proiectul unităţii de învăţare proprietăţile funcţiilor derivabile.doc

Proiectul unitii de nvare Proprietile funciilor derivabile

Proiectul unitii de nvare Proprietile funciilor derivabileMoto:nelepciunea este a ta numai cnd o dai altuia, altfel ea este numai n tine.

Nicolae Iorga

Cls.a XI-a 5ore-sptmn

Prof.Alboni Estela Ruxana nr.ore alocat 12Deta-

lieri de

coni-

nutCompetene

Activiti de nvare

Resurse

Ora 1Pc.de extrem

Tr. Fermat Tr. Rolle

Tr. La-grange, Tr. CauchyConpetene generale

-Identificarea unor date si relaii matematice i corelarea lor in funcie de contextul n care au fost definite.

-Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse n enunuri matematice.

Competene specifice :

-Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenial n rezolvarea unor probleme.

-Explorarea unor proprieti cu caracter local i/sau global ale unor funcii utiliznd continuitatea i derivabilitatea (studiul monotoniei, convexitii, evidenierea punctelor de extrem, valorificarea geometric a derivatei ntr-un punct n probleme de tangen, utilizarea induciei matematice)Verificarea cunoaterii de ctre elevi a regulilor de derivare. Strnirea interesului. Se face legtura cu alte domenii.

Se scrie pe tabl ntrebarea esenial.Li se comunic elevilor cerinele legate de aceast unitate de nvare

Achiziionarea de noi cunotine. Puncte de extrem.Dezvoltarea independenei n gndire i aciune.Manifestarea tenacitii, a perseverenei i a capacitii de concentrare

Se aplic Fia de evaluare iniial ce conine exerciii de tip gril, corectarea pe loc, urmat de dezbaterea scurt a rspunsurilor.Fiele se vor restitui elevilor (ora urmtoare) i vor face parte din portofoliu.

Scrierea pe tabl a ntrebrii eseniale.Conversaia.Intr-o serie de probleme tehnice sau economice, i bineneles matematice, este important de tiut care sunt maximele i minimele anumitor mrimi variabile.

Conversaia.Definiie Fiind dat o funcie , un punct se numete:

a) punct de maxim relativ al lui f dac exist o vecintate a punctului astfel nct pentru orice s avem .

b) punct de minim relativ al lui f dac exist o vecintate a punctului astfel nct pentru orice s avem .

Dac este punct de maxim relativ al lui f atunci valoarea se numete un maxim relativ al lui f.

Dac este punct de minim relativ al lui f atunci valoarea se numete un minim relativ al lui f.Completarea Fiei de lucru nr.1 cu teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange, teorema lui Couchy, folosind manualul.

Se discut comparativ despre condiiile pe care le ndeplinesc funciile crora li se poate aplica una din cele 3 teoreme i rezultatele aplicrii lor

Rezolvarea din manual a 4 probleme n care se cere s se verifice condiiile teoremelor studiate. Profesorul insist asupra condiiilor ce trebuiesc verificate, punnd elevii s gseasc asemnrile i deosebirile.

pag.174, ex.1 a, b, ex.2, ex.6 a, b.

Li se comunic elevilor cerinele legate de aceast unitate de nvare.

Tem de cas. Manual pag 72 ex.1, 2, 3, pag.74 ex.1c, 6 c.

ora 2Consecinele Tr. RolleConpetene generale :

-Utilizarea algoritmilor pentru rezolvarea unor probleme practice.

-Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaii problem n scopul gsirii de strategii pentru optimizarea soluiilor.


- Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenial n rezolvarea unor probleme.

Captarea ateniei : Evaluarea elevilor. Se noteaz elevii dup cum s-au evideniat in timpul orei , pentru felul cum au activat n grup i pentru modul cum au rezolvat ex..Manifestarea iniiativei i a disponibilitii de a aborda sarcini variate

Anunarea temeiConsecinele Teoremei Lui Rolle Prezentarea de material nou

Consolidarea cunostinelor i asigurarea feed-back-ului.,

Tema pentru acas Se vor propune spre rezolvare ca tem pentru acas , exerciiile din manual .

Verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor-elev; elev-elev, prin confruntarea rezultatelor (n cazul in care apar diferene rezultat, se rezolv exerciiile la tabl ).

