Electroenergetica ii electrotehnkl

STUDII EXPERIMENT.ALE REFERITOARE LA LEVIT.A+IA ELE9TROMAGNETICA

.A CONDUCTOARELOR SFEROID.ALE DE

I. R. CIRIC

In lucrare se introduc ~i se calculeaza inductivitat,ile elective, cu ajutorul carora se exprima simplu fortele de levitatie electromagnetica care actio­neaza asupra conductoarelor sleroidale situate ln ctmpul magnetic cu simetrie axiala al unor spire circulare parcurse de. curent,i alternativi de lnalta !recventll. ( 1 ). Stnt prezentate rezultatele experimentale obtinute la mll.surarea inductivi­tll. tilor elective ~i a pierderilor prin efect .Joule in conductoarele sleroidale ind use; fortele de levitatie electromagnetica corespunzliloare se obtin prin derivare gra-1ica. R ezultatele experimentale slnt comparate cu rezultatele obtinute prin calcul nu­meric; indictndu-se limitele plna la care se poate utiliza modelul sferoidului perfect conductor [ 1 ].

t . INTRODUCERE

638.81)

!ntr-o lucrare anterioara (1] se cerceteaza levitatia electromagnetica a unui conductor masiv in forma de sferoid ( elipsoid de rotatie) alungit s~u turtit in prezenta a N spire circulare conductoare, presupuse fili­forme, avind ca axa comuna axa de rotatie a sferoidului ~f fiind parcurse de curenti alternativi de inalta frecventa pe baza modelului perfect con­ductor al sferoidului indus.

Potenatilul magnetic vector A; = u'P A;, datorita numai curentilor indu~i in sferoidul perfect conductor de catre curentul i, care circula prin spira s, este pentru cazul sferoidului alungit

. . 1

A;('1), ~) = µoi, [(l - 'YI!)(~! - l)]°"ii". 2 .

~ 2n + 1 ~~~i:; P~('Y),)Q!(~,)P~(Y))Q~(~), (1) n - 1 [n (n + 1)]2

'

St. cerc. energ. 'electr., Tom. 19, Nr. 3, p. 535- 551, 1969

536 I. R. CIRIC 2

permeabilitatea fiind peste tot practic egala cu permeabilitat(!a vidului, µ0 •

Forta instantanee rezultanta care actioneaza asupra sferoidului alungit perfect conductor este orientata pe verticala in sus (in sensul negativ .al axei z) ~i are valoarea

1

F=TC :,i [(l - "IJZ)(~Z-l)JZ ~i [(1- 2 )(E2 -l)]~X µo .l.J k l:' 2 2 .l.J , "'ls .• k=l '-ok - "Ilk 8=1

(2)

'.in care

Kn("IJk, ~.)s::: :~ + 1 ) [~kP!-1("1J,)Q!(~k)- "fJkP;("tJJQ!_i(~,)J. (3) n n + 1

Pierderile instantanee prin efectul Joule in masa sferoidului alungit, -presupunindu-se ca acesta are o conductivitate superficiala finita ~i con­stailta er,s ~i admitindu-se pentru repartitia superficiala a curentnor indu~i distribu~ia acestora din cazul ideal al sferoidului perfect conductor, sint date _de expresia

X [i i,[(1- "IJ;)(~;-l)]l i 2n + 1 P~("IJ~Q!(~.) P!("1J)]2' (4) •=1 n=l n(n + 1) Q .. (~o)

in care er1 = er~, er fiind conductivitatea, iar ~ = (-2_-)

1 fiind adincimea

wµ 0 cr echivalenta de patrundere a cimpului electromagnetic pentru materialul (de permeabilitate µ = µ0 ) diu care este confectionat sferoidul, la tenh

peratura ~i la frecventa (t = ;7t) de functionare corespunzatoare.

!n sistemele de bobine inductoare care se folosesc practic, spirele sint legate in serie astfel incit ele sint parcurse de catre acela~i curent -electric i 0 • Prin urmare, pentru aceste sisteme, curentH trebuie considerati ·egali cu

i,=e:,i0 (s=l,2, ... ,N), (5)

unde e:, = + 1 pentru spirele parcurse de catre curentul i 0 in sensul de cre~tere al coordonatei qi ~i e:, = - 1 pentru spirele parcurse de catre eurentul i 0 in sens contrar. ln aceasta situatie, expresia forjei instan~anee

3 LEVITA'.j'IA ELECTROMAGNETICA A C'ONDUCTOARELOR SFEROIDALE 537

(2), de exemplu, devine

iB care Kn ( YJk, ~k) este dat de relatia ( 3 ). !n expresiile (1)-(6) [1], P! ~i Q! sint functiile Legendre asociate·

de speta intli ~i, resp~ctiv, a doua de indici n ~i 1, (YJ, ~ r.p) sintcoordo­natele sferoidale ale unui punct curent [2], ~ = ~o fiind ecuatia suprafeteii

1 sferoidului conductor considerat, pozitia spirei s fiind fixata prin coordo­natele sferoidale YJ = YJ, ~i ~ = ~. ale punctelor acesteia (fig. 1).

