--------------- Electroenergetica fi electrotehnica

ASUPRA LEVITAtIEI ELECTROMAGNETICE A CONDUCTOARELOR CILINDRICE

CIRCULARE DREPTE

DE

I. R. CIRIC

538.122 : 621-.3.013

ln lucrare se obtine solutia aproximativa In problema levitatiei electromagnetice a unui conductor cilindric circular ~rept, foarte lung, in formi'i de teavi'i foarte sub­tire, In prezenta unui sistem de doua fire rectilinii, paralele cu conductorul cilin­dric ~i parcurse de curent alternativ. Se consideri'i numai cazul cind sistemul celor doui'i fire este situat in exteriorul conductorului cilindric. De asemenea, se obtine solutia exacta a aceleia~i probleme, lnsa, pentru cazurcilin­drului circular drept perfect conductor, pentru care se determina ~i frontierele zonei de stabilitate statica. Rezultatele obtinute in acest din urma caz se compari'i cu acelea obtinute In cazul cilindrului circular drept plin de conductivitate finita [2].

1. INTRODUCERE

Studiile asupra levitatiei electromagnetice a corpurilor masive conductoare sint, pina in prezent, putin numeroase ~i de data relativ recenta [1]. Interesul pentru aceste studii este determinat de posibili­tatile de aplicare in practica - de exemplu, la incalzirea ~i topirea mate"' rialelor electroconductoa.re evitind contactul acestora cu creuzetul - a sistemelor fizice in care apar a~a-numitele forte de levitatie electromag­netica. Aceste forte se exercita asupra corpurilor niasive conductoare, la i11troducerea acestora intr-un cimp magnetic exterior variabil in timp, ca urmare a interactiunii dintre curentii turbionari indu~i in corpurile masive ccmductoare de catre cimpul magnetic exterior ~i acest cimp magnetic exterior.

Sistemele cu levitatie electromagnetica sint concepute astfel incit for~ele de levitatie electromagnetica sa actioneze dupa directia verti­calei, opunindu-se fortelor de gravitatie; este importanta realizarea si­tuatiei in care rezultantele celor doua tipuri de forte sint egale ~i de sensuri

St. cerc. energ. electr. Tom. 18Nr. 18, p. 113-130 Bucure,ti 1968

8 - c. 6208

114 r. R. ·crnw 2

opuse, corpul masiv conductor fiind ac.um in stare de echiljbru, ,,plutind pe cimpul magnetic exterior". Din punctul de v:edere al aplica~iilor prac-. tice, intereseaza echilibrul stabil in sistemele cu levitatie electromagne­tica. Zona de stabilitate statica a unui corp in stare (le echilibru intr-un

. sist~m cu levitatie electromagnetica este regiunea din spathi in care trebuie plasat corpul masiv conductor, pentru ca rezultanta fort;elor de gravitatie ~i de levitatie electromagnetica care actioneaza asupra acestuia sa fie orientata astfel incit sa tinda sa deplaseze corpul masiv conductor spre pozitia in care aceasta rezultanta se anuleaza.

Problema stabilitatii dinamice tine seama de faptul ca, · atunci cind corpul se afla in mi~care in cimpul magnetic exterior, repartitia curentilor turbionari indu~i in acesta se modifica in raport cu situatia in care corpul ocupa aceea~i pozitie in cimpul magnetic exterior, insa se f!>fla in repaus relativ la cimptrl magnetic exterior ; fortele de lev.itatie electromagnetica depind nu: numai de pozitia corpului in cimpul magnetic exterior, ci ~i de viteza lui de translatie ~i de rotatie in raport cu acesta. Problema stabilitatii din?imice este mai dificila decit aceea a stabilitatii ·statice, pentru solutionarea ei fiind necesara rezolvarea unei probleme de electrodinamica corpurilor in mi~care.

in [2] a fost studiata levitatia electromagnetica a unui conductor cilindric circular drept plin, in prezenta a doua conductoare rectilinii, infinit lungi, presupuse filiforme, paralele cu conductorul cilindric ~i parcurse de curenti de intensitate eg'ala, avind sensuri opuse. Problema determinarii cimpului · electromagnetic a fost solutipnata prin rezolvarea ·exacta a ecuatiilor lui Maxwell pentru regimul cvasistationar cu ajutorul potentialului vector, iar calculul fortei care se exercita asupra conducto­rului cilindric plin s-a facut utilizind formula lui Laplace ~i anume insu­mind contributiile portiunilor din conductorul masiv determinate de elementele infinit mici de suprafata transversala ale acestuia. in lucrarea amintita mai sus [2], nu a fost studiata riguros. levitatia electromagne­tica a unui conductor cilindric circular drept in forma de teava, o solutie aproximativa in acest caz fiind obtinuta utilizind rezultatul gasit la con­ductorul plin ~i considerind densitatea materialului redusa in aceea~i proportie ca ~i greutatea conductorului in forma de teava fata de aceea a conductorului plin, pe unitatea de lungime. Rezultatele experimentale obtinute in [2] sint in concordanta cu rezriltatele teoretice corespunza­toare.

Trebuie facuta observatia ca rezultatele numerice se obtin relativ greu, deoarece in expresiile. fortei electromagnetice ~i ale pierderilor de putere activa intra serii care contin partile reale ~i imaginare ale rapoar­telor unor func~iuni Bessel de argument complex.

