1 | p a g e - wordpress.com...câteva din principalele metode de demonstrare a inegalitatilor...

1 | P a g e

1)prof.dr., Colegiul National “Traian” , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]

*) exercițiu cu grad ridicat de dificultate

**) exercițiu care necesită cunoștințe de analiză matematică

Clasele VII-XI

INTRODUCERE ÎN INEGALITĂȚI. METODE

Manuela Prajea1)

Scopul lecției de față este acela de a familiariza elevii de clasele VII-IX care se pregătesc pentru concursuri cu

câteva din principalele metode de demonstrare a inegalitatilor simetrice și/sau nesimetrice , omogene și/sau

neomogene. Lecția poate fi parcursă și fără profesor, exercițiile fiind prezentate gradual, având în vedere (sau nu)

metodele specificate la acel paragraf. La final sunt prezentate indicații de rezolvare dar recomandabil este ca

acestea să fie consultate doar în cazul exercițiilor cu )* sau )** sau la primele aplicații din cadrul fiecărei metode.

A) INEGALITĂȚI UZUALE, SIMETRICE ȘI OMOGENE -CALCUL DIRECT, DESCOMPUNERI ÎN FACTORI, ÎNSUMAREA

UNOR INEGALITĂȚI ANALOAGE și/sau INEGALITATEA MEDIILOR

Inegalitatea mediilor pentru două numere:

2 22

1 1 2 2

a b a bab

a b

, , 0a b

Inegalitatea mediilor pentru trei numere:

2 2 2

33

1 1 1 3 3

a b c a b cabc

a b c

, , , 0a b c

Inegalitatea mediilor pentru n numere, , 2n n :

2 2 2

1 2 1 21 2

1 2

... ......

1 1 1...

n nnn

n

a a a a a ana a a

n n

a a a

, 1 2, ,..., 0na a a

1) , 04

a b aba b

a b

2) 3 3 , 0a b ab a b a b

3) 22 2 4 4 2 2 ,a b a b a b a b a b 4) , , 0a b c ab bc ca a b c

2 | P a g e




5) 1 1 1

9, , ,a b c a b ca b c

6) 9 , , ,a b c ab bc ca abc a b c

7) 2 2 2

2 2 2, , , 0

a b c a b ca b c

b c a c a b 8) 2 2 2 9 , , ,a b c a b c abc a b c

9) . , , 0bc ca ab

a b c a b ca b c 10) 4 4 4 , , ,a b c abc a b c a b c

11)

4

4 4 , , 08

a ba b a b

12) , , , 0

2

ab bc ca a b ca b c

a b b c c a

13) 6, , , 0a b b c c a

a b cc a b

14)

2 2 3 3 6 6

, ,2 2 2 2

a b a b a b a ba b

15) , , , , 0a c b d ab cd a b c d 16) 8 , , , 0a b b c c a abc a b c

17) 2 2 2 2 2 2 6 , , , 0a b c b c a c a b abc a b c

18) 3 3 32 , , , 0a b c a b ab b c bc c a ca a b c

19) 2 2 2 2 2 2

1, , , 0xy yz zx

x y zx xy y y yz z z zx x

20)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

yz zx xy

x y x z y z y x z x z y

3, , , 0

2x y z

21)

3, , , 0

2

a b ca b c

a b a c b c c a c a c b

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro-Etapa finală, clasa a VII-a, 2010

22)

9, , , 0

4

aa b c

a b a c a b c

23)

3

, , , 04

bca b c

a b a c

24) 3 2 6 22 4 6 , , , 0a b b c abc a b c 25) 3 3 2 3 2 22 4 , , 0a b a b ab a b a b

26) 33

, , , 02

x y zx y z

y z x 27)

2 21 1 9, , 0

a ba b

b a

28) 3 52 3 5 , , 0a b ab a b 29) 3 3 3 3 3 3

1, , , 01 1 1

xy yz zxx y z

x y y z z x

3 | P a g e




30) 2 2 2

1 1 12 , , , 0

a b b c c aa b c

c a b a b c

31) a)