Rezultatele corespunzatoare sferoidului turtit se obtin din eel& ale sferoidului alungit prin transformarea ~ ~ ± j ~ ~i corespunzator ~ • ...:+ ± j ~. [3 ], unde s-a folosit notatia j ::::::: V - 1. . 1n lucrarea de fata se transform~ expresia (6) a fortei instantaneeo

de levitatie electromagnetica, aducind-o

F 1 .2 oL ~ .

la for:l'na = - - i 0 -- , J.n care in-. 2 oz

ductivitatea efectiva (dupa [4]) L de­pinde de pozitia relativa dintre sferoid i;ii sistemul de spire inductoare.

Ideea care sta la baza studiului experimental efectuat consta in calcu­larea ~i apoi in masurarea acestor in­ductivitati efective, urmind ca valorile ,,experimentale" ale fortelor de levitatie sa fie obtinute prin derivare grafica.

, Masurarea inductivitatilor la dife­rite frecvente se poate face cu ajutorul puntilor de masura, prin urmare mult mai simplu decit masurarea directa a fortelor, care ar necesita, pe de o parte, aparataj mai complicat (balan~e de pre­cizie, dispozitive optice pentru reperarea pozitiei sferoidului indus, ampermetre de inalta frecventa), iar pe de alta parte gener11itoare de inalta frecventa de puteri

p=-1

•()

. mai mari. Simultan cu masurarea induc- Fig. 1. - Alegerea sistemului de coordo-tivitatilor echivalente ale sistemului de nate sferoidale. spire inductoare in prezenta sferoidului conductor indus, in procesul de echilibrare a punfii de masura se pot. determina cu suficienta aproximatie ~i pierderile de putere activa co­respunzatoa;re. Prin urmare, se masoara foarte simplu ~i pierderile prin. efectl,tl Joule in sferoidul indus, pierderi care sint deosebit de importante 'in arilicatiile practice, ele determimnd incalzirea conductorului levitat ..

538 I. R . CIRIC

Efectuarea masuratorilor la diferite frecven1ie permite determinarea limitelor pinl\ la care, pentru studiul teoretic al levitatiei electromag.i netice a cond~ctoarelor masive sferoidale, poate fi utilizat modelul perfect conductor al ·acestor corpuri.

!. INDUCTIVITATEA EFECTIVA A SISTEl\IULUI BOBINA INDUCTOARE·SFEROID INDUS

Forta instantanee de levitatie electromagneticll. exercitatli. asupra sferoidului ( 6) poate fi exprimata in functie de inductivitatea echivalenta L.,. a sistemului de spire inductoare,- dependenta de pozitia sferoidului indus in raj>ort cu sistemul de spire, in felul urmator.:

F 1 .2 iJL"h =-i '

2 ° oz (7)

tn ca.re z reprezinta-distanta dupa axa de simetrie a sistemu1ui O.e la bob~ inductoare la sferoid:

Inductivitatea echivalenta L,.,. este egala cu diferenta dintre induc­tivitatea proprie a sistemului de spire L 0 , care este mdependentl} ~ pozitia sfe:roidului indus, ~i inductivitatea efectiva L, df't.Armini:tta rlA prezenta sferoidului :

(8)

Expresia (6) a fortei de levitatie electromagnetica poate "fi· pr~­lucra,ta in a~a £el, incit aceasta forta sa se exprime cu ajutor.ul ihducti~ vitatii efective corespunzatoa;re sub forma

F= _ _!_i2 o.L. 2 ° oz (P)

Se considera pentru aceasta fluxul magnetic <I> • k prin spira k dato· rita cimpului magnetic produs numai de catre curentii turbionaH ind~i tn sferoid de catre curentul din spira s

unde· S,. este o suprafa~A. descbisa care se sprijinA. pe contrul r. ·a1 s;pirei.~ iar A; este potentialul vector (1) luat in punctele spirei k. ·· : --J""'"'