!n lucrarea de fafa se pune problema studierii levitatiei electromag­netice a unui conductor cilindric circular drept in forma de teava, in prezenta a doua conductoare rectilinii, infinit lungi_, presupuse filiforme, paralele cu conductorul cilindric ~i parcurse de curenti de intensitate egala ~i avind sensuri opuse. Interesul pentru aceasta problema este deter­minat ~i de faptul ca, in tehnica, se urmare~te sa se obtina levitatia cor­purilor conductoare cu un curent cit mai mic in infa~urarea de excitatie, ceea ce duce la mic~orarea puterii de alimentare corespunzatoare.

LEVITATIA ELECTilOMAGNETIC'A A CONDUCTOARELOR CILINDRICE. DREPTE 115-

Pe de. alta parte, datorita faptului ca pentru producerea levitatiei electromagnetice se utilizeaza frecvente de ordinul rniilOr de Hz, pentru materialele conductoare obifJnuite (Al, Cu) rezulta o adincime de patrun­iere a undelor electromagnetice foarte mica, astfel incit, practic nu par­bicipa la interactiunea dintre curentii turbionari indufJi fJi cimpul de exci­batie decit un strat subtire de la suprafata conductorului in stare de levitatie.

:In continuare, in lucrarea de .fata, se studiaza levitatia electromag-11etica a unui conductor cilindric circular drept in .forma de teava foarte mbtire F;i levitatia electromagnetica a unui cilindru circular drept perfect ~onductor, in prezenta a doua conductoare rectilinii, foarte lungi, presu­puse filiforme, paralele cu conductorul cilindric, situate in exteriorul 1cestuia fJi parcurse de curenti electrici de aceeafJi intensitate fJi de sensuri )puse.

2. PROBLElIA LEVITATIEI El:ECTROllAGNETICE A UNUI CONDUCTOR CILINDRIC CIRCULAR DREPT IN FOR~IA DE TEAV A

Se considera conductorul cilindric circular drept· foarte lung, de r·aze interioara a fJi exterioara b, in prezenta a doua conductoare presupuse riliforme, foarte lungi, paralele cu axa conductorului cilindric, parcurse

ie curenti alternativi de aceeafJi frecventa j = ~, aflate in exteriorul . 27t

~onductorului cilindric. Pozitia conductoarelor filiforme este data prin ~oordonatele polare r fJi e ale urmelor acestora in planul xy perpendicular pe axa sisternului z (fig. 1).

J J

Fig. 1. - Alegerea coordonatelor.

:M:aterialul conductorului cilindric se · presupune liniar fJi omogen1 rm permeabilitatea µ. fJi conductivitatea a, constante fJi independente de marimile de cimp.

Aceasta problema generala a fost solutionata in [3] in ipoteza. anui cimp magnetic plan-paralel, adica neglijind efectele capetelor i;!i in ipoteza regimului cuasistationar al cirnpului electromagnetic atit in con­d.uctoare, cit fJi iii afara lor, cind densitatea curentului electric de depla­sare este neglijabila in raport cu densitatea curentului electric de con-

1113 I. R. CIRIC 4

ductie. Anume, in:-'-[3J, se calculeam cimpul electromagnetiC prin inter­mediul potentialului vector, atit in cazul Co};!.ductoarelor filiforme situate in exteriorul conductorului cilindricr cit ~i in· cazul conductoarelor fili­forme situate in interiorul conductorului cilindric. Apoi, in [3], se aproxi­meaza solutiile in cazul conductoarelor cilindrice foarte subtiri ( d = b - a foarte mic), dar de conductivitate finita ~i, in fine, se dau solutiile apro­ximative in cazul conductoarelor cilindrice subtiri perfect conductoare.

Utilizarea solutiei generale pentru calculul fortelor, cuplului ~i zonei de stabilitate stati•ca a levitatiei electromagnetice. a conducto­rului cilindric circular drept in forma de teava este dificila, in general, functiile Hankel de diferite ordine ~i argumente care intervin nefiind toate tabelate.

3. APROXIl\IAREA SOLU'fllLOR IN CAZUL CONDUCTORULUI CILIN"DRIC FOARTE SUBTIRE

, 0 aproximatie care simplifica solutia, fara a se indeparta mult de la realitate, se obtine considerind grosimea conductorului cilindric d = = b - a infinit mica ~i operind cu o conductivitate superficiala finita a.= ad a conductorului cilindric [3]. !n acest caz, conductorul cilindric va constitui o pinza de curenti indu~i.

Densitatea pinzei de curenti J, (6) se obtine [3] :

unde

in care

00

./_, = ~ [qn cos n6 +'/!,.sin n6],

a -_n -

/!.,, =

n~o

y2.d

27tn ·~ I_<kl(~o)n cos

1 _ y2 dr0 k~1.2 1,.

2n

y2d

27t n t J<kl (.!:r!_)" 1

_ y 2 dr0 k~i.2 - rk 2n

sin n6k,

y,2 = -Jcvµ 0 a (j = V-1),

a+b --~a~b,

2

perrrieabilitatea vidului ;

(1)

(2)

(3)

bara desenata dedesubt simbolizeaza reprezentarea in complex simpli­ficata; indicele de sumare k se refera la cele doua conductoare rectilinii filiforme paralele; situate in exteriorul conductorului cilindric.

