Activităţi de învăţare recomandate în studiul funcţiilor

Pentru formarea competenţelor specifice pot fi organizate diferite tipuri de

activităţi de învăţare, care sugerează demersuri pe care le poate întreprinde profesorul.

Exemplele de activităţi de învăţare trebuiesc construite astfel încât să pornească

de la experienţa concretă a elevului şi să se integreze strategii didactice adecvate

contextelor variate de învăţare.

În continure voi prezenta exemple de activităţi de învăţare ce corespund fiecărei

competenţe specifice vizate prin studiul funcţiilor în gimnaziu:

- Exerciţii de completare a unor şiruri, de identificare a regulii de formare a unui

şir de numere; alcătuirea unui şir pornind de la o regulă dată; găsirea unor

reguli de alcătuire a şirurilor;

- Analizarea şi construirea unor exemple de dependenţă funcţională din viaţa

cotidiană sau din alte discipline de studiu (de exemplu din fizică);

- Analizarea şi construcţia unor exemple de funcţii definite prin: diagrame,

tabele, formule;

- Exerciţii de reprezentare grafică a funcţiilor într-un sistem de axe

perpendiculare xOy;

- Exerciţii de identificare a coordonatelor unui punct din plan într-un sistem de

axe ortogonale; exerciţii de reprezentare a unui punct într-un sistem de axe

perpendiculare, cunoscându-i coordonatele;

- Exerciţii de determinare a coordonatelor unui punct care aparţine graficului

unei funcţii;

- Exerciţii de determinare a coordonatelor punctelor de intersecţie ale graficului

unei funcţii cu axele de coordonate;

- Exerciţii de determinare a coordonatelor punctului de intersecţiei a două

grafice funcţii;

- Exerciţii de verificare a coliniarităţii a trei sau a mai multor puncte, cunoscând

coordonatele lor;

- Exerciţii de determinare a ariei şi a perimetrului triunghiului, măsurilor

unghiurilor figurilor geometrice determinate de grafice ale unor funcţii de

formaşi axele sistemului de coordonate;

- Exerciţii de reprezentare grafică a unor funcţii definite pe mulţimi finite, într-

un system de axe perpendiculare xOy.

Tipuri de exerciţii şi probleme

Exerciţiile şi probleme pe care elevii le întâlnesc în cadrul capitolului

„Funcţii” necesită observaţii şi raţionamente de o fineţe sporită. În continuare,

vom prezenta câteva dintre acestea, ţinând seama de activităţile de învăţare

menţionate.

I.

1. Stabiliţi în mod natural o legătură între mulţimile A şi B, respectiv C şi D

reprezentate în figura de mai jos:

a) Există o funcţie definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B? Justificaţi

răspunsul.

b) Dar una definită pe mulţimea C cu valori în

mulţimea D? Justificaţi raspunsul.

1. Fie şi funcţia

descrisă de tabelul:

x -2 -1 0 1 2

-4 -2 0 2 4

a) Precizaţi valoarea de adevăr a următoarelor afirmatii:

…… ; …… ; …….. ; ….. ;

………

b) Descrieţi funcţia printr-o formulă.

3. Fie funcţia R descrisă prin aria triunghiului echilateral de

latură x.

a) Calculaţi .

b) Determinaţi valorile funcţiei. Ȋntocmiţi un tabel cu valorile calculate.

4. Fie o funcţie definită prin: , , , .

a) Precizaţi domeniul de definiţie al funcţiei şi imaginea funcţiei (mulţimea

valorilor funcţiei).

b) Este posibil ca ?

5. Precizaţi care din corespondenţele următoare defineşte o funcţie. în caz afirmativ,

precizaţi domeniul şi codomeniul funcţiei.

a) numărului i se asociază astfel încât ;

b) fiecărei persoane din România i se asociază vârsta exprimată printr-un număr

natural;

c) perechii Z Z i se asociază numărul real ;

d) fiecărui cuvânt din dicţionarul limbii române i se asociază ultima literă a sa;

e) numărului Z i se asociază perechea Z Z astfel încât .