Pentru cazul sferoidului alungit, de . exemplu, avem

5 LEVITATIA ELECTROMAGNETICA A CONDUCTOARELOR SFEROlDAI.E 539

unde c este · semi dis tan ta f ocala a sferoidului. Se observa ca exista. rela-tiile de reciprocitate ·

<I>,,,, <I>., -=-, i, i,.

s, k = 1,2, ... , N:. (12)

Derivata marimii <l>,k in raport cu coordonata z se scrie astfel

j_il>Bk = [ ari._ ~ + a~. __E__ + a.,,,. ~ + a~" __!_-]<1>.,,,. {13> az &z aYJ. az a~. az ari,,, oz a~"

Trebuie. tinut sea.ma ca variatia d(z) este tocmai variatia d(d,) a distantei d, de la planul spirei s pina la centrul sferoidului pentru fiecare s = = 1, 2 , ... , N ~i ca razele b. ale spirelor ramtn constante (fig. 1). Avind

.in vedere relatiile de legatura ale acestor marimi cu coordonatele sferoi­dale corespunzatoare [2],

' (14)

rezulta ~ ~._ = YJ, ( ~;- 1) • az c ( ~; - YJ~)

(15)

'rininau-se sea.ma ~i de formulele [2]:

d' 1 1 n+l d"IJ ((1 - "1)

2) P,.("IJ)] = - -(l- ri)* ["IJP!("IJ) .- P!-1 (ri)],

(16)

:;· [(;2 - l)lQ!(~)] = (~~1~! [~Q!(;) - Q!_i(~)],

rezulta dupa efectuarea calculelor

fJ<I>,,. = n(J.0 i, ((1 - "'l;) ( ;; - l)]l [(1 - YJZ) ( ~; - l)]l x az .

X [ ; 2 : 2 E _QP:((~)) P!(YJ1;) Q!( ;t) Kn (YJ., ~.) + , 1), n-1 n ">O

in care K. este da.t de relatia (3).

540 1, :R. cmIC 6

For1ia instantanee F,,. care se exercita asupra spirei k parcurse de catre curentul i,., datorita cimpului magnetic prod us de catre curentii indu~i in sferoid numai de catre curentul din spira s, este egala cu (vezi ~i expresia (2))

F = 7t ii [(1 - 2) (i:-2_ l)Jl [(1 - "ll~)(~z - l)]l X II: !LO k I "fl, ... !:'2 2

'-ok- "Ilk

X "~1 ~;ii:~ p~ ("fl,) Q! ( ~.) K,. ("fl,., ~")' pentru care s-a considerat sensul pozitiv al axei z.

Comparind relatiile (17) ~i (18), se observa ca

F,,, + Fi.. = .!... a<I>,,. _ .!.._ a<1>k. ik i, i, i,. i. oz . i" oz

· sau

F + F _ .!.._ [. o<I>," + . 0<1>,..] •k "'' - i,. i. •

2 oz oz

(18)

(19)

(20)

llembrul sting al ultimei egalitati reprezinta contributia la forta de levi­taiie electromagnetica rezultanta cauzata de catre interactiunea mutuala a .spirelor k ~is. Se vede ca, inlocuind k = s, se obtine contributia la for1ia de levitatie rezultanta cauzata numai de catre curentul din spira s :

(21)

Daca se insumeaza asupra tuturor spirelor, forta instantanee rezul­tanta (2) poate fi scrisa deci sub forma

(22)

Presupunind acum ca toate spirele sint parcurse de catre acela~i curent i 0, cu ( 5) rezulta

(23)

Fluxului magnetic <I>'" prin spira k ii corespunde o inductiVitate

e,. <I>," , care contribuie la inductivitatea echivalenta a bobinei inductoare. io

· Dupa cum se observa, fluxul magnetic ob~inut prin insumarea (algebrica) N N

a fluxurilor :partiale ( 11), t t ( e" <I>'"), este partea din fluxul total prin k~l •~l

7 • LEVITA'flA ELECTROMAGNETICA A CONDUCTOARELOR SFEROIDALE 541

bobina inductoare care depinde de coordonata z, fiind conditionata numai de catre cimpul magnetic al curentilor indu~i in sferoid. >testui flux ii ~orespunde inductivitatea efectiva L :