5 LEVITATIA ELECTROMAG~ETICA A CONDUCTOARELOR C'tLINDI!ICE DREFTE 117

1n 'cazul conductorului cilindric de grosime foarte mica, dar presupus perfect conductor, trebuie considerat

cr8 = lim crd = oo. d-tO

a-tao

Expresiile coeficientilor !h ~i l!n devin :

~ .. = - -1- ~ l_(k) (~)" cos n ek'

nr 0 k~ 1,2 rk

(4)

(2').

4. FORTA CABE ACTIONEAZA ASUPRA CONDUCTORULUI CILINDRIC FOABTE SUBTIRE DE CONDUCTIVITATE FINITA

Se utilizeaza un sistem de axe de coordonate carteziene Oxyz (vezi fig. 1), astfel incit directiei comune a axei conductorului cilindric ~i a con­ductoarelor filiforme sa-i corespunda axa z, urmele in planul xy ale con­ductoarelor- filiforme fiind dispuse pe axa x: la -c conductorul parcurs de curentul i 1 = + I V2 sin wt, iar la + c conductorul parcurs de curentul i 2 = - I V2 sin wt. Coordonatele polare ale urmelor in planul xy ale conductoarelor filiforme referitoare la urma axei conductorului cilindric (x, y) sint:

r~ = (c - x) 2 + y2, r 2 eiOa = c - x - jy. (5)

Calculul fortei asupra conductorului cilindric se face aplicind prin­cipiul actiunii ~i react;iunii ~i tinind seama ca conductorul cilindric im­preuna cu conductoarele filiforme formeaza, in regim cvasistationar, un sistem mecanic izolat.

Forta care se exercita asupra unui conductor filiform rectiliniu parcurs de curentul i se determina utilizind formula lui Laplace

(6)

unde I este un vector care are modulul egal cu lungimea conductorului ~i este orientat in sensul curentului, iar B,,, 1 este inductia magnetica produsa ,de toate sursele cimpului, in afara de curentul din conductorul asupra caruia se exercita forta.

Valoarea medie (pe o perioada) a fortei este

"i"I 1 (T T.1 *- ~ l!meil =T Jo 1' dt-.Re [I l X~,.,1 ]. (7)

Forta medie pe unitatea de lungime va fi

fmed= P,;•d =Re[[*kx~ • .,1J=Re{l*grad(,4-A 1)}, (8)

118 I. R. CIRIC 6

unde :4 este potenthl.lul ·vector rezultant, ·<lin care se scade 4 1 , potentialul -vMtor propriu al cimpului :prodmi ~.ae curen:tul din eonductorul considerat

A1

= - µ0l_ lnR. (9) - 21t

tn relatiile de mai sus, k este versorul axei z iar R este vectorul <;u originea in punctul in care se gase~te urma in planul xy a conducto­rului filiform corisid~rat ~i cu extremitatea in punctul in care se deter­mina potentialul vector, respectiv cimpul magnetic.

· Prin urmare, forta medie care actioneaza asupra unitatii de lungime a conductorului cilindric va fi

nnde f med = - ( fmed 1+fmed2),

fmca 1 =Re {l; grad (4 - 41)},

fmetl 2 =Re {I; grad (4 - 42)}.

(10)

(8')

(8")

Potentiaiul vector se determjna c.a in [3], ~i este pentru r>b ~r0 :

:4 = ____Q____j!__ ~ - _!!_. [~" cos n6 + Qn sin n6] + µ r 00 1 (r )n

. 2 n-1 n r .

+ ~ t !._!kl Jn rk - J:Q_ ~ l_!k) InRk. 21t k-1.2 21t k':'l,2

Pentru sistemul considerat in lucrarea de fata,

l_<1)=!:1 =+I,. l_<2l_J_2 =-I

:§i tinind seama ~i de expresiile coeficientHor ~n ~i "!!_,, (2), se obtine : y2d

A= µo ro f; _1 (ro )' n 21t:d I [(-ro )"cos n (0 -01) -- 2 n-1 n r 1 - I__!_()_ rl

2n

cos n ( 6 - 62)] + ~ I (In !i_ - In Ri), . 21t r 2 R'l.

A µoI _ 1 = - ---InR11

2it

A µo I I. 2 = + -- nR2 •

- 21t

:Pentru calculele care urmeaza, se . utilizeaza notatia :

y2dro

2n kn= 2d

1 - L___!__sJ 2n

(11)

(11')

(9')

(9")

(12)

7 J.EVITATIA ELECTROMAGNETICA A CONDUCTOARELOR CILINDllICE DRFFTE

Tinind seama de relatiile

Ri.2 = r2 + rf.2 ---,- 2r · rl.2 cos (6- 0i. 2),

. 8Rl.2 n 2R1,2 &;:- = 2r - 2rl.2 cos ( v - 61.2)_,

8Ri. 2 _ • • n 2Rl.2---afj - + 2r 11.2sm(v -61.2),

119

(13)

(14)

(15)

rezulta urmatoarele expresii pentru parantezele mari din (8') ~i (8") :

] 1 { r _ r1} = _ fl.012 f ~n (~)" 2_ [(!Jl.)" -( ~o )" cos n (61 -62)] X

6-61 27t n=l r1 r1 r1 i2 .