6. Precizaţi dacă sunt corect definite funcţiile exprimate prin formulele următoare:

a) ;

b) ;

c) , ;

d) Q Q, ;

e) , ;

f) , .

7. Considerăm funcţia , restul împărţirii lui x la 3.

a) Calculaţi: ; ; ; .

b) Determinaţi imagimea funcţiei.

8. Daţi un exemplu de funcţie pentru care termenii şirului 1, 3, 5, 7, 9, ... sunt valorile

funcţiei.

9. Care dintre perechile de funcţii sunt egale? Justificaţi răspunsul.

a) : -1, 0, 1, (x) = x2 şi g : y/ y 1, g(y) = y .

b) u: y y 4, u(y) = y şi h

descrisă de tabelul alăturat:

10. Un automobil aflat la distanţa de 40 km de Constanţa pleacă cu o viteză constantă

de 90 km/h spre Craiova. La ce distanţă de Constanţa se va afla peste 2 ore, 3 ore

şi 6 ore? Alcătuiţi un tabel în care să apară distanţa parcursă şi scrieţi legea de

corespondenţă a unei funcţii care să exprime dependenţa funcţională dintre

distanţă şi timp.

11. Fie mulţimile X={-5; -2 ;0; 1; 2; 4} şi Y={-7; -4; -2; 0; 3; 5}.

a) Enumeraţi elementele următoarelor mulţimi X Y,Y X ,{1} Y.

b) Reprezentaţi într-un sistem de axe ortogonale elementele mulţimii X Y.

12. Reprezentaţi grafic funcţiile:

a) -1; 0; 11; 2 x x2;

b) g:-1; 0; 10; 1 g(x) x;

c) h:0; 4; 9Z hx ;

d) 4 Q, 4x ;

e) Q, , unde D este mulţimea divizorilor lui

9.

f) Z, , unde .

g) N, numărul divizorilor lui n.

13. Fie funcţia Z, . Reprezentaţi grafic funcţia f ştiind că

(-1; 1) aparţine graficului.

14. Un mobil se mişcă rectiliniu şi uniform cu viteza de 80 km/h. Mobilul a plecat de

la ora 8ºº din localitatea A şi s-a deplasat până la ora 12ºº.

a) Întocmiţi un tabel de valori în care să apară distanţa parcursă.

b) Reprezentaţi grafic variaţia distanţei ca funcţie de timp. Ce observaţi?

15. Preţul unui produs este de 3 lei şi creşte timp de o săptămână cu 1 leu pe zi.

Determinaţi şi reprezentaţi grafic într-un sistem de axe ortogonale xOy funcţia

care exprimă variaţia preţului.

II.

x 1 2 3

h(x) 1 2 3

1. Fie : R R, (x) = x – 3. Verificaţi dacă punctele A(1; -2), B(3; -1), C(0; -3),

D(3;0), E(-1;-4) aparţin reprezentării grafice a funcţiei date.

2. Fie: R R, (x) = 2x + 3. Aflaţi numărul real m pentru care punctul A(m; 7) se

află pe graficul functiei .

3. Fie : R R, (x) = 5x +b . Aflaţi numărul real b pentru care reprezenterea grafică

a funcţiei să conţină originea axelor de coordonate.

4. Fie : R R, (x) = ax +3. Aflaţi numarul real a pentru care punctul M(-1; 1) se

află pe reprezentarea grafică a funcţiei .

5. Fie: R R, (x) = 2x – 1.

a) Să se determine punctul de pe reprezenterea grafică a funcţiei care are ordonata

egală cu -1.

b) Să se determine punctul de pe reprezenterea grafică a funcţiei care are abscisa

egală cu 2.

c) Să se determine punctul de pe reprezenterea grafică a funcţiei care are

coordonate egale.

d) Să se determine punctul de pe reprezenterea grafică a funcţiei care are ordonata

egală cu opusa abscisei.

e) Să se determine punctul de pe reprezenterea grafică a funcţiei care are ordonata

egală cu dublul abscisei.

