derivarea functiilor compuse,inverse

7
 7. Derivabilitatea 7. Derivabilitatea func func ţ ţ iei compuse iei compuse Teoremă Teoremă: Fie intervalele I,J R,  f : J      I şi u:I      J două funcţii astfel încât u u este derivabilă este derivabilă î  î n n x  x 0 0  I, iar f este derivabilă f este derivabilă î  î n u(x u(x 0 0  )  )  J. Atunci funcţia compusă f o u  f o u : I R este derivabilă este derivabilă î  î n x  x 0 0  şi  ( ) ( ) ) ( ' )) ( ( ' 0 0 0 '  x u  x u  f  x u  f  = o  Demons tra  Demons traţ ţ ie. ie. Considerăm funcţia auxiliară unde t 0 = u(x 0  ). Deoarece f este derivabilă în t 0 rezultă imediat că h este continuă în t 0 . Pentru orice x  x 0  , avem egalitatea: (1). Deoarece iar u este derivabilă în x 0  , trecând la limită în relaţia (1) cu x   x 0  , obţinem ceea ce încheie demonstraţia. Cum x 0  este arbitrar, deducem următorul rezultat: dacă I, J sunt intervale de numere reale şi f: J   R, u : I   J sunt derivabile pe J, respectiv pe I, atunci f o u este derivabilă pe  I şi are loc următoarea regulă de derivare regulă de derivare: = = 0 0 0 0 0  ), ( ' , ) ( ) ( ) ( , : t t t  f t t t t t  f t  f t h  R  J h 0 0 0 0 ) ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( (  x  x  x u  x u  x u h  x  x  x u  f  x u  f = )) ( ( ' ) ( ' ) ( )) ( ( )) ( ( lim 0 0 0 0 0  x u  f t  f t h  x u h  x u h  x  x = = = = ) ( ' )) ( ( ' ) )( ( ) )( ( lim 0 0 0 0 0  x u  x u  f  x  x  x u  f  x u  f  x  x = o o  ( ) ( ) ) ( ' )) ( ( ' '  x u  x u  f  x u  f  = o Compunerea a două func ţ ii derivabile este o func ţ ie derivabilă. Folosind formulele privind derivarea funcţiilor elementare şi teorema de mai sus, vom alcătui un tabel pentru calculul derivatelor funcţiilor compuse.  Exemplu.  Exemplu. Să considerăm funcţia f:R->R, f(x) = x n (n natural). Avem f '(x) = nx n-1 , de unde rezultă: (u n (x)) ' = (f ou)’(x) = f '(u(x)) ·u’(x) = nu n-1 (x) u'(x). Am demonstrat deci formula: (u n )' =nu n-1 ·u'. Analog se justifică celelalte formule din tabelul de mai jos