Li se d elevior s rezolve exerciiile de pe Fia de evaluare nr.1 .Elevii vor fi mprii pe grupe. La urm se face turul galeriei.Dezbatere raspunsuri la ntrebri ce duc spre rspunsul la ntrebarea esenialConversaie. Consecina1 ntre dou zerouri ale unei funcii derivabile pe un interval se afl cel puin un zerou al derivatei.

Observaia 1( Interpretarea geometric a teoremei lui Rolle).

Teorema lui Rolle admite urmtoarea interpretare geometric: Dac dreapta determinat de punctele este paralel cu axa Ox, atunci exist cel puin un punct ntre a i b n care tangenta la graficul lui f este paralel cu axa Ox.

Obsservaia 2(Interpretarea geometric a Teoremei lui Lagrange) Fie f o funcie Rolle pe un interval compact , atunci exist cel puin un punct astfel nct tangenta la graficul funciei f n este paralel cu coarda determinat de punctele i .

Consecina 2 Fie f o funcie definit pe o vecintate V a punctului , derivabil pe i continu n . Dac exist limita , atunci exist i . Dac este finit, atunci f este derivabil n .

Fiecare elev va primi cte o fi de lucru Fia de lucru nr.2 activitate individual. Pe parcursul rezolvrii exerciiilor, profesorul intervine cu ntrebri, adresate elevilor pentru a se clarifica demersul rezolvrii.

Ora 3Studiul monotoniei unei funciiConpetene generale :

-Identificarea unor date si relaii matematice i corelarea lor in funcie de contextul n care au fost definite.

-Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse n enunuri matematice.





Asigurarea unei atmosfere adecvate pentru buna desfurare a orei ;

Captarea ateniei : Informarea elevilor asupra leciei

Verificarea cunostintelor anterioare

Prezentarea de material nou

Consolidarea cunotinelor i asigurarea feed-back-ului. Se realizeaz pe parcurs. Manifestarea tenacitii, a perseverenei i a capacitii de concentrare

Tem de cas rmn exerciiile nerezolvate de pe fi.Verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor-elev; elev-elev, prin confruntarea rezultatelor (n cazul in care apar diferene rezultat, se rezolv exerciiile la tabl ).

Se anun i se scrie pe tabl titlul leciei:Se propune elevilor o activitate interactiv frontal. Profesorul pune intrebri elevilor, urmreste completarea rspunsurilor primite i retinerea notiunilor fundamentale insusite anterior de catre elevi si necesare n rezolvarea exerciiilor.

Prima consecinta (Functii cu derivata nula)

Daca o functie are derivata nula pe un interval, atunci ea este constanta pe acest interval.

Observatie!

Pentru determinarea constantei se alege o valoare particulara x0 din interval pentru care f(x0) are o form ct mai simpl.Fiecare elev primete Fia de lucru nr.3. Problemele se rezolv i la tabl de ctre elevi.

Aplicatie: se rezolv prima problem din fia de lucru nr.3.

A doua consecin (Funcii cu derivate egale)

Dac dou funcii au derivatele egale pe un interval, atunci ele difer printr-o constant pe acel interval.

Aplicatie: se rezolv a doua problem din fia de lucru nr.3.

A treia consecinta ( Monotonia functiilor)

Fie , E interval, o funcie derivabil.

Dac atunci f este cresctoare pe E:

Dac atunci f este descresctoare pe E;

Daca atunci f este strict crescatoare pe E;

Daca atunci f este strict descrescatoare pe E;

Etapele studiului monotoniei unei funcii.

Pentru a determina intervalele de monotonie ale unei functii derivabile , E nu neaparat interval din R se procedeaza astfel:

se calculeaza derivata functiei f

se rezolva ecuatia

se determina intervalele in care f` pastreaza acelasi semn

se tine seama de consecinta 3 si se stabilesc intervalele de monotonie

Observatie!

Utilizand monotonia unei functii putem stabili punctele de minim sau maxim local pentru o functie derivabila.Aplicatie: se rezolva celelalte probleme din fisa de lucru nr.3.

Ora 4Conpetene generale :





Reactualizarea cunostintelor anterioare

Anuntarea cerinelor.

