0 r aa () - profs.info.uaic.rofliacob/an1/id_05-06/manualul/tema 3_limite... · polinomiale,...

47
Tema 3 Limite, continuitate, derivabilitate şi diferenţiabilitate pentru funcţii reale de o variabilă reală. Aplicaţii. Modulul 3.1 - Limite de funcţii şi funcţii continue. Funcţiile definite pe mulţimi abstracte au în general puţine proprietăţi şi din acest motiv, puţine aplicaţii în rezolvarea unor probleme concrete. Proprietăţile generale şi operaţiile algebrice cu funcţii depind în primul rând de structurile algebrice definite pe mulţimile X şi Y. , cu : XY f X Y În cazul se numeşte funcţie reală de o variabilă reală şi este destul de generală; de aceea în liceu s-au studiat funcţiile reale de o variabilă reală concrete, adică funcţii prin care legea de asociere a lui xX cu yY este dată printr-o expresie analitică precizată şi graficul lui f, G , : XY f X Y R, f R 2 =R × R. Clasa funcţiilor de la R la R cuprinde următoarele funcţii concrete: funcţii polinomiale, funcţii trigonometrice directe şi inverse, funcţia putere, funcţia exponenţială, funcţia logaritmică, funcţiile etajate (sau în scară) ş.a. Vom nota cu “trig” una dintre funcţiile trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă; cu “arctrig” una dintre funcţiile trigonometrice inverse: arcsinus, arccosinus, arctangentă, arccotangentă; prin “exp” exponenţiala de baza a (a > 0; a 1); prin log a funcţia logaritmică de bază a (a > 0; a 1); prin (·) a funcţia putere de exponent a (aR) şi prin 1 R :RR identitatea pe R (1 R (x)=x, xR) şi prin const funcţia constantă. Definiţia 3.1 1] Clasa de funcţii reale: (1) E 0 () { } const;1 ; exp ; ; log ; trig; arctrig a a a = R se numesc funcţii elementare de bază. 2] O funcţie : cu , R f X Y XY se numeşte funcţie elementară dacă se obţine din E 0 prin aplicarea de un număr finit de ori a celor patru operaţii aritmetice: adunarea, scăderea, înmulţirea, împărţirea şi a operaţiei de compunere a două funcţii. Notăm cu E mulţimea funcţiilor elementare. Observaţii 1. Orice funcţie elementară poate fi dată printr-o formulă adică printr-un număr finit de simboluri matematice aplicate funcţiilor elementare de bază din E 0 . 2. O funcţie elementară : cu , R f X Y XY se notează şi prin: y = f(x) cu x X în loc de f:X Y3. Dacă mulţimea de definiţie a lui f nu este precizată se subînţelege că ea este mulţimea, notată: D f ={x R | f(x) R}, a punctelor x din R pentru care are sens f(x) în R. Mulţimea D f se numeşte împropriu domeniu maxim de definiţie al funcţiei f, fără a avea în vedere sensul topologic al conceptului de domeniu. 47

Upload: others

Post on 08-Sep-2019

15 views

Category:

Documents


7 download

TRANSCRIPT

Tema 3 Limite, continuitate, derivabilitate şi diferenţiabilitate pentru funcţii reale

de o variabilă reală. Aplicaţii.

Modulul 3.1 - Limite de funcţii şi funcţii continue. Funcţiile definite pe mulţimi abstracte au în general puţine proprietăţi şi din acest motiv, puţine aplicaţii în rezolvarea unor probleme concrete. Proprietăţile generale şi operaţiile algebrice cu funcţii depind în primul rând de structurile algebrice definite pe mulţimile X şi Y.

, cu :X Y f X Y→

În cazul se numeşte funcţie reală de o variabilă reală şi este destul de generală; de aceea în liceu s-au studiat funcţiile reale de o variabilă reală concrete, adică funcţii prin care legea de asociere a lui x∈X cu y∈Y este dată printr-o expresie analitică precizată şi graficul lui f, G

, :X Y f X Y⊂ R, →

f ⊂ R2 =R × R. Clasa funcţiilor de la R la R cuprinde următoarele funcţii concrete: funcţii polinomiale, funcţii trigonometrice directe şi inverse, funcţia putere, funcţia exponenţială, funcţia logaritmică, funcţiile etajate (sau în scară) ş.a. Vom nota cu “trig” una dintre funcţiile trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă; cu “arctrig” una dintre funcţiile trigonometrice inverse: arcsinus, arccosinus, arctangentă, arccotangentă; prin “exp” exponenţiala de baza a (a > 0; a ≠ 1); prin log a funcţia logaritmică de bază a (a > 0; a ≠ 1); prin (·)a funcţia putere de exponent a (∀a∈R) şi prin 1R:R→R identitatea pe R (1R(x)=x, ∀x∈R) şi prin const funcţia constantă. Definiţia 3.1 1] Clasa de funcţii reale: (1) E0 ( ){ }const;1 ; exp ; ; log ; trig; arctriga

a a= ⋅R se numesc funcţii elementare

de bază. 2] O funcţie : cu , Rf X Y X Y→ ⊆ se numeşte funcţie elementară dacă se obţine din E0 prin aplicarea de un număr finit de ori a celor patru operaţii aritmetice: adunarea, scăderea, înmulţirea, împărţirea şi a operaţiei de compunere a două funcţii. Notăm cu E mulţimea funcţiilor elementare. Observaţii 1. Orice funcţie elementară poate fi dată printr-o formulă adică printr-un număr finit de simboluri matematice aplicate funcţiilor elementare de bază din E0. 2. O funcţie elementară : cu , Rf X Y X Y→ ⊆ se notează şi prin: “y = f(x) cu x ∈ X în loc de f:X → Y” 3. Dacă mulţimea de definiţie a lui f nu este precizată se subînţelege că ea este mulţimea, notată: Df={x ∈ R | f(x) ∈ R}, a punctelor x din R pentru care are sens f(x) în R. Mulţimea Df se numeşte împropriu domeniu maxim de definiţie al funcţiei f, fără a avea în vedere sensul topologic al conceptului de domeniu.

47

Exemple 1o ( ): , cunf f x x n f→ = ∈ ⇒R R N ∈ E (funcţia putere cu ).

.

Nn∈

( ) ( )( ) ( )n ori

1 1 1 cu 1 ,R R R R Rdef

nf x x x x x x= = ⋅ ⋅ ⋅ = ∀ ∈

2o ( ) ( ) [ ]: cu şin nf f x x X f→ = ∈ ⇒R R P P R ∈ E funcţia polinomială. 3o ( ) , 0nf x n x f= ≥ ⇒ ∈ E (funcţia radical de ordin n).

4o shsh , ch , th2 2 ch

x x x x xdef x

x x

e e e e x e ex x xx e e

− − −

− += = = =

−+

sunt funcţii trigonometrice hiperbolice ( )2 2ch sh 1x x− = şi sh , ch , thx x x∈ E. 5o Dacă avem relaţia binară , atunci există o mulţime maximă 2RX Xρ ⊂ × ⊂A X⊆ a.î. relaţia RAρ ⊆ × este o funcţie f care se numeşte funcţia naturală asociată relaţiei binare ρ. Când se spune “funcţia elementară ( )y f x= ” este vorba de funcţia naturală asociată relaţiei binare ρ de la R la R. Definiţia 3.2 Fie , cu : , :R Rf g f A g B∈ →E → , atunci se definesc:

( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ){ }

( ) ( )( )

0 0

0

: cu ;

: cu ;

2 : şi | 0 cu

;

R

R

R

f g A B f g x f x g x x A B

f g A B f g x f x g x x A B

f A B B t B g t Bg

f xf x x A Bg g x

⎧ ± ∩ → ± = ± ∀ ∈ ∩⎪

∩ → = ∀ ∈ ∩⎪⎪⎪

∩ → = ∈ ≠ ⊆⎨⎪⎪⎛ ⎞⎪ = ∀ ∈ ∩⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩

i i i

numite: suma algebrică, produs, cât al funcţiilor f şi g. Exemple 1o : R Rf A⊆ → cu proprietatea că există ( )a.î. ,Rc f x c x A∈ = ∀ ∈ , funcţia constantă, notată f = c; pentru c = 0, funcţia f = 0 este funcţia identic nulă pe A sau funcţia nulă pe A. y

2o ( ) { },; 0

: , max; 0

R Rdef x x

f f x x xx x

≥⎧→ = = =⎨− <⎩

x−

funcţia modul (normă pe R)

3o ( ); 0

: , sig0 ; 0

R Rx xx nf f x x

x

⎧ ≠⎪→ = =⎨⎪ =⎩

0 x

y

0 x

y=1

y=- 48 1

funcţia signum. 4o f:R→R dată prin: f(x) este cel mai mare

y

0 x1 2 3-1-2-3

întreg n cu proprietatea n ≤ x, adică ( ) { }sup |Zf x n n= ∈ ≤ x numită funcţia

parte întreagă notată prin [x] sau x* sau E(x). 5o ( ) [ ]: ,R Rg g x x→ = − x se numeşte

yfuncţia partea zecimală şi numărul [ ], Rx x x− ∈ se numeşte partea zecimală a

lui x, notat şi prin . Se ( ) { } [ ]def

g x x x x= = −

constată din definiţie că avem ( )0 1, Rg x x≤ < ∀ ∈ , deoarece pentru Rx∈ , partea înteagă a lui x, [ ] Zx ∈ .

Limite de funcţii reale Vom prezenta conceptul de limită a unei funcţii într-un punct care este o generalizare naturală a limitei unui şir numeric ( )( ): ,N R nf f n x∀ → = şi apoi conceptul de funcţii continue într-un punct care este un caz particular de funcţii cu limită. Ideea centrală privind existenţa unei funcţii f cu limita un element l într-un punct x0, este exprimată prin faptul că la orice punct x apropiat de x0, imaginea sa prin f este suficient de apropiată de l; f este continuă în x0, dacă la orice două puncte apropiate între ele şi vecine cu x0 corespund imagini prin f apropiate între ele. Noţiunea de limită a unei funcţii : R Rf A⊆ → are sens în x0 punct de acumulare pentru A, adică '

0 Rx A∈ ∩ . Definiţia 3.3 (Definiţia cu vecinătăţi) Fie , :R R,A f A⊆ →

'0şiR Rl x A∈ ∈ ∩ .

1] Funcţia f are limită în punctul x0 egală cu elementul l, notată: ( )

0

limx x

f x→

= l , dacă şi numai dacă, avem:

( ) ( ) ( ) { }( ) ( )0 01 , a.î.V VV l U x x U A x f x∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ∩ − ⇒ ∈V

2] Fie '0şi RB A x B⊆ ∈ ∩ . Dacă există ( )( )

01lim |Bx x

f x l→

= atunci spunem că l1

este limita lui f în x0 relativ la mulţimea B, notată: ( ) ( )

01 1lim R

x xx B

f x l l→∈

= ∈ .

Observaţii 1. Condiţia '

0 0sauRx A x B∈ ∩ ∈ ∩' R ne asigură că există puncte

0 x

49

x ∈ A respectiv x ∈ B cu { }( )0 a.î. 0x x x U A x≠ ∀ ∈ ∩ − există imaginea sa prin

( ), Rf f x ∈ . 2. Punctul x0 ∈ A’ poate fi din A: x0 ∈ A sau x0 ∉ A. 3. Funcţia f nu are limită în x0 sau ∃ ( )

0

limx x

f x→

( )2 l∀ ∈R, ∃V∈V(l) a.î. ∀U∈ V(x0), { }( ) ( )0x U A x f x V∃ ∈ ∩ − ⇒ ∉ Teorema 3.1 (de caracterizare a funcţiilor cu limită) Fie '

0 , şi :R, R R RA x A l f A⊆ ∈ ∩ ∈ → . Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i) ( )

0

limx x

f x→

= l (definiţia cu vecinătăţi)

(ii) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )0 0

'0

0, , a.î. cu 0 ,

, ;R R

x x A d x x x x

d f x l f x l l x A

∀ε > ∃δ ε ∀ ∈ < = − < δ⇒

= − < ε ∈ ∈ ∩

0

(definiţia cu (ε,δ))

(iii) ( ) ( )0 00, şi

R R

n n n nnx A x x x x f x l

⎛ ⎞⎛ ⎞∀ ⊂ ≠ → ⇒ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Demonstraţie I (i) ⇒ (ii) Dacă (i) adevărată pentru ∀ε > 0 dat luăm ( ) ( ) ( )0, şiV l l l U x= − ε + ε ∈ ∃ ∈V V care poate fi de forma ( )0 0, cuU x x= − δ + δ δ > 0 corespunzător lui

{ }( ) ( ) ( )0 0şi a.î. ,x x A x U d f x l f x l⎡ ⎤ε ∀ ∈ − ∩ ⇔ = −⎣ ⎦ < ε tocmai (ii)

II (ii) ⇒ (iii) Presupunem (ii) adevărată şi fie ( ) 0n nx A

≥∀ ⊂ cu

0 şin n 0x x x x≠ →R

. Pentru ∀ε > 0 dat alegem ( )0, 0 a.xδ ε > î.

( )( )

( ) ( )0 00 , ,ii

n n n nn n d x x x x d f x l f x lδ ⎡ ⎤∀ ≥ ⇒ < = − < δ⇒ = − < ε⎣ ⎦

adică ( )R

nf x → l şi (iii) adevărată. III (iii) ⇒ (i) Fie (iii) adevărată şi demonstrăm implicaţia prin metoda reducerii la absurd. Presupunem (i) falsă ( ) a.î.V l⇔ ∃ ∈V

( ) { }( ) ( )0 0, (VU x x A x U f x V∀ ∈ ∃ ∈ − ∩ ⇒ ∉ 3)

Pentru n ≥ 1 luăm ( )0 0 01 1 1, | 0 ,U x x x A d x xn n n

⎛ ⎞ ⎧= − + = ∈ < < ⎫⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎩ ⎭n

şi alegem

0 0( { }) ( )n nx U A x f x V x x∈ ∩ − ∉ ⇔ ⎯⎯→Ra. î. cu

( )0, şi Rn n nx A x x f x∈ ≠ ⎯⎯→l este absurd, deoarece avem (iii) adevărată, deci

(3) este falsă şi atunci este adevărată negaţia lui (3) adică (i). ◄ Observaţii 1. După teorema 3.1, condiţia (ii) este caracterizarea limitei cu (ε,δ) şi condiţia (iii) este caracterizarea limitei cu şiruri. Fiecare dintre ele poate fi considerată

50

definiţie pentru limita unei funcţii în punct şi definiţia cu vecinătăţi devine atunci condiţie de caracterizare. 2. Folosind condiţia de caracterizare a limitei (iii) se vor demonstra proprietăţi ale funcţiilor cu limită folosind proprietăţi cunoscute ale şirurilor numerice convergente în R. 3. Echivalenţa (ii) ⇔ (iii) se numeşte criteriul Heine pentru existenţa limitei. Teorema 3.2 (Cauchy-Bolzano) Fie , atunci: 0 : şiR, R, R RA x A f A l′⊆ ∈ ∩ → ∈

( ) ( )( ) { }

( ) ( )0

' ''0 0

'0 ' ''

''0

0, , 0 a.î. şi

lim 4cux x

x x x A x

x xl f xf x f x

x x→

⎧∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈ −⎪⎪ ⎧ − < δ= ⇔ ⎨ ⎪ ⇒ − < ε⎨⎪

− < δ⎪⎪ ⎩⎩

Demonstraţia acestei teoreme de caracterizare pentru existenţa limitei unei funcţii în punct în bibliografie ([13]; [16]) ◄ Observaţii 1. Fie ( ){ } '

1 1 0 0 1cu şi RB A B x A x x x B⊂ = ∈ < ∈ ∩ atunci

( ) ( ) ( )0 0

0

lim lim 0not not

sx x x xx B x x

f x f x f x→ →∈ <

= = − l=

A

este limita la stânga în x0 a lui f.

Pentru cu 2B ⊂ { }2 0 0| RB x A x x şi x B′= ∈ > ∈ ∩2 atunci

0 0

2 0

0lim ( ) lim ( ) ( 0)not not

dx x x xx B x x

f x f x f x→ →∈ >

= = + l= este limita la dreapta în x0 a lui f.

