c3_modelarea_solidelor

7/26/2019 C3_Modelarea_solidelor

1/9

Proprietatile topologice ale solidelor (echiv topologica,

orientabilitate, conectivitate)

Echivalenta topologica

Doua corpuri sunt echivalente topologic daca unul se poate deforma in

celalalt. Clasificarea se bazeaza pe topologia curbelor inchise:

Toate curbele inchise care nu se intersecteaza, de pe suprafata unei sfere,

sunt echivlente topologic. Astfel de curbe definesc discuri topologice.

Pe suprafata unui tor exista doua tipuri de curbe inchise :

curbe inchise care se definesc discuri topologice;

curbe care pentru a fi reduse la un punct trebuie sa fie intersectata

suprafata torului.

Orientabilitatea

O suprafata este orientabila daca exista o definitie consistenta privind ceea

ce inseamna stanga si dreapta pentru acea suprafata.

Un exemplu tipic de suprafata neorientabila este banda lui Mbius.

Un solid este orientabil daca parcurgand orice contur al sau, punctele

interioare conturului sunt situate tot timpul de aceeasi parte a conturului.

Conectivitatea

a.Conectivitatea unui poliedru

Un poliedru este un solid marginit de un set finit de poligoane conectate

astfel incat fiecare latura a fiecarui poligon apartine de asemenea inca unuia

si numai unuia dintre celelalte poligoane.

Un poliedru este definit prin trei tipuri de elemente geometrice :Nr varfuri :

V; Nr laturi : L ; Nr fete : F.care satisfac urmatoarele conditii topologice :

numarul de laturi incidente intr-un varf este egal cu numarul de fete

incidente in acelasi varf;

fiecare latura este delimitata de doua varfuri si reprezinta jonctiunea a

doua fete;

fiecare fata este marginita de o secventa circulara de laturi coplanare

care formeaza un poligon.

Un poliedru convex poate fi definit printr-un set de inegalitati :

unde Ai, Bi, Cisi Disunt coeficientii ecuatiei planului unei fete, i, a

poliedrului, alesi astfel incat inegalitatea sa fie satisfacuta pentru punctele

interioare poliedrului.

Conectivitatea unui poliedru simplu este definita matematic prin formula luiEuler: V L + F = 2,

b.

Conectivitatea unei suprafete inchise oarecare

O suprafata inchisa, reprezentata printr-o retea de fatete poligonale, este

conectata daca:

fiecare latura a retelei este delimitata de 2 varfuri;

Copyright Prof. dr. ing. Floria !oldo"eanu #


2/9

fiecare latura uneste doua fete;

in fiecare varf sunt incidente cel putin trei laturi;

fiecare fata este marginita de un ciclu de laturi care definesc un disc

topologic;

Conectivitatea suprafetei este definita matematic astfel :V - L + F = 2 - nunde n - numarul de conectivitate,este caracteristic fiecarei clase de

echivalenta toplogica.

Aplicand formula pentru un corp (corect definit) se poate determina n

pentru a afla clasa de echivalenta din care face parte corpul. Invers,

cunoscand clasa de echivalenta din care face parte corpul, se evalueaza

expresia

n = 2 (V L + F) pentru a se verifica daca obiectul este conectat.

c.

Conectivitatea unui solid oarecare

Un solid oarecare se deosebeste de un poliedru simplu prin faptul ca fetelesale pot avea mai multe contururi:

$ conturul exterior al fetei;

$ conturul unei treceri prin poliedru;

$ conturul unei gauri (adancituri).

Conectivitatea unui solid oarecare este definita prin formula Euler

generalizata:

unde P este numarul de varfuri de parti distincte ale solidului

T este numarul de treceri prin solid

C este numarul de cicluri de laturi interne fetelor

22.Metode de modelare a solidelor23. Reprezentarea prin frontiera (BREP)

Frontiera unui solid cuprinde: fete plane sau curbe, laturi (segmente de

dreapta sau arce de curba) si varfuri.

O reprezentare prin frontiera este alcatuita din :-date geometrice :

coordonatele varfurilor; coeficientii ecuatiei unei laturi; coeficientii ecuatiei

suprafetei din care face parte o fata; -date topologice: varfurile care

delimiteaza fiecare latura; conturul sau contururile care marginesc fiecare

fata; fetele conectate printr-o latura si altele.1. Relatiile V :{ }

Copyright Prof. dr. ing. Floria !oldo"eanu 2


3/9

2. Relatiile L : { } 3. Relatiile F : { }

O structura de date pentru reprezentarea prin frontiera a unui poliedru:

nxny, nz: componetele normalei la suprafata

(a) pointer catre prima latura a conturului

(b) numarul de laturi care formeaza conturul

(c) pointer catre urmatorul contur al fetei.

