05- ecuatiile de miscare ale fluidelor ideale
DESCRIPTION
05- Ecuatiile de Miscare Ale Fluidelor IdealeTRANSCRIPT
-
1
5. DINAMICA FLUIDELOR IDEALE
5.1 NOTIUNI GENERALE DE CINEMATICA FLUIDELOR Cinematica fluidelor studiaza miscarea acestora fara a lua n considerare:
fortele care determina, sau modifica, starea de miscare,
transformarile energetice care nsotesc miscarea fluidelor.
Astfel, deoarece sunt luate n calcul doar proprietatile geometrice ale miscarii fluidelor, rezultatele
cinematicii fluidelor sunt valabile att pentru fluide ideale, ct si pentru fluidele reale.
5.1.1 METODE DE STUDIU ALE MISCARII FLUIDELOR
Exista doua metode de studiu ale miscarii fluidelor (determinarii traiectoriilor, vitezelor si
acceleratiilor): metoda Lagrange, respectiv metoda Euler.
Metoda Lagrange studiaza miscarea unei particule de fluid n aceeasi maniera ca la
miscarea unui punct material n mecanica clasica. Lund ca referinta pozitia particulei,
) , ,( 0000 zyxrv
, la momentul initial, 0t , miscarea ei (ecuatiile traiectoriei) este cunoscuta daca se
stabilesc legile de variatie n timp ale coordonatelor de pozitie ale particulei
===
.
,
,
000
000
000
, t), z, yz (xz
, t), z, yy (xy
, t), z, yx (xx
(5.1)
Necunoscutele sistemului (5.1), coordonatele zyx , , , sunt functii de variabilele
independente 000 , , zyx (variabilele lui Lagrange). Din ecuatiile traiectoriei se deduc componentele vitezei, ) , ,(vv zyx vvv
rr= , corespunzator momentelor it , dupa cum este ilustrat n figura 5.1,
,dd
,dd
,dd
tz
vty
vtx
v zyx === (5.2)
si componentele acceleratiei ) , ,(aa zyx aaa
rr=
2
2
2
2
2
2
dd
dd
,dd
d
d ,
dd
dd
tz
tv
vty
t
vv
tx
tv
a zzy
yx
x ====== . (5.3)
Pentru a descrie miscarea a n particule ce alcatuiesc o masa de fluid sunt necesare n sisteme de
ecuatii ale miscarii, cu solutii care necesita un timp ndelungat de rezolvare si resurse de calcul
semnificative. Din punct de vedere practic, mult mai comoda este utilizarea celei de a doua
metode.
-
2
Fig. 5.1 Descrierea miscarii particulelor unui fluid prin metoda Lagrange
Metoda Euler studiaza cmpul de viteze n puncte fixe ale spatiului ocupat de fluid. Practic,
se determina la momentele jt componentele vitezei n puncte n care se amplaseaza sonde de
viteza. Astfel, cunoscnd componentele vitezei ca functii de coordonate si timp,
)( vv
)(
)(
)(
x, y, z, t
x, y, z, tvv
x, y, z, tvv
x, y, z, tvv
zz
yy
xxrr
=
=
=
=
, (5.4)
se determina traiectoriile prin integrarea sistemului de ecuatii (5.2), respectiv, se determina
componentele acceleratiei, derivnd componentele vitezei, ecuatiile (5.3). Metoda este ilustrata n
figura 5.2.
Fig. 5.2 Descrierea miscarii unui fluid prin metoda Euler
Expresia acceleratiei unei particule fluide este
zyx vvvtk aj ai a
t zv
yv
xvv
dvd
a zyx
+
+
+
=++==rrrrrrrrr
. (5.5)
Din relatia anterioara se constata ca acceleratia are doua componente:
acceleratia locala, )v( tr
, ce rezulta din variatia n timp a vitezei n diferitele puncte ale
spatiului ocupat de fluid si
-
3
acceleratia convectiva (sau de antrenare), zyx vzv
yv
x
+
+ vvv
rrr, rezultat al vitezelor diferite
n punctele fluidului.
Observatii:
1. Miscarile fluidelor pentru care 0v
=
t
r se numesc permanente: ntr-un punct din interiorul spatiului
ocupat de fluid, viteza este constanta n timp. Cele pentru care 0v
t
r se numesc nepermanente: n
acelasi punct, viteza variaza (fluctueaza, n jurul unei valori medii) n timp.
2. Acceleratia convectiva este nula n cazurile cmpurilor de viteza omogene, n care viteza este
aceeasi n toate punctele mediului fluid: miscare uniforma.