N N

t t (&kcl>•k) N 2 L = - k=t '=~ = - 7tC!Lo t [(1 -.-YJZ) (~~ - l)]YX

i 0 k=l

N

x t &k &, [(1 - lJ;}( ~;- l)Ji x. S=l

X ~ 2n + l ~i~i:; P!(YJk)Q~(~k)P!(YJ,)Q!(~.), (24)

n~l [n (n + 1)]2

cu ajutorul careia se poate deci exprima forta instantanee de levitatie sub forma (9). Partea cealalta din fluxul total prin bo1Jina inductoare, conditionata de catre cimpul magnetic al curentului din insa~i bobina inductoare, nu depinde de coordonata z ~i ei ii corespunde inductivitatea proprie L 0 • ·

Pentru cazul sferoidului turtit, inductivitatea efectiva se obtine direct din (24); efectuind transformarea ~.-+ ± j~.; ~1:-+ ± j~k; c-+ =f jc [3]:

N N

L = - j1tO!Lo t [(1 - lJ~){ ~~ + l)Ji t &t &, ((1 - 'YJ;) ( ~; + l)]i X k=l •=l

• 2n + 1 P! (j~) pt ( ) Qt ( ·i: ) pi ( ) Qt ( ·i: X ~ Qnl (J"!:) 11 'Ylt n )St n 1), ,. Jc;,,,).

•=t [n (n + 1)]2 ~ (25)

2.1. Cazurf partieulare

Oazul-limita al sferei perfect conductoare situata in cimpul celor N spire inductoare se obtine daca in expresia (24) sau (25) se fac urma­toarele inlocuiri in functie de coordonatele sferice corespunzatoare (r, 6)-::

~o-+ oo, ~.-+ oo, ~-+ oo; 'l'Ja-+ cos 6,, l)-+ cos 6, (26~

r,i dacil. se utilizeaza dezvoltarile asimptotice ale functiilor Legendre, asociate pentril argumente mari [5]:

P 1 () (2n) ! ,. Q1 ( n !(n+l) !211

z ---+ z z ---+ n j.rj-+ex> 2"n!(n-1)!' .. )lzl-+ex> -(2n+l)!zn+i·

Rezulta

N N '"' 1 ' )"( )" -L = trµ0 r0 ~sin 6"' t &"' &8 sin6, ~ . ( ro ro · P!(cos 6k)P~(cos 6,h. k=l •=1 n=l n (n + 1) rk r8

(28)

542 I. R. CIRIC 8

Cazul-limita al discului circular se obtine daca in expresia (25) se face ~o ''-.o ~i daca se tine seama ca [6]

. 2 t .

} J -pen run impar,

7t (29) P!(jO) --= 0 pentru n par. Q!(jO)

Rezulta N N _

L = 2µ0 b0 ~ [(1 - '1)~) ( ~~ + l)]i ~ r::k r::3 [(l - '1);) ( ~; + l)]i ·' k=l 8=1

(30)

3. CALCULE NUMERICE

Ca ~i in cazul expresiilor fortelor de levitatie electromagnetica 11i a pierderilor prin efect. Joule [1 ], sumele care intervin in expresiile induc­tivitatnor efective (24), (25) nu se pot efectua exact. Calculele numerice se pot face aproximativ, retinind un numar suficient de termeni in aceste~ sume. Convergenta seriilor care apar in expresiile (24) "i (25) este asigurata de catre factorii Q! ( ~.), care descresc repede cind n cre~te. Aceste serii au convergenta cu atit mai rapida, cu cit argumentul ~. al fun~tiilor Q! este mai mare "i cu atit mai lenta cu cit argumentul ~. se apropie de valoarea ~0•

Marimile adimensionale _!___ sint functii de 2N + 1 parametri adi-tJ.o bo .

mensionali: ~o "i '1),, ~. (s = 1, 2, ... , N). 'finindu-se seama de relatiile (14) "i de relatiile de legatura corespunzatoare dintre semiaxele a0 ~i bQ ale sferoidului ~i <loordonata ~0 (fig. 2), •

(31)

functiile ~ se pot exprima cu ajutorul urmatorilor 2N + 1 parametr\ tJ.obo

d . . li bo . bo d, ( 1 2 N) a 1mens1ona :- 111 -, - s = , , ... , . a0 b, b,

Un parametru util pentru desenarea graficelor este h [1 J :

h di = - = cotg a1 ,

b1 (32)

d17 b1 11i ot1 referindu-se la cea mai de jos spira a sistemului de spire oon­siderat (fig. 2).

Pentru o bobina inductoare constituita din spire coe.xiale echi­distante dispuse pe suprafata unui con cu virful -in jos, unghiul la vtrf

9 LEVITATIA ELECTROMAG.NETICA A CONOUCTOARELOR s:n:,ROtoALE 543

corespunzA.tor fiind ~ (fig. 2), numA.rul de parametri adimensionali care

ftxe~zA. .geometria · sistemului se reduce la ~ase : .!!.!!.. , .!!.!!.. , tg~, h, distanta ao b1

.(aceea~i) dintre centrele a douA. spire consecutive raportata la b1 ~i nu­mA.rnl de spire inductoare N .