2. dacă ' '0 1 2 , atunci :Rx B B∈ ∩ ∩

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0

0 0

5 lim lim lim 0 0x x x x x x

x x x x

f x l f x f x l f x f x l→ → →

< >

= ⇔ ∃ = = ∃ − = + = 3.

Limita unei funcţii în punct este o noţiune locală deoarece existenţa şi valoarea ei depind de comportarea funcţiei pe o vecinătate a punctului.

4. : Rf A→ este funcţie lipschitziană pe 0 a.î.def

A L⇔∃ >

( ) ( )' '' ' '' ' '',x x A f x f x L x x∀ ∈ ⇒ − ≤ − . După teorema 3.2 (Cauchy-Bolzano),

o funcţie f lipschitziană pe A are limită finită în fiecare '0 Rx A∈ ∩ .

Teorema 3.3 (Proprietăţi ale funcţiilor cu limită în punct) Fie care admite limite finite în x'

0 şi , :R, R RA x A f g A⊂ ∈ ∩ → 0, atunci avem:

51

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

{ }( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0

0 0 0

0

0

1

2

3

4 1 0

0

5

lim lim lim ;

lim lim , ;

lim lim lim ;

Dacă lim 0, atunci /

0;

Dacă 0 şi lim 0 lim

Rx x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x

x x

p f x g x f x g x

p f x f x

p f x g x f x g x

p f x l U V x

x A x U f x

p g x g x

→ → →

→ →

→ → →

± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦

λ = λ ∀λ∈⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∃ = ≠ ∃ ∈

∀ ∈ − ∩ ⇒ ≠

≠ ≠ ⇒( )( )

( )( )

0

0

0

lim.

limx x

x xx x

f xf xg x g x

→→

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦

Demonstraţia teoremei este imediată folosind caracterizarea limitei într-un punct cu şiruri şi operaţiile algebrice cu şiruri convergente în R. ◄ Observaţie. Teorema 3.3 este valabilă dacă ( ) ( )

0 0

lim şi limR Rx x x x

f x g x→ →

∈ ∈

cu respectarea convenţiilor privind operaţiile algebrice cu elemente din R , enumerate în definiţia mulţimii. Exemple.

1o nu există ( )1; 0

sign 0 ; 01; 0

xf x x x

x

>⎧⎪= = ⎨⎪− <⎩

= ( )0

lim ,x

f x→

avem ( ) ( )0 0 1 0 0 1f f+ = ≠ − = − .

2o Funcţia Dirichlet: nu are limită în nici un punct x( ) 1;0 ;

QR-Q

xf x

x∈⎧

= ⎨ ∈⎩0 ∈ R.

Pentru ∀x0 ∈ R există la fel există

.

( )' ' ' '0 0cu , şi

R RQn n n nx x x x x f x∈ → ≠ 1;→

'' cuR-Qnx ∈ ( )'' '' ''0 0, şi 0

R R

n n nx x x x f x→ ≠ →

Definiţia 3.4 1] Fie '

0 şi :R, R RA x A f A⊂ ∈ ∩ → , atunci avem:

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

0

0

01

0

02

0

0, , 0 a.î. culim 6

06

0, , 0 a.î. culim 6

0

def

x x

def

x x

c c x x Af x

x x f x c

c c x x Af x

x x f x c

⎧ ⎧∀ > ∃δ > ∀ ∈⎪= +∞⇔⎪ ⎨< − < δ⇒ >⎪ ⎪⎪ ⎩

⎨⎧∀ < ∃δ > ∀ ∈⎪ ⎪= −∞⇔ ⎨⎪ < − < δ⇒ <⎪⎪ ⎩⎩

2] Dacă { }'0 ,x A∈ ∪ +∞ ∞ , avem:

52

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2

0, 0 a.î. culim 7

>7

0, 0 a.î. culim 7

<

def

x

def

x

x Af x l

x f x l

x Af x l

x f x l

ε

→∞ε

ε

→−∞ε

⎧ ∀ε > ∃δ > ∀ ∈⎧⎪= ⇔⎪ ⎨ δ ⇒ − < ε⎪ ⎪⎪ ⎩⎨

∀ε > ∃δ > ∀ ∈⎧⎪ ⎪= ⇔ ⎨⎪ δ ⇒ − < ε⎪⎪ ⎩⎩

Observaţie. Din (6) şi (7) se pot caracteriza în acelaşi mod şi cazurile: ( ) ( )lim ; lim

x xf x f x

→∞ →−∞= ±∞ = ±∞ .

Exemplu. ( )( )

0

01

00

1 00

;

lim lim sign ;

0 ;

nnn n m

x x mmm

an m

baaaP x ax xx n mbbQ x bb

x x n m

→∞ →∞

⎧ =⎪⎪

+ + ⎪⎛ ⎞⎪= = ⎨⎜ ⎟⎝ ⎠⎪+ +⎪ <⎪⎪⎩

∞ > .

Teorema 3.4 (Limita compunerii de funcţii).

Fie '0, , : şi :R, R R RA B x A f A g B⊂ ∈ ∩ → →

cu { }( ) { }0 1f A x B l− ⊂ − . Dacă există ( )0

'1 1lim , R

x xf x l l B

→= ∈ ∩ şi există

( )0

2limx x

g x l→

= , atunci există ( )( )0

2limx x

f g x l→

= .

Demonstraţie. Fie ( ) 0 00şin n nn

x A x x x x≥⊂ ≠ → notăm

( ) ( ) ,n n 1f x y f A n= ∈ ≥ . Cum

{ }( ) { } { } ( )0

0 1 1 1şi lim limn nx x n 1f A x B l y B l l f x y l→ →∞

− ⊂ − ⇒ ∈ − = ⇒ = . Prin ipoteză

există ( ) ( ) ( )( )0

2 2limR R

n nx xg x l g y l f g x l

→= ⇒ → ⇔ → 2

( )( )0

2limx x

f g x l→

⇔ ∃ = .◄

Teorema 3.5 Fie , atunci au loc afirmaţiile. '

0 şi , , :R, R RA x A f g h A⊂ ∈ ∩ →

1) Dacă ( ) ( ) ,f x g x x≤ ∀ A∈ şi există ( )0

lim 0x x

g x→

= , atunci ( )0

lim 0x x

f x→

=

2) Dacă ( )0U V x∃ ∈ a.î. f este mărginită pe { }( )0A U x∩ − şi

( )0

lim 0x x

g x→

= atunci ( ) ( )0

lim 0x x

f x g x→

⋅ = .

3) Dacă ( ) ( ) ( ) ,g x f x h x x A≤ ≤ ∀ ∈ şi există ( )0

limx x

g x→

=

( )0

limx x

h x l→

= = , atunci există ( )0

limx x

f x l→

= .

53

Demonstraţia se obţine direct folosind caracterizarea limitei cu şiruri şi proprietăţile şirurilor convergente. ◄ Teorema 3.6 Fie I ⊂ R interval şi f: I → R o funcţie monotonă, atunci 0x I∀ ∈ punct interior există ( ) ( )0 00 , 0f x f x+ − şi avem:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 08 0f x f x f x− ≤ ≤ + 0 Demonstraţie Presupunem f monoton crescătoare pe I. Fie ( ) 0

,n nnx I x

≥⊂

crescător şi 0 , 1şin 0x x n x I≤ ≥ ∀ ∈ interior; în plus 0

R

nx x→ . Cum şi f crescătoare, avem 1, Nn nx x n+≤ ∈ ( ) ( )1n nf x f x +≤ , deci şirul ( )( )nf x este

crescător şi din 0nx x< ⇒ ( ) ( )0 ,n 1f x f x n≤ ≥ adică ( )( )0f x este mărginit

superior. După teorema de convergenţă a şirurilor monotone ( )( )nf x este

convergent în R şi ( ) ( ) ( )0

0lim 0n

nnx x

0f x f x f x→∞<

= − ≤ . La fel se arată că există

( ) ( )0 0 0f x f+ ≥ x şi are loc (8). ◄ Definiţia 3.5 Fie '

0 şiR, RA x A U⊆ ∈ ∩ ∈ ( )0 , xV iar :f A→ R o funcţie

1] Elementul ( )

{ }{ }0

0sup infxU V x

A U x∈

⎡ ⎤∩ −⎣ ⎦ se numeşte limita inferioară a funcţiei

f în x0, notată:

( ) ( )( )

{ }( ){ }0 0

09 lim sup inf Rdef

xx x U V xf x f A U x l∗

→ ∈

⎡ ⎤= ∩ −⎣ ⎦ = ∈

)}⎤⎥

2] Elementul se numeşte limita superioară a

funcţiei f în x( )

{ }({0

0inf supU V x x

f A U x∈

⎡ ∩ −⎢⎣ ⎦0, notată:

( ) ( )( )

{ }( ){ }0 0

010 lim inf sup Rdef

x x U V x xf x f A U x l∗

→ ∈

⎡ ⎤= ∩ −⎢ ⎥⎣ ⎦= ∈

Observaţie. Elementele şil l∗∗ există totdeauna în R sau în cuR l l∗∗ ≤ .

Avem ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

lim lim lim Rx x x x x x

l f x f x f x l l→ → →

= ⇔ ∃ = = ∈ .

Exemple.

1o ( )( )

( )0

0

1; 0 lim 1sign 0 ; 0

lim 11; 0

x

x

x f x lf x x x

f x lx

∗→

>⎧ ⎧ = − =⎪ ⎪= = = ⇒⎨ ⎨

= =⎪ ⎪− < ⎩⎩

2o ( ) ( )0

1 , limRx

f x x f x l∗

x ∗→

= ∈ ⇒ = −∞ = , 0

m ( ) *xli f x l→

+∞ = =

54

3o ( )( )

( )0

0

lim 01;0 ; lim 1

QR-Q

x

x

f xxf x

x f x→

⎧ =∈⎧ ⎪= ⇒⎨ ⎨∈⎩ =⎪⎩

Funcţii continue în punct şi pe o mulţime Funcţiile continue sunt un caz particular de funcţii care au limită. Conceptul de continuitate este o ipoteză fundamentală în studiul unor fenomene din realitate, dar de multe ori apar şi fenomene care prezintă discontinuităţi. Proprietăţile unui fenomen discontinuu se vor studia prin aproximarea acestuia cu alt fenomen continuu suficient de asemănător în aspectele sale esenţiale. Definiţia 3.6 Fie 0 şi :R, RA x A f A⊆ ∈ →1] Funcţia f este continuă în x0 ∈ A

( ) ( ) ( ) ( ){ 0 01 , a.î.def

V x U x x A U f x⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈V V V (definiţia cu vecinătăţi)

2] Funcţia f este continuă pe A sau f este funcţie continuă def

⇔ f este continuă în x A∀ ∈ .

3] Dacă f nu este continuă în x0 ∈ A, prin definiţie, f este funcţie discontinuă în x0 şi x0 se numeşte punct de discontinuitate al funcţiei f din A. Teorema 3.6 (Teoremă de caracterizare pentru funcţii continue) Fie , următoarele afirmaţii sunt echivalente: 0 şi :R, RA x A f A⊆ ∈ →(i) f continuă în x0 ∈ A (definiţie cu vecinătăţi)

(ii) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0

0 0

0, , 0 a.î. cu ,2

, defin ţia cu

x x A d x x x x

d f x f x f x f x

⎧∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈ = − < δ⇒⎪⎨

⎡ ⎤⇒ = − < ε⎪ ⎣ ⎦⎩

0

i δ − ε

⎞⎟⎠

(iii) ( )( ) ( ) ( )

( )

0 00cu

3definiţia cu şiruri

n n nnx A x x f x f x

⎧⎛ ⎞ ⎛∀ ⊂ → ⇒ →⎜ ⎟ ⎜⎪⎝ ⎠ ⎝⎨⎪⎩

R R

Demonstraţia se obţine din teorema de caracterizare a limitei în punct luănd x0 ∈ A, renunţând la x ≠ x0 (xn ≠ x0) şi pentru l = f (x0) ∈ R.◄ Consecinţa 3.1. Dacă f : A → R este continuă în x0 ∈ A, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

04 lim lim lim limn nn n x x x xf x f x f x f x f x

→∞ →∞ → →= = ⇔ =

Teorema 3.7 (Teoremă de caracterizare pentru funcţii continue) Fie , atunci avem: 0 şi :R, RA x A f A⊆ ∈ →1) Dacă '

0x A A∈ ∩ , f continuă în ( ) ( ) ( )0

0 05 limx x

x f x f x→

⇔ ∃ =

2) Dacă 0x A∈ punct izolat, f este continuă în x0. Demonstraţia este imediată folosind caracterizarea continuităţii cu şiruri (3) şi se obţine 1) şi la fel pentru 2) folosind definiţia unui punct izolat al A. ◄

55

Definiţia 3.7 Fie I ⊂ R interval, x0 ∈ I punct interior şi f : I → R 1] Punctul x0 ∈ I este punct de discontinuitate de speţa a I-a

( ) ( ) ( )0

0 0

I este discontinuă în 6

II 0 , 0 R

def f xf x f x

⎧⎪⇔ ⎨ ∃ − + ∈⎪⎩

2] Punctul x0 ∈ I este punct de discontinuitate de speţa a II-a

( ) 0I) este discontinuă în 7

II) nu este punct de discontinuitate de speţa a I - a

def f xf

⎧⇔ ⎨

Observaţii 1. x0 ∈ I este punct de discontinuitate de speţa a II-a a lui f : A → R def⇔ ∃ ( )0 0 sau f x − ∃ ( ) ( ) ( )0 0 00 sau 0 sau 0 sau f x f x f x+ − ∉ + ∉

R R

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 00 şi 0 sau 0 , 0f x f x f x f x− + − + ∉R

2. Pentru funcţia f : A → R are sens definiţia limitei lui f în x0 numai pentru '

0 Rx A∈ ∩ . Continuitatea lui f în x0 are sens numai pentru x0 ∈ A. Dacă '

0 ,x A A∈ − funcţia f poate fi continuă în x0, dar nu are limită în acest punct. 3. Punctul x0 ∈ A şi f : A → R, x0 se numeşte punct de discontinuitate aparentă sau neesenţială sau eliminabilă dacă există ( ) ( ) ( )

0 00lim şi lim

x x x xf x f x f

→ →≠ x . În

acest caz se asociază lui f o funcţie continuă pe A care diferă de f numai în punctul x0 ∈ A.

4. Dacă există ( ) 0 00cu ,

R

n nnx A x x x

≥⊂ → A∈ şi şirul valorilor ( )( ) 0

Rn nf x

≥⊂

nu are limită în R sau limita sa este diferită de f (x0), atunci f este discontinuă în x0 ∈ A (condiţia (iii) din teorema 1. (sau (3))). 5. Fie f : A ⊂ R şi x0 ∈ B ⊂ A ⊆ R, dacă f este continuă în x0, atunci Bf este continuă în x0 şi au loc cazurile speciale: I { }0|B x A x x= ∈ < ⊂ A şi f este continuă la stânga în x0 ∈ A

def

Bf⇔ este continuă în x0 ∈ A. II { }0|B x A x x= ∈ > ⊂ A şi f este continuă la dreapta în x0 ∈A

def

Bf⇔ este continuă în x0 ∈ A. 6. Din teorema 2 şi observaţia 5, rezultă echivalenţele:

(8) f continuă în x0 ∈ A ⇔ 0

0

continuă la stânga în şi

continuă la dreapta în

f x A

f x A

∈⎧⎪ ⇔⎨⎪ ∈⎩

56

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

00

0

00

0 0

0

0 0

lim 0

şi limlim 0

x xx x

x x

x xx x

f x f x f x

f x f xf x f x f x

→<

→>

⎧∃ = − =⎪⎪

⇔ ⇔ ∃⎨⎪∃ = + =⎪⎩

5=

Exemple. 1o Fie f : [-1,1] → R cu f (x) = 3, ∀x ∈ A = [-1,1] ⇒ f continuă pe A.

2o ( )[ ]( )

0,1

1 ;0 ;

x Af x x

x A∈⎧

= ϕ = ⎨ ∉⎩ funcţia caracteristică a mulţimii

A = [0,1] este continuă pe (0,1) şi are puncte de discontinuitate de speţa a I-a în: x0 = 0 şi x0 = 1.