33 3

22 2, , , , 0

a ba ba b x y

x y x y

b) 3 3 3

2 2 2, , , , , , 0,

a b ca b c a b c x y z a b c x y z

x y z

Olimpiada Națională de Matematică-Etapa județeană, clasa a IX-a, 2009

32) Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, arătați că:

2 2 2 2 2 2 4 4 41

2a b b c c a a b c

B) INEGALITĂȚI OMOGENE- SUBSTITUȚII si/sau INEGALITATEA CAUCHY-BUNIAKOVSKI

Inegalitatea Cauchy-Buniakovski

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nx y x y x y x x x y y y , , 2n n , , , 1,i ix y i n

Aplicație: Inegalitatea Panaitopol

1 2 *1 2

11 1 1

1 2 1 2

...... , ,

...

ppp pnn

pp p p

n n

x x xxx xn p

y y y y y y

1) 3

, , , 02

a b ca b c

b c c a a b

2)

3, , , 0

2 2 2 2 2 2 5

a b ca b c

a b c a b c a b c

3)

1 1 1 9, , , 0

2a b c

a b b c c a a b c

4) 1 4 9 36

, , , 0a b ca b c a b c

5) 1, , , , 03 3 3 3

a b c da b c d

b c c d d a a b

6) 221 , , , 0a b a b c a b c a b c

7) 6 , , , 0x y y z z x x y z x y z

4 | P a g e




8) 2 2 2 3

, , , 02

x y zx y z

y z z x x y

, 1xyz

9) 2 2 2

1 1 1 3, , , 0

2a b c

a b c b c a c a b

10) Dacă , , 0a b c astfel încât 2 2 2 5

3a b c , arătați că 2 10a b c

11) , , , 0abc a b c a b c a b c a b c (Euler)

C) INEGALITĂȚI NEOMOGENE ȘI/SAU NESIMETRICE –SUBSTITUȚII ȘI/SAU SIMETRIZARE/ OMOGENIZARE

1) 1 1 1 3

, , , 0, 12

a b c abca ab b bc c ca

2) 3

, , , 0, 11 1 1 2

a b ca b c abc

ab bc ca

3) 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 21 ... 1 ... ... ... 1 ... ,

2n n n n n

nx x x x x x x x x x x x x x x

*

1 2, ,..., 1,nx x x n

4)* 3 3 3

2 2 2 2 2 2, , , 0

3

a b c a b ca b c

a ab b b bc c c ca a

5)* 33 3

2 2 21 21 2

1 2 2 3 1

1... ... ,

2

nn

n

aa aa a a

a a a a a a

1 2, ,..., 0, , 3na a a n n

6)* 2 2 2

0, , , 0, 81 1 1

a b ca b c abc

a b c

Test OBMJ, 2008

7) 3 3 3

1 1 1 3, , , 0, 1

2a b c abc

a b c b c a c a b

D) INEGALITĂȚI DE TIP CEBÂȘEV

Dacă , 2n n și avem două secvențe de aceeași monotonie, adică :

1 2 ... na a a și 1 2 ... nb b b , atunci:

1) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1... ... ( ... )n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b , unde 1 2, ,..., nb b b

reprezintă o permutare a numerelor 1 2, ,..., nb b b .

2) 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nn a b a b a b a a a b b b .

Dacă , 2n n și avem două secvențe de monotonie inversă, adică :

1 2 ... na a a și 1 2 ... nb b b , atunci:

5 | P a g e




1) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1... ... ( ... )n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b

, unde 1 2, ,..., nb b b

reprezintă o permutare a numerelor 1 2, ,..., nb b b .

2) 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nn a b a b a b a a a b b b .

