c8_econometrie_2015_2016
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
1/29
CC 8
Modele neliniare1. Modelul log-liniar (modelul putere)
2. Modele polinomiale
Conf. dr. Christiana Balan
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
2/29
()
2
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
3/29
Un model econometric poate fi:
- Model liniar n parametri: ++= 2
10 XY
- Model liniar n variabile:
- Model liniar n parametri i n variabile:
+++= 22
2110 XXY
++= XY 10
3
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
4/29
Modelul log-liniar (putere) (1)
este un model de regresie neliniar
variabilele modelului apar prin funcia logaritm
modelul apare ca rezultatul liniarizrii prin logaritmare aunui model de tip putere
. orma genera a mo e u u putereConsiderm modelul simplu de forma:
sau
Prin logaritmare, se obine modelul:
unde
eXY 10
= i1 exy i0i
=
0 1ln ln lni i iy x = + +
4
0 0>
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
5/29
Modelul log-liniar (2)
Modelul log-liniar poate fi transformat ntr-un model liniar fcndurmtoarele notaii:
i
*
i ylny =
0
*
0 ln =
1
*
1 =*
xlnx =
*
i
*
i
*
1
*
0
*
i xy ++=
i*i =
5
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
6/29
Modelul log-liniar (3)
2. Interpretarea parametrilor modelului
0 este valoarea medie a variabilei dependente Y, cnd variabilaindependent X ia valoarea 1:
1
0 0 0*1 *1XY
= = =
1
0
0 1ln ln ln
X
X
Y X
Y X
=
= +
1
exprim variaia medie relativ (procentual ) a variabileidependente Y la o variaie relativ (procentual) cu o unitate (1%) avariabilei independente X.
11111%100
%10011lnln
=
=
===
X
X
Y
Y
X
X
Y
Y
X
dX
Y
dY
XdX
dY
YdX
Xd
dX
Yd
1%100%,1%100 =
=
Y
Yatunci
X
XDac
6
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
7/29
Elasticitatea
Elasticitatea unei variabile Y n raport cu o alt variabil X
reprezint modificarea relativ (procentual) a variabile Y la omodificare relativ (procentual) a lui X cu o unitate.
Elasticitatea poate fi determinat prin relaia:
Modelul log-liniar (4)
dar
Deci, parametrul 1 reprezint elasticitatea variabileidependente Y n raport cu variabila independent X.
100% mod .
% mod .100
Yif Y Y X YE
Xif X X Y
X
= = =
7
1
100%
100%
Y
YX
X
=
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
8/29
Modelul log-liniar (5)
Funcia de producie Cobb-Douglas
Este un model de regresie neliniar multiplu de tip log-liniar, de
forma:
ik21 ex...xxy iki2i10i =
, ,
forma:i21 eKLy ii0i
=
8
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
9/29
Modelul log-liniar (6)
Funcia de producie Cobb-Douglas
Interpretare parametri
0 este nivelul mediu al produciei pentru K=1 i L=1;
1 este elasticitatea parial a produciei n raport cu munca; Variaia procentual a produciei la variaia cu 1% a factorului munc, n condiiile n
care factorul capital este constant.
1 2
, 0
, 0 1 2ln ln ln ln
L K
L K
Y L K
Y L K
=
= + +
2 este elasticitatea parial a produciei n raport cu capitalul; Variaia procentual a produciei la variaia cu 1% a factorului capital, n condiiile ncare factorul munc este constant.
1+2 este elasticitatea total a produciei n raport cu cei doifactori.
Se numete randament de scar.
9
1
100%
100%
Y
YL
L
=
2
100%
100%
Y
YK
K
=
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
10/29
Modelul log-liniar (7)
Funcia de producie Cobb-Douglas
Interpretarea elasticitii totale
1+2 =1: randamente de scar constante (variaie constanta produciei n raport cu factorii de producie);
1 2 inferioar a produciei n raport cu variaia factorilor);
1+2 >1: randamente de scar cresctoare (variaiesuperioar a produciei n raport cu variaia factorilor).
10
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
11/29
Modelul log-liniar (8)
Exemplul 1 - Funcia de producie Cobb-Douglas
n studiul legturii dintre producia agricol,Y, (lei), numrul mediude salariai n agricultur, X1, (persoane) i suprafaa agricol,X2, (ha), se obine urmtoarea ecuaie estimat:
Elasticitatea parial a produciei n raport cu munca = 0,143; Variaia procentual a produciei la variaia cu 1% a factorului munc este egal cu
0,143%, n condiiile n care factorul capital este constant.