Pentru x0 ∈ R - {0,1} fixat şi ( ) 00cu

RRn nn

x x x≥⊂ → , avem:

I Dacă x0 ∈ (0,1) atunci există n0 ∈ N, n0 ≥ 1 a.î. xn ∈ (0,1) şi pentru n ≥ n0 ⇒ f (xn) = 1 → f (x0) = 1 ⇒ f continuă în ∀x0 ∈ (0,1).

II Fie xn < 0 cu şi (x0R

nx → n) fixat, atunci f (xn) = 0 şi ( ) ( )0

0

lim 0 0 0xx

f x f→<

= − = ,

iar ( ) ( )0

0

lim 0 0 1xx

f x f→>

= + = ⇒deci x0=0 este punct de discontinuitate de speţa

a I-a. La fel se arată că x0 = 1 este punct de discontinuitate de speţa a I-a.

3o Funcţia Dirichlet este discontinuă în

∀x

( ) 1;: ,

0 ; -Q

R RR Q

xf f x

x∈⎧

→ = ⎨ ∈⎩0∈R şi x0 este punct de discontinuitate de speţa a II-a. Fie ∀x0 ∈ R fixat şi

presupunem, prin reducere la absurd, că f este continuă în x0. Pentru ∀xn∈Q

(n≥0) şi 0

R

nx x→ , avem: ( ) ( ) ( )0 01 , deci 1R

nf x f x f x= → = .

Pentru cum

şi avem ( ) ( ) ( )' ' '

0 0şi avem 0 deci 0R R

R Qn n nx x x f x f x f x∀ ∈ − → = → =0

( )0 Rf x ∈ ( ) ( )0 01f x f x= ≠ = 0 este absurd, deci f nu este continuă în

x0. Cum pentru 0 0cu şiR

Qn n nx x x x→ ∈ x< avem ( ) ( )

00

0lim 0 1x xx x

f x f x→<

= − = şi pentru ' ' '0 0cu ,R Qn n nx x x x→ ∈ − x<

avem ( ) ( )0

0

0lim 0 0x xx x

f x f x→<

= − = , rezultă că nu există ( )0 0f x − . La fel se arată că

nu există . ( )0 0f x +

57

4o Funcţia cu f funcţia Dirichlet de

la 3

( ) ( );

: cu0 ; -

QR R

R Qn

x xF F x

x∈⎧

→ = =⎨ ∈⎩xf x

o. Funcţia F este continuă în x0 = 0. Pentru ∀xn ∈ R cu 0

R

nx x→ avem: F (xn)

= xn, dacă xn ∈ Q şi ; iar pentru avem

. Deci există

( ) ( )00R

nF x F x→ = ' R Qnx ∈ −

( ) ( )'00 0

R

nF x F x= → = ( ) ( )00lim 0x

F x F x→

= = . Funcţia F este

discontinuă în . 0 Rx ∗∀ ∈ Definiţia 3.8. Fie RA B⊂ ⊆ două mulţimi şi : Rf A→ o funcţie continuă pe A. 1] Funcţia f poate fi prelungită prin continuitate pe B, dacă există continuă astfel încât

: Rg B →

Af g= . 2] Dacă { }0B A x= ∪ , funcţia f poate fi prelungită prin continuitate în x0, dacă există continuă astfel încât : Rg B → Af g= . Teorema 3.8 Fie , :R RA f A⊂ → o funcţie continuă. Există o funcţie unică : Rg A→ continuă astfel încât Ag f= , dacă şi numai dacă, în orice x0

punct de acumulare pentru ( )'0A x A A∈ ⊆ şi x0 ∉ A, există ( )

0

limx x

f x→

finită.

Demonstraţie Fie B A= (închiderea lui A), funcţie continuă cu : Rg B →

Ag = f , atunci pentru '0x B∀ ∈ (punct de acumulare pentru B) cu x0 ∉ A,

există şi avem ( ) ( )0

0limx x

g x g x→

= ( ) ( ) ( )0 0

0lim lim RAx x x xf x g x g x

→ →= = ∈ şi f este

prelungită prin continuitate în x0. Dacă '0x A A∈ ∩ , avem

( ) ( ) ( )0

0 0limx x

f x f x g x→

= = .◄

Exemple.

1o ( ) sin , Rxf x xx

∗= ∈ se poate prelungi prin continuitate în x0 = 0 ∈ R,

deoarece există 0

sinlim 1x

xx→

= .

2o ( ) sign , Rf x x x ∗= ∈ nu poate fi prelungită prin continuitate în

x0 = 0 ( ) ( ) (( ))00 0 1 0 0 1 şi nu există lim

xf f f

→+ = ≠ − = − x .

3o ( ) 2

1 cu Rf x xx

∗= ∈ nu poate fi prelungită prin continuitate în

x0 = 0, deoarece ( )0

lim Rx

f x→

= +∞∉ .

Teorema 3.9 Fie funcţii continue în 0, şi , :R RA x A f g A⊆ ∈ →

58

x0 ∈ A, atunci funcţiile: ( ) ( ), , , 0 p R f e ,f g f f g g Ag

± λ ∀λ∈ ⋅ ≠

{ } { }, max , , min , , gf f g f g f sunt continue în x0 ∈ A. Demonstraţia este imediată folosind (iii) (3) din teorema 3.6 şi operaţiile cu şiruri convegente din R. ◄ Teorema 3.10 , , şi : , :R RA B f A B g B⊂ → → funcţii. Dacă f este continuă în x0 ∈ A şi g este continuă în ( )0 0y f x B= ∈ , atunci este continuă în x

: Rg f A→

0 ∈ A.

Demonstraţie. Fie ( ) 01cu

R

n nnx A x x

≥∀ ⊂ → ∈ A

0

şi cum f este continuă în x0

∈ A, avem ( ) ( ) ( )0lim limn nn nf x f x f x

→∞ →∞= = y=

B

. Funcţia g este continuă în

şi avem: 0y ∈

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )(0lim lim limn n nn n ng f x g f x g f x g y g f x

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ )0 şi g este

continuă în x0 ∈ A. Conform teoremei 1 ((iii) (3)), dacă f continuă pe A şi g continuă pe B, atunci este continuă pe A. ◄ g f

Proprietăţi ale funcţiilor continue pe mulţimi din R Fie A ⊆ R şi în unele cazuri A = I interval, iar : Rf A→ o funcţie.

Teorema 3.11 (Teorema lui Bolzano) Dacă : Rf I → este o funcţie continuă, atunci ( ) Rf I ⊂ este interval. Demonstraţie. Fie ( ) RI f I= ⊆ şi să dovedim că I este interval. După definiţie: să 1 2 1 2 1 2, cu şi cuRy y J y y y y∀ ∈ < ∀λ∈ < λ <aratăm că Jλ∈ . Dacă ( ) ( )1 2, cu , şiy f a y f b a b I a= = ∈ b< , se dovedeşte că există ( ),c a b∈ astfel încât ( )f c = λ şi atunci [ ]1 2,y y J⊆ , deci J este interval. ◄ Consecinţa 3.2 (Teorema intersecţiei a lui Cauchy) Dacă este o funcţie continuă şi pentru ' : Rf I → 1 2,x x I∈ avem ( ) ( )1 2 0f x f x < , atunci există cel puţin un punct c între x1 şi x2 astfel încât f (c)

= 0. Demonstraţia este directă din teorema 3.11 pentru λ = 0. ◄ Consecinţa 3.3 (Teorema valorilor intermediare) Fie I ⊂ R interval şi f : I → R funcţie continuă, atunci f are proprietatea Darboux (proprietatea valorilor intermediare) pe I. Demonstraţie. Dacă I1 ⊆ I este interval, după teorema 1, f (I1) este interval şi deci f are proprietatea Darboux (∀a, b ∈ I cu [a, b] = I1, atunci f (I1) = J1 interval, adică pentru ∀λ între f (a) şi f (b) există c ∈ (a, b) astfel încât f (c) = λ).◄

59

Consecinţa 3.4 Dacă f : I → R este funcţie continuă pe intervalul I şi ( ) 0,f x x I≠ ∀ ∈ , atunci f are semn constant pe I (fie f > 0 pe I, fie f < 0 pe I). Teorema 3.12 (Teorema de invarianţă a mulţimilor compacte) Fie A ⊂ R o mulţime compactă şi f : A → R. Dacă f este funcţie continuă pe A, atunci f (A) ⊂ R este mulţime compactă.

Demonstraţie A ⊂ R este mulţime compactă def

⇔ A este închisă şi mărginită ( ) 0n nx A

≥⇔ ∀ ⊂ conţine un subşir ( ) ( ) 11kn n nk

x x≥≥

⊂ cu

0R

kn kx x→∞ A⎯⎯⎯→ ∈ . Fie ( )ny f A∀ ∈ pentru 1n∀ ≥ şi un subşir al său

( ) ( ) ( ) ( )011cu R

k kn n n knky y f A y y f A→∞≥≥

⊂ ⊂ ⎯⎯⎯→ ∈ .

Dacă , atunci există ( ) pentru 1ny f A n∈ ≥ pentru 1nx A n∈ ≥ a.î.

( )ny f x= n şi cum A este compactă există ( ) ( ) 11kn n nkx x A

≥≥⊂ ⊂ a.î.

( ) ( ) ( )0lim lim limk k kn n nk k k

y f x f x f x f→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤= = = ∈⎣ ⎦ A deci

( )0 0R

kn ky y f x→∞ A⎯⎯⎯→ = ∈ şi f (A) este mulţime compactă. ◄ Teorema 3.13 (Teorema lui Weierstrass) Fie A ⊂ R o mulţime compactă şi f : A → R o funcţie continuă, atunci f este mărginită şi îşi atinge marginile pe A.

Demonstraţie ( ) ( ) compactă compactă

continuă pe

IIRR

T dA ef

f A ff A⊂⎧

⇒ ⊂ ⇒⎨⎩

A

mărginită şi închisă ⇒ f mărginită pe A (conform definiţiei) şi sup f (A), inf f (A) ∈ f (A), adică există x1, x2 ∈ A a.î. f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2), ∀x ∈ A şi f (x1) = inf f (A), f (x2) = sup f (A). ◄ Consecinţa 3.5 Fie I ⊂ R interval compact şi f : I → R funcţie continuă, atunci f (I) ⊂ R este interval compact. Consecinţa 3.6 Fie I ⊂ R interval şi f : I → R funcţie monotonă pe I. Pentru 0x I∀ ∈ , există ( ) ( )0 00 , 0 Rf x f x− + ∈

)0

cu

( ) ( ) (0 0 00f x f x f x− ≤ ≤ + şi f are numai puncte de discontinuitate de speţa a I-a pe I. Teorema 3.14 Fie I ⊂ R interval şi f : I → R funcţie monotonă, iar ( ) Rf I ⊂ este interval, atunci f este continuă pe I. Demonstraţia în bibliografie ([10], [13], [16]). ◄ Teorema 3.15 În mulţimea R au loc următoarele limite fundamentale:

60

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

0 0

0

00

1 1

00

sin 1lim 1 lim 1 lim 1

ln 1 1lim 1 lim ln 0; 1

ln lnlim 0 lim

lim 1 lim 0

x

xx x x

x

x x a

x xx

x xx x

x

xa b e cx x

x ad e a a ax x

x xf gx x

h x i x

→ →∞ →

→ →

→∞ →>

→∞ →>

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ −= = > ≠

= = −∞

= =

x e=

Demonstraţia în bibliografie ([11]; [13]; [16]). ◄ Definiţia 3.9 Fie I ⊂ R interval şi f : I → R o funcţie. 1] f este funcţie

uniform continuă pe A ( )

( )

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 1 2

0, 0 (independent de )

9 a.î. , cu

, ,

x

x x A x x

d x x d f x f x

⎧∀ε > ∃δ ε >⎪⎪⇔ ∀ ∈ − =⎨⎪

⎡ ⎤= < δ⇒⎪ < ε⎣ ⎦⎩

2] f este funcţie Lipschitz

sau funcţie lipschitziană

pe A

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

0 a.î. ,

10 ,

,

L x x A

d f x f x f x f x

L x x Ld x x

⎧∃ > ∀ ∈ ⇒⎪⎪ ⎡ ⎤⇒ = −⎨ ⎣ ⎦⎪≤ − =⎪⎩

Pentru ( )0,1L∈ f se numeşte contracţie pe A. Observaţii. 1. Noţiunea de funcţie continuă în 0x A∈ este cu caracter local, depinde de

( )0cu Vx A V V x∈ ∩ ∈ . 2. Noţiunea de funcţie uniform continuă pe A are caracter global, este valabilă pe toată mulţimea A. 3. Funcţia f nu este uniform continuă pe A, dacă şi numai dacă avem:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 1

1 2 1 2 1 2

1 2

0 a.î. 0 independent de , ,

11 cu , ,2x x x A

d x x x x d f x f x

f x f x

⎧∃ε > ∀δ ε > ∃ ∈⎪⎪ ⎡ ⎤= − < δ ε ⇒ =⎨ ⎣ ⎦⎪= − ≥ ε⎪⎩

Teorema 3.16 Dacă f : I → R este funcţie Lipschitz pe A, atunci f este uniform continuă pe A. Demonstraţie. Avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20, şi avem L f x f x L x x LLε

∀ε > δ ε = − ≤ − ≤ δ ε =

61

( )1 2 1 2, , cuL x x A x xLε

= = ε ∀ ∈ − < δ ε ⇒ f este uniform continuă pe A.◄

Teorema 3.17 Dacă f : I → R este funcţie uniform continuă pe A, atunci f este continuă pe A. Demonstraţie ∀x0 ∈ A fixat şi ∀x ∈ A, cum f este uniform continuă pe A, avem: ( ) 00, 0 a.î. , cux x A∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈

( ) ( )0x x f x f x− = δ⇒ − < ε⇒0 f continuă în ∀x0 ∈ A ⇒ f continuă pe A. ◄ Observaţii 1. Din teoremele IV şi V rezultă implicaţiile: f contracţie pe A ⇒ f este funcţie Lipschitz pe A ⇒ f uniform continuă pe A ⇒ f continuă pe A. 2. Facă f este uniform continuă pe B ⊂ A cu B A≠ , nu rezultă obligatoriu f continuă pe B. Exemplu Fie A = R, B = [0,1] ⊂ A şi f : R → R funcţia caracteristică a lui B; f este uniform continuă pe B şi totuşi f nu este continuă în x1 = 0 şi x2 = 1, deci f nu este continuă pe B. 3. Dacă f este continuă pe A, nu implică f uniform continuă pe A. Exemplu

( ) 1f xx

= este continuă pe A=(0,1), dar f nu este uniform continuă pe A.

Teorema 3.18 (Teorema lui Cantor) Fie A ⊂ R şi f : A → R o funcţie continuă pe A. Dacă A este mulţime compactă din R (închisă şi mărginită) atunci f este uniform continuă pe A. Demonstraţia prin metoda reducerii la absurd din bibliografie ([10], [11], [13]). ◄ Exemple 1o ( ) , şi , cu 0R Rf x ax b x a b a= + ∈ ∈ ≠ . Pentru 1 2, Rx x ∈ , avem:

( ) ( )1 2 1 2f x f x a x x− = − < ε dacă ( )1 2x xaε

− < = δ ε ⇒ f este uniform

continuă pe R. De fapt f este funcţie Lipschitz pe R cu L = |a| > 0 şi după teorema IV este uniform continuă pe R. 2o ( ) sin , Rf x x x= ∈ este funcţie Lipschitz pe R cu L = 1, avem:

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2sin sin , , Rf x f x x x x x x x− = − ≤ − ∀ ∈ ⇒ f este uniform continuă pe R.

3o ( ) ( )1 cu 0,1 Rf x x Ax

= ∈ = ⊂ nu este uniform continuă pe A. Prin reducere

la absurd, presupunem că f este uniform continuă pe A. Pentru

(1 11 2

1 11, 0 cu 0 1a.î. 1, , 0,1x xx x

ε = ∃δ > < δ < − < ∀ ∈ )2 dacă

62

1 2 1;x x− < δ < în aceste condiţii avem 1 1x

1≤ +

δ pentru ( )0,x∀ ∈ δ .

Fie (0,12

x δ= ∈ ) şi avem: 1 1< ⇒ δ >

δ1 este absurd, deoarece

( )0,1δ∈ ⇒ f nu este uniform continuă pe A.