astfel incit

X (t cos 61 +f sin 61) - µ012 ~ ~» (~)" ~ [-

. 27t n=l r1 r1 -( ~: r sin n ( 61 - 02)} - I sin 61 + 3 cos 01) +

fl.o 12

1 [ ( ·( n n ) ) (-, · n - • +--·-- r1 -r2cos v1 -v2 icos v1 +jsm61) + 27t (2c)2

(16)

( r0 )"] (-, n • • n ) µ0 1

2 00

k ( r0 )" 1 [ - - i cos v2 + J sm v2 + -- ~ _,, - -. -r2 27t n=l r2 12 -( ~: r. sin n < 61 - 62) ] ( - I sin 62 + 3 cos 62) +

fl.o 1 2 1 [ ( ( n n ) ) -, · n -, · +--.-- r2-r1 cos v1-v2 (icosv2+3sm62)-27t (2c)2 ·

f med 1 =Re {li })

f med 2=Re {[2} ·

(17)

(18')

(18")

Daca se insumeaza componentele dupa axa x ~i dupa axa y ale marimilor b ~i l_2 , se obtine:

1- ___ µ0 12

{cos 01 ~ k,. ( !Jl.)" [(~),. ( r 0 )" n n } ~ LJ _ - -r2

cos n ( v1 - v2 ) + ' 27t rl n=l . rl rl

sin. 62 -~ k ( r0 )" ( r0 ')" . (o 0 )} ___ kJ _,, - - sm n v1 - v 2 + f2 n=l f2 f1 ·

+ µ0 I2 . -1- {[ r 1-r2 cos ( 01 - 02)] cos 61 - r 2 sin ( 61 - 62) ·sin 01+

2n (2~2 .

+[r2 -r1 cos(01 -02)] cos 02 + r1 sin(61-62) sin 02}, (19)

l11= - µ012 {sin 61 ~ k .. (_!:Q_)" (('fo)" -(r·o)" cosn(61-62)]-2n f1 n=l rl f1 f2 '

- cos 61 ~ k11 (_!:Q_ )" (~)" sin n (01 - 02) + f1 n=l r1 r 2 ,

+ sin 62 ~ kn (_!:Q_)" [( ~ o )" _ (!.!!_)" cos n ( (:)1 _ (:) 2)] + r 2 n=l r 2 r 2 r 1 .

·+ µ012 _l_ {[r1 - r2 cos (01 - 02)] sin 61 + r 2 sin (61 -' · 2n (2c) 2

-02) cos01 + [r2 -r1 cos(01 - 62)] sin 62-r1sin (61 -02) cos 62}

(20)

1n felul acesta, relatia (10) se poate transcrie pe componente:

f medx = - Re{[.,}, .fmed 11= - Re {[11} • (10')

Se observa ca in expresiile (16)-(20) unica marime complexa este R,, (vezi 12)), astfel incit valorile medii ale componentelor fortei care actio­neaza asupra unitatii de lungime a conductorului cilindric se obtin din expresiile (19) ~i (20) ale marimilor [., ~i [11 , schimbind semnul ~i inlocuind pe If_ n cu partea lui reala q,. :

(21)

in care a este adincimea de patrundere, a = _.!_ = v- 2 ·

ix cuµ 0 a Pentru a se efectua calculele, mai sin:iplu, este util sa -se lucreze

cu expresia t.,,.d = .f med"' + j .f med 11! ale carei parti reala ~i imaginara reprezinta valorile medii ale compon~ntelor dupa axele x ~i respectiv y.

LEVITATIA ELECTROMAGNETIC..\ A CONDUCTOARELOR CILINDRICE DREPTE 121

tie fortei care actioneaza asupra unitatii de lungime a conductorului 3ilindric. Grupind termenii, se obtine

lmed = f med x + j f med11 = (22)

= _o_ -.- ~ qn ----; - ~ qn _o_ ein (0,-0,) + fl. J2 { ei61 [ ao ( r2 )" ao ( r2 )" ·1 2r. 11 n=l r1 11=1 r1 r2

+ ei 62

[ t qn ( r! )n _ t qn(_!L)" e-i" (0,-02 ) ]} •

r2 n=l r2 11=1 r2 r1

Utilizind coordonatele carteziene (5), expresia (22) se transcrie:

{med = .f nietJ.,, + j.f med 11 = (22')

=iioI2J -(c+x)-jy ""q ( r~ )"(1-2n I (c + x)2 + y2 11~1 n (c + x) 2 + y 2

11 ((c+jy)2-x2)11

] c-x-jy 00 ( rij )"( -(-1) + ---- ~ q11 1 -

((c - x)2 + y2)" (c - x)2 + y2 n=1 (c - x)2 + y2

- ( -1)" c - JY - x • ( . )2 2)" ]}

((c + x)2 + y2)"'

Pentru componentele .fmea x ~i j mea 11 se obtine :

= ~oI2 { ~ (c + x) "" ( . r~ )n [1 -lmed"' 2n (c + x)2 + y2 n~l q,, (c + x)2 + y2

- (-1)"' Re [( c + jy)2 - x2]n] + [(c _ x)2 + y2]n

C - x · "" ( r5 )n [ + ~q--- 1-(c - x) 2 +y2 n=l " (c - x) 2 +y2

-(-1) -11 Re [(c - jy) 2 - x 2

]" ]