1) 3 3 2 2 , , 0a b a b ab a b

2) 3 3 3 2 2 2 , , , 0a b c a b b c c a a b c

3)

3, , , 0

2

a b ca b c

b c c a a b

(Nesbitt)

4)

2 2 2

4, , , 1, 4x y z

x y z x y zy z x

5)

2 2 2

, , , 02

a b c a b ca b c

b c c a a b

6)

3 3 3 3 1, , , , 1, 2

2x y z t x y z t x y z t

7)

* *321 1 22 2 2

1 1... 1 ... , , , ,..., ,

2 3 2

nn

a aaa n a a a distincte

n n

E) INEGALITATEA LUI HOLDER/ INEGALITATEA LUI JENSEN**

HOLDER) Dacă 1 1

, 0, 1r sr s

și *, 0, 0, 1,i in a b i n , atunci:

1 1

1 1 1

n n nr sr s

i i i i

i i i

a b a b

JENSEN)** Dacă :f I este o funcție convexă (concavă) pe ,I atunci

*

1

, , 0, 1, , 1n

i i i

i

n x I i n

, avem: 1 1

n n

i i i i

i i

f x f x

1)

33 3*1 2

1 2 1 2

1 2 2 3 1

1... , , , , , ,..., 0, ... 1n

n n

n

xx xn x x x x x x

x x x x x x n

Test selecție OIM, Moldova, 2002

2)

33 3 3

, , , , , , 03

a b ca b ca b c x y z

x y z x y z

6 | P a g e




3)** *1 2 1 21 2

... ..., , , , ,..., 0

mm m m

n nn

x x x x x xn m x x x

n n

4)** 1 1 1 3

3 2, , , 0,4

a b ca b c

a b c

5)** 2 2 2

9, , , 0,1

1 1 1 8

x y zx y z

x y z

6)**

9, , , 0

(2 ) 2 2 8

x y zx y z

x y z y z y z x z x z x y x y x y z

F) INEGALITĂȚI CU DEMONSTRAȚII GEOMETRICE

1) 1 1 1 1, , , 0,1x y y z z x x y z

2) 1 1 1 1 2, , , , 0,1x y y z z t t x x y z t

3) 2 2 2 2 , , , 0a ab b b bc c a c a b c

4) 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 , , ,a b c ac a b c ac a b a b c

5) 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 4 2, , ,x y x y x y x y x y z

6) 2 2 2 2 2 2 2 , , ,x y y z z x x y z x y z

G) INEGALITĂȚI TRIGONOMETRICE

1) 2 21 1 1, , 1,1x y y x x y

2)

2

22

1 1,

41

x xx

x

3)

2 2

1 1, ,

21 1

x y xyx y

x y

H) INEGALITĂȚI CARE SE DEMONSTREAZĂ CU AJUTORUL PROPRIETĂȚILOR UNOR FUNCȚII

1) 1, , , 0,1x y z xy yz zx x y z

2) 2 2 2 2 2 2 2 23 2 , , , , 0a ab b c cd d a c abcd b d a b c d

3)** 1 1 1

9 10, , , 1,2a b c a b ca b c

7 | P a g e




4)** 3

2, , , 02

x y zx y z

x y y z z x

5)** 2, , , 0,11 1 1

a b ca b c

bc ca ab

6) 2 2 2 2 2 2 1, , , 0,1a b c a b b c c a a b c

7)** 2

2 2 2 2 2 2a b b c c a abc a b c a b c , , ,a b c lungimile laturilor unui triunghi

8)* 2 2 2 2 2 2 , , ,b c a

a b c a b c a b cc a b lungimile laturilor unui triunghi Test OIM, Moldova, 2006

Bibliografie:

(1) A. Petrușel și alții Algebră pentru clasele IX-XII, Ed.Studia, 2010

(2) L.Panaitopol, M.Lascu, V.Băndilă Inegalități, Ed.Gil, 1996

(3) I.V.Maftei, M.Piticari, Cezar Lupu și alții Inegalități alese în matematică, Ed.Niculescu, 2005

(4) Vo Quoc Ba Can Old and New Inequalities, Ed.Gil, 2008

1 | p a g e - wordpress.com...câteva din principalele metode de demonstrare a inegalitatilor...

Documents