4o ( ) , [0,f x x x= ∈ )∞ şi fie 1 0x x= ≥ , iar 2 cu 0x x h h= + ∀ > .

Avem: ( ) ( ) ( ) ( )1 2hf x h f x f x f x x h x

x h x+ − = − = + − =

+ −<

h hh

< = . Dacă luăm ( ) 20, 0∀ε > ∃δ ε = ε > şi pentru 20 h< < δ = ε

( ) ( )f x h f x⇒ + − < ε

R∈

, deci f este uniform continuă pe [0,∞).

Modulul 3.2 - Derivate şi diferenţiale de ordin I pentru funcţii reale de o variabila reală. Aplicaţii

Derivata şi diferenţiala sunt două concepte fundamentale ale matematicii,

care reprezintă o sinteză pe plan matematic a unor probleme concrete din: geometrie, fizică, economie, informatică, tehnică etc.

Derivata permite studiul vitezei de variaţie a unor procese care depind de mărimi variabile din realitatea fizică; din punct de vedere matematic, derivata reprezintă "viteza de variaţie a unei funcţii în raport cu variaţia argumentului".

Diferenţiala este intim legată de problema aproximării locale a unor procese neliniare prin procese liniare; în limbaj matematic, diferenţiala permite "aproximarea locală a unor funcţii prin funcţii liniare" (sau funcţii polinomiale de gradul întâi). Problema centrală a "Calculului diferenţial în R" şi în general în Rn (n ≥ 1), constă în aproximarea unei funcţii date în vecinătatea unui punct, cu o funcţie liniară, astfel încât eroarea pe care o facem sa fie un infinit mic de ordin superior faţă de variaţia argumentului. Fie D ⊆ R o mulţime deschisă (notaţie consacrată în text pentru această clasă de mulţimi), x0 ∈ R un punct de acumulare pentru D, x0 ∈ D' ∩ R şi în acest caz s-a definit noţiunea de limită în punct pentru

. Dacă x( )0

: : limRx x

f D f x l→

→ = 0 ∈ R ∩ D ∩D', atunci s-a definit noţiunea

de funcţie continuă în punct. Noţiunea de funcţie continuă în punct se poate caracteriza astfel: f continuă în x0 ∈D ∩D' ⇔ există ( ) ( )

00lim

x xf x f x

→= ⇔ pentru

0

Rx x→ , avem pentru (( ) ( )0

Rf x f x→ ⇔ )0 0

Rx x− → , avem

63

( ) ( )0 0R

f x f x⎡ ⎤− →⎣ ⎦ . În punctele de acumulare x0 ∈D ∩D' există o legătură intrinsecă între creşterea (variaţia) argumentului notată 0x x xΔ = − şi creşterea (variaţia) funcţiei în punctul x0, notată ( )0f xΔ = f(x) – f(x0). Vom evalua comportarea lui

( )0f xΔ faţă de comportarea lui xΔ în două moduri diferite: I raportul

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0

0

sau , Rf x f x f x f x f x h f x

hx x x x h

Δ − Δ + −= =

Δ − Δ∈

0

( ) ( ) ( )0

0 0

Rx x x hf x f x h f x

Δ = − = ∈⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟Δ = + −⎝ ⎠

II diferenţa ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 cu Rf x A x f x f x A x x A⎡ ⎤Δ − Δ = − − − ∈⎣ ⎦ sau

( ) ( ) ( )0 0 0 , ; (f x Ah f x h f x Ah h A⎡ ⎤Δ − = + − − ∀ ∈ ∈⎣ ⎦ R )R , care vor conduce la noţiunea de funcţie derivabilă în punct şi respectiv noţiunea de funcţie diferenţiabilă în punct . '

0: şiR Rf D x D D→ ∈ ∩ ⊆ Definiţia 3.10 Fie RD ⊆ mulţime deschisă, . '

0 şi :R Rx D D f D∈ ∩ ⊂ →1] Funcţia f are derivată în x0 ∈ D, elementul notat f' (x0) dat prin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 0'0 0

0

1 lim lim Rdef

x x h

f x f x f x h f xf x

x x h→ →

− + −= =

−∈

2] Funcţia f este derivabilă în x0 ∈ D, dacă există ( )'0 Rf x ∈ .

3] Funcţia f este derivabilă pe D, dacă este derivabilă în orice x0 ∈ D şi îi asociem funcţia:

( ) ( ) ( ) ( )0

0' '0 0

0

2 : cu lim ,x x

f x f xf D f x x

x x→

−→ = ∀

−R D∈ numită f'

funcţia derivată sau derivata lui f pe D.

4] Dacă există ( ) ( ) ( )

00

0 '0

0

lim Rnot

sx xx x

f x f xf x

x x→<

−= ∈

−, f are derivată la stânga în x0 ∈

D şi în cazul f este derivabilă la stânga în ( )'0 Rsf x ∈

x0 ∈ D.

Dacă există ( ) ( ) ( )

00

0 '0

0

lim Rnot

dx xx x

f x f xf x

x x→>

−= ∈

−, f are derivată la

dreapta în x0∈D şi în cazul ( )'0 Rdf x ∈ f este derivabilă la dreapta în x0∈D.

64

Teorema 3.19 Funcţia : Rf D → este derivabilă în '

0x D D∈ ∩ , dacă şi numai dacă, există ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ' '

0 0 0 0, şiRs d s d 0f x f x f x f x f x∈ = = . Demonstraţia este directă din legătura între limitele laterale şi limita într-un punct de acumulare x0 ∈D ∩D'. ◄ Definiţia 3.11 Fie D ⊆ R mulţime deschisă, f : D → R şi x0 ∈ D. 1] Funcţia f este diferenţiabilă în x0 ∈ D dacă există o constantă A ∈ R şi o funcţie α: D → R continuă şi nulă în x0

( ) ( )( )0

0lim 0x x

x x→

∃ α = = α astfel încât:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 03 ,f x f x A x x x x x x= + − + α − ∀ ∈D

2] Funcţia f este diferenţiabilă pe D, dacă este diferenţiabilă în orice x0 ∈ D. Se numeşte diferenţiala lui f în x0 ∈ D, funcţia liniară, notată

0xd f , dată prin:

( )

( ) ( )0

0 0

0 0

0

00

sau

4 : cu ,

nu este argument intrăca simbol în notaţie

R R R R

defnot

x

not

x x

d f df x A x x

d f d f Ah h x x h

xx D

⎧⎪ = = −⎪⎪⎪ ⎛ ⎞→ = ∀ ∈ − =⎨ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞∀ ∈⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

Observaţii 1. Dacă fixăm x0 ∈ D şi considerăm funcţia: ( ) ( ) ( ) { }05 ;g t f x t t D x= + ∀ ∈ − 0 atunci există f' (x0), dacă şi numai dacă, există:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0' '00 0

06 0 lim lim

t t

f x t f xg t gg f

t t→ →

+ −−= = = x

2. Interpretarea geometrică a derivatei în punct: ( )'0 Rf x ∈ este panta tangentei

geometrice la graficul funcţiei y = f (x), x ∈ D în punctul (x0, f (x0))=Gf şi ecuaţia tangentei în acest punct este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

' '0 0 0 0 0

'0 0 0

0 0

,

, ,x

y f x x x f x f x f x x x f x

y f x f x x x f x x D

f x f x d f x V D V x

− = − ⇔ − = −

⇔ = = + − ∈ ⇔

= + ∀ ∈ ∩ ∈V

0

3. Din definiţia diferenţialei în punct prin (4), rezultă că graficul lui este o dreaptă care trece prin origine de pantă m = f

0xd f' (x0) şi care este paralelă cu

tangenta la graficul lui f în punctul (x0, f (x0)). În aceste condiţii graficul lui f

65

diferenţiabilă în x0 ∈ D poate fi aproximat pe V ∩ D, V ∈ V (x0) suficient de mică cu graficul tangentei sale în punctul (x0, f (x0)) ∈ Gf. Teorema 3.20 Dacă f : D → R este derivabilă în x0 ∈ D, atunci (în mod necesar) f este continuă în x0 ∈ D. Demonstraţie Pentru ∀x0 ∈ D ∩ D', considerăm identitatea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }00 0

0

,f x f x

0f x x x f x x D xx x−

= − + ∀ ∈ −−

şi prin trecerea la limită,

avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

00 0

0

lim limx x x x

f x f xf x x x f x

x x→ →

⎡ ⎤−= − +⎢ ⎥−⎣ ⎦

=

( ) ( ) ( ) ( )( )' '0 0 0 00 Rf x f x f x f x= ⋅ + = ∈ ⇒ f continuă în x0 ∈ D. ◄

Observaţii 1. Dacă : Rf D → este derivabilă la stânga în x0, atunci f este continuă la stânga în x0. Dacă f este derivabilă la dreapta în x0, atunci f este continuă la dreapta în x0. 2. Reciproca teoremei 3.20 nu este în general adevărată. Exemplu ( ) , Rf x x x= ∈ este continuă în x0 = 0 ∈ D, dar nu este derivabilă în x0 = 0; avem ( ) ( )' '0 1 0 1s df f= − ≠ = + . 3. Dacă există 'f ( x0) cu x0 ∈ D, nu rezultă obligatoriu că f este continuă în x0.

Exemplu ( )1; 0

sign 0 ; 01; 0

xf x x x

x

+ >⎧⎪= = ⎨⎪

=− <⎩

are derivată ( )' 0f = +∞ şi f este

discontinuă în x0 = 0. 4. Dacă f este discontinuă în x0 ∈ D, atunci în mod sigur, f nu este derivabilă în x0. 5. Mulţimea funcţiilor derivabile în x0 ∈ D (f : D → R) este strict înclusă în mulţimea funcţiilor continue în x0 ∈ D.

Exemplu este continuă în x( ) 2

sin ; 0; 0

x xf x

x x≥⎧

= ⎨<⎩

0 = 0 şi continuă pe R

avem şi ( )' cos ; 02 ;

x xf x

x x≥⎧

= ⎨ <⎩ 0( ) ( )' '0 0, iar 0s df f 1= = , deci f nu este derivabilă

în x0 = 0. Teorema 3.21 Dacă : R Rf D ⊂ → este diferenţiabilă în x0 ∈ D mulţime deschisă, atunci f este continuă în x0 ∈ D. Demonstraţie Are loc identitatea (3):

66

( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 ,f x f x A x x x x x x= + − + α − ∀ ∈D şi luând '0x D D∈ ∩ , prin

trecere la limită avem: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 00 0 0lim lim 0

x x x xf x f x A x x x x f x

→ →⎡ ⎤= − − + α − = +⎣ ⎦ A⋅ +

( ) ( )00 0 f x+α ⋅ = ⇒ f continuă în x0 ∈ D. Dacă x0 ∈ D este punct izolat, atunci f este continuă în x0. Teorema 3.22 Fie D ⊆ R mulţime deschisă şi x0 ∈ D. Funcţia f este diferenţiabilă în x0 ∈ D, dacă şi numai dacă, f este derivabilă în x0 ∈ D şi avem: ( ) ( )( )

0

' '0 04 ,xd f f x x x x D= − ∈ .

Demonstraţie Presupunem f diferenţiabilă în x0 ∈ D. Are loc identitatea: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 03 ,f x f x A x x x x x x= + − + α − ∀ ∈D şi pentru 0x x≠ , avem:

( ) ( ) ( )0

0

f x f xA x

x x−

= + α−

, de unde prin trecere la limită

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0

0

lim lim 0 Rx x x x

f x f xA x A A

x x→ →

−⎡ ⎤= + α = + α = ∈⎣ ⎦−

şi

conform definiţiei 1, f este derivabilă în x0 ∈ D cu ( )'0f x A= .

Presupunem f derivabilă în x0 ∈ A. Există ( )'

0f x ∈R şi luăm ( )'0A f x= . Definim funcţia : RDα → prin:

( ) ( )( ) ( ) ( ) { }0 '

0 00

0

;

0 ;

f x f xf x x D x

x x xx x

⎧ −− ∈ −⎪∗ α = −⎨

⎪ =⎩

şi avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 ' ' '0 0 0

0

lim lim 0x x x x

f x f xx f x f x f

x x→ →

⎡ ⎤−α = − = − =⎢ ⎥−⎣ ⎦

x ⇒

( ) ( )0

0lim 0x x

x x→

⇒ α = = α şi α este continuă şi nulă în x0 ∈ D.

Din (∗) pentru x ≠ x0, avem: ( )( ) ( ) ( )0 0x x x f x f xα − = − −

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )' ' '0 0 0 0 03 0f x x x f x f x f x x x x x x− − ⇔ = + − + α − valabilă

pentru ( )'0cux D A f x∀ ∈ = , În acest caz din (4) avem:

( ) ( )( )0

' '0 04 ,xd f f x x x x D= − ∈ .◄

Consecinţa 3.7 Funcţia f : D → R, D mulţime deschisă, f este diferenţiabilă pe D, dacă şi numai dacă, f este derivabilă pe D şi avem

( )( )( )

( ) ( )( )0

'0 0 0 0

'0 0 0

, cu sa5 : xd f f x x x x x D

dfdf x f x x x

⎧ = − ∀ ∈⎪→ ⎨= −⎪⎩

R R,u

67

Observaţii 1. Fie funcţia identitate: ( )1 : cu 1 ,R RR R Rx x x→ = ∀ ∈ şi în particular ( )1 : cu 1 ,R DD D x x x→ = ∀ D∈ ; aceste funcţii sunt derivabile

( ) ( )' '1 1, şi 1 1,R R Dx x⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∀∈ = ∀∈⎣ ⎦ ⎣ ⎦ D , deci sunt funcţii

diferenţiabile pe R şi respectiv pe D. Notăm diferenţiala lui 1R respectiv 1D prin dx pentru ∀x ∈ R şi respectiv ∀x ∈ D. Avem conform definiţiei 2, identitatea ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 03 1 0 , cu 1R 1xx x x x x x x dx x x⇔ = + ⋅ − + ⋅ − ∀ ∈ = ⋅ − = Δ 2. Folosind observaţia precedentă din (5), avem:

( )( )

( ) ( ) ( )

0

'0 0

''

,5

,

x

def

x

d f f x dx x D

df x f x dx x D df x d f

⎧ = ∀ ∈⎪⎨ ⎛ ⎞= ∀ ∈ =⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩

3. Din identitatea (3) definiţia 2, dacă f este diferenţiabilă în ∀x0 ∈ D, avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )'

0 0 0 03 ,f x f x df x x x x x= + + α − ∀ ∈D şi variaţia

funcţiei în x0: ( ) ( ) ( )0 0f x f x f xΔ = − se poate aproxima cu partea liniară din (3') şi se obţine:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

'0 0 0 0

'0 0 0

60

f x f x df x f x f x dx

f x f x f x df x f x d

⎧ ≅ + = +⎪⎨Δ = − ≅ =⎪⎩ x

Dacă f este derivabilă pe D, atunci derivata lui f în ∀x0 ∈ D este raportul dintre diferenţiala lui f în x0 şi diferenţiala funcţiei identitate

1R, deci ( ) ( ) ( )0'0 07 ,

df xf x x

dxD= ∀ ∈ .