6. Să se determine funcţiile : R R , R ale caror reprezentări

grafice conţin punctele:

a) A(2; 5) şi B(-1; -1);

b) A(1; 2) şi B(-3; -2);

c) A(-3; 2) şi B(1; -6).

7. a) Determinaţi numerele reale a şi b astfel încât reprezentarea grafică a

funcţiei : R R, x ax b este o dreaptă ce conţine punctele A(-2; 0) şi

B(0; 4);

b) Stabiliţi prin calcul dacă punctul M(5; 13) AB;

c) Determinaţi coordonatele punctului C OX pentru care ABC este isoscel.

8. Fie : R R, x 2x - 5.

a) Verificaţi dacă M( ; 0) şi N(0; -5) aparţin graficului funcţiei .

b) Trasaţi graficul funcţiei.

c) Să se determine coordonatele punctelor situate pe graficul funcţiei , care sunt

egal depărtat de axele de coordonate.

9. Fie : R R, x x - 5.

a) Să se determine coordonatele punctelor de intersecţie ale graficului cu

axele de coordonate.

b) Să se reprezinte grafic funcţia.

c) Să se calculeze distanţa de la originea axelor de coordonate la

reprezentarea grafică a funcţiei.

d) Să se determine punctele de pe grafic care au abscisa egală cu dublul

ordonatei.

e) Să se determine punctele de pe grafic care au ordonata egală cu opusa

abcisei.

10. a) Găsiţi funcţia : RR, (x) = ax+ b al carei grafic conţine punctele A(-1; 2) şi

B(1; 0);

b) Punctele A(-1; 2), B(1; 0) si C(-3; 4) sunt coliniare?

c) Găsiţi coordonatele punctului de intersecţie dintre graficele funcţiilor si g,

unde

g: RR,, g(x) = x - 1;

d) Aflaţi aria triunghiului determinat de reprezentările grafice ale celor doua

funcţii şi axa ordonatelor.

11. În curtea şcolii este un bazin cu apă cu capacitatea de 300 l pentru a uda florile din

grădina şcolii. Bazinul are un robinet prin care curg în fiecare minut 30 l de apă.

a) Câţi litri de apă vor rămâne în bazin peste 3 minute din momentul deschiderii

robinetului? Dar peste 6 minute? Dar peste t minute?

b) Exprimaţi cantitatea de apă din bazin printr-un tabel ca funcţie de timpul scurs

din momentul deschiderii robinetului.

c) Reprezentaţi graficul dependenţei funcţionale obţinute într-un sistem de axe

ortogonal

12. a) Scrieţi coordonatele puncrului A reprezentat în figura de mai jos.

b) Determinaţi a şi b astfel încât funcţia : R R , să admită ca

reprezentare grafică dreapta OB, unde B(2; 6).

c) Fie C(-4; 0) şi B(2; 6). Calculaţi distanţa de la punctul C la dreapta OB.

13. La ora 8ºº pleacă din localitatea A şi localitatea B spre localitatea C (şoseaua trece

prin cele două localităţi) două autoturisme: primul se deplasează cu 90 km/h şi al

doilea cu 70 km/h. Cele două maşini ajung în acelaşi timp în localitatea C. Care

este distanţa dintre B şi C, dacă distanţa dintre A şi B este de 30 km.

14. Alina a plecat într-o tabără de 10 zile cu suma de 675 lei. Dacă ea cheltuie zilnic

câte 75 lei, exprimaţi cu ajutorul unei funcţii suma rămasă în fiecare zi. După câte

zile rămâne fără bani? Dacă cheltuieşte în continuare aceeaşi sumă zilnic, cu cât

rămâne datoare la sfârşitul excursiei?