3. Utiliznd teoria cmpurilor, relatia (5.11) poate fi pusa si sub forma:
( ) +
=
+
+
+
== v vv
v v
dvd rr
rr
rrr
tv
zv
yv
xtta zyx
vvrot2v
gradv
vv2vv 22 rr
rrr
rr
++
=++
= tt
a (5.6)
n relatia (5.12) s-a pus n evidenta partea potentiala a acceleratiei convective, 2v
grad2
2v
2
sau , precum si partea rotationala a acesteia, vvrot rr
( )vv rr sau . Miscarile pentru care
0v rot =r
se numesc irotationale. 5.1.2 REPREZENTAREA GRAFICA A MISCARII UNUI FLUID. MARIMI CARACTERISTICE MISCARII FLUIDELOR
O metoda utilizata n studiul fenomenelor de dinamica fluidelor este aceea a reprezentarii
grafice a miscarii particulelor. Se definesc urmatoarele notiuni/marimi referitoare la miscarea
fluidelor: Curentul de fluid reprezinta o masa de fluid aflata n miscare. Linia de curent este curba tangenta la vectorii viteza ai particulelor care la un moment, t , se
gasesc pe aceasta curba (figura 5.3). n general, forma linilor de curent se modifica n timp: cazul
miscarilor nepermanente, n care parametrii fluidului variaza n timp, n acelasi punct. Ele si
pastreaza forma n cazul miscarilor permanente.
-
4
Fig. 5.3 Liniile de curent n jurul unui profil aerodinamic Prezinta doua proprietati importante si anume:
liniile de curent nu se intersecteaza, cu exceptia unor puncte, numite puncte critice, n
care viteza este nula sau infinita (printr-un punct al spatiului ocupat de un fluid nu poate
trece la un moment dat dect o singura linie de curent, deoarece ntru-un punct nu pot
exista simultan mai multe particule cu viteze diferite; n consecinta, o particula printr-un
tub de curent se misca pe o aceeasi linie de curent;
liniile de curent umplu n ntregime spatiul ocupat de curentul de fluid.
Ecuatia diferentiala a liniilor de curent, sub forma vectoriala, se obtine din conditia de tangenta a
vitezei la linia de curent, caz n care vectorul viteza )v ,v ,v( zyx vr
are aceeasi directie cu variatia
vectorului de pozitie )d ,d ,d(d zyxrr
(pentru variatii mici ale rr
d ). Astfel, r||rr
d v , sau:
0= rrr
dv (5.7)
La momentul t sistemul ecuatiilor diferentiale al liniilor de curent este:
) , , ,(d
) , , ,(d
) , , ,(d
tzyxvz
tzyxvy
tzyxvx
zyx== (5.8)
Traiectoria unei particule de fluid reprezinta drumul parcurs de aceasta n miscarea sa.
Traiectoriile pot fi vizualizata experimental, dupa cum este prezentat n figura 5.4. n cazul
miscarilor permanente traiectoria coincide cu linia de curent, lucru care nu mai este valabil n cazul
miscarilor nepermanente.
Fig. 5.4 Vizualizarea curgerii n jurul unui profil aerodinamic
-
5
Ecuatia diferentiala a traiectoriei este data de relatia:
tr dvd =rr
. (5.9)
La momentul t , raportnd miscarea la sistemul triortogonal de axe xOyz , relatia anterioara
este echivalenta cu sistemul:
ttzyxv
ztzyxv
ytzyxv
x
zyxd
) , , ,(d
) , , ,(d
) , , ,(d === (5.10)
Suprafata de curent este suprafata formata din toate liniile de curent care se sprijina la un
moment dat pe o curba de forma oarecare. Daca respectiva curba este una nchisa, simpla, atunci
suprafata de curent este una tubulara, formnd un tub de curent (figura 5.5).
Fig. 5.5 Tub de curent Observatie Deoarece viteza este tangenta la peretii tubului de curent, rezulta ca prin suprafata acestuia
nu se face schimb da masa.
Un tub de curent de sectiune suficient de mica, astfel nct sa putem admite pe ea o
distributie uniforma a parametrilor da stare ai fluidului (viteze si presiuni), poarta denumirea de tub
elementar de curent (figura 5.8). Fluidul din interiorul unui tub elementar de curent formeaza un fir de fluid. Daca sectiunea
transversala a tubului elementar de curent tinde catre zero, n jurul unui punct, atunci firul de
curent reprezinta materializarea liniei de curent care trece prin acel punct.
Sectiunea transversala a unui tub de curent, numita si sectiune vie, reprezinta suprafata
normala pe liniile de curent care o strabat. Este o suprafata plana daca liniile de curent sunt
paralele, 1S si 3S n figura 5.6, sau curba n caz contrar, precum 2S .