' 11, ' ' '

z Fig. 2. - Dimensiunl geometrice pentru un sistem cu

· trei spire inductoare.

S-au efectuat calcule numerice pentru sisteme cu o singura spira, cu dou~ ~i cu trei spire, de fiecare data distanta dintre centrele a doua

spire consecutive fiind 1-b11 ceilalti parametri luind valorile urmatoare : 4

.!!.!!. = 0,20; o,4o; 0,60; o,so; 1,25; 1,50; 2,00; 3,oo; 5,oo, ao .

b __!. = 0,25; 0,50; o, 75; 1,00, tb1

tg~ = o,oo ; 0,20 ; 0,40 ; 0,80,

h = 0,55 . .. 2,15.

Singurele rezultate numerice prezentate in lucrare sint acelea ~pre­zentate grafic in figurile 3 ~i 5, respectiv in figurile 9 ~i 10.

1n procesul de calcul cu formulele (22) ~i (23) s-a tinut seama ci, in general, convergenta seriilor care intervin in aceste f ormule este cu

a.tit mai rapida, cu cit raportul l!!.este mai a.propia.t de nnitate, en cit ao

544 I. R. CIRIC

f q~ 46 0,8 to 1.2 1.-¥ 1,6 1,8 2,0 2,Z h

Fig Lf 'd g. . - unct1e e parametrul h pentru diverse excentricI-!J.o bo

tAti tn cazul N = 3 spire, !9. ,.. 0,50, tg (3 = 0,80 : - <r = o::> bi

(f CO), curbe teoretiee; - ..-. - '- f = 8 000 Hz, curbe experimentale.

0.6r--t---ir--ill!,..2>E:~~+--+-......,..l--_J_--1

0.5i---r--t~:±::l~~~(d-~l=-+--1---l~~

D,Ji---r--t-"--t;--_,...~~~~~.J.-.:\.1---l--l

42r---r--r--t:11......t--:~~~~~-l-~--'

0.fr---1-~+---t-~+-....-..+~...i.-.~

0

Fig. 4. F.2

functie de parametrul h pentru diverse excentricitati µ0 10

l N 3 . bo 0 50 R 0 in cazu , spire, - , , tg i- = ,80 : - <J = co ' bi

(f = oo ), curbe teoretice; - - - - f 8 000 Hz, curbe experimentale.

raportul .!!!. este mai mic ~i cu cit h este mai mare. Influenta ·parametrn· b1

lui tg[) asupra convergentei acestor serii este mai putin importanta. Erorile (in procente) care se fac atunci cind se retin din seriile infinite

doar prim.ii 4, 7 ~i, respectiv, 14 termeni nu depa~esc valorile indicate ih tabela urmatoare :

,

Numil.r de termeni retinuti

4

7

14

Numil.r de termeni retinuti

4

7

14

b0 /a0 = 0,20 b0 /ao = o,40 b0 /a0 = 0,60 b0 /a0 = 0,80

bofb1 = bofb1 = bofb1 = bo/b1 = ,

0,25 I

0,50 I 0,7511.00 0,25 I

0,50 I 0,7511,00 0,251 0,50 I o, 7511.00 0,251 0,50 I 0,75 J 1.oo

- - - - - - - - - - - - 10-3 3 10-13 13 --- ---------- ----------

- - - - 10-·4% 10-13 503 - 10- 6 3 10-2% 13 - - - - ----- --------------------

10-6 % 1% 50% - 10~ 6 % t0- 3 % 1% - 10-s3 10-'% 10~2% - - - - -

b0 /a0 > 1,50 b0 /a0 = 1,50 bo/Uo = 1,25

bo/b1 bo/b1 = bofb1 =

0,25 I 0,50 I 0,75 I 1,00 0,25 J 0,50 l o, 75 I 1,00 0,25 I 0,50 I 0,75 I 1,00

10- 6 % I 10-•3 I 10-2% I 10-1 3 I 10- 7 % I 10-5 3 I 10- 3 3 10-2 3

<10-10 31 10- 0 % I 10- 6 % I 10-'"% 1<10-10 3! 10-0 % I 1.0- 6 3 I 10-•3

<10-10%1<10-10%1<10-10%I 10-s3 l<10-10%l<10-1031<10-10%I 10-s% l<10-10%1<10-103j<10-103I 10-103 <:11 .... <:11

546

0 a4 0,6 0.8 1.0 1.2 1.4 · 1.6 1.8 2,0 2,Z 11

, Fig. 5. . _!;_ funcile de parametrul h pentru N = 3 spire, ~ = ~~ ~

b = 0,80, ~ = 0,50: (I) tg ~ = 0,00; (II) tg ~ = 0,20; ( Ill) tg ~ = ~ .