In unele cazuri se prefera ca structura de date prin care este reprezentat

solidul sa fie redundanta, dar in schimb sa permita cautari rapide.

Structura Baumgart:

$ fiecare latura este reprezentata prin :-> pointeri catre varfurile care o delimiteaza

Copyright Prof. dr. ing. Floria !oldo"eanu %


4/9

-> pointeri catre fetele adiacente (stanga, dreapta)

-> pointeri catre cele 4 laturi incidente in varfurile extreme

- fiecare fata este reprezentata printr-un pointer catre una dintre

laturile conturului

$ pentru fiecare varf se memoreaza pointer catre una dintre laturilecare-l au extremitate

Criterii de validitate a unui solid.

1.Sa nu existe laturi/fete neconectate conditia este verificata daca fiecare

latura uneste doua varfuri si doua fete si perimetrul fiecarei fete contine un

numar egal de varfuri si laturi;

2. Fetele sa nu se intersecteze;

3.Solidul trebuie sa fie orientabil.

Regula lui Mbius:daca pentru fiecare latura sensurile de parcurgere ale

contururilor fetelor adiacente pe latura sunt opuse, atunci suprafata solidului

este orientabila.

Criteriile de validitate 1 si 2 pot fi verificate folosind formula Euler

generalizata : (V L + F C + 2T 2P = 0).

24. Reprezentarea prin enumerare spatiala

Descompunerea regulata

Este un caz particular de descompunere celulara; fiecare celula este un cub

si are o pozitie fixa, pe o grila spatiala regulata. Se obtine divizand cubul

incadrator al solidului, recursiv, de fiecare data in 8 subcuburi. Subcuburile

rezultate se numescvoxeli. Voxelii sunt clasificati invoxeli interiorisivoxeli

exteriori.

Reprezentare

Un mod consta in reprezentarea printr-o lista in care se memoreazacoordonatele centrelor voxelilor interiori. Lista este ordonata astfel incat

solidul este un set de celule adiacente.

Avantajele metodei :

Reprezentarea se obtine simplu,

Permite sa se calculeze proprietatile fizice ale solidului

Permite realizarea cu usurinta a operatiilor booleene intre solide.

Reprezentarea este invarianta in raport cu translatia dar nu si cu rotatia.

Reprezentarea prin arbore octal (descompunerea adaptiva)

In reprezentarea printr-un tablou spatial, cu voxeli de aceeasi marire, unnumar mare de voxeli care fac parte din solid pot forma un cub cu latura

Copyright Prof. dr. ing. Floria !oldo"eanu &


5/9

mai mare. Plecand de la cubul incadrator al solidului, se determina prin

divizare recursiva (in 8 cuburi de marime egala) cuburile de latura maxima

care aproximeaza solidul. Divizarea se continua numai cu subcuburile

partial ocupate, pana cand se obtin numai subcuburi pline sau vide sau

pana cand latura subcubului atinge limita minima prestabilita. In final,solidul este reprezentat printr-un arbore octal.

Reprezentarea este inexacta daca frunzele arborelui sunt noduri de tip

nedefinit (partial ocupate). O imbunatatire a metodei foloseste arbori octali

exacti. Intr-un arbore octal exact fiecare nod frunza este :

$vid (subcubul este exterior solidului)

$plin (subcubul este interior solidului)

$nod de tip fata (subcubul contine o parte dintr-o singura fata)

$ nod de tip latura (subcubul contine o parte dintr-o singura latura precum

si parti din fetele adiacente)

$ nod de tip varf (subcubul contine un singur varf impreuna cu parti din

laturile si fetele adiacente in varf)

Operatii booleene cu arbori octali

- intersectia; U- reuniunea; \- diferenta; - complementul;

Stiind ca :

A U B = (A B);

A \ B = A ( (A B));

Trebuie implementate operatiile de intersectie ( ) si operatia de

complementare ( ).

Complementul unui arbore octal

Se obtine prin aplicarea operatorului fiecarei frunze : P plin,V vid,N

nedefinit.

P = V;

V = P;

N = N.

Calculul intersectiei a 2 arbori octali

Metoda de calcul se bazeaza pe compararea nodurilor care corespund unor

cuburi cu aceeasi amplasare spatiala si aceeasi latura. De aceea, arborii

octali intersectati trebuie sa fie construiti pornind de la acelasi cubincadrator. In acest caz, nodurile de pe un nivelidin cei 2 arbori, corespund

acelorasi subcuburi.

Calculul intersectiei presupune o parcurgere sincronizata a celor 2 arbori,

comparandu-se nodurile care corespund unor subcuburi cu aceeasi

amplasare spatiala.

