aplicaţii ale derivatelor În studiul funcţiilor(1)
DESCRIPTION
Hope it helpsTRANSCRIPT
prof. Cialâcu Ionel
B(x3,f(x3))
y
x2 x1 x4
A(x1,f(x1))
x3 x O
Aplicaţii ale derivatelor în studiul funcţiilor
1. Rolul primei derivate în studiul funcţiilor.
Studiul monotoniei şi a punctelor de extrem
Definiţie: Funcţia RIf : este crescătoare pe intervalul I dacă
)()(, 212121 xfxfxxcuIxx .
Definiţie: Funcţia RIf : este descrescătoare pe intervalul I dacă
)()(, 212121 xfxfxxcuIxx .
Definiţie: Funcţia RIf : admite un punct de extrem local dacă 0x V I astfel
încât 0( ) ( )f x f x x V (punct de maxim local) sau 0( ) ( )f x f x x V (punct de minim
local).
În figura alaturată , 1 4:[ , ]f x x R
este descrescătoare pe intervalele [x1,x2] şi [x3,x4],
respectiv crescătoare pe intervalul [x2,x3].
Ea admite un punct de minim local A şi
un punct de maxim local B.
Principalele rezultate sunt consecinţe ale teoremelor următoare:
Teorema 1.
a) Fie RIf : o funcţie monoton crescătoare pe un interval I. Dacă f este derivabilă pe I atunci
0f pe intervalul I.
b) Fie RIf : o funcţie monoton descrescătoare pe un interval I. Dacă f este derivabilă pe I atunci
0f pe intervalul I.
Teorema 2. Consecinţă a teoremei lui Lagrange.
Fie RIf : o funcţie derivabilă pe un interval I . Dacă Ixxf ,0)( atunci funcţia f este
monoton crescătoare pe I iar dacă Ixxf ,0)( atunci funcţia f este monoton descrescătoare pe I.
Teorema 3.(teorema lui Fermat)
Fie RIf : o funcţie derivabilă pe un interval I . Dacă 0x I este un punct de extrem din
interiorul intervalului, atunci 0( ) 0f x .
Aplicaţii.
1. Se consideră funcţia 1: 2009 x ef(x) f x R,R .
a) Să se calculeze .),( Rxxf
b) Să se rezolve ecuaţia .0)( xf
c) Să se studieze monotonia funcţiei f.
d) Să se studieze mărginirea funcţiei f.
Rezolvare
a) 20082009111 2009200920092009
xexexexe (x) f xxxx
b) 0)( xf 0200820092009 xe x 020082009)(02009 xsauimposibile x
2009
2008x .
prof. Cialâcu Ionel
c) Monotonia funcţie f rezultă din tabelul cu semnul primei derivate.
d) Funcţia f este marginită inferior; ea admite valoarea minimă
m=2008
20082008 1( )2009 2009 2009
ef e
.
x -
2009
2008 +
xe2009 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
20082009 x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 ++++++++++++++++++++
200820092009 xe(x) f x
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 ++++++++++++++++++++
)(xf
2. Se dă funcţia xenmxx f(x) f 2: R,R , unde m şi n sunt parametrii reali.
a) Să se determine parametrii reali m şi n astfel încât .0)1()1( ff
b) Pentru m = 2 si n = 1 să se studieze monotonia functiei f.
Rezolvare
a) 11)1( enmf
xxxx enmxmxenmxxemxenmxxxf
22)( 222
11)1( enf
0)1()1( ff
1
2
1
1
01
01
1
1
n
m
n
nm
en
enm
b). Pentru m = 2 şi n = 1 obţinem xexxxf 34)( 2 . Pentru a studia monotonia funcţiei f
alcătuim un tabel cu semnul primei derivate.
Ataşăm ecuaţia 0340)( 2 xexxxf 00342 xesauxx
x = -3 sau x = -1.
x - -3 -1 + xe + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
342 xx + + + + + ++ + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + +
xexxxf 34)( 2 + + + + + ++ + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + +
)(xf
Din tabelul anterior rezultă că f este strict crescătoare pe intervalele (-,-3] şi [-1,+) şi este strict
descrescătoare pe intervalul [-3, -1].
