Bacalaureat

Bacalaureat, profil real

19931. Rezolvai ecuaia: 2. Aflai elementele matricii X, dac

3.Calculai expresia , pentru

4.1. Studiai i reprezentai grafic funcia de forma analiznd cazurile

4.2. Aflai n funcie de astfel nct tangenta la aceast curb n punctul de inflexiune a acesteia s formeze cu axa OX un unghi cu msura de 135

5. Fie A i B punctele n care dreapta de ecuaie taie axele de coordonate 1) Scriei ecuaiile dreptelor i tiind c trece prin punctul A i este paralel cu prima bisectoare a axelor de coordinate, iar dreapta trece prin punctul B i este perpendicular pe .2) Aflai astfel nct punctul de intersecie al dreptelor i s fie situat pe dreapta de ecuaie

1994Varianta 1 1. S se rezolve ecuaiile: a) (10p.) b) , unde (10p.) c) (10p.) 2. Demonstrai egalitatea: (7p.)

3. Rezolvai sistemul pentru toate valorile parametrului (10p.)4. Scriei ecuaia cercului ce trece prin originea sistemului de coordonate i prin punctele de intersecie a parabolei cu axele de coordonate. (10p.)5. S se cerceteze i s se construiasc graficul funciei definite prin formula (13p.)6. Pentru ce valori negative ale parametrului este adevrat inecuaia ? (10p.)Varianta 2

1. S se rezolve ecuaiile: a) (10p.) b) , unde . (10p.)

c) (10p.)

2. Demonstrai egalitatea: (7p.)3. Rezolvai sistemul pentru toate valorile parametrului

(10p.)4. Dac este tangent la elipsa atunci . Demonstrai. (10p.)5. S se cerceteze i s se construiasc graficul funciei definite prin formula (13p.)

6. Pentru ce valori pozitive ale parametrului este adevrat inecuaia: ? (10p.)

1995

Varianta 1

1. Se consider funcia definit de formula , unde .

a) S se determine astfel nct funcia s admit asimptota oblic dreapta perpendicular pe dreapta de ecuaie

b) Pentru demonstrai c oricare ar fi .

c) Pentru cercetai i construii graficul funciei , indicnd punctele de extrem i inflexiune.d) Pentru calculai aria a domeniului mrginit de graficul funciei ,asimptota funciei, dreptele i evaluai

e) S se discute, dup parametrul numrul rdcinilor reale ale ecuaiei (35p.)2. O piramid patrulater regulat SABCD cu latura bazei i muchia lateral este intersectat de un plan ce trece prin mijlocul muchiei SA i este perpendicular pe muchia opus. S se calculeze perimetrul i aria seciunii, precum raportul volumelor celor dou corpuri obinute prin secionare. (20p.)3. Pentru ce valori ale parametrilor sistemul , are o infinitate de soluii ? (20p.)4. Aflai mijlocul intervalului n care este adevrat inecuaia:

(15p.)5. Cte rdcini are ecuaia , unde pe intervalul Care sunt ele ? (10p.)Varianta 2

1. Se consider funcia definit de , unde a) S se determine astfel nct s admit ca asimptot oblic dreapta perpendicular pe dreapta de ecuaie b) Pentru demonstrai c

EMBED Equation.3 , oricare ar fi .c) Pentru construii graficul funciei indicnd punctele de extrem i de inflexiune.d) Pentru calculai aria a domeniului mrginit de graficul lui , asimptota sa, dreptele i calculai

e) S se discute, dup parametrul numrul rdcinilor reale ale ecuaiei (35p.)2. Pe muchiile SA, SB i SC ale unei piramide SABC sunt fixate punctele L, M , N astfel nct ,. n ce raport mparte volumul piramidei planul dus prin L, M, N ? (20p.)3. Pentru ce valori ale parametrilor sistemul are o infinitate de soluii? (20p.)4. Aflai mijlocul intervalului n care este adevrat inecuaia

(15p.)5. Cte rdcini are ecuaia , unde pe intervalul Care sunt ele? (10p.)Varianta 3

1. Se consider funcia definit de

a) Calculai

EMBED Equation.3 b) Cercetai i construii graficul lui , indicnd punctele de extreme i inflexiune.c) Calculai aria a domeniului mrginit de graficul lui , asimptota sa, dreptele i evaluai

d) S se discute, dup parametrul numrul rdcinilor reale ale ecuaiei

e) Demonstrai c (35p.)2.O dreapt este tangenta unui cerc n punctul A, iar BC este diametrul cercului. Aflai distana de la punctul A la BC, dac extremitile diametrului se afl la distana i respectiv de tangent. (20p.)

3Aflai toate valorile parametrului pentru care orice numr real este rdcin a ecuaiei (20p.)4. Rezolvai ecuaia: (15p.)5. Rezolvai inecuaia: . (10p.)