([c + x)2 +y2r .

y . "° ( 1·~ )" n Im [(c + jy)2-x2r - ~ q (-1) --

(c + x)2 + Y2n=l n (c + x)2 + y2 [(c- x)2 + y2]"

(23)

_ y 00

q ( ri; )" (-l)"'Im[(c-jy)2 -x

2]"}•

( c - x) 2 + y 2 n~1 " (c - x) 2 + y2 . [( o + x) 2 + y2 ]"

fmed 11 = fl.o JZ { C + X i; qn ( rij )n X 2n (c+x)2 +y2 n=l ,(c+x)2 +y2_

x (-1)"' Im [(c+ jy)2 -x2]" -[(c - x)2 + y2]"

122 I. R. CIRIC

- C - X . , ·~ qn ( '1'~- - . )n ( - l)n Im [(c - jy)2-a;2]n -(c - x)2 + y2 n=l . (c - x)2 + yz, . [(c + x)2 + y2]"

_. Y i'.; qn ( rij )n [l-(-l)n Re[(c+jy)2-x2]"]-(c + x)2+ y2 n=I (c + x) 2 + y2 · [(c - x) 2 + y2]"

y . oo ( r5 )" [ n Re [(c - jy)2-'-x2J"Jl - I; q ----- 1-(-1) (c - x)2 + y2 n=I " (c - x)2 + y2 [(c + x)2 + y2]" f.

(24

5. CAZURI PARTICULARE

5.1. Urma axei conductorului cilindric este situatd pe axa y (sime trie). 1n acest caz, in relatiile (23) ~i (24) se inlocuie~te x = O ~i rezulta

.fmedx = O, (25

_ µ 0 12

{ 2c "" (. r5 )" -l n Im(c+jy)2" }"'ed V - 2 2 + 2 I; qn 2 + 2 ( ) ( 2 + 2)"

·, 7t C Y n=l C Y C Y

2y "" ( r;i )"[ nRe(c+jy)2"]} - I; q 1 - ( -1) .

c2 + y2 n=l n c2 + y2 (c2+ y2)" (26

5.2. Cilindritl per.feet conductor. 1n acest caz, in relatiile (23) ~i (24 se inlocuie~te qn = - 1, r 0 =.b ~i rezulta:

:in

. µ012 {eie,[ r;i . r;lei!e,-e,1 ] lmeJ =.f111edx+Jfmed11=-

2- - - 2 9' 2 "(6 6) +

7t r1 r 1 ~r0 r1 r2 -r0ei ,-- '

(22"

(27

[(c + x)2 + y2 - b2] [(c - x)2 + y2 - b2] + 4 b2 c2 (28

Se vede ca pentru x = 0 (simetrie) relatiile (27) ~i (28) se transformi

.f med x ' O,

- fJ.012 .fmed11- --y

7t

(27'

(28':

11 LEVITATIA ELECTROMAGNETICA A CONDUCTOARELOR CILINDRICE DREPTE 123

Relatiile (22"), (27)-(28'), sint identice cu cele care se obtin daca .se determina forta care actioneaza asupra cilindrului perfect conductor, calculind forta rezultanta care se._ exercita asupra imaginilor, in raport cu suprafata exterioara · (de raza b) a conductorului cilindric, ale celor doua conductoare rectilinii filiforme parcurse de curenti electrici de c9n­ductie.

6. PIERDERILE ACTIVE IN CONDUCTORt:L ULINDRIC FOARTE SUBTIRE

in cazul conductoarelor cilindrice circulare drepte in forma de teava foarte subtiri, dar de conductivitate finita [3], se considera aproximativ conductorul infinit subtire, dar avind o conductivitate superficiala

<r, = _.!._ = ad. Pierderile prin efect Joule, pe uni ta tea de lungime, se Ps

evalueaza direct :

unde !!n ~i !!n au expresiile date de (2). Se observa ca

'in care s-a inlocuit

(31)

(21')

-conform relatiei (21). · 1 n cazul in care urma axei conductorului c'ilindric este situata pe axa y

(simetrie), se inlocuie~te in relatia (31) r1 = r2 =re ~i rezulta:

(32) .

1 n cazul cilindrului per.f ect conductor pentru calculul pierderilor se })oate lua in consideratie o anumita conductivitate superficiala finita a

eonductorului cilindric a; = ~ • folosind insa distributia curentului din P•

124 I. R. CIRIC 12

cazul ideal al cilindrului perfect conductor. Utilizind expresiile (2') pentru coeficienW g,. §i "Q,., se obtine :

P = _f; -~2

~ (( b: )" + ( h: )" - 2 (__£_')" cos n '(01 -62)] • (33) 7t/J n=l r1 r2 _ r1 r2 _

iar pentru r 1 = r 2 = re (simetrie) :

p' ]2 00 ( b2 )" P = 2 -'- ~ -2

[l~cos n (01 - 02)].