Teorema 3.23 (Operaţii cu funcţii derivabile şi funcţii diferenţiabile) Fie D ⊆ R mulţime deschisă cu x0 ∈ D ∩ D' şi f,g: D → R. Dacă f,g sunt derivabile în x0, deci şi diferenţiabile în x0, atunci

funcţiile: ( ) ( )( ), , şi cu 0,R ff g f fg g x x Dg

± λ λ∈ ≠ ∀ ∈ sunt

derivabile şi deci diferenţiabile în x0 ∈ D şi au loc formulele de calcul: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' ' '1 0 0

'2 0 0

I

I

0

0

f g x f x g x

d f g x df x dg x

± = +

± = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) (

' '1 0

2 0

II

II )0

0

f x f x

d f x df x

λ = λ

λ = λ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' ' '1 0 0 0 0

2 0 0 0 0

III

III0

0

fg x f x g x f x g x

d fg x g x df x f x dg x

= +

= +

68

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

' ' '0 0 0 0

1 0 20

0 0 0 02 0 2

0

IV ;

IV .

f x g x f x g xf xg g x

g x df x f x dg xfd xg g x

−⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠−⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

Demonstraţie pentru regulile (I1) - (IV1) sunt cele directe, cu ajutorul definiţiilor 1 - (1), care sunt prezentate în toate manualele de matematică din liceu. Regulile (I2) - (IV2) se deduc din regulile de derivare (I1) - (IV1) folosind formulele (5'). ◄ Teorema 3.24 (Derivarea şi diferenţierea funcţiilor compuse) Fie D, E ⊆ R mulţimi deschise şi f : D → R, g : E → R, iar x0 ∈ D ∩ D' şi y0 = f (x0) ∈ E ∩ E'. Dacă f este derivabilă în x0 ∈ D şi g este derivabilă în x0 ∈ E, atunci f ○ g : D → R este derivabilă în x0 ∈ D cu derivata dată prin: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' '

0 0 0 08 '0f g x g y f x g f x f x⎡ ⎤= ⋅ = ⋅⎣ ⎦

Demonstraţia este imediată folosind definiţia 1 - (1) şi caracterizarea limitei în punct cu şiruri. ◄ Consecinţa 3.8 Fie D, E ⊆ R mulţimi deschise şi f : D → R, g : E → R funcţii diferenţiabile f în x0 ∈ D şi g în y0 = f (x0) ∈ E, atunci f ○ g este diferenţiabilă în x0 ∈ D şi avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

' ' '0 0 09 xd g f g f x dx g f x f x dx⎡ ⎤= = ⋅ = (⎣ ⎦ ) ( )'

0 0g f x df x⎡ ⎤= ⎣ ⎦ Demonstraţia este imediată din (5') şi (8). ◄ Teorema 3.25 (Derivarea funcţiei inverse) Fie I, J ⊆ R intervale deschise şi f : I → J o funcţie continuă şi bijectivă. Dacă f este derivabilă în x0 ∈ I cu f '(x0) ≠ 0, atunci funcţia inversă f -1 : J → I este derivabilă în y0 ∈ I cu y0 = f (x0) şi avem:

( ) ( ) ( ) ( )'1

0 '0

110 f yf x

− =

Demonstraţie Notăm y = f (x) ∈ J pentru x ∈ I şi după definitia 1,

avem: ( ) ( )

( ) ( ) { }1 1

00

00

0

1 ,f y f y

x I xf x f xy y

x x

− −−= ∀ ∈

−−−

Din continuitatea lui f pe I, rezultă: ( ) ( )

( ) ( ) ( )0 0

1 10 1

'00 0

0

1 1lim lim Ry y x x

f y f yf

f x f xy y f xx x

− −−

→ →

−= = ∈

−−−

⇒ este

derivabilă în y0 ∈ J şi are loc (10). ◄

69

Derivatele unor funcţii elementare

( ) ( )'o 11 , şiR Rx x xα α− ∗= α ∀ ∈ ∀α∈

( )'

'

2

1 1 1, ,2 +R Rx x x

x x x∗ ∗⎛ ⎞ = − ∈ = ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( )' 'o2 sin cos , ; cos sin ,R Rx x x x x x= ∀ ∈ = − ∀ ∈

( )( )

( ) ( ) { }

' 22

o

' 22

1tg 1 tg ; |cos 23

1ctg 1 ctg ; |sin

R Z

R Z

x x x kx

x x xx

⎧ π k

k k

⎧ ⎫= = + ∀ ∈ − + π ∈⎨ ⎬⎪⎪ ⎩ ⎭⎨⎪ = − = − + ∀ ∈ − π ∈⎪⎩

( ) ( ) ( )' 'o4 ln ; 0, 1 ;R; Rx x x xa a a x a a e e x= ∀ ∈ > ≠ = ∀ ∈

( ) ( ) ( )' 'o 1 15 log , ; 0, 1 ln ;ln +Ra x x a a x 0x

x a x∗= ∀ ∈ > ≠ = ∀ >

( ) ( ) ( )' 'o

2

16 arcsin , 1,11

x xx

= ∀ ∈−

( ) ( )'

2

1arccos , 1,11

x xx

= − ∀ ∈ −−

( ) ( ) ( )' 'o2 2

1 17 arctg , arc tg ,1 1

R; Rx x c x xx x

= ∀ ∈ = − ∀ ∈+ +

( ) ( ) ( )' 'och

28 sh ch , ; ch sh ,sh

2

R R

x x

x x

e exx x x x x x

e ex

⎧ +=⎪⎪= ∀ ∈ = ∀ ∈ ⎨

−⎪ =⎪⎩

( ) ( )'

o 2 2

2 2

19 ln ; R;x a x x aa x

⎡ ⎤+ + = ∀ ∈ ≠⎢ ⎥⎣ ⎦ +0

( )'

2 2

1 1ln cu , ; 02

x a x a a aa x a x a

−⎡ ⎤ = ∈ − >⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

( )'

2 2

1 1ln cu , ; 02

a x x a a aa a x a x

+⎡ ⎤ = ∈ − >⎢ ⎥− −⎣ ⎦

( )( )

( ) { }

''

2o

''

2

1 sinsec ; |cos cos 2

101 coscosec ; |

sin sin

R Z

R Z

xx xx x

xx xx x

⎧ π⎛ ⎞ ⎧= = ∀ ∈ − + π ∈⎪ k k

k k

⎫⎨ ⎬⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠ ⎩⎨

⎛ ⎞⎪ = = − ∀ ∈ − π ∈⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

70

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

'

2o

'

2

1arcsec ; , 1 1,111

1arcosec ; , 1 1, .1

x xx x

x xx x

⎧ = ∀ ∈ −∞ − ∪ ∞⎪ −⎪⎨⎪ )= − ∀ ∈ −∞ − ∪⎪ −⎩

Observaţii 1. Din formulele (1o) – (11o) folosind (5') se deduc regulile de diferenţiere ale unor funcţii elementare. 2. Alte funcţii elementare au derivate care se pot calcula folosind (8) din teorema 6 şi (10) din teorema 7.

Proprietăţi ale funcţiilor derivabile pe un interval din R (Teoreme fundamentale ale calculului diferenţial)

Teorema 3.26 (Teorema lui Fermat) Fie I ⊆ R interval x0 ∈ I punct interior şi punct de extrem local pentru f : I → R. Dacă f este derivabilă în x0, atunci (în mod necesar) ( )'

0 0f x = . Consecinţa 3.9 Fie I ⊆ R interval şi f : I → R. Dacă f este derivabilă pe I, atunci punctele de extrem local ale lui f se gasesc pentru soluţiile ecuaţiei: ( )' 0,f x x= ∈ I . Observaţii 1. Dacă x0 din teorema lui Fermat nu este punct interior lui I, afirmaţia nu este obligatoriu valabilă. Exemplu: ( ) [ ] ( )'

0, 0,1 şi 1, are f x x x I f x x I x= ∈ = = ∀ ∈ = 0 un punct de minim absolut din I, şi '

0 1x = un punct de maxim absolut, totuşi: ( ) ( )' '0 1şi 1f f= =1.

2. În general, nu orice punct de extrem local este un punct critic (staţionar) adică o soluţie x ∈ I a ecuaţiei ( )' 0f x = ; invers, nu orice punct critic (soluţie a ecuaţiei ( )' 0f x = ) este punct de extrem local. Exemplu ( ) [ ] ( )3 ' 2

0, 1,1 cu 2 şif x x x I f x x x 0= ∈ − = = = este punct critic al lui f din I; dar ( ) { }' 0, 0f x x I> ∀ ∈ − , deci f este strict crescătoare pe I şi nu are punct de extrem local interioare lui I. 3. Din punct de vedere geometric, teorema lui Fermat exprimă faptul că dacă, graficul lui f admite o tangentă într-unpunct de extrem local interior intervalului de definiţie, atunci tangenta la grafic în acest punct este paralelă cu axa Ox. Teorema 3.27 (Teorema lui Rolle) Fie a,b ∈ R cu a < b şi f : [a, b] → R o funcţie cu proprietăţile: 1) f continuă pe [a, b]; 2) f derivabilă pe (a, b); 3) f (a)=f (b). Atunci există cel puţin un punct c ∈ (a, b) astfel încât ( )' 0f c = .

71

Consecinţa 3.10 Fie I ⊆ R interval şi f : I → R derivabilă pe I şi ∀a, b ∈ I cu a < b, atunci au loc afirmaţiile: (i) Între două radacini (soluţii) consecutive ale ecuaţiei f (x) = 0 se află cel puţin o rădăcină (soluţie) a ecuaţiei f '(x) = 0. (ii) Între două radacini (soluţii) consecutive x1, x2 ale ecuaţiei f '(x) = 0 se află cel mult o rădăcină (soluţie) a ecuaţiei f (x) = 0 şi exact o singură rădăcină dacă f(x1)⋅f(x2) < 0. Demonstraţiile pentru (i) şi (ii) sunt directe din teorema lui Rolle. ◄ Observaţii 1. Din punct de vedere geometric are loc interpretarea următoare: dacă f este continuă pe [a, b], derivabilă pe (a, b) cu f (a)=f (b), atunci există un punct c ∈ (a, b) astfel încât tangenta geometrică la graficul lui f în punctul (c, f (c)) ∈ Gf este paralelă cu axa Ox. 2. Dacă f : [a, b] → R satisface condiţiile din teorema lui Rolle, conform consecinţei 2, ecuaţia f '(x) = 0 poate avea o soluţie, un număr finit arbitrar de soluţii sau o infinitate numărabilă de soluţii pe (a, b). Exemple 1o ( ) [2 , 0,f x x x= ∈ ]1 satisface condiţiile din teorema Rolle şi ecuaţia ( )' 2f x x= = 0 are o singură soluţie x0 = 0 ∈ (-1,1).

2o ( ) [ ]sin cu 0,1 şi2

Nf x x n x x nπ⎛ ⎞= + π ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

∈ , ecuaţia ( )' 0f x = ⇒

cos 02

n xπ⎛ ⎞+ π =⎜ ⎟⎝ ⎠

are exact (n + 1) soluţii în punctele 22 1k

kxn+

=+

1 cu

[ ]0,1, pe 0,1k n= … .

3o ( ) sin ; (0,1]

0 ; 0

x xf x x

x

π⎧ ∈⎪= ⎨⎪ =⎩

pentru [ ]1 0,1 , 1x nn

= ∈ ≥ , avem

1 0fn

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

şi după teorema lui Rolle pe intervalul [ ]1 1, 01n n

⎡ ⎤ ⊂⎢ ⎥+⎣ ⎦,1 ,

n ≥ 1, ecuaţia ( )' 0f x = are o infinitate numărabilă de soluţii xn cu n ≥ 1. Observaţie. Fiecare dintre condiţiile: 1), 2), 3) din teorema lui Rolle sunt esenţiale pentru valabilitatea concluziei sale. Exemple 1o ( ) [, 0,f x x x= ∈ ]1 derivabilă pe (0,1) şi f (0) ≠ f(1), admite

( ) [ ]' 1 0, 0,1f x x= ≠ ∀ ∈

72

2o derivabilă pe (0,1) cu f (0) = f (1) = 1, dar f ( )2 ; (0,

1 ; 0x xf x

x⎧ ∈

= ⎨=⎩

1]

este discontinuă în x0 = 0 şi evident avem ( ) ( )' 2 0, 0,1f x x x= ≠ ∀ ∈ . 3o ( ) [ ] ( ) ( ), 1,1 cu 1 1f x x x f f= ∈ − = − 1=

, 2

şi f derivabilă pe [ 1 deci f nederivabilă în x

,0) (0,1]− ∪

0 = 0; avem

( )' 1; (0,1)0

1; ( 1,0)x

f xx∈⎧

= ≠⎨− ∈ −⎩.

Observaţie. Condiţiile din teorema Rolle sunt numai suficiente şi nu obligatoriu necesare ca derivata să se anuleze într-un punct. Exemple

1o este continuă numai în x( )[ ]

[ ]

2 ; 1

0 ; 1, 2

Q

Q

x xf x

x

⎧ ∈ ∩ −⎪= ⎨∈ − −⎪⎩

0 = 0

şi avem ( )' 0 0f = 2o ( ) [3 , 1f x x x= ∈ − ],1 este derivabilă pe [-1,1] cu ( ) ( )1 1f f≠ − şi

totuşi, 'f se anulează în x0 = 0 ∈ (-1,1) ( ) [ ]( )' 23 , 1,1f x x x= ∀ ∈ − . Teorema 3.28 (Teorema lui Lagrange) Fie a,b ∈ R cu a < b şi f : [a, b] → R o funcţie cu proprietăţile: 1o] f continuă pe [a, b] 2o] f derivabilă pe (a, b), atunci există un punct c∈(a, b) astfel încât:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '1f b f a

f b f a b a f c f cb a−

− = − ⇔ =−

Consecinţa 3.11 (din teorema lui Lagrange) Fie I ⊆ R interval şi f : I → R o funcţie continuă pe I şi f derivabilă în orice punct interior x ∈ I, atunci au loc următoarele afirmaţii: (c1) Pentru ∀x1, x2 ∈ I cu x1 < x2 există c ∈ (x1, x2) a.î.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2' '1 2 1 2

1 2

f x f xf x f x f c x x f c

x x−

⇔ − = − ⇔ =−

(c2) Dacă f este derivabilă pe I şi ( )' 0,f x x I= ∀ ∈ , atunci f este constantă pe I. (c3) Funcţia f derivabilă pe I este:

( )( )( )

( )

'

'

'

'

monoton crescătoare pe 0,

monoton descrescătoare pe 0,

monoton strict crescătoare pe 0,

monoton strict descrescătoare pe 0,

I f x x I

I f x x I

I f x x I

I f x x I

⎧ ⇔ ≥ ∀ ∈⎪

⇔ ≤ ∀ ∈⎪⎨

⇔ > ∀ ∈⎪⎪ ⇔ < ∀ ∈⎩

(c4) Dacă I ⊆ R este interval compact şi f derivabilă pe I are f ' funcţie mărginită pe I, atunci f este funcţie Lipschitz pe I.

73

Demonstraţiile se obţin direct prin aplicarea teoremei Lagrange.◄ Observaţii 1. Dacă f : I → R este derivabilă şi strict monotonă, nu rezultă obligatoriu f ' > 0 pe I (sau f ' < 0 pe I). Exemplu derivabilă şi strict crescătoare pe R cu ( ) 3, Rf x x x= ∈

( )' 23f x x= ≥ 0 pe R; avem ( )' 0f x = . 2. Din punct de vedere geometric teorema lui Lagrange are următoarea interpretare: dacă f este continuă pe [a, b] şi derivabilă pe (a, b) atunci există cel puţin un punct c ∈ (a, b) a.î. tangenta geometrică la graficul lui f în punctul (c, f (c)) ∈ Gf este paralelă cu dreapta care trece prin punctele A(a, f (a)) şi B(b, f (b)) (A,B ∈ Gf). 3. Teorema lui Lagrange permite demonstrarea unor inegalităţi. Teorema 3.29 (Teorema lui Cauchy) Fie a,b ∈ R cu a < b şi f, g : [a, b] → R două funcţii cu proprietăţile: 1o] f, g continue pe [a, b] 2o] f, g derivabile pe (a, b) 3o] g'(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b), atunci g(a) ≠ g(b) şi există cel puţin un punct c ∈ (a, b) astfel încât:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

'

'3f b f a f cg b g a g c

−=

−.