Varianta 4

1. Se consider funcia definit de unde sunt parametri reali.

a) S se determine astfel nct funcia s admit asimptot oblic dreapta de ecuaie .

b) Pentru valorile lui i determinate la punctul a) (n particular, ) cercetai i construii graficul funciei , indicnd punctele de extrem i cele de inflexiune.c) S se discute, dup parametrul numrul rdcinilor reale ale ecuaiei Rezolvai ecuaia pentru . (35p.)2. Un dreptunghi cu laturile de lungimi i se rotete n jurul axei ce trece printr-un vrf al lui, paralel cu diagonala dreptunghiului ce nu trece prin acest vrf. Aflai volumul corpului de rotaie. (20p.)3. Aflai toate valorile parametrului pentru care ecuaia are o singur soluie. (20p.)4. Aflai aria domeniului plan delimitat de curbele

5. Rezolvai ecuaia (10p.)BAREM DE NOTARE. Pentru 92-100 puncte se acord nota 10; pentru 80-91 puncte se acord nota 9; pentru 70-79 puncte se acord nota 8; pentru 65-69 puncte se acord nota 7; pentru 60-64 puncte se acord nota 6; pentru 50-59 puncte se acord nota 5; pentru 45-49 puncte se acord nota 4; pentru 35-44 puncte se acord nota 3; pentru 25-34 puncte se acord nota 2; pentru 0-24 puncte se acord nota 1.1996

Profilul matematic- fizic

Varianta 1

1. Fie matricea A(x)

a) S se calculeze b) Dac s se arate c c) S se calculeze *. d) S se determine primitiva a funciei care trece prin punctul A(0;2). e) S se traseze graficul funciei i s se discute numrul rdcinilor reale ale ecuaiei

(30p.)

2. Determinai toate soluiile ecuaiei care satisfac condiia (10p.)3. Fie i Demonstrai c a) Dac sunt numere impare, atunci nu are rdcini n. b) Dac

se divide cu oricare ar fi (20p.) 4. tiind c este cel mai mare numr natural pentru care determinai termenul care l conine pe din dezvoltarea . (15p.)5.La nceputul anului dintr-o sum de bani a fost depus la o cas de economii,iar restul a fost depus la alt cas de economii. La sfritul anului suma depozitelor era de 670 lei, iar la sfritul anului al doilea- 749 lei. S-a constatat c dac depunea banii invers, atunci la sfritul primului an depozitele (mpreun cu dobnda) ar fi fost 710 lei. Presupunnd c la nceput toi banii au fost depui la prima cas de economii, s se determine suma de bani din cont la sfritul anului al doilea. (15p.)6. Baza unei prisme drepte este un romb cu latura de 2cm i unghiul ascuit de 30. nlimea prismei este1cm. Printr-o latur a bazei se duce un plan care formeaz cu planul bazei un unghi de 60. Aflai aria seciunii. (10p.)Varianta 2

1.Fie funcia definit de formula

a) S se determine funcia i s se calculeze *.b) Ce relaie exist ntre parametrii i dac dreapta de ecuaie este asimptot la - ?c) Pentru trasai graficul funciei.d) Discutai numrul rdcinilor reale ale ecuaiei 2. Determinai toate soluiile ecuaiei care satisfac condiia

3. S se determine de gradul 2 astfel nct oricare ar fi*. ( Folosii .) 4. S se determine pentru care suma termenilor al treilea i al cincilea din dezvoltarea binomului este egal cu 135, tiind c suma ultimilor trei coeficieni binomiali este 22.5. ntr-un lac se vars dou ruri. Un vapor pleac din portul A situat pe un mal al primului ru i coboar 24km pn la lac, se deplaseaz timp de 2h pe lac i continu nc 32 km pe al doilea ru pn la portul B. Toat deplasarea a durat 8 h. Dac s-ar mai fi deplasat pe lac 18 km, atunci ar fi parcurs distana de la A la B n 10 h. S se determine vitezele curentelor ambelor ruri tiind c viteza primului este cu 2 km/h mai mare dect viteza celui de al doilea.6. Din punctul A, exterior unui cerc de raz se duce tangenta AP i secanta AQ, care trece prin centrul cercului astfel nct AQ = 2AP. Aflai raza cercului tangent secantei AQ, razei cercului dus n P i prelungirii tangentei AP. Varianta 31.Fie funcia definit de formula

a)S se determine astfel nct: 1) dreptele de ecuaii s fie asimptote verticale; 2) asimptota oblic s aib panta ; 3) punctul de abscis s fie punct de minim local astfel nct

b) Cu parametrii reali determinai s se traseze graficul funciei

EMBED Equation.3 .c) S se calculeze

2. Determinai toate soluiile ecuaiei care satisfac condiia .3. Fie

a) S se determine i astfel nct s fie divizibil cu

b) Dac este ctul mpririi lui la , s se calculeze suma

(Folosii ) 4. S se determine tiind c termenul al 6-lea din dezvoltarea binomului

unde , , este 21, iar coeficienii binomiali de rang 2, 3 i 4 sunt respectiv primul, al 3-lea i al 5-lea termen ai unei progresii aritmetice.5. O fabric de cherestea dispune de 3 gatere de capaciti diferite. n acest moment a sosit un transport de buteni. Dac ar lucra numai gaterul al 2-lea, atunci tierea butenilor ar dura cu 10 zile mai mult dect dac ar lucra numai primul gater, dar cu 15 zile mai puin dect dac ar lucra numai gaterul al 3-lea. Dac ar lucra mpreun primul i al 2-lea gater, atunci lucrarea s-ar executa cu 6 zile mai repede dect dac ar fi executat de gaterele al 2-lea i al 3-lea. S se afle n cte zile ar fi executat lucrarea de fiecare gater n parte.