Manifestarea tenacitii, a perseverenei i a capacitii de concentrare

Evaluarea performantei

Profesorul face aprecieri cu privire la munca elevilor si noteaza felul cum elevii colaboreaz n cadrul grupei.Verificarea temei.Profesorul verifica tema pentru acas i corecteaz eventualele greeli. Elevii vor preciza daca sunt exerciii neefectuate, iar acestea vor fi lucrate la tabl.Realizarea pe calculator pentru prezentarea final, de ctre fiecare grup de elevi a unui fiier word cu ceea ce i-a fost repartizat. Ex. De mai jos i partea teoretic care se potrivete.Din Fia de evaluare nr.1

Grupa 1 ex.1

Grupa 2 ex.2

Grupa 3 ex.3

Grupa 4 ex.4

Vor preciza partea teoretic i exerciiul potrivit.

Din Fia de lucru nr.3Grupa 1 ex.1

Grupa 2 ex.2

Grupa 3 ex.3 i 4

Grupa 4 ex.5 i 6

Ora 5Competene generale

-Exprimarea i redactarea corect i coerent n limbaj formal sau n limbaj cotidian, a rezolvrii sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme


- Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenial n rezolvarea unor probleme.Evaluarea elevilor-prin teste clasice aplicate individualElevii rezolv individual Fia de evaluare nr.2

Ora 6Rolul deriva-

tei a doua n studiul funci-

ilorConpetene generale

-Caracterizarea unor funcii utiliznd reprezentarea geometrica a unor cazuri particulare.

-Interpretarea unor proprieti ale funciilor cu ajutorul reprezentarilor grafice.

-Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenial n rezolvarea unor probleme i modelarea unor procese.

-Exprimarea cu ajutorul noiunilor derivabilitate, tabel de variaie a unor proprieti cantitative i calitative ale unei funcii.

-Studierea unor funcii din punct de vedere cantitativ si calitativ utilizand diverse procedee: majorri, minorri pe un interval dat, proprietile algebrice i de ordine ale mulimii numerelor reale n studiul calitativ local, aproximarea unor funcii mai simple cunoscute.

-Utilizarea reprezentrii grafice a unei funcii pentru verificarea unor rezultate i pentru identificarea unor proprieti.

-Explorarea unor proprieti cu caracter local i/sau global utiliznd continuitatea i derivabilitatea.



-Determinarea intervalelor de convexitate i concavitate a funciilor.

-Determinarea punctelor de inflexiune.

Captarea ateniei:

- verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor-elev; elev-elev, prin confruntarea rezultatelor (n cazul n care apar diferene mari la rezultat, se rezolv exerciiile la tabl ).

Informarea elevilor asupra lectiei:

-Se anun i se scrie pe tabl titlul leciei:

Rolul derivatei a doua n studiul funciilor

Verificarea cunotinelor anterioare:

- reinerea noiunilor fundamentale nsuite anterior de ctre elevi i necesare n rezolvarea exerciiilor.

Prezentarea de material nou

-Determinarea intervalelor de convexitate i concavitate

Utilizarea semnului derivatei a doua pentru studiul convexitii i concavitii unei funcii de dou ori derivabil.

Din tabel rezult c funcia f este concav pe intervalul (-(, 0) i este convex pe intervalul

(0, ().

Determinarea punctelor de inflexiune

Dezvoltarea independenei n gndire i aciune

Consolidarea cunotinelor i asigurarea feed-back-ului.

Tema pentru acas: Se vor propune spre rezolvare ca tem pentru acas, exerciiile 4, 5, 6, 7. Aprecieri: Se noteaz elevii care s-au evideniat n timpul orei.

Conversaia.Prin discuii cu clasa se va asigura o atmosfer adecvat pentru buna desfurare a orei ;

Conversaia. Se propune elevilor o activitate interactiv frontal. Profesorul pune ntrebri elevilor, urmrete completarea rspunsurilor primite .

Expunerea. Definiie: Fie, o funcie derivabil pe intervalul I.

a) Funcia f se numete convex pe intervalul I, dac tangenta n orice punct al graficului funciei f se afl sub acest grafic.

b) Funcia f se numete concav pe intervalul I, dac tangenta n oricare punct al graficului funciei f se afl deasupra acestui grafic.

Activitate frontal. Se discut cele dou situaii pe graficele urmtoare.