Elasticitatea parial a produciei n raport cu capitalul = 0,471; Variaia procentual a produciei la variaia cu 1% a factorului capital este egal cu
0,471%, n condiiile n care factorul munc este constant.
Elasticitatea total a produciei n raport cu cei doi factori = 0,614. Randamente de scar descresctoare.
iii xxy
21
n,n,,nn =
11
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
12/29
Modelul log-liniar (9)
Exemplul 2 - Funcia cererii
n studiul legturii dintre cantitatea de cafea consumat zilnic (Q),preul cafelei, Pcafea, i preul ceaiului, Pceai, se obine urmtoareaecuaie estimat:
ceaicafea PPQ ln38,0ln25,078,0ln +=
Elasticitatea pre a cererii = 0,25; O cretere cu 1% a preului cafelei determin reducerea cu 0,25% a cererii de cafea, ncondiiile n care celelalte elemente sunt constante.
(Elasticitatea n mrime absolut = 0,25) < 1 cererea este inelastic (modificareacererii are loc ntr-o proporie mai mic dect modificarea preului)
Elasticitatea pre-ncruciat = 0,38; O cretere cu 1% a preului ceaiului determin creterea cu 0,38% a cererii de cafea, n
condiiile n care celelalte elemente sunt constante.
Elasticitatea pre-ncruciat > 0 cele dou bunuri (cafeaua i ceaiul) suntsubstituibile.
12
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
13/29
Modelul log-liniar (9)
Exemplul 2 - Funcia cererii
C
C
13
C
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
14/29
14The dependent variable is Price of primary vehicle.
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
15/29
0=14,799
1=0,221
0 1XY X= +
14, 799 0, 221XY X= +
15
0=(=0)
D 0 , , , 14,799 .
D , , , 0,221 .
1 1
YY X
X
= =
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
16/29
16
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
17/29
0=0,765
1=0,881
1
0
0 1ln ln ln
X
X
Y X
Y X
=
= +
0,8810,765
ln ln 0, 765 0, 881ln
X
X
Y X
Y X
=
= +
17
0=(=1)
D ,
, , 0,765 .
D 1% , ,
, 0,881%.
ln 0, 268 0,881lnXY X= +
1100% 100%Y X
Y X
=
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
18/29
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1ln
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n nd x n xd x
dx
d x x
=
=
18
( ln )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
x x
x x
d a a ad x
d e ed x
dc
d x
=
=
=
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
19/29
19
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
20/29
20
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
21/29
21
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
22/29
()
1. :
2
:
210
20 1 2xY b b X b X = + +
22
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
23/29
()
, :
, , , .
Cost unitar
23
.
40.00
30.00
20.00
10.00
9.008.007.006.005.004.003.002.00
Productia
Quadratic
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
24/29
()
D 10, . C
.
D 1>0 2
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
25/29
Coefficients
-25.795 3.895 -5.322 -6.623 .000
2.114 .351 4.842 6.026 .001
89.041 9.231 9.646 .000
Productia
Productia ** 2
(Constant)
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
StandardizedCoefficients
t Sig.
Ecuaia estimat a modelului parabolic dintre Cost (Y, mii euro) iProducie (X, sute buci) este:
=89,041-25,795x +2,114x 2
Exemplul 3
25
Interpretare:
Costul este minim pentru o producie de 611 buci.
Valoarea costului minim este egal cu:
yi=89,041-25,795*6,11+2,114*(6,11)2 = 10,353 (mii euro)
Y este minim pentru X=-b1/2b2=25,79/4,228=6,11..
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
26/29
()
++++= 332210 XXXY
26
.
, 2 .
..
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
27/29
XdX
XXd
dXdX
XXXd
dXdX
Yd32
2321
33
2210
22
62)32()(
+=++
=+++
=
2
2 30 2 6 0d Y
X = + = 2X =
Abscisa punctului de inflexiune este:
27
3
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
28/29
100
80
60
40
20
Grad de urbanizare (%)Exemplul 4
28
0
2500020000150001000050000
PIB / loc
-
7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016
29/29
:
31127
Coefficients
.010 .002 2.557 4.950 .000
-6.1E-007 .000 -3.206 -2.652 .009
1.21E-011 .000 1.255 . .
32.036 3.395 9.438 .000
PIB/loc
PIB/loc ** 2
PIB/loc** 3
(Constant)
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
StandardizedCoefficients
t Sig.
:
=2/33=(6,1*107
)/(3*1,21*1011
) =2,47*104
=24700
,,,,
29