6. Latura bazei unei piramide triunghiulare regulate este egal cu , iar nlimea dus dintr-un vrf al bazei pe faa lateral opus lui este egal cu . Aflai volumul piramidei. Discuie.Varianta 41. Fie funcia definit de formula , unde

a) S se determine astfel nct graficul funciei s admit o asimptot oblic dreapta de ecuaie

b) Pentru numerele determinate la a) s se traseze graficul funciei .c) S se calculeze aria S a figurii mrginite de graficul lui , asimptota sa oblic i dreptele de ecuaie i

d) S se discute numrul de rdcini reale ale ecuaiei

2. n funcie de parametrul real s se rezolve ecuaia

3. Fie polinomul

a) S se determine astfel nct restul mpririi lui la s fie 12 i s fie divizibil cu

b) S se rezolve ecuaia pentru i determinai la a).c) S se determine i astfel ca s fie rdcin dubl, indicnd i a treia rdcin.4.Fie progresia geometric cu proprietile S se calculeze suma

5. O fabric de mobil a lucrat trei ani. Pe parcursul anului al doilea producia s-a mrit cu p%, iar n anul urmtor cu 10% mai mult dect n anul precedent. S se determine cu cte procente s-a mrit producia n anul al doilea dac se tie c n doi ani producia a crescut cu 48,59%.6. Un segment de cerc determinat de o coard de lungime se rotete n jurul diametrului paralel cu aceast coard. Demonstrai c volumul corpului de rotaie nu depinde de raza cercului.Varianta 5

1. Fie funcia definit de formula

a) S se determine funcia i

b) S se determine pentru ce valori ale parametrului , graficul funciei intersecteaz axa OX.c) S se determine valorile lui pentru care funcia este descresctoare

d) S se traseze graficul funciei pentru i s se discute numrul rdcinilor reale ale ecuaiei

2.Determinai toate soluiile ecuaiei: , care satisfac condiia

3.S se determine restul mpririi polinomului de grad la polinomul

4.S se demonstreze egalitatea

5.Un rezervor se umple prin dou robinete de diametre diferite. Din ambele robinete curg ntr-o zi 14 de ap. A doua zi din robinetul de diametrul mai mic au curs n rezervor 14 de ap ntr-un interval de timp cu 5 ore mai lung dect n prima zi. A treia zi, n acelai interval de timp ca i n ziua precedent au fost deschise ambele robinete pn au curs n rezervor 21 dup care a fost nchis robinetul mic i din cellalt au mai curs 20 de ap. Ct ap curge prin fiecare robinet ntr-o or?6. ntr-un con a crui generatoare formeaz cu planul bazei un unghi de 60 se nscrie o sfer de raz i la distana de planul bazei se duce un plan paralel cu planul bazei conului. a) S se exprime n funcie de volumul conului.

b) S se arate c aria sferei reprezint din aria lateral a conului.

c) S se exprime n funcie de i de diferena a ariilor seciunilor n con i sfer obinute prin intersectarea lor cu planul de seciune.d) Pentru ce valoare a lui valoarea funciei coincide cu din aria bazei conului ? Discuie.1997Varianta 1

1. Se consider funcia a) S se arate c

EMBED Equation.3 este continu, dar nu este derivabil n punctul

b) S se determine intervalele de monotonie ale funciei .

c) S se determine primitivele funciei.

d) S se studieze i s se reprezinte grafic funcia .2. Se dau matricele: , . S se determine astfel nct matricile A,B n aceast ordine s fie divizori ai lui zero.3.n dezvoltarea lui , s se afle termenul care conine , tiind c diferena dintre coeficienii termenilor al treilea i al doilea este 35.4.S se rezolve ecuaia: .

5. Cercul de raz 1 este tangent cercului de raz 3 n punctul C. Dreapta ce trece prin punctul C intersecteaz cercul n punctul A i cercul n punctul B. Aflai lungimea segmentului AC, dac AB

Timp de lucru:4 ore astronomice.