Fig. 5.6 Sectiuni vii ntr-un tub de curent
-
6
Perimetrul udat, uP , reprezinta lungimea conturului sectiunii transversale a unui tub de
curent, marginita de pereti solizi. Raza hidraulica, hr , reprezinta raportul dintre aria sectiunii
curentului si perimetrul udat. Diametrul hidraulic, hd , sau echivalent hidraulic, reprezinta un
parametru utilizat n cazurile n care sectiunea de curgere nu este circulara. Se determina cu
relatia
udat Perimetrulcurentului sectiunii Aria
4PA
4r4du
schh === [m]. (5.11)
n figura 5.7 sunt prezentate doua situatii de calcul ale diametrului hidraulic, frecvent
ntlnite n practica. Astfel, pentru cazul curgerii unui fluid printr-o conducta circulara sub presiune
(fluidul ocupa ntreg spatiul interior al conductei), figura 5.7(a), perimetrul udat este dPu p= , iar
diametrul hidraulic ddh = . Asadar, n cazul conductelor circulare diametrul hidraulic coincide cu
diametrul geometric.
Fig. 5.7 Perimetrul udat si diametrul hidraulic pentru cazul curgerii unui fluid printr-o conducta circulara sub presiune, respectiv printr-un canal dreptunghiular
n cazul curgerii unui lichid printr-un canal dreptunghiular de latime b , figura 5.7(b), perimetrul
udat si diametrul hidraulic sunt h2bPu += , respectiv h2bbh
4dh += , unde h reprezinta cota de
adncime a lichidului n canal.
Debitul unui curent de fluid reprezinta cantitatea de fluid care trece printr-o sectiune n unitatea
de timp. n functie de modul de exprimare al cantitatii de fluid, poate fi:
debit volumic (sau volumetric), VQ (sau simplu Q ), reprezinta volumul de fluid care trece
printr-o sectiune transversala n unitatea de timp,
tQ
t DD=
D
VV
0lim ]/s[m3 ; (5.12)
debit masic, mQ (sau m& ), reprezinta masa de fluid corespunzatoare debitului volumic VQ ;
pentru un fluid omogen (de densitate constanta, .ct=r ),
VQQm r= . [kg/s] ; (5.13)
-
7
Vrtejul, sau turbionul unei particule de fluid este vectorul wr
, definit de relatia (5.14) si
reprezinta viteza unghiulara medie de rotatie a particulei n jurul unei axe ce trece prin centrul ei de
greutate.
W==rrr
21
21
vrotw (5.14)
unde W
r este vectorul ce defineste rotorul vitezei,
kyv
x
vj
xv
zv
iz
v
yv
vvvzyx
kjixyzxyz
zyx
rrr
rrr
rrr
-
+
-
+
-
=
===W vv rot . (5.15)
Datorita modului asemanator de definire vectorilor W
r si w
r si pentru W
r se mai utilizeaza,
uneori, tot denumirea de vrtej (turbion). Componentele scalare ale vrtejului sunt
-
=z
v
yv yz
x 21
w ,
-
=xv
zv zx
y 21w ,
-
=
yv
x
v xyz 2
1w . (5.16)
Linia de vrtej, suprafata de vrtej si tubul de vrtej sunt definite similar ca linia de curent,
suprafata de curent, respectiv tubul de curent.
5.2 ECUATIILE DE MISCARE ALE FLUIDELOR
5.2.1 ECUATIA DE CONTINUITATE (DE CONSERVARE A MASEI)
Dupa cum am precizat anterior, din definitia liniilor de curent rezulta ca particulele de fluid
nu pot traversa suprafetele de curent. Daca densitatea este invarianta n timp, atunci masa de fluid
nu se concentreaza n diferite puncte, deci: Variatia masei n timp (debitul masic) este constanta n orice sectiune a unui tub de curent.
Aceasta este formularea principiului continuitatii, sau de conservare a masei aplicata unui
fluid dintr-un tub de curent. Pentru un tub elementar de curent, precum n figura 5.8, volumul de
fluid ce traverseaza sectiunea de arie Ad , n timpul td , se poate exprima cu relatia:
Fig. 5.8 Tub elementar de curent
AtAl d d vd dd ==V . (5.17) unde v este viteza fluidului (constanta la nivelul unei sectiuni normale a tubului de curent).
Astfel, masa elementara de fluid este
-
8
Atm d d v d d rr == V , (5.18) iar variatia acesteia n timp tmQm ddd = :
AQm d v d r= . (5.19)
Debitul masic instantaneu, n fiecare sectiune de curgere, se obtine prin integrare
AAQA
m v d v rr == , (5.20) unde A este aria sectiunii vii de curgere (pe directia normala la curentul de fluid).