Observaţie Teorema Lagrange este caz particular al teoremei lui Cauchy pentru g(x) = x, x ∈ [a, b]. Teorema 3.30 (Teorema lui Darboux) Fie I ⊆ R interval şi f : I → R o funcţie derivabilă pe I, atunci derivata sa f ' : I → R are proprietatea Darboux pe I. Demonstraţie. Pentru cuprins între f , cu şi Ra b I a b∀ ∈ < ∀λ∈ '(a) şi f '(b) să dovedim că există x0 ∈ (a, b) a.î. f ' (x0) = λ (proprietatea valorilor intermediare pentru funcţia f ' ). Presupunem f '(a) < f '(b) şi ∀λ ∈ R cu f '(a) < λ < f '(b) şi considerăm F : I → R cu F (x) = f (x) - λx, ∀x ∈ I şi pentru f '(a) < λ < f '(b), avem: F' (a) = f ' (a) - λ < 0 şi F' (b) = f ' (b) - λ > 0

După definiţie: ( ) ( ) ( ) ( )' 'lim 0x ax a

F x F aF a F a

x a→>

−= =

−< şi

( ) ( ) ( ) ( )' lim 0x bx b

F x F bF b F b

x b→>

−= =

−' > şi în aceste condiţii după proprietăţile

funcţiilor cu limită în punct există c, d ∈ (a, b) a.î. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, , şi 0,

F x F a F x F bx a c x d b,

x a x b− −

< ∀ ∈ < ∀ ∈ ⇒− −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 , , şi ,F x F a a c F x F b d b< ∀∈ < ∀∈ ,

74

Funcţia F este continuă pe [a, b] compact din R şi atunci există x0 ∈ [a, b] a.î. ( ) ( ) [ ]0 ,F x F x x a b≤ ∀ ∈ , şi din (4) avem x0 ≠ a şi x0 ≠ b, deci x0 ∈ (a, b) şi este punct de minim. După teorema lui Fermat avem

( ) ( ) ( ) ( )' ' '0 0 0 00F x f x f x x a b= = − λ⇒ = λ ∈, , şi f are proprietatea Darboux

pe I.◄ Consecinţa 3.12 Fie I ⊂ R interval, : Rf I → funcţie derivabilă de I şi dacă ( )' 0f x ≠ ,

x I∀ ∈ atunci avem fie ( )' 0,f x x> ∀ ∈ I fie ( )' 0,f x x I< ∀ ∈ . Demonstraţia este directă din teorema lui Darboux. ◄ Teorema 3.31 (Consecinţă a teoremei Lagrange) Fie I ⊂ R interval, x0 ∈ I şi : Rf I → funcţie cu proprietăţile: 1o f continuă pe I 2o f derivabilă pe I - {x0} 3o există

( ) ( )0

'lim Rx x

f x l l→

= ∈ , atunci există ( )'0f x l= . Dacă l ∈ R funcţia

' : Rf I → este continuă în x0 ∈ I. Demonstraţia din teorema lui Lagrange, în bibliografie ([10], [13], [16]).◄ Observaţii 1. Teorema VI este adevărată şi în cazul existenţei limitelor laterale în R : ( ) ( )

0 00 0

' 'lim , lims dx x x xx x x x

f x l f x l→ →< >

= = .

2. Continuitatea lui f în x0 ∈ I este o condiţie esenţială pentru valabilitatea teoremei VI.

Exemplu este [ ] ( ) 1; [ 1,0) (0,1]: 1,1 ,

0 ; 0R

xf f x

x∈ − ∪⎧

− → = ⎨ =⎩discontinuă în x0 = 0. Avem ( )' 0, [ 1,0) (0,1]f x x= ∀ ∈ − ∪ şi deci,

( )'

0lim 0x

f x→

= şi nu există f '(0), avem ( ) ( )' '0 , 0s df f= −∞ = +∞ .

3. Condiţiile 1o, 2o, 3o din teorema VI sunt suficiente dar nu şi necesare obligatoriu pentru existenţa lui f ' în x0 ∈ I. Exemple

1o ( )2 1sin ;

: ,0 ; 0

RR R

x xf f x x

x

∗⎧ ∈⎪→ = ⎨⎪ =⎩

este continuă şi derivabilă pe R* cu

( )' 1 12 sin cos , Rf x x xx x

∗= − ∀ ∈ ; f este continuă şi în x0 = 0. Nu există

( )'

0limx

f x→

şi totuşi avem ( ) ( ) ( )'

0 0

0 10 0 lim lim sinx x

f x ff x

x x→ →

−= = = .

75

2o ( ) (cu : 1,11

Rxf x fx

= →+

)− (funcţia lui Hahn) este continuă pe R cu

( )( )

( )

2

'

2

1 ; 01

1 ; 01

xx

f xx

x

⎧ >⎪ +⎪= ⎨⎪ <⎪ −⎩

şi există ( )'

0lim 1x

f x→

= şi cum f continuă

în x0 = 0, avem ( )' 0f =1, deci f ' este continuă pe R.

Înlăturarea formelor de nedeterminare Teorema lui Cauchy are aplicaţii în eliminarea formelor de nedeterminare. Definiţia 3.11 Fie A ⊆ R, '

0 Rx A∈ ∩ punct de acumulare şi f, g : A → R. Presupunem că există V ∈ V (x0) a.î. ( ) { }00,g x x A V x≠ ∀ ∈ ∩ − .

Dacă există limita: ( )( )0

lim A V

x xA V

f xg x

→∩

se notează prin ( )( )0

limx x

f xg x→

.

1] Dacă ( ) ( )0 0

lim lim 0x x x x

f x g x→ →

= = , prin definiţie, ( )( )0

limx x

f xg x→

este o nedeterminare

de forma: 00

.

2] A înlătura sau a elimina sau a ridica o nedeterminare de forma 00

înseamnă a

gasi valoarea limitei ( )( )0

limx x

f xg x→

în cazul când această limită există.

3] La fel se definesc nedeterminările de forma: ,1 , , , 0 ,∞∞∞ −∞ ⋅∞

∞ . 0 0, 0∞

Teorema 3.32

Fie A ⊆ R, '0 Rx A∈ ∩ punct de acumulare, f, g : A → R. Dacă

( )( )0

limx x

f xg x→

prezintă o nedeterminare de forma ,1 , , , 0 ,∞∞∞ −∞ ⋅∞

∞0 , 0∞ 0 ea se reduce la o

nedeterminare de forma 00

.

Demonstraţie (I) Fie ( ) ( )0 0

lim limx x x x

f x g x→ →

= = +∞ , atunci există V ∈ V (x0) a.î.

( ) ( ) { }00 şi 0,f x g x x A V≠ ≠ ∀ ∈ ∩ − x şi notând

76

( ) ( ) ( ) ( )1 1,F x G x

f x g= =

x; avem:

( )( )

( )( ) { }0,

f x F xx V A x

g x G x= ∀ ∈ ∩ −

cu ( ) ( )0 0

lim lim 0;x x x x

F x G x→ →

= = nedeterminarea ∞∞

se reduce la nedeterminarea 00

.

La fel

(II) ( ) ( ) ( )( ) { }0,

f xf x g x x A V x

G x⋅ = ∀ ∈ ∩ − permite reducerea

nedeterminării la nedeterminarea 0 ⋅∞ 00

.

(III) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1f x g x f x g x

g x f x⎡ ⎤

− = ⋅ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

unde ( )∞ −∞ se

reduce la 0 şi prin (II) la ⋅∞00

.

(IV) ( ) ( )0 0

lim 1, limx x x x

f x g x→ →

= = ∞ , atunci există V ∈ V (x0) a.î. f (x) > 0,

g (x) > 0, { }0x A V x∀ ∈ ∩ − şi pentru ( ) ( ) ( )g xh x f x⎡ ⎤= ⎣ ⎦

{ }0xA V x∀ ∩ − avem ( ) ( )ln h xh x e= cu ( ) ( ) ( )ln lnh x g x f x= =

( )

( )

ln 01 0f x

g x

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.◄

Teorema 3.33 (Teorema lui Cauchy) Fie I ⊂ R interval, x0 ∈ I şi , : Rf g I → cu proprietăţile: 1o] ( ) ( )0 0 0f x g x= = 2o] f şi g derivabile în x0 şi ( )'

0 0g x ≠ , atunci există V ∈V (x0) cu ( ) { }00,g x x I V x≠ ∀ ∈ ∩ − şi avem

( )( )

( )( )0

'0

'0

limx x

f xf xg x g x→

= .

Demonstraţie În ipotezele teoremei, avem:

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) { }0

00

0

0

f x f xf x x x

x V I xg x g xg x

x x

−−

= ∀ ∈ ∩−−

− de unde rezultă ( )( )

( )( )0

'

'limx x

f x f xg x g x→

= .◄

Teorema 3.34 (Teorema lui L'Hospital) Fie , cu şiRa b a b I∈ < ⊂ R un interval cu ( ) [ ], ,a b I a b≤ ⊆ ,

[ ]0 ,x a b∈ , iar { }0, : Rf g I x− → funcţii cu proprietăţile: 1o ( ) ( )

0 0

lim lim 0x x x x

f x g x→ →

= = (respectiv ( )0

limx x

g x→

= ∞ )

77

2o f, g sunt derivabile pe I − {x0} şi g(x) ≠ 0, ∀x ∈ I − {x0}

3o există ( )( ) ( )

0

'

'lim cu sauRx x

f xl l

g x→= ∈ l = ±∞ atunci g(x) ≠ 0, ∀x ∈ I − {x0}.

(respectiv există V ∈V (x0) cu g(x) ≠ 0, ∀x ∈ I − {x0}) şi există ( )( )0

limx x

f xl

g x→=

Demonstraţia în bibliografie ([11]; [13]; [16]). ◄ Exemple

1o 2

0 0

1sin 0 1lim lim sin 1 0 0sin 0 sinx x

x xx xx x x→ →

⎛ ⎞= = = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

şi nu se aplică teorema lui

L'Hospital: ∃( )( )

'

'0 0

1 12 sin coslim lim

cosx x

xf x x xg x x→ →

−=

2o ( ) ( ) ( )0 0

0 0

1ln 1 0 1lim ctg ln 1 0 lim lim 1

1tg 0cos 2

x x xx x

x xx xx 0

x→ →> >

+ ++ = ∞ ⋅ = = = =→

3o ( )2

22 20 0

1 coslim ctg limsinx x

xxx x→ →

⎛ ⎞⎛ ⎞− = ∞ −∞ = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

1x

2 2 2

2 20

cos sin 2limsin 5x

x x xx x→

−= = − .

4o 0

sinln1 1 sin 0 1ln lim1 cos 1 cos 1 cos 0 30 0

sinlim 1 lim x

xx x

x x x x

x x

x e ex

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠−

e−⎜ ⎟ ⎜ ⎟∞ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→ →

⎛ ⎞ = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

5o

1 1ln ln

1ln arctg lim ln arctgln 2 2lim arctg lim

2

x x

xx xx

x xx e e →∞

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∞⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→∞ →∞

π⎛ ⎞− = =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

( )( )

2

2 222 2

22

1 1 11arctg 102 1 1limlim lim lim11 0arctg 1 112

xx xx

xxxx xx x

x xx xe e e e→∞→∞ →∞

→∞

− −⋅π +− +

+ −−− −π −− − + e−+= = = = =

6o ( ) ( ) 01 1 ln lim 0lnln

0 00

lim 1 lim 1 1x

xxxxx x

x xx

x x e →

→ →>

⎡ ⎤+ = + = = =⎢ ⎥⎣ ⎦e .

78

Modulul 3.3 - Derivate de ordin superior. Formula lui Taylor. Aplicaţii

Derivate de ordin superior

Fie A ⊆ R o mulţime care îşi conţine punctele de acumulare, A' ⊆ A şi f : A → R o funcţie derivabilă pe A. Definiţia 3.12 Fie f : A → R funcţie derivabilă pe A cu f ': A → R derivata sa. 1] Funcţia f este derivabilă de două ori pe A sau derivabilă de ordin II pe A, dacă şi numai dacă, funcţia derivată f ': A → R este derivabilă pe A şi avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

' '' 0'' ' ''

00

1 , lim Rdef

x x

f x f xf x f x x A f x

x x→

−⎡ ⎤= ∀ ∈ ⇔ =⎣ ⎦ −

,∈

0x A∈ 2] În mod recursiv, funcţia f este derivabilă de n ori pe A sau derivabilă de ordin n (n ≥ 2) pe A, dacă şi numai dacă există f ', f ''..., f (n−1): A → R; şi funcţia f (n−1) este derivabilă pe A, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0

1 1'1 0

00

2 , ; limn ndef

n n n

x x

f x f xf x f x x A f x

x x

− −−

−⎡ ⎤= ∀ ∈ =⎣ ⎦ −

0,R x A∈ ∀ ∈ . 3] Funcţia f este de clasă n pe A, notat ( )nf C A∈ , sau f de clasă Cn pe A, dacă şi numai dacă, există f ', f ''...,f (n−1), f (n) pe A şi f (n) este funcţie continuă pe A. Teorema 3.35 (Operaţii cu funcţii derivabile de ordin n) Fie A ⊆ R cu A' ⊆ A şi f, g : A → R. Dacă f şi g sunt funcţii derivabile de n ori pe A, atunci f ± g, λf (λ ∈ R), f⋅g sunt funcţii derivabile de n ori pe A şi au loc formulele de calcul: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 ,n n nf g x f x g x x± = ± A∈

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )4 ,n nf x f x xλ = λ A∈

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

5 ,n

n n k kkn

kfg x C f x g x x−

=

= ∈∑ A

Demonstraţie Formulele (3) şi (4) se deduc, direct prin metoda inducţiei. Pentru formula (5) pentru n = 1, avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ,fg x f x g x f x g x x A= + ∀ ∈ , deci P(1) adevărată. pentru ∀k ≥ 1 presupunem P(k) adevărată: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 11k k k

kfg x f x g x C f x g x−= + + +… ( ) ( ) ( ) ( )0 kkkC f x g x+ şi să

demonstrăm că, este adevărată P(k+1). În acest scop derivăm ( )( ) ( )'kfg x⎡ ⎤

⎣ ⎦ şi

folosind relaţia de recurenţă:

79

11, 1, 2, ,j j j

k k kC C C j−++ = = … k obţinem expresia lui P(k+1) şi deci P(n) adevărată

pentru orice n ≥ 1. ◄ Consecinţa 3.13 Fie A ⊆ R cu A' ⊆ A şi f, g : A → R. Dacă ( ), nf g C A∈ cu

{ }Nn∈ ∪ +∞ , atunci: ( )nf g C A+ ∈ , ( ) ( )Rnf C Aλ ∈ λ∈ şi ( )nfg C A∈ . Demonstraţia este directă din teorema 1 şi definiţia 1 − 3. ◄ Observaţii 1. Din definiţia 1, teorema 1 şi consecinţa 1, rezultă că din punct de vedere algebric mulţimea Cn(A) are structură de inel comutativ cu element unitate, în raport cu operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire a funcţiilor f, g : A → R cu A ⊆ R mulţime deschisă. 2. Din definiţia 1 rezultă că ( ) ( )

0

n

nC A C A∞

≥= ∩ şi are loc şirul de incluziuni:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1n nC A C A C A C A C A C A∞ −⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂… … 0 unde ( )0C A este mulţimea funcţiilor continue f : A → R. 3. Prin inducţie se calculează derivata de ordin n (n ≥ 2) pentru funcţii elementare şi anume:

( )( )o1 sin sin ; 12

R,n nx x xπ⎛ ⎞= + ∀ ∈ ∀⎜ ⎟⎝ ⎠

n ≥

( )( )o2 cos cos ; 12

R,n nx x xπ⎛ ⎞= + ∀ ∈ ∀⎜ ⎟⎝ ⎠

n ≥

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

o

2 2

3 arctg 1 !cos arctg sin arctg2

1 !sin arctg ; 1

21

R,

n n

n

x n x n x

nn x x n

x

π⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

− π⎛ ⎞= + ∀ ∈ ∀ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠+

=

( )( ) ( ) ( )1o 1 1 !