Varianta 21.Se consider funcia . Se cere:a)S se determine parametrii

EMBED Equation.3 astfel nct graficul funciei s intersecteze axa n punctul de ordonat i s admit asimptote verticale i

b) Cu parametrii obinui la punctul a), s se reprezinte grafic funcia.

c)S se calculeze aria mulimii mrginite de graficul funciei ,axa , dreptele i

2.Rezolvai ecuaia .3.Suma coeficienilor binomiali din dezvoltarea lui este cu 240 mai mic dect suma coeficienilor binomiali ai dezvoltrii . S se afle termenul al treilea al primei dezvoltri.4.Fie cercul : i dreapta S se scrie ecuaia cercului care trece prin punctele de intersecie a dreptei cu cercul i este tangent primei bisectoare.5. Fie (R,*), unde S se determine astfel nct legea de compoziie s aib pe element neutru.Timp de lucru: 4 ore astronomice.Varianta 3 1. Se consider funcia

a)S se determine parametrii astfel nct asimptota oblic a funciei s aib panta ; asimptotele verticale s fie i , iar n punctul de abscis funcia s admit un minim egal cu .b) Cu determinai la punctul a) s se reprezinte grafic funcia

c)Calculai pentru determinai la punctul a)

2. Rezolvai ecuaia: .

3. Se consider funcia i se cere:a) pentru , s se scrie termenul liber care l conine pe

b) pentru s se rezolve ecuaia .

4.S se scrie ecuaia cercului tangent axei coordonatelor i cu centrul n punctul de intersecie al dreptelor i

5. Fie G pe care definim legea de compoziie S se arate c (G,*) este grup abelian.

Timp de lucru: 4 ore astronomice.

Varianta 41.Fie funcia

a) S se determine valoarea parametrului pentru care funcia admite un extrem

b) Pentru s se reprezinte grafic funcia.

c) S se calculeze volumul generat prin rotirea poriunii de grafic cuprinse ntre i n jurul axei

2. Rezolvai ecuaia:

3. S se determine cel mai mare numr prim, astfel nct primul termen al dezvoltrii s fie maxim.

4. ntr-un sistem de coordonate ortogonale se consider dreapta de ecuaie i punctul A(2;3). S se determine dreptele i care trec prin A i care formeaz cu dreapta

un unghi de 45.

5. Pe mulimea R a numerelor reale se definete legea de compoziie S se arate c legea definit este asociativ, comutativ i are element neutru. S se determine elementele simetrizabile. Timp de lucru: 4 ore astronomice.Varianta 5

1. Fie funcia

a) S se studieze continuitatea i derivabilitatea funciei.

b) S se traseze graficul lui i s se discute numrul soluiilor ecuaiei.c)S se determine primitivele lui pe domeniul de definiie.

d) S se calculeze aria mulimii determinat de graficul funciei , axa , dreptele i

2. Rezolvai ecuaia:

3. Se d suma a) Calculai b) S se rezolve ecuaia:

4.Fie mulimea G=Q\{-, unde Q este mulimea numerelor raionale. Pe G se definete legea de compoziie Artai c este un grup abelian.5.Vrfurile unui triunghi sunt A(-5;-5) , B(1;7) i C(5;-1). S se scrie ecuaiile dreptelor ce conin latura AB i mediana dus din A. S se afle coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC.Timp de lucru: 4 ore astronomice.

1998 Profilul fizic-matematic,economie,

Informatic-matematic

1. nscriei n spaiul indicat n stnga mulimilor din coloana A valoarea expresiei din coloana B ce i corespunde:

A

B

....................................Z\N ....................................R\Q

.C\R

..N

2. Completai afirmaiile A)-F) astfel nct ele s fie adevrate:

A) Dac planul este perpendicular pe dreapta , iar dreapta este paralel cu dreapta

EMBED Equation.3 atunci planul i dreapta sunt.................................................

B) Dac numrul este rdcin a polinomului de grad mai mare dect doi i a polinomului , dar nu este rdcin a polinomului , atunci se divide cu .....................................................................................................

C) Locul geometric al punctelor din spaiu egal deprtate de trei puncte necoliniare este...........................................................................................................

D) Dac dreapta este paralel cu dreapta i dreapta intersecteaz planul , atunci dreapta i planul ...............................................................................

E) O funcie polinomial de gradul trei poate avea............ puncte de extrem.

F) Fie funcia Dac este un punct de extrem, atunci derivata funciei n punctul ...............................................................................

3. n sistemul de coordonate este reprezentat graficul funciei (fig. a),b),c)). Desenai graficele funciilor (fig.a)) (fig. b)), (fig. c)).4.Fie funciile: Stabilii o coresponden ntre mulimea funciilor date i mulimea graficelor prin care fiecrei funcii i se asociaz graficul ei.

n itemii V-X ncercuii litera ce reprezint rspunsul corect sau afirmaia adevrat.

5.Ecuaia admite o rdcin real pentru

A) 5; B) -5; C) 5,4; D) -5,4; E)

6.n dezvoltarea binomului coeficientul lui este:

A) -7; B) 7; C) -21; D) 21; E) 35.

7. Fie ecuaia pentru

A) 0,4; B) 30; C) 24; D)-24.8. Fie legea de compoziie definit pe prin: unde Legea de compoziie este asociativ dac

9. Ecuaia are: A) o soluie; B) dou soluii; C) trei soluii; D) nu are soluii; E) are o mulime infinit de soluii.

10. Fie matricea A

EMBED Equation.3 , Dac:

11. Fie elipsa de ecuaie Ecuaiile tangentelor la elips, perpendi-

culare pe dreapta sunt..................................................................