7tb n=l re (34)

Efectuind insumarile in ultima expresie ~i introducind coordonatele carteziene, rezulta :

p;I2 2 b2c2 (c2 + y2 + b2) p = 2 -- (34')

7tb (c2 + y2 _ b2) [(c2 + y2 _ b2)2 + 4 b2c2]

Se observa ca, in cazul cilindrului perfect conductor, avind urma. axei lui situata pe axa y (simetrie), intre forta medie, care actioneaza asupra conductorului cilindric (28'), ~i pierderile prin efect Joule in con­ductorul la care s-a presupus o conductivitate superficiala finita (34'), exista relatia :

~ =_e;_ .fmea11 [lo

(35)

7, APLICA 'fll

7 .1. Conductorul cilindric circular drept 'in forma de 1eava foarte subtire.

' Sumele care intervin in expresia fortei medii care actioneaza asupra. conductorului cilindric (22)-(24) ~i in expresia pierderilor prin efect. Joule in conductorul cilindl'ic (31), (32) nu se pot efectua exact.

Calculul fortei medii ~i al pierderilor prin efect Joule se poate face aproximativ, retinind un numar suficient de mare de termeni in sumele care intervin. Calculul numeric trebuie efectuat in intregime pentru fie­care sistem fizic considerat (r0, d, c, µ, O'), pentru fiecare pozitie a con-. ductorului cilindric (r11 01 ~i r 2 , 02, respectiv x, y) ~i pentru fiecare free'" venta a curentului alternativ in infa~urarea de excitatie (_f). ·

In calculele efectuate mai jos se ia in colisideratfo numai pozi~ia. cu siinetrie ( x = 0).

Conductivitatea superfici~la trebuie considerata :

a, = (J d pentru d < a '] O's = O' a pentru d > a ..

(36)

Pentru conductorul cilindric circular drept in forma de teava foarte subtire, d <·a ~i, prin urmare, a. = cr • d.

13 LEVITATIA EhECTROMAGNETICA A CONDUCTOARFLOR CM"D1UCE DRFPTE

Expresia (26) a fortei medii exercitate asupra conductorului dric poate fi folosita mai comod daca se scrie sub forma

f,,,,a 11

= - 0- _ _'._ __ I; qn ° ( -lr sin (2n _arctg- -µ 12 { 2c oo ( r

2 )" y)

27t c2+Y2n~1 c2+y2 c

2y oo ( r2 )n [ { Y )]} - . I; qn --0--- 1-( -1)" cos 2n arctg - ·

c2 + y2 n~l c2 + y2 c

125

cilin-

(26')

Convergenta seriilor care intervin este asigurata de factorii subunitari

( ~~)" care descresc repede cu n. ·

Pentru aplicatia numerica, se considera un cilindru circular drept din aluminiu, avind: r0 = 1 cm, d = b - a.= 1 mm.

Utilizind notatiile introduse in lucrare, rezulta in sistemul de unitati MKSA:

l d2 .2

V(i)µ cr = 16 72 f2 ~ = 1953·10-6 • f 2

o ' . ' S4 ' . • '

1 953 · 10-6 • f 2

q - - ' . n - n 2 + 1,953 · 10 -s · f 2

(n = 1, 2, 3, ... ).

S-au efectuat calculele pentru frecventa de 50 Hz, pentru care rezulta:

q,. = - -4'88 · rn-a ~ - _!_xlf.asxAci" 3

n 2 + 4,88 · 10- 3 n2

Considerind 2c = 2 cm ~i retinind cite 10 termeni in sumele care intervin in expresi~ (26') a fortei medii care se exercita asupra conduc­torului cilindric, se obtin urmatoarele rezultate:

y/c I 0.2 0,4 0,6 0,8

[NJ i 2,696,t10-·5J 2 4,032,(10-5]2 3,94xf0-5J2 3,155;t10-6J2 --1-- X fmed If .

st.UXCU-' 7.2. Cilindrul perfect conductor. 1n calculele efectuate mai jos, se ia

in consideratie numai cazul in care urma axei conductorului cilindric este situata pe axa y (simetrie, x = 0). Se utilizeaza expresia (28') pentru forta medie care actioneaza asupra unitatii de lungime a cilindrului per­fect conductor ~i expresia (34') pentru pierderile prin efect Joule cores­punzatoarei cind se presupune o anumita conductivitate superficialil. finita a conductorului cilindric.

Se observa ca, la cilindrul perfect conductor, expresiile obtinute, corespunzator, pentru repartitia curentului indus, pentru forta medi­care se exercita asupra unitatii de lungime a cilindrului ~i pentru pierde­rile prin efect Joule pe unitatea de lungime a cilindrului, la care s-a pre-

126 I. R: CJRIC

supus o conductivitate superficiala finita, sint acelea~i atit in cazul cilin­drului plin, cit ~i in cazul cilindrului in forma de teava.

Se mai observa ca rezultatele obtinute in cazul cilindrului perfect conductor se pot utiliza ~i in cazul cilindrului de conductivitate finita

· la frecvente mari, . cind adincimea de patrundere ~ este foarte mica ~i cind reparti1iia curentului indus pe periferia conductorului cilindric este foarte apropiatar de aceea din cazul cilindrului perfect conductor. Prin urmare, la frecvente mari, se poate utiliza pentru calculul pierderilor prin efect Joule in conductorul cilindric de conductivitate finita expresia · (34') din cazul cilindrului perfect conductor, in care conductivitatea super-

f . • 1~ • / 1 ~ icia a se m cr. = -, = cr · o. Ps

Pentru aplicatia numerica se considera un cilindru circular drept · plin din aluminiu avind b = 1 cm, greutatea corespunzatoare pe unitatea

de lungime fiind 8,31 N /m; distan~a dintre cele doua conductoare fili­forme, paralele cu axa cilindrului, se considera 2c - 2 ; 4 ; 6 ~i 8 cm.

tnaltimea y = Ym pentru care forta de levitatie electromagnetica este maxima se obtine rezolvind ecuatia care rezulta din egalarea cu zero a derivatei fortei medii (28').