III.

1. Determinaţi funcţia : R R, ştiind că graficul

ei conţine punctul şi are vârful

2. Fie rădăcinile ecuaţiei . Calculaţi

3. Determinaţi punctele de pe graficul funcţiei : R R,

care au coordonatele numere întregi consecutive.

4. Determinaţi astfel încât punctul să fie

situat în cadranul II.

5. Se dă funcţia : R R, . Indicaţi intervalul

maxim pe care funcţia este descrescătoare.

6. Se dă ecuaţia . Pentru , calculaţi

.

7. Determinaţi punctele de pe graficul funcţiei : ,

care au coordonatele numere întregi consecutive.

8. Determinaţi funcţia : R R, ştiind că graficul

său intersectează axa Oy în punctul A(0,1) şi are vârful V(2,-3)

9. Determinaţi Q astfel încât punctul să fie

situat în cadranul IV.

10. Fie astfel încât . Calculaţi

11. Determinaţi Q astfel încât graficele funcţiilor ,

, se intersectează într-un singur punct

12. Se consideră funcţiile

Determinaţi Z astfel încât

13. Se dă funcţia : R R, . Indicaţi intervalul

maxim pe care funcţia este crescătoare.

14. Determinaţi domeniul de definiţie al funcţiei f:D R,

15. Determinaţi imaginea Imf a funcţiei f:

16. Fie funcţia f:

a) calculaţi f(-1), f(0),

b) determinaţi imaginea funcţiei f.

c) determinaţi intersecţiile graficului funcţiei f cu axele de coordinate,

d) rezolvaţi ecuaţia f(x) = 1, şi inecuaţia f(x)

17. Studiaţi care dintre următoarele funcţii sunt pare, care sunt impare

şi care sunt fără paritate:

a) : R R , ,

b) : R R,

c) : R R,

18. Considerăm funcţiile

Determinaţi funcţiile:

a) ,

b) ,

c) Studiaţi mărginirea funcţiei g.

19. Fie funcţia : R R,

Calculaţi: f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(3)+f(4).

IV.

1. Fie funcţia şi funcţia

Compuneţi cele două funcţii. Ce se observă?

2. Arătaţi că funcţia este strict descrescătoare pe (-1,1).

3. Fie R R, , demonstraţi că funcţia este convexă.

Verificaţi convexitatea studiind graficul funcţiei.

4. Folosind graficul funcţiei trasaţi graficul funcţiei

.

5. Determinaţi valorile reale ale lui x astfel încât . Ce proprietate a funcţiei

exponenţiale folosim?

6. Arătaţi că R. Ce proprietate a funcţiei exponenţiale s-a folosit?

7. Reprezentaţi grafic funcţia : R R, .

8. Să se traseze graficul funcţiei : R R, .

9. Fie funcţiile , g: R R f(x) = 3x + 6 şi g(x) = - 2. Să se determine m

R, astfel încât g = f – 1.

10. Fie funcţia f: R R, f(x) = cos 2x.

a) Să se studieze dacă f este funcţie pară sau impară.

b) Calculaţi f(x) – f(x + ).

11. Reprezentaţi grafic funcţiile:

a) f: R, f(x) =

b) f,g:[ - ] R, f(x) = sin |x|, g(x) =cos|x|.

12. Să se demonstreze că funcţia f: R(0,+), f(x) = este strict crescătoare.

13. Să se studieze monotnia funcţiiei f: R(0,+), f(x) =

14. Să se traseze graficul funcţiilor : R R

a). ; b). ; c). ;

d). ; e). ; c). .

15. Să se traseze graficul funcţiilor : R R

a). ; b). ; c). ;

d). ; e). ; c). .

16. Să se reprezinte pe acelaşi sistem de axe graficele funcţiilor:

şi .

17. Să se demonstreze că funcţia f: R(0,+), f(x) = este strict crescătoare.