12. Se consider funcia i E domeniul ma-xim de definiie. Marcai valoarea de adevr a afirmaiei: ,, Funcia are asimptota i graficul funciei este tangent axei Ox n punctul de abscis

pentru , ncercuind litera A sau F. Dac marcai F, scriei n spaiul indicat rspunsul corect, astfel ca afirmaia s fie adevrat.

13. Fie integrala pentru

14. Fie funcia Calculai

15. S se determine valorile lui pentru care inegalitatea

este adevrat pentru orice

16.Se consider un con circular drept circumscris unei sfere. Suprafaa latera-l a conului este tangent sferei dup un cerc, care mparte suprafaa ei n dou calote cu raportul ariilor S se calculeze raportul dintre volumul corpului care se formeaz prin secionarea conului cu un plan care conine cercul de tangen cu sfera i volumul conului iniial.1999

1.S se calculeze (3p.)2. Dai exemplu de o funcie definit pe intervalul , continu, dar care nu este mrginit pe acest interval.(3p.)3. Fie . S se determine numerele reale dac se tie c

4. Calculai (5p.)5. Rezolvai ecuaia

EMBED Equation.3 dac una din rdcinile ei este (6p.)6. nlimea unui con circular drept este de 6 cm, iar generatoarea conului formeaz cu planul bazei un unghi de 60 O piramid are baza un triunghi dreptunghic isoscel nscris n cercul bazei conului, iar vrful ei este mijlocul generatoarei conului. Aflai volumul piramidei.(5p.)7. Dreapta este tangenta elipsei unde S se determine valoarea parametrului real i coordonatele punctului de tangen (6p.)8. S se determine termenul din dezvoltarea binomului care conine tiind c este cel mai mare numr natural care verific inegalitatea . (7p.) 9. Se consider funcia S se determine i dac se tie c valorile funciei n punctele de extrem sunt -1 i -2. (8p.)10. Fie triunghiul ABC cu unghiul drept C. Medianele CP i BQ sunt perpendiculare i BC. Calculai lungimea medianei BQ. (8p.)Timp de lucru 3 ore.

2000

Profilurile: fizic- matematic, economie, informatic-matematic

1. Stabilii crei mulimi de numere i aparine valoarea expresiei (5p.)

2. Fie funciile Determinai (4p.)3.Determinai valorile parametrului real pentru care ecuaia

admite rdcini. (6p.)

4.Determinai lungimea liniei definit de ecuaia (7p.)

5. Rezolvai inecuaia, unde . (8p.)

6. Determinai exponentul puterii la care trebuie ridicat , folosind formula binomului, astfel nct . (8p.)7. Calculai integrala (9p.)8. Centrul cercului nscris ntr-un triunghi isoscel mparte nlimea lui n segmente de lungime, respectiv de 5 cm i 3 cm. Aflai lungimile laturilor triunghiului. (9p.)9. S se determine pentru ce valori ale parametrului real funcia este monoton descresctoare pe R. (10p.)10. Descompunei n factori ireductibili polinomul peste mulimea C. (9p.)11. Aria seciunii diagonale a unei piramide patrulatere regulate este S. O muchie lateral a ei formeaz cu planul bazei un unghi de msur

Aflai volumul piramidei. (12p.)12. Determinai toate valorile parametrului real pentru care sistemul

are o singur soluie. (13p.)Timp de lucru: 180 min.

20011.ntre ce numere ntregi se afl numrul ?2. Construii o funcie care nu este definit n punctul de abscis 3, dar are limit n acest punct.3. Scriei termenul al 4-lea al dezvoltrii

4. Cercurile de ecuaii i au o coard comun. Scriei ecuaia dreptei ce conine aceast coard.5. Calculai restul mpririi polinomului la dac

6. Rezolvai inecuaia

7. Calculai volumul corpului care se obine la rotaia trapezului curbiliniu mrginit de axa Ox, dreptele i parabola

8. Aflai raza cercului circumscris triunghiului dreptunghic cu lungimea unei catete de 5 cm i raza cercului nscris de 2 cm.9. Rezolvai ecuaia

10. Pentru ce valori reale ale parametrului , funcia admite punctul de minim

11. Rezolvai n sistemul

12. Aria seciunii diagonale a unei piramide patrulatere regulate este egal cu aria bazei. Calculai volumul piramidei, dac lungimea unei muchii laterale este de 5 cm.