= 0,40 ; (IV) tg ~ = 0,80 : -- a = oo (( = oo ), cur be teore­tice; - - - f = 8 000 Hz, curbe experimentale.

F

0 ~ ~ M W U U U W W Uh

F Fig. 6. - - .2

- . • _func~le de parametrul h pentru N = 3 spire, µo 'o

bo bo - = o,so; - = o,50: (I) tg ~ = o,oo; ( II) tg ~ = o.~o; (III) ao bi tg ~ = 0,40; (IV) tg~ = 0,80: - - a = oo (( = oo), curb~ teo­

retice; - - - - f = 8 000 H ~. curbe experiment~le.

13 LEVITATIA ELECTROMAGNETicA "A ~DUCTOARELoR SFEROIDALE 547

. Erorile care se obtin la calculul inductivitatnor efective atuncicind in seriile care intervin se retine acefa,~i numar de termeni sint 1n general

. mai mici decit erorile corespunzatoare care se obtffi la calculul foJ1elor de levitatie electromagnetica [1 ].

tn tabela de mai sus sint indicate erorile maxime care se obtin pentru valo:rile cele mai mici ale parametrului h. Cu cit h este mai mare, cu· atit

ero~ile corespunzatoare sint mai mici (ia acelea~i valori ale rapoarte-

lor ~ ~i ~) ; pentru valorile cele mai mari ale lui h cu care se lucreaza, . ae bi aceste erori sint cu citeva ordine de m~ime mai mici decit erorile. cores­punzatoare celor mai mici valori ale parametrului h.

' 4. REZULTATE EXPERIMENTALE

. Pentru efeetuarea verifidirilor experimenta.le au fost folo~iti sferoizi din alumiiliu avind urmatoarele caracteristici :

a0 (mm] I 50 I 33,34 I 25 16 13,34 I . 10 6,67

I

b0 (rnm) 20 20 20 20 20 20 20 20

bo/ao 0,4 0,6 0,8 1,25 1,5 2 3 5

Pentru confectionarea bobinelor de tipul celei din figura 2 a fost construit · un dispozitiv din material izolant care sa permita obtinerea

tuturor parametrilor ~ ~i tg~ indicati in paragraful 3. Fiecare dintre bi .

~ele trei spire ale bobinelor inductoare (fig. 2) a fost realizata in realitate di.ntr-un numar de spire >ariind intre l 150 ~i 400, infa~urate strms, utili­zindu-se conductor din cupru emailat, de diametre cuprinse 1ntre 0,10 ~i 0,15 mm. Sferoizii din aluminiu au fost introdu~i ill cimpul bobinelor inductoare cu ajuton1l unei tevi din. material izolant, gradata astfel incit sa se p.oe..ta citi comod inaltimea di, respectiv parametnil h.

Mas.urarea inductivitatilor bobinelor inductoare in prezenta sferoi­zilor indu~i s-a facut cu a.jutorul unei punti de precizie LCR, t ip 1002-RFT, utilizmdu-se pentru frecventele de 8 000 ~i 800 Hz., generatorul de ton propriu al puiiyH. Pentru frecventele . de 2 000, 4 000 ~i uneori ~i pentru 8 000 Hz a fost utilizat un generator de ton exterior, de t ip GF-11, Olamann & Grahnert, Dresda. ·

Simultan cu masurarea inductivitayii a fost masurata aproximativ ~i rezistenta echivalenta ' in curent alternativ pentru bobinele inductoare in pr~enta sferoizilor ,indu~i ; pornind de la aceasta marime s-au putut determina aproximativ, numai in anumite situatii, pierderile prin efect .Joule in sferoizii din aluminiu.

548 I. R. CIRIC 14

tn figurile 3 ~i 5 este reprezentata grafic dependenta, .determinata

experimental, a marimii adimensionale _.!!___in functie de parametrul h pen-. µobo

tru diferite V!lilori ale raportului ~ ~i, respectiv, ale parametrului tg. ~· ao

Prin derivarea grafica a functiilor _!!___ de parametrul h a fost obtinuta µoho

dependenta marimii adimensionale Y.2 pentru acelea§i valori ale diver~i­

µoio lor parametri, dependenta reprezentata grafic in figurile 4 ~i 6, alaturi de cea corespunzatoare determinata prin calcul numeric [1].