Tinnd cont de principiul conservarii masei,
nm AAAQ )v(...) v()v(constant rrr ==== 21 . (5.21)
Pentru fluide incompresibile, .ct=r , se utilizeaza cu precadere debitul volumic, Q , iar
ecuatia continuitatii devine:
constantv...vv 2211 ===== nn AAAQ . (5.22) unde n21 v ..., ,v ,v sunt vitezele medii ale fluidului n sectiunile n21 A ..., ,A ,A . Astfel, viteza medie
ntr-o sectiune de curgere este definita de ecuatia
AQ=v . (5.23)
Relatiile (5.21) si (5.22) sunt forme particulare ale ecuatiei continuitatii. Ele exprima
principiul conservarii unei mase de fluid omogen n miscare permanenta, prin tuburi de curent cu
forma fixa (pereti rigizi), precum n multe dintre cazurile de interes tehnic de curgere a fluidelor ce
se realizeaza n tuburi de curent, simple sau ramificate: conducte. 5.2.2 Ecuatia lui Bernoulli
Ecuatia de miscare a fluidelor pentru care:
fortele masice deriva dintr-un potential Ufm grad-=r
,
densitatea este o functie cunoscuta de presiune = rrdp
gradp grad 1
miscarea (curgerea) este permanenta 0tv
=
r,
miscarea este irotationala, sau pe o linie de curent vvrr
rot ,
se scrie sub forma:
0d
2v
grad2
=
++ U
pr
(5.24)
Termenii din interiorul parantezelor au dimensiuni de energii specifice unitatii de masa.
Suma lor se noteaza cu e si exprima faptul ca energia unitatii de masa reprezinta suma dintre
energia cinetica, energia potentiala de presiune si energia potentiala de pozitie. Expresia:
-
9
eU?
dp2
v 2=++
se numeste functia lui Bernoulli.
nmultind ecuatia (5.24) cu deplasarea elementara rr
d , se obtine:
=
++=
++ 02
02
22U
prU
prrd
ddd
gradvv r
.v
ctUp
=++ rd
2
2 (5.25)
5.2.2.1 Ecuatia lui Bernoulli pentru fluide incompresibile
Pentru:
fluide incompresibile, .ct=r , lichide si gaze n domeniul subsonic incompresibil
(conventional, gaze a caror viteza medie nu depaseste m/s 50 )
n cmp gravitational, 0== m ym x ffrr
, gfm z -=r
, deci:
ctg zz -gz fU m z +=-=-= dd , ecuatia (5.25) devine:
.ctz gp
2v 2
=++r
(5.26)
Aceasta este ecuatia lui Bernoulli. Pentru doua puncte de pe o linie de curent aceasta se
scrie:
.z gp
2v
z gp
2v
22
22
11
21 ++=++
rr (5.26)
n aceasta forma, toti termenii reprezinta energii specifice unitatii de masa:
energie cinetica 2
v 21 ;
energie potentiala de presiune rp
;
energie potentiala de pozitie z g .
Ecuatia lui Bernoulli se poate exprima si sub alte doua forme. Daca termenii din ecuatia
(5.26) se mpart cu g :
[ ]m Hzg
pg 2
vz
g p
g 2v
22
22
11
21 =++=++
rr (5.27)
Se observa ca fiecare dintre termeni are dimensiunea unei lungimi. Acest fapt permite
urmatoarea reprezentare grafica a ntregii expresii, pe o linie de curent (vezi figura 5.9):
cota (naltime) de pozitie z ,
-
10
cota (naltime) piezometrica grp
g p
= ,
cota (naltime) cinetica g 2
v 2.
Fig. 5.9 Reprezentarea grafica a ecuatiei lui Bernoulli
Pe o linie de curent, parametrii unui fluid variaza astfel nct nivelul energetic H ramne
constant.
A treia forma a ecuatie lui Bernoulli se obtine daca nmultim termenii ecuatiei (5.26) cu r :
22
22
11
21 z g p
2v
z g p2v
rr
rr
++=++
2m
N (5.28)
n aceasta forma termenii au dimensiuni de presiune:
presiune dinamica 2v 2r
;
presiune statica p ;
presiune de pozitie z g r .
Suma dintre presiunea statica si cea dinamica reprezinta presiunea totala a unui fluid, tp :
.p2v
p2
t +=r
(5.29)
5.2.2.2 Ecuatia lui Bernoulli pentru fluide compresibile
Pentru fluide compresibile, .ctr (gaze a caror viteza medie depaseste m/s 50 ), n cmp
gravitational, rezolvarea ecuatiei (5.49) depinde de caracterul transformarii pe care o sufera fluidul:
izoterma, adiabatica, politropica.