Teorem: Fie , o funcie de dou ori derivabil pe intervalul I. Atunci:

1) Funcia f este convex pe intervalul I dac i numai dac derivata a doua este pozitiv pe intervalul I.

2) Funcia f este concav pe intervalul I dac i numai dac derivata a doua este negativ pe intervalul I.

Exemplul 1: S se determine intervalele de convexitate i concavitate a funciei:

Rezolvare: Funcia f este de dou ori derivabil pe R

iar

Ecuaia are soluia x=0. Construim tabelul de semn pentru derivata a doua:

x

-( 0 +(

- - - - - - - -0 + + + + +

f(x)

Stabilirea intervalelor de convexitate i concavitate a unei funcii

I. Se calculeaz derivatele , respectiv a funciei f.

II. Se rezolv ecuaia .

III. Se determin semnul funciei pe intervalele pe care aceasta nu se anuleaz i se trec datele n tabel.

IV. Se stabilesc intervalele de convexitate i concavitate n funcie de semnul derivatei .

Conversaia. Se discut cu elevii urmtoarea Definiie Fie i .Punctul se numete punct de inflexiune al funciei f, dac f este continu n x0 i dac ntr-o parte a lui x0 funcia f este convex, iar n cealalt parte a lui x0 funcia f este concav.

SHAPE \* MERGEFORMAT

Munca prin descoperire. Se ajut elevii s observe:

Dac funcia este derivabil de dou ori n punctul de inflexiune , atunci .

Pentru o funcie de dou ori derivabil , punctele de inflexiune sunt printre soluiile ecuaiei . Determinarea acestora se face studiind semnul derivatei a doua.

Fia de lucru nr.4. Fiecare elev va primi cte o fi de lucru. Elevii sunt organizai n grupe omogene. Pe parcursul rezolvrii exerciiilor, profesorul intervine cu ntrebri i rspunde la ntrebrile fiecrei grupe.La sfrit se realzeaz turul galeriei pt. al 2-lea ex.de la fiecare grup.

Ora 7Conpetene generale

-Caracterizarea unor funcii utiliznd reprezentarea geometrica a unor cazuri particulare.

-Interpretarea unor proprieti ale funciilor cu ajutorul reprezentarilor grafice.

-Explorarea unor proprieti cu caracter local i/sau global utiliznd continuitatea i derivabilitatea.



-Determinarea intervalelor de convexitate i concavitate a funciilor.

-Determinarea punctelor de inflexiune.Reactualizarea cunostintelor anterioare

Anuntarea cerinelor.

Manifestarea tenacitii, a perseverenei i a capacitii de concentrare

Dezvoltarea simului estetic i critic, a capacitii de a aprecia rigoarea, ordinea i elegana n arhitectura rezolvrii unei probleme sau a construirii unei teorii

Evaluarea performanei

Profesorul face aprecieri cu privire la munca elevilor si noteaza felul cum elevii colaboreaz n cadrul grupei.Verificarea temei.Profesorul verifica tema pentru acas i corecteaz eventualele greeli. Elevii vor preciza daca sunt exerciii neefectuate, iar acestea vor fi lucrate la tabl.

Realizarea pe calculator pentru prezentarea final, de ctre fiecare grup de elevi a unui fiier power point cu ceea ce i-a fost repartizat. Ex. de mai jos i partea teoretic care se potrivete doar grupa 4.

Din Fia de lucru nr.4

Grupa 1 ex.10Grupa 2 ex.9

Grupa 3 ex.8

Grupa 4 ex.7

Crearea saitului fiecrei grupe.

Aezarea materialelor pe sait.

Ora 8

Ora 9Ora 10Grupele de elevi vor cuta aplicaii ale derivatei n economie, fizic, variante bacalaureat 2009 i vor realiza prezentri Power Point cu rezultatele gsite.Grupa 1 - studiul monotoniei i mrginirii irurilor folosind funcii derivabile. http://preprints.readingroo.ms/Smarandache/MetodeCalcul.pdfGrupa 2-aplicaii ale derivatelor la admiterea la Universitatea Politehnic din Timioara.Culegere Admitere Politehnic Timioara.

http://www.ac.upt.ro/uploads/Culegere_Mate_Adm_UPT_2009.pdfGrupa 3+aplicaii ale derivatelor n variantele de Bac.http://www.ebacalaureat.ro/cat2/5/65/128/1/Subiecte-bacalaureat-2009-MatematicaGrupa 4+aplicaii ale derivatelor la cinematica punctului material.