Upload: cosmin-chirita

Post on 21-Jul-2015

951 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

7. Derivabilitatea7. Derivabilitatea func func iei compuse iei compuseTeorem Teorem: :Fie intervalele I,JR,f : JIiu:IJ dou funcii astfel nct uu este derivabileste derivabil nn x x0 0I, iar f este derivabilf este derivabil nn u(x u(x00 ) ) J. Atunci funcia compus f o u f o u : I R este derivabileste derivabil nn x x0 0 i ( ) ( ) ) ( ' )) ( ( '0 0 0'x u x u f x u f = oDemonstra Demonstra ie. ie.Considerm funcia auxiliar unde t0= u(x0). Deoarece f este derivabil n t0rezult imediat c h este continu n t0. Pentruorice x x0, avem egalitatea: (1). Deoareceiar u este derivabil n x0, trecnd lalimit n relaia (1) cu x x0, obinem ceea ce ncheie demonstraia.Cum x0 este arbitrar, deducem urmtorul rezultat: dac I, J sunt intervale de numere reale i f: JR, u : IJsunt derivabile pe J, respectiv pe I, atunci f o u este derivabil peI i are loc urmtoarea regul de derivare regul de derivare:== 0 0000 ), ( ',) ( ) () ( , :t t t ft tt tt f t ft h R J h0000) ( ) ()) ( ()) ( ( )) ( (x xx u x ux u hx xx u f x u f =)) ( ( ' ) ( ' ) ( )) ( ( )) ( ( lim0 0 0 00x u f t f t h x u h x u hx x= = = =) ( ' )) ( ( ') )( ( ) )( (lim0 0000x u x u fx xx u f x u fx x =o o( ) ( ) ) ( ' )) ( ( ''x u x u f x u f = oCompunerea a dou funcii derivabile este o funcie derivabil.Folosind formulele privind derivarea funciilor elementare i teorema de mai sus,vom alctui un tabel pentru calculul derivatelor funciilor compuse.Exemplu.Exemplu. S considerm funcia f:R->R, f(x) = xn(n natural). Avem f '(x) = nxn-1, de unde rezult:(un(x)) ' = (fou)(x) = f '(u(x))u(x) = nun-1(x) u'(x). Am demonstrat deci formula: (un)' =nun-1u'. Analog se justific celelalte formule din tabelul de mai jos'ln1ua unu( ) '11'uu nun nn =( ) 'cos1'2uutgu =( ) 'sin1'2uuctgu =Derivata luif o u f o u(un)=nun-1u(ua)'=aua-1u'(au) =aulnau'(eu)=euu'(loglog a au) u) = =(sin u)' = cos u u'(cos u)' = - sin u u'Funcia compusfo uu un nu ua aa au ue eu uloglog a au usin ucos utg uctg uarcsin uarccos uarctg uarcctg u( ) '11' arcsin2uuu =( ) '11' arccos2uuu =( ) '11'2uuarctgu +=( ) '11'2uuarcctgu + =Exemple. 1. Pentru a calcula derivata funciei f(x) = (x2+x)3 , notm x x2 2+x= u(x) +x= u(x) i avem f '(x) =(u(x)3) = 3 u2(x) u '(x) = 3(x2+x)2(2x+ 1).2. Pentru a calcula derivata funciei, notm x2= u (x). f '(x) = (eu) ' = eu u' =2) (xe x f =22xxeObserva Observa ie.ie. Dac funcia u este la rndul ei o funcie compus, procedeul seaplic n mod repetat.Exemple. Exemple.( ) ( )( ) ( ) ( ) x xxxxxx x xx x xcos sin 23 sin13 sin3 sin13 sin ln ) 22 cos 2 ln 2 sin 2 ln 2 2 ) 12'22'22 sin'2 sin'sin2 2 2+= + += + = =Observa Observa ie.ie. Se poate arta c dac u i v sunt dou funcii derivabile i u este strict pozitiv,ntr-adevr, cum ( ) ' ln '1'u u v u v uv v + =( ) ( ) ' ln ''ln ' )' ln (1 ln'ln'u u v u u vuuv u v u u v e e uv v v u v u v v + =||

\| + = = =8. Derivabilitatea8. Derivabilitatea func func iei inverse iei inverseVom prezenta o teorem care stabilete condiiile ca funcia invers a unei funcii date, s fie derivabil, ct si o formul de calcul a derivatei acesteia.Teorem Teorem: :Fie I, J intervale si f: I J,o funcie continu si bijectiv. Dacf este derivabil n x0 i f '(x0) 0, atunci funcia invers f -1: J I este derivabil n punctul y0=f(x0) i( ) ( )) ( '100'1x fy f =Observa Observa ii. ii.1. Dac f '(x0) = 0, tangenta n x0 la graficul lui f este orizontal. Rezult c tangenta n y0=f(x0) la graficul lui f -1este vertical, decif -1are n y0 derivat infinit.2. Cum x0este arbitrar, obinem rezultatul:Demonstra Demonstra ie. ie.Fie yy0 oarecare; atunci ecuaia f(x) =y are soluie unic.(deoarece f este bijectiv) i x = f -1(y). Avem x x0 i n plusCum funcia f -1 este continu (vezi capitolul continuitate), avem de unde obinem x x0 . Trecnd la limit n (*) cu x x0obinem concluzia cerut.( )0000001 1) ( ) (1) ( ) () (x xx f x fx f x fx xy yy f y f== 0 01 1) ( ) ( lim0x y f y fy y= = (*)dac I, J sunt intervale, f:I->J este bijectiv i derivabil pe I cu f ' 0 pe I , atuncif -1: JI este derivabil pe J i( )1'1'1=f ffoExemple. 1. Funcia f:RR, f(x) = x3 +x este bijectiv i derivabil cu f ' 0. Atunci f -1 este derivabil i ne propunem s calculm (f -1)'(2).Ecuaia f(x) = 2 are soluia unic x0= 1. Avem f (x) = 3x2+ 1, deci f (1) = 4, de unde:( )41) 1 ( '1) 2 ('1= =ff