4 ln ; 0n

nn

n1x x n

x

+− −= ∀ > ,∀ ≥

( )( ) ( )

( )( )o

ln ; , 1; 0, 15

, , 1

R

R

n nx x

nx x

a a a x n a a

e e x n

⎧ = ∀ ∈ ∀ ≥ >⎪⎨⎪ = ∀ ∈ ∀ ≥⎩

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )o

1 1 ; , 16

1 1 ; 0, ,

nm m n

n n

x m m m n x x m

1x n x x n

− ∗

α α−

⎧ = − − + ∀ ∈ ∀ ≥⎪⎨⎪ = α α − α − + ∀ > ∀α∈ ∀ ≥⎩

R

R

( )( )

( ) ( )( )o7 1 1 1 1 ; 1; Rn nx n x xα α−⎡ ⎤+ = α α − α − + + ∀ > − ∀α∈⎣ ⎦ …

( ) ( )o8 cu şi imparR Rn nf x x x n f C= ∈ ⇒ ∉

80

( ) ( ) ( ) ( )1 1 ; 1, , ;

0 ; 1

Rn kk

xn n n k x k n xf x x

k n

− ∗⎧− − + = ∈⎪= ⎨

⎪ ≥ +⎩

… …

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1' '' 1

' '-1 -1

0 0 0 0 ; Avem :

0 !şi 0 ! æ 0

n n

n n n n

s d

f f f f C

f n f n f f C

− −⎛ ⎞= = = = ⇒ ∈⎜ ⎟⎜ ⎟= − = − ⇒ ⇒ ∉⎜ ⎟⎝ ⎠

R

R

4. Vom enunţa unele teoreme pentru funcţiile derivabile pe un interval în cazul general al funcţiilor f ∈ Cn (A), A ⊆ R ([11], [13], [16]). Teorema 3.36 (Teorema lui Rolle generalizată) Fie f : [a, b] → R derivabilă de n ori pentru care există punctele

0 1 na x x x b≤ < < < =… astfel încât ( ) { }0 cu 0,1, ,kf x k= ∈ … n , atunci există

( ) ( ) ( ), a.î. 0nc a b f c∈ = . Demonstraţia se obţine aplicând în mod inductiv teorema lui Rolle, în bibliografie ([11], [16]). ◄ Teorema 3.37 (Teorema lui Cauchy generalizată) Fie I ⊂ R interval, x0 ∈ I interior şi f, g : I → R funcţii cu proprietăţile: 1o] ( ) ( )0 0 0f x g x= = 2o] f şi g sunt derivabile de n ori în x0 ∈ I

3o] ( ) ( ) ( ) ( ) { }0 0 0, 0,1, , 1k kf x g x k n= = ∈ … − 4o] ( ) ( )0 0ng x ≠ , atunci există

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )0

0

0

lim 6n

nx x

f xf xg x g x→

=

Teorema 3.38 (teorema lui L'Hospital generalizată) Fie , cu şiR Ra b a b I∈ < ⊆ interval, iar ( ) [ ], ,a b I a b⊆ ⊆ ,

( )0 ,x a b∈ , şi { }0, : Rf g I x− → funcţii cu proprietăţile:

1o f, g derivabile de n ori şi ( ) ( ) { }00ng x x I x≠ ∀ ∈ −

2o ( ) ( )0

lim 0k

x xf x

→= (respectiv ( ) ( )

0

lim k

x xg x

→= +∞ ) pentru

{ }0,1, , 1k n= −…

3o există ( ) ( )( ) ( )

( )0

lim sauRn

nx x

f xl l l

g x→= ∈ = ±∞ atunci

( ) { }00,g x x I x≠ ∀ ∈ − şi există ( )( ) ( )

0

lim 7x x

f xl

g x→= .

Formula lui Taylor. Aplicaţii ale formulei Taylor. Fie I ⊂ R interval, f : I → R o funcţie derivabilă în x0 ∈ I, dacă există:

( ) ( ) ( )( )0

'0 0 0

0

lim 0x x

f x f x f x x xx x→

⎡ ⎤− − −⎣ ⎦ =−

. Considerând funcţia

81

( )( ) ( ) ( )( )

{ }'

0 0 00

0

0

;

0 ;

f x f x f x x xx I x

x x xx x

⎧⎡ ⎤− − −⎣ ⎦ ∈ −⎪α = −⎨

⎪ =⎩

, atunci are loc

identitatea: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'

0 0 0 0 01 ,f x f x x x f x x x x x= + − + − α ∀ I∈ cu

( ) ( )0

0lim 0x x

x x→

α = = α . În concluzie, dacă f este derivabilă

(⇔ diferenţiabilă) în x0 ∈ I, atunci f este aproximativ egală cu funcţia de gradul unu: ( ) ( ) ( )'

0 0 0f x x x f x+ − , deci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )'0 0 02 , 0,f f x x x f x x V I V x≅ + − ∀ ∈ ∩ ∈V .

Folosind constatarea de mai sus, să dovedim că existenţa derivatei de ordin n (n ≥ 2) a funcţiei f în x0 ∈ I, antrenează faptul că f este “aproximativ egală” cu un polinom de gradul n în (x – x0) cu coeficienţi reali pe V ∈ V (x0), deci: ( ) ( ) ( ) ( )3 ,n nf x T x R x x= + I∈ unde funcţia Rn(x) are proprietatea:

( ) ( )( )0

0

4 lim 0nnx x

R x

x x→=

− şi atunci, avem: ( ) ( ) ,nf x T x x V I≅ ∀ ∈ ∩ . Răspunsul la

această problemă va fi dat prin formula luii Taylor care este o generalizare a formulei lui Lagrange: ( ) ( ) ( )( ) ( )' ; ,f b f a f c b a c a b− = − ∈ . Definiţia 3.13 Fie A ⊆ R mulţime deschisă, x0 ∈ A, f : A → R o funcţie derivabilă de n ori în punctul x0 ∈ A. 1] Polinomul:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0' ''00 0 0 05 ;

1! 2!n

x xx xT x x f x f x f x

−−= + + +

( ) ( ) ( ) ( )00!

nnot

nn

x xf x T x

n−

+ = se numeşte polinom Taylor de grad n

asociat lui f şi punctului x0. 2] Funcţia

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 06 ; ; ,not

n n nR x x f x T x x R x x A= − = ∀ ∈ se numeşte rest Taylor de ordin n asociat lui funcţiei f şi punctului x0. 3] Identitatea: ( ) ( ) ( ) ( )3 n n ,f x T x R x x= + ∀ ∈ A se numeşte formula lui Taylor şi membrul II din (3) se numeşte dezvoltarea Taylor de ordin n a funcţiei f în punctul x0 ∈ A. Teorema 3.39 Fie I ⊆ R interval deschis, x0 ∈ I şi f : I → R o funcţie derivabilă de n ori în x0, atunci f poate fi exprimată pe I prin formula Taylor:

82

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0' ''00 07

1! 2!x xx x

f x f x f x f x−−

= + + +0

( ) ( ) ( ) ( )00 ,

!

nn

n

x xf x R x x

n−

+ + I∀ ∈ .

unde restul de ordin n, Rn(x) are proprietatea: ( ) ( )( )0

0

0

;4 lim 0n

nx x

R x x

x x→=

−.

Demonstraţie Formula (7) revine la a dovedi egalitatea (4) în ipotezele teoremei. Din (6) şi (7), avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0'00 0 0 ,

1! !

nnot

nn

x xx xR x f x f x f x f x F x

n−−

= − − − − =

( ) ( )0şi ,nx I G x x x x I∀ ∈ = − ∀ ∈ . Funcţiile F şi G sunt derivabile de n ori în

x0∈I, cu: ( ) ( ) ( ) ( )0 0, 0k kF x G x0= = pentru { }1,2, , 1k n∈ −…

şi ( ) ( ) ( ) ( )0 00, !k kF x G x n= = . După teorema 3 (teorema lui Cauchy generalizată) cu f şi g derivabile de n ori în x0 ∈ I, avem:

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )0 0 0 0

1'

' 10

lim lim lim limn

nn nx x x x x x x x

R x F x F x FG x G x G xx x

−→ → → →= = = =

−…

x=

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )0

0

0

0lim 0 4!

n n

n nx x

F x F xnG x G x→

= = = = ⇒ este adevărată. ◄

Teorema 3.40 (Teorema lui Taylor cu rest Peano) Dacă f : I → R este derivabilă de n ori în x0 ∈ I cu I interval deschis din R, atunci există o funcţie α : I → R continuă şi nulă în x0 ∈ I a.î.:

( ) ( ) ( ) ( )08!

Rn

n

x xR x x x

n−

= α ∀, ∈ restul lui Peano şi are loc formula Taylor

cu rest Peano:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0'00 09

1! !

nnx xx x

f x f x f x f xn−−

= + + + 0 +

( ) ( )0 ,!

nx xx x I

n−

+ α ∀ ∈ .

Demonstraţia Folosind (4) verificată de funcţia Rn(x) după teorema I,

definim ( ) ( )( )

( ){ }0

0

0

! ;: ,

0 ;

Rn

n

R xn x I

I x x xx x

⎧∈ −⎪

∗ α → α = −⎨⎪ =⎩

x şi obţinem

( ) ( )0

0lim 0x x

x x→

α = = α , iar după (3) şi (8) are loc formula lui Taylor (9). ◄

83

Teorema 3.41 (Formula lui Taylor cu rest Lagrange) Fie I ⊂ R interval, f : I → R o funcţie derivabilă de (n+1) ori pe I, atunci pentru ∀x ∈ I şi ∀x0 ∈ I fixat, există un punct ξ între x şi x0

astfel încât: ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )1

1010 ,1 !

nn

n

x xR x f

n

++−

= ξ+

x I∀ ∈

restul lui Lagrange şi are loc formula Taylor cu rest Lagrange:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0' ''00 011

1! 2!x xx x

f x f x f x f x−−

= + + +0

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )1

10 00 ,

! 1 !

n nn nx x x x

f x fn n

++− −

+ + ξ+

x I∀ ∈

Demonstraţie Fie x, x0 ∈ I şi considerăm A ∈ R pentru a defini egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10'00 0 011 ,

1! !

nnnx xx x

f x f x f x f x A x xn

+−−= + + + + − 0

x I∀ ∈ şi să determinăm A a.î. Rn(x) să fie restul Lagrange dat prin (10). Definim funcţia ajutătoare ϕ : J → R cu J segmentul de extremităţi x0 şi x inclus în I, prin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1'121! !

nnnx tx tt f t f t f t A x t

n+−−

ϕ = + + + + − ,

t J∀ ∈ . După ipotezele din teorema III, funcţia ϕ satisface condiţiile teoremei Rolle pe segmentul J şi atunci există un punct ξ între x0 şi x a.î. ϕ'(ξ) = 0. Din (13) prin derivare, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1' 1!

nnnx t

t f t n A x tn

+−⇒ ϕ = − + − ⇒ ϕ ξ = =' 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1!

nnnx

f n A xn

+− ξ= ξ − + − ξ şi cum 0x −ξ ≠ ⇒

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1 1

1 0! 1

n nf fn A A

n n

+ +ξ ξ⇒ − + = ⇒ =

+ ! şi

( ) ( )( )

( ) ( )1

10

1 !

nn

n

x xR x f

n

++−

=+

ξ restul Lagrange din (10).◄

Teorema 3.42 (Formula lui MacLaurin) Dacă I ⊂ R interval, f : I → R o funcţie derivabilă de (n+1) ori pe I şi 0 ∈ I, atunci există un punct ξ între 0 şi x astfel încât are loc formula MacLaurin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

' ''14 0 0 0 01! 2! !

nnx x xf x f f f f

n= + + + + +

84

( )( ) ( )

11 ,

1 !

nnx f x I

n

+++ ξ

+∀ ∈ .

Demonstraţia este directă din formula (11) din teorema III. ◄

Aplicaţii ale formulei lui Taylor I] Pentru n = 1 din formula lui Taylor cu rest Peano (9) se obţine ( ) ( ) ( )( ) ( )( )'

0 0 0 0 ,f x f x f x x x x x x x I= + − + α − ∀ ∈ ⇔

( ) ( ) ( )( ) ( )( )'0 0 0f x f x f x x x x x x− = − + α − care, prin definiţie,

caracterizează funcţia f diferenţiabilă în x0 ∈ I cu A = f '(x0) ∈ R. II] Pentru n = 0 din formula lui Taylor cu rest Lagrange (11) se obţine: ( ) ( ) ( )( )'

0 0f x f x f x x= + ξ − cu ξ între x şi x0 ⇔

( ) ( ) ( )( )'0 0f x f x f x x− = ξ − formula lui Lagrange pe [x0, x] sau [x, x0].

III] Formula Taylor permite unele precizări în studiul variaţiei unei funcţii reale de o variabilă reală. Dacă f : [a, b] → R este funcţie de clasă C2, f ∈C2([a, b]), atunci prin definiţie: (i) f este convexă pe [a, b] sau f “ţine apa” dacă pentru ∀x, x0 ∈ [a, b] avem: ( ) ( ) ( )( )'

0 0 0f x f x f x x x≥ + − , adică graficul lui f este situat deasupra tangentei în orice punct (x0, f (x0)) ∈ Gf. (ii) f este concavă pe [a, b] sau f „nu ţine apa” dacă pentru ∀x, x0 ∈ [a, b] avem: ( ) ( ) ( )( )'

0 0 0f x f x f x x x≤ + − , adică graficul lui f este situat sub tangentă în orice punct (x0, f (x0)) ∈ Gf. După formula lui Lagrange cu rest de ordin 1 (pentru n = 1) avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0'00 014

1! 2!x xx x

f x f x f x f−−

= + + '' ξ cu ξ situat între x şi x0, de

unde rezultă: (i) f este convexă pe [a, b] ⇔ f '' ≥ 0 pe [a, b] (ii) f este concavă pe [a, b] ⇔ f '' ≤ 0 pe [a, b]

Din (14) avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0' '00 04 '

1! 2x xx x

f x f x f x f−−⎡ ⎤− + =⎢ ⎥⎣ ⎦

' ξ

unde ( )20 0x x− ≥ şi ( ) ( ) ( ) ( ){ }'

0 0 0sign n f x f x x x f x⎡ ⎤− + − =⎣ ⎦

( )''sign f= ξ . Determinarea punctelor de extrem local

Teorema 3.43 Fie I ⊂ R interval, f : I → R o funcţie derivabilă de n ori în x0 ∈ I (n ≥ 2) cu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1' ''0 0 0 00 şin nf x f x f x f x−= = = = 0≠ , atunci au loc situaţiile:

i) Dacă n este par, x0 ∈ I este punct de extrem local pentru f

85

1) punct de minim local când ( ) ( )0 0nf x >

2) punct de maxim local când ( ) ( )0 0nf x < ii) Dacă n este impar , x0 ∈ I nu este punct de extrem local. Demonstraţia În ipotezele teoremei are loc formula lui Taylor cu rest Peano:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )1

10'00 09

1! 1 !

nnx xx x

f x f x f x f xn

−−−−

= + + +− 0 +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 ,

! !

n nnx x x x

f x x x In n− −

+ α ∀ ∈ cu ( ) ( )0

0lim 0x x

x x→

α = = α şi

rezultă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0'0 09 ,

! !

n nnx x x x

f x f x f x x x In n− −

= + + α ∀ ∈ ⇔

( ) ( ) ( ) ( )

9 ''

( ) ( ) ( )0'0 09

!

nnx x

f x f x f x xn− ⎡ ⎤− = + α⎣ ⎦ şi există

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0lim limn n

x x x x 0nf x x f x x f

→ →⎡ ⎤+ α = + α =⎣ ⎦ x . După o proprietate a

funcţiilor cu limită în punct există V ∈V (x0) a.î. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0sign sign ,n nf x x f x x V⎡ ⎤+ α = ∀ ∈ ∩⎣ ⎦ I şi după (9''), avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0sign sign ,

!

nnx x

f x f x f x x Vn−

⎡ ⎤− = ∀ ∈⎣ ⎦ I∩ . Are loc discuţia:

i) Dacă n este par, atunci ( )0 0,nx x x V I− ≥ ∀ ∈ ∩ şi avem

( ) ( ) ( ) ( )0sign sign n0f x f x f x⎡ ⎤− =⎣ ⎦ , deci conform definiţiei punctelor de

extrem local: 1) x0 punct de minim pentru ( ) ( )0 0nf x >

2) x0 punct de maxim pentru ( ) ( )0 0nf x <

ii) Dacă n este impar ( )0nx x− are semn variabil pe V I∩ , deci ( ) ( )0f x f x⎡ ⎤−⎣ ⎦

are semn variabil pe V şi xI∩ 0 ∈ I nu este punct de extrem local pentru f.◄ Consecinţa 3.14 Fie I ⊂ R interval, x0 ∈ I punct interior şi f : I → R o funcţie de clasă C2 pe I, f ∈ C2(I), Dacă ( ) ( )' ''

0 0 şif x f x= 0 0> atunci x0 este punct de minim local, iar pentru x( )''

0 0f x < 0 este punct de maxim local. Demonstraţia este directă pentru n = 2.◄ Observaţii

86

1. Consideraţia ( ) ( )0 0nf x ≠ este esenţială pentru valabilitatea teoremei V.

2. Exemplu ( ) 1sin sin 2 ,2

Rf x x x x= − ∈ şi să determinăm punctele de extrem

local din . Avem: [ ]0,2 RI = π ⊂

( ) ( )' 'cos cos 2 0 cos 1 2cos 0f x x x f x x x= − ⇒ = ⇔ + − =2 şi pentru

[ ] 21 2

1cos cu 1,1 2 1 0 cu 1,2

x y y y y y y= ∈ − ⇔ + + = = = − ⇔

1 2 3 4

cos 12 40, , , 21 3 3cos

2

xx x x x

x

=⎧π π⎪⇔ ⇒ = = =⎨

= −⎪⎩

= π sunt puncte critice

ale lui f din I = [0, 2π]. Avem: ( ) ( )' ''cos cos 2 , sin 2sin 2 ,f x x x f x x= − = − + x

( ) ( )''' cos 4cos 2 , sin 8sin 2ivf x x x f x x= − + = − x etc. I ( ) ( ) ( )' '' '''

1 10 : 0 0, 0 0, 0 3 0 0x f f f x= = = = ≠ ⇒ = nu este punct de extrem local (n = 3).