2. Rolul derivatei a doua în studiul funcţiilor.
Studiul convexităţii şi concavităţii; puncte de inflexiune
Definiţie: Fie RIf : , o funcţie derivabilă pe intervalul I.
a) Funcţia f se numeşte convexă pe intervalul I, dacă tangenta în orice punct al graficului funcţiei f se
află sub acest grafic.
f(-3)
m
f(-1)
prof. Cialâcu Ionel
b) Funcţia f se numeşte concavă pe intervalul I, dacă tangenta în oricare punct al graficului funcţiei f
se află deasupra acestui grafic.
Definiţie: Fie Rbaf ],[: şi ),(0 bax .
Punctul ),(0 bax se numeşte punct de inflexiune al funcţiei f, dacă într-o parte a lui x0 funcţia f este
convexă iar în cealaltă parte a lui x0 funcţia f este concavă sau invers.
Pentru studiul convexităţii şi concavităţii unei funcţii de două ori derivabilă, vom utiliza semnul
derivatei a doua.
Principalul rezultat este furnizat de teorema următoare:
Teoremă: Fie RIf : , o funcţie de două ori derivabilă pe intervalul I. Atunci:
1) Funcţia f este convexă pe intervalul I dacă şi numai dacă derivata a doua este pozitivă pe intervalul
I.
2) Funcţia f este concavă pe intervalul I dacă şi numai dacă derivata a doua este negativă pe
intervalul I.
Stabilirea intervalelor de convexitate şi concavitate a unei funcţii RIf :
I. Se calculează derivatele f , respectiv f a funcţiei f.
II. Se rezolvă ecuaţia 0)( xf .
III. Se determină semnul funcţiei f pe intervalele pe care aceasta nu se anulează şi se trec datele în
tabel.
IV. Se stabilesc intervalele de convexitate şi concavitate în funcţie de semnul derivatei f .
Observaţie: Dacă funcţia Rbaf ],[: este derivabilă de două ori în punctul de inflexiune
),(0 bax , atunci 0)( 0 xf .
Pentru o funcţie de două ori derivabilă RIf : , punctele de inflexiune sunt printre soluţiile
ecuaţiei 0)( 0 xf . Determinarea acestora se face studiind semnul derivatei a doua.
Exemplul 1: Să se determine intervalele de convexitate şi concavitate a funcţiei:
xxxfRRf 12)(,: 3
Rezolvare: Funcţia f este de două ori derivabilă pe R
,123)( 2 xxf iar xxf 6)( .
A(x0,f(x0))
x0
funcţie convexă funcţie concavă
prof. Cialâcu Ionel
Ecuaţia 0)( xf are soluţia x=0. Construim tabelul de semn pentru derivata a doua:
x - 0 +
)(xf - - - - - - - - - - -0 + + + + + + + +
f(x)
Din tabel rezultă că funcţia f este concavă pe intervalul (-, 0) şi este convexă pe intervalul (0, ).
Exemplul 2: Determinaţi punctele de inflexiune pentru următoarea funcţie:
RRf : , )1ln()( 2 xxf
Rezolvare:
I. Calculăm 1
2)(
2
x
xxf şi
22
2
)1(
22)(
x
xxf
II. Rezolvăm ecuaţia 1,10220)( 21
2 xxxxf
III. Studiem semnul funcţiei f
x - -1 1
-2x2+2 - - - - - 0 + + 0 - - - - -
(x2+1)
2 + + + + + + + + + + + +
f (x) - - - - - 0 + + 0 - - - - -
f(x)
IV. Din tabel rezultă că funcţia f este concavă pe intervalul (-, -1) şi pe intervalul (1, ) şi este
convexă pe intervalul (-1, 1). Punctele x = -1 şi x = 1 sunt puncte de inflexiune pentru funcţia f.
3. Aplicaţii ale derivatelor în calculul limitelor de funcţii
Principalul rezultat este furnizat de teoremele următoare:
Teorema 1. (Regula lui l’Hospital pentru cazul 0
0)
Considerăm funcţiile reale , : ( , )f g a b R . Presupunem că sunt satisfăcute următoarele condiţii:
a) f şi g sunt derivabile pe ( , )a b ;
b) lim ( ) lim ( ) 0x a x ax a x a
f x g x
;
c) )(xg nu se anulează într-o vecinătate V a lui 0x ;
d) există limita ( )
lim( )x a
x a
f x
g x
în R .