-
11
Astfel, pentru o transformare generala .ctpn =r
cu exponentul politropic n , potentialul
fortelor de presiune pentru doua stari succesive este:
-
-=
1
1
2
22
1
pp1n
ndprrr
, (5.30)
iar ecuatia lui Bernoulli:
22
22
11
21 z g
p1n
n2
vz g
p1n
n2
v+
-+=+
-+
rr. (5.31)
Pentru transformarea adiabatica .ctp
=kr, ecuatia lui Bernoulli are o forma similara cu
(5.31), n care exponentul adiabatic n se nlocuieste cu cel politropic k . n cazul unui proces
izoterm .ctp
=r
, ecuatia lui Bernoulli devine:
222
222
111
121 z gp ln
p2
vz gp ln
p2
v++=++
rr. (5.32)
5.2.3 TEOREMA IMPULSULUI
n Mecanica generala impulsul unui punct material de masa m care se deplaseaza cu
viteza ?r
se defineste ca fiind produsul ?mr
. Pentru un sistem de puncte materiale, impulsul total
are expresia:
= ii ?mIrr
. (5.33)
Teorema Impulsului:
= extii F?mdtd rr
(5.34)
exprima faptul ca derivata n raport cu timpul
a impulsului unui sistem de puncte materiale
este egala cu rezultanta fortelor exterioare
care actioneaza asupra respectivului sistem.
Pentru a transpune aceasta teorema
n domeniul Mecanicii Fluidelor, se considera
un fluid incompresibil de densitate ? n
miscare permanenta printr-un tub de curent,
care la un moment dat ocupa un volum
(numit volum de control) marginit de o suprafata ABCDS (vezi figura 5.10). Sectiunile laterale 1S ,
2S sunt perpendiculare pe directia de curgere. Masa de fluid continuta n aceasta suprafata va
ocupa la doua momente succesive 1t si 2t pozitiile ABCD, respectiv ABCD. Variatia Idr
a
Fig. 5.10
-
12
impulsului n intervalul de timp dt se poate exprima prin diferenta impulsului masei de fluid la cele
doua momente 1t si 2t : 12 IIIdrrr
-= .
Deoarece am considerat ca miscarea este permanenta, impulsul masei de fluid continuta
ntre sectiunile AB si CD ramne constant n timp. Asadar, variatia impulsului n intervalul dt este
data de diferenta dintre impulsul masei de fluid continuta n suprafata 'A'ABBS si impulsul masei de
fluid continuta n suprafata 'C'CDDS :
-=-=-=-= 1112221122112212 ?dt??S?dt??S??V??V?m?mIIIdrrrrrrrrr
)???Q(dtId
12rr
r
-= =- ext12 F)???Q(rrr
(5.35)
unde: Q [m3/s] debitul de fluid;
2,1? [ m/s ] vitezele medii ale fluidului prin cele doua sectiuni de calcul 1S , 2S .
extFr
reprezinta suma fortelor exterioare care actioneaza asupra masei de fluid din
volumul de control considerat:
slf
slp2p1pext FFFFGF
rrrrrr++++= (5.36)
unde: G
r forta de greutate exercitata de masa de fluid din volumul de control;
2p1p F,F
rr
fortele de presiune cu care fluidul ramas n tubul de curent, n afara volumului
de control, actioneaza asupra fluidului din interiorul acestuia prin intermediul
suprafetei de intrare 1S , respectiv al suprafetei de iesire 2S (normale pe
aceste suprafete si orientate spre fluidul din interiorul volumului de control);
slpF
r forta cu care peretele tubului de curent care face parte din suprafata de
control actioneaza asupra fluidului din interiorul acesteia;
slfF
r forta de frecare care se exercita ntre fluid si suprafata laterala interioara a
tubului de curent nlocuind relatia (5.36) n (5.35) se obtine:
slf
slp2p1p12 FFFFG)???Q(
rrrrrrr++++=- (5.37)
Observatii: 1 Pentru aplicarea Teoremei Impulsului este suficienta cunoasterea fenomenelor
care au loc pe suprafata de control, nu si a celor care se petrec n interiorul ei. Concret, este vorba de cunoasterea presiunilor si vitezelor pe aceasta suprafata.
2 Pentru aplicatiile practice, rezolvarea ecuatiei vectoriale (5.37) implica raportarea sistemului studiat la un reper triortogonal drept, convenabil ales.