Variatia marimii dimensionale p.2

obtinuta prin calcul numeric [1] @sio

pentru diferite valori ale parametrilor ~, tg~ ~i h este reprezentata ao

prin curbele din figurile 7 §i 8, in care sint aratate §i rezultatele cores­punzatoare obtinute pe cale experimentala. Datorita faptului ca la :puntea de masura nu s-a putut determina decit aproximativ defazajul dintre tensiunea §i curentul corespunzatoare sistemului bobina induc­toare-sferoid indus, determinarea experimentala in modul indicat a pier­derilor prin efect Joule in sferoizii indu§i s-a efectuat cu un grad de pre­cizie mai redus decit determinarea experimentala a inductivitatnor efec­tive. rrinindu-se seama de rezistivitatea p = 3,5 .10-s nm a sferoizilor confectionati din aluminiu pur, conductivitatea superficiala cu care s-a.

lucrat la frecventa de 8 000 Hz, de exemplu, a fost egala cu o-~ = _!_ = P5

8 ( 2 )i ;:::= - - -- ~ 3.104 n-1• p coµop

Inductivitatne efective referitoare la un sistem cu trei spire ~i cu o singura spira pentru frecventele de 8 000, 4 000 §i 2 000 Hz sint indicate in figurile 9 §i, respectiv, 10. Pe acelea§i figuri sint reprezentate §i fortele de levitatie electromagnetica corespunzatoare, obtinute prin derivare grafica.

Se constata ca in domeniul de variatie al diver§ilor parametri care caracterizeaza geometria sistemului din figura 2 pentru care s-au efectuat masuratorile, rezultatele experimentale obtinute la frecventa de"s 000 Hz coincid practic peste tot cu rezultatele obtinute prin calcul numeric pe baza modelului perfect conductor al sferoidului indus. Abaterile mici ale· curbelor experimentale in raport cu cele teoretice care se observa pentru

valorile · cele mai mici ale parametrilor h §i ~ se explica p;in faptul ca ao

pachetele constituite din citeva sute de spire care alcatuiesc fiecare dintre cele N spire de calcul i§i pierd caracterul filiform cu atit mai mult cu cit sferoizii indu§i i§i au suprafata mai aproape de spirele inductoa:re ..

Cu cit frecventele de lucru sint maimici (fig. 9 §i 10), cu atit curbele inductivitatilor efective au panta mai mica, iar fortele de levitatie electro-

7 - c. 3526

0 44 45 0.8 1,0 1.2 1,4 . 1,5 1,8 z.o 2,2 h

Fig. 7. P_2 functie de parametrul h j:>entru diferite :excentricitati

"'o in cazul N = 3 spire,.!!!!..= 0,50; tg ~ = 0,80: -- a =CO (f=oo), bl

curbe teoreth;e ; x x x f = 8 ooo Hz, valori experimentale.

0 44 0.5 48 1,0 1,2 1,4 1,5 1,8 2,0 2,2 h

Fig. 8. p.2 functie de parametrul h pentru N = 3 spire, ~ =

~~ ~ bo

=060; - = 0,50: (I) tg ~ = 0,00; (II) tg ~ = 0,20; (III) tg () = I bi

= 0,40; (IV) tg () = 0,80 : -- a = oo (f = oo ), curbe teoretice; x x x f = 8 000 Hz, valori experimentale.

549

l F J1o b0 J Jlo i 02

0,8

I I I I ..l <J-,:"= I I I I I I 0,7

JI I I s:0· ~ I ""'\Ju,-·-; I I I lo,5

! 0,5

2 I I L I ""'" I '•('\rt I "' y '·' I I I I 0,4

,FIJ1™fll: --h I

0

L F . Fig. 9. -- ~i--2 functii de parametrul h pentru douii excen-

µo llo fl-o io

tricitiiti In cazul N = 3 spire,!!. = 0,50, tg~ = 0,40 : --- a = oo 111

(( = co), curbe teoretice ; x x x f = 8 000 Hz, valori experimentale ; - - - - 1 = 4 O~z, Valori experimentiile ;- · - · - · -f = 2 000 Hz,