În aceste condiţii există ( )
lim( )x a
x a
f x
g x
.
prof. Cialâcu Ionel
Teorema 2. (Regula lui l’Hospital pentru cazul
)
Fie , : ( , )f g a b R , două funcţii cu proprietăţile:
a) funcţiile f şi g sunt derivabile pe ),( ba ;
b)
)(lim)(lim xgxf
axax
axax
c) ),(,0)(,0)( baxxgxg ;
d) există ( )
lim( )x a
x a
f xR
g x
;
atunci există limita )(
)(lim
xg
xf
axax
şi are loc egalitatea )(
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
axax
axax
.
Concluzie: Pentru calculul limitei se foloseşte formula 0 0
( ) ( )lim lim
( ) ( )x x x x
f x f x
g x g x
Exemplul 1. Să se calculeze
4
cossinlim
4
x
xx
x
.
Considerăm funcţiile 4
)(,cossin)(,2
,0:,
xxgxxxfRgf . Pentru aceste funcţii
1)(,sincos)( xgxxxf şi 044
gf . Aplicând regula lui l’Hospital obţinem:
2
1
sincoslim
4
cossinlim
4
cossinlim
44
'
4
xx
x
xx
x
xx
xx
Hl
x
.
Exemplul 2. Să se calculeze arctgxxx
2lim
.
02lim
arctgxxx
( nedeterminare) =
x
arctgx
x
arctgx
x
Hl
x1
2lim
0
0
1
2lim
'
211
2lim
2
2
x
xx.
prof. Cialâcu Ionel
4. Reprezentarea grafică a funcţiilor
Fie :f D R o funcţie reală de variabilă reală. Graficul funcţiei f este mulţimea:
)(,,)(, xfyDxyxDxxfxG f .
A reprezenta grafic o funcţie : ,f D R D R înseamnă a trasa curba fG într-un reper
cartezian. Reprezentarea grafică a unei funcţii pune în evidenţă anumite proprietăţi locale şi globale
ale acesteia.
Pentru a prezenta mai sistematic modul de lucru în trasarea graficului unei funcţii se
recomandă parcurgerea următoarelor etape de determinare succesivă a unor elemente caracteristice
ale funcţiei.
1. Domeniul de definiţie D. Acesta este dat în enunţ sau în caz contrar se determină ca fiind
mulţimea formată din toate punctele pentru care au sens operaţiile prin care este definită funcţia.
Dacă funcţia este periodică, cu perioada principală T, este suficient să se facă studiul funcţiei
pe intervalul [0, T] sau un alt interval de lungime T.
Dacă funcţia este pară sau impară se poate studia funcţia pe mulţimea ),0[ D .
2. Limitele funcţiei la capetele domeniului de definiţie şi stabilirea asimptotelor funcţiei.
Limitele la capetele domeniului de definiţie dau informaţii despre comportarea funcţiei în
aceste puncte şi despre eventuialele asimptote ale graficului funcţiei.
Asimptotele verticale: sunt drepte de ecuaţie x = x0 astfel încât cel puţin una din limitele
laterale în x0 este infinită.
Asimptotele orizontale: sunt dreptele de ecuaţie y = a , a R cu proprietatea că
axfx
)(lim sau axfx
)(lim
Asimptotele oblice: sunt dreptele de ecuaţie y = mx + n .
Dacă ( )
lim *x
f xm R
x şi lim [ ( ) ]
xn f x mx R
atunci dreapta d: y = mx + n este asiptotă
orizontală spre +∞ .
Dacă ( )
lim *x
f xm R
x şi lim [ ( ) ]
xn f x mx R
atunci dreapta d: y = mx + n este asiptotă
orizontală spre -∞.
3. Intersecţiile graficului cu axele de coordonate
OxG f : Se rezolvă ecuaţia Dxxf ,0)( şi se reţin soluţiile Dxk . Punctele de intersecţie au
coordonatele )0,( kx .
OyG f . Dacă D0 atunci ))0(,0( fAOyG f .
prof. Cialâcu Ionel
4. Studiul funcţiei cu ajutorul primei derivate. În acestă etapă se determină:
Domeniul de continuitate, de derivabilitate şi prima derivată a funcţiei f.
Se rezolvă ecuaţia 0)( xf şi se stabileşte semnul primei derivate.
Se stabilesc intervalele de monotonie şi punctele de extrem
5. Studiul funcţiei cu a doua derivată.
Se calculează f pe domeniul de existenţă.