20021.Determinai valorea de adevr a propoziiei:,,2. Calculai

3. ntr-un sistem de coordonate, reprezentai grafic dou fincii astfel nct i

EMBED Equation.3 4. Determinai distana de la centrul cercului de ecuaie

pn la originea axelor de coordonate. 5.Pentru ce valori ale lui i numerele i sunt conjugate? 6. Rezolvai ecuaia 7. Calculai intervalele de monotonie ale funciei

8. Raportul dintre aria bazei unui con circular drept i aria seciunii axiale este egal cu . Determinai msura unghiului format de generatoare i planul bazei.9. Aflai rdcinile polinomului , dac se tie c una dintre rdcini este media aritmetic a celorlalte dou.10. Unui tpapez i se circumscrie un cerc. Msura unghiului format de baza mare i latura lateral este , iar msura unghiului format de aceeai baz i diagonal este Aflai raportul dintre aria cercului i aria trapezului.11. Se consider funcia Aflai valorile parametrului real , astfel nct dreapta de ecuaie s mpart subgraficul funciei n dou mulimi de arii egale.12. Pentru ce vallori ale parametrului real ecuaia are o singur rdcin?2003

1 CI-14A. Scriei n form algebric numrul complex, reprezentat geometric prin punctul B(-2;-2).2.CV-5A. Desenul reprezint graficul funciei Pentru ce valori reale ale lui , ecuaia are trei soluii reale distincte?3.CVI-29A. Scriei ecuaia cercului de diametru AB, A(3;-2), B(-1;6).4.CVII-17. Se arunc o moned de 3 ori. Care este probabilitatea ca pajura s cad de 2 ori?5.CII-23B. Termenul al noulea al dezvoltrii binomului nu coni-ne . Calculai A. 6.CV-40B. Calculai 7.CIII-23B. Rezolvai inecuaia

8.CIV-23B. Aria seciunii axiale a unui cilindru circular drept este Q. Aflai aria suprafeei laterale a cilindrului.9.CIV-23. Aflai rdcinile polinomului dac se tie c restul mpririi lui la binomul este egal cu restul mpririi lui la binomul

10.CV-17C. Aflai aria triunghiului determinat de bisectoarele unghiurilor axe-lor de coordonate i tangenta la graficul funciei n punctul M(3;2).11.CIII-30C. Rezolvai ecuaia logaritmic pentru orice parametru real .12.CVI-10C. Medianele AM i BN ale triunghiului ABC sunt perpendiculare. Aflai aria triunghiului, dac se tie c AM BN

2004

1.Funcia este reprezentat grafic. Care propoziie este adevrat?

a) nu exist.

2. Dreapta definit de ecuaia este paralel cu axa absciselor dac

3.Care ecuaie admite o singur soluie pe intervalul

4. Completai caseta liber cu unul din semnele , astfel nct propoziia s fie adevrat. 0.5. Calculai limita 6. Determinai termenul din mijloc al dezvoltrii binomului

7. Rezolvai n R inecuaia D(x), unde

8. Baza unei piramide triunghiulare este triunghiul dreptunghic ABC, unde Determinai volumul piramidei, dac muchiile laterale sunt congruente i au lungimea de 13 cm.

9. Determinai extremele locale ale funciei .10. Rezolvai n R ecuaia

11.Unul dintre zerourile unei primitive a funciei este egal cu 2. Determinai celelalte zerouri ale acestei primitive.12. ntr-un trapez isoscel bazele au lungimi egale cu 21 cm i 9 cm, iar lungimea nlimii este egal cu 8 cm. Determinai raza cercului circumscris acestui trapez.

13. Fie polinomul unde . Se tie c este rdcin a polinomului . Determinai valorile parametrilor reali i

14. Rezolvai n R inecuaia

EMBED Equation.3 2005

1.Scrie n spaiul indicat produsul numerelor

(2 puncte)

2.Valoarea expresiei este numr real pentru

(2 puncte)

3.Dac , atunci expresia scris n termeni de a este (2 puncte)

4.n sistemul cartezian de coordonate alturat sunt reprezentate graficele funciilor

Utiliznd desenul s se compare integralele (2 p.)5.Mihai este un muncitor particular i venitul su sptmnal variaz. Diagrama alturat indic numrul de sptmni i ctigul su 4 sptmni cte 2000 lei, 18 sptmni cte 3000 lei, 14 sptmni cte 4000 lei, 9 sptmni cte 5000 lei,5 sptmmi cte 6000 lei.S se determine venitul mediu sptmnal al lui Mihai.

(3 puncte)

6.Scrie o ecuaie de gradul doi cu coeficieni reali, dac se tie c o soluie a ei este

(5 puncte) 7.Determin pentru care valori reale ale variabilei x este adevrat egalitatea

(5 puncte)

8.Termenul al treilea n dezvoltarea binomului este egal cu (-28). Determin (5 puncte)

9.Determin pentru care valori reale ale variabilei x este adevrat inegalitatea

(6 puncte)

10.Un dreptunghi cu o latur situat pe axa Ox este nscris ntr-un triunghi format de dreptele (vezi desenul). Determin cea mai mare arie posibil pe care o poate avea dreptunghiul nscris n acest triunghi. (6 puncte)

11. O bil de metal cu raza de 8 cm a fost retopit n forma unui con circular drept. Se cunoate c aria lateral a conului obinut este de 3 ori mai mare dect aria bazei. Determin nlimea conului.

(6 puncte)

12. Determin valorile parametrului real n pentru care sistemul

este incompatibil.

(6 puncte)

13.Se consider funcia unde . Determin pentru care valori ale parametrilor a i b funcia are asimptot vertical , iar n admite un extrem local.