II ( )' ''2 2

2 2 2 3: 0, 3 0 23 3 3 2

x f f nπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − < =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x⇒ este punct de

maxim local şi 2 33 4

f π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

III ( )' ''3 3

4 2 4 3: 0, 2 0 23 3 3 2

x f f nπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = > =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x⇒ este punct de minim

local şi 4 33 4

f π⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

IV ( ) ( ) ( ) ( )' '' '''4 42 : 2 0, 2 0, 2 3 0 2 24x f f f n x= π π = π = π = ≠ = ⇒ = nu este

punct de extrem local.

Aproximarea funcţiilor reale prin polinoame 1. În aplicaţii se foloseşte mai mult formula Taylor cu rest Lagrange datorită formei simetrice a restului Rn faţă de ceilalţi termeni:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0'00 011

1! !

nnx xx x

f x f x f x f xn−−

= + + + 0 +

( )( )

( ) ( )1

10 ,1 !

nnx x

f x In

++−

+ ξ+

∀ ∈ pentru f : I → R derivabilă de (n+1) ori pe I.

2. Punctul ξ situat între x şi x0 se poate exprima sub forma: ( )0 cu 0,1x hξ = + θ θ∈ astfel: notăm 0h x x= − şi din 0x x< ξ < sau

87

0 00 0x x x x x h< ξ < ⇒ < ξ − < − = 0 0 0h x x xsau − < ξ − < ⇔ =

( )000 1 ,

xx h

hξ −

< = θ < ⇔ ξ = + θ ∈ 0,1 .

3. Formula lui Taylor cu rest Lagrange (11) se scrie sub forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

11'

0 0 0 01

11! 1 !

k nnk n

k

h hf x h f x f x f x hk n

++

=

+ = + + + θ+∑ ,

0 0x x h x x= + ⇔ − = h , 0 1< θ <4. Formula MacLaurin (14) se scrie sub forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

11'

1

14 0 0! 1 !

k nnk n

k

x hf x f f f xk n

++

=

= + + θ+∑ cu 0 1xξ = θ < θ < .

5. Din formula Taylor cu rest Lagrange (11) şi forma (11'), rezultă că pe o vecinătate V ∈ V (x0) suficient de mică funcţia f poate fi aproximată prin polinomul Taylor de grad n: ( ) ( ) ( ), 1nf x T x x V I≅ ∀ ∈ ∩ 5

6. Din formula (11') rezultă următoarele probleme legate de aproximarea lui f prin Tn pe V ∩ I: I Daţi h şi n, să se determine eroarea ( ) ( ) ( )16n nE f x T x= − pe care o facem înlocuind f cu Tn pe V ∩ I. II Dat n şi cerându−se o anumită eroare En să se determine h, adică vecinătatea V = (x0 − h, x0 + h) ∈ V (x0) şi V ⊂ I pe care apare o eroare mai mică decât En când înlocuim f cu Tn pe V ∩ I. III dat h şi cerând o anumită eroare mai mică decât En, să se determine gradul n (n ∈ N) al lui Tn a.î. înlocuind f cu Tn pe intervalul (x0 − h, x0 + h) = V ⊂ I să se obţină o eroare mai mică decât En. Răspunsurile la aceste probleme de aproximare se dau prin teorema următoare: Teorema 3.44 (Teorema de aproximare a funcţiilor prin polinoame) Fie I ⊂ R interval deschis, f : I → R cu f ∈ C∞(I) şi Tn şirul polinoamelor Taylor, (Rn) şirul resturilor Taylor asociate lui f în ∀x0 ∈ I, atunci au loc afirmaţiile: i) Dacă pentru fiecare x ∈ I fixat şirul polinoamelor (Rn (x)) n ≥ 0

converge la zero, deci: ( )lim 0nnR x

→∞= , în fiecare x ∈ I, atunci şirul polinoamelor

Taylor (Tn (x)) n ≥ 0 converge la f (x), deci: în fiecare x ∈ I şi ( ) ( )lim nn

T x f x→∞

= ( ) ( )nf x T x≅ pe I.

ii) Dacă I este un interval mărginit din R şi există un şir de numere reale pozitive (an)n ≥ 0 convergent la zero a.î. ( ) ( )17 n nR x a≤

88

şi Nx I n∀ ∈ ∀ ∈ , atunci şirul polinoamelor Taylor (Tn (x)) n ≥ 0 converge la f (x) în ∀x ∈ I şi eroarea ( ) ( ) ( )n nE x f x T x= − comisă prin aproximarea lui f prin

Tn este mai mică sau egală cu an, deci: ( ) ( ) ( ) ( )n n n nE x f x T x R x a= − = ≤ ,

( ) ( ) ( ) ( )lim , şin nnx I T x f x x I f x T

→∞∀ ∈ ⇔ = ∀ ∈ ≅ x pe I.

iii) Dacă I este interval mărginit de lungime l = lung (I) > 0 şi există M ∈ R cu M > 0 a.î. ( ) ( ) ( )18 , şi Nnf x M x I n≤ ∀ ∈ ∀ ∈ , atunci şirul

polinoamelor (Tn) converge la f şi eroarea comisă En prin aproximarea lui f cu

Tn este mai mică sau egală cu numărul ( )

1

1 !

nMln

+

+, deci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

19 şi lim1 !

n

n n n nn

lE x f x T x R x M T x f xn

+

→∞= − = ≤ =

+,

∀x ∈ I. Demonstraţie (i) Fie x0 centru intervalului I şi după formula Taylor cu rest Lagrange (11), avem din (16) ( ) ( ) ( ) ( )n n nE x f x T x R x= − = în fiecare x ∈ I.

Dacă x ∈ I este fixat, există ( )lim 0nnR x

→∞= ⇒ ( ) ( )lim[ ] 0nn

f x T x→∞

− = ⇒

( ) ( )lim nnf x T

→∞= x în fiecare x ∈ I fixat şi atunci: ( ) ( )nf x T x≅ în fiecare x ∈ I.

ii) Din (16) şi (17), avem: ( ) ( ) ( ) ( )n n n nE x f x T x R x a= − = ≤ , ∀x ∈ I şi

∀n∈N cu ( ) ( )lim 0 limn nn na T x

→∞ →∞= ⇒ = f x în fiecare x ∈ I fixat.

iii) După ipoteza (18) şi inegalitatea (19) din formula (11) avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 110 | |

1 ! 1 !

n nn

n n n

x x lE x f x T x R x f Mn n

+ ++−

= − = = ξ ≤+ +

=

1nMb += . Şirul numeric 0!

Rn

nlbn

= → (bn este descrescător şi mărginit inferior de

zero cu lim bn = 0) şi atunci rezultă că există: ( ) ( ) ( ) ( )lim , şi ,n nn

T x f x x I f x T x x I→∞

= ∀ ∈ ≅ ∀ ∈ .◄

Observaţii 1. În cazul i) din teorema VI, Tn aproximează punctual f pe I, în sensul că pentru ∀ε > 0 dat, se poate determina un polinom Tn (x) a.î.

( ) ( ) ( )n nE x f x T x= − < ε pentru fiecare x ∈ I. 2. În cazurile ii) şi iii) din teorema VI, Tn aproximează global funcţia f pe I, în sensul că ∀ε > 0 dat, se poate determina un polinom Tn a.î.

( ) ( ) ( )n nE x f x T x= − < ε pentru fiecare x ∈ I.

89

3. Teorema VI se foloseşte pentru aproximarea funcţiilor reale indefinit derivabile pe un interval I ⊆ R, adică f ∈ C∞(I), prin şirul polinoamelor Taylor Tn asociat lui f în orice punct x0 ∈ I. Exemple 1o I) ( ) ( ) ( ) ( ), ; , , şiR R Nnx xf x e x f x e x n f C∞= ∈ = ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ R .

Avem ( ) ( )0 1, Nnf = ∀ ∈n şi după formula MacLaurin (14').

( ) ( )2 1

1 cu , 01! 2! ! 1 !

Rn n

x x x x xe e xn n

+ξ= + + + + + ξ = θ < θ < ∀ ∈

+1 , x

II) Pentru ∀x ∈ R fixat, avem: ( )

1

lim 01 !

nx

n

x en

→∞= ⇒

+ în fiecare x ∈ I fixat;

lim 1 11! ! 1! !

n nx x

n

x x xe en n→∞

⎛ ⎞= + + + ⇒ ≅ + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

x În particular, pentru x = 1:

1 1lim 11! !n

en→∞

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

III) Pentru ∀x ∈ [0, 1] să determinăm n ∈ N a.î. prin aproximarea

11! !

nx

nx xe T

n≅ + + + = eroarea ( ) 0,125nE x < ⇒

( ) ( ) ( )1 11 0,125

1! ! 1 ! 8

nx x

n nx xE x e T x e e

n n⎛ ⎞

= − = − + + + < < = ⇒⎜ ⎟ +⎝ ⎠

( )1 ! 0,125n⇒ + < pentru n = 3 şi avem: 2 3

11! 2! 3!

x x x xe ≅ + + + ,

[ ]0,1x∀ ∈ .

2o ( ) ( ) ( )sin , cu sin , şi2

R Rn nf x x x f x x x nπ⎛ ⎞= ∀ ∈ = + ∀ ∈ ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

N ,

I) deci f ∈ C∞(R) şi avem ( ) ( ) sin 1, ,2

R Nn nf x x x nπ⎛ ⎞= + ≤ ∀ ∈ ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

Din ( ) ( )( )0 ; 2

0 sin2 1 ; 2 1

nk

n knfn k

=⎧π ⎪= = ⎨− =⎪⎩ +

rezultă: 3 5

sin3! 5!x xx x= − + +

( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1

11 12 1 ! 2 1 !

n nn nx x )cos x

n n

− +−

+ − + − θ− +

. Pentru fiecare x ∈ R fixat:

( ) ( ) ( )

2 1

lim lim cos 02 1 !

n

nn n

xR x x

n

+

→∞ →∞= θ =

+⇒

90

( ) ( )3 2

1sin lim 13! 2 1 !

nn

n

xx xn

−−

→∞

⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1x în fiecare x ∈ R şi

( ) ( )3 2

1sin 13! 2 1 !

nnx xx x

n

−−⎛ ⎞

≅ − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1

.

II) În particular, pentru x ∈ [0, 1], avem 3

sin3!xx x

⎛ ⎞≅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

cu

( ) ( ) ( )3 5 1 1sin 1 1

3! 5! 5! 120n nx xE x x x E x x= − + < ⋅ ⇒ < = < .

III) Pentru 18

x π= radiani, obţinem

3

3

1sin18 18 18 6π π π≅ − ⋅ cu o eroare

( ) ( )5

5

5

1 1 0,25! 18 5 3 10nE x π⎛ ⎞< < <⎜ ⎟

1⋅⎝ ⎠

.

3o I) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11 1ln 1 , 1, ; ;

1

nn

n

nf x x x I f x

x

−− −

= + ∈ = − ∞ =+

!

Nn∀ ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1şi şi cu 0 1 nnx I f C I f n−∞∀ ∈ ∈ = − −1 !. Avem:

( ) ( ) ( )( )

2 3 11

1

1ln 1 1 12 3 1 1

n nn n

n

x x x xx xn n x

+−

++ = − + + + − + − ⋅+ + θ

0 1< θ < . II) Pentru x ∈ [0, 1], avem:

( ) ( )( )

1

1

1lim lim 1 01 1

nn

n nn n

xR xn x

+

+→∞ →∞= − ⋅ =

+ + θ

( )

( )2 3

1ln 1 12 3

nnx x xx x

n−⎛ ⎞

⇒ + ≅ − + + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

şi deci:

( ) ( ) [2 3

1ln 1 1 , 0,12 3

nnx x xx x x

n−⎛ ⎞

+ ≅ − + + + − ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

] cu

( ) ( ) ( ) ( ) 11n n nE x f x T x R x

n= − = <

+.

III) În particular, pentru n = 9 obţinem:

( ) [ ]2 3 9 1ln 1 , 0,1

2 3 9 10x x xx x x+ − + − − < ∀ ∈

IV) Pentru x = 1, avem: 1 1 1 1 1879ln 2 1 ln 2 0,742 3 10 2520n

− + − − < ⇒ ≅ ≅

91

Calculul unor limite

În cazul calculului limitei: ( )( )0

0lim0x x

f xg x→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

când ( )0

lim 0x x

f x→

= şi ( )0

lim 0x x

g x→

= se

poate folosi formula Taylor (9) sau (11) şi respectiv formula MacLaurin (14) pentru x0 = 0, în loc de a aplica teorema lui Cauchy sau teorema lui L'Hospital. Exemple

1o ( )

3 5

3 30 0

3! 5!sin 1lim lim6x x

x xx x xx x

x x→ →

⎛ ⎞− − + α⎜ ⎟− ⎝ ⎠= = după (9)

2o2 30

1 1 2lim 1 ln2x

x lx x x→

+⎡ ⎤+ − =⎢ ⎥−⎣ ⎦

( )2 3 5

1

12 2ln ln ln 1 ln 12 2 2 2 8 241

2

xx x x x x x x x

xx

+

5⎡ ⎤+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − − = − + + α −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦−

( ) ( ) ( )2 3 5 3

52 0

cu lim 02 8 24 5 12 x

x x x x xx x x x x→

⎡ ⎤− − − − − α = + + β β =⎢ ⎥⎣ ⎦

.

( ) ( )3

5 22 30 0

1 1 1 1lim 1 lim 112 12 12x x

xl x x x xx x→ →

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − + + β = − − β =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

1x

3o Fie ( ) ( )1 sin , ,2 2

xf x x x π π⎛= + ∈ −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi să se găsească primii trei termeni din

formula MacLaurin (14) aplicată lui f. Avem sin 1x < , [ ], ,2 2π π⎛ ⎞∀ α β ⊂ −⎜ ⎟

⎝ ⎠ şi

( ) ( ) (ln 1 sin ln 1 sinx )x x xf x e e+ += =

( )

( ) ( )

3 51

2 32

Pentru : sin1! 3! 5!

sin sin sinPentru , : ln 1 sin2 2 1 2 3

R R

R

n

n

x x xx x x

x x xx x x

⎧∀ ∈ = − + + +⎪⎪

⎨π π⎛ ⎞⎪ ∈ − + = − + + +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

( )23 5 3 5

ln 1 sin1! 3! 5! 2 1! 3! 5!x x x x x x xx x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ + = − + + − − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

33 3 52 3 41 1 , ,

3 1! 3! 5! 2 6 2 2x x x x x x x x⎛ ⎞ π π⎛ ⎞+ − + + + = − + + ∀ ∈ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

92

( ) ( ) ( )2 2ln 1 sin ln 1 sin ln 1 sin

11! 2!

x x x x x xe ⎡ ⎤+⎣ ⎦

+ += + + + =

22 3 4 2 3 41 1 1 11

2 6 2 6x x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + + + − + + + ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2 3 4 31 21 sin 1 ,2 3 2 2

Rxnf x x x x x x x π π⎛ ⎞= + = + − + + + ∀ ∈ −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

93