Se rezolvă ecuaţia 0)( xf şi se stabileşte semnul derivatei a doua.
Se stabilesc intervalele de convexitate şi intervalele de concavitate, precum şi punctele de
inflexiune.
6. Tabelul de variaţie a funcţiei.
Rezultatele obţinute la paşii anteriori se introduc într-un tabel numit tabel de variaţie al funcţiei.
Pe linia întâi ( linia lui x) se trece domeniul de definiţie şi valorile remarcabile ale lui x, determinate
anterior.
Pe linia a doua se trece semnul primei derivate, iar pe linia a patra se trece semnul derivatei a doua.
Pe linia a treia se trec limitele funcţiei la capetele domeniului D, monotonia şi convexitatea-
concavitatea funcţiei, valorile funcţiei în punctele remarcabile. Asimptotele verticale se marchează
prin linii verticale, trecându-se limitele laterale corespunzătoare.
Apariţia unor contradicţii în tabloul de variaţie cum ar fi: creştere spre -∞, descreştere spre
+∞, creştere de la +∞ încolo, indică greşeli de calcul la determinarea limitelor funcţiei sau în calculul
primei derivate.
7. Interpretarea tabelului de variaţie şi trasarea graficului funcţiei.
Într-un reper cartezian xOy se trasează asimptotele, se reprezintă punctele de extrem, punctele de
inflexiune, punctele de interscţie ale graficului cu axele de coordonate. Se unesc aceste puncte
printr-o linie curbă respectând informaţiile furnizate de tabelul de variaţie.
Exemplu. Să se reprezinte grafic funcţia 3 2: , ( ) 3 4f R R f x x x .
Rezolvare:
Domeniul de definiţie. Domeniul de definiţie este dat în problemă: D R , si coincide cu domeniul
de studiu al funcţiei.
Asiptotele funcţiei
)(lim,)(lim xfxfxx
f nu are asimptote orizontale .
Cercetăm dacă f are asimptotă oblică spre +∞: d: y = mx + n.
x
xfm
x
)(lim f nu are asiptotă oblică spre +∞
Cercetăm dacă f are asimptotă oblică spre -∞: d: y = mx + n.
prof. Cialâcu Ionel
x
xfm
x
)(lim f nu are asiptotă oblică spre -∞
Deoarece D R f nu are asimptote verticale.
Intersecţiile graficului cu axele de coordonate
OxG f Ataşăm ecuaţia 0)( xf 044043 22323 xxxxx
}2,1{0)44)(1( 2 xxxx )0,2(),0,1( BAOxG f
4)0(: fOyG f )}4,0({COyG f
Studiul funcţiei cu ajutorul primei derivate. xxxf 63)( 2 . Ataşăm ecuaţia
}2,0{0630)( 2 xxxxf
0)2(,4)0( ff
Tabelul cu semnul primei derivate şi monotonia funcţie f este:
x -∞ 0 2 +∞
)(xf +++++++++++ 0 -------------- 0+++++++++
)(xf M = 4
m = 0
Rezultă că funcţia f este strict crescătoare pe intervalele: (-∞,0] şi [2,+∞); f este strict descrescătoare
pe intervalul [0, 2].
0 este punct de maxim local şi 2 este punct de minim local al funcţiei f.
Studiul funcţiei cu ajutorul derivatei a doua. ( ) 6 6f x x . Ataşăm ecuaţia
( ) 0 6 6 1f x x x .
Tabelul cu semnul derivatei a doua şi intervalele de convexitate-concavitate ale funcţie f este:
x -∞ 1 +∞
)(xf -------------------- 0 ++++++++++++++
)(xf
Rezultă că f este concavă pe intervalul (-∞, 1] şi convexă pe [1, +∞); 1 este punct de inflexiune al
funcţiei f.
prof. Cialâcu Ionel
Tabelul de variaţie a funcţiei. Sistematizând datele obţinute alcătuim tabelul de variaţie:
x -∞ -1 0 1 2 +∞
)(xf +++++++++++ 0 -------------- 0+++++++++
)(xf 0 M = 4
m = 0
)(xf - - - - - - - - - - - - 0 + ++++++++++++++
Trasarea graficului.
Interpretând datele din tabelul de variaţie se obţine graficul funcţiei f.
y
4
-1 0 1 2 x