Ora 11Evaluare sumativSe completeaz individual Fia de evaluare nr.3

Ora 12

Fi de evaluare imiial

1.Derivata funcie este egal cu

2.Derivata funciei n punctul x0=4 este gal cu

A. 5 B.

3.Aflai derivata funciei

4.Calculai f /(1), dac

A.-8. B.8. C.6. D.-6.

5.Aflai valoarea derivatei funciei n punctul x0=0.

A.1. B.0. C.0,5. D.-1.

6.Aflai derivata funciei

7.Coieficientul unghiular al tangentei, dus la graficul funciei n punctul cu abscisa x0 = - 0,5 este egal cu

A.1. B.2. C.-2. D.-4.

8.Ecuaia tangentei la graficul funciei n punctul x0=2 are forma.

Barem de corectare:

2p oficiu, fiecare ex. 1p

Fia de lucru nr.1

Folosind manualul completai individual urmtoarele teoreme:

Teorema ( Teorema lui Fermat) Fieun interval deschis i un punct de extrem relativ al unei funcii . Dac f este derivabil n punctul , atunci .Teorema (Teorema lui Rolle) Fie o funcie Rolle astfel nct , atunci exist cel puin un punct astfel nct .

Teorema (Teorema lui Lagrange sau teorema creterilor finite)

Fie f o funcie Rolle pe un interval compact , atunci exist astfel nct .

Teorema ( Teorema lui Cauchy) Fie f, g dou funcii Rolle pe intervalul compact , astfel nct ; atunci exist un punct astfel nct

Fia de lucru nr.21. S se studieze derivabilitatea funciei

f este continu i derivabil pe i pe .

f este continu n punctul 0.

, (

Aplicnd consecina anterioar rezult c f este derivabil n 0 i .

n concluzie f este derivabil pe R. 2. Se consider funcia . S se studieze derivabilitatea funciei f n punctul 0.

Acest exemplu ne arat de ce este esenial s se impun condiia ca f s fie continu. Pentru acest exemplu

i totui f nu este derivabil ( deoarece , f nu este continu n 0 i ).

Fia de evaluare nr.11. Se consider funcia f:[ -1; 1] R, f(x) = , unde: m, n, p R.

a) Determinai parametrii reali: m, n, p, astfel nct f s satisfac condiiile de aplicabilitate

ale teoremei lui Rolle, pe intervalul: [ -1; 1].

b) Pentru m, n, p determinai, mai sus, aplicai efectiv teorema lui Rolle.

2. Se consider funcia f: ( -, - 2)(0, )R, f(x) = ln. S se arate c, exist un

punct c(1, 2) astfel nct: (c 1) f ( c) + f(c) = f(2).

3. Determinai a, bR, astfel nct funciei: , s i se poat aplica

teorema lui Lagrange i s se aplice efectiv teorema.

4. Se consider funcia f: RR, f(x) = . S se arate c, pentru orice k(0, ), exist

c(k, k + 1), astfel nct: f(k + 1) f(k) = .

Grupa 1 rezolv ex.1Grupa 2 rezolv ex.2

Grupa 3 rezolv ex.3

Grupa 4 rezolv ex.4

Se realizeaz turul galeriei.Fia de lucru nr.3

1. S se arate c /2, 0x 1

2. S se arate c fuciile f(x)=arctgx i g(x)=arctg , difer printr-o constant pe intervalul ( )3..Se consider funcia .

a) S se calculeze

b) S se rezolve ecuaia

c) S se studieze monotonia funciei f.

Rezolvarea)

EMBED Equation.3 b) ( ( (

c) Monotonia funcie f rezult din tabelul cu semnul primei derivate.

x-( +(

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - 0 ++++++++++++++++

- - - - - - - - - - - - - -0 ++++++++++++++++

4. Se d functia , unde m i n sunt parametrii reali.

a) S se determine parametrii reali m i n astfel nct

b) Pentru m = 2 si n = 1 s se studieze monotonia functiei f.

Rezolvare

a)

(

(

b). Pentru m = 2 i n = 1 obinem . Pentru a studia monotonia funciei f alctuim un tabel cu semnul primei derivate.

