [A2]t[Za][A2] (5.42)

cu notaţiile:

[Ya] =[A1][y1][A1]t

[ ] [ ] [ ] [ ] 111

11a AzAZ

t

−− ⋅⋅= (5.43)


15

Matricea [Ya] se scrie direct folosind regula pentru scrierea matricei [Ynn] în reţeaua arbore; matricea

[Za] se scrie direct folosind regula pentru scrierea matricei [Zcc] în reţeaua arbore, în care ciclurile

independente sunt închise de coardele auxiliare, figura 5.1,d.

Relaţiile (5.42) se inversează cu formulele lui Woodbury:

[Ynn] = [Znn] = [Za] – [Za] ⋅ [A2] ⋅ [Zc]-1 ⋅ [A2]t ⋅ [Za],

[Zcc]-1 = [Ycc] = [Y2] – [Y2] ⋅ [A2] ⋅ [Ynn]-1 ⋅ [A2] ⋅ [Y2] (5.44)

cap. 5. ecuatiile circuitelor electrice in regim stationar

Documents