Curentul minim pentru levitatie Im se obtine considerind ecuatia care fezulta din, egalarea fortei medii care se exercita asupra unitatii de lungime a cilindrului (28'), atunci cind axa acestuia este la inaltimea y = Ym, cu greutatea corespunzatoare pe unitatea de lungime a conduc­torului cilindric ( 8,31 N /m).

Efectuind calculele, se obtin urmatoarele rezultate:

2c [cm] 2 I

4 6 8

Ym [cm] 0,5 1 1,4 1,8 ---- -----

Irn [A] 325 1 290 2 350 3 620

Pentru comparatie, se dau mai jos rezultatele obtinute prin calcul in [2], in care se considera acela~i cilindru din aluminiu, insa se rezolva problema prin metoda exacta a integrarii ecuatiilor cimpului electro­magnetic cvasistationar :

2c [cm] I 2 4 6 8

f [Hz] 50 400 2 000 50 I 400 2000 ~1~ 2000 ~1~ 2000 ------------

y,,.. .[cm] 0,48 0,5 0,5 0,91 0,92 1 1,321 1,4 1,4 1,8] 1,8 1,8 ---------- --- ------ ------1--

Im [A] 2 310 603 465, 6 470 1 700 1 430 11 900 3 120 2 610 18 25014 790 14 000

Pierderile prin efect Joule in conductorul cilindric considerat se calculeaza folosind relatia (34') stabilita in cazul cilindrului perfect con-

5 LEVITATIA ELECTROMAGNETICA A CONDUCTOARELOR CILINDRICE l'REP'.IE 127

uctor, in care se cons id era er; = ___!-_ · cr · ~, iar raza exterioara b se p;

nlocuie-.te.cu b - i_. Calculul se efectueaza pentru situatia in care y =Ymr . y 2 .

= Im ~i se obtin urmatoarele rezultate :

2c [cm] 2 4 6 8

I

[Hz] 400 2 000 400 2 000 400 2 000 - 400 2 000 --- ----- ---

> [W/m) 209,5 453 332,5 638 463 924 617 1 224

Pentru comparatie, se dau mai jos rezultatele obtinute rezolvind •roblema prin metoda exacta a integrarii ecuatiilor cimpului electromag­!etic cvasistationar [2] :

2c [cm] 2 4 6 8

[Hz] . 400 2 000 400 2 000 400 2 000 400 2000 --- --- ---

J [W/m] 218 466 358 638 509 924 683 1 229

7 .3. Studiul stabilitafii statice. Zona de stabilitate statica a levi­atiei electromagnetice, in planul xy, este limitata de punctele in care :omponenta dupa axa x a fortei medii, care actioneaza asupra conduc­orului cilindriC, fme..1 '"' schimba d.e semn, respectiv in punctele in care com-1onenta dupa axa y a fortei medii, care actioneaza asupra unitatH de lun­~hne a conductorului cilindric, f med y' corespunzatoare curentului minim 1entru levitatie Im, este egala ~i de sens contrar cu greutatea pe unitatea Le lungime G, a conductorului cilindric.

Stabilitatea statica a sistemului consigerat este studiata mai jos rnmai pentru cazul cilindrului perfect conductor.

Expresiile (27) ~i (28) ale componentelor fmed., ~if med Y se-pot transcrie .ub forma:

µ012 fmed y = -- X

7t

4 b2c2y (x2 + y2 _ 52 + 02) K----------~-"---'---"-~--__:. _ _:___ ______ ~---

[(C+X)2+y2-b2] [( c-x)2+y2-b2]{ [(c+x)2+y2-b2] [( c-x)2+y2-b2]+4 b2c2}

(28·")

128 I. n. CIRIC 11

Din. analiza ecuayiei .f med:.: = 0 rezulta ca, pentru zona de stabili· tate stati_ca.,· este. necesar .. sa se re1iina ' jui:ri.atatea y > _O a cerculu x2 + yi - b2 - c2 = O.

Zona de stabilitate statica in planul xy este limitata inferior de cur}?2 (f111ecl 'llh - rm = G. ' . ' ·

1n cazul particular al cilindrului perfect conductor plin, avinci G = 8,31 N/m (vezi aplica}ia numerica 7.2), se ob}ine in sistemul dE unita}i MKSA :

µ01;, 4 b2c2y( a;2 + y2 _ b2 + c2)

7t [(c + x)2 + y2 _ b2] [(c _ x)2 + y2 _ b2]{ [(c + x)2 + . . = · 8,31. (31: + y2 _ b2] [(c _ x)2 + y2 _ b2] + 4 b2c2}

· Curba (37) se traseaza prin puncte, ecua}iile care intervin rezol­vindu-se prin incercari. Rezulta urmatoarele valori :'lumerice in em

x 0 0,2 0,4 0,6 0,8

2c = 2

y 0,5 0,76 0,94 1,043 1,098

0 0,3 0,6 0,9 1,2 2c = 4

x . y 1 1,28 1,52 1,66 1,76

2c = 6 x · o 0,4 0,8 1,2 1,6 2

y 1,4 1,75 2,05 2,26 2,42 2,52

Frontierele zonelor de stabilitate statica sint desenate cu linie con· tinua in figura 2. Pentru compara}ie, pe a~ea~i figura, sint desenate punctat frontierele zonelor de stabilitate statica corespunzatoare frecvenyei dE 2000 Hz, obtinute in [2] utilizind expresiile for}elor rezultate in urma rezolvarii problemei prin metoda exacta a integrarii ecua}iilor regimului cuasista}ionar al cimpului electromagnetic.