25. Reprezentarea prin arbori de constructie(Constructive solid

geometry)

Copyright Prof. dr. ing. Floria !oldo"eanu '


6/9

In acest caz proiectantul dispune de o multime de solide primitive ale caror

dimensiuni sunt parametrizate si care sunt pozitionate in spatiu folosind

transformari geometrice (translatii, rotatii). Reprezentarea interna a

obiectului definit prin aceasta metoda este un arbore binar, numit si arbore

CSG, in care fiecare nod neterminal este un operator de compunere, iarfrunzele sunt solide primitive.

Reprezentarea unui solid prin aceasta metoda nu este unica si este ne-

ambigua numai daca operatiile booleene sunt regulate; combinarea a 2

solide nu trebuie sa produca fete sau laturi neconectate. Figura urmatoare

reda cazul 2D al unei interectii conventionale si cel al intersectiei regulate.

Un solid este alcatuit din 2 multimi de puncte: puncte interioare si puncte

de frontiera. Fie A si B doua solide, iA,iBmultimile punctelor interioare sif(iA), f(iB) multimile punctelor de frontiera.

A = iAU f(iA)

B = iBU f(iB)

Operatorii booleeni regulati pot fi definiti astfel:

A * B = (i A i B) U (f(iA i B))

A U* B = (iAU iB) U (f(iAU iB))

A -* B = (iA- iB) U (f(iA- iB))

Dezavantajul metodei CSG: pentru vizualizare trebuie obtinuta

reprezentarea prin frontiera (calcule complexe)Avantajele:

Definirea interactiva de obiecte complexe, atragatoare pentru utilizator

Adecvata procesului de fabricatie

26. Reprezentare prin baleiere spatiala (Sweep

Representation)Solidele din aceasta categorie sunt generate prin deplasarea unui obiect 2D

in spatiu. Un solid este definit prin 2 elemente:

- un obiect 2D (o fata sau o sectiune prin obiect)

- traiectoria pe care se deplaseaza

Copyright Prof. dr. ing. Floria !oldo"eanu (


7/9

In cazul general este posibil sa se deplaseze o fata pe o traiectorie oarecare,

dimensiunile fetei pe o traiectorie putand sa varieze in cursul deplasarii.

Metoda permite modelarea unui mare numar de obiecte, dar acestea pot sa

nu fie solide valide.

Inconvenientul major este lipsa de instrumente algoritmice pentru calcululproprietatilor geometrice, pentru realizarea operatiilor booleene si pentru

vizualizare.

Principalul avantaj al metodei este posibilitatea de a reprezenta obiecte

descriind procesul de fabricatie. Metoda, utilizata in multe sisteme de

modelare contemporane, se dovedeste practica si eficienta pentru modelarea

partilor mecanice cu sectiune constanta. Se foloseste de asemenea pentru a

detecta interferenta potentiala dintre diferite parti ale mecanismelor. Se

foloseste si pentru simularea si analiza operatiilor de indepartare a

materialelor in operatiile de fabricatie.

De exemplu, se pot descriere foarte simplu corpuri care se fabrica prin

operatiuni de extrudere (cele de translatie) sau strunjire (cele de rotatie).

Ca si tehnica CSG, metoda este foarte bine adaptata pentru crearea

interactiva a obiectelor 3D.

Se bazeaza pe notiunea de miscare a unui punct, a unei curbe sau a unei

suprafete pe o anumita cale.

In general, pentru modelarea unui solid trebuie sa se dea : obiectul

generator si traiectoria de miscare. Obiectul poate fi o curba sau o

suprafata iar traiectoria este o cale ce poate fi definita analitic. Curba

directoare nu este in mod necesar un element al obiectului obtinut.

Copyright Prof. dr. ing. Floria !oldo"eanu )


8/9

27.Modelarea prin instantierea formelor parametrizateUn mod simplu de a defini o forma consta in aplicarea unei transformari

liniare, unei forme parametrizate.

Exemplu : prin scalarea cu factori egali sau diferiti se obtin forme diferite.

Transformarile afecteaza geometric obiectul dar nu si topologia sa.

Numarul de transformari care pot fi aplicate unei forme parametrizate este

limitat. De exemplu pentru forma Z :

Metoda este utilizata in CAM pentru a incuraja standardizarea partilormecanice. Acestea sunt grupate in clase sau familii, ai caror memebri se

Copyright Prof. dr. ing. Floria !oldo"eanu *


9/9

deosebesc prin cativa parametrii. O familie de forme este o primitiva

generica iar membrii individuali sunt instante ale sale.

Copyright Prof. dr. ing. Floria !oldo"eanu

c3_modelarea_solidelor

Documents