Atam ecuaia ( ( x = -3 sau x = -1.

x-( -3 -1 +(

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + 0 - - - - - - - - - - 0 + + + + + + +

+ + + + + + 0 - - - - - - - - - - -0 + + + + + + +

Din tabelul anterior rezult c f este strict cresctoare pe intervalele (-(,-3] i [-1,+() i este strict descresctoare pe intervalul [-3, -1].

5. Fie funcia f:R { -1,0}R, f(x) =. Demonstrai c f nu are puncte de extrem local.

6. Se consider funcia f: R, f(x) = lnx - .

a) S se calculeze derivata funciei f.

b) Determinai punctele graficului funciei f, n care tangenta la grafic este paralel cu

dreapta de ecuaie: 9y = 2x.

c) S se arate c, dac x > 1, atunci: lnx

.

7. Demonstrai c funcia f: RR, f(x) = x + cosx, este strict cresctoare pe R.

Fia de evaluare nr.2

1. Se consider funcia f: RR, f(x) = x sinx.

a) S se arate c funcia f este cresctoare .

b) Verificai c funcia g: RR, g(x) = este derivabil pe R.

2. Se consider funcia f: RR, f(x) = ex ax, unde aR, a > 0.

a) S se determine punctele de extrem local ale funciei f.

b) Determinai a

EMBED Equation.3 , tiind c f(x) 1, xR.

3. Se consider funcia f: R, f(x) = 18x2 lnx. Determinai intervalele de monotonie.

Fia de lucru nr.4

S se determine intervalele de convexitate i concavitate i punctele de inflexiune ale urmtoarelor funcii:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Grupa 1Ex.1 i 10

Grupa 2

Ex2 i 9

Grupa 3

Ex. 3 i 8

Grupa 4

Ex.4 i 7

Tem

Ex. 5, 6Fia de lucru nr.5

Grupa de experi

Monotonia i mrginirea pentru iruri i funcii

irul este o funcie

La unele iruri putem asocia o funcie i s studiem monotonia irului studiind monotonia funciei, folosind derivata..

Se noteaz n cu x i se obine f(x) din formula termenului general al sirului.

Se studiaza monotonia i mrginirea cu tabelul de variaie al funciei.

Se trag concluzii cu privire la monotonia i mrginirea irului, innd cont c domeniul este N.

http://preprints.readingroo.ms/Smarandache/MetodeCalcul.pdfFia de evaluare nr.3

funcie convex

funcie concav

A(x0,f(x0))

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

m

f(-1)

f(-3)

_1964638398.unknown

_1964638988.unknown

_1964808562.unknown

_1964809312.unknown

_1964809369.unknown

_1964809471.unknown

_1964809499.unknown

_1964808769.unknown

_1964808951.unknown

_1964809007.unknown

_1964808714.unknown

_1964808073.unknown

_1964808415.unknown

_1964808527.unknown

_1964639044.unknown

_1964639105.unknown

_1964639192.unknown

_1964639013.unknown

_1964638715.unknown

_1964638746.unknown

_1964638833.unknown

_1964638731.unknown

_1964638547.unknown

_1964638697.unknown

_1964638458.unknown

_1324142080.bin

_1325769865.bin

_1325770598.bin

_1964638345.unknown

_1325770526.bin

_1325350224.bin

_1325350393.bin

_1324142406.bin

_1325350092.bin

_1324663584.bin

_1324142293.bin

_1300300419.unknown

_1300302288.unknown

_1323969822.bin

_1323969866.bin

_1323970009.bin

_1323969098.bin

_1300302444.unknown

_1300300496.unknown

_1300301657.unknown

_1300300435.unknown

_1300299140.unknown

_1300299748.unknown

_1300299580.unknown

_1300039003.unknown

_1300040739.unknown

_1300298786.unknown

_1300039124.unknown

_1300038619.unknown

_1300038768.unknown

_1300038813.unknown

_1300038828.unknown

_1300038838.unknown

_1300038780.unknown

_1300038620.unknown

_1167023870.unknown

_1167024334.unknown

_1167025334.unknown

_1167025517.unknown

_1167023950.unknown

_1167023682.unknown

proiectul unităţii de învăţare proprietăţile funcţiilor derivabile.doc

Documents