!!o CONCLUZII

1n lucrare s-a ob}inut · solu}ia aproximativa in problema levitat;iei electromagn~tice a unui conductor cilindric circular drept, foarte lung, in forma de te~va foarte subyire, in prezent;a unui sistem de doua fire rectilinii foarte lungi, paralele cu conductorul cilindric, situate in exteriorul aces­tuia ~i parcurse de curenyi alternativi de aceea~i intensitate ~i de sensuri opuse. De asemenea, s-a obyinut soluyia exacta a acelei~i probleme, in:sa, pentru cazul cilindrului circular drept perfect conductor. tn acest din

17 LEVITA'Jli ELECTBQ~GNE'f.IcA A CO~UCTO,µtELQ,R CILJ1WRICE DRJ<:PTE 129

urma caz s-a studiat ~i stabilitatea statica a sistemului, determinindu-se frontierele zonei de stabilitate statica. ,

Solutiile obtinute permit calculul fortelor medii ~i al· pierderilor J>rin efect Joule referitoare la unitatea de lungime a condlictorului cilindric, · precum ~i determinarea zonelor de stabilitate statica, pentru orice -valori numerice ale marimilor caracteristice ale sistemelor considerate.

Fig. 2. - Frontierele regiunilor de stabilitate staticii. pentru un cilindru plin din aluminiu, avind raza de

1 cm: a) 2c = 2 cm - - - - ( = 2 000 Hz b) 2c = 4 cm---(-+ oo(a-+ oo) .c) 2c = 6 cm

J

J

3

2

x ai

J

?

2 CJ

bl

x

Comparind rezultatele numerice obtinute in cazul cilindrului perfect .conductor cu cele obtinute in [2], considerind conductorul cilindric plin de conductivitate finita, se pot trage urmatoarele concluzii:

- inal~imea Ym pentru care for~a de levita~ie electromagnetica este maxima, in cazul cilindrului perfect conductor, este practic aceea§i ca. ooa din cazul conductorului cilindric de conductivitate finita, incepind ·chiar de la frecventa de 50 Hz ;

- curentul minim pentru levitatie Im, obtinut in cazul cilindrului J>erfect conductor, permite aprecierea celui din cazul conductorului ci­lindric de conductivitate finita incepind de la frecventa de 2000 Hz, curentul din primul caz fiind, in domeniul de valori numerice considerat, -cu aproximativ 10% mai mic decit .curentul din cazul al doilea;

- pierderile prin efect Joule pe unitatea de lungime din cazul cilin-drului perfect conductor, presupus ca avind o conductivitate superficiala finita, sint practic acelea~i ca cele din cazul conductorului cilindric de conductivitate finita incepind de la frecvente de ordinul a 400 Hz ;

' - c. 61101

130 1: 2.cm10 .. 1g

. .~ in fin~, trpn~i~~le .. z.~~elo~:~de ,~l~bjlitate ~tati~ din cazul cilin: drului perfect cond:uc'1c>J:' 'OOmC1d p~~1c ,cµ .. ce\e dm cazul conductorulu1 oilindric de conductivitate finita', ln.cepbid-de la frecvente de ordimil a. 2.000 Hz,. in domeID:ul de valoii nu~erice co:µsiderat. · · .

Concluziile trase mai sus arata ~a~ prin' rezolvarea problemei mult mai sinrnle a levit~tiei electromagnetice a cilindrului perfect conductorr se o):>tin indicatii valoroase -cu privire la problema mai complicata a levi­tatiei electromagnetice a conductorului cilindric de conductivitate finita.

Problema levitatiei electromagnetice a unui conductor cilindric circular drept ill foriµa de teava, ill prezent;a unui sistem de doua fire rectilinii foarte lungi, para1ele cu conductoru~ cilindric, parcurse de curent;i alternativi de acee~i intensitate fli d~ sensuri opuse, insa situate in inte­riorul conductorului cilindriC, se trateaza in acela~i mod ca ~i problema. cores.punzatoare tratata in lucrarea ·de fat;a.

BIBLIOGRAFiE

1. E. R. LAITHWAITE, Electromagnetic levitation, Proc. IEE, 112, 12, 2361 (1.965). 2. L. S. PIGOTT, G. F. Nix, Electromagnetic levitation of a conducting cylinder, Proc. IEE, 113~

1, 1229 (1966). . 3. A. TuoULEA, Ctmpul electromagnetic cvasista/ionar al conductoarelor rectilinii parcurse de

curen/i alternativi, tn prezenfa ecranelor electromagnetice cilindrice, St. cerc. energ. elect r., 14, 4, 807-837 '(1964).