valori experimentale,

L Jiobo

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

fJ. ~·0,6

~=0,8 a. ' 0

J ~ {,

-\·~ {, _Ji \ t--

~~ \\ \ ~ (i _ti

·\~~ ·~ . l

~~~~~~ G ~-, ~ i l -A-.- _\.~

~ lll . ·~.~ \~ ~. F -1{,

_f'·~ \~~Li {, "\\~ l [ l ·~ ~. . . !

~~ '\~ I ~- '\. ~. i -- l

-~~'\.. ~~ -H~· ~~ ·~~['., b/~, ~ ·~. . {,

-1 io~-~

F -.z-0

M M ~ W U ~ U $ ~Uh

Fig. 10. _L_ ~i ~ functii de parametrul h pentru doua excen-fl-o llo. µoio

tricita\i in cazul N = 1 spira, !!. = 0,50;--a = oo (( = oo), curbe b , -l .

· tco1'etice; x x x f = 8 000 H: '• valori experimentalt!'; - - - - f = · = 4 000- Hz, valori ex.)erimentrue ; - · - . - f = 2 000 H:7., valor!

experimentale. • ·

17 LEVITATIA ELECTROMAGNETICA A CONDUCTOARELOR SFEROIDALE 551

magneticli. corespunzli.toare sint mai mici. Diferenyele dintre valorile mliisurate ~i cele teoret ice sint mai mici in zona de stabilitate statici,

· situatlii in dreapta· maximului foryelor de levitayie electroma.gneticli. (1], ele nedepli~ind in aceastlii zona limitele de 1 % pentru frecvenya de 8 000 Hz, 13 % pentru 4 000 Hz §i 6 % pentru 2 000 Hz.

5. CONCLUZII

Introducerea inductivitayilor efective este deosebit de utila pentru Atudinl experimental al levitayiei electromagnetice. Calcularea acestor inductivitavi a fost posibila datorita simetriei axiale a sistemului studiat. Pentru. determinarea forvelor de levitayie electromagneticlt corespun­zatoare mliisuratorilor efectuate la diferite frecvente, nu este necesara determinarea inductivitatilor efective prin calcul numeric, fiind necesara

,doar determinarea lor experimentala. Studiul experimental ale carui rezultate sint prezentate in lucrarea

de fatlii se refera numai la levitatia electromagneticli. dupa directia verti­calei (a axei de simetrie a sistemului), insa in principiu acest studiu poa.te. fi extins ~i pentru cercetarea stabilitatii Iaterale a levitatiei electrcma.g­.netice (cin4 exista ~i spire de stabilizare lateral.a [1]). . Studiul efectuat arata ca, pentru sistemele bobina inductoare­-sferoid ind us care au fost cercetate, . din punctul de vedere al foryelor car-e se exercita asupra conductoarelor induse se poate utiliza modelul perfect conductor al acestor cotj>uri in limitele indicate la capitoln.I pre­cedent : de exemplu, dacli. se admit diferente de ordinul unui procent, modelul corpului perfect conductor se poate folosi pentru conductoare sferoidale avind axa mica. 2a0 = 40 'mm la frecventa de 8 000 Hz sau 2a0 = 20 mm la 32 000 Hz ori 2a0 = 10 m~ la 128 000 Hz etc. A vind tn vedere ca in domeniul levitatiei electromagnetice intereseaza frecvent;e de ordinul sutelor de mii de Hz, rezulta ca in acest domeniu se poa.te utiliza cu succes modelul amintit mai sus.

Metoda de studiu elaborata in lucrare poate fi aplicata ~i in cazul sistemelor plan-paralele, precum ~i in cercetarea altor probleme, cum sint,. de exemplu, ecranarea electromagnetica, incalzirea. ~i tratamentele ter­m.ice prin inductie ale pieselor metalice.

BIBLIOGRAFIE

l. I. R. CIR1c, Levila/ia electromagneticcl a conductoarelor masive sferoidale, St. cerc. energ_ electr., 19, 2 (1969).

2. Pu. M. MORSE, H. F'EsHBACH, Metllods of theoretical physics, Part II, Chapter 10, New York,. · TO!Onto, London, Mc Graw-Hill Book Co., Inc., 1953.

3: · C. FLAlllMER, Spheroidal wave functions, Stanford University Press, Stanford, California· 1957.

4. W. E. SMITH, Electromagnetic levitation forces and effective inductance in axially symmetric· . systems, Brit. J. Appl. Phys., 16, 337- 383 (1965) .

.'S. W. ·R. SMYTHE, Static and dynamic electricity, Chapter 5, New York, Toronto, London 1950 .

. 6. H. aATEMAN, A. ERDELYI, Higher transcendental functions, vol. ·1, Chapter 3, New York,. Toronto, London, Mc Graw-Hill Book Co., Inc., 1953.