(8 puncte)14. O dreapt vertical l mparte triunghiul ABC cu vrfurile B(0;0), A(1;1) i C(9;1) din planul cartezian de coordonate n dou figuri de arii egale (vezi desenul)Utiliznd datele problemei i desenul i scrie ecuaia dreptei l.

(9 puncte)

20061. Dac , atunci valoarea numeric a expresiei este egal cu: (2 p.)

2. Funcia definit prin formula este cresctoare n cadranele (3 p.)

3. Tangenta la curba de ecuaie este orizontal cnd (2 p.)4. Mulimea punctelor din planul complex pentru care este cercul de ecuaie:

(2 p.)

5. Pe o strad din ora, la recensmntul numrului de copii din fiecare familie, s-au obinut urmtoarele rezultate:

Nr. copii () 0 1 2 3 4 5

Nr. familii

6 16 16 6 4 2

Frecvene relative

Frecvene procentuale

a) Completeaz casetele libere din tabel;b) Calculeaz numrul de copii ditr-o familie ( aproximare prin rotunjire). (6 p.)

6.n sistemul cartezian de coordonate este reprezentat graficul funciei Utiliznd desenul determin semnul fiecrui dintre coeficienii c, d, e.

(6 p.)7. Determin pentru care valori ale lui x termenul al patrulea n dezvoltarea binomului este egal cu 280.

(5 p.)

8. Determin mulimea soluiilor ntregi ale inecuaiei (5 p.)

9. Fie date matricele i Determin matricea C, astfel nct

(4 p.)

10.n desenul alturat bisectoarea AD mparte cateta BC a triunghiului dreptunghic ABC n segmente de lungime 5 cm i 3 cm. Utiliznd datele problemeii desenul determin lungimea catetei AC.

(6 p.)

11. Un fermier are 160 m de gard pentru a ngrdi un lot din patru pri. Pentru a face suprafaa lotului ct e posibil mai mare, el poate s utilizeze i un perete, sau o parte din peretele hambarului. (Vezi desenul). Determin aria maximal posibil a lotului obinut, dac lungimea hambarului este de 100 m.

(6 p.)

12. Un rezervor de form cilindric cu diametrul de 60 cm i lungimea de 50 cm (vezi desenul) a fost umplut parial cu ap. n desen segmentul haurat arat seciunea transversal a apei. nlimea apei este de 15 cm. Determin ci cm de ap e necesar de adugat pentru a umplea pe jumtate rezervorul. (Volumul apei care se afl iniial n rezervor este egal cu produsul dintre aria segmentului de cerc i lungimea rezervorului).

(7 p.)

13. n sistemul cartezian de coordonate este reprezentat o parte a graficului funciei f(x), ce terce prin punctele (2; 3,5) i (5; 1,4). Derivata funciei date ntr-un punct oarecare (x; y) este

Dreapta x = p mparte domeniul haurat n dou figuri congruente A i B. Utiliznd datele problemei i desenul determin valoarea lui p.

(8 p.)14. Determin pentru care valori reale ale lui p din punctul B(p;-1) pot fi trasate la graficul funciei trei tangente diferite.

(9 p.)

20071.Numrul este egal cu...

(2 p.)

2.Dac este centrul cercului de ecuaie , atunci (2 p.)

3.Timpul n care 30 de elevi au rezolvat o problem este prezentat n tabelul de mai jos

Timpul (min)15 5 11 6 16 9 12 7 13 8

Nr. elevilor -

3 1 5 2 1 3 4 2 6 3

(2 p.)

Scrie n spaiul indicat mediana acestei serii statistice

4. Ecuaia asimptotei orizontale la a graficului funciei

(3 p.) este...

5.Determin primitiva funciei graficul creia conine punctul

(4 p.)

6. Determin pentru care valori reale ale parametrului m sistemul de ecuaii

este compatibil determinat.

(4 p.)7. n interiorul unui unghi XOY de 600 se gsete un punct M, care se afl la o distan de

10 cm, respectiv 4 cm de laturile OX, OY ale unghiului. Determin distana de la punctul M

la vrful O.

(5 p.)

8. Determin cea mai mic soluie a ecuaiei

(5 p.)

9. Determin pentru cte valori ntregi ale lui a numrul este ntreg.

(6 p.)

10. n desenul alturat EABC este o piramid triunghiular regulat, muchia lateral a creia formeaz cu planul bazei un unghi de 600. Determin raza sferei nscrise n aceast piramid,

dac muchia lateral a piramidei este egal cu a (n desen O este centrul sferei nscrise,

- raza sferei nscrise).

(6 p.)

11. Determin toate valorile reale ale lui a, pentru care tangenta la graficul funciei

n punctul de abscis intersecteaz axa absciselor n unul din punctele intervalului [0;1].

(7 p.)12. n desenul alturat AB reprezint o cale ferat, Iar C un punct care se afl la distana de 8 km de la aceast cale ferat i la distana de km de la punctul A. Pentru a transporta marf din punctul A n punctul C se intenioneaz s se construiasc o osea (rectilinie) din punctul C pn la un punct M al cii ferate. Se tie c preul pentru transportarea unei tone de marf pe calea ferat este de 30 de lei (pentru un kilometru), iar pe osea de 50 de lei (pentru un kilometru). Determin care trebuie s fie distana AM, astfel nct preul pentru transportarea unei tone de marf din A n C (pe calea AMC) s fie minim.

(8 p.)2008I. n itemii 1 3 completai spaiile rezervate astfel nct propoziiile obinute s fie adevrate

1. Dup graficul dat al unei funcii, s se determine limitele laterale ntr-un punct de discontinuitate de spea II

2 p.

2.n dreptunghiul MNPQ punctul F este mijlocul [MQ]. Dac aria trapezului NPQF este egal cu A1, iar aria triunghiului MNF este egal cu A2, atunci

EMBED Equation.3

2 p.

3.Expresia are sens pentru

2 p.II. n itemii 4 8 rspundei la ntrebri, scriind argumentrile i rspunsurile n spaiile rezervate4. Determinai valoarea de adevr a propoziieii litera A, dac propoziia este adevrat sau litera F, dac propoziia este fals.

Dac atunci A F

4 p.

5. Dintre cei 50 de pepeni verzi, pe care i vinde la pia un realizator, 40 sunt copi. Care este probabilitatea ca cumprnd de la acest vnztor oricare doi pepeni, acetea s fie copi?

5 p.

6. Rezolvai n R inecuaia

5 p. 7.Completai caseta cu unul dintre semnele,=, astfel nct propoziia s fie adevrat.

Dac , atunci A B

6 p.

8.Determinai coordonatele piciorului perpendicularei, duse din punctul A(-1;2) pe dreapta l: 3x-5y-21=0 7 p.

III. n itemii 9 12 scriei pe foaia de test rezolvrile complete.9. Determinai valorile reale ale parametrului m, pentru care soluiile ecuaiei , verific condiia

7 p.

10. Rezolvai n R ecuaia

8 p.

11. Seciunea axial a unui con circular drept este un triunghi echilateral. Determinai raportul dintre volumul conului circular drept i volumul corpului sferic nscris n acest con.

8 p.12. Pentru construcia edificiului unui spital, fundamentul cruia are forma unui dreptunghi MNKL cu aria 400 m2, este necesar un lot de pmnt de form dreptunghiular ABCD, astfel nct edificiul spitalului s fie situat la distanele de 36 m i 16 m de la marginile lotului. Determinai lungimea i limea fundamentului edificiului spitalului astfel nct aria lotului ABCD s fie minim.

8 p. 2009I. n itemii 1 3 completai casetele astfel, nct propoziiile obinute s fie adevrate.

1. Valoarea expresiei este egal cu

2.Pe desen sunt reprezentate graficele funciilor i Scriei n caset toate valorile lui x pentru care

3. n triunghiul ABC, reprezentat pe desen, punctul N este mijlocul segmentului [AB] iar punctul M este mijlocul segmentului [NB]. Pe desen este haurat % din aria ABC.II. n itemii 4 8 rspundei la ntrebri, scriind argumentrile i rspunsurile n spaiile rezervate4. n cutia de bomboane Lapte de pasre, 6 bomboane sunt cu umplutur de culoare alb, 6 cu umplutur de culoare galben i 8 cu umplutur de culoare cafenie. Care este probabilitatea c lund la ntmplare 2 bomboane din aceast cutie s fie cu umplutur fe culoare cafenie?

5 puncte5. Calculai dac se tie c numerele i sunt soluiile ecuaiei

5 puncte

6. Punctele A(0;-2), B(2;0) sunt vrfurile triunghiului ABC. Aria ABC este egal cu 8 un. p. Aflai coordonatele vrfului C, dac se tie c punctul C aparine bisectoarei cadranelor II i IV. 8 puncte7. Rezolvai n R inecuaia

6 puncte

8. Fie funcia Determinai coordonatele punctului graficului funciei f astfel nct tangenta la grafic dus n acest punct este perpendicular pe dreapta l: . 8 puncte

III. n itemii 9 12 scriei pe foaia de test rezolvrile complete.9. Determinai extremele globale ale funciei

8 puncte10. Cilindrul circular drept i conul circular drept au baza comun i nlime comun. Ariile suprafeelor laterale ale lor se raport ca 4:3. Calculai msura unghiului format de generatoarea conului i planul bazei conului.

6 puncte

11. Fie funcia Unul dintre punctele comune ale graficului derivatei funciei f

i graficul unei primitive a funciei f are abscisa Determinai abscisele celorlalte puncte comune ale acestor dou grafice.

8 puncte

12. Determinai toate valorile reale ale parametrului m, pentru care ecuaia nu admite soluii reale.

7 puncte2010

I. n itemii 1 4 completai casetele astfel, nct propoziiile obinute s fie adevrate.

1. Completai caseta astfel nct propoziia obinut s fie adevrat: 2p.2. n desenul alturat este reprezentat graficul funciei .

Scriei n fiecare din casete cte unul